多面体的外接球问题专题训练
多面体的外接球问题(word文档良心出品)
多面体的外接球问题题型一 直角四面体的外接球 补成长方体，长方体对角线长为球的直径1．三棱锥P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，2PA PB PC ===，PA PB ⊥，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．48πB ．12πC． D．解析:由题意得：,,PA PB PC 两两相互垂直，以,,PA PB PC 为边补成一个正方体，其外接球就为三棱锥P ABC -2412ππ=，选B ．C2.在正三棱锥A BCD -中，,E F 分别是,AB BC 的中点，EF DE ⊥，若BC =A BCD -外接球的表面积为A πB 2πC 3πD 4πC3.在正三棱锥S ABC -中，,M N 分别是,SC BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱SA =，则正三棱锥S ABC -外接球的表面积为A 12πB 32πC 36πD 48π 4.（2019全国1理12）．已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A．B．C． D5.设A ，B ，C ，D 是半径为2的球面上的四个不同点，且满足AB →·AC →＝0，AD →·AC →＝0，AB →·AD →＝0，用S 1、S 2、S 3分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则S 1＋S 2＋S 3的最大值是________． 答案 8解析 由AB →·AC →＝0，AD →·AC →＝0，AB →·AD →＝0，∴AB →⊥AC →，AD →⊥AC →，AB →⊥AD →，由点A ，B ，C ，D 构成的三棱锥，可以补形成一个长方体，该长方体的外接球半径为2，∴AB 2＋AC 2＋AD 2＝(2＋2)2＝16，即AB 2＋AC 22＋AB 2＋AD 22＋AD 2＋AC 22＝16≥AB ·AC ＋AB ·AD ＋AC ·AD ，∴S 1＋S 2＋S 3＝12(AB ·AC ＋AB ·AD ＋AC ·AD )≤12×16，当且仅当AB ＝AC ＝AD ＝433时，S 1＋S 2＋S 3取得最大值8.题型二 等腰四面体的外接球 补成长方体，长方体相对面的对角线为等腰四面体的相对棱1．在四面体ABCD 中，若AB CD =，2AC BD ==，AD BC ==ABCD 的外接球的表面积为( ) A ．2π B ．4πC ．6πD．8π解：如下图所示，将四面体ABCD 放在长方体AEBF GCHD -内，设该长方体的长、宽、高分别为x 、y 、z ， 则长方体的体对角线长即为长方体的外接球直径，设该长方体的外接球半径为R ，由勾股定理得222222222345AB x y AC x z AD y z ⎧=+=⎪=+=⎨⎪=+=⎩，上述三个等式全加得2222()12x y z ++=，所以，该四面体的外接球直径为2R = 因此，四面体ABCD 的外接球的表面积为224(2)6R R πππ=⨯=， 故选：C ．2．A B C D ，，，四点在半径为225的球面上，且5AC BD ==，AD BC ==，AB CD =，则三棱锥D ABC -的体积是____________．【答案】2秒杀法：根据题意构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥D ABC -，如图所示，设长方体的长、宽、高分别为a b c ，，，则有2222222254150a b a c a b c ⎧+=⎪+=⎨⎪++=⎩，解得4a =，3b =，5c =，所以三棱锥的体积为435⨯⨯－11443532⨯⨯⨯⨯⨯＝20．点拨：3.在三棱锥S ﹣ABC 中，底面△ABC 的每个顶点处的三条棱两两所成的角之和均为180°，△ABC 的三条边长分别为AB=3，AC=5，BC=6， 则三棱锥ABC S -的体积（ ）A ．22B ． 10C ．232D ．234解：∵底面△ABC 的每个顶点处的三条棱两两所成的角之和均为180°， ∴三棱锥的三个侧面与底面ABC 全等．∴三棱锥S ﹣ABC 可看做是面对角线分别为6,5,3的长方体沿着面对角线切去四个小棱锥得到的几何体．设长方体的棱长为z y x ,,，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+6y 53222222z z x y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===421222z y x ，∴22=xyz∴三棱锥的体积3223142131==⨯⨯-=xyz xyz xyz V 故选C ．题型三 有公共斜边的两个直角三角形组成的三棱锥 ，球心在公共斜边的中点处C1.在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的体积为A.π12125 B.π9125 C.