基于变形协调原理的多塔斜拉桥非边塔纵向抗推刚度

基于变形协调原理的多塔斜拉桥非边塔纵向抗推刚度陈恒大;邬晓光;姚丝思;李铸【摘要】In order to explore the stiffness characteristics of multi-tower cable-stayed bridges,the constraint to bridge towers caused by cables is compared to spring stiffness.We take the three-tower cable-stayed bridge as research object,which is the most typical type of multi-tower cablestayed bridges.Firstly,the longitudinal anti-push rigidity of the non side tower of the three-tower cable-stayed bridge is solved based on the principle of deformation coordination.Secondly,the effectiveness of the derived formulas is verified by a calculation example.Finally,the influences of main parameters of the bridge structure on longitudinal anti-push rigidity of the left span of non side tower are analyzed.The results show that when imposing uniformly distributed load on the non side tower,the errors between the deviation of non side tower roof solved by the side tower deformation formulas derived in this paper and the finite element solutions obtained from a previous study are within 6.82％.And it is illustrated that the proposed formulas is suitable for calculating the stiffness characteristics of multi-tower cable-stayed bridges,and can meet the requirements of the conceptual design.Meanwhile,the longitudinal anti-push rigidity of the non side tower for multi-tower cable-stayed bridges is related to tower stiffness,girder rigidity,angle between cable and girder,cable line stiffness and cable anchorage spacing of tower.%为深入探寻多塔斜拉桥刚度特征,将斜拉索对桥塔的约束比作弹簧刚度这一理念引入多塔斜拉体系.选取多塔斜拉桥的最典型形式——三塔斜拉桥建立弹簧刚度等效模型,基于变形协调原理,求解多塔斜拉桥非边塔纵向抗推刚度,对推导的公式进行算例验证,并分析结构主要参数对桥塔纵向抗推刚度的影响.研究结果表明:对非边塔左跨施加均布荷载时,本文推导公式的非边塔塔顶偏位解与已有文献有限元解间的误差在6.82％以内,说明本文推导的非边塔纵向抗推刚度公式能够反映多塔斜拉桥桥塔的刚度特征,符合多塔斜拉桥概念设计的要求;非边塔纵向抗推刚度与桥塔自身刚度、主梁刚度、拉索与主梁夹角、拉索线刚度和桥塔拉索锚固间距等因素有关.