空间中直线与平面垂直的定义及判定教学设计
《空间中直线、平面垂直的性质》教案
课题：空间中直线、平面垂直的性质（1课时）一、教学设计1．教学内容解析本节课为人教版A版必修2第二章第三节《直线、平面垂直的判定与性质》第3课时，主要内容为直线与平面垂直的性质定理、平面与平面垂直的性质定理，是一节性质的新授课。
新课标教材对“立体几何初步”的内容设计，“垂直”在描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系中起着重要的作用，集中体现为：空间中垂直关系之间的转化，以及空间中垂直与平行关系之间的转化。
教材将本节内容置于“平行关系”的判定与性质以及“垂直关系”的判定之后，目的是使学生在明确“什么是图形位置关系的性质”的基础上，通过类比直线、平面“平行关系”的性质，从整体上提出“垂直关系的性质”的猜想，学生经历直观感知、操作确认、思辨论证等探究过程，获得“垂直关系”的性质。
本节中，几何直观和空间想象、合情推理和论证推理的结合有助于学生数学核心素养的培养，增进学生对空间几何本质的理解，体会蕴含在其中的数学思想方法。
基于以上分析，我将本节课的教学重点确定为：类比直线、平面“平行关系”的性质，探究直线与平面垂直的性质定理。
2．学生学情诊断经过前面的学习，学生已具备一定的空间想象力与思维能力，能准确使用图形和数学语言表述几何对象的位置关系，已了解“平行关系”的性质和判定方法，以及“垂直关系”的判定方法。
然而，在直线与平面、平面与平面垂直的条件下，有哪些特殊的位置关系尚不明确；直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的转化与联系比较模糊；空间位置关系的认识仍停留在平行关系之间的转化、垂直关系之间的转化上，平行与垂直关系之间的联系未能建立起来。
基于以上分析，我将本节课的教学难点确定为：直线与平面垂直性质定理的探究和论证。
3．教学目标设置（1）通过生活实例和类比推理，学生能从定义出发探究性质，观察、论证得到线面垂直性质定理，能独立探究发现面面垂直的性质定理；（2）通过体验直观感知、操作确认、思辨论证等探究过程，图形、符号语言的表达与交流，发展学生几何直观和空间想象、合情推理和论证推理的能力，培养学生的数学核心素养；（3）通过将现实空间问题抽象为数学图形，自主探究的实践与展示，帮助学生认识现实空间，激发学生的创新精神和应用意识。
高一数学《直线与平面垂直的判定》教学设计
高一数学《直线与平面垂直的判定》教学设计高一数学《直线与平面垂直的判定》教学设计范文一、内容和内容解析本节课是在学生学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质之后进行的，其主要内容是直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理及其应用。
直线与平面垂直是通过直线和平面内的任意一条直线(无一例外)都垂直来定义的，定义本身也表明了直线与平面垂直的意义，即如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的所有直线，这也可以看成是线线垂直的一个判定方法;直线与平面垂直的判定定理本节是通过折纸试验来感悟的，即一条直线只要与平面内的两条相交直线垂直就可以判定直线与平面垂直了，它把原来定义中要求与任意一条(无限)垂直转化为只要与两条(有限)相交直线垂直就行了，概言之，线不在多，相交就行。
直线与平面垂直的判定方法除了定义法、判定定理外，还有如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面，这是直线与平面垂直判定的一种间接方法，也是十分重要的。
本节学习内容蕴含丰富的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“无限转化为有限”“线线垂直与线面垂直互相转化”等数学思想。
直线与平面垂直是研究空间中的线线关系和线面关系的桥梁，为后继面面垂直的学习、距离的学习奠定基础。
二、目标和目标解析1.借助对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义;2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题;3.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等数学思想.三、教学问题诊断分析学生已有的认知基础是熟悉的日常生活中的具体直线与平面垂直的直观形象(学生的客观现实)和直线与直线垂直的定义、直线与平面平行的判定定理等数学知识结构(学生的数学现实)，这为学生学习直线与平面垂直定义和判定定理等新知识奠定基础。