π6125 D.π3125解：由于SA=AC=SB=BC=，SC=2，则SA 2+AC 2=SC 2，SB 2+BC 2=SC 2，即有SA ⊥AC ，SB ⊥BC ，取SC 的中点O ，连接OA ，OB ， 则由直角三角形的斜边上的中线即为斜边的一半，可得OA=OB=OC=OS=1，即有球的半径r 为1，则球的体积为=．故选：B ．B2.三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，且SA AC SB BC ====，4SC =，则该球的体积为 A2563π B 323π C 16π D 64π解析：D3．在四面体S ABC -中，,2AB BC AB BC SA SC ⊥====，二面角S AC B --的余弦值是3-）A ．B ．6πC ．24π DA4.在平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，BD =BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体'A BCD -，使平面'A BD ⊥平面BCD ，若四面体'A BCD -顶点都在同一个球面上，则该球的体积为A 2B 3πC 3D 2π5．平行四边形ABCD 中，AB ·BD =0，沿BD 将四边形折起成直二面角A 一BD －C ，且4=，则三棱锥A －BCD 的外接球的表面积为（ ）A ．2π B ．4π C ．π4 D ．2π分析：0AB BD ⋅=,所以AB BD ⊥,因为ABCD 为平行四边形,所以,CD BD AB CD ⊥=.因为A BD C --为直二面角,所以⊥面ABD 面CBD ,因为=面ABD 面CBD BD ,⊂AB 面ABD ,AB BD ⊥,所以⊥AB 面CBD .因为⊂BC 面CBD ,所以AB BC ⊥.分析可知三棱锥A BCD -的外接球的球心为AC 的中点.因为22222222()24A C A B B C A B C D B D A B C D =+=++=+=,所以2AC =.则三棱锥A BCD -的外接球的半径为1,表面积为4π.故C 正确.6已知直角梯形ABCD ，AB AD ⊥，CD AD ⊥，222AB AD CD ===，沿AC 折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的体积为 ．4π题型四 侧棱垂直于地面或侧面垂直于地面 过底面外心做垂线，球心有垂线上1.已知四面体P ABC -,其中ABC ∆是边长为6的等边三角形,PA ⊥平面ABC ,4PA =,则四面体P ABC -外接球的表面积为________．π64解：∵△ABC 是边长为6的等边三角形，∵PA ⊥平面ABC ，PA=4，△ABC 的外接圆的半径为32，∴四面体P ﹣ABC 外接球的半径为=4∴四面体P ﹣ABC 外接球的表面积为4π•42=64π．故答案为：64π．D2.已知三棱锥BCD A -中，2====CD BD AC AB ,AD BC 2=,直线AD 底面BCD 所成的角是3π，则此时三棱锥外接球的体积是 ( ) A π8 Bπ32 C π324 D π328 3. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的（ ）A ．外接球的半径为33B ．表面积为137++C ．体积为3D ．外接球的表面积为π4 解：由三视图可知，这是侧面ACD ⊥ABC ，高3=DE 的三棱锥，AC=2，BE=1，所以三棱锥的体积为33322131=⨯⨯⨯，设外接球的圆心为0，半径为x ，则x OE -=3 在直角三角形OEC 中，OE 2+CE 2=OC 2，即221)3(x x =+-，整理得221323x x x =++-，解得半径332=x ，所以外接球的表面积为，31642ππ=x 所以A ，C ，D 都不正确，故选B ．题型五 其中一条侧棱满足某个特殊的条件1.已知三棱锥BCD A -中，2====CD BD AC AB ,AD BC 2=,直线AD 底面BCD 所成的角是3π，则此时三棱锥外接球的体积是 ( ) A π8 Bπ32 C π324 D π328 选D(太原2016届高三上学期考试）在四面体ABCD 中，已知060=∠=∠=∠CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为（ ）A ．2B ．2C ．3D ．3解：设四面体ABCD 的外接球球心为O ，则O 在过△ABD 的外心N 且垂直于平面ABD 的垂线上．由题设知，△ABD 是正三角形，则点N 为△ABD 的中心．设P ，M 分别为AB ，CD 的中点，则N 在DP 上，且ON ⊥DP ，OM ⊥CD ．因为∠CDA=∠CDB=∠ADB=60°，设CD 与平面ABD 所成角为θ，∴cosθ=31，sinθ=32．在△DMN 中，DM==1，DN=332=DP由余弦定理得3131231⨯⨯⨯-+=MN 2= ∴四边形DMON 的外接圆的半径3sin ==θMNOD ．故球O 的半径3=R 故选：D ．巩固提高：1．