多塔部分斜拉桥自振频率的实用简化算法
基于有载频率的简支梁桥自振频率计算方法
4B 1B 3 2 B4 + B 4 3 B1 B3 i B4
2
( 12c)
其中 a1 = s nm b 1m s1 , a2 =
n b1 t1 2 t1 n 1
2 n n b1
s m b1 m s1+ sn ( m b1 + m s1 ) k b 1
第 24 卷第 1 期 2011 年 2 月
振 动 工 程 学 报
Journal o f Vibrat ion Engineering
Vo l. 24 N o. 1 F eb. 2011
基于有载频率的简支梁桥自振频率计算方法
谭国金, 宫亚峰, 程永春, 刘寒冰, 王龙林
( 吉林大学交通学院 路桥系 , 吉林 长春 130022) 摘要 : 由于车辆的存 在 , 在桥梁的 动力试验中 , 测试到的桥梁频率 实际上是以桥梁振 动为主要振 动形式的 车 桥耦 合系统的振动频率 ( 工程上称为有载频率 ) , 而非桥梁自身的固有频率。基于车 -桥系统的耦合振动模型和模态分析 技术 , 提出了多个车辆作用下的桥梁有载频率计算方法。在中小跨径的公路桥梁的动态检 测中 , 往往采用单个车辆 对桥梁进行激振。对此推导出了单个车 辆作用下的桥梁有载频率的简便计算公式。基于单个车辆作用下的桥梁有 载频率计算公式 , 进一步得到了基于有载频率计算桥梁自振频率的解析表达式。最后以某 钢筋混凝土梁为例 , 采用 有限元方法计算出的桥梁有载频率为基础数 据 , 充分验证了方法的可行性和有效性。 关键词 : 桥梁工程 ; 桥梁自振频率 ; 桥梁有载频率 ; 车 -桥耦合系统 ; 模态分析 方法 中图分类号 : T U 352. 12; T U 311. 3 文献标 识码 : A 文章编号 : 1004-4523( 2011) 01-003105
12.11近似法计算自振频率
解： (1) 选择自重作用下的弹性曲线作为振型曲线（注意：应 在各楼层水平方向分别施加自重m1g、m2g、m3g)，如图所示。
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(2)求 Yi i 1,2,3：
3
Yi
Yi1
r i
mr
g
ki
于是，可得
3
Y1
r 1
mr
g
k1
m1
m2 k1
m1
m2
m3 B
y (t)
1
y (x,t )
y2(t) y3(t)
x
T
1 2
l 0
m
xyx,
t
2
d
x
1 2
i
mi
yi t
2
y
x
1 2 cos2 (t )
2
l m(x)[Y (x)]2 d x 1 2 cos2 t
0
2
i
mi Yi 2
其最大值为:
Tmax
1 2
2
l m(x)[Y (x)]2 d x 1 2
为-0.05%，-0.7%，-4.8%。
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l2
l2
(3)计算前三个频率：
ml 6
ml 8 ml 4 ml 4 ml 4 ml 8
3
l4 l4 l4 l4
将体系简化为三个自由度体系，如图所示，可解得
1
9.865 l2
EI , m
2
39.2 l2
EI , m
3
84.6 l2
EI m
振动频率法测量斜拉桥索力的影响因素研究
（ 兰州交通大学 土木工程学 院， 甘肃 兰 州 ７ ３ ０ ０ ７ ０ ）
摘 要 斜拉 索是 斜拉桥 的 主要 受力 构件 。在施 工 阶段 斜拉 索的 索力对主 梁的线形控 制及 内力的分布
起 决定性 作 用 ； 在成 桥及 运 营阶段 斜拉 索的索 力依 然影 响 着主 梁和 塔 柱 的 内力 和 线形 。通 过调 整拉 索
