正弦函数的性质 周期性、单调性、最值 陈昕然
三角函数的单调性与周期性
三角函数的单调性与周期性三角函数是数学中一个重要的概念，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
在本文中，我将探讨三角函数的单调性与周期性。
一、正弦函数的单调性与周期性正弦函数是三角函数中最常见的函数之一，其图像呈周期性波动。
我们先来讨论正弦函数的单调性。
单调性是指函数在其定义域上是否具有严格的递增或递减性质。
对于正弦函数而言，它在每个周期都是递增和递减交替出现的。
具体来说，正弦函数在区间[0, π/2]上是递增的，在[π/2, π]上是递减的，然后在[π, 3π/2]上再次递增，在[3π/2, 2π]上再次递减，以此类推。
接下来，我们来讨论正弦函数的周期性。
正弦函数的周期是2π，也就是说，它的图像在每个2π的长度内重复出现。
这一周期性特点使得正弦函数在模拟波动和振动等自然现象中得到广泛应用。
二、余弦函数的单调性与周期性余弦函数是三角函数中另一个常见的函数，它与正弦函数非常相似。
我们来看一下余弦函数的单调性和周期性。
与正弦函数类似，余弦函数也是在每个周期内递增和递减交替出现的。
在区间[0, π]上，余弦函数是递减的；在[π, 2π]上，余弦函数是递增的。
同样地，余弦函数的周期也是2π，与正弦函数完全一致。
三、正切函数的单调性与周期性正切函数是三角函数中另一个重要的函数，它是正弦函数和余弦函数的商。
我们也来讨论一下正切函数的单调性和周期性。
对于正切函数而言，它在每个π的长度内是递增和递减交替出现的。
在区间[0, π/2]上，正切函数是递增的；在[π/2, π]上，正切函数是递减的。
而正切函数的周期为π，也就是说，它的图像在每个π的长度内重复出现。
综上所述，三角函数的单调性与周期性对于正弦函数、余弦函数和正切函数来说都是存在的。
它们在每个周期内呈现递增和递减交替的趋势，并且都具有相同的周期长度。
这些性质使得三角函数在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用与研究。
通过对三角函数单调性与周期性的分析，我们可以更好地理解和应用三角函数，解决与其相关的各类问题。
正弦函数的性质
例如
:
sin(
)
sin
, 但是
sin(
)
sin
.
42 4
32 3
就是说 不能对x在定义域内的每一个值使
2
sin( x ) sin x,因此 不是y sin x的周期.
2
2
(2) T往往是多值的（如y=sinx, T=2, 4, … , －2, － 4, …都是周 期）周期T中最小的正数叫做f (x)的 最小正周期（有些周期函数没有最小 正周期,如常值函数 f(x)=1 ）.
根据上述定义，可知：正弦函数是周期函 数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正 周期是2π.
(4) 奇偶性: 由sin(－x)＝－sinx,可知：y＝sinx为奇函数, 因此正弦曲线关于原点O对称.
y
1
Байду номын сангаас
-3 5 -2 3
2
2
-
o 2
2
3
2
2
5 2
3
7 2
4
-1
y=sinx
(5) 单调性
y
1
-3 5 -2 3
2
2
-
o
2
-1
2
3
2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
2
…
0
…
2
sinx -1
0
1
… 0
…
3 2
-1
y=sinx (xR)
增区间为
正弦函数余弦函数的性质(单调性)
正弦函数余弦函数的性质（单调性）正弦函数和余弦函数是高中数学中常见的三角函数，它们具有许多重要的性质。
单调性是它们非常重要的性质之一。
在本文中，我们将详细讨论正弦函数和余弦函数的单调性，希望能帮助读者更好地理解和掌握这两个函数的特性。
让我们来回顾一下正弦函数和余弦函数的定义。
正弦函数记作sin(x)，它表示的是单位圆上一个点的纵坐标，即sin(x) = y。
余弦函数记作cos(x)，它表示的是单位圆上一个点的横坐标，即cos(x) = x。
正弦函数和余弦函数的定义域都是实数集合R，值域是[-1, 1]。
接下来，我们将分别讨论正弦函数和余弦函数的单调性。
首先讨论正弦函数的单调性。
在定义域内，正弦函数的单调性与其自变量的取值有关。