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为6cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O ．E ，F ，G ，H 为圆O 上的点，ABE ∆，BCF ∆，CDG ∆，ADH ∆分别是以AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起ABE ∆，BCF ∆，CDG ∆，ADH ∆，使得E ，F ，G ，H 重合得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为()A ．163πB ．253πC ．643πD ．1003π解：连接OE 交AB 与I ，E ，F ，G ，H 重合为P ，得到一个正四棱锥，设正方形ABCD 的边长为x ．则2x OI =，62x IE =-．由四棱锥的侧面积是底面积的2倍，可得24(6)222x xx ⨯⨯-=，解得4x =．设外接球的球心为Q ，半径为R ，可得OC =OP =222)R R =+．解得R =∴该四棱锥的外接球的表面积210043S ππ=⨯=． 故选：D ．2．已知正方形ABCD 的边长为2，CD 边的中点为E ，现将ADE ∆，BCE ∆分别沿AE ，BE 折起，使得C ，D 两点重合为一点记为P ，则四面体P ABE -外接球的表面积是( )A ．1712πB ．1912πC ．193πD ．173π解：如图，PE PA ⊥，PE PB ⊥，1PE =，PAB ∆是边长为2的等边三角形， 设H 是PAB ∆的中心，OH ⊥平面PAB ，O 是外接球的球心，则1122OH PE ==，PH =，则22221912R OP OH PH ==+=． 故四面体P ABE -外接球的表面积是21943S R ππ==．故选：C ．3．在梯形ABCD 中，//AB CD ，AD AB ⊥，4AB =，2AD CD ==，将梯形ABCD 沿对角线AC 折叠成三棱锥D ABC -，当二面角D AC B --是直二面角时，三棱锥D ABC -的外接球的表面积为( ) A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π解：如图：4AB =，2AD CD ==，AC ∴=BC = 取AC 的中点E ，AB 的中点O ，连结DE ，OE ， 平面DCA ⊥平面ACB ，DE AC ⊥,DE ∴⊥平面ACB ，2DE =OE =，2OD ∴=，OB OA OC OD ∴===，2OB ∴=，即外接球的半径为2，此时三棱锥外接球的表面积为24216ππ=．故选：D ．4.已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在半径为3的球面上，AB AC ⊥，则该三棱锥体积的最大值是 ．解：设AB m =，AC n =，则12ABC S mn ∆=,ABC ∆的外接圆直径BC =取BC 的中点M ，则当PM ⊥平面ABC 时，三棱锥的体积最大此时球心O 在PM 上，113)32maxV mn =⨯⨯2213)34m n +⨯⨯…令224m n t +=，则1()3)3f t t =，1()3)3f t '=由()0f t '=，解得0t =（舍)，8t =，()f t 在(0,8)递增，在(8,9)递减 故f （8）最大，为323，所以三棱锥P ABC -的最大体积为3235.已知C B A P ,,,是半径为2的球面上的点，2===PC PB PA ，2ABC π=∠，点B 在AC 上的射影为D ，则三棱锥ABD P -体积的最大值为________.【分析】P 在平面上的射影G 为△ABC 的外心，即G 为AC 中点，球的球心在PG 的延长线上，设PG ＝h ，则OG ＝2﹣h ，求出h ＝1，则AG ＝CG ＝，过B 作BD ⊥AC 于D ，设AD ＝x ，则CD ＝2﹣x ，设BD ＝y ，由△BDC ～△ADB ，得，从而y ＝，则＝，令f （x ）＝﹣x 4+2，则，利用导数性质能求出三棱锥P ﹣ABD 体积的最大值．解：如图，根据题意得P A ＝PB ＝PC ＝2，∠ABC ＝90°，∵P ，A ，B ，C 是半径为2的球面上的点，P A ＝PB ＝PC ＝2，2π=∠ABC ，点B 在AC 上的射影为D ，∴P 在平面上的射影G 为△ABC 的外心，即G 为∴OB 2﹣AC 中点，则球的球心在PG 的延长线上，设PG ＝h ，则OG ＝2﹣h ，OG 2＝PB 2﹣PG 2，即4﹣（2﹣h ）2＝4﹣h 2，解得h ＝1，则AG ＝CG ＝3，过B 作BD ⊥AC 于D ，设AD ＝x ，则CD ＝23﹣x ，设BD ＝y ，由△BDC ～△ADB ，得，解得y ＝，则＝， 令f （x ）＝﹣x 4+2，则，由f ′（x ）＝0，得x ＝，∴当x ＝时，f （x ）max ＝，∴△ABD 面积的最大值为＝，∴三棱锥P ﹣ABD 体积的最大值为．故答案为：833． 6．已知三棱柱111C B A ABC -的底面是正三角形，侧棱⊥1AA 底面ABC ，若有一半径为2的球与三棱柱的各条棱均相切，则1AA 的长度为______． 13．【详解】由题意，的外接圆即为球的大圆设底面外接圆圆心，从而正三角形边长为，设圆心，由题意在球面上，为中点，则在中，，，则，，则故答案为。