共 有 ５种 规 格 ： Ｐ Ｅ Ｓ ７ — １ ０ ９ ， Ｐ Ｅ Ｓ ７ — １ ３ ９ ， Ｐ Ｅ Ｓ ７ — １ ６ ３ ， Ｐ Ｅ Ｓ ７ —
假 定索 的边 界 条 件 为 两 端 铰 接 ， 根据式 （ １ ） 得 到
拉 索 的索力 为
４ Ｔ ： Ｔ
１ ９ ９ ， Ｐ Ｅ Ｓ ７ — ２ ５ ３ 。斜 拉 索 在 塔 上 竖 向 间 距 为 １ ． ５～
３ ． ６ ｉ ｎ ， 高度 ２ ． ５～ ３ ． ５ ｉ ｎ ， 横梁 与塔柱连接处设装 饰段 。
向坐标 （ 沿索 长方 向） ； Ｗ为 拉索单 位 长度重 量 ； ｇ是 重 力加速度 ； Ｅ １为 拉 索 的抗 弯 刚 度 ； Ｔ为 拉 索 的 索 力 ；
ｔ 为 时 间。
斜 拉索 采用 直 径 ７ ｍ ｍ 镀 锌 低 松 弛 平行 钢 丝 束 ， 最 大索 长 １ １ ８ ． ９ ２ ９ Ｉ ｎ ， 最 大索质 量 ９ ． ０ ８ ６ ｔ ， 边 索与水 平 面最小 夹 角 为 ２ ６ 。 ， 斜拉 索 标 准 间距 为 ８ ． ０ ｍ， 斜 拉 索
铁
２ ０ １ ７年 第 ５期
道
建
筑
２ ７
Ｒａ ｉ ｌ ｗａ ｙ Ｅｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ
斜拉桥的抗震计算部分
斜拉桥的抗震计算部分1. 动力特性分析对大跨度桥梁进行地震反应分析之前，需要先了解其动力特性，即进行特征值分析。
特别是基于振型分解的动力反应分析方法，通过特征值分析选取贡献最大的主要振型，无疑可以大大减小计算量而计算结果精度仍满足工程需要。
首先将结构的自重、二期恒载（桥面铺装）和附属设施荷载转化为质量，采用集中质量模型——将质量人为集中到选定的结点上。
此时质量矩阵是一个对角矩阵。
如果单元质量分布不均匀可以考虑不均匀的将质量集中在节点上。
这种方法对于空间杆系结构的计算结果较好的，因为它比较合服空间杆系结构的计算假定，即荷载均作用在节点之上；同时，若结构在某些地方存在集中质量（重型设备等），这种方式也是比较合理的。
本斜拉桥所采用的动力模型就是一个简化的空间杆系结构。
表1.特征值表格运用里兹向量法求出的是与三个平动地震动输入直接相关的振型。
本例X平动、Y平动、Z平动三个方向都取30阶振型，特征值分析结果（见表1）显示三个方向的振型参与质量分布是，满足规范上振型参与质量达到90%以上的要求。
前20阶振型中在三个平动方向的任一方向上的振型参与质量达到2%以上的振型模态如下图1-(1)~1-(8)所示。
本组所设计的大跨度漂浮体系斜拉桥的第一振型为纵飘振型，周期长达14.62s，第二振型为，周期仍然很长为12.40s，第三振型的周期就快速下降到了4.92s。
控制地震反应的主要振型特征表现为主梁纵飘、桥塔侧弯、对称与反对称竖弯以及对称与反对称侧弯。
（3）第1阶振型：T=14.65s，纵飘（2）第2阶振型：T=12.40s，对称侧弯（5）第5阶振型：T=3.30s，右塔侧弯（6）第6阶振型：T=3.13s，对称侧弯（8）第14阶振型：T=2.19s，反对称竖弯图1. 振型模态2. 反应谱分析进行大跨度桥梁的地震反应分析时，一般先进行反应谱分析，并最后要同时程分析的结果校合。
本例中用反应谱法分别计算《公路桥梁抗震设计细则》（JTG/T B02-01-2008）规定的两种概率水准的地震作用E1和E2下的桥梁动力响应。
斜拉桥拉索自振频率分析
斜拉桥拉索自振频率分析摘要：应用数理方程知识和有限元理论，分别求得斜拉索自振频率的解析解和数值解，并将两种方法得到的结果进行比对，证明了解析法和有限单元法的可靠性，为拉索的风雨激振和参数共振分析提供基础。