【期刊名称】《北京交通大学学报》【年(卷),期】2017(041)004【总页数】7页(P40-46)【关键词】多塔斜拉桥;非边塔;变形协调原理;抗推刚度;参数分析【作者】陈恒大;邬晓光;姚丝思;李铸【作者单位】长安大学公路桥梁与隧道陕西省重点实验室,西安710064;长安大学公路桥梁与隧道陕西省重点实验室,西安710064;长安大学公路桥梁与隧道陕西省重点实验室,西安710064;中交水运规划设计院有限公司,北京100007【正文语种】中文【中图分类】U448.27随着全球一体化的进展和跨江、跨海大桥的兴起，多塔斜拉桥渐渐成为桥梁界的新宠儿[1-3].自1962年诞生的采用巨大刚性桥塔的Maracaibo Bridge开始，到目前在建的采用中跨跨中交叉布索的Queensferry Crossing为止，几乎所有的多塔斜拉桥都从不同角度采取各类措施增大非边塔刚度从而达到提升结构整体刚度的目的[4-6]，这足以说明多塔斜拉桥非边塔刚度不足是限制其发展的重要因素.国内外多名学者曾对多塔斜拉桥的整体刚度进行理论分析和有限元验证，提出了相应的刚度提升措施[7-9].文献[10]对多塔斜拉桥的竖向刚度随桥塔数量变化的规律进行了有限元模型分析，提出了在塔梁结合处设置双排支座来增加桥塔刚度的方案；文献[11-12]利用有限元方法分析了桥塔刚度、拉索刚度和加劲索初张力等因素对多塔斜拉桥整体刚度的影响；文献[13-14]整理了国内外已通车和在建的多座多塔斜拉桥刚度提升措施，并提出了相关建议和补充；文献[15]以嘉绍大桥为依托工程分析了多塔斜拉桥的刚度特点，并提出了设置双排支座的刚度提升措施.文献[16]对多塔斜拉桥的中塔抗推刚度和拉索竖向支承刚度进行了公式推导，但在推导过程中默认使拉索伸长的力和使主梁下挠的力是大小相等的单位力，而实际上二者不一定相等，需根据拉索刚度和主梁刚度分别计算.文献[17]在研究悬索桥主缆对桥塔约束作用时，提出了等效弹簧刚度的概念；文献[18]从能量角度推出了悬索桥主缆对中塔纵向刚度的影响，并进行了算例验证，推导过程中假定主缆变形前后皆为抛物线，并忽略主缆弹性伸长；文献[19]研究了主缆为悬链线的多塔悬索桥的中塔刚度并进行了算例验证；文献[20]为计算多塔悬索桥的活载效应将相邻主缆对加载跨主缆的约束等效为主缆弹簧，并用全微分理论求得等效主缆的弹簧刚度，再进行相应计算.文献[21]对矮塔斜拉桥拉索竖向支承刚度进行了求解.综上所述，随着对多塔斜拉桥的深入研究，国内外学者对多塔斜拉桥的刚度特征给予了足够的重视，也提出了相应的见解，但多数研究是依据有限元模型的仿真计算而进行的，很少有从力学角度对多塔斜拉桥的桥塔刚度特征进行理论公式推导，多塔斜拉桥非边塔没有辅助墩或端锚索的支承，与传统双塔斜拉桥主塔刚度及多塔斜拉桥边塔刚度皆有较大区别，而塔、梁、索共同承担荷载的多塔斜拉体系整体刚度特征与传统双塔斜拉桥不可一概而论.本文作者将依据变形协调原理对多塔斜拉桥的非边塔纵向抗推刚度进行理论推导，计算过程中考虑了桥塔和主梁的自身刚度、拉索的变形和桥塔的弹性压缩等因素，且对计算中产生的提供拉索伸长的力和使主梁下挠的力等进行了权重分配计算，而非直接默认为单位力，深入研究多塔斜拉体系在荷载下的响应规律，为多塔斜拉桥的概念设计提供参考.对于多塔斜拉体系，斜拉索对桥塔的约束同样可以引入弹簧刚度的理念，本文选取多塔斜拉桥的最典型形式--三塔斜拉桥建立等效模型，如图1所示，Kt1、Kt2 分别为多塔斜拉桥边、中塔自身刚度；Kc1、Kc2分别为多塔斜拉桥边、中跨拉索对桥塔的等效弹簧刚度.多塔斜拉桥非边塔和边塔的最主要区别是前者左右两跨均没有辅助墩等措施的支承，所以非边塔左右两跨主梁被认定为柔性梁，活载作用下均有挠度发生.任意取非边塔上第i对拉索进行分析，如图2所示.图中，P为作用在非边塔左跨的单位力，αzi为非边塔左主跨第i根拉索与主梁的夹角，αyi为非边塔右主跨第i根拉索与主梁的夹角，lzi为非边塔左主跨第i根拉索长度，lyi为非边塔右主跨第i根拉索长度，δaz为非边塔塔顶水平偏位.为了下文公式推导方便，假定恒载、活载均为均布荷载，荷载集度分别为g、q.且斜拉索承受相同的恒载应力为σg，斜拉索容许应力为σa，有=.采用Ernst公式修正斜拉索刚度从而计入拉索的垂度效应，可知其中，E为拉索弹性模量；γ为拉索重度；lp为斜拉索的水平投影长度.桥塔纵向抗推刚度为作用在桥塔上的水平力代数和与桥塔相应水平偏位的比值.对于多塔斜拉桥，非边塔纵向抗推刚度的求解思路是，在主梁的拉索锚固点处，主梁和拉索在该处的变形是协调的；同理，在主塔的拉索锚固点处，主塔和拉索在该处的变形亦是协调的.举例如下：单位力P作用在非边塔左跨时，此力由主梁和拉索共同承担.