福建省厦门市2021-2022学年高二下学期3月月考数学试题
2021-2022学年福建省厦门市高二上学期期末质量检测数学试题(解析版)
2021-2022学年福建省厦门市高二上学期期末质量检测数学试题一、单选题1．直线12l l ⊥，若1l 的倾斜角为60°，则2l 的斜率为（ ）AB ．CD ．【答案】D【分析】直线12l l ⊥,斜率乘积为1-， 斜线斜率等于倾斜角的正切值.【详解】1tan60k =︒=121k k ，所以2k =.故选：D.2．等差数列{}n a 中，466a a +=，84a =，则2a =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】根据给定条件利用等差数列性质直接计算作答.【详解】在等差数列{}n a 中，因466a a +=，84a =，而2846a a a a +=+，于是得246a +=，解得22a =， 所以22a =. 故选：B3．已知{},,a b c 是空间的一个基底，AB a b =+，AC a c =+，AD b c λ=+，若,,,A B C D 四点共面．则实数λ的值为（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【答案】A【分析】由共面定理列式得AB x AC y AD =+，再根据对应系数相等计算.【详解】因为,,,A B C D 四点共面，设存在有序数对(),x y 使得AB x AC y AD =+，则()()a b x a c y b c λ+=+++，即()a b xa yb x y c λ+=+++，所以得1,1x y λ===-.故选：A4．抛物线有一条重要的性质：平行于抛物线的轴的光线，经过抛物线上的一点反射后经过它的焦点．反之，从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线28y x =，从点()14,A y 发出一条平行于x 轴的光线，经过抛物线两次反射后，穿过点()24,B y ，则光线从A 出发到达B 所走过的路程为（ ） A ．8 B ．10C ．12D ．14【答案】C【分析】利用抛物线的定义求解. 【详解】如图所示：焦点为()2,0F ，设光线第一次交抛物线于点A '，第二次交抛物线于点B '，A B ''过焦点F ，准线方程为：2x =-，作AA ''垂直于准线于点A ''，作BB ''垂直于准线于点B ''， 则AA A B B B ''''++，AA A F B F B B ''''=+++，AA A A B B B B ''''''''=+++， 6612AA BB ''''=+=+=，故选：C5．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞．如图，某园林中的圆弧形挪动高为2.5m ，底面宽为1m ，则该门洞的半径为（ ）A ．1.2mB ．1.3 mC ．1.4 mD ．1.5 m【答案】B【分析】设半径为R ，根据垂径定理可以列方程求解即可.【详解】设半径为R ，()22212.52R R ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,解得251544R +=,化简得 1.3R =.故选：B.6．直线l 的方向向量为()1,0,1m =-，且l 过点()1,1,1A ，则点()1,1,1P --到l 的距离为( )AB CD ．【答案】C【分析】利用向量投影和勾股定理即可计算. 【详解】∵()1,1,1A ，()1,1,1P -- ∴()0,2,2AP =-- 又()1,0,1m =-，∴AP 在m 方向上的投影2cos 2AP m AP AP m m ⋅⋅⋅===∴P 到l 距离2||(2)d AP =-故选：C.7．在四面体OABC 中，OA OB OC ==，60AOB AOC ∠==︒，90BOC ∠=°，则OB 与AC 所成角的大小为（ ） A ．30° B ．60°C ．120°D ．150°【答案】B【分析】以{,,}OA OB OC 为空间的一个基底，求出空间向量求,OB AC 的夹角即可判断作答.【详解】在四面体OABC 中，,,OA OB OC 不共面，则AC OC OA =-，令1OA OB OC ===，依题意，1()cos90cos602AC OB OC OA OB OC OB OA OB ⋅=-⋅=⋅-⋅=-=-，设OB 与AC 所成角的大小为θ，则||1cos |cos ,|2||||AC OB AC OB AC OB θ⋅=〈〉==，而090θ<≤，解得60θ=，所以OB 与AC 所成角的大小为60. 故选：B8．椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，E 上存在两点A 、B 满足122F A F B =，243AF a =，则E 的离心率为（ ）A ．53B ．23C ．32D ．12【答案】A【分析】作点B 关于原点的对称点C ，连接1BF 、1CF 、2CF 、BC ，推导出A 、1F 、C 三点共线，利用椭圆的定义可求得1AF 、2AF 、AC 、2CF ，推导出290CAF ∠=，利用勾股定理可得出关于a 、c 的齐次等式，即可求得该椭圆的离心率. 【详解】作点B 关于原点的对称点C ，连接1BF 、1CF 、2CF 、BC ，则O 为BC 、12F F 的中点，故四边形12BF CF 为平行四边形，故12//CF BF 且12CF BF =，则12CF F B =，所以，112F A CF =，故A 、1F 、C 三点共线， 由椭圆定义，122AF AF a +=，有123AF a =，所以13aCF =，则AC a =，再由椭圆定义122CF CF a +=，有253aCF =， 因为22222CF AC AF =+，所以290CAF ∠=，在12AF F △中，2221212F F AF AF =+即222049c a =，所以，离心率5e =． 故选：A. 二、多选题9．圆()2221:0C x y r r +=>与圆222:430C x y x +-+=只有1个公共点，则r 的值可以是（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】BD【分析】根据圆与圆的位置关系，列出r 的等量关系式，求解即可.【详解】对圆1C ，其圆心为()0,0，半径为r ；对圆2C ，其圆心为()2,0，半径为1，则122C C =，因为圆()2221:0C x y r r +=>与圆222:430C x y x +-+=只有1个公共点，故圆12,C C 外切或内切，则21r =+或21r =-，故可得1r =或3r =. 故选：BD .10．曲线2:14x C y y +=，则（ ）A ．C 上的点(),x y 满足x ∈R ，1y ≤B ．C 关于x 轴、y 轴对称 C ．C 与x 轴、y 轴共有3个公共点D ．C 与直线2xy =只有1个公共点 【答案】ACD【分析】去掉绝对值即可根据双曲线和椭圆的性质判断. 【详解】220,:14x y C y +=表示椭圆在x 轴上方的部分，220,:14x y C y <-=表示双曲线在x 轴下方的部分，作出图象：双曲线的一条渐近线为2x y =， 故选项ACD 正确，选项B 错误. 故选：ACD.11．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB ⊥，1CA CB CC ==，D ，E ，M 分别为11B C ，1CC ，1AB 的中点，点N 是棱AC 上一动点，则( )A ．1MN BC ⊥B ．存在点N ，MN ⊥平面1BC N C ．MN ∥平面1A DED ．存在点N ，MN DE ∥【答案】AD【分析】A ：连接11,BC B C ，证明1BC ⊥平面1AB C 即可； B ：建立空间直角坐标系，判断MN 与BN 是否可能垂直即可； CD ：当N 是AC 中点时，MN ∥DE . 【详解】A 选项：连接11,BC B C ，由题可知四边形11BCC B 是正方形，则11BC B C ⊥， 由题知平面11BCC B ⊥平面ABC ，平面11BCC B 平面ABC BC =，AC BC ⊥，AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥平面11BCC B ，又111BC BCC B ⊂，∴1AC BC ⊥， 又1B C AC C ⋂=，1,B C AC ⊂平面1AB C ，∴1BC ⊥平面1AB C ， ∵MN ⊂平面1AB C ，∴1BC MN ⊥. 故A 正确；如图建立空间直角坐标系，设AC ＝BC ＝1CC ＝2，则()0,0,0C ，()2,0,0B ，()0,2,0A ，()12,0,2B ，()1,1,1M ，设()0,,0N t ，02t <<，则()2,,0BN t =-，()1,1,1NM t =-，若BN ⊥MN ，则()0210BN NM t t ⋅=⇒-+-=，即220t t -+=，方程无实数根，即BN 与MN 不垂直，则不存在点N ，使得MN ⊥平面1BC N ，B 错误； C 选项：当N 是AC 中点时，MN ∥1B C ，1B C ∥DE ，∴MN ∥平面1A DE ；当N 不是AC 中点时，MN 和B 1C 相交，若MN ∥平面1A DE ，结合1B C ∥平面1A DE 可知平面1AB C ∥平面1A DE ，这显然与图形不符(1A E 与AC 相交)，故此时MN 与平面1A DE 不平行；故C 错误；由C 项可知，N 为AC 中点满足题意，故D 正确.故选：AD.12．设函数()21,0,1,0x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩数列{}n a 满足()1n n a f a +=，则（ ）A ．当112a =时，1n a < B ．若{}n a 为递增数列，则11a > C ．若{}n a 为等差数列，则10a ≤ D ．当12a =时，12311111na a a a ++++< 【答案】AD【分析】分(],0n a ∈-∞，()0,1n a ∈，()1,n a ∈+∞，1n a =四种情况讨论，在逐一分析判断各个选项即可得出答案.【详解】解：①(],0n a ∈-∞时，()110n n n a f a a +==-≤，②()0,1n a ∈时，()()()211110,1n n n n n n a f a a a a a +==-+=-+∈，③()1,n a ∈+∞时，()()211111n n n n n n a f a a a a a +==-+=-+>，④1n a =时，()2111n n n n a f a a a +==-+=，因此，11211,0,1,0n n nn a a a a a a +-≤⎧=⎨-+>⎩，有10a ≤时，11n n a a +-=-，10a >时，()211n n n a a a +-=-，对于选项A ，()110,12a =∈，1n a <，故A 正确；对于选项B ，{}n a 为递增数列时，则10n n a a +->，当0n a ≤时，110n n a a +=-≤，则110n n a a +-=-<，不符题意，当0n a >时，211n n n a a a +=-+，则()2212110n n nn n a a a a a +-=-+=->， 所以10a >且11a ≠，综上10a >且11a ≠，故B 错误；对于选项C ，{}n a 为等差数列时，则1n n a a d +-=，（d 为常数）， 当0n a ≤时，11n n a a +=-，则11n n a a +-=-，符合题意，当0n a >时，211n n n a a a +=-+，则()221211n n nn n a a a a a +-=-+=-， 要使()21n a -为常数，则10n a -=，所以11a =，综上10a ≤或11a =（其中，11a =时，{}n a 为常数列），故C 错误；对于选项D ，12a =，211n n n a a a +-=-，有()11111111n n n n na a a a a +==----，所以111111n n n a a a +=---， 则1212231111111111111111+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n a a a a a a a a a 111111n a a +=---， 因为121a =>，所以11n a +>，即1101n a +>-，所以121111111n a a a a ++⋅⋅⋅+<=-，故D 正确. 故选：AD ． 三、填空题13．写出直线210x y ++=的一个方向向量m =______． 【答案】()1,2-【分析】本题可先将直线的一般式化为斜截式，然后根据斜率即可得到直线的一个方向向量.【详解】由题意可知，直线210x y ++=可以化为21y x =--， 所以直线的斜率为2-，直线的一个方向向量可以写为()1,2-. 故答案为：()1,2-.14．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点(),0F c 到C 的渐近线的距离为32c ，则C 渐近线方程为______． 【答案】3y x =±【分析】根据给定条件求出双曲线的渐近线，再用点到直线的距离公式计算作答 【详解】双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线为：b y x a =±，即0bx ay ±=，依题意，2232bc c a b =+，即2232b a b=+，解得3b a =， 所以C 渐近线方程为3y x =±. 故答案为：3y x =±15．如图的一系列正方形图案称为谢尔宾斯基地毯，图案的做法是：把一个正方形分成9个全等的小正方形，对中间的一个小正方形进行着色得到第1个图案（图1）；在第1个图案中对没有着色的小正方形再重复以上做法得到第2个图案（图2）；以此类推，每进行一次操作，就得到一个新的正方形图案，设原正方形的边长为1，记第n 个图案中所有着色的正方形的面积之和为n a ，则数列{}n a 的通项公式n a =______．【答案】()819n-【分析】根据题意，归纳总结，结合等比数列的前n 项和公式，即可求得{}n a 的通项公式.【详解】结合已知条件，归纳总结如下： 第一个图案中，着色正方形的面积即119a =； 第二个图案中，新着色的正方形面积是189a ，故着色正方形的面积即2118999a =+⨯；第三个图案中，新着色的正方形面积是289a ，故着色正方形的面积即231181899999a ⎛⎫=+⨯+⨯ ⎪⎝⎭；第n 个图案中，新着色的正方形面积是189n a -，故着色正方形的面积即2111818189999999n n a -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故18199819nna ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-()819n -.故答案为：()819n-.四、双空题16．圆()()22:224C x y -+-=与x 轴相切于点A ．点B 在圆C 上运动，则AB 的中点M 的轨迹方程为______（当点B 运动到与A 重合时，规定点M 与点A 重合）；点N 是直线0x y +=上一点，则MN AN +的最小值为______．【答案】 ()()22211x y -+-= 131-【分析】将点M 的轨迹转化为以AC 为直径的圆，再确定圆心及半径即可求解，将MN AN +的最小值转化为点到圆心的距离再减去半径可求解.【详解】依题意得()2,0A ，()2,2C ，因为M 为AB 中点，所以CM AM ⊥， 所以点M 的轨迹是以AC 为直径的圆，又AC 中点为()2,1，2AC =， 所以点M 的轨迹方程为()()22211x y -+-=，圆心()2,1D ，设()2,0A 关于直线0x y +=的对称点为(),A m n '， 则有0122022n m m n -⎧=⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩，解得02m n =⎧⎨=-⎩，所以()0,2A '-，所以由对称性可知MN AN +的最小值为()()22102211131A D '-=-+--=-．故答案为：()()22211x y -+-=，131- 五、解答题17．数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n S n =．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)令11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】(1)21n a n =-； (2)21n nT n =+. 【分析】(1)根据给定条件结合“当2n ≥时，1n n n a S S -=-”计算作答. (2)由(1)求出n b ，利用裂项相消法计算得解.【详解】(1)数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n S n =，当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，111a S ==，满足上式，则21n a n =-， 所以数列{}n a 的通项公式是21n a n =-． (2)由(1)知，()()111111()212122121n n n b a a n n n n +===-⋅-+-+，所以1211111111[(1)()()()]2335572121n n T b b b n n =+++=-+-+-++--+11(1)22121n n n =-=++， 所以数列{}n b 的前n 项和21n nT n =+． 18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()2,0A ，120OAB ABC ∠=∠=︒，2AB =．(1)求直线BC 的方程；(2)记OAB 的外接圆为圆M ，若直线OC 被圆M 截得的弦长为4，求点C 的坐标．【答案】(1)3430x y +-=； (2)(2,23).【分析】(1)延长CB 交x 轴于点N ，根据给定条件求出ANB ∠即可计算作答. (2)利用待定系数法求出圆M 的方程，再由给定弦长确定C 点位置，推理计算得解. 【详解】(1)延长CB 交x 轴于点N ，如图，因120OAB ∠=︒，则60NAB ∠=︒，又2AB OA ==，则有(3B ，又120ABC ∠=︒，于是得60ANB ∠=︒，则直线BC 的倾斜角为120°，直线BC 的斜率3BC k =-，因此，)333y x --，即330x y +-=所以直线BC 330x y +-=.(2)依题意，设圆M 的方程为22220D E 4F 0x y Dx Ey F ++++=+->，，由(1)得：042093330F D F D E F ⎧=⎪++=⎨⎪+++=⎩，解得2230D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，于是得圆M 的方程为222230x y x y +--=，即()(22134x y -+=，圆心(3M ，半径2r =，因直线OC 被圆M 所截的弦长为4，则直线OC 过圆心(3M ，其方程为3y x =， 由34303x y y x ⎧+-⎪⎨=⎪⎩解得223x y =⎧⎪⎨=⎪⎩(2,23)C ，所以点C 的坐标是(2,23).19．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为AC 的中点，点P 在棱1BB 上．(1)若112BP PB =，证明：1D O 与平面PAC 不垂直； (2)若1D O ⊥平面PAC ，求平面1PCD 与平面PAC 的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)66【分析】（1）设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，计算出10DO AP ⋅≠，即可证得结论成立；（2）利用空间向量法可求得平面1PCD 与平面PAC 的夹角的余弦值.