关键词：斜拉桥；拉索；自振频率Abstract: the application of mathematical equations knowledge and finite element theory, respectively given.according vibration frequency of stay-cables analytical solution and the numerical solution, and will by the two methods than the results, and proves the analytic method and finite element method of reliability, for the storm of the lasso excitation and parameter resonance analysis provides the foundation.Keywords: cable-stayed bridge; The lasso; The natural frequency of vibration of中图分类号：U448.27文献标识码：A 文章编号：1. 引言随斜拉桥跨度的不断增大，斜拉索变得越来越长，因为索的大柔度、小质量和小阻尼等特点，极易在风雨、地震及交通等荷载激励下发生振动[1]。
长拉索前几阶频率在0.2-0.3Hz时，模态阻尼比只有0.1%，更有可能发生大幅的摆动。
迄今，已有许多斜拉索风致振动的报导：日本结构工程协会(Japan Institute of Construction Engineering) 在1988 年一年内对日本的五座斜拉桥斜拉索振动进行了观测和测量，发现它们的最大振幅如下：Brotoni桥达600毫米，Kofin桥达1000毫米，Meikeh桥达600毫米，Aratsu桥达300毫米，大约为直径的两倍。
超大跨径斜拉桥斜拉索振动特性及减振措施研究
学文签 ｆ 、 位作名 ‘・ 论者： ；
１年，‘ ｝ ｝ 日 ０ Ｙ ０ ｊ 矛
经指导教师同意，本学位论文属于保密，在 本授权书。 指导教师签名：
年 月 日
年解密后适用
学位论文作者签名：
梁工程界和风工程界研究人员关注的焦点。
本文分析了 斜拉索的可能振动类型和索的静、 动力特性， 分别对斜拉 索的参数振动与 线性内部共振、 风雨激振的振动机理进行初步分析， 对斜 拉索减振对策措施进行研究， 系统、 全面提出斜拉索减振设计原则和设计 方法。以苏通大桥工程实践为背景， 进行相关试验、 研究、 分析， 确定苏 通大桥斜拉索结构特性和具体减振方案， 为工程建设提供帮助， 同时也为
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ｂｄｅｗ ｉ ｉｖｒ ｌｕ ｆ Ｓｔ ｇ ｄｅ ｓ ｃｏ ａ ｗｌａｏ ｒｇ， ｃ ｓ ｈ ｐ ｌ ｕ ｎ Ｂｉ ｃｎｒ ｔｎ ｉ ｌ ｉ ｈ ｈ ｅ ｅ ｆ ｏ ｏ ｒｇ ｏ ｔ ｉ ｎ ｌ ｙ ｒ ｕ ｄ ｓ
ｂｎｆ ｓ ｉｒ ｅｔｏ ｃｂ ｖ ｒｉ ｃｎ ｏ ｄｓ ｎ ｃｎｔ ｃｏ． ｅｅｔ ｌ ｐｏ ｃ ｎ ｌ ｉ ａｏ ｏｔ ｌ ｅｉ ａｄ ｓ ｔｎ ｉ ｉ ａ ｒ ｓ ａ ｅ ｔｎ ｒ ， ｇ ｎ ｏ ｒ ｉ ｍ ｊ ｂ ｕ
斜拉桥拉索自振频率分析
斜拉桥拉索自振频率分析摘要：应用数理方程知识和有限元理论，分别求得斜拉索自振频率的解析解和数值解，并将两种方法得到的结果进行比对，证明了解析法和有限单元法的可靠性，为拉索的风雨激振和参数共振分析提供基础。
