【北师大版】九年级上册数学ppt课件 第一章 小结与复习

课堂小结
两组对 边平行
一个角是直角且一组邻边相等
课后作业
见《学练优》本章小结与复习
B
O C E
针对训练
3.如图,在□ABCD中,对角线AC与BD相交于点O ,
△ABO是等边三角形, AB=4,求□ABCD的面积.
解：∵四边形ABCD是平行四边形,
A
D O
∴OA= OC,OB = OD. 又∵△ABO是等边三角形, ∴OA= OB=AB= 4,∠BAC=60°. ∴AC= BD= 2OA = 2×4 = 8.
7.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是 BC延长线上一点，连接AG，点E、F分别在AG上，
连接BE、DF，∠1＝∠2，∠3＝∠4.
(1)证明：△ABE≌△DAF；
(2)若∠AGB＝30°，求EF的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD.
在△ABE和△DAF中， ∴△ABE≌△DAF.
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学练优九年级数学上（BS） 教学课件
第一章
特殊平行四边形
小结与复习
要点梳理
考点讲练
课堂小结Байду номын сангаас
课后作业
要点梳理
一、菱形、矩形、正方形的性质
项目 四边形
对边 平行 且四边相等 平行且相等 平行 且四边相等
角
对角线
对角相等 互相垂直且平分， 邻角互补 每一条对角线平分 一组对角 四个角 互相平分且 都是直角 相等
考点讲练
考点一 菱形的性质和判定
例1：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， ∠BAD=60°，BD =6，求菱形的边长AB和对角线AC的长. 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)
1 1 OB=OD= BD = ×6=3(菱形的对角线互相平分) 2 2
在等腰三角形ABC中， ∵∠BAD=60°， ∴△ABD是等边三角形. ∴AB = BD = 6. A
CF平分∠GCO，
∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF，
1 ∴∠ECF＝ 2
×180°＝90°.
(2)解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是 矩形．理由如下： ∵MN∥BC， ∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠GCF. 又∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO， ∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF， ∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC， ∴EO＝CO，FO＝CO， ∴OE＝OF. 又∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO， ∴四边形AECF是平行四边形. ∵∠ECF＝90°， ∴四边形AECF是矩形.
1 2
AC,OB = OD =
BD ,
(矩形对角线相互平分)
∴OA = OD.
∵∠AOD=120°,
1 ∴∠ODA=∠OAD= (180°- 120°)=30°. 2
又∵∠DAB=90° ,
（矩形的四个角都是直角）
∴BD = 2AB = 2 ×2.5 = 5.
A
O B
D
C
例3 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于 点O，过点A作AE∥BD，过点D作ED∥AC，两线相 交于点E． 求证：四边形AODE是菱形；
针对训练
5.如图，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和 DEF沿直线FC滑动，下列说法错误的是（ ） B A．四边形ACDF是平行四边形 B．当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形 C．当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形 D．四边形ACDF不可能是正方形 6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10， B 30 ． 则菱形ABCD的面积为______ O C A D
由题意可知 CE = CF 且 四边形 ABCD是平行四边形. ∴AD = AB . ∴四边形ABCD是菱形.
考点二 矩形的性质和判定 例2：如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O, ∠AOD=120°,AB=2.5 ,求矩形对角线的长.
A D O C
1 2
解：∵四边形ABCD是矩形. ∴AC = BD(矩形的对角线相等). B OA= OC=
证明：∵AE∥BD，ED∥AC， ∴四边形AODE是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，OA=OC= 1 AC， OB=OD= 1 BD， 2 2 ， ∴OA=OC=OD ∴四边形AODE是菱形.
【变式题】如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作 BE∥AC，CE∥BD，BE、CE交于点E，四边形CEBO是 矩形吗？说出你的理由. 解：四边形CEBO是矩形. A 理由如下：已知四边形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD. D ∴∠BOC=90°. ∵BE∥AC,CE∥BD， ∴四边形CEBO是平行四边形. ∴四边形CEBO是矩形.
∴AC⊥BD.