【详解】(1)证明：以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()0,0,0A 、()1,1,0O 、()2,2,0C 、()10,2,2D ， 由112BP PB =得P 点的坐标为22,0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，()11,1,2DO =--，22,0,3AP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为1203D O AP ⋅=≠， 所以1D O 与AP 不垂直，所以1D O 与平面PAC 不垂直．(2)解：设()()2,0,02P a a ≤≤，则()2,0,AP a =，()2,2,0AC =，因为1D O ⊥平面PAC ，所以1D O AP ⊥，所以1220DO AP a ⋅=-=，得1a =， 且1220DO AC ⋅=-=，即1D O AC ⊥， 所以()0,2,1CP =-，()12,0,2CD =-，设平面1PCD 的法向量为(),,m x y z =，由122020m CD x z m CP y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩，取1y =，可得()2,1,2m =，因为1D O ⊥平面PAC ，所以平面PAC 的一个法向量为()11,1,2DO =--，所以111cos ,6m D O m D O m DO⋅<>==-⋅ 所以平面1PCD 与平面PAC 20．在平面直角坐标系xOy 中，点()4,0M ，直线l x ⊥轴，垂足为H ，HN NM =，圆N 过点O ，与l 的公共点的轨迹为Γ． (1)求Γ的方程；(2)过M 的直线与Γ交于A ，B两点，若2MA MB =，求AB ． 【答案】(1)24y x =； (2)【分析】(1)设出圆N 与l 的公共点坐标，再探求出点N 的坐标，并由圆的性质列出方程化简即得.(2)设出直线AB 的方程，与Γ的方程联立，结合已知条件并借助韦达定理计算作答. 【详解】(1)设(),P x y 为圆N 与l 的公共点，而直线l x ⊥轴，垂足为H ，则(),0H x ， 又()4,0M ，HN NM =，于是得4,02x N +⎛⎫⎪⎝⎭，因O ，P 在圆N 上，即NO NP =， 则有42x +=，化简整理得：24y x =，所以Γ的方程为24y x =.(2)显然直线AB 不垂直于y 轴，设直线AB 的方程为4x my =+，()11,A x y ，()22,B x y由244x my y x=+⎧⎨=⎩消去x 并整理得：24160y my --=，则124y y m +=，1216y y =-．因为2MA MB =，则点A 到x 轴距离是点B 到x 轴距离的2倍，即122y y =-， 由1212216y y y y =-⎧⎨=-⎩解得12y y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩12y y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩124y y m +==因此有12AB y =-=所以AB =21．2017年复门金砖会晤期间产生碳排放3095吨．2018年起厦门市政府在下潭尾湿地生态公园通过种植红树林的方式中和会晤期间产生的碳排放，拟用20年时间将碳排放全部吸收，实现“零碳排放”目标，向世界传递低碳，环保办会的积极信号，践行金砖国家倡导的可持续发展精神．据研究估算，红树林的年碳吸收量随着林龄每年递增2%，2018年公园已有的红树林年碳吸收量为130吨，如果从2019年起每年新种植红树林若干亩，新种植的红树林当年的年碳吸收量为m （0m >）吨．2018年起，红树林的年碳吸收量依次记1a ，2a ，3a ，… (1)①写出一个递推公式，表示1n a +与n a 之间的关系； ②证明：{}50n a m +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)为了提前5年实现厦门会蹈“零碳排放”的目标，m 的最小值为多少？ 参考数据：141.02 1.32≈，151.02 1.35≈，161.02 1.37≈【答案】(1)①1 1.02n n a a m +=+；②证明见解析，()113050 1.0250n n a m m -=+⨯-(2)最少为6.56吨【分析】（1）①根据题意直接写出一个递推公式即可； ②要证明{}50n a m +是等比数列，只要证明15050n n a ma m+++为一个常数即可，求出等比数列{}50n a m +的通项公式，即可求出{}n a 的通项公式；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，根据题意求出15S ，利用分组求和法求出数列{}n a 的前n 项和，再令153095S >，解之即可得出答案.【详解】(1)解：①依题意得()()12132130,12%,12%a a a m a a m ==++=++, 则1 1.02n n a a m +=+，②因为1 1.02n n a a m +=+，所以150 1.0251n n a m a m ++=+， 所以()150 1.0250n n a m a m ++=+，因为150130500a m m +=+≠所以数列{}50n a m +是等比数列，首项是13050m +，公比是1.02， 所以()15013050 1.02n n a m m -+=+⨯，所以()113050 1.0250n n a m m -=+⨯-；(2)解：记n S 为数列{}n a 的前n 项和， 151215S a a a =+++()()()14130505013050 1.025013050 1.0250m m m m m m ⎡⎤=+-++⨯-+++⨯-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()141305013050 1.0213050 1.021550m m m m =+++⨯+++⨯-⨯()()15130501 1.027501 1.02m m +-=--()()130501 1.357501 1.02m m +-≈--2275125m =+，依题22751253095m +≥，所以 6.56m ≥， 所以m 最少为6.56吨．22．已知椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>，焦点()1,0F ，A ，B 是Γ上关于原点对称的两点，ABF 的周长的最小值为4+(1)求Γ的方程；(2)直线F A 与Γ交于点M （异于点A ），直线FB 与Γ交于点N （异于点B ），证明：直线MN 过定点．【答案】(1)22143x y += (2)证明见解析【分析】（1）设椭圆Γ的左焦点为F '，根据椭圆的对称性可得BF AF '=，则三角形ABF 的周长为22a AO +，再设(),A x y 根据二次函数的性质得到AO b ≥，即可求出ABF 的周长的最小值为22a b +，从而得到224a b +=+221a b -=，即可求出a 、b ，从而求出椭圆方程；（2）设直线MN 的方程x my n =+，0m ≠，()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，再设直线FA 的方程11x m y =+、()33,A x y ，直线FB 的方程21x m y =+、()33,B x y --，联立直线方程，消元列出韦达定理，即可表示3y ，即可得到()221122123340m y m y y y +++=，整理得()()()()2212121234121310y y my y m b n y y ++++-+-=，再代入122634mn y y m +=-+，212231234n y y m -=+，即可得到()580m n -=，从而求出n ，即可得解； 【详解】(1)设椭圆Γ的左焦点为F '，则由对称性，BF AF '=， 所以ABF 的周长为22AF BF AB AF AF AB a AO '++=++=+ 设(),A x y，则AO b ==， 当A ，B 是椭圆Γ的上下顶点时，ABF 的周长取得最小22a b +，所以224a b +=+2+=a b ()1,0F ，所以221a b -=， 所以()()1a b a b -+=，所以2a b -=解得2a =，b =Γ的方程为22143x y +=. (2)解：当A ，B 为椭圆左右顶点时，直线MN 与x 轴重合； 当A ，B 为椭圆上下顶点时，可得直线MN 的方程为85x =；设直线MN 的方程x my n =+，0m ≠，()11,M x y ，()22,N x y ，由22143x my nx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2223463120m y mny n +++-=，0∆>，122634mn y y m +=-+，212231234n y y m -=+，设直线FA 的方程11x m y =+，其中1111x m y -=，()11,M x y ，()33,A x y ， 由1221143x m y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()221134690m y m y ++-=，0∆>，1321934y y m -=+，()3211934y m y -=+， 设直线FB 的方程21x m y =+，其中2221x m y -=，()22,N x y ，()33,B x y --由2221143x m y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222234690m y m y ++-=，0∆>，2322934y y m --=+，()3222934y m y -=-+所以()()221122993434m y m y --=+-+，所以()()22112234340m y m y +++=， 所以()221122123340m y m y y y +++=，2222121122121211x x m y m y y y y y ⎛⎫⎛⎫--+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()()2221221212121211411my n my n y y m y y m n n y y y y +-+-+=+=++-+- 则()()()()221212121231213140y y my y m n n y y y y +++-+-++=，即 ()()()()2212121234121310y y my y m b n y y ++++-+-=，代入122634mn y y m +=-+，212231234n y y m -=+， 得()()()2222663412131034312mn mn m m n n m n --++-+-=+-， 整理得()580m n -=，又0m ≠所以85n =，直线MN 的方程为85x my =+，综上直线MN 过定点8,05⎛⎫⎪⎝⎭。
福建省厦门市厦门大学附属科技中学2023-2024学年高二思明班下学期期中考试数学试卷(原卷版)
厦门大学附属科技中学2023-2024学年（下）期中考试思明高二（数学试卷）考试时间120分钟 满分150分注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的.1. 如果质点运动的位移（单位：m ）与时间（单位：s ）之间的函数关系是，那么该质点在时的瞬时速度为（ ）A. B.C. D.2. 的展开式中的常数项为（ ）．A. －120B. 120C. －60D. 603. 已知随机变量的分布列如下：236则的值为（ ）A. 20B. 18C. 8D. 64. 本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有种A. B. C. D.5. 现从3名男同学和2名女同学中选取两人加入“数学兴趣小组”，则在已知抽到两名同学性别相同的条件下，抽到两名女同学的概率为（ ）A.B.C.D.A S t ()2S t t =-3s t =23-2329-2962x ⎛- ⎝X XP1213a()32D X +624364860141325126. 已知定义在上函数满足，其中是函数的导函数.若，则实数的取值范围为A. B. C. D. 7. 当时，将三项式展开，可得到如图所示的三项展开式和“广义杨辉三角形”：...若在的展开式中，的系数为75，则实数的值为（ ）A 1B. C. 2 D. 8. 关于不等式只有唯一实数解，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题意.全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9 已知，则（ ）A. B. 此二项展开式系数最大的项为第4项C. 此二项展开式的二项式系数和为64D. 10. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里的一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹的.的.()0,∞+()f x ()()0xf x f x '-<()f x '()f x ()()()2202020202f m m f ->-m ()0,2020()2020,+∞()2022,+∞()2020,2022N n ∈2(1)n x x ++20(1)1x x ++=212(1)1x x x x ++=++22432(1)2321x x x x x x ++=++++2365432(1)367631x x x x x x x x ++=++++++248765432(1)4101619161041x x x x x x x x x x ++=++++++++25(1)(1)ax x x +++8x a 1-2-x ()e ln xax x x ≤-a {}e [)e,+∞{}1(]0,1()626012612x a a x a x a x -=++++ 3160a =1234560a a a a a a +++++=*布劳威尔.简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（ ）A. 函数只有一个不动点B. 若定义在R 上的奇函数，图象上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数C. 函数只有一个不动点D. 若函数在上存在两个不动点，则实数a 满足11. 现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法正确的是（ ）A. 在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率是B. 第二次取到1号球的概率C. 如果第二次取到1号球，则它来自1号口袋的概率最大D. 如果将5个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有150种三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知随机变量，且，则__________．13. 有10名演员，其中8人会唱歌，5人会跳舞，现要表演一个2人唱歌2人伴舞节目，则不同的选派方法共有______种.14. 已知函数，，若直线与函数，的图象均相切，则的值为________；若总存在直线与函数，图象均相切，则的取值范围是________四、解答题：本大题共6小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15. 已知等差数列的前n 项和为，，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）当数列的公差不为0时，记数列的前n 项和为，求证：.的()f x 0x ()00f xx =0x ()cos f x x =()f x ()ln 2f x x =+()f x =()0,∞+01a <<121930()2~2,X N σ()30.3P X >=(12)P X <<=()2ln f x x =()()2102g x ax x a =-->2y x b =-()y f x =()y g x =a ()y f x =()y g x =a {}n a n S 11a =2a 5a 14a {}n a {}n a n T 12nT <16. 如图，多面体中，四边形为菱形，，，，．（1）求证：平面平面；（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值．17. 已知椭圆，点在上.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知动直线过曲线的左焦点，且与椭圆分别交于，两点，试问轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由.18. 基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．强基计划的校考由试点高校自主命题，某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节．2022年报考该试点高校的学生的笔试成绩X 近似服从正态分布．其中，近似为样本平均数，近似为样本方差．已知的近似值为76.5，s 的近似值为5.5，以样本估计总体．（1）假设有84.135%的学生的笔试成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少？（2）若笔试成绩高于76.5进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，设其中进入面试学生数为，求随机变量的期望．（3）现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为、、、．设这4名学生中通过面试的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．参考数据：若，则：；；．19. 已知函数 （1）讨论 的单调性.ABCDEF ABCD π3BAD ∠=22BD DE BF ===DE AC ⊥//BF DE ACF ⊥BDEF BF CD ⊥AE ACF ()2222:10x y C a b a b +=>>()0,3C C l C F C P Q x R RP RQ ⋅()2,N μσμ2σ2s μξξ13131212()2~,X N μσ()0.6827P X μσμσ-<≤+≈()220.9545P X μσμσ-<≤+≈()330.9973P X μσμσ-<≤+≈()1e1.x f x a x -=--()f x（2）证明:当时, （3）证明:1a ≥()22ln .1a f x x x a -+-≥+()11eln 1.nii n n =>++∑。
福建省厦门市双十中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题