《直线与平面垂直的判定》教学设计
《直线与平面垂直的判定》教学设计一、教材分析本节课是在学生学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质之后，直线与平面的又一种特殊的位置关系，其主要内容是直线与平面垂直的定义、直线与平面垂直的判定定理及其应用，这个内容具有承上启下的地位．通过教与学的活动，使学生了解、感受直线和平面垂直的定义过程，探究判定直线与平面垂直的方法，完善学生对线面结构的理解.本节内容蕴含深刻的数学思想——转化思想，如“空间问题转化为平面问题”、“无限转化为有限”、“线面垂直与线线垂直互相转化”等．二、教学目标1.知识与技能：理解直线与平面垂直的定义与判定定理；能用直线与平面垂直的判定定理论证、解决一些简单问题.2.过程与方法：通过对实例、几何模型的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，并经过操作、辨析，归纳出直线与平面垂直的判定定理.在探索、发现新知的过程中，体悟数学思想方法，发展学生的合情推理水平，提升学生观察水平、空间想象水平和推理论证水平.3.情感、态度与价值观：让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验探索的乐趣，增强学习兴趣和自信心.三、重点与难点直线与平面垂直的定义与判定定理的概括.四、教学方法“问题链+学生核心活动”.五、知识建构（一）复习旧知，提炼要点问题1：我们已经研究过空间中直线与平面的哪些位置关系？直线与平面平行是怎么研究的？设计意图：通过回顾已学过的线面关系，一方面巩固学生知识基础；另一方面，让学生进一步领悟研究线面关系的思路方法.明确以下两点：（1）线面平行的研究内容：定义——判定——性质——应用；（2）线面平行的研究方法：情境——抽象——概括——论证.（二）从情景出发，发现问题问题2：你认为，空间中直线与平面的关系中，还有什么关系较为重要？请大家举出生活中或空间几何体中的一些“直线与平面垂直”的例子．设计意图：通过直观感知、辨析，确定新的研究内容，并引导学生通过观察学校广场上旗杆与地面之间的关系、课室中柱子与地面的关系等，并让学生直观感知直线与平面垂直的普遍存有，形成直线与平面垂直的初步形象，激起进一步探究直线与平面垂直的欲望.（三）辨析探究，生成新知问题3：怎样画直线与平面垂直的直观图？设计意图：这里，将画图问题前置，一方面是因为学生已具备作此图的水平，另一方面是便于深入研究线面垂直的内涵.随后，教师拿一根教杆与桌面摆成垂直以及斜交等情形，让学生观察、体会、领悟线面垂直的内涵.问题4：直线与平面垂直的涵义是什么？请大家尝试给出“直线与平面垂直”的定义？设计意图：根据实际例子对直线于平面垂直的初步形象，尝试文字叙述直线与平面垂直的定义.定义：如果直线l 与平面α内的_______________ ，我们说直线l 与平面α互相垂直，记作______.直线l 叫做平面α的______，平面α叫做直线l 的_____.直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P 叫做_________.由线面垂直的定义可得：若直线l 垂直于平面α，则直线l 垂直于____________简记：线面垂直,线线垂直.符号：________________⇒⎪⎭⎪⎬⎫设计意图：学生填写定义，建立文字、图形、符号这三种语言的相互转化. 这个定义揭示了线面垂直的本质，也就是直线与平面内的任一条直线都垂直.这正是不能将后续的判定定理作为线面垂直定义的原因.问题5：怎样才能简便判断直线与平面垂直？直线l 垂直平面α内的一条直线，那么直线l 和平面α垂直吗？ 直线l 垂直平面α内的两条直线，那么直线和平面α垂直吗？学生核心活动：请同学们拿出一块三角形纸片，做一个试验：过三角形的顶点A 翻折纸片，得到折痕AD （如图1），将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD 、DC 与桌面接触）折痕AD 与桌面垂直吗？设计意图：用定义来判断线面垂直，难度太大.因而，寻找简便的判断方法就成为下一步要研究的内容，这里正是思维冲突最为激烈的部分，故而，设计了一个学生核心活动. 通过折纸让学生发现当且仅当折痕AD 是BC 边上的高时，且B 、D 、C 不在同一直线上的翻折之后竖起的折痕AD 才不偏不倚地站立着，即AD 与桌面垂直（如图），其它位置都不能使AD 与桌面垂直．根据上面的试验，结合两条相交直线确定一个平面的事实，感知将与平面内所有直线垂直逐步归结到与平面内两条相交直线垂直.学生经过操作，充分观察、思考与讨论后回答：问题6：当折痕AD 与BD 、CD 具有怎样关系时, 折痕AD 与桌面所在的平面垂直？