关键词：斜拉桥；拉索；自振频率Abstract: the application of mathematical equations knowledge and finite element theory, respectively given.according vibration frequency of stay-cables analytical solution and the numerical solution, and will by the two methods than the results, and proves the analytic method and finite element method of reliability, for the storm of the lasso excitation and parameter resonance analysis provides the foundation.Keywords: cable-stayed bridge; The lasso; The natural frequency of vibration of1. 引言随斜拉桥跨度的不断增大，斜拉索变得越来越长，因为索的大柔度、小质量和小阻尼等特点，极易在风雨、地震及交通等荷载激励下发生振动[1]。
长拉索前几阶频率在0.2-0.3Hz时，模态阻尼比只有0.1%，更有可能发生大幅的摆动。
迄今，已有许多斜拉索风致振动的报导：日本结构工程协会(Japan Institute of Construction Engineering) 在1988 年一年内对日本的五座斜拉桥斜拉索振动进行了观测和测量，发现它们的最大振幅如下：Brotoni桥达600毫米，Kofin桥达1000毫米，Meikeh桥达600毫米，Aratsu桥达300毫米，大约为直径的两倍。
金马大桥斜拉桥模态试验
金马大桥斜拉桥模态试验摘要本文以广东金马大桥斜拉桥模态试验为背景，介绍了利用环境随机振动法进行大型桥梁结构模态参数（包括自振频率、振型和阻尼）测试的原理与方法。
通过对实测与理论计算结果的分析比较，表明该方法是有效的。
关键词金马大桥；模态试验；环境随机振动金马大桥是广东广（州）肇（庆）高速公路上跨越西江河道的一座特大型桥梁，全长1912.6m，桥面宽26.5m，按6车道设计。
其主桥采用独塔斜拉桥与刚构联合体系，跨径组合为（60+2×283+60）m。
斜拉桥梁塔固结，主梁采用梁板结构，梁高2m，梁宽29.80m，双索面，梁上索距8m。
索塔为箱形断面，承台下设24根变截面(Φ2.5～Φ2.7m)嵌岩桩。
刚构主梁采用双箱单室断面，根部梁高8m，悬臂端梁高2m，梁宽26.5m，其主墩为双肢薄壁墩，下设8根变截面(Φ2.15～Φ2.35m) 嵌岩桩，边墩亦为柔性墩，下设4根Φ1.6m嵌岩桩。
为了解大桥的自振特性，受建设单位的委托，广东省交通建设工程质量检测中心对该桥作了模态试验。
1 试验目的及方法试验的目的是：1、了解大桥的动力特性，为进一步评估大桥的抗风抗震性能提供参考；2、通过比较理论计算与实测所得的结构动力参数（频率、振型）的差异，改进和完善有限元模型；3、为将来桥梁营运监测及状态评估提供基础资料。
4、积累经验，为以后斜拉桥的设计与试验提供参考。
试验采用环境振动法，即在自然条件下，通过布置在桥梁上的传感器拾取结构由大地脉动和周围环境的各种扰动引起的振动响应信号，经低频放大器将信号放大后，用动态信号采集系统进行采样、分析，以测定结构的相关动力特性（主要包括模态频率、振型及阻尼等）。
2 测试原理2.1固有模态及相应频率的识别象斜拉桥这种大型结构，其固有模态一般比较复杂。