2022-2023学年福建省厦门市思明区双十中学高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 5212x x æö-ç÷èø的展开式中，4x 的系数是（ ）A. 40 B. 40- C. 80D. 80-【答案】C 【解析】【分析】求出通项公式，利用4x 求出k ，从而得到系数.【详解】212x x æö-ç÷èø展开式的通项为()()5251031551C 2C 21kk k k kk k k T x x x ---+=´´øæö-=-ç÷è，令103k -4=，得2k =．所以4x 的系数是()2235C 2180´´-=．故选：C .2. 函数2ln ||2x y x =+的图像大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由函数为偶函数可排除AC ，再由当()0,1Îx 时，()0f x <，排除D ，即可得解.【详解】设()2ln ||2x y f x x ==+，则函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，又()()()2ln ||2x f x f x x --==-+，所以函数()f x 为偶函数，排除AC ；当()0,1Îx 时，2ln 0,20x x + ，所以()0f x <，排除D.故选：B.3. “碳中和”是指企业、团体或个人等测算在一定时间内直接或间接产生的温室气体排放总量，通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某“碳中和”研究中心计划派5名专家分别到A ，B ，C 三地指导“碳中和”工作，每位专家只去一个地方，且每地至少派驻1名专家，则分派方法的种数为（ ）A. 90 B. 150 C. 180 D. 300【答案】B 【解析】【分析】根据题意，运用分类讨论思想，结合排列和组合的性质进行求解即可.【详解】根据题意有两种方式：第一种方式，有一个地方去3个专家，剩下的2个专家各去一个地方，共有11335433225413216021C C C A A ××´´×=´´´=´种方法，第二种方式，有一个地方去1个专家，另二个地方各去2个专家，共有1223542322435123219021C C C A A´´´×××=´´´=´，所以分派方法的种数为6090150+=，故选：B4. 若函数()ln mf x x x=-在[]1,3上为增函数，则m 的取值范围为（ ）A. (],1-¥- B. [)3,-+¥ C. [)1,-+¥ D. (],3-¥-【答案】C 【解析】【分析】求出函数的导数，问题转化为0x m +³在[]1,3恒成立，参变分离求出m 的范围即可.【详解】已知函数()ln mf x x x=-在[]1,3上为增函数，则()2210m x m f x x x x ¢+=+=³在[]1,3恒成立，即0x m +³在[]1,3恒成立，则()max m x ³-，解得1m ³-.故选：C.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查一次函数的性质，属于基础题．5. 某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是（ ）A.15B.25C.37D.35【答案】D 【解析】【分析】先求出男生甲被选中的概率，再求出男生乙和女生丙至少一个被选中的概率,根据条件概率的计算公式可求答案.【详解】男生甲被选中记作事件A ，男生乙和女生丙至少一个被选中记作事件B ，则：()26337715C P A C C ==，()11443377C C 19C C P AB ++==，由条件概率公式可得：()()()3|5P AB P B A P A ==，故选：D.6. 阅读下段文字：“为无理数，若为有理数，则存在无理数a b ==ba 为有理数；若则取无理数a =，b =，此时(22ba ====为有理数．”依据这段文字可以证明的结论是（ ）A. 是有理数B. C. 存在无理数a ，b ，使得b a 为有理数 D. 对任意无理数a ，b ，都有b a 为无理数【答案】C 【解析】【分析】根据给定的条件，提取文字信息即可判断作答.【详解】这段文字中，没有证明AB 错误；这段文字的两句话中，都说明了结论“存在无理数a ，b ，使得b a 为有理数”，因此这段文字可以证明此结论，C 正确；这段文字中只提及存在无理数a ，b ，不涉及对任意无理数a ，b ，都成立的问题，D 错误.故选：C7. 已知()f x ¢是偶函数()()R f x x Î的导函数，()11f =．若0x ³时，()()30f x xf x ¢+>，则使得不等式()()3202220221x f x -->成立的x 的取值范围是（ ）A. ()2021,+¥ B. (),2021-¥C. ()2023,+¥ D. (),2023-¥【答案】C 【解析】【分析】构造函数()()3g x x f x =，分析函数()g x 在R 上的单调性，将所求不等式变形为()()20221g x g ->，可得出关于x 的不等式，即可得解.【详解】构造函数()()3g x x f x =，其中x ÎR ，则()()()()()33g x x f x x f x g x -=--=-=-，所以，函数()g x 为R 上的奇函数，当0x ³时，()()()()()232330g x x f x x f x x f x xf x ¢¢¢=+=+³éùëû，且()g x ¢不恒为零，所以，函数()g x 在[)0,¥+上为增函数，且该函数在(],0-¥上也为增函数，故函数()g x 在R 上为增函数，因为()11f =，则()()111g f ==，由()()3202220221x f x -->得()()20221g x g ->，可得20221x ->，解得2023x >.故选：C.8. 抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上和反面向上的概率都为12，构造数列{}n a ，使1{1n n a n =-，第次正面向上，，第次把反面向上，，记12n n S a a a =+++L ，则20S ≠且82S =的概率为（ ）A.43128B.4364C.13128D.1364【答案】C 【解析】【分析】先确定82S =对应情况，再根据对应情况计算概率.【详解】由题意知，当82S =时，说明抛掷8次，其中有5次正面向上，3次反面向上，又因为20S ≠，所以有两种情况：前2次正面都向上，后6中有3次正面向上，3次反面向上或前2次反面都向上，后6中有5次正面向上，1次反面向上，所以20S ≠且82S =时的概率为233325516611111113(C ()()(C (()222222128P =+=，故选：C ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9. 某校计划在课外活动中新增攀岩项目，为了解学生对攀岩的喜好和性别是否有关，面向学生开展了一次随机调查，其中参加调查的男、女生人数相同，并绘制如图所示的等高堆积条形图，则（ ）A. 参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多B. 参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数多C. 若参与调查的男、女生人数均为100，依据0.01a =的独立性检验，认为对攀岩的喜好和性别有关D. 无论参与调查的男、女生人数为多少，依据0.01a =的独立性检验，认为对攀岩的喜好和性别有关【答案】AC 【解析】【分析】根据条形图提供数据，写出22´列联表，由此对选项进行分析，结合2c 确定正确选项.【详解】由题意，设参加调查男、女生人数均为m 人，则关于对攀岩的喜好和性别的抽样数据的22´列联表如下：单位：人攀岩性别喜欢不喜欢合计男生0.8m0.2mm 的女生0.3m 0.7m m 合计1.1m0.9m2m所以参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多，参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数少，A 正确，B 错误；()222220.560.06501.10.999m m m m m m m mc -==×××，当100m =时，20.01505010050.505 6.6359999m x c ´==»>=，所以当参与调查的男、女生人数均为100时，根据0.01a =的独立性检验，认为对攀岩的喜好和性别有关，C 正确，2c和m 有关，当10m =时，25005.0516.63599c =»<，所以D 错误．故选：AC10. 已知函数()f x 与()g x 及其导函数()f x ¢与()g x ¢的定义域均为R ，()f x 是偶函数，()g x 的图象关于点(1,0)对称，则（ ）A. [][](1)(1)g f g f -=B. [][](3)(1)f g f g =-C. [][](3)(1)f g f g ¢¢=-D. [][](1)(1)g f g f ¢¢-=【答案】ABC 【解析】【分析】先证明定理1：若函数()f x 连续且可导，则()f x 图象关于直线x a =对称Û导函数()f x ¢图象关于点(),0a 对称．定理2：若函数()f x 连续且可导，则()f x 图象关于点()(),a f a 对称Û导函数()f x ¢图象关于直线x a =对称．令1x =，即可判断A ，D ；令3x =，即可判断B ，C ．【详解】定理1：若函数()f x 连续且可导，则()f x 图象关于直线x a =对称Û导函数()f x ¢图象关于点(),0a 对称．定理2：若函数()f x 连续且可导，则()f x 图象关于点()(),a f a 对称Û导函数()f x ¢图象关于直线x a =对称．以下证明定理1，定理2：证明：若函数()f x 图象关于直线x a =对称，则()()2f x f a x =-，则()()2f x f a x ¢¢=--，所以导函数()f x ¢图象关于点(),0a 对称．若导函数()f x ¢图象关于点(),0a 对称，则()()2f x f a x ¢¢=--，令()()()2F x f x f a x =--，则()()()20F x f x f a x ¢¢¢=+-=，则()F x c =(c 为常数)，又()()()20F a f a f a a =--=，所以()0F x =，则()()2f x f a x =-，所以()f x 图象关于直线x a =对称．若函数()f x 图象关于点()(),a f a 对称，则()()()22f x f a f a x =--，则()()2f x f a x ¢¢=-，所以()f x ¢图象关于直线x a =对称．若导函数()f x ¢图象关于直线x a =对称，则()()2f x f a x ¢¢=-，令()()()2F x f x f a x =+-，则()()()20F x f x f a x ¢¢¢=--=，则()F x c =(c 为常数)，又()()2F a f a =，所以()()2F x f a =，则()()()22f x f a x f a +-=，所以()f x 图象关于点()(),a f a 对称．故下面可以直接引用以上定理．由()f x 是偶函数，()g x 的图象关于点(1,0)对称，则有()()f x f x -=，()(2)g x g x =--，由定理1，则()f x ¢图象关于点()0,0对称，所以()()f x f x ¢¢-=-，和定理2，则()g x ¢的图象关于1x =，所以()(2)g x g x ¢¢=-，对于A ，令1x =，则(1)(1)f f -=，所以[][](1)(1)g f g f -=，故A 正确；对于B ，令3x =，则(3)(1)g g =--，所以[][][](3)(1)(1)f g f g f g =--=-，故B 正确；对于C ，令3x =，则(3)(1)g g ¢¢=-，所以[][](3)(1)f g f g ¢¢=-，故C 正确；对于D ，令1x =，则(1)(1)f f -=¢-¢，所以[][](1)(1)g f g f -=¢-¢，故D 错误．故选：ABC ．11. 如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，以A 为顶点的三条棱长都是2，11π3A AD A AB BAD Ð=Ð=Ð=，则（ ）A. //EF 平面11AC DB. 1AC =C. 四边形11BDD B 的面积为2D. 平行六面体1111ABCD A B C D -的体积为【答案】ABD 【解析】【分析】根据线面平行、线面垂直、空间距离、线线角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，如图，连接1111,,,,EF AC AC A D C D ，由于,E F 分别是,AB BC 的中点，所以//EF AC ，根据棱柱的性质可知11//AC A C ，所以11//EF A C ，由于EF Ë平面11AC D ，11AC Ì平面11AC D ，所以//EF 平面11AC D ，所以A 选项正确.B 选项，因为()()2211AC AB AD AA =++uuur uuu r uuu r uuu r 222111222222222224222æö=+++´´+´´+´´=ç÷èø，所以1AC =uuuu r，即1AC =，所以B 选项正确.C 选项，如图，连接11,BD B D ，则11111111,BD BA AD DD B D B A A D D D =++=++uuuu r uuu r uuu r uuuu r uuuu r uuuu r uuuur uuuu r ，22221111222BD BA AD DD BA AD AD DD BA DD =+++×+×+×uuuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r 222222222cos120222cos 60222cos1208=+++´´´+´´´+´´´=o o o ，即1BD =uuuu r，同理1B D =uuuu r11BDD B 为矩形，面积为224´=，所以C 选项错误.D 选项，如图，过1A 作1AE ^平面ABCD ，易知E 在直线AC 上，因AB Ì平面ABCD ，故1A E AB ^，过E 作EF AB ^于F ，连接1A F ，由1,A E AB EF AB ^^，而11,,A E EF E A E EF =ÌI 平面1A EF ，得AB ^平面1A EF ，易得1AB A F ^，故1cos 601AF AA =×=o，cos30AF AE ==o1A E ==故平行六面体1111ABCD A B C D -的体积为12222´´=，所以D 选项正确.故选：ABD12. 已知双曲线()222:0x y a a G -=>的左，右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线l 与双曲线G 的右支交于点B 、C ，与双曲线G 的渐近线交于点A 、D （A 、B 在第一象限，C 、D 在第四象限），O为坐标原点，为则下列结论正确的是（ ）A. 若BC x ^轴，则1BCF △的周长为6aB. 若直线OB 交双曲线G 的左支于点E ，则1//BC EFC. AOD △面积的最小值为24a D. 1AB BF +的取值范围为()3,a +¥【答案】BD 【解析】【分析】利用双曲线的定义可判断A 选项；利用平行四边形的几何性质可判断B 选项；设直线l 的方程为x my =，求出OA 、OD ，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可判断C 选项；由双曲线的定义122AB BF AF a +=+，求出22AF a +关于m 的函数关系式，利用函数的单调性可求得1AB BF +的取值范围，可判断D 选项.【详解】双曲线G 的标准方程为22221x y a a-=，则c ==，易知点()1,0F 、)2,0F ，双曲线G 的渐近线方程为y x =±.对于A 选项，当BC x ^轴，直线BC 的方程为x =，联立222x x y a ì=ïí-=ïî，可得x y aì=ïí=±ïî，此时，2BC a =，则()()11222246BF CF BF a CF a BC a a +=+++=+=，此时，1BCF △的周长为118BC BF CF a ++=，A 错；对于B 选项，因为双曲线G 关于原点对称，则点B 关于原点O 的对称点也在双曲线G 上，因为若直线OB 交双曲线G 的左支于点E ，则点B 、E 关于原点对称，即BE 、12F F 的中点均为原点，故四边形12BF EF 为平行四边形，所以，12//EF BF ，即1//EF BC ，B 对；对于C 选项，易知OA 的方程为y x =，OD 的方程为y x =-，所以，OA OD ^，因为直线l 与双曲线G 的右支交于点B 、C ，则直线l 不与x 轴重合，设直线l的方程为x my =+，设点()11,B x y 、()22,C x y ，联立222x my x y aì=+ïí-=ïî可得()22210m y a -++=，则()()222222210Δ841410m m a m a a m ì-≠ïí=--=+>ïî，解得1m ≠±，由韦达定理可得12y y +=212201a y y m=<-，可得11m -<<，联立x my y x ì=+ïí=ïî可得x y ==，即点A，联立x my y x ì=+ïí=-ïî可得x =，y =，即点D ，所以，OA =OD =所以，222221222211AODa a S OA OD a m m=×==³--△，当且仅当0m =时，等号成立，C 错；对于D 选项，1222222AB BF AB BF a AF a a a+=++=+=+=+22aa=+=，当0m =时，12AB BF a +=+，当01m <<22a a +=，因为函数12y m m=+-在()0,1上单调递减，()22,a a+Î++¥，当10m-<<时，因为函数12y mm=+-在()1,0-上单调递减，()23,2a a aÎ+，综上所述，1AB BF+的取值范围是()3,a+¥，D对.故选：BD.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知等比数列{}n a，其前n项和为n S．若24a=，314S=，则3a=______．【答案】2或8【解析】【分析】设等比数列的公比为q，进而得22520q q-+=，再解方程得2q=或12q=，进而得答案.【详解】解：设等比数列的公比为q，因为24a=，314S=，所以1310a a+=，即2210aa qq+=，所以22520q q-+=，解得2q=或12q=，所以当2q=时，38a=；当12q=时，32a=所以，32a=或38a=.故答案为：2或8的14. 过抛物线2:4C y x =的焦点作直线l ，l 交C 于M 、N 两点，若线段MN 中点的纵坐标为2，则||MN =__．【答案】8【解析】【分析】设直线l 的方程为1x my =+，联立抛物线方程得2440y my --=，利用韦达定理求出m 值，再利用弦长公式，即可求解．【详解】解：Q 抛物线方程为24y x =，\抛物线的焦点坐标为(1,0)，\设直线l 的方程为1x my =+，联立241y x x my ì=í=+î，可得2440y my --=，易得0D >，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则124y y m +=，124y y =-，\()121222y y m +==，1m \=，则28MN y =-===．故答案为：8．15. 甲、乙、丙、丁、戊5名学生进行某种劳动技能比赛，决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”，从这个回答分析，5人的名次排列共可能有________种不同的情况.（用数字作答）【答案】54【解析】【分析】由题意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，先排乙，再排甲，其他三名同学在三个位置上全排列，由分步乘法计数原理即可求解.【详解】由题意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，先排乙，有第二、三、四名3种情况，再排甲，除第一名和乙排的名次外，甲有3种情况，其他三名同学排在三位置全排列有33A 种，由分步乘法计数原理可知共有3333A 54´´=种，故答案为：54.16. 已知函数()()21log log xa a f x x a =-->有两个零点，则实数a 的取值范围是_________．【答案】11,ee æöç÷èø【解析】【分析】令2xt =，问题转化为log a y t =与t y a =在()0,¥+上有两个交点，且互为反函数，交点在y t =上，则它们有交点的临界情况为与y t =相切，设切点，利用导数几何意义求切点坐标，进而确定临界情况下a 的值，即可得出范围.【详解】由题知，0x >()2log log log 22xxa a a x f x x a =--=-，令2xt =，0t >，则log a y t =与t y a =在()0,¥+上有两个交点， 又log a y t =与t y a =互为反函数，且交点在y t =上，设log a y t =、t y a =与y x =相切时，切点为(),m n ，()0m >，则1ln 1ln log m m a a a m a a mì==ïíï=î，解得e m =，又11ln m a=，所以1e e 1a =>，所以当1e e a =时，log a y t =和t y a =只有一个交点；当1e e a >时，此时图像为12,y y ，无交点；当1e 1e a <<时，此时图像为,y y 34，有两个交点.