此时BD 与CD 所在直线是什么关系？与定义相符吗？直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.设计意图：建立定义与判定定理之间的联系，有助于学生理解判定定理的本质，也有助于学生深化对定义的理解.简记：_____________________________特别注意：1.定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；2.定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想.（四）应用新知，巩固强化1.判断下列命题的真假.（1）如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直；（2）如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直.2.一条直线和三角形的两边垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.不确定设计意图：通过题组1深化直线与平面垂直的定义和应用.（五）拓展深化,发现新知问题7 斜线在变化过程中，与平面的位置关系给我们以怎样的形象.那么，怎 样定义直线与平面所成的角呢？直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.（六）经典题例，解析讲评例1 若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.例2 有一根旗杆AB 高8m ，它的顶端A 挂有一条长10m 的绳子，另外还有一把卷尺.请你根据这一条件，设计一个检验旗杆与地面是否垂直的方案.操作：拉紧绳子并把它的下端放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一条直线上)C 、D,如果这两点都和旗杆脚B 的距离是6m ，那么旗杆就和地面垂直.设计意图：通过实际问题的解决，让学生更深刻的理解直线与平面垂直的判定定理，加强定理的应用.ααα⊥⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⊂⊂l n m _____________________符号表示：α A B C D例3 如图，在三棱锥P-ABC 中，已知PA ⊥平面ABC ，BC ⊥AC ，求证：BC ⊥平面PAC. 追问：BC ⊥PC 吗？怎么得到的？ 设计意图：通过提供思路，让学生自主完成线面垂直的证明，让刚接触线面垂直的学生不至于不知如何入手，提高学生的兴趣，并且模型选取三棱锥，是最常见的，也是最基础的.例4 在长方体1AC中，11,2AB BC AA ===，对角线1AC 与底面ABCD 所成的角.设计意图：此题是在上题的基础上做 的一点变式应用，目地在于让学生更熟练 和踏实地掌握线面角的求解.（六）回顾小结，提炼升华（1）线面垂直的定义;（线面垂直，则线线垂直）（2）线面垂直的判定定理;（线线垂直，线面垂直）（3）证明空间垂直问题的关键是线面垂直与线线垂直的相互转化;（4）重要思想方法：化归的数学思想.（七）作业见《直线与平面垂直的判定》（学生用案）PB A D CB A D D B AC A 1 C 1D 1 B 1。
《空间中的垂直关系：直线与平面垂直》参考教案
βαm la αaα 1.2.3 直线与平面垂直教学目的：1.理解直线与平面垂直的定义；2.掌握直线与平面垂直的判定、性质定理内容及其应用；3.应用直线与平面垂直的判定、性质定理解决问题 .教学重点：直线与平面垂直的判定、性质定理内容及其应用. 教学难点：直线与平面垂直的判定、性质定理内容及论证过程教学过程：一、复习引入：1.直线和平面的位置关系是什么?观察空间直线和平面可知它们的位置关系有：（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a ⊂α，a ⋂α=A ，a//α.2.线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.推理模式：,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒ 3.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.推理模式：//,,//l l m l αβαβ⊂⋂=⇒ 引入新课:在直线和平面相交的位置关系中,有一种相交是很特殊的,我们把它叫做垂直相交,这节课我们重点来探究这种形式的相交----引出课题.二、研探新知1.观察实例,发现新知现实生活中线面垂直的实例:旗杆与地面的关系，大桥的桥柱与水面的位置关系，房屋的屋柱与地面的关系，都给人以直线与平面垂直的形象。