则此单位力P可分解为两部分，即：P=Pz1+Pz2.Pz1为被主梁承担的那部分，且在Pz1的作用下，非边塔左跨主梁下挠值为δz1；Pz2为被拉索承担的那部分，且在Pz2的作用下，拉索lzi伸长量为Δlzi.又由于拉索锚固在主梁上，拉索和主梁在锚固处的变形是协调的，所以，在锚固处拉索伸长量的竖向分量和主梁竖向挠度的值应该相等.从而建立方程，求解出Pz1和Pz2的值，即求解出拉索和主梁分担单位力P的权重.进一步求解出拉索lzi的拉力变化量ΔTzi，拉索lzi拉力变化量的水平分力为ΔHz，而此力由右跨拉索lyi和该非边塔共同承担，即ΔHz 可以分解为ΔHz1和ΔHz2两部分，在ΔHz1的作用下拉索lyi伸长量为Δlyi；在ΔHz2的作用下，非边塔偏移量为δaz.同理，根据变形协调原理，ΔHz1作用下的拉索lyi伸长量Δlyi的水平投影δyi与右跨主梁上挠引起的非边塔转动位移δtb之和等于ΔHz2作用下的非边塔偏移量δaz，求解出ΔHz1和ΔHz2及δaz；则第i 对拉索对非边塔纵向约束的弹簧刚度kzi为设各拉索在主塔锚固区的锚固间距为λhzi，则桥塔每锚固间距的纵向等效弹簧刚度可理解为该对拉索约束刚度在λhzi长度上的平均分配，即最终求得非边塔纵向抗推刚度KZ为下面对公式进行详细推导，在非边塔左跨施加单位力P，由于被主梁和拉索共同承担，P分解为Pz1和Pz2两部分，即在Pz1作用下此处主梁的下挠值δz1为根据文献[16]可知，γb=为非边塔左跨主梁的抗弯刚度，Eb、Ib分别为非边塔左跨主梁弹性模量和惯性矩；Lc、Lmi分别为非边塔左跨主梁长度和第i根拉索在非边塔左跨的水平投影，图3为多塔斜拉桥非边塔左跨变形的示意图.如图3所示，在Pz2作用下拉索lzi的索拉力变化量ΔTzi为拉索lzi伸长量Δlzi为式中分别为非边塔左主跨第i根拉索修正弹性模量和拉索截面积.拉索lzi伸长量Δlzi的竖直投影Δvzi为联立式(6)～式(8)可得又由于Pz1作用下此处主梁的下挠值δz1和Pz2作用下拉索lzi伸长量Δlzi的竖直投影Δvzi相等，得即联立式(4)和式(11)得Pz2=联立式(6)和式(13)可知拉索lzi的索拉力变化量ΔTzi为而拉索lzi拉力变化量的水平分力ΔHz为由上文分析可知，ΔHz可以分解为ΔHz1和ΔHz2两部分，即图4为在ΔHz的作用下，非边塔纵向偏位图.如图4所示，在ΔHz1作用下拉索lyi伸长量为Δlyi；在ΔHz2作用下非边塔偏移量为δaz.在ΔHz1作用下拉索lyi的索拉力变化量ΔTyi为拉索lyi伸长量Δlyi为式中分别为非边塔右主跨第i根拉索弹性模量和拉索截面积.图5为拉索lyi伸长量的水平投影图.由图5可知，拉索lyi伸长量Δlyi的水平投影δyi为联立式(17)～式(19)可得而在拉索lyi的索拉力变化量ΔTyi的竖向分力ΔTvyi的作用下，非边塔右主跨主梁上挠值为δbδb=联立式(17)、式(21)和式(22)可得由于主梁主塔的偏位较小，默认为主梁上挠转动角度与主梁上挠引起的非边塔转动角度相等，根据几何关系可知，主梁上挠引起的非边塔转动位移δtb的关系式为联立式(23)和式(24)可得在ΔHz2的作用下第i根拉索在非边塔锚固处的偏移量δaz为式中：hzi为第i根拉索在非边塔上的竖直投影；Ezt、Izt分别为非边塔自身弹性模量和惯性矩.又因为ΔHz1作用下的拉索lyi伸长量Δlyi的水平投影δyi与主梁上挠引起的非边塔转动位移δtb之和等于ΔHz2作用下的非边塔偏移量δaz，得到即联立式(16)和式(28)可得ΔHz2=根据式(26)和式(30)可得根据式(1)和式(31)可知，第i对拉索对非边塔纵向约束的弹簧刚度kzi为根据式(2)和式(32)可知，非边塔每锚固间距的纵向等效弹簧刚度可理解为该对拉索约束刚度在λhzi长度上的平均分配，即Kzi为根据式(3)和式(33)，求得非边塔纵向抗推刚度KZ为由式(31)可知，当单位力P作用在多塔斜拉桥非边跨左跨时，非边塔塔顶偏位与桥塔自身刚度、右跨主梁刚度、拉索与主梁夹角和拉索长度有关.由式(32)～式(34)可知，非边塔纵向抗推刚度KZ与桥塔自身刚度、左右跨主梁刚度、拉索与主梁夹角、拉索线刚度和桥塔拉索锚固间距等因素有关.1)桥塔自身刚度.由可以得出，桥塔自身刚度越大，桥塔塔顶偏位越小，由于塔、梁、索共同承担荷载，所以塔顶偏位与桥塔自身刚度不成线性反比例关系；同理，非边塔纵向抗推刚度随桥塔自身刚度增大而增大，但依然不是线性关系.