故答案为：11,ee æöç÷èø【点睛】关键点睛：本题考查了转化思想、导数的几何意义，难点是确定临界值，属于难题.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 2022年，是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40，50)、[50，60)、[60，70)、¼、[90，100]，统计结果如图所示：（1）试估计这100名学生得分的平均数；（2）从样本中得分不低于70分的学生中，用分层抽样的方法选取11人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人，记其得分在[90，100]的人数为x ，试求x 的分布列和数学期望．【答案】（1）705分（2）分布列见解析，411【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图估计平均数的求法直接解决即可；（2）求得x 的可能取值及对应概率，完成分布列，根据期望公式求解即可．【小问1详解】由频率分布直方图的数据，可得这100名学生得分的平均数：()450.01550.015650.02750.03850.015950.011070.5x =´+´+´+´+´+´´=分．【小问2详解】由频率分布直方图的数据，可得[70，80)，[80，90)，[90，100]的人数之比为6:3:2，\在[70，80)分组中抽6人，在[80，90)分组中抽3人，在[90，100]分组中抽取2人，x \的可能取值为012，，，则()()()21129922222111111C C C C 361810,1,2C 55C 55C 55P P P x x x =========，x \的分布列为：x012P36551855155()36181401255555511E x =´+´+´=．18. 设各项非负的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知212n n S a n +=-*()n N Î，且235,,a a a 成等比数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若12nn n a a b +=，数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）1n a n =- （2）1242n n n T -+=-.【解析】【分析】（1）利用1(2)n n n a S S n -=-³得出{}n a 的递推关系，从而得数列从第2项起为等差数列，结合等比数列的性质可求得2a ，这样可得通项公式(2)n a n ³，然后由已知式中令1n =求得1a ，比较后可得结论；（2）用错位相减法求和．【小问1详解】当1n =时，21221a a =-，当2n ³时，212n n S a n +=-①，212(1)n n S a n -=--②.①-②得22121n n n a a a +=--，即()2221211n n n n a a a a +=++=+，∵0n a ³，∴11n n a a +=+，∴数列{}n a 从第2项起是公差为1的等差数列.∴22(2)n a a n n =+-³，又2a ，3a ，5a 成等比数列，∴2325a a a =，即()()222213a a a +=+，解得21a =，∴121(2)n a n n n =+-=-³，∵21221a a =-，∴10a =，适合上式，∴数列{}n a 的通项公式为1n a n =-.【小问2详解】12n n n b -=，∴数列{}n b 的前n 项的和为01221123122222n n n n n T ---=+++++L ③123111*********n n n n n T --=+++++L ④③-④得211111122222n n n n T -=++++-L111122*********nn n n n n n n -æö-ç÷+èø=-=--=--，∴1242n n n T -+=-.19. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ^底面ABCD ，2PA AB ==，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点．（1）证明：平面AEF ^平面PBC ；（2）若直线AF 与平面PAB，求点P 到平面AEF 的距离．【答案】（1）证明见解析 （2．【解析】【分析】(1)利用面面垂直的判定定理或利用平面的法向量数量积等于零证明；(2)利用坐标运算求点到平面的距离，或者用等体积法的思想求解.【小问1详解】方法一：因为PA ^底面ABCD ，BC Ì平面ABCD ，所以PA BC ^．因为ABCD 为正方形，所以AB BC ^，又因为PA AB A =I ，PA Ì平面PAB ，AB Ì平面PAB ，所以BC^平面PAB ．因为AE Ì平面PAB ，所以AE BC ^．因为PA AB =，E 为线段PB 的中点，所以AE PB ^，又因为PB BC B Ç=，PB Ì平面PBC ，BC Ì平面PBC ，所以^AE 平面PBC ．又因为AE Ì平面AEF ，所以平面AEF ^平面PBC ．方法二：因为PA ^底面ABCD ，PA Ì平面PAB ，所以平面PAB ^底面ABCD又平面PAB Ç底面ABCD AB =，BC AB ^，BC Ì平面ABCD ，所以BC^平面PAB ．因为AE Ì平面PAB ，所以AE BC ^．因为PA AB =，E 为线段PB 的中点，所以AE PB ^．因为PB BC B Ç=，PB Ì平面PBC ，BC Ì平面PBC ，所以^AE 平面PBC ，又因为AE Ì平面AEF ，所以平面AEF ^平面PBC解法三：因为PA ^底面ABCD ，AB AD ^，以A 为坐标原点，以,,AB AD AP uuu r uuu r uuu r的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,2,1,0,1A B C D P E ，设([0,2])BF t t =Î，则()2,,0F t ，所以(1,0,1)AE =uuu r ，(2,,0)AF t =uuu r ，(2,0,2)PB =-uuu r，(0,2,0)BC =uuu r ，设()111,,n x y z =r 为平面AEF 的法向量，则0,0,n AE n AF ì×=ïí×=ïîuuu r r uuu rr 所以11110,20,x z x ty +=ìí+=î取12y =，则1x t =-，1z t =，则(,2,)n t t =-r，设()222,,m x y z =r为平面PBC 的法向量，则0,0,m PB m BC ì×=ïí×=ïîuuu r r uuu rr 所以222220,20,x z y -=ìí=î取21x =，则20y =，21z = ，则(1,0,1)m =r因为00n m t t ×=-++=r r ，所以n m ^r r,所以平面AEF ^平面PBC.【小问2详解】（基于（1）解法一、二）因为PA ^底面ABCD ，AB AD ^，以A 为坐标原点，以,,AB AD AP uuu r uuu r uuu r的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz，则()()()()0,0,0,2,0,0,0,0,2,1,0,1A B P E ，易知(0,1,0)u =r 是平面PAB 的法向量设([0,2])BF t t =Î，则(2,F t (1,0,1)=uuu r ，(2,,0)AF t =uuu r ，所以|||cos ,|||||AF uAF u AF u ×==uuu r r uuu r r uuu r r =，得1t =，所以(2,1,0)AF =uuu r ，设()111,,n x y z =r 为平面AEF 的法向量，则0,0,n AE n AF ì×=ïí×=ïîuuu r r uuu r r 所以平面AEF 的法向量(1,2,1)n=-r ，又因为(0,0,2)AP =uuu r 所以点P 到平面AEF 的距离为||||AP nd n ×=uuu r r r ，==所以点P 到平面AEF ．（另解）由（1）可知，BAF Ð是直线AF 与平面PAB 所成的角，所以cos ABBAF AF Ð===解得1122BF AB BC ==，故F 是BC 的中点．所以AF==12AE PB ==，EF ==AEF △的面积为12AEF S AE EF =×=V 因为2PA AB ==，PAE △的面积为11124PAE PAB S S PA AB ==×=V V 设点P 到平面AEF 的距离为h，则有111333P AEF AEF F PAE PAE V S h V S BF --=×===×=V V解得h =所以点P 到平面AEF．（基于（1）解法三）易知(0,1,0)u =r 是平面PAB所以|||cos ,|||||AF u AF u AF u ×==uuu r r uuu rr uuu r r =，解得1t =所以(1,2,1)n =-r ，又因为(0,0,2)AP =uuu r 所以点P 到平面AEF 的距离为||||AP n d n ×=uuu r r r，==所以点P 到平面AEF ．20. 为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员M 对乙队的每名队员的胜率均为34，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为12.（注：比赛结果没有平局）（1）求甲队明星队员M 在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；（2）求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率；（3）若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员M 上场的概率.【答案】（1）316（2）1380（3）913【解析】【分析】（1）事件B =“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”，事件j A =“甲队第j 局获胜”，利用互斥事件的概率求法求概率即可；（2）讨论M 上场或不上场两种情况，应用全概率公式求甲队获得最终胜利的概率；（3）利用贝叶斯公式求甲队明星队员M 上场的概率.【小问1详解】事件B =“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”，事件j A =“甲队第j 局获胜”，其中1,2,3,4,j =j A 相互独立.又甲队明星队员M 前四局不出场，故()1,1,2,3,42j P A j ==，123412341234B A A A A A A A A A A A A =++，所以()41313C 216P B æö==ç÷èø.【小问2详解】设C 为甲3局获得最终胜利，D 为前3局甲队明星队员M 上场比赛，由全概率公式知，()()()()()||P C P C D P D P C D P D =×+×，因为每名队员上场顺序随机，故()234335C A 3A 5P D ==，()321,55P D =-=()()2313311|,|241628P C D P C D æöæöæö=´===ç÷ç÷ç÷èøèøèø，所以()3312131658580P C =´+´=.【小问3详解】由（2），()()()()()()33|9165|131380P CD P C D P D P D C P C P C ´×====.21. 已知双曲线C ：()22221,0x y a b a b-=>，直线1l ：2y x =+C 仅有一个公共点.（1）求双曲线C 的方程（2）设双曲线C 的左顶点为A ，直线2l 平行于1l ，且交双曲线C 于M ，N 两点，求证：AMN V 的垂心在双曲线C 上.【答案】（1）2211616x y -= （2）证明见解析【解析】【分析】（1可得a b =，再联立直线与双曲线利用判别式可得C 的方程；（2）设2l 方程，及M N ，的坐标，由过A 引MN 的垂线交C 于另一点H ，可得点H 为2016,33æö-ç÷èø.再证AN MH ^即可.【小问1详解】因为双曲线C ，所以2222a b a+=，即22a b =，所以双曲线C 的方程为222x y a -=，联立直线1l 与双曲线C 的方程2222y x x y a ì=+ïí-=ïî，消去y 得(2222x x a -+=，即))2216480a+++=，因为1l 与双曲线C 仅有一个公共点，所以()22164480a D =-+=，解得216a =,故双曲线C 的方程为2211616x y -=.【小问2详解】设(2:2l y x m m =+≠，()11,M x y ，()22,N x y 则M N 、满足222,16,y x m x y =+ìí-=î消去y 得2234160x mx m +++=，所以1243x x m +=-，212163m x x +=，如图所示，过A 引MN 的垂线交C 于另一点H ，则AH 的方程为122y x =--.代入2216x y -=得238800x x --=，即4x =-（舍去）或203x =.所以点H 为2016,33æö-ç÷èø.所以()()()()()()21122122116322162320320443AN MHy y x m x m x m k k x x x x æö+ç÷++++èø==-+æö+-ç÷èø()()()2222212122212122241683163212632316312328016163280m m m m x x x m x x x m m x x x x x m m x +-++++++++==++--+---，22221632611632644m m x m m x -++==----+所以MH AN ^，故H 为AMN V 的垂心，得证.【点睛】关键点睛：本题考察直线与圆锥曲线的位置关系，属于压轴题.先求AMN V 一条垂线与双曲线的交点H ，再证另两条过交点H 的直线互相垂直，由此得证，其中化简斜率关系是关键，用到了转化及整体消元的思想.22. 已知函数()e cos 2,()x f x x f x ¢=+-为()f x 的导数.（1）当0x³时，求()f x ¢的最小值；（2）当π2x ³-时，2e cos 20x x x x ax x +--³恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）1（2）(,1]-¥【解析】【分析】（1）求导得()e sin x f x x ¢=-，令()g =e sin x x x -，利用导数分析()g x 的单调性，进而可得()f x ¢的最小值即可．（2）令()e cos 2x h x x ax =+--，问题转化为当π2x ³-时，()0x h x ׳恒成立，分两种情况：当1a £时和当1a >时，判断()e cos 20x x x ax +--³是否成立即可．【小问1详解】由题意，()e sin x f x x ¢=-，令()e sin x g x x =-，则()e cos x g x x ¢=-，当0x ³时，e 1x ³，cos 1£x ，所以()0g x ¢³，从而()g x 在[0,)+¥上单调递增，则()g x 的最小值为(0)1g =，故()f x ¢的最小值1；【小问2详解】由已知得当π2x ³-时，()e cos 20x x x ax +--³恒成立，令()e cos 2x h x x ax =+--，()e sin x h x x a ¢=--，①当1a £时，若0x ³时，由（1）可知()10h x a ¢³-³，∴()h x 为增函数，∴()()00h x h ³=恒成立，∴()0x h x ׳恒成立，即()e cos 20x x x ax +--³恒成立，若π,02x éöÎ-÷êëø，令()e sin x m x x a =-- 则()e cos x m x x ¢=-，令()e cos x n x x =-，则()e sin x n x x ¢=+，令()e sin x p x x =+，则()e cos x p x x ¢=+，∵在()p x ¢在π,02x éöÎ-÷êëø内大于零恒成立，∴函数()p x 在区间π,02éö-÷êëø为单调递增，又∵π2πe 102p -æö-=-<ç÷èø，()01p =，，∴()p x 上存在唯一的0π,02x æöÎ-ç÷èø使得()00p x =，∴当0π,2x x éöÎ-÷êëø时，()0n x ¢<，此时()n x 为减函数，当()0,0x x Î时，()0n x ¢>，此时()n x 为增函数，又∵π2πe 02n -æö-=>ç÷èø，()00n =，∴存在10π,2x x æöÎ-ç÷èø，使得()10n x =，∴当1π,2x x éöÎ-÷êëø时，()0m x ¢>，()m x 为增函数，当()1,0x x Î时，()0m x ¢<，()m x 为减函数，又∵π2πe 102m a -æö-=+->ç÷èø，()010m a =-³，∴π,02x éöÎ-÷êëø时，()0h x ¢>，则()h x 为增函数，∴()()00h x h £=，∴()e cos 20x x x ax +--³恒成立，②当1a >时，()e cos 0x m x x ¢=-³在[0,)+¥上恒成立，则()m x 在[0,)+¥上增函数，∵()010m a =-<，ln(1)(ln(1))e sin(ln(1))1sin(ln(1))0a m a a a a ++=-+-=-+³，∴存在唯一的()20,x Î+¥使()20h x ¢=，∴当20x x £<时，()0h x ¢<，从而()h x 在[)20,x 上单调递减，∴()()00h x h <=，∴()e cos 20x x x ax +--<，与2e cos 20x x x x ax x +--³矛盾，综上所述，实数a 的取值范围为(,1]-¥.为。
福建省厦门市厦门外国语学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题 (无答案)