2.实例研探,定义新知探究:什么叫做直线和平面垂直呢?当直线与平面垂直时，此直线与平面内的所有直线的关系又怎样呢?变换时间观察现实生活中线面垂直的实例:在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子，随着时间的变化，尽管影子的位置在移动，但是旗杆所在的直线始终与影子所在的直线垂直，就是说，旗杆AB所在直线与地面上任意一条过点B的直线垂直（如图），事实上，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线也是垂直的。
直线与平面垂直的判定教学设计
直线与平面垂直的判定教学设计【教学目标】知识与技能1、明白得直线与平面垂直的相关概念。
2、把握直线与平面垂直的判定定理。
过程与方法1、通过定理的探究过程，培养和提高学生的探究能力和动手能力。
2、通过对直线与平面垂直的感性认识进一步培养学生的空间想象能力。
情感态度价值观通过探究过程进一步培养学生学习空间几何的爱好。
【重点难点】重点1、直线与平面垂直的相关概念。
2、直线与平面垂直的判定定理。
难点直线与平面垂直的判定定理的应用。
【教学过程】一、新课引入与讲授I 直线与平面垂直的定义教学1、举现实生活中直线与平面垂直的实例，并结合课件中图片在课堂展现，给学生直线与平面垂直的感性认识。
进而提出问题：一条直线与一个平面垂直的数学定义是什么?2、课件展现课本P67图2.3-2，并进行相关的分析说明，从而引出直线与平面垂直的定义。
3、引出定义后介绍相关名词，如垂足等。
4、叫几个学生上台在黑板上表示一条直线与一平面垂直，这时学生可能会画出多种表示形式，再依照学生的画法，纠正错误的，确信正确的(要是有正确画法的话)，再引导学生给出正确的表示方法。
II 直线与平面垂直的判定定理教学1、学习过定义后，提出问题：定义尽管能够判定一条直线与一个平面垂直，然而比较困难，那么除此之外还有什么方法呢?2、带领学生带着上述问题做课本P68的探究试验(该试验已于上次课布置学生作了必要的预备，如三角形纸片等)。
3、在试验中引导学生发觉当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面垂直;引导学生这时AD的特点：与BD、CD垂直，顺势引出判定定理。
4、结合图形，让学生上台写出定理的符号形式，并加以更正讲解。
5、点评定理的地位：表达线面垂直与线线垂直互相转化的数学思想;及注意点：两条直线要相交。
6、讲解例1及例2，其中讲解例2时补充一个证明方法(利用定理直截了当证明)并点评。
7、让给一定时刻让学生做课堂练习并讲解。
二、小结1、回忆直线与平面垂直的定义。
教学设计1：1.4.1 第3课时 空间中直线、平面的垂直
1.4.1 第3课时 空间中直线、平面的垂直一、教学目标1. 能用向量语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系；2. 能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理. 二、教学重难点 1. 教学重点用直线的方向向量和平面的法向量证明直线与平面的位置关系. 2. 教学难点建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为空间向量问题. 三、教学过程 （一）新课导入思考：类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？ （二）探索新知一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行；平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直. 用向量刻画线线垂直如图，设直线21l l ，的方向向量分别为12u u ，，则 1212120l l ⊥⇔⊥⇔=u u u u .用向量刻画线面垂直如图，设直线l 的方向向量为u ，平面α的法向量为n ，则 l αλ⊥⇔⇔∃∈R un ，使得λ=u n .用向量刻画面面垂直如图，设平面αβ，的法向量分别为12n n ，，则 12120αβ⊥⇔⊥⇔=n n n n .（三）例题精析例1 如图，在平行六面体中，11AB AD AA ===，11A AB A AD ∠∠==60BAD ∠=︒，求证：直线1AC ⊥平面11BDD B .证明：设1AB AD AA ===，，a b c ，则{}，，a b c 为空间的一个基底， 且11A C BD BB =+-=-=，，a b c b a c . 