多面体外接球专项训练
专题：多面体的外接球问题232,2R 34V R 4r S r d S ππππ====圆圆体球，，题型一：长方体体对角线的一半就是外接球的半径1.已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）A ．π16B ．π20C ．π24D ．π32题型二：还原在长方体内共球，关键词：侧棱两两互相垂直._____O 32PC PB PA PC PB PA O ABC -P .1的体积为，球两两互相垂直，，，上，的四个顶点都在球三棱锥===2.若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是3.已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为()A．B．C．D题型三：还原在直三棱柱内共球，关键词：有一条侧棱垂直于底面1.在四面体S ABC -中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠︒AB AC SA BAC 则该四面体的外接球的表面积为______.2.三棱锥ABC S -中，侧棱⊥SA 平面ABC ，底面ABC 是边长为3的正三角形，32=SA ，则该三棱锥的外接球体积等于.3.在直三棱柱111C B A ABC -中，4,3,6,41====AA A AC AB π则直三棱柱111C B A ABC -的外接球的表面积为。
._____5AC 22BC 1AB 2SA ABC SA ABC -S .4面积为则该三棱锥外接球的表，，，，，平面中，在三棱锥====⊥5．已知边长为2的正ABC △所在平面外有一点P ，4=PB ，当三棱锥ABC P -的体积最大时，三棱锥ABC P -外接球的表面积为()A ．332πB ．π16C ．364πD ．3256π题型四：正棱锥系列（正四面体）1.正四棱锥ABCD S -的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为。
人教版必修二习题1、3有关多面体的外接球问题课件
B1
解析： 球的直径是长方体的对角线长 (2R)2 32 22 12 14
4R2 14
球的表面积S 4 R2 14
方法一:直接法
一、长方体和正方体的外接球的有关问题
长方体或正方体的体对角线的长等于其外接球的直径
D
勾股定理：DD12 D1B12 DB12 A
D1 A1
C
2R B
设球半径为R，ΔABC的外接圆半径为r.设三棱 锥的高SA=2a.
在RtSAD中,SD 2R, AD 2r,
S
SA 2a, (2r)2 (2a)2 (2R)2
2a 2R o
A
·
o1 2r
C
B
D
小结：
简单多面体外接球的半径的求法
• 方法一：直接法 • 方法二：补形法 • 方法三：构造直角三角形（勾股定理）
(2R)2 22 22 22 12
D1 A1
O C1
B1
4R2 12解得R 3
球的体积V 4 R3 4 3
3
2、求长方体的外接球的有关问题
例 2、(2017 年高考Ⅱ卷文数)长方体的长、宽、高分别为 3,2,1，其顶点都在球 O 的球面上，则球 O 的表面积为
14
D
C
A D1
A1
2R B
简单多面体的外接球问题
D
C
A
B
2R
O
D1
2r
C1
A1
B1
A
RO
B
· d
D
r
O1
C
A
RE
B
D
C
一.球的性质
1. 用一个平面去截球，所得的截面是圆
专题--多面体的外接球问题
一. 多面体外接球的相关定义
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面 上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个 球是这个多面体的外接球。
定义2：如果空间中一个定点到一个多面体的所有顶 点的距离都相等，那么这个定点就是该多面体外接
球的球心。 公式3：球体的体积与表面积
4 V球 R 3 3
A 1B 1C 1, ∠B AC ＝∠A 1B 1C 1 ＝ 90° , A C ＝ A B ＝A 1A ＝ B 1C 1 ＝ 2,则多面体 A B C － A 1B 1C 1 的外接球的表面积为
(
C
) A. 2π B. 4π C. 6π
D. 8π
4. （2018 ?南岗区三模）三棱锥P - ABC中，底面 ABC满足BA BC，ABC
5.侧棱长都相等的棱锥
题型：侧棱长都相等的棱锥的外接球问题. P
l
A
方法一：利用定义找球心， 其外接球的球心在它的高 所在直线上
h
O
l C 方法二：
D
B
2
h 2R
M
6.折叠模型
题型: 1.两个全等三角形或等腰三角形拼在一起的三棱锥外接球； 2.一个直角三角形与一个等边三角形或等腰三角形拼在一 起的三棱锥外接球等； 3.菱形沿着对角线折叠形式的三棱锥外接球
方法：如图，分别过多边形外 心做平面垂线，垂线交点即为 外接球球心.