我们知道，在单位圆上，正弦函数表示的是一个点的纵坐标，而单位圆的纵坐标是在[-1, 1]之间变化的。
我们可以得出结论：正弦函数的单调性是周期性的。
具体地说，正弦函数在每个周期内都是先增后减或先减后增的。
这是因为在单位圆上，随着自变量从0增加到π/2，正弦函数的取值是逐渐增大的；而当自变量从π/2增加到π时，正弦函数的取值则逐渐减小；接着在从π增加到3π/2的过程中又是逐渐增大的；最后在从3π/2增加到2π时，又是逐渐减小的。
我们可以得出结论：正弦函数在每个周期内都是先增后减或先减后增的，是一个周期函数。
总结一下，正弦函数和余弦函数的单调性都是周期性的。
在每个周期内，正弦函数都是先增后减或者先减后增的；而余弦函数则是先减后增或者先增后减的。
这些性质使得正弦函数和余弦函数在数学建模、物理学、工程等领域中有着广泛的应用。
掌握正弦函数和余弦函数的单调性是非常重要的。
希望本文的讨论能够帮助读者更好地理解和掌握这些函数的性质，为进一步的学习和研究打下良好的基础。
高一数学正弦函数y=sinx的性质
5 2
7 2
x
-1
性质一：定义域和值域
定义域为R，值域为[-1,1]
性质二：周期性
π sin （ω φ A 0，ω 0, x1 R) xy A 2k π x（ k ）（ Z）时， y max ； 性质三：单调性 2 2 π π 的周期为 T 增区间： [ ω 2 kπ ， 2 kπ ] （ k Z ） π 2）时，y min 1； x 22 kπ （ k Z 性质四：奇偶性 2 正弦函数 3 πf（x）=sinx为奇函数。 减区间： [ 2 kπ ， 2 kπ ] （ k Z ） 2 2
练习4、y 2 sin x的最大值及取得 最大值时x的值为（ A. y 3，x B. y 1，x ）
2 2k（k Z）
2
C. y 3，x D. y 1，x
2
2k（k Z） 2kπ （k Z）
2
回顾：
1、正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象；
y
1
2
o
-1
2
3 2
2
x
五点法：
( 0, 0 )
( ,1) 2
( ,0)
3 ( ,1) 2
( 2 ,0)
回顾：
2、正弦函数y=sinx，x∈R的图象；
y=sinx x[0,2]
sin(x+2k)=sinx, kZ
y
1
y=sinx xR
-4
-3
-2
-
o
-1
2π x y=sinu的周期为 T 8 （2）y sin 4 u →u+2π 2 （3）y A sin （ x ），（A ， 0) 3x →3x+2π （ 30x ）
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第2课时 正弦函数 余弦函数的单调性和最值 (课件)
当 x [0, ]时，曲线逐渐下降，是减函数，cos x的值由 1 减小到-1.
问题3：推广到整个定义域呢？
当 x [2k π, 2k], k Z时，余弦函数 y cos x是增函数，cos x的值由-1 增大到 1.
sin
2
x
π 6
，
π x π ， π 2x π 5π ，
4
2
3
66
f
(x)max
1 2
1
3 2
.故选
A.
练一练
3.设函数
f
(x)
cos
x
π 3
，则下列结论错误的是(
)
A. f (x) 的一个周期为 2π
B. f (x) 的图象关于直线 x 8π 对称
3
C. f (x π) 的一个零点为 x π
例3
(2) y 3sin 2x, x R.
（2）令 z 2x，使函数 y 3sin 2x, x R 取得最大值的 z 的集合，就是使 y sin z, z R
取得最小值的
z
的集合z
z
2k , k
Z.
由2x z 2k，得 x k.所以，使函数 y 3sin 2x, x R 取得最大值的 x 的
当
x
2
,
2
时，曲线逐渐上升，是增函数，sin
x的值由-1
增大到
1
当
x
2
,
3 2
时，曲线逐渐下降，是减函数，sin
x的值由
1
减小到-1.
问题2：推广到整个定义域呢？
当
x
《正弦函数的性质》
函数y=sinx在区间( 0 , )内为增函数, 2
∴sin(－
23 5
17 )－sin(－ 4
)＜0.
(2)(3) y=|sinx|
解： (1) 令z= 而 sin(2+z)=sinz
]=f (x+ 3
即：f (2+z)=f (z) , f [(x+2)+
)
∴函数的周期T=2 .