因为11AB AD AA ===，1160A AB A AD BAD ∠∠∠===︒， 所以222112======，a b c a b b c c a . 在平面11BDD B 上，取1BD BB ，为基向量， 则对于平面11BDD B 上任意一点P ，存在唯一的有序实数对()λμ，，使得1BP BD BB λμ=+. 所以1111()()()0A C BP A C BD A C BB λμλμ=+=+--++-=a b c b a a b c c .所以1A C 是平面11BDD B 的法向量，所以1AC ⊥平面11BDD B . 例 2 证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.已知：如图，l l αβ⊥⊂，， 求证：αβ⊥.1111ABCD A B C D -证明：取直线l 的方向向量u ，平面β的法向量n . 因为l α⊥，所以u 是平面α的法向量.因为l β⊂，而n 是平面β的法向量，所以⊥u n .所以αβ⊥. （四）课堂练习1.若直线的一个方向向量，平面的一个法向量为，则( ) A. B. C.D. A ，C 都有可能【答案】A【解析】∵直线的一个方向向量，平面的一个法向量为， 又，∴.故选A.2.已知点，若平面，则点的坐标为( ) A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意知， 又平面，所以，得①， ，得②，联立①②，解得，故点的坐标为.故选C. 3.已知直线与平面垂直，直线的一个方向向量为，向量与平面平行，则__________. 【答案】3【解析】∵平面的法向量为.又与平面平行， ∴，解得.4.已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，.对于结论：①；②；③是平面的法向量；④l (222)=-，，a α(111)=-，，b l α⊥//l αl α⊂(222)=-，，a α(111)=-，，b 2=a b l α⊥(010)(101)(211)(0)A B C P x z --，，，，，，，，，，，PA ⊥ABC P (102)-，，(102)，，(102)-，，(201)-，，(111)(201)(1)AB AC AP x z =---==-，，，，，，，，PA ⊥ABC (111)(1)0AB AP x z =----=，，，，10x z -+-=(201)(1)0AC AP x z =-=，，，，20x z +=12x z =-=，P (102)-，，l αl (13)z =，，u (321)=-，，v αz =α(13)z =，，u v α133(2)10z =⨯+⨯-+⨯=u v 3z =P ABCD (214)(420)AB AD =--=，，，，，(121)AP =--，，AP AB ⊥AP AD ⊥AP ABCD.其中正确的是__________. 【答案】①②③【解析】∵，∴，则①②正确；又与不平行，∴是平面的法向量，则③正确；由于，，∴与不平行，故④错误. 5.如图，四棱柱中，侧棱底面，，，，，为棱的中点，证明.证明：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，依题意得，，，，，.易得，， 于是，所以.（五）小结作业小结：用向量语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系. 作业： 四、板书设计1. 用向量刻画线线垂直；2. 用向量刻画线面垂直；3. 用向量刻画面面垂直.//AP BD 00AB AP AD AP ==，AB AP AD AP ⊥⊥，AB AD AP ABCD (234)BD AD AB =-=，，(121)AP =--，，BD AP 1111ABCD A B C D -1A A ⊥ABCD //AB DC AB AD ⊥1AD CD ==12AA AB ==E 1AA 11B C CE⊥A (000)A ，，(002)B ，，(101)C ，，1(022)B ，，1(121)C ，，(010)E ，，11(101)B C =-，，(111)CE =--，，110B C CE =11B C CE⊥。
直线与平面垂直的性质教案
直线与平面垂直的性质教案教案要求：1. 学生年级：高中数学或几何学课程2. 课时：1课时3. 主题：直线与平面垂直的性质教学目标：1. 了解什么是直线与平面垂直的几何关系；2. 掌握直线与平面垂直的判定条件；3. 能够解答直线与平面垂直相关的数学问题。
教学准备：1. 平面几何教材；2. 黑板、白板或投影设备；3. 教学PPT或展示素材。