三. 例题分析
1. (2018 江西宜春模拟 )一个几何体的三视图如图所 示，则该几何体的外接球的表面积为( B ) A ．36π 9 C. π 2 B ．8π 27 D. π 8
2.(2017年江西五校调研)如图（1），五边形 PABC D 是由一个正方形与一个等腰三角形拼接而成，其中
简单多面体的外接球问题解析版
为 6 cm，若不计容器厚度，则球的体积为( )
A.5030π cm3
B.8636π cm3
1 372π C. 3
cm3
2 048π D. 3
cm3
[解析] 如图，作出球的一个截面，则 MC＝8 －6＝2(cm)，BM＝12AB＝12×8＝4(cm)．设球的半 径为 R cm，则 R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R ＝5.∴V 球＝43π×53＝5030π(cm3)．
A. 64 B. 16 C. 12 D. 4
O
O
16
3
O
O1
什么样旳三棱锥外接球球心好拟定？
上下底面中心旳连线旳中点
•
（贵州省• 2016适应性考试）已知正三棱柱的体积为3 3，所有顶点都在球 O的球面上，则球O的表面积的最小值为
在其高上
例7、求棱长为1旳正四面体外接球旳体积． 6
课堂跟踪检测
题点五：球的内接直棱柱问题
5．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一
个球面上，则该球的表面积为
()
A．πa2
B.73πa2
C.131πa2
ห้องสมุดไป่ตู้D．5πa2
解析：选B 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱
与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中
心，O为球心，易知AP＝23× 23a＝ 33a，OP＝12a，所以
[活学活用] 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________． 解析：由三视图可知，该几何体为一个半 径为 1 的半球，其表面积为半个球面与截 面面积的和，即12×4π×12＋π×12＝3π. 答案：3π
球的截面问题
[典例] 如图，有一个水平放置的透明无盖的
高考数学专题《两招玩转多面体的外接球》填选压轴题及答案
专题60 两招玩转多面体的外接球【方法点拨】解决多面体的外接球问题的关键是“定心”，常用方法有两种：（1）“补体法”：对于符合特殊条件的四面体补形为长方体解决，常见的有下列两种类型. 类型一：墙角模型（三条线两个垂直，补形为长方体，其体对角线的中点即球心）方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2222)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R .类型二：对棱相等模型（补形为长方体）如下图，三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（CD AB =，BC AD =，BD AC =）第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为c b a ,,，x BC AD ==，y CD AB ==，z BD AC ==，列方程组，图3图12⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+222222222z a c y c b x b a ⇒2)2(2222222z y x c b a R ++=++=， 补充：abc abc abc V BCD A 31461=⨯-=- 第三步：根据墙角模型，22222222z y x c b a R ++=++=，82222z y x R ++=，8222z y x R ++=，求出R .（2）“窜心法”：多面体的外接球心问题，可转化为其某两个侧面三角形外接圆的垂线来解决，即球心就是分别过两个侧面三角形外接圆的圆心且垂直于该平面的直线的交点（即将三角形外接圆的圆心，垂直上蹿下跳）.第一步：先画出如图所示的图形，将BCD ∆画在小圆上，找出BCD ∆和BD A '∆的外心1H 和2H ；第二步：过1H 和2H 分别作平面BCD 和平面BD A '的垂线，两垂线的交点即为球心O ，连接OC OE ,；第三步：解1OEH ∆，算出1OH ，在1OCH Rt ∆中，勾股定理：22121OC CH OH =+. 说明：解法二是通法，具体解题过程中，常常涉及复杂的线面位置关系的论证、多次解三角形等，有一定的难度.【典型题示例】例1 (2021·全国)已知三棱锥P ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF ＝90°，则球O 的体积为( )A ．86πB ．46πC ．26πD ．6π图11【答案】D【解析】因为点E ，F 分别为P A ，AB 的中点，所以EF ∥PB ，因为∠CEF ＝90°，所以EF ⊥CE ，所以PB ⊥CE . 取AC 的中点D ，连接BD ，PD ，易证AC ⊥平面BDP ，所以PB ⊥AC ，又AC ∩CE ＝C ，AC ，CE ⊂平面P AC ，所以PB ⊥平面P AC ， 所以PB ⊥P A ，PB ⊥PC ，因为P A ＝PB ＝PC ，△ABC 为正三角形，所以P A ⊥PC ，即P A ，PB ，PC 两两垂直，将三棱锥P ABC 放在正方体中如图所示．因为AB ＝2，所以该正方体的棱长为2，所以该正方体的体对角线长为6，所以三棱锥P ABC 的外接球的半径R ＝62，所以球O 的体积V ＝43πR 3＝43π×(62)3＝6π.故选D. 例 2 在边长为23的菱形ABCD 中，60A =︒，沿对角线BD 折起，使二面角A BD C --的大小为120°，这时点A ，B ，C ，D 在同一个球面上，则该球的表面积为____________. 【答案】28π【解析】设ABD 和BCD 的外心1O 和2O ，过1O 和2O 分别作平面ABD 和平面BCD 的垂线，两垂线的交点即为球心O （两垂线共面的证明，此处从略），连接OA 即为所求球的半径易知二面角A BD C --的平面角为AEC ∠（证明从略），故120AEC ∠=︒， 因为1O 是ABD 的外心，所以32332AE CE ==⨯=，11O E =，12O A = 在1Rt O OE ，11O E =，160OEO ∠=︒，所以13OO =， 在1Rt AOO ，2222211327OA OO O A =+=+= ∴四面体的外接球的表面积为2428R ππ=.CBD AE O 2O 1O例3 在三棱锥ABC P -中，5==BC PA ，17==AC PB ，10==AB PC ，则该三棱锥外接球的表面积为_________；外接球体积为_________． 