x 解：令z= 2 5
x (2) y=3sin( ) 2 5
，则
f (x)=3sinz=3sin(z+2)
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非
零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，
都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期
函数，非零常数T叫做这个函数的周期 由此可知，2π，4π，……，－2π，－ 4π，……2kπ(k∈Z且k≠0)都是正弦函数的周期
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的 周期中存在一个最小的正数，那么这个最小 正数就叫做f(x)的最小正周期。 注意： (1) 周期函数中，x定义域M，则必有x+TM, 且若T>0，则定义域无上界；T<0则定义域无下 界；
10
)；
)．
1 8 2 且函数y＝sinx，x∈［－ ， ］是增函数 2 2
解：(1) ∵
2 1 0
即sin(－
18
)－sin(－10 )＞0
23 2 (2)sin(－ 5 )＝－sin 5
17 sin(－ 4
)＝－sin 4
2 0 4 5 2
2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；
1.4.2 正弦 余弦函数的性质(单调性、最值)
3 5 对称中心： ( ,0),( ,0),( ,0),( ,0) 2 2 2 2
2
k ,0) k Z
1 例5:求函数 y sin( x ) 的单调递增区间: 2 3
解:
2
1 y sin x 3 2
y sin z
2k z
余弦函数的单调性
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-
2
o
-1
2
3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
cosx
-
-1
…
2
…
0
1
…
2
…
-1
0
0
y=cosx (xR) 增区间为 [ +2k, 2k],kZ + ], kZ 减区间为 [2k, 2k， 其值从-1增至1 其值从 1减至-1
y cos x
3 5 2
2
y
1
任意两相邻对称轴 ( 或对称中心 ) 的间距为 3 2 O 5 x 3 半个周期；
2
2
1
2
2
3
2
对称轴与其相邻的对称中心的间距为
对称轴：x
,0, , 2
四分之一个周期.
(
x k , k Z
o
-1
2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR) cos(-x)= cosx (xR)
y=sinx的图象
变式训练3
1、求下列函数的最大值、最小值和周期。
（1）y=sin(x＋π）
（2）y=sin(x－π）
解： （1）y=sin(x＋π)的最大值是1，最小值－1，
周期是2π（2）y=sin(x－ π)的最大值是1，
最小值是－1，周期是2π。
2、将函数y=sinx图象向左平移1个单位，再向右平 移
2、正弦型函数y=Asin(ωx+φ)应该具有哪些性质？
它的图象与函数y=sinx有什么关系？
Y
y=sinx y=sin(x+0.5π) 1
y=sin(x-0.5π)
-0.5π 0
0.5π π 1.5π 2π 2.5π X
-1
最大值 0.5
1 2
A
（点击可放大）
最小值 -0.5
-1 -2
值域 [-0.5，0.5] [-1，1] [-2，2]
-A
[-A，A]
周期 2π 2π 2π
2π
变式训练1
1、求下列函数的最大值、最小值和周期：
（1）y=8sinx
（2）y=0.75sinx
解：（1）y=8sinx的最大值是8，最小值是－8，周期T＝2π （2）y=0.75sinx的最大值是0.75，
最小值是－0.75，周期T=2π。
2、函数y=4sinx和y=sinx的图象有什么关系？
3、函数y=3sinx的值域是（B ）
（A）[-1，1] （B）[-3，3] （C）[-2，1] （D）[-1，2]
y=sin(ωx)的图象
例2、用“五点法”作出函数y=sin(0.5x) 的图
像。
0.5 x
0 0.5π π 1.5π 2π
正弦函数的性质 周期性、单调性、最值 陈昕然
1正弦函数的性质（2） 导学案 ——单调性及其最值班级________姓名______【学习目标】1. 以图象为依据，掌握正弦函数的单调性，会求简单最值问题。
2. 理解正弦函数的单调性及其最值，并学会用这些性质解决综合性问题。
【重点难点】重点：会利用正弦函数的图像求函数的单调性，最值； 难点：求正弦函数的最值；熟练应用正弦函数的性质解题。
【学习过程】问题1：观察正弦函数的图像，思考正弦函数sin y x =的单调性如何？sin y x =的单调递增区间是单调递减区间是cos y x =的单调递增区间是单调递减区间是问题2：观察正弦函数的图像，思考正弦函数sin y x =的最大值和最小值分别在何处取得？sin y x =的最大值是 ，当且仅当x = 时取得.最小值是 ，当且仅当x = 时取得.cos y x =的最大值是 ，当且仅当x = 时取得.最小值是 ，当且仅当x = 时取得.应用1、三角函数的单调性例1、求下列函数的单调区间：（1）12log sin y x = （2）1sin y x =-例2、（1）2sin()3y x π=-求的递增区间.（2）求sin(2)3y x π=-的递增区间.例3、 求函数cos 2x y =的单调区间.练习：1. 利用函数的单调性，比较下列各组数的大小:（1）sin()_____sin()1810ππ--（2）2317cos()_____cos()54ππ-- (3) sin194︒和cos160︒ (4) sin1sin1.2sin1.5、、 2. 求函数[]1sin().2,223y x x πππ=+∈-的单调区间。