2024-2025福建厦门思明区厦门外国语学校高二上学期10月月考数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知点，则直线AB 的倾斜角为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．已知向量，且，则（ ）A ．B ．3C ．D ．163．在空间四边形OABC 中，，且，则（）A ．B ．C ．D ．4．已知直线和直线，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．经过点作直线l ，若直线l 与连接两点的线段总有公共点，则l 的倾斜角的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知二面角的棱l 上有A ，B 两点，直线BD ，AC 分别在平面内，且它们都垂直于l ．若，则异面直线AC 与BD 所成角为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．135°7．我校钱学森班有同学发现：数轴上，方程可以表示数轴上的点；平面直角坐标系中，方程（A 、B 不同时为0）可以表示坐标平面内的直线；空间直角坐标系中，方程（A 、B 、C 不同时为0）可以表示坐标空间内的平面．过点且一个法向量为的平面的方程可表示为．根据上述材料，()(1,0,1,A B -()()()1,,1,,1,1,2,2,a x b y c z ===-- ,a b b c ⊥∥a b c ++= ,,OA a OB b OC c === 2,2AM MC ON NB == MN =122333a b c-++ 122333a b c-+-212333a b c-+- 122333a b c--+ 1:10l x ay +-=()2:3220l a x ay ---=12l l ∥13a =()0,1P -()()2,1,1,1A B ---α0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦[)0,π30,,324πππ⎡⎤⎛⎤⎢⎥⎥⎣⎦⎝⎦30,,34ππ⎡⎤⎡⎫π⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭l αβ--,αβ5,3,6,AB AC BD CD ====()00Ax B A +=≠xOy 0Ax By C ++=O xyz -0Ax By Cz D +++=()000,,P x y z (),,na b c =α()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=解决下面问题：已知平面的方程为，直线l 是两平面与的交线，则直线l 与平面所成角的正弦值为（ ）AB ．CD ．8．我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．已知点在直线，点在直线上，且的最小值为（ ）ABCD ．5二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列命题不正确的是（ ）A ．已知直线与直线垂直，则实数a 的值是B ．设点在直线上，则这条直线的方程还可以表示为C ．若是空间向里的一组基底，则也是空问向量的一组基底D ．向量在向量上的投影向量为10．对于直线，下列选项正确的是（ ）A ．直线l 恒过点B ．当时，直线l 与y 轴上的截距为3C ．若直线l 不经过第二象限，则D ．坐标原点到直线l11．在长方体中，，，点P 满足：α270x y z -+-=10x y -+=210x z -+=α1312(),x y (),a b ()11,Mx y 12l y x =+()22,N x y 2l y x =1MN l ⊥-()2210a x ay ++-=320ax y -+=43-()000,P x y 0Ax By C ++=()()000A x xB y y -+-={},,a b c {},2,a b c a b c +++()1,1,0a = ()0,1,1b = 110,,22⎛⎫⎪⎝⎭():1230l m x y m -+-+=()2,1-0m =31,2m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭1111ABCD A B C D -2AB AD ==11AA =，其中、、，下列结论正确的是（ ）A ．当， 时，P 到B ．当时，点P 到平面的距离的最大值为1C ．当，时，直线PB 与平面ABCDD ．当，时，四校锥外接球的表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．在平行六面体中，，，，，，则______．13．过点作直线l ，使它被两条相交直线和所截得的线段恰好被点P 平分，则直线l 的一般式方程为______．14．已知实数的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，直四棱锥中，，，，E ，F ，G 分别为棱的中点．（1）求的值；（2）证明：C ，E ，F ，G 四点共面．16．已知的顶点，AB 边上的中线CM 所在直线的方程为，的平分线BH 所在直线的方程为．（1）求点B 的坐标；（2）求直线BC 的一般式方程；1AP AB AD AA λμγ=++ λμ[]0,1γ∈1λ=0γ=11A D 1μ=11BDD B 0λ=1μ=1λμ==12γ=11P BB DD -28932πABCD A B C D ''''-4AB =3AD =3A A '=90BAD ∠=︒60A AB A AD ''∠=∠=︒AC '()3,0P 220x y --=30x y ++=0,0a b ><1111ABCD A B C D -AB CD ∥AB AD ⊥1224AA AB AD CD ====1111,,DD A D BB CG EF ⋅ABC △()1,2A 210x y +-=ABC ∠y x =（3）求的面积．17．如图所示，在三棱柱中，四边形为菱形，，平面平面ABC ，，，E 为AC 的中点．（1）求证：平面（2）求平面与平面．所成角的大小18．已知点P 和非零实数，若两条不同的直线、均过点P ，且斜率之积为，则称直线、是一组“共轭线对”，如直线和是一组“共轭线对”，其中是坐标原点．（1）已知、是一组“共轭线对”，且知直线，求直线的方程；（2）如图，已知点、点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线PQ 、QR 、RP 上的点（A 、B 、C 与P 、Q 、R 均不重合），且直线PR 、PQ 是“共轭线对”，直线QP 、QR 是“共轭线对”，直线RP 、RQ 是“共轭线对”，求点P 的坐标；（3）已知点，直线、是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点O 到直线、的距离之积的取值范围．19．如图①所示，矩形ABCD 中，，，点M 是边CD 的中点，将沿AM 翻折到，连接PB ，PC ，得到图②的四棱锥，N 为PB 中点．（1）求证：平面PAM ；（2）若平面平面ABCD ，求直线BC 与平面PMB所成角的大小；ABC △111ABC A B C -11ABB A 113AA B π∠=11ABB A ⊥AB BC=1AC ==11B C ⊥11ABB A 11EB C 11BB C C λ1l 2l λ1l 2l P λ12l y x =212l y x =-1O -O 1l 2l 3O -12l y x -2l ()0,1A ()1,0B -()1,0C 1P 4Q 9R (1,Q -1l 2l 2Q -1l 1l 2l 1AD =2AB =ADM △PAM △P ABCM -NC ∥PAM ⊥（3）设的大小为，若，求平面PAM 和平面PBC 夹角余弦值的最小值．P AM D --θ0,2θπ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦。
2021-2022年高二数学上学期第三次月考试题
2021年高二数学上学期第三次月考试题一、选择题：（共12小题，每小题5分，共12×5=60分. 将正确答案的字母填在答题卡内）1．已知集合A=，B= ，则=A． B． C． D．2．命题“如果，那么”的逆否命题是A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么3．若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a=A．– B． C．– D．4. 对具有线性相关关系的变量x和y，测得一组数据如下表：若已求得它们的回归直线方程的斜率为6.5，则这条回归直线的方程为A．＝ B．＝C．＝ D．＝5．已知p：2＋2＝5；q：3>2，则下列判断错误的是A．“p∨q”为真，“非q”为假B．“p∨q”为真，“非p”为真C．“p∧q”为假，“非p”为真D．“p∧q”为假，“非p”为假6. 执行右图的程序框图. 若输入, 则输出的值为 A ． B ． C ． D ．7．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，对角线AC 1与底面ABCD 所成的角的正切等于A ．1B ．C ．D ． 8．在△中，若，则等于A ．30°或60°B ．45°或60°C ．120°或60°D ．30°或150°9．某四棱锥的三视图如右图, 则该四棱锥的表面积是 A ．32 B ．16+32 C ．48 D ．16+1610. 直线x+y-1=0被圆032222=-+++y x y x 截得的弦长为 A ． B ． C ． D ． 11．已知两个平面互相垂直，下列命题中正确的个数是① 一个平面内的已知直线必垂直于另一平面内的任意一条直线 ②一个平面内的已知直线必垂直于另一平面内的无数条直线 ③ 一个平面内的任一条直线必垂直于另一平面 ④ 过一个平面内任意点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 12. 经过三点、、的圆的一般方程为A ．0202422=---+y x y x B ．0202422=-+++y x y x C ．020*******2=-+++y x y x D ．02072071322=---+y x y x 二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡中横线上。
精品解析：福建师范大学第二附属中学2022-2023学年高一3月月考数学试题(解析版)
福建师大二附中2021-2022学年第二学期高一年段月考数学试题一､选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分1. 已知全集{1,2,3,4,5}U =,集合{1,3,5}M =,{3,4}U N =ð,则M N = （ ）A. {1} B. {1,2}C. {1,5}D. {1,2,5}【结果】C 【思路】【思路】依据集合地交集和补集地概念即可求出结果.【详解】由题意可得{1,2,5}N =,则{1,5}M N ⋂=.故选：C.2. 已知向量()7,6AB = ,()3,BC m =- ,()1,2AD m =-,若A ,C ,D 三点共线,则m =（ ）A.32B.23C. 32-D. 23-【结果】D 【思路】【思路】依据三点共线地向量表示即可求解.【详解】(4,6)AC AB BC m =+=+,因为A ,C ,D 三点共线,所以AC 与AD共线,所以42(6)m m ⨯=-+,解得m =23-．故选：D.3. 下面表达正确地个数为（ ）①面积，压强，速度，位移这些物理量都是向量②零向量没有方向③向量地模一定是正数 ④非零向量地单位向量是唯一地A. 0B. 1C. 2D. 3【结果】A 【思路】【思路】依据向量地定义和性质,逐项判断正误即可.【详解】①错误,只有速度,位移是向量．②错误,零向量有方向,它地方向是任意地．③错误,|0|0.=④错误,非零向量a 地单位向量有两个,一个与a 同向,一个与a反向．故选：A.4. 已知弧长为3π地弧所对地圆心角为6π,则该弧所在地扇形面积为（ ）A.B.1π3C.2π3D.4π3【结果】B 【思路】【思路】先求得扇形地半径,由此求得扇形面积.【详解】依题意,扇形地半径为π32π6=,所以扇形面积为1ππ2233⋅⋅=.故选：B5. 在ABC 中,内角,,A B C 地对边分别为,,a b c ,已知5c =,23B π=,ABC,则b =（ ）A. B. 7C. D. 6【结果】B 【思路】【思路】依据5c =,23B π=,ABC,求得a ,再利用余弦定理求解.【详解】因为5c =,23B π=,ABC,所以112sin 5sin 223ABC πS ac B a ==⨯⨯=,解得3a =,由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-,2925253cos493π=+-⨯⨯⨯=,所以7b =,故选：B6. 已知函数()f x 是定义在R 上地奇函数,()(4)f x f x =+,且(1)1f -=-,则(2020)(2021)f f +=（ ）A. 1- B. 0C. 1D. 2【结果】C 【思路】【思路】由()(4)f x f x =+得函数地周期性,由周期性变形自变量地值,最后由奇函数性质求得值．【详解】∵()f x 是奇函数,∴(0)0,(1)(1)1f f f ==--=,又()(4)f x f x =+,∴()f x 是周期函数,周期为4．∴(2020)(2021)(0)(1)011f f f f +=+=+=．故选：C ．7. 如图,圭表是中国古代通过测量日影长度来确定节令地仪器,也是作为指导汉族劳动人民农事活动地重要依据,它由“圭”和“表”两个部件组成,圭是南北方向水平放置测定表影长度地刻板,表是与圭垂直地杆,正午时太阳照在表上,通过测量此时表在圭上地影长来确定节令.已知冬至和夏至正午时,太阳光线与圭所在平面所成角分别为α,β,测得表影长之差为l ,那么表高为（）A.tan tan tan tan l αβαβ- B.()tan tan tan tan l βαβα- C.tan tan tan tan l βαβα- D.()tan tan tan tan l αβαβ-【结果】C【思路】【思路】由题意画出图形,找出线面角,设AB x =,然后求解三角形得结果.【详解】如图,设表高AB x =,在ACD △中,CAD βα∠=-,由正弦定理有sin sin sin()AC CD lCAD αβα==∠-,所以sin sin()l AC αβα⋅=-,在直角三角形ABC 中,sin ABACβ=,即sin sin sin sin sin sin()sin cos cos sin l x AC l αβαβββαβαβα⋅=⋅==⋅--tan 1tan tan 1tan tan tan l l ββαααβ-==-.故选：C8. 已知△ABC 地内角A ,B ,C 地对边分别为a ,b ,c ,若2c sin C =（a +b ）（sin B -sin A ）,则当角C 得到最大值时,B =（ ）A.3πB.56πC.2πD.23π【结果】D 【思路】【思路】利用正弦定理, 把2sin ()(sin sin )c C a b B A =+-转化成只含有边地等式, 然后利用余弦定理及基本不等式求得cos C 地最小值, 即可求解.【详解】2c sin C =（a +b ）（sin B -sin A ）中利用正弦定理, 得22()()c a b b a =+- ,即2222b a c -=,则由余弦定理得222223cos 24a b c a b C ab ab+-+==,由均值不等式得2234a b ab +=…当且仅当b =时等号成立, 则易知角C 地最大值为6π.当b =时, 22232a a c -=,则a c =,所以2,6663A CB πππππ===--=, 故选：D.二､多选题：本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出地选项中,有多项符合题目要求全部选对地得5分,部分选对地得2分,有选错地得0分9. 下面结论正确地是（ ）A. 在ABC 中,若A B >,则sin sin A B>B. 在锐角三角形ABC 中,不等式2220b c a +->恒成立C. 在ABC 中,若cos cos a B b A c -=,则ABC 是直角三角形D. 在ABC 中,若360b A ==︒，,三角形面积S =,【结果】ABC 【思路】【思路】利用三角形“大角对长边”和正弦定理即可判断A 。
2021-2022学年广西玉林市第十一中学高二年级下册学期3月月考数学试题(理)【含答案】
2021-2022学年广西玉林市第十一中学高二下学期3月月考数学试题（理）一、单选题1．若复数()()31z i i =-+，则z =（ ）A ．B ．CD ．20【答案】B【解析】化简得到()()3142z i i i =-+=+，再计算模长得到答案.【详解】()()3142z i i i =-+=+，故z =故选：B .【点睛】本题考查了复数的运算，复数的模，意在考查学生的计算能力. 2．下列求导数运算正确的是（ ） A ．()cos sin x x '= B ．()33ln 3xx '=C ．()ln ln -1x x x '=D ．sin cos 33x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据函数的求导公式和求导法则，以及复合函数的求导法则，逐项求导，即可得到本题答案.【详解】由于(cos )sin x x '=-，故选项A 不正确； 由于()3=3ln 3x x '，故选项B 正确； 由于(ln )ln 1x x x '=+，故选项C 不正确； 由于1sin cos 333x x ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，故选项D 不正确.故选：B【点睛】本题主要考查求导公式和求导法则，属基础题.3．已知()()231f x x xf '=+，则()1f '=（ ）A ．1B ．2C ．-1D ．-2【答案】C【解析】按照求导法则对函数进行求导，令1x =代入导数式即可得解.【详解】函数()()231f x x xf '=+，则()()231f x x f ''=+，令1x =代入上式可得()()1231f f ''=+，解得()11f '=-. 故选：C【点睛】本题考查导数的运算法则，属于基础题.4．若f(x)=21ln(2)2x b x -++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（ ）A ．[-1，+∞）B ．（-1，+∞）C ．（-∞，-1]D ．（-∞，-1）【答案】C【详解】由题意可知()02bf x x x +'=-<+，在(1,)x ∈-+∞上恒成立，即(2)b x x <+在(1,)x ∈-+∞上恒成立，由于1x ≠-，所以1b ≤-，故Ｃ为正确答案．5．定义域为R 的可导函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()0f x f x '-<，且()01f =，则不等式()1xf x e<的解集为（ ） A ．()0,∞+ B ．()2,∞+ C ．(),0∞- D ．(),2∞-【答案】A【分析】构造函数()()xf x h x e=，由题意得()0h x '<即函数()h x 在R 上单调递减，再根据题意得()01h =，即可得解.【详解】令()()xf x h x e =，则()()()()()2x x x xf x e f x e f x f x h x e e ''--'==， ()()0f x f x '-<，∴()0h x '<，∴函数()h x 在R 上单调递减，又 ()()0001f h e ==，()()1xf x h x e =<， ∴()0,x ∈+∞.故选：A.【点睛】本题考查了导数的应用，考查了根据题意构造新函数的能力，属于中档题.6．己知函数()y xf x '=的图象如图所示（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下面四个图象中，()y f x =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】先利用函数()y xf x '=的图象求得函数()f x 的单调区间，进而得到正确选项. 【详解】由题给函数()y xf x '=的图象，可得当1x <-时，()0xf x '<，则()0f x '>，则()f x 单调递增； 当10x -<<时，()0xf x '>，则()0f x '<，则()f x 单调递减； 当01x <<时，()0xf x '<，则()0f x '<，则()f x 单调递减； 当1x >时，()0xf x '>，则()0f x '>，则()f x 单调递增； 则()f x 单调递增区间为(),1-∞-，()1,+∞；单调递减区间为()1,1- 故仅选项C 符合要求. 故选：C7．若0()2f x '=-，则0001()()2lim k f x k f x k→--等于 A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2【答案】C【分析】由题意结合导函数的定义求解()00012k f x k f x lim k→⎛⎫-- ⎪⎝⎭的值即可. 【详解】由导数的定义可知：()()()()00000100212'lim lim 12k f x k f x f x x f x f x x k ∆→-→⎛⎫-- ⎪+∆-⎝⎭==∆-， 则()00012k f x k f x lim k→⎛⎫-- ⎪⎝⎭()()0001021112lim '11222k f x k f x f x k -→⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-⨯=-=-. 本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查导数的定义及其应用等知识，属于基础题.8．