教学过程：1. 导入（5分钟）- 引入问题：什么是直线与平面垂直的几何关系？- 引导学生回顾直线与平面的定义，根据直观经验，直线与平面垂直表示什么意思？2. 探究（10分钟）- 提示学生思考：如何判定一条直线与一个平面垂直？- 引导学生尝试给出判定准则，并解释其原理。
- 让学生讨论并交流，引导他们总结判定直线与平面垂直的条件。
3. 讲解（15分钟）- 结合学生的讨论结果，给出判定直线与平面垂直的条件，并用几何公式或示意图进行解释。
- 强调判定条件的重要性并给出几个典型的示例。
4. 示例分析（10分钟）- 提供一些例题或实际问题，让学生运用所学的知识判定直线与平面之间的垂直关系。
- 引导学生分析和解答问题，让他们积极思考并应用所学知识。
5. 拓展应用（10分钟）- 提供一些更复杂或具有挑战性的问题，让学生应用所学知识解决。
- 引导学生思考解决问题的方法和步骤，并鼓励他们进行讨论和合作。
6. 小结（5分钟）- 总结本节课所学的内容和思考问题，并强调直线与平面垂直的判定条件。
- 提醒学生复习和巩固所学的知识，并鼓励他们提出对直线与平面垂直性质的理解和感悟。
教学延伸：如果时间允许，可以让学生进行实践活动或小组讨论，进一步探究直线与平面垂直性质的应用。
可以使用动画或虚拟现实技术来展示直线与平面垂直的几何关系，以增加学生的兴趣和参与度。
直线与平面垂直的判定(教学设计)
教学设计直线与平面垂直的判定一．教材分析直线与平面垂直是直线和平面相交中的一种特殊情况，它是空间中直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的根底，是空间中垂直关系转化的重心，同时它又是直线和平面所成的角、直线与平面、平面与平面距离等内容的根底，因而它是空间点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一。
二．学情分析学生已经学习了直线、平面平行的判定及性质，学习了两直线〔共面或异面〕互相垂直的位置关系，有了“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论〞的体会，有了一定的空间想象能力、几何直观能力和推理论证能力。
三．教学目标根据新课标要求和和教学内容的构造特征，学生获得知识、技能、方法及情感、态度、价值观等方面的要求，结合学生的实际水平，制定本节课的教学目标如下：〔1〕使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；〔2〕使学生掌握判定直线和平面垂直的方法；〔3〕引导学生学会观察、发现问题、提炼结论，使他们在直观感知，操作确认的根底上学会归纳、概括结论。
〔1〕通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；〔2〕通过学生动手实践，亲身经历数学知识的形成过程，体验探究的乐趣，增强学习数学的兴趣。
培养学生学会从“感性认识〞到“理性认识〞过程中获取新知。
培养学生认真参与积极交流的主观意识；勇于探索新知的精神。
渗透由具体到抽象的思想及事物间相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点。
四．教学重点、难点依据新课标要求及本节课在高中数学中的地位和作用确定以下重点和难点教学重点：直线与平面垂直的定义和判定定理。
教学难点：直线与平面垂直定义的正确理解；判定定理的探究和线线垂直与线面垂直关系的灵活相互转化。
五．教法和学法教法：讲授法；探究法；多媒体辅助教学法。
学法：本节课注重让学生认真观察分析、积极思考、主动探索、合作交流，尽可能增加学生参与课堂的时间；通过练习使学生稳固知识，熟练应用知识解决简单问题。
六．教学环境和教学用具教学环境：多媒体教室；教学用具：利用计算机多媒体课件辅助教学，黑板、三角板，自制三角形纸片，正方体模型，课本〔表示平面、书脊表示直线〕。
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新课标高中立体几何教学案例空间中直线与平面垂直的定义及判定广州大学附属中学王映说明：本教学案例使用的教材是人教 A 版普通高中数学课程标准实验教材必修2。
【教学设计】一、教材分析（一）教材内容的安排与要求：与传统立体几何内容体系相比，本次立体几何内容的体系结构有重大改革。
传统立体几何基本上按照从局部到整体的原则，从研究点、直线和平面开始，先讲清楚它们之间的位置关系和有关公理、定理，再研究由它们组成的几何体的结构特征，几何体的体积、表面积等等。
人教A 版新课标实验教材先从对空间几何体的整体感受入手，再研究组成空间几何体的点、直线和平面。
这种安排有助于培养学生的空间想象能力、几何直观能力，淡化几何论证，降低立体几何学习入门难的门槛，强调几何直觉，把培养学生的空间观念和空间想象能力放到突出的位置，以激发学生学习立体几何的兴趣。