应用2、求函数的最值例4、求下列函数的最值：（1）sin(3)14y x π=+- （2）2sin 4sin 1,y x x x R =++∈例5、求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么(1)cos 1,y x x R =+∈ (2) sin 2,y x x R =∈练习：1.1cos ,y x x R x =+∈的最大值是____此时的取值集合是_____________ 2.2sin3,y x x R x =-∈的最大值是____此时的取值集合是_____________ 3.sin(2),[0,]32y x x ππ=+∈求的最值.4.31sin 22y a b x a b =--若函数的最大值是，最小值是，求,.。
正弦函数余弦函数的性质(单调性)
正弦函数余弦函数的性质（单调性）正弦函数和余弦函数是高中数学中常见的函数，它们具有许多重要的性质。
单调性是其中之一。
本文将重点介绍正弦函数和余弦函数的单调性，希望能对读者加深对这两个函数的理解。
我们先来介绍一下正弦函数和余弦函数的定义。
正弦函数记作y=sin(x)，其中x表示自变量，y表示函数值。
余弦函数记作y=cos(x)，同样x表示自变量，y表示函数值。
这两个函数都是周期函数，其周期为2π。
下面我们分别来介绍它们的单调性。
正弦函数的单调性：正弦函数在每一个周期内都是先增后减或者先减后增的。
具体来说，当自变量x增大时（在0到π/2之间），y=sin(x)也逐渐增大，当自变量x继续增大（在π/2到π之间），y=sin(x)逐渐减小，当自变量x继续增大（在π到3π/2之间），y=sin(x)又逐渐增大，以此类推。
从图上来看，正弦函数的图像会呈现出一种周期性的波动，这体现了正弦函数的周期性。
我们可以得出结论，正弦函数在每一个周期内都是先增后减或者先减后增的。
正弦函数和余弦函数在各自的周期内的单调性是不同的。
正弦函数是先增后减或者先减后增的，而余弦函数是先减后增或者先增后减的。
这也是因为正弦函数和余弦函数的定义和性质不同所导致的。
通过对这两个函数的单调性进行分析，可以帮助我们更好地理解它们的规律和特点。
除了单调性以外，正弦函数和余弦函数还有许多其他重要的性质，比如周期性、奇偶性、图像特点等。
这些性质都是我们在学习和应用这两个函数时需要重点关注的内容。
希望通过本文的介绍，读者能够对正弦函数和余弦函数的单调性有更清晰的认识，并能够更好地应用这些知识解决实际问题。
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1
正弦函数的性质（2） 导学案 ——单调性及其最值
班级________姓名______
【学习目标】
1. 以图象为依据，掌握正弦函数的单调性，会求简单最值问题。
2. 理解正弦函数的单调性及其最值，并学会用这些性质解决综合性问题。
【重点难点】
重点：会利用正弦函数的图像求函数的单调性，最值； 难点：求正弦函数的最值；熟练应用正弦函数的性质解题。
【学习过程】
问题1：观察正弦函数的图像，思考正弦函数sin y x =的单调性如何？
sin y x =的单调递增区间是
单调递减区间是
cos y x =的单调递增区间是
单调递减区间是
问题2：观察正弦函数的图像，思考正弦函数sin y x =的最大值和最小值分别在何处取得？
sin y x =的最大值是 ，当且仅当x = 时取得.
最小值是 ，当且仅当x = 时取得.
cos y x =的最大值是 ，当且仅当x = 时取得.
最小值是 ，当且仅当x = 时取得.
应用1、三角函数的单调性
例1、求下列函数的单调区间：（1）1
2
log sin y x = （2）1sin y x =-
例2、（1）2sin()3y x π=-求的递增区间.（2）求sin(2)3
y x π
=-的递增区间.
例3、 求函数sin 2x y =的单调区间.
练习：1. 利用函数的单调性，比较下列各组数的大小:
（1）sin()_____sin()1810
π
π
-
-
（2）53sin(
)_____sin()1810
ππ
- (3) 1723sin()_____sin()54
ππ
(4) sin1sin1.2sin1.5、
、 2. 求函数[]1
sin().2,22
3
y x x π
ππ=+
∈-的单调区间。
应用2、求函数的最值
例4、求下列函数的最值：
（1）sin(3)14
y x π
=+- （2）2
sin 4sin 1,y x x x R =++∈
例5、求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么
(1) sin 1,y x x R =+∈ (2) sin 2,y x x R =∈
练习：
1.2sin3,y x x R x =-∈的最大值是____此时的取值集合是_____________
2.sin(2),[0,]32
y x x ππ
=+
∈求的最值. 3.31
sin 22
y a b x a b =--若函数的最大值是，最小值是，求,.。