【答案】3261326ππ，【解析】由题意，该三棱锥的对棱相等，可知该三棱锥可置于一个长方体中，记该长方体的棱长为c b a ，，，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+251710222222c b c a b a ，即431===c b a ，，，所以22622591=++=r ，由此可得，326133426432ππππ====r V r S ，．例4 已知三棱锥P －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 满足AB ＝22，∠ACB ＝90°，P A 为球O 的直径且P A ＝4，则点P 到底面ABC 的距离为( ) A. 2B.2 2C. 3D.23【答案】 B【解析】 取AB 的中点O 1，连接OO 1， 如图，在△ABC 中，AB ＝22，∠ACB ＝90°，所以△ABC 所在小圆圆O 1是以AB 为直径的圆， 所以O 1A ＝2，且OO 1⊥AO 1， 又球O 的直径P A ＝4，所以OA ＝2，所以OO 1＝OA 2－O 1A 2＝2，且OO 1⊥底面ABC ， 所以点P 到平面ABC 的距离为2OO 1＝2 2.【巩固训练】1.在三棱锥D ABC -中，平面ACD ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且AC ＝CD ＝DA ＝3，AB ＝3，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为（ ）． A ．15π4B ．15πC ．3π2D ． 6π2.如下图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥底面,,ABCD AB BC AD CD ⊥⊥，且120,2BAD PA AB AD ∠=︒===，则该四棱锥外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．20πC ．205πD ． 205π33.三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，△PAC 和△ABC 均为边长为2的正三角形，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 .4.如图所示三棱锥，其中则该三棱锥外接球的表面积为 .2，则该正面体外接球的体积5.正四面体的各条棱长都为为 .6. 在三棱锥P ABC -中，PAB ∆是边长为3的等边三角形，AC BC =，90ACB ∠=︒，二面角P AB C --的大小为120︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为 ．7. 已知在四棱锥S －ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 是等腰梯形，BC //AD ，若SD ＝AD ＝8，BC ＝6，AB ＝CD ＝2，则四棱锥S －ABCD 的体积为 ；它的外接球的半径为 ．(第一空2分，第二空3分)8.在三棱锥BCD A -中，,4,3,2======BD AC BC AD CD AB 则三棱锥BCD A -外接球的表面积为 .9.(多选题)在正六棱锥P ABCDEF -中，已知底面边长为1，侧棱长为2，则 A ．AB PD ⊥ B ．共有4条棱所在的直线与AB 是异面直线A BCD -5,6,7,AB CD AC BD AD BC ======CDCD ．该正六棱锥的外接球的表面积为163π【答案或提示】1. 【答案】B甲乙 丙【解析】∵AB ⊥AC ∴△ABC 外接圆的圆心为BC 中点，∴A BCD -外接球的球心在过BC 中点且垂直于△ABC 所在平面的直线上如上图（乙）中，设BC 中点为O 1，球心为O ，同理，设△ADC 外接圆的圆心为O 2 则OO 2= O 1E =32， 在△OO 2D 中，O 2D =3，所以OD 2= O 1E 2+ O 2D 2=154所以三棱锥A BCD -的外接球的表面积为15π. 2. 【答案】B【解析】四边形ABCD 的外接圆的直径4AC =，故四棱锥外接球的球心在过AC 的中点且垂直于平面ABCD 的直线上，又因为P A 、两点在球面上，故其球心在过PA 中点且垂直于PA 的垂面上， 所以球心即为PC 中点（PAC 的外接圆即为大圆）， 故PC 20π. 3. 【解析一】3460sin 22221===r r ，3221==r r ，312=H O ， 35343121222=+=+=r H O R ，315=R .【解析二】312=H O ，311=H O ，1=AH ， 352121222=++==O O H O AH AO R ，315=R . 4.【答案】55π【解析】同例2，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为c b a ,,，110493625)(2222=++=++c b a ，55222=++c b a ，5542=R ，π55=S .5. 【解析】这是对棱相等的特殊情况放入长方体中，32=R ，23=R ，ππ2383334=⋅=V . 6.【答案】13π【解析】取AB 的中点M ，连接PM 、CM ， 因为PAB ∆是等边三角形，所以PM AB ⊥，又因AC BC =，所以CM AB ⊥，所以PMC ∠即为二面角P AB C --的平面角，即120PMC ∠=︒， 因为PAB ∆是等边三角形，所以PAB ∆的外接圆圆心即为三角形的重心1O ，过1O 作1l ⊥平面PAB ，而M 为ABC ∆的外接圆圆心，过M 作2l ⊥平面ABC ， 所以1l 与2l 的交点即为三棱锥P ABC -外接球的球心O ， 作平面PMC 截面图，则PM =，113O M ==，13O P == 而9030PMO PMC ∠=∠-︒=︒，则111tan302OO O M =⋅︒=，所以r OP == 所以三棱锥P ABC -外接球的表面积为2413r ππ=．7.