“空间中直线和平面垂直的定义及判定”这一专题内容经修改后教学要求大大降低，特别是论证方面，删去了"利用有关概念进行论证和解决有关的问题"的要求；将"三垂线定理及其逆定理"由"掌握"级降为" 了解" 级要求，淡化了几何论证的要求。
强调通过直观感知、动手实践来认知和理解线面垂直的定义和判定定理，能运用定义及定理证明一些空间位置关系的简单命题。
在教学内容设计上更注重实践操作和探究。
（二）学情分析笔者所带两个教学班差异明显，重点班学生学习习惯良好，基础相对扎实，但不善于大胆表述自己的观点，合作意识有待加强；另一普通班学生学习依赖性较强，自主探究意识薄弱。
同时，同一个班中的学生有近一半来自初中课改实验区，使用实验教材；而另一半则沿用原教材。
学生的初中几何基础参差不齐，差异较大。
其中非课改区学生的空间感以及了解的几何知识相对课改区有一定差距。
（三）教学目标针对教材特点和学生现状，分别从知识、能力以及情感与态度三方面来确定本节课的教学目标如下：1．知识目标：（1）掌握直线与平面垂直的定义及判定定理；（2）会应用直线与平面垂直的定义及判定定理解决一些简单的问题。
2．能力目标：（1）在合作探究中逐步构建知识结构；（ 2 ）在实践操作中发展学生几何直观能力和空间想象能力。
3. 情感与态度目标：（1）通过创造情境激发学生学习的兴趣与热情；（2）鼓励合作探究、互助交流，培养创新意识。
（四）教学重点与难点1．教学重点会运用定义与判定定理证明直线与平面的垂直关系。
2．教学难点在正方体模型中寻找线面垂直关系并予以证明。
二．教法分析新课程标准把“自主探索、合作交流”作为本次课程改革积极倡导的学习方式之一。
人教A 版实验教材在内容处理上给教师提供了更多的创造新形式、新内容的空间，更注重教师对教材个性化的处理。
本教学内容在教法设计上力求做到用教材而非教教材：1. 高一学生刚开始学习立体几何，尤其是非课改实验区的初中毕业生，他们的空间概念比较薄弱。
应充分利用“ 观察”、“ 思考”、“ 探究” 等栏目，在原有教材内容的基础上重组整合教学内容，创设宽松的开放式问题情境，给学生创造自己动手操作的机会，利用自己制作的模型分组谈论，自主探究，确保“直观感知—操作确认—思辨论证—度量计算”四个层次认识过程的展开和实施。
使学生在自主探索的学习中自己建构数学知识，发展学生的空间观念和几何直觉。
2. 适当的多媒体课件演示为学生理解和掌握几何图形性质的教学提供形象支持，有助于提高学生的几何直观能力和空间想象能力。
三．学生课前准备：自由分组；准备三角板、正方体模型。
四．教学过程教学实录（附教学录像）教师：我们先来回顾一下，空间中直线和平面有哪几种位置关系？学生1:两种。
分别是平行、相交。
学生2 :应该还有直线在平面内的情况！教师：直线与平面这三种位置关系可以分类列表归纳如下：■线在面内线与面的位置关系「线面平行线在面外§〔线面相交教师：请欣赏图片：当把笔直的旗杆抽象成直线I,天安门广场抽象成平面，我们可以直观地感受到直线I与平面〉具有怎样的位置关系？学生：显然是垂直的！教师：今天这节课我们就一起来学习这种直线与平面相交的特殊情况：直线与平面垂直的定义与判定。
教师：用教具直观演示：我们知道两条异面直线可以通过适当平移成为相交直线，当这两条相交直线成90 度时，我们就称这两条相交直线互相垂直。
也就是说空间中两直线的垂直可分为相交垂直和异面垂直。
探究活动一：尝试探究中生疑教师把课本中的知识点转化为具有探索性的问题，通过学生合作探究，以动促学。
一.引出定义：教师：我们来做一个实验：请大家拿出一支笔，竖立在桌面上，你会发现笔与桌面呈怎样的位置关系？学生会很快回答是垂直的关系！教师继续提问：请在桌面任取一条直线，观察此直线与竖立直线会有怎样的位置关系？学生的兴趣被调动起来，通过自己尝试并观察周围同学的实验操作，学生得出结论：无论桌面什么位置上的直线都会与竖立的直线成相交垂直或异面垂直的位置关系！教师：所以，我们可以借助线线垂直来定义线面垂直！以此引出空间中直线和平面垂直的定义：如果一条直线垂直于平面内的任何一条直线，则这条直线与平面垂直。
二．强化定义教师：怎样可以判定一条直线和平面垂直呢？如果直线与平面内无数条直线都垂直，能否判定直线与平面垂直？学生：充分利用桌面和笔不断进行尝试与探索。
在这一过程中，学生主动参与、乐于探究，对线面垂直的定义有了深层次的理解。
学生1：我可以举出反例说明。
如一条直线与平面斜交。
可以在平面内先找到一条与斜线垂直相交的直线，再把这条直线平移，可以得到平面内有无数条直线与斜线垂直，但很明显斜线并不与平面垂直。
（教师及时通过多媒体同步展示学生所举出的反例，增强直观感知）教师：很好！该同学抓住了这句话的关键字：无数！“无数”其实只是对平面内直线的数目予以要求，却并未强调平面内直线的任意方向。