即使是我们所关心的前若干阶低阶模态，都可能包含横向弯曲、竖向弯曲、扭转、或者弯扭耦合等多种型式。
因此，对这种结构进行振动测量时在同一断面上通常要布置纵、横、竖三个方向的传感器。
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多塔部分斜拉桥自振频率的实用简化算法唐冕;丁千夏;宋旭明【摘要】为了便于在概念设计阶段快速准确地估算多塔部分斜拉桥的基频,根据Rayleighmethod方法,以主梁的静挠度曲线作为振型函数,推导支承体系和刚构体系多塔部分斜拉桥的基频估算公式.以某三塔部分斜拉桥为例,计算其频率,讨论结构体系及塔跨数对多塔部分斜拉桥基频的影响.并将公式与较为精确的有限元法和《公路桥涵抗风设计规范》的单一估算方法进行比较,研究结果表明:计算多塔部分斜拉桥基频不可忽略结构体系及塔跨数的影响;支撑体系基频远低于刚构体系,不可用单一公式计算;随着塔跨数增加,基频降低.有限元解与公式解的对比结果表明,公式基频误差在10％以内,可以满足工程概念设计的需要.【期刊名称】《铁道科学与工程学报》【年(卷),期】2018(015)011【总页数】6页(P2861-2866)【关键词】斜拉桥;基频;矮塔;结构体系【作者】唐冕;丁千夏;宋旭明【作者单位】中南大学土木工程学院,湖南长沙 410075;华蓝设计(集团)有限公司,广西南宁 530011;中南大学土木工程学院,湖南长沙 410075【正文语种】中文【中图分类】U448.27部分斜拉桥作为连续梁(或连续刚构)与斜拉桥的组合体系，具有塔矮、梁刚、索集中的特点，灵活的跨径布置、美观的外形及经济的造价使其在近年内得到广泛应用。
目前的《公路斜拉桥设计细则》和《公路斜拉桥抗风设计规范》中仅对双塔斜拉桥中有辅助墩和没有辅助墩有不同的估算公式，没有考虑各种边界条件，对于与普通斜拉桥不同的多塔部分斜拉桥没有明确区分。
根据国内外众多学者对斜拉桥实时监测数据和数值模拟的研究，斜拉桥的动力特性除了受结构自身状态的影响外，还收到各种温度、损伤和车辆荷载质量等环境因素的影响[1−6]。
为了研究斜拉桥的动力特性，陈恒大等[7]推导了考虑主塔刚度影响三塔斜拉桥振动基频公式；李国豪[8]用单质点模型来估算漂浮体系斜拉桥基频；袁万城等[9]用双质点模型估算斜拉桥的纵飘频率；张先忠等[10]提出名义单位质量的抗弯刚度概念，推导高墩固结体系矮塔斜拉桥纵飘基频的估算公式；宋涛等[11]假设振型函数为三角函数，用Rayleigh method法，推导双塔矮塔斜拉桥基频。
对于支承体系斜拉桥，本文简化为简支梁模型，对于刚构体系斜拉桥简化为固端梁模型，以静挠度曲线作为振型函数，并考虑了多塔的影响，推导斜拉桥基频，并与相对精确的有限元法和《公路桥涵抗风设计规范》的估算方法进行比较。
用Rayleigh method计算斜拉桥的频率基本公式为：其中：势能和动能都包括主梁、主塔和拉索3部分。
主梁弯曲变形能为：式中：为主梁的抗弯刚度；v为主梁振型函数；L为主梁全长。
主塔弯曲变形能为：式中：为主梁的抗弯刚度；t为主塔数；u为主梁振型函数；H为主塔高。
考虑主塔的侧向位移，拉索的变形量示意图如图1所示。
则拉索的变形量为：其中：v为主梁在拉索处的挠度；u为桥塔侧向位移。
由得：式中：ΔS为拉索索力增量；Ea和Aa为拉索的弹性模量和截面面积；αi和Lci为拉索的水平倾角和索长。
拉索的变形能为：其中：N为拉索数。
索力垂直分量的变化为：二次变形所做的功为：主梁动能为：主塔动能为：拉索动能为：把式(2)，(3)，(6)，(9)~(12)代入式(1)得：在动能中，拉索质量相对主梁质量是个小量，可以忽略或者合并到主梁质量中，并且拉索的动力特性与分析阻尼器、梁体振动、温度等外界条件有关[12]，分析较为繁杂，因此本文不计算拉索动能。