已知复数1i z =-（i 是虚数单位），则24z z +=（ ）A ．24i -B ．2iC ．24i +D ．2【答案】D【分析】利用复数的加减乘除运算性质即可求得24z z+的值.【详解】1i z =-，则()()()()()22241i 441i (1i 2i)=21i 2i=21i 1i 1i z z ++=+-++-+-=--+ 故选：D9．点A 是曲线23ln 2y x x =-上任意一点，则点A 到直线21y x =-的最小距离为（ ） ABCD【答案】A【分析】动点A 在曲线23ln 2y x x =-，则找出曲线上某点的斜率与直线21y x =-的斜率相等的点为距离最小的点，利用导数的几何意义即可 【详解】不妨设()23ln 2f x x x =-，定义域为：()0,∞+ 对()f x 求导可得：()13f x x x'=- 令()2f x '= 解得：1x =（其中13x 舍去） 当1x =时，32y =，则此时该点31,2⎛⎫⎪⎝⎭到直线21y x =-的距离为最小根据点到直线的距离公式可得：d =解得：d =故选：A10．若复数(2)z a ai =-+(a R ∈，i 为虚数单位)为纯虚数，则0)ax dx =⎰（ ）． A ．22π+B ．2π+C ．42π+D ．44π+ 【答案】B【解析】根据纯虚数的定义，结合定积分的几何意义、微积分基本定理进行求解即可.【详解】因为z 为纯虚数，所以有2020a a a -=⎧⇒=⎨≠⎩，原式2200)x dx xdx ==+⎰⎰⎰，因为0⎰的几何意义表示坐标原点为圆心，半径为2的14圆的面积，所以20124ππ=⋅⋅=⎰，而222221112020222xdx x ==⨯-⨯=⎰，所以原式22000)2x dx xdx π==+=+⎰⎰⎰， 故选：B11．已知2()f x x =，则过点P (-1，0)且与曲线()y f x =相切的直线方程为（ ） A ．0y =B ．440x y ++=C ．0y =或440x y ++=D ．0y =或440x y -+=【答案】C【解析】设切点为()00,x y 则切线方程为()20002y x x x x -=-，将点()1,0P -代入解0x ，即可求切线方程.【详解】设切点为()00,x y ，则200y x =，切线斜率为()002k f x x '==所以切线方程为()20002y x x x x -=-，因为过点()1,0P - 则()200021x x x -=--解得00x =或02x =-，所以切线方程为0y =或440x y ++= 故选：C12．若不等式2xln x≥－x 2＋ax －3对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，4] C ．(0，＋∞) D ．[4，＋∞)【答案】B【分析】分析：由已知条件推导出32ln ,0a x x x x ≤++>，令32ln ,0y x x x x=++>，利用导数形式求出1x =时，y 取得最小值4，由此能求出实数的取值范围. 【详解】详解：由题意22ln 3x x x ax ≥-+-对()0,x ∈+∞上恒成立， 所以32ln ,0a x x x x≤++>在()0,x ∈+∞上恒成立，设32ln ,0y x x x x =++>，则22223231x x y x x x +-=+-=，由0y '=，得123,1x x =-=，当()0,1∈x 时，0'<y ，当()1,∈+∞x 时，0'>y ， 所以1x =时，min 1034y =++=，所以4a ≤， 即实数a 的取值范围是(],4-∞.点睛：利用导数研究不等式恒成立或解不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．二、填空题13．已知i 是虚数单位，则复数212(2)2ii i++-对应的点在第________象限. 【答案】二【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，得出复数所对应的点，即可判断点所在的象限．【详解】解：由题意得，已知复数212(2)2ii i++-， 则设()()()()2212212(2)44222i i iz i i i i i i +++=+=+=-+--+， 即：4z i =-+，则复数所对应的点为()4,1-，则在第二象限. 故答案为：二.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．14．计算31(2)x dx +⎰的值是________.【答案】8【分析】首先根据定积分公式求出被积函数的原函数，然后代入数值计算结果即可求出. 【详解】解：32311111(2)(2)|96128222x dx x x ⎛⎫⎛⎫+=+=⨯+-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰.故答案为：8.【点睛】本题考查被积函数的原函数的求法，考查学生的计算能力和转换能力，属于基础题. 15．若直线2y kx =-与曲线13ln y x =+相切，则k =__________． 【答案】3【解析】设切点为00(,2)x kx -，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再利用切点为切线与曲线的公共点列出等式，两式联立求解即可. 【详解】设切点为00(,2)x kx -，∵3y x '=，∴0003,213ln ,k x kx x ⎧=⎪⎨⎪-=+⎩①②由①得03kx =，代入②得013ln 1x +=，则01x =，3k =． 故答案为：3【点睛】本题考查已知曲线的切线求参数，导数的几何意义，属于基础题.16．函数2()ln(1)f x x a x =++有两个极值点12,x x ，且12x x <，则a 的取值范围是___________． 【答案】102a <<【分析】利用导数与函数极值点的关系可列出关于a 的不等式，解之即可求得a 的取值范围 【详解】由2()ln(1)(1)f x x a x x =++>-， 可得222()2(1)11a x x a f x x x x x++'=+=>-++ 则方程2220x x a ++=有两个大于1-的不同的根则二次函数222y x x a =++的图像与x 轴两个不同交点的横坐标均大于1- 又二次函数222y x x a =++的图像开口向上，对称轴12x =-则()()2Δ48021210a a =->⎧⎪⎨⨯-+⨯-+>⎪⎩，解之得102a <<故答案为：102a <<三、解答题17．已知复数2(4)(2),z a a i a R =-++∈． （1）若z 为实数，求实数a 的值； （2）若z 为纯虚数，求实数a 的值；（3）若z 在复平面上对应的点在直线210x y ++=上，求实数a 的值． 【答案】（1）2a =-（2）a =2（3）1a =-【解析】（1）z 为实数则虚部为0；（2）z 为纯虚数则实部为0且虚部不为0；（3）z 在复平面上对应的点()242a a -+，，满足直线的方程代入列出方程即可得解.【详解】（1）若z 为实数，则20a +=，2a =-；（2）若z 为纯虚数，则24020a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得实数a 的值为2；（3）z 在复平面上对应的点()242a a -+，，在直线210x y ++=上，则()242210a a -+++=，即2210a a ++=解得1a =-．【点睛】本题考查复数的有关概念，复数的几何意义，属于基础题.18．已知函数32()(,)f x x ax bx a b R =++∈．若函数()f x 在1x =处有极值-4． （1）求()f x 的单调递减区间；（2）求函数()f x 在[1,2]-上的最大值和最小值． 【答案】（1）71.3⎛⎫- ⎪⎝⎭，；（2）()4()8min max f x f x =-=，. 【详解】试题分析：()1先求出导函数，根据导数的几何意义得到关于,a b 的方程组，求得,a b 后再根据导函数的符号求出单调递减区间．() 2由()1求出函数的单调区间，可以数判断函数()f x 在[]1,2-上的单调性，求出函数()f x 在[]1,2-上的极值和端点值，通过比较可得()f x 的最大值和最小值．试题解析：（1）∵()32f x x ax bx =++，∴()2'32f x x ax b =++，依题意有即()()'1320114f a b f a b ⎧=++=⎪⎨=++=-⎪⎩，解得2.7a b =⎧⎨=-⎩ ∴()()()2'347371f x x x x x =+-=+-，由()'0f x <，得713x -<<， ∴函数()f x 的单调递减区间7,1.3⎛⎫- ⎪⎝⎭()2由()1知()3227f x x x x ，=+- ∴()()()2'347371f x x x x x =++=+-，令()'0f x =，解得12713x x =-=，．当x 变化时，()()'f x f x ，的变化情况如下表：由上表知，函数()f x 在()1,1-上单调递减，在()1,2上单调递增． 故可得()()14min f x f ==-， 又(1)8,(2)2f f -==． ∴()()18.max f x f =-=综上可得函数()f x 在[]1,2-上的最大值和最小值分别为8和4-．19．已知函数()()330f x x ax b a =-+>的极大值为6，极小值为2.求：（1）实数a ，b 的值；（2）求()f x 在[]22-,上的单调区间. 【答案】（1）14a b =⎧⎨=⎩（2）()f x 的单调递增区间为[]2,1--和[]1,2；单调递减区间为[]1,1-【分析】(1)根据()f x 先求出()f x '，解不等式0f x与()0f x '<，利用导数与极值的关系，确定极值点，进而可求解；(2)由(1)可得：3()34f x x x =-+，从而得2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，进而可求解.【详解】解：（1）()()2330f x x a a '=->，由()0f x x '>⇒<x ∴()f x在(,-∞，)+∞上单调递增；由()0f x x '<⇒，∴()f x在(上单调递减，即x =()f x取到极大值；x =()f x 取到极小值.((636232f a b f b ⎧⎧=-+=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩14a b =⎧⇒⎨=⎩. （2）()334f x x x =-+，则233fxx ；由()01f x x '>⇒<-或1x >，又[]2,2x ∈-，()f x 的单调递增区间为[]2,1--和[]1,2；单调递减区间为[]1,1-.【点睛】本题考查导数与函数的单调性、极值的应用及方程的解法，考查了理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题. 20．已知函数()213ln 42g x x x x b =-++． （1）当54b =-时，求()g x 在（()1,1g ）处的切线方程；（2）若函数()g x 在[1，4]上有两个不同的零点，求实数b 的取值范围． 【答案】（1）52y =-；（2）52ln 24b ≤<-.【分析】（1）根据()2135ln 424g x x x x =-+- ，求导()13122g x x x '=-+，再求得()1'g ，根据切点，写出切线的方程；（2）将函数()g x 在[1，4]上有两个不同的零点，转化为213ln 42b x x x -=-+在[1，4]内有两个实根，()213ln 42h x x x x =-+，利用导数法研究其单调性，画出图象求解. 【详解】（1）因为()2135ln 424g x x x x =-+- ， 所以()13122g x x x'=-+，所以()1311022'=-+=g ， 又因为切点为（1，52-）， 所以切线的方程为52y =-； （2）若函数()g x 在[1，4]上有两个不同的零点，可得213ln 42b x x x -=-+在[1，4]内有两个实根， 设()213ln 42h x x x x =-+，()()()12131222x x h x x x x--'=-+=， 当()1,2x ∈时，()h x 递减，当()2,4x ∈时，()h x 递增，由()514h =-，()22ln 2h =-+，()4ln 42h =-， 画出()y h x =的图象，如图所示可得52ln 24b -+<-≤-， 解得52ln 24b ≤<-. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义和导数与函数的零点，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.21．已知函数()f x 为一次函数，若函数()f x 的图象过点(0,2)，且20()6f x dx =⎰. (1)求函数()f x 的表达式.(2)若函数2()g x x =，求函数()f x 与()g x 的图象围成图形的面积.【答案】（1）()2f x x =+；（2）92【分析】（1）假设出一次函数()()20f x kx k =+≠，根据积分构造出方程求得k ，进而得到结果； （2）联立两函数解析式可求得交点坐标，从而可知所求面积为()()21S f x g x dx -=-⎡⎤⎣⎦⎰，利用积分的运算法则求得结果.【详解】（1）()f x 为一次函数且过点()0,2 ∴可设()()20f x kx k =+≠ ()()2220022224602k f x dx kx dx x x k ⎛⎫∴=+=+=+= ⎪⎝⎭⎰⎰，解得：1k = ()2f x x ∴=+（2）由22y x y x ⎧=⎨=+⎩得：11x =-，22x =f x 与()g x 围成的图形面积()()21S f x g x dx -=-⎡⎤⎣⎦⎰ 即()222312118119222421233232S x x dx x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-=+---+= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰ 【点睛】本题考查利用积分求解函数解析式、利用积分求解两函数围成图形面积的问题，属于积分知识的基础应用问题.22．某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产x 万件，需另投入流动成本()C x 万元，当年产量小于7万件时，()2123C x x x =+（万元）；当年产量不小于7万件时，()36ln 17e C x x x x=++-（万元）.已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.（1）写出年利润()P x （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取320e =）.【答案】（1）()23142,07315ln ,7x x x P x e x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩；（2）当年产量320x e ==万件时，年利润最大，最大年利润为11万元.【分析】（1）根据题中条件，分07x <<和7x ≥两种情况，分别求出对应的解析式，即可得出结果；（2）根据（1）中解析式，分别求出7x <和7x ≥两种情况下，()P x 的最大值，即可得出结果.【详解】（1）因为每件产品售价为6元，则x 万件商品销售收入为6x 万元，由题意可得，当07x <<时，()()2211626224233P x x C x x x x x x =--=---=-+-；当7x ≥时，()()336266ln 17215ln e e P x x C x x x x x x x ⎛⎫=--=-++--=-- ⎪⎝⎭； 所以()23142,07315ln ,7x x x P x e x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪--≥⎪⎩； （2）由（1）可得，当07x <<，()()2211426101033P x x x x =-+-=--+≤， 当且仅当6x =时，等号成立；当7x ≥时，()315ln e P x x x =--，则()33221e e x P x x x x-'=-+=， 所以，当37x e ≤<时，()0P x '>，即函数()315ln e P x x x =--单调递增；当3x e >时， ()0P x '<，即函数()315ln e P x x x=--单调递减； 所以当3x e =时，()315ln e P x x x =--取得最大值()333315ln 11e P e e e =--=； 综上，当320x e ==时，()P x 取得最大值11万元；即当年产量为320x e ==时，该同学的这一产品所获年利润最大，最大年利润是11万元.【点睛】思路点睛：导数的方法求函数最值的一般步骤：（1）先对函数求导，根据导数的方法判定函数在给定区间的单调性；（2）根据函数单调性，即可求出函数的最值.。
福建省厦门双十中学2023-2024学年高二下学期第二次月考数学试卷【含答案】
厦门双十中学2025届高二（下）第二次月考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知圆22:10C x y mx +++=的面积为π，则m =（）A ．2±B ．±C ．±D ．8±2．若随机变量()2~3,2X N ，随机变量1(3)2Y X =-，则()1()1E Y D Y +=+（）A ．0B ．12C ．45D ．23．甲、乙两人要在一排6个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有（）A ．6种B ．3种C ．20种D ．12种4．已知,m n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的是（）A ．若m α⊥、//n α，则m n ⊥B ．若m α⊥，//m n ，则n α⊥C ．若//m n ，n β⊥，m α⊥，则//αβD ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α5．设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且()()()111,,432P A P B P A B ==⋃=，则()|P B A =（）A ．14B ．13C ．16D ．1126．已知n S 等差数列{}n a 的前n 项和，则“n n S na ≥”是“{}n a 是递减数列”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．若0.91ln1.1,,e a b c ===）A ．a b c<<B ．c b a<<C ．a c b<<D ．c a b<<8．如图，在ABC 中，120BAC ∠= ，其内切圆与AC 边相切于点D ，且1AD =.延长BA 至点E .使得BC BE =，连接CE .设以,C E 两点为焦点且经过点A 的椭圆的离心率为1e ，以,C E两点为焦点且经过点A 的双曲线的离心率为2e ，则12e e 的取值范围是（）A．∞⎫+⎪⎪⎣⎭B．∞⎫+⎪⎪⎝⎭C ．[)1,+∞D ．()1,∞+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．椭圆()2222:101x y C m m m +=>+的焦点为1F ，2F ，上顶点为A ，直线1AF 与C 的另一个交点为B ，若12π3F AF ∠=，则（）A ．C 的焦距为2B ．C的短轴长为C ．C 的离心率为32D ．2ABF △的周长为810．已知321()2313f x x x x =-++，则下列结论正确的是（）A ．()f x 有三个零点B ．()f x 有两个极值点C ．若方程()f x a =有三个实数根，则71,3a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．曲线()y f x =关于点71,3⎛⎫⎪⎝⎭对称11．