因此，委内瑞拉Maracaibo Bridge和希腊Rion-Antirion Bridge等多塔斜拉桥一般会设计成刚性桥塔来提高桥塔的抗推刚度,以达到提升桥梁整体刚度的目的.2)主梁刚度.通常非边塔的第i对拉索对称布置，其弹性模量和拉索截面积也相等，即则将式(31)化简后可知，桥塔偏位随着主梁刚度γb的增大而减小，呈非线性反比例关系；非边塔纵向抗推刚度随主梁自身刚度的增大而增大，但不是线性关系.所以，我国洞庭湖大桥采用钢箱钢桁结合主梁的形式增大主梁刚度，提升多塔斜拉桥整体刚度.3)拉索与主梁夹角.假设第i对拉索为对称布置，即αzi=αyi，将式(31)对拉索与主梁夹角αzi求导后可知，在的区间内，当αzi=0时，桥塔偏位最小，此时拉索对桥塔的支承刚度最大，即非边塔纵向抗推刚度最大，因此，适当提高跨径、减小塔高均可增大多塔斜拉桥整体刚度，这也是多塔斜拉桥桥塔在同等跨径条件下较普通双塔斜拉桥塔高略小的主要原因.4)拉索线刚度.由式(31)～式(34)可以得出，随着拉索线刚度增大，非边塔塔顶偏位有减小趋势，而桥塔纵向抗推刚度增加，增大拉索截面积可以提高多塔斜拉桥整体刚度，但由于自重的增加也会使拉索对活载的支承效率降低，因此，适当增大拉索线刚度可以提升多塔斜拉桥整体刚度.5)桥塔拉索锚固间距.根据式(34)可知，桥塔拉索锚固间距λhzi越小，桥塔纵向抗推刚度越大.即适当减小桥塔锚固区长度，布置拉索型式尽量避开竖琴体系,而多选择辐射型或修正的扇形体系可以提高桥塔纵向抗推刚度.6)其他因素.拉索的垂度效应、桥塔的梁柱效应等均可以影响到桥塔的纵向抗推刚度，从而影响到多塔斜拉桥的整体刚度，此处不做详细讨论.为验证本文推导公式的计算精度，将本文解与文献[16]公式解和有限元解进行对比分析，选取跨径布置为129 m+258 m+258 m+129 m的三塔斜拉桥作为算例.桥梁主要参数如下：桥塔高度约为82 m；主塔材料为C50混凝土；主塔弹性模量Ezt为34.5 GPa；主塔惯性矩Izt为3 230 m4；主梁材料为Q345钢材；主梁弹性模量Ezb为206 GPa；主梁惯性矩Izb为7 400 m4；斜拉索为高强钢丝，拉索弹性模量Ezi、Eyi取195 GPa；拉索面积Azi、Ayi取0.02 m2；主梁一期恒载为180 kN/m，二期恒载为63 kN/m.将上述桥梁主要参数带入式(34)可求得非边塔纵向抗推刚度KZ为36 083.7 kN/m.上文为了公式推导的方便，主梁、主塔所受的力均假定为集中力，而实际桥梁工程中，荷载以车道荷载的形式加载在桥面上，因此在有限元模拟时，对非边塔左跨施加均布荷载即可，计算塔顶偏位δaz，结果如表1所示.根据表1计算的数据分析可知，本文求解的多塔斜拉桥非边塔纵向抗推刚度公式满足概念设计要求，对非边塔左跨施加均布荷载时，非边塔塔顶纵向位移与文献[16]有限元解之间的误差在6.82%以内，说明本文所推公式能适用于概念设计阶段的快速估算；本文公式解、文献[16]公式解与有限元解之间的误差基本都在9.71%以内，说明两种公式解在多塔斜拉桥非边塔刚度特征计算时都可以使用.本文解将计算中产生的提供拉索伸长的力和使主梁下挠的力等进行了权重分配计算，而非直接默认为单位力，因此本文解比文献[16]公式解的精确度提高3%左右.1)将斜拉索对桥塔的约束比作弹簧刚度这一理念引入多塔斜拉体系，选取多塔斜拉桥的最典型形式——三塔斜拉桥建立弹簧刚度等效模型，基于变形协调原理，求解了多塔斜拉桥非边塔纵向抗推刚度.2)对非边塔左跨施加均布荷载，将本文推导的塔顶偏位公式与文献[16]公式解及有限元解进行对比分析，非边塔塔顶纵向位移与文献[16]有限元解之间的误差在6.82%以内，误差大小能满足概念设计阶段的要求.3)根据式(31)～式(34)分析了非边塔塔顶纵向位移及其纵向抗推刚度与桥塔自身刚度、左右跨主梁刚度、拉索与主梁夹角、拉索线刚度和索塔锚固区拉索锚固间距等因素的关系，并结合国内外几座著名的多塔斜拉桥探讨工程实际中提升桥塔纵向抗推刚度的措施.【相关文献】[1] GIMSING N J, GEORGAKIS C T. Cable supported bridges: concept & design[M]. 3rd ed. New York：John Wiley & Sons Ltd, 2012.[2] OKAMOTO Y, NAKAMURA S. Static and seismic studies on steel/concrete hybrid towers for multi-span cable-stayedbridge[J]. Journal of Constructional Steel Research, 2011,67(2):203-210.