回到线面垂直的定义注意其关键字：“无数”并不等价于“任！何”教师乘胜追击，把探究一作为问题的生长点，进一步激发学生的学习兴趣。
学生在作探究一的同时意识到，由于平面内直线的任意性，给证明和判断空间中的线面垂直带来不便。
于是学生在合作探究中又生一问在平面内找到多少条直线与已知直线垂直就足以判定直线与平面垂直呢？探究活动二：分组讨论中释疑让学生分组实验，大胆讨论猜想，以思促学。
学生：继续分组讨论。
借助桌面、笔、直角三角板等工具进行探究实验。
有部分学生很快说出只需要在平面内找两条直线与已知直线垂直就可以了。
教师继续追问：是平面内的任意两条吗？学生2 :必须是平面内两条相交直线！教师用两直角三角板直观演示，得出对平面内两相交直线并没有具体角度的限制，并发现：线不在多，相交就行！至此得到一个判定空间中直线与平面垂直的重要判定定理：当平面内两条相交直线都与直线I垂直时，就可以判断I与平面垂直了！通过教师创设问题情境，学生分组合作、讨论、交流，发现并容易接受空间中线面垂直的判定定理。
正如著名数学家弗赖登塔尔所说的：将数学理论家们业已证明并形式化了的“冰冷的美丽”还原为“火热的思考”深化定理，加强训练学生对图形语言、文字语言、符号语言的相互转化能力。
教师：多媒体显示定理的文字语言和图形语言，请学生写出符号语言。
学生3：I _ a,l _ bI _ ：教师：大家觉得是否准确？学生4：应加上a二：乂且b二a「|b = A教师：多媒体显示图形语言和符号语言，请用文字语言准确描述定理。
展示线面垂直的几种常见直观图的画法探究活动三：教师：线面垂直可以借助线线垂直予以证明，也体现了转化的思想。
你能举出一些实际生活中的例子是借助判定定理得出线面垂直的吗？学生：分组讨论。
学生5：比如我们所在的课室。
右前方有一条竖直的墙角线，它与前方地面一条地脚线垂直，同时与我右边地脚线也垂直，而且地面这两条地脚线是相交直线！我们由判定定理得竖直的墙角线与地面垂直！教师引入教材72 页探究问题，鼓励学生借助线面垂直的定义及判定予以说明。
探究活动四：实验操作中新疑；教师充分利用不确定情境激发学生创造性的探究，以创促学。
通过学生自己动手实际操作，结合几何画板制作动态演示课件，让学生视觉、听觉协同参与，感知。
教师：在我们接触较多的正方体模型中你能找到线面垂直的位置关系吗？学生们快速地通过每个小组自己带来的模型得出结论：每条侧棱垂直于上下底面，水平的棱垂直于左右侧面。
教师：如果加上正方体的各条面对角线和体对角线后，你能否找到更多的线与面的垂直关系？（源于P74 例2 与P87B 组习题2，进一步整合延展）学生分组借助自制正方体模型讨论探究。
此时，教师放手让学生去想去议，调动学生思维的积极性和学习交流。
当学生经过思考、讨论后，真正实现由感性认识向理性认识的过渡，达到巩固所学知识的目的，激发学生的理性思维，引导学生由直观感知、操作确认到思辨论证的过渡。
鼓励学生大胆猜想、小心验证，把结论写在画有正只需在面内再找到一条与BD 相交且与A 1C 垂直的直线就可以了！！方体的练习纸上互相交流。
让学生代表展示探究结果: 学生6 :我们组发现正方体的面对角线 BD 与平面AACC 1垂直.教师：你能否证明你的结论？学生6:在正方体 AO 中，AC _ BD又:AA 1 _平面ABCDBD 平面ABCDAA i _ BD又•."AC = A且 AA 1> AC 平面 AA 1CC 1 .BD _ 平面AA 1CC 1 教师：在学生表述证明过程的同时规范板书证明格式。
小结：要证明线面垂直只需在面内找到两条相交直线，证明它们与已知直线均垂直。
强调这是一个通过线线垂直转化证明线面垂直的方法。
学生7:我们组觉得线AC 与平面BDC 1好象是垂直的！教师：这组同学猜想正方体的体对角线与三条面对角线组成的平面垂直。
你们能结合线面垂直的定义和判定定理帮助他们予以证明吗？ 学生的探知欲望再次被激发，开始了又一轮热烈的讨论学生8:好象学生6得出的结论对我们证明学生7的猜想有所帮助！ ：BD _ 平面 AA 1CC 1且AC u 平面AA 1CC 1BD _AQ此时已经知道 A 1C 与面内的一条直线 BD 垂直了！CDAC形？教师：非常好！请结合图象观察，你认为平面BDC 1内哪一条直线既与 BD 相交又与A lC 垂直？ 学生9:当我们把正方体的右侧面放在桌面当成底面，则得到与学生8已经证出的那对线线垂直完全一样！教师：说得好！同理可证！又 T BG n BD 二 B.AC _ 平面 DBC 1 由于探究四是一个开放性的问题， 充分创设机会诱发学生的学习动机。
从广度上看，学 生因没有固定答案限制而敢于作大胆猜想，对于不同层次的学生均有机会参与讨论探 索。
教师及时将学生分组讨论验证的结论展示给全体学生， 并鼓励学生大胆交流，表述理论根据，展现自我。