已知数列{}n a 的通项公式为143n na =-，其前n 项和为n S ，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭与数列{}14nn n a a +的前n 项和分别为n R ，n T ，则（）A ．114n n a a +<B ．存在n ，使得13n T >C ．4339n S <D ．265n R n n≥-三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．251(21)x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，含3x 的项的系数为．13．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项的和，若341a a +=，6247S S =，则12S =.14．如今中国在基建方面世界领先，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD 体积为，则模型中最大球的体积为，模型中九个球的表面积之和为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．正四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为6的正方形，高为4，点M ，N 分别在线段PC ，AB 上，且2AN NB =，4PC PM =，E 为PC 的中点．(1)求证：BE ∥平面DMN ；(2)求直线AC 与平面DMN 所成角的正弦值．16．全球新能源汽车产量呈上升趋势.以下为20202318-年全球新能源汽车的销售量情况统计.年份201820192020202120222023年份编号x 123456销售量y /百万辆2.022.213.136.7010.8014.14若y 与x 的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：(1)求变量y 与x 的样本相关系数r (结果精确到0.01)；(2)求y 关于x 的线性回归方程，并据此预测2024年全球新能源汽车的销售量.附：线性回归方程ˆˆˆybx a =+，其中()()()112211ˆˆˆ,n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb ay bx x x xnx ====--- ===---∑∑∑∑，样本相关系数()()nnii ii xx y y x ynx yr--- =∑∑参考数据：66211181.30,11.2i i i i i x y y ====≈≈∑∑.17．设函数()()24ln 42f x x ax a x =-+-，a ∈R(1)讨论()f x 的单调性．(2)若函数()f x 存在极值，对任意的120x x <<，存在正实数0x ，使得()()()()21021f x f x f x x x '-=-（ⅰ）证明不等式212121ln ln 2x x x x x x ->-+．（ⅱ）判断并证明122x x +与0x 的大小．18．已知抛物线2:2E y x =的焦点为F ，A ，B ，C 为E 上不重合的三点.(1)若0FA FB FC ++=，求FA FB FC ++ 的值；(2)过A ，B 两点分别作E 的切线1l ，2l ，1l 与2l 相交于点D ，过A ，B 两点分别作1l ，2l 的垂线3l ，4l ，3l 与4l 相交于点M .（i ）若AB 4=，求ABD △面积的最大值；（ii ）若直线AB 过点()1,0，求点M 的轨迹方程.19．设点集(){}{}23*1,,,,|0,1,1,n niM a a a a a i n i =∈≤≤∈N L ，从集合nM中任取两个不同的点()123,,,,n A a a a a ，()123,,,,n B b b b b ，定义A ，B 两点间的距离()1,ni i i d A B a b ==-∑．(1)求3M 中(),2d A B =的点对的个数；(2)从集合n M 中任取两个不同的点A ，B ，用随机变量X 表示他们之间的距离(),d A B ，①求X 的分布列与期望；②证明：当n 足够大时，()24D X n <．（注：当n 足够大时，20n -≈）1．B【分析】由题意确定圆的半径，结合圆的面积公式建立方程，解之即可求解.【详解】因为圆22:10C x y mx +++=，即222124m m x y ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，所以22π(1)ππ4m S r ==-=，解得m =±故选：B.2．B【分析】利用正态分布的两个参数就是随机变量的期望和方差，再利用两个线性随机变量之间的期望和方差公式，即()()(),E Y E kX b kE X b =+=+()2()()D Y D kX b k D X =+=，就可以求出结果.【详解】由()2~3,2X N 可知：()3,()4E X D X ==，又因为1(3)2Y X =-，所以()131333()()0222222E Y E X E X =-=-=-=，()131()(1224D Y D X D X =-==，则()1011()1112E Y D Y ++==++，故选：B.3．A【分析】采用插空法，在4个空座中间的3个空中插入甲、乙两人的座位即可得答案.【详解】一排共有6个座位，现有两人就坐，故有4个空座.要求每人左右均有空座，即在4个空座的中间3个空中插入2个座位让两人就坐，即有23A 326=⨯=种坐法.故选：A.4．D【分析】对于A ，可过n 作平面β，使l βα⋂=，则//n l ，即可判断；对于B ，由线面垂直的性质即可判断；对于C ，由条件，可得m β⊥，又m α⊥，则//αβ，即可判断；对于D ，要考虑n 可能在平面α内，即可判断．【详解】对于A ，当//n α时，过n 作平面β，使l βα⋂=，则//n l ，因为m α⊥，l ⊂α，所以m l ⊥，所以m n ⊥，故A 正确；对于B ，当m α⊥，//m n ，由线面垂直的性质可得n α⊥，故B 正确；对于C ，因为//m n ，n β⊥，所以m β⊥，又m α⊥，所以//αβ，故C 正确；对于D ，当m α⊥，m n ⊥时，n 可能在平面α内，故D 错误．故选：D ．5．B【分析】根据概率的性质解得()112P AB =，结合()()()P B P AB P AB =+可得()14P AB =，代入条件概率公式分析求解.【详解】因为()()()()P A B P A P B P AB ⋃=+-，即()111243P AB =+-，解得()112P AB =，又因为()()()P B P AB P AB =+，即()11312P AB =+，解得()14P AB =，且()14P A =，可得()()314P A P A =-=，所以()()()114|334P AB P B A P A ===.故选：B.6．B【分析】正向举常数列反驳，反向利用等差数列求和公式和递减数列性质判断即可.【详解】当等差数列{}n a 为常数列时，此时n n S na =，满足前者，但是此时“{}n a 不是递减数列”，故充分性不成立；当{}n a 是递减数列，则对n *∀∈N ，1n n a a +<，()()1122n n n n n n a a n a a S na na +--=-=，当1n =时，0n n S na -=，当2n ≥时，1n a a >，0n n S na ->，所以对n *∀∈N ，n n S na ≥，则反推成立，故必要性成立，则“n n S na ≥”是“{}n a 是递减数列”的必要而不充分条件.故选：B.7．C【分析】初步判断三个数值都在0到1之间，常规方法不好处理，可考虑结合导数放缩来比较,a b 大小，设()()ln 1f x x x =--，()()e 1xg x x =-+，求出()f x '在()1,2的单调性，()g x '在()1,0-的单调性，可判断,a b 与0.1的大小；0.91,b c e ==断0.9e 大小，判断,b c ，进而得解.【详解】设()()ln 1f x x x =--，()11f x x'=-，当()1,2x ∈时，()0f x '<，()f x 单减，故()()()1.1ln1.1 1.1110f f =--<=，即ln1.10.1<；设()()e 1x g x x =-+，()e 1xg x '=-，当()1,0x ∈-时，()0g x '<，所以()()0.90g g ->，即()()0.900e0.9101e ---+>-+=，即0.90.1e ->；1120.10.10.1c =>=，故a最小，0.91,b c e ==()100.99319683e <=，10510100000==，因为19683100000<，所以()10100.993e <<，所以0.9e<，0.91e >，所以b c a >>故选：C【点睛】本题考查由指对幂比大小，常规比大小步骤为：①结合指对幂函数单调性初步判断每个数值所在区间；②当两数值所在区间相同时，一般考虑引入中间量进一步比大小；③若常规方法不好处理时，常考虑构造函数法，结合导数放缩来进一步求解，此法难度较大，对学生基础能力要求较高，平常可积累一部分常见放缩公式，如1e 1ln x x x x x ≥+≥≥-≥等.8．D【分析】设内切圆与边,BC BE 分别相切于点,F G ，设CF CD EG x ===，可得223CE x =+，结合椭圆和双曲线的定义可得12134e e x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用余弦定理求得3x >，结合对勾函数的单调性分析求解.【详解】如图，设内切圆与边,BC BE 分别相切于点,F G ，由切线长定理和BCE 的对称性，可设CF CD EG x ===.由1AD =，可得1,1AC x AE EG AG x =+=-=-.在ACE △中，由余弦定理，()()2222(1)(1)211cos603CE x x x x x =++--+-=+ .于是根据椭圆和双曲线的定义，221222313224CE CE CE x e e x AC AE AC AE AC AE x x +⎛⎫=⋅===+ ⎪+--⋅⎝⎭.接下来确定x 的取值范围.设BF BG y ==，在ABC 中， 1.1,AC x AB y BC x y --=+=+，于是由余弦定理，()()222()(1)(1)211cos120x y x y x y +=+++-++，整理得()330xy x y -+-=，于是()3103x y x +=>-，故3x >，又因为3y x x =+在()3,∞+内单调递增，可知33341y x x =+>+=，可得121314e e x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，所以12e e 的取值范围是()1,∞+.故选：D.【点睛】方法点睛：1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法：求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a，c代换，求e的值；2．焦点三角形的作用：在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．9．ABD【分析】根据12π3F AF ∠=以及椭圆的对称性可得222221b ma m==+⎝⎭，进而可求解2,1a b c===，即可根据选项逐一求解.【详解】由于12π3F AF∠=，所以12π6F AO OAF∠=∠=,故11πcos cos62AO bF AOAF a∠=====，因此222221b ma m==+⎝⎭，故23m=，所以椭圆22:143x yC+=，2,1a b c===对于A，焦距为22c=，故A正确，对于B，短轴长为2b=B正确，对于C，离心率为12cea==，C错误，对于D，2ABF△的周长为48a=，D正确，故选：ABD10．BC【分析】利用导函数讨论单调性和极值即可判断AB，再根函数的最值、单调性判断C，再根据特例，利用点的对称性判断D.【详解】2()43f x x x'=-+，令()0f x'<解得13x<<，令()0f x'>解得1x<或3x>，所以()f x 在(),1∞-单调递增，()1,3单调递减，()3,∞+单调递增，因为13(1)03f -=-<，极大值7(1)03f =>，且极小值1(3)0f =>，所以()f x 在(1,1)-有一个零点，共1个零点，A 错误；由A 知，函数有1,3两个极值点，故B 正确；由A 知，函数()f x 在(),1∞-单调递增，()1,3单调递减，()3,∞+单调递增，且x →-∞时，()f x →-∞，x →+∞时，()f x →+∞，所以方程()f x a =有三个实数根，需(3)(1)f a f <<，即71,3a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；因为(3)1f =，所以点(3,1)在函数图象上，又点(3,1)关于点71,3⎛⎫⎪⎝⎭的对称点为111,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，而13(1)3f -=-，即111,3⎛⎫- ⎪⎝⎭不是函数()f x 图象上的点，故函数()f x 不关于点71,3⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 错误.故选：BC.11．ACD【分析】根据1191144434n n n a a ++-<-=即可求解A ，根据裂项求和即可求解B ，根据放缩法即可求解C ，根据作差求解数列单调性即可求解D.【详解】对A ，由143n n a =-可得11143n n a ++=-，所以()11111111994343114344414343443443n nn n n n n nn a a ++++++----====-<----，故A 正确，对B ，()()414441143,33143n n nn n R n n a --=-∴=-=--，()()11141114343434343n nn n n n n n a a +++⎛⎫==- ⎪----⎝⎭，所以12231111111111111113434334343343433433n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ,故B 错误，对C ，由于3n ≥时，1111449433n n n -->>⇒-，故111131114311443n n n n a --=<=-，所以221221111314111414214344111131113444134439393914n n n n S a a a --⎛⎫-⎪⎛⎫⎝⎭=+++<++⨯=+-<+<+= ⎪⎝⎭-()()()222441441653656233n n n R n n n nn nn ----=--+=-+,对D ，记()()()()()1222144144144162,61216233n n n n n n P nn P P n n n n ++----=-+-=-++++-，故114124n n n P P n ++-=--，根据指数幂的性质可知14124n n +≥+，当且仅当1n =取等号，故11141240n n n n n P P n P P +++-=--≥⇒≥，只有1n =取等号，故143210n n P P P P P P ->>>>≥=,故D 正确，故选：ACD 12．118-【分析】由()2552211(21)212x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，写出()512x +展开式的通项，利用通项计算可得.【详解】因为()2552211(21)212x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()5525221121212x x x x x +⋅-++=+，其中()512x +展开式的通项为()155C 22C rrr r r r T x x +==⋅（{}0,1,2,3,4,5r Î），所以251(21)x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中，含3x 的项为()215533355521C 2C (2)2C (2)118x x x x x x ⋅⋅+⋅⋅-⋅=-，所以含3x 的项的系数为118-．故答案为：118-13．6316【分析】由等比数列的求和公式和等比数列的性质进行计算即可求解.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意可得1q ≠，由6247S S =，可得()()6211417111a q a q qq--=--，解得212q =，又341a a +=，即22121a q a q +=，所以122a a +=，同理5612a a +=，7814a a +=，91018a a +=，1112116a a +=，因为12123456789101112S a a a a a a a a a a a a =+++++++++++，所以12111163212481616S =+++++=.故答案为：631614．43π##43π9π【分析】根据三棱锥的体积公式计算可得正四面体的棱长为出正四面体的内切球半径，再利用三个球的半径之间的关系得到另外两个球的半径，得到答案.【详解】设正四面体的棱长为x ，高为h ，底面圆半径为r ，则2sin 60xr ︒=，得r =，又h x ，所以正四面体的体积为2111···sin 60332A BCD BCD V S h x ︒-=== ，解得x =如图，取BC 的中点E ，连接DE ，AE ，则CE BE =，AE DE ===过点A 作AF ⊥底面BCD ，垂足在DE 上，且2DF EF =，所以DF EF ==4AF ===，点O 为最大球的球心，连接DO 并延长，交AE 于点M ，则DM ⊥AE ，设最大球的半径为R ，则OF OM R ==，因为Rt AOM △∽Rt AEF ，所以AO OMAE EF ==，解得1R =，所以最大球的体积为344ππ33R =，且1OM OF ==，则413AO =-=，1sin 3OM EAF AO ∠==，设最小球的球心为J ，中间球的球心为K ，则两球均与直线AE 相切，设切点分别为,H G ，连接,HJ KG ，则,HJ KG 分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为,a b ，则33,33AJ HJ a AK GK b ====，则33JK AK AJ b a =-=-，又JK a b =+，所以33b a a b -=+，解得2b a =，又33OK R b AO AK b =+=-=-，故432b R =-=，解得12b =，所以14a =，模型中九个球的表面积和为2224π4π44π44π4ππ9πR b a +⨯+⨯=++=.故答案为：4π3；9π【点睛】思路点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的思路是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.15．(1)证明见解析【分析】(1)构造面面平行，再证线面平行.(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求线面角的正弦.【详解】（1）在线段CD 上取点F ，使得2CF DF =，连接EF 、BF ，如图：因为4PC PM =，E 为PC 的中点，所以2CE ME =，所以//EF DM ，又EF ⊄平面DMN ，DM ⊂平面DMN ，所以//EF 平面DMN ，在平行四边形ABCD 中，因为2AN NB =，2CF DF =，所以DF NB =，且//DF NB ，所以四边形DFBN 是平行四边形，所以//DN FB ，又BF ⊄平面DMN ，DN ⊂平面DMN ，所以//BF 平面DMN ，又BF ，EF ⊂平面EFB ，且BF EF F ⋂=，所以平面//EFB 平面DMN ，又BF ⊂平面EFB ，所以//BE 平面DMN ．