[3] BIRLOGEUX M. Recent evolution of cable-stayed bridge[J]. Engineering Structures, 1999,21(8)：737-755.[4] CHOI D H, GWON S G, YOO H, et al. Nonlinear static analysis of continuous multi-span suspension bridges[J]. International Journal of Steel Structures,2013,13(1):103-115.[5] THAI H T, CHOI D H. Advanced analysis of multi-span suspension bridges[J]. Journal of Constructional Steel Research,2013,90(1):29-41.[6] GE Y J, XIANG H F. Extension of bridging capacity of cable-supported bridges using double main spans or twin parallel decks solutions[J]. Structure and Infrastructure Engineering,2011,7(7/8):551-567.[7] BIRLOGEUX M. Bridges with multiple cable-stayed spans[J]. StructuralEngineer,2001,2(22):61-82.[8] ZHANG L W, XIAO R C, JIANG Y, et al. The characteristics of the multi-span suspension bridge with double main cables in the vertical plane[J]. StructuralEngineer,2012,42(3):291-302.[9] COLFORD B R, CHIARELLO M, HENDY C, et al. Bearing replacement and strengthening of forth road bridge approach viaducts, UK[J]. Bridge Maintenance, Safety, Management, Resilience and Sustainability, 2012,12(6):81-92.[10] 曹珊珊,雷俊卿,李忠三,等. 多塔斜拉桥刚度分析[J].世界桥梁, 2012,12(1):55-58. CAO Shanshan, LEI Junqing, LI Zhongsan, et al. Analysis of rigidity of multi-pylon cable-stayed bridges[J]. The World Bridge,2012,12(1):55-58.(in Chinese)[11] 喻梅,李乔,廖海黎. 多塔斜拉桥的刚度配置[J]. 四川建筑科学研究, 2010,36(4):67-71. YU Mei, LI Qiao,LIAO Haili.Stiffness configuration of multi-pylon cable-stayed bridges[J].Sichuan Building Science,2010,36(4):67-71.(in Chinese)[12] 陶能迁,王福敏. 提高PC三塔斜拉桥整体刚度研究[J]. 重庆交通学院学报, 2007,26(2):14-20. TAO Nengqian, WANG Fumin. Study on improving the whole rigidity of prestressed concrete three-pylon cable-stayed bridge[J]. Journal of Chongqing Jiaotong University, 2007,26(2):14-20.(in Chinese)[13] 李鹏程.多塔斜拉桥刚度分析[D].