∴ □ABCD是菱形 (对角线垂直的平行四边形是菱形).
2.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，猜想重叠 部分的四边形ABCD是什么形状？说说你的理由. 解：四边形ABCD是菱形. 过点C作AB边的垂线交点E,作AD边 上的垂线交点F.
E B A F C D
S 四边形ABCD=AD ·CF =AB · CE .
B
C
∴□ABCD是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形）. ∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角） . 在Rt△ABC中,由勾股定理,得 AB2 + BC2 =AC2 , ∴BC=
A
O B
D
C
AC 2 AB2 82 42 4 3 .
∴S□ABCD=AB· BC=4× 4 3 = 16 3
4.如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作BE∥AC，CE∥BD， BE、CE交于点E，四边形CEBO是矩形吗？说出你的理由. 解：四边形CEBO是矩形. 理由如下：已知四边形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD. ∴∠BOC=90°. D
A
O C
B E
∵DE∥AC,CE∥BD，
∴四边形CEBO是平行四边形.
(3)在(2)的条件下，△ABC应该满足什么条件时， 四边形AECF为正方形． 解：当点O运动到AC的中点时， 且满足∠ACB为直角时，四边形AECF是正方形． ∵由(2)知当点O运动到AC的中点时，四边形AECF 是矩形， 已知MN∥BC， 当∠ACB＝90°， 则∠AOF＝∠COE＝∠COF＝∠AOE＝90°， 即AC⊥EF， ∴四边形AECF是正方形．
∴四边形CEBO是矩形（有一个角是直角的平行 四边形是矩形）.
考点三 正方形的性质和判定 例4 如图，已知在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC 的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE； (1)试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由； (2)当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方 形？请回答并证明你的结论．
四个角 都是直角
互相垂直平分且相 等，每一条对角线 平分一组对角
二、菱形、矩形、正方形的判定方法
四边形
条件
①定义：一组邻边相等的平行四边形 ②四条边都相等的四边形 ③对角线互相垂直的平行四边形 ①定义：有一外角是直角的平行四边形 ②三个角是直角的四边形 ③对角线相等的平行四边形 ①定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四 边形 ②有一组邻边相等的矩形 ③有一个角是直角的菱形
方法总结
正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再 判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱 形，再判定这个矩形有一个角为直角；③还可以先判 定四边形是平行四边形，再用①或②进行判定．
例5 如图，△ABC中，点O是AC上的一动点，过点O 作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交 ∠BCA的外角∠ACG的平分线于点F，连接AE、AF. (1)求证：∠ECF＝90°； (2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请 说明理由； (1)证明：∵CE平分∠BCO，
(2) 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠1＋∠4＝90°. ∵∠3＝∠4， ∴∠1＋∠3＝90°， ∴∠AFD＝90°. 在正方形ABCD中， AD∥BC， ∴∠1＝∠AGB＝30°. 在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，AD＝2， ∴AF＝ 3 ，DF＝1. 由(1)得△ABE≌△DAF， ∴AE＝DF＝1， ∴EF＝AF－AE＝ 3－1.
B O C D
针对训练
1. 已知：如右图,在□ABCD中,对角线AC与BD相交于
点O, AB= 5 ,OA=2,OB=1. 求证： □ABCD是菱形. 证明：在△AOB中. ∵AB= 5 , OA=2,OB=1. ∴AB2=AO2+OB2.
A
B O C D
∴ △AOB是直角三角形, ∠AOB是直角.
解：(1)四边形BECF是菱形． 理由如下：∵EF垂直平分BC， ∴BF＝FC，BE＝EC， ∴∠3＝∠1. ∵∠ACB＝90°， ∴∠3＋∠4＝90°，∠1＋∠2＝90°,∴∠2＝∠4，
∴EC＝AE，∴BE＝AE. ∵CF＝AE， ∴BE＝EC＝CF＝BF， ∴四边形BECF是菱形； (2)当∠A＝45°时，菱形BECF是正方形． 证明如下：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°， ∴∠CBA＝45°，∴∠EBF＝2∠CBA＝90°， ∴菱形BECF是正方形．