（2）连接BD 交AC 于点O ，连接PO ，因为正四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形，所以PO ⊥平面ABCD ，且OA OB ⊥，故以O 为坐标原点，OA ，OB ，OP 所在直线依次为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系如图所示：由已知可得：()A，()B，()C -，()0,D -，324M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，)N所以()AC =-，)DN =，324DM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面DMN 的一个法向量为(),,n x y z = ，则·0·0DN n DM n ⎧=⎪⎨=⎪⎩⇒323040x z ⎧-++=⎪+=，取5,1,4n ⎛=- ⎝⎭设直线AC 与平面DMN 的夹角为θ，则：·102cos ,17·AC n sin AC n AC nθ===16．(1)0.95.r ≈(2)ˆ 2.56 2.46yx =-，15.46百万辆【分析】（1）利用相关系数r 公式即可求解；（2）根据已知数据，利用公式先求出ˆb，进而求出ˆa ，得到线性回归方程，再利用线性回归方程进行预测即可.【详解】（1）因为1234563.56x +++++==，2.02 2.213.13 6.710.814.146.56y +++++==，所以6221496149162536617.54i i x x =-=+++++-⨯=∑，622216380.2316 6.5126.731ii yy =-=-⨯=∑，所以6644.80.95.4.211.2iix yxyr -==≈≈⨯∑（2）由题意得61621644.8ˆ 2.5617.56iii ii x yxybxx ==-===-∑∑，所以ˆˆ 6.5 3.5 2.56 2.46ay bx =-=-⨯=-，得y 关于x 的线性回归方程为ˆ 2.56 2.46yx =-，所以可以预测2024年全球新能源汽车的销售量为2.567 2.4615.46⨯-=百万辆.17．(1)()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）1202x xx +>，证明见解析【分析】（1）求导得()()()1241f x ax x x'-=-+，分a 是否大于0进行讨论即可得解；（2）（ⅰ）要证明212121ln ln 2x x x x x x ->-+即只需证明()()21ln 11t t t t ->>+，从而构造函数即可得证；（ⅱ）同构作差法并结合（ⅰ）中结论即可得解.【详解】（1）()()()41242241f x ax a ax x x x'-=-+-=-+，0x >，若0a ≤，则()0f x ¢>，()f x 在()0,∞+上单调递增，若0a >，由()0f x '=得2x a=，当20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x ¢>；当2,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，∴()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减.（2）∵()f x 存在极值，由（1）知0a >，()()()()()()22212121214ln ln 42f x f x x x a x x a x x -=---+--()()()()()212121214ln ln 42x x a x x x x a x x =--+-+--，由题设得()()()()()212102121214ln ln 42f x f x x x f x a x x a x x x x --==-+'+---，∵120x x <<，设21(1)x t t x =>，（ⅰ）要证明212121ln ln 2x x x x x x ->-+即证明()()21ln 11t t t t ->>+，设()()21ln 1t g t t t -=-+，（1t >），则()()()22221211(1)0(1)(1)t t t g t t t t t +---=-=+'>+，∴()g t 在()1,+∞上单调递增，()()10g t g >=，∴()21ln 1t t t ->+，即212121ln ln 2x x x x x x ->-+得证，（ⅱ）()1221128422x x f a x x a x x '+⎛⎫=-++- ⎪+⎝⎭，()()2112210211221124ln ln ln ln 82402x x x x x x f x f x x x x x x x x '-⎛⎫+-⎛⎫-=-=-> ⎪ ⎪-+⎝'+-⎝⎭⎭，∴()1202x x f x f +⎛⎫> ⎪⎝'⎭'，∵()()424f x ax a x=-+-'在()0,∞+上是减函数，∴1202x x x +>.【点睛】难点点睛：本题综合考查了导数的应用问题，涉及到函数的单调性以及不等式证明问题，难点在于不等式的证明，解答时要注意根据所要证明的不等式的结构特征，构造恰当的函数，利用导数的单调性进行证明.18．(1)3(2)（i ）8；（ii ）224y x =-【分析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，根据向量的坐标运算即可得12332x x x ++=，再根据抛物线的定义即可得结论；（2）（i ）设直线AB 的方程为x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线得交点坐标关系，再求导，根据导数的几何意义求解切线斜率，即可得切线方程，从而可得切线的交点坐标，根据三角形面积公式列关系求解即可；（ii ）利用直线相交、直线过定点即可得点M 的轨迹方程.【详解】（1）依题意，1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，由0FA FB FC ++= 得，1231110222x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即12332x x x ++=，由抛物线定义得，1231113222FA FB FC x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .（2）（i ）显然，直线AB 的斜率不为0，可设直线AB 的方程为x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y，由22,y x x my n⎧=⎨=+⎩得：2220y my n --=，2480m n ∆=+>，122y y m ∴+=，122y y n =-.22y x =Q，则y =1y y=='∴，∴切线1l 的方程为()11111112y y x x y x y y =-+=+，同理，切线2l 的方程为2212y y x y =+，联立两直线方程11221212y y x y y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得121222y y x n y y y m ⎧==-⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，即(),D n m -，则点D 到直线AB的距离为d =由4AB ===，化简得：22421m n m +=+，114822ABDS AB d ∴==⨯=≤ ，当且仅当0m =时取等号，ABD ∴ 面积的最大值为8.（ii ）若直线AB 过点()1,0，由（i ），可以设直线AB 的方程为1x my =+，122y y m ∴+=，122y y =-.∴直线3l 的方程为311111112y y y x x y y y x y =-++=-++，同理，直线4l 的方程为32222y y y x y =-++.联立两直线方程3111322222y y y x y y y y x y ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得()2212121212122y y y y x y y y y y ⎧++=+⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，整理后可得222,2,x m y m ⎧=+⎨=⎩消去m 得：224y x =-，∴点M 的轨迹方程为224y x =-.【点睛】关键点点睛：本题考查了抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、三角形面积问题最值问题.解决问题的关键是确定直线与抛物线交点坐标关系，并将题中几何性质转化为交点坐标关系，另外在求抛物线的切线可以考虑利用导数来求解切线斜率.19．(1)12对(2)①分布列见解析，()()212n nE X -=-；②证明见解析【分析】（1）根据题意分析可知：A ，B 有两个位置的坐标不相等，另一个相等，进而可得结果；（2）①分析可知X k =的随机变量，在坐标()123,,,,n a a a a 与()123,,,,n b b b b 中有k 个坐标值不同，即i i a b ≠，剩下n k -个坐标值满足i i a b =，进而可求分布列，结合组合数性质可求期望；②根据方差公式()()21nk k k D X P X E X =⎡⎤=⋅-⎣⎦∑整理可得()()2121C C C 214n n n n n n D X ⎡⎤<+++⎢⎥-⎣⎦L ，结合组合数性质分析证明.【详解】（1）当3n =时，若(),2d A B =，可知A ，B 有两个位置的坐标不相等，另一个位置的坐标相等，所以共有122322C A A 12=对.（2）①由题意可知，n M 中元素的个数为2n 个，对于X k =的随机变量，在坐标()123,,,,n a a a a 与()123,,,,n b b b b 中有k 个坐标值不同，即i i a b ≠，剩下n k -个坐标值满足i i a b =，此时所对应情况数为12C 2C 22k k n k k n nn --⋅=⋅种．所以()122C 2C C 21n k n k n n n P X k -⋅===-，故X 的分布列为：X12⋅⋅⋅nP1C 21n n-2C 21n n-⋅⋅⋅C 21n nn-数学期望()1212C C C C C C 12120212121212121n n n n n n nn n n n n n n E X n n =⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯+------L L ，当2k n ≤≤时，则()()()()()2!!C 2C 2!!2!2!k n k n nn n k n k k n k k n k n k k -++-+=⨯+-+⨯--+-()()()()()()()!!!111!!1!2!1!1!n n n n k k k n k n k k n k k =+=-++----+--+-()()1!C 1!1!k n n n n n k k -⋅==-+-，且10C 0C C nn n n n n n +==⋅=⋅，则()()11C C C 011212121n n n nn n n n E X n n -=+⨯+-⨯++⨯---L ，两式相加得()()01222C C C C 2121n nn n n n n n n n E X ⋅=++++=--L ，所以()()212n nE X -=-；②当n 足够大时，()2n E X ≈，由方差定义()()21nk k k D X P X E X =⎡⎤=⋅-⎣⎦∑22212C C C 12212212212n n n n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 222121C 1C 2C 21222n n n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-++⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 222121C 1C 2C 21222n n n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ()()()21212221C C C C 1C 22214n n n n n n n n n n ⎧=+++-+-+⎨-⎩ ()()()()}23212C 33C 11C n n n nn n n n n n n n -⎡⎤-++---⋅+-⋅⎣⎦因为k n ≤，则()()()20n k n k n k k n ---⋅=-≤，当且仅当0k =或k n =时，等号成立，则()()()2221211C C C 212142144n n n n n n n n n n D X ⎡⎤⎡⎤<+++=-=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦L ，所以()24D X n <.【点睛】关键点点睛：（2）①利用倒序相加法结合()21C 2C C kn k k n nn k n k n -+-+-+=分析求解；②根据方差公式结合()()20n k n k n ---⋅≤分析证明.。
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福建省厦门市2021-2022学年高二下学期3月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知向量()1,2,1a =--，(),1,b x y =-．若//a b ，则（ ） A ．1x y += B ．1x y -= C ．0x y +=
D ．1x y -=-
2．已知数列{}n a 的通项公式为()2*
29n a n n n N =-+∈．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，
则n S 取得最大值时n 的值为（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．5
3．函数2ln ||
2
x y x =
+的图像大致为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
4．已知直线:1l y x =+，椭圆2
2:13
x C y +=．若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，则线
段AB 的中点的坐标为（ ） A ．13,44⎛⎫- ⎪⎝⎭
B ．31,44⎛⎫- ⎪⎝⎭
C ．13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．31,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭
5．若数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，则下列不等式一定成立的是（ ）
A ．1423b b b b +≤+
B ．4132b b b b ≤--
C ．3124a a a a ≥
D ．3124a a a a ≤
6．已知()f x '是偶函数()()R f x x ∈的导函数，()11f =．若0x ≥时，
()()30f x xf x '+>，则使得不等式()()3
202220221x f x -->成立的x 的取值范围是
（ ） A ．()2021,+∞ B ．(),2021-∞ C ．()2023,+∞
D ．(),2023-∞
7．将双曲线绕其对称中心旋转，会得到我们熟悉的函数图象，例如将双曲线
22
122
x y -=的图象绕原点逆时针旋转45︒后，能得到反比例函数1y x =的图象（其渐近
线分别为x 轴和y 轴）；同样的，如图所示，常见的“对勾函数”()
0,0n
y mx m n x
=+>>
也能由双曲线的图象绕原点旋转得到（其渐近线分别为y mx =和y 轴）．设m =，
n =“对勾函数”所对应的双曲线的实轴长为（ ）
A ．
B ．4
C ．
D ．8．设2ln1.01a =，ln1.02b =，0.02c =，则（ ） A ．a b c << B ．b c a <<
C ．b a c <<
D ．c a b <<
二、多选题 9．已知数列{}n a 的通项公式为32n n
n k
a +=，若数列{}n a 为递减数列，则实数k 的值可能为（ ） A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
10．函数1
()cos (0)2
f x x x x =
+>的所有极值点从小到大排列成数列{}n a ，设n S 是{}n a 的前n 项和，则下列结论中正确的是（ ） A ．数列{}n a 为等差数列 B ．4176
a π
=
C ．20211sin 2
S =
D ．()37tan a a +=
11．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，且A ，B 在其准线上的射影分别为1A ，1B ，则下列结论正确的是
（ ）
A ．若直线l x ⊥轴，则2A
B = B ．1212
x x ⋅=
C ．124y y ⋅=-
D ．112
A F
B π
∠=
12．若函数()()()e x
f x x a a R =-∈，则（ ）
A ．函数()y f x =在()0,∞+单调递增，则1a <
B ．函数()()g x xf x =有三个单调区
间
C ．方程()0f x x +=有且仅有一个根
D ．函数()()y f f x =有且仅有一个零点
三、填空题 13．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上面一层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个
球……．设各层球数构成一个数列{}n a ，其中11a =，23a =，36a =，则5a =______．
14．已知点1F 为双曲线2
2:14
x C y -=的左焦点，过原点的直线l 与双曲线C 相交于
P ，Q 两点．若13PF =，则1QF =______．
15．如图所示，在A ，B 间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路.则电路不通，则因为焊接点脱落而导致电路不通情况有___________种.
16．若函数()()21
3ln 32x ke x f x x x k R x x
=--+-∈恰有两个极值点，则k 的取值范围是
______．
四、解答题 17．已知数列{}n a ，12n n T a a a =⋅⋅⋅，且22T =，38T =. (1)若{}n T 为等比数列，求n a ； (2)若{}n a 为等比数列，求n T .
18．如图所示，四边形ABCD 为矩形，2EA EB BC ===，EA EB ⊥，平面ABCD ⊥平面ABE ，点F 为CE 中点.
(1)证明：BF AC ⊥；
(2)求DF 与平面BDE 所成角的正弦值.
19．已知函数()()2
1e x f x x ax =--.
(1)当0a =时，是否存在k ，使得直线y kx =与函数()f x 的图象相切，如果存在求k 的值，否则说明理由； (2)讨论()f x 的单调性
.
20．椭圆()22
22:10x y C a b a b +=>>经过点P ⎛ ⎝⎭
，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形． (1)求椭圆C 的方程；
(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交C 于A ，B 两点，且2AF FB =，求AB ． 21．已知函数()1
ln f x x a x x
=-
-，其中a R ∈. (1)讨论函数()f x 在()0,∞+上的单调性；
(2)证明：(
)2
2132
ln 21n
i n n i i n n =--⎛⎫>
⎪+⎝⎭
∑.
22．已知函数()cos 2x f x e x =+-，()f x '为()f x 的导数. （1）当0x ≥时，求()'f x 的最小值； （2）当2
x π
≥-时，2cos 20x xe x x ax x +--≥恒成立，求a 的取值范围.。