重庆:重庆交通大学,2009. LI Pengcheng. Multi-tower cable-stayed bridge stiffness analysis[D]. Chongqing: Chongqing JiaotongUniversity,2009.(in Chinese)[14] 金立新,郭慧乾.多塔斜拉桥发展综述[J].公路,2010(7):24-29. JIN Lixin, GUO Huiqian. Summary of multi-tower cable-stayed bridge[J]. Highway,2010(7):24-29.(in Chinese) [15] 林道锦,李忠三,王仁贵.多塔斜拉桥力学性能研究[J]. 公路,2013(7):317-321. LIN Daojin, LI Zhongsan, WANG Rengui. Analysis of mechanical properties of multi-pylon cable-stayed bridges[J]. Highway, 2013(7):317-321.(in Chinese)[16] 李忠三.基于静动力特性的多塔长跨斜拉桥结构体系刚度研究[D]. 北京:北京交通大学,2014. LI Zhongsan. Study on rigidity of long-span cable-stayed bridge with multi-tower based on the static and dynamic characteristics[D]. Beijing: Beijing Jiaotong University,2014. (in Chinese)[17] YOSHIDA O, OKUDA M, MORIYA T. Structural characteristics and applicability of four-span suspension bridge[J]. Journal of Bridge Engineering,2004,9(5):453-461.[18] 柴生波,肖汝诚,张学义,等. 多跨悬索桥中塔纵向刚度研究[J].中国公路学报,2012,25(2):67-71. CHAI Shengbo, XIAO Rucheng, ZHANG Xueyi, et al. Study of longitudinal stiffness of middle pylon in multi-span suspension bridge[J]. China Journal of Highway and Transport, 2012,25(2):67-71.(in Chinese)[19] 张学义,谭红梅,肖汝诚,等.主缆为悬链线的多塔悬索桥的中塔刚度计算[J].华中科技大学学报(自然科学版),2014,42(10):124-127. ZHANG Xueyi, TAN Hongmei, XIAO Rucheng, et al. Calculation of longitudinal stiffness of mid-tower in multi-span suspension bridges based on catenary equation[J]. Journal of Huazhong University of Science andTechnology(Natural Science Edition),2014,42(10):124-127.(in Chinese)[20] 孙斌,胡志坚,张立文,等.多塔悬索桥活载效应简化分析[J].中国公路学报,2015,28(11):60-66. SUN Bin, HU Zhijian, ZHANG liwen, et al. Simplified analysis of live load responses in multi-tower suspension bridges[J]. China Journal of Highway andTransport,2015,28(11):60-66.(in Chinese)[21] 宋涛.矮塔斜拉桥设计关键问题研究[D].西安:长安大学,2016. SONG Tao. Study on design theory of extradosed cable stayed bridge[D]. Xi’an: Chang’an University , 2016.(in Chinese)。