【答案】563【提示】球心O 在SD 的中垂面上，所以O 到底面的距离d ＝4，设底面ABCD 的圆心为H ，半径为r ，1=，解得5r =，所以外接球的半径为R = 8.【答案】π229【解析】如“方法点拨类型二”图，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长， 设长宽高分别为c b a ,,，则922=+b a ，422=+c b ，1622=+a c∴291649)(2222=++=++c b a ，291649)(2222=++=++c b a ，229222=++c b a ，22942=R ，π229=S . 9.【答案】BCD【解析】设底面中心为O ，PO ⊥平面ABCDEF ，PO AB ∴⊥.若PD AB ⊥，则AB ⊥平面POD ，则AB OD ⊥，即AB AD ⊥矛盾，A 错.AB 与,,,PC PD PE PF 异面，B 对.对于C ，可用几何法.设四棱锥内切球球心为1O ，1O ∴一定在PO上，图中OM =PMPO =AB 中点M ，连接,PM OM ，过1O 作1O H PM ⊥于点H ，1O H ∴⊥平面PABPM1只需11O HO O r ==，由122PO H PMO ⇒=△∽△⇒内切球球半径r =C 正确.设内切圆半径为r ，取AB 中点Q ，2PA PB ==，12BQ =，2PQ ∴==，Δ11224PAB S ∴=⋅⋅=，S ∴侧16112S =⨯⨯⨯=底Rt POQ △中，PO ===1132322r⎛∴⋅=+⋅ ⎝⎭，4r -∴=. 设外接球半径为R，则22)1R R-+=，R ∴=， 21643S πR π==，D 对，选BCD.。
多面体与外接球的三种题型
多面体与外接球的三种题型 题型一（直接找直径） 1、在三棱锥S-ABC 中，SA=AC=，SB=，BC=1，则三棱锥S-ABC 的外接球的表面积是 。
2、若三棱锥S-ABC 的所有顶点都在同一个球O 的球面上，SA 面ABC ，SA=，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，求球O 的体积。
题型二（作轴截面构造Rt △）1、已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 是球O 的直径，且SC=2，求此棱锥的体积。
2、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，则这个球的体积为 。
题型三（补形法）1、若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积为2、一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和侧视图是腰长为4的两个全等直角三角形，若该几何体的所有顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 。
3、已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的一点，SA 面ABC ，AB BC ，SA=AB=1，BC=，则球O 的表面积等于 。
23⊥3233⊥⊥24、四棱锥P -ABCD 的三视图如图所示，四棱锥P -ABCD 的五个顶点都在同一个球面上，E ，F 分别是棱AB ，CD 的中点，直线EF 被球面所截的线段长为，则该球的表面积为5、在三棱锥S -ABC 中，SA=BC=2，SB=AC=3，SC=AB=，则该三棱锥外接球的体积是 。
题型四（割补法）1、如图所示的四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为a的正方形，PD 底面ABCD ，且PD=a ，PA=PA=a ，若在这个四棱锥内放一球，则此球的最大半径是 。
2、已知正四面体的外接球的半径为1，则此正四面体的体积为 。
3、已知三棱锥D -ABC 的顶点都在球O 的球面上，AB=4，BC=3，AB BC ，AD=12，且DA 平面ABC ，则三棱锥A -BOD 的体积是 。
多面体的外接球问题专题训练
多面体与球组合体问题专题训练1.若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 .2.高为24的四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为（A ）24 （B ）22 (C ) 1 (D) 23.已知三棱锥S —ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，AC=2r ，则球的体积与三棱锥体积的比值是 . 4π4. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 。
20π5.正四棱锥S ABCD -的底面边长和各侧棱长都为2，点S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 . 43V π=球 6. 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为A.12512πB.1259π C .1256π D.1253π 7.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 . 43V π∴=球 8.如图所示，已知正四棱锥S —ABCD 中，底面边长为a,侧棱长为2a.（1）求它的外接球的体积；（2）求它的内切球的表面积.9．四面体ABCD 的四个顶点在同一球面上，AB =BC =CD =DA =3，AC = BD =23，则该球的表面积为 15π 。
10.四面体ABCD 中，AB=CD=5，AD=BC=34,AC=BD=41，则四面体ABCD 的外接球体积为 。
C DA B S O 1图3A O D B 图411．四面体ABCD 的四个顶点在同一球面上，AB=BC=CD=DA=3，32=AC ，6=BD ，则该球的表面积为 （ ）A ． π14 B.π15 C.π16 D.π18 12.已知球的直径SC =4，A ，B 是该球球面上的两点，AB =3， 30=∠=∠BSC ASC ，则棱锥S —ABC 的体积为 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
多面体与球组合体问题专题训练
1.若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 .