主塔的变位和质量相对于主梁也是小量，桥塔截面抗弯刚度仅对高阶频率有明显影响[3]，本文也忽略不计。
在弯曲变形能中，拉索的二次变形能相对较小，可以忽略不计[7]，则(13)式简化为：由式(14)求频率，必须先假定振型函数，假定的振型函数越接近第一阶实际振型函数时，得到的基频就越精确。
因为支承体系是将主梁支承在墩上，主梁一般只在一个塔柱处设置固定支座，其余为纵向活动支座。
因此，把支承体系斜拉桥主梁简化为均布荷载作用下的简支梁，取其均布荷载下的静挠度曲线作为振型函数：求导得：把式(17)代入式(2)得：把式(11)代入式(6)得：式中：为边中跨比；ls为边跨跨度；lc为边跨跨度。
忽略塔的侧向位移，主梁跨中最大挠度为：以平均挠度计算拉索的变形能，即：则单根拉索的变形能为：则拉索变形能为：式中：n为主塔每侧拉索数；α为中跨拉索倾角；β为边跨拉索倾角。
把式(18)，(19)和(23)代入式(14)得：因为刚构体系斜拉桥塔梁墩相互固结，形成具有多点弹性支承的刚构。
因此，把刚构体系斜拉桥主梁简化为均布荷载作用下的固端梁，取其均布荷载下的静挠度曲线作为振型函数。
积分得：以平均挠度计算拉索的变形能，即：式中：n为主塔每侧拉索数；α为中跨拉索倾角；β为边跨拉索倾角。
则拉索变形能为：把式(27)，(28)和(32)代入式(14)得：综上所述，支承体系多塔部分斜拉桥，刚构体系多塔部分斜拉桥基频可用下式计算：支承体系：刚构体系：其中：若α=β：，以某在建的三塔矮塔斜拉桥为基准模型，采用Midas civil 2015进行仿真分析，通过变换结构体系或塔跨数，来对比不同结构体系及不同塔跨数下的桥梁动力响应。
中跨跨径225 m，主梁刚度EbIb=2.59×109 (kN∙m2)，拉索刚度EcIc=1.5×106 kN，边中跨比为0.62，主梁单位长质量m=82.0 (mg∙m−1)，主塔每侧拉索数n=18，倾角0.317 rad。
桥型布置图如图2所示。
表1，表2和表3中的基频均为竖弯基频。
表1和表2数值分析结果表明，随着塔跨数增加，支承体系斜拉桥基频和刚构体系斜拉桥的基频均逐渐降低，与规范解的偏差也越来越大，但塔跨数增加的越多，基频降低的趋势越不明显。
这是由于中塔没有后锚索，整体刚度比较小，因此塔跨数越多，多塔部分斜拉桥刚度越小，基频也越小。
显然，斜拉桥的基频仅用跨径来计算是不够的，表1(表2)4个模型，跨径及其他计算计算参数都相同，但由于塔跨数不同，基频不同。
表3数值分析结果表明，采用支承体系的部分斜拉桥由于在纵桥向与横桥向约束大大减弱，所以基频明显较刚构体系要小得多。
这也同样说明斜拉桥的基频仅仅用跨径来计算是不够的，故《公路桥梁抗风设计规范》的公式误差比较大，尤其对于支承体系斜拉桥。
而宋涛等[5]以三角函数为振型函数，用瑞莱法推导的基频公式，三塔四跨支承体系斜拉桥计算基频为0.559 6 Hz，与有限元的值相比，误差也较大。
而本文推导的基频公式计算误差都在10%以内，更加接近精确解，可以作为概念设计阶段的基频估算公式。
1) 随着塔跨数增加，斜拉桥基频降低；但是塔跨数增加地越多，基频降低地越不明显，因此塔跨数对多塔矮塔斜拉桥基频的影响不能忽略。
2) 支承体系基频远低于刚构体系基频，因此多塔矮塔斜拉桥基频，不仅与主梁抗弯刚度，拉索抗弯刚度，主跨跨径有关，结构体系对斜拉桥基频有很大影响。
3) 本文推导的式(34)~(35)适用于多塔支承体系斜拉桥和多塔刚构体系斜拉桥，而且与抗风规范和参考文献[5]和[6]相比更贴近Midas计算的精确解。
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