福建省厦门市2021-2022学年高二下学期3月月考数学试题
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福建省厦门市2021-2022学年高二下学期3月月考数学试题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.已知向量()1,2,1a =--,(),1,b x y =-.若//a b ,则( ) A .1x y += B .1x y -= C .0x y +=
D .1x y -=-
2.已知数列{}n a 的通项公式为()2*
29n a n n n N =-+∈.若数列{}n a 的前n 项和为n S ,
则n S 取得最大值时n 的值为( ) A .2 B .3
C .4
D .5
3.函数2ln ||
2
x y x =
+的图像大致为( ) A . B .
C .
D .
4.已知直线:1l y x =+,椭圆2
2:13
x C y +=.若直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,则线
段AB 的中点的坐标为( ) A .13,44⎛⎫- ⎪⎝⎭
B .31,44⎛⎫- ⎪⎝⎭
C .13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
D .31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭
5.若数列{}n a 为等差数列,数列{}n b 为等比数列,则下列不等式一定成立的是( )
A .1423b b b b +≤+
B .4132b b b b ≤--
C .3124a a a a ≥
D .3124a a a a ≤
6.已知()f x '是偶函数()()R f x x ∈的导函数,()11f =.若0x ≥时,
()()30f x xf x '+>,则使得不等式()()3
202220221x f x -->成立的x 的取值范围是
( ) A .()2021,+∞ B .(),2021-∞ C .()2023,+∞
D .(),2023-∞
7.将双曲线绕其对称中心旋转,会得到我们熟悉的函数图象,例如将双曲线
22
122
x y -=的图象绕原点逆时针旋转45︒后,能得到反比例函数1y x =的图象(其渐近
线分别为x 轴和y 轴);同样的,如图所示,常见的“对勾函数”()
0,0n
y mx m n x
=+>>
也能由双曲线的图象绕原点旋转得到(其渐近线分别为y mx =和y 轴).设m =,
n =“对勾函数”所对应的双曲线的实轴长为( )
A .
B .4
C .
D .8.设2ln1.01a =,ln1.02b =,0.02c =,则( ) A .a b c << B .b c a <<
C .b a c <<
D .c a b <<
二、多选题 9.已知数列{}n a 的通项公式为32n n
n k
a +=,若数列{}n a 为递减数列,则实数k 的值可能为( ) A .1-
B .0
C .1
D .2
10.函数1
()cos (0)2
f x x x x =
+>的所有极值点从小到大排列成数列{}n a ,设n S 是{}n a 的前n 项和,则下列结论中正确的是( ) A .数列{}n a 为等差数列 B .4176
a π
=
C .20211sin 2
S =
D .()37tan a a +=
11.已知抛物线C :24y x =的焦点为F ,过F 的直线l 交抛物线于11(,)A x y ,22(,)B x y 两点,且A ,B 在其准线上的射影分别为1A ,1B ,则下列结论正确的是
( )
A .若直线l x ⊥轴,则2A
B = B .1212
x x ⋅=
C .124y y ⋅=-
D .112
A F
B π
∠=
12.若函数()()()e x
f x x a a R =-∈,则( )
A .函数()y f x =在()0,∞+单调递增,则1a <
B .函数()()g x xf x =有三个单调区
间
C .方程()0f x x +=有且仅有一个根
D .函数()()y f f x =有且仅有一个零点
三、填空题 13.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中,后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上面一层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个
球…….设各层球数构成一个数列{}n a ,其中11a =,23a =,36a =,则5a =______.
14.已知点1F 为双曲线2
2:14
x C y -=的左焦点,过原点的直线l 与双曲线C 相交于
P ,Q 两点.若13PF =,则1QF =______.
15.如图所示,在A ,B 间有四个焊接点1,2,3,4,若焊接点脱落导致断路.则电路不通,则因为焊接点脱落而导致电路不通情况有___________种.
16.若函数()()21
3ln 32x ke x f x x x k R x x
=--+-∈恰有两个极值点,则k 的取值范围是
______.
四、解答题 17.已知数列{}n a ,12n n T a a a =⋅⋅⋅,且22T =,38T =. (1)若{}n T 为等比数列,求n a ; (2)若{}n a 为等比数列,求n T .
18.如图所示,四边形ABCD 为矩形,2EA EB BC ===,EA EB ⊥,平面ABCD ⊥平面ABE ,点F 为CE 中点.
(1)证明:BF AC ⊥;
(2)求DF 与平面BDE 所成角的正弦值.
19.已知函数()()2
1e x f x x ax =--.
(1)当0a =时,是否存在k ,使得直线y kx =与函数()f x 的图象相切,如果存在求k 的值,否则说明理由; (2)讨论()f x 的单调性
.
20.椭圆()22
22:10x y C a b a b +=>>经过点P ⎛ ⎝⎭
,且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形. (1)求椭圆C 的方程;
(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交C 于A ,B 两点,且2AF FB =,求AB . 21.已知函数()1
ln f x x a x x
=-
-,其中a R ∈. (1)讨论函数()f x 在()0,∞+上的单调性;
(2)证明:(
)2
2132
ln 21n
i n n i i n n =--⎛⎫>
⎪+⎝⎭
∑.