2.高为24的四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为
（A ）24 （B ）22 (C ) 1 (D) 2
3.已知三棱锥S —ABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，AC=2r ，则球的体积与三棱锥体积的比值是 . 4π
4. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,
120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 。
20π
5.正四棱锥S ABCD -的底面边长和各侧棱长都为2，点S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 . 43
V π=球 6. 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为
A.12512π
B.1259π C .1256π D.1253
π 7.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为
98，底面周长为３，则这个球的体积为 . 43V π∴=球 8.如图所示，已知正四棱锥S —ABCD 中，底面边长为a,侧棱长为2a.
（1）求它的外接球的体积；
（2）求它的内切球的表面积.
9．四面体ABCD 的四个顶点在同一球面上，AB =BC =CD =DA =3，AC = BD =23，则该球的表面积为 15π 。
10.四面体ABCD 中，AB=CD=5，AD=BC=34,AC=BD=41，则四面体ABCD 的外接球体积为 。
C D
A B S O 1图3A O D B 图4
11．四面体ABCD 的四个顶点在同一球面上，AB=BC=CD=DA=3，
32=AC ，6=BD ，
则该球的表面积为 （ ）
A ． π14 B.π15 C.π16 D.π18 12.已知球的直径SC =4，A ，
B 是该球球面上的两点，AB =3， 30=∠=∠BS
C ASC ，则
棱锥S —ABC 的体积为 。
3
13．三棱锥A-BCD 中，A D ⊥平面 ABC ，∠BAC=1200，AB=AD=AC=2，则三棱锥A-BCD 的
外接球面积为 。
14．三棱锥P-ABC 中，平面⊥PA ABC ，且PA=2 ，三角形ABC 是边长为3的正三角形，则该三棱锥的外接球表面积为 。
15．已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，
,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为
A B ． C ．132
D ． 16．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，
SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ）
A B ． C ． D
17.【2012高考真题辽宁理16】已知正三棱锥P -ABC ，点P ，A ，B ，C 球面上，若P A ，PB ，PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为________。
18.在正三棱锥S-ABC 中，M 、N 分别是SC 、BC 的中点，且AM MN ⊥，若侧菱SA=32，则正三棱 S-ABC 外接球的表面积为（ ）
A.12π
B.32π C .36π D.48π
19．三棱锥A-BCD 内接于球O ，AB=AD=AC=BD=3，∠BCD=600，则球O 的表面积为 。
A ． 23π B.π2 C. π3 D.2
9π 20．点A 、B 、C 、D 在同一个球面上，AB=BC=2，AC==2，若四面体ABCD 体积的最大值是3
2，则这个球的表面积为 （ ）
A ． 6125π B.π8 C. 425π D.16
25π 21．三棱锥A-BCD 中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，⊿ABC 、⊿ACD 、⊿ADB 的面积分别为
22、23、26，则该三棱锥的外接球的表面积为 （ ） A ． π2 B.π6 C.π64 D.π24
22．已知球O 是正方体ABCD-ABCD 的内切球，且平面ACD 1截球O 的截面面积为6π，则正方体的外接球的表面积为（ ）
A ． π2
B .π3 C.π D.π4
23．已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 是该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的公共弦，AB=4，若OM=ON=3，则MN= 。
3
24．将4个半径都为R 的球体完全装入底面半径是2R 的圆柱形桶内，则桶的最小高度为 。
25．在三棱锥P ―ABC 中，△ABC 与△PBC 都是等边三角形，侧面PBC ⊥底面ABC ，AB =23，
则该三棱锥的外接球的表面积为 ．
26.四棱锥P ABCD -的三视图如右图所示,四棱锥P ABCD -的五个顶点都在一个球面上，E 、F 分别是棱AB 、CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段
长为22，则该球表面积
为 。
27．如右图，四面体ABCD 的正
视图和左视图都是腰长为1的等
腰直角三角形，记四面体ABCD
的体积为1V ，其外接球的体积为2V ，则21V V = 。
28．把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内，
使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为
（A ）103 cm （B ）10cm
（C ）102 cm （D ）30cm 正视图A B。