高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算3课件新人教A版必修4
四、向量的线性运算 问题思考
向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意
向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a+λμ2b.
一
二
三
四
思维辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
(1)对于任意向量a和任意实数λ,λa与a一定是共线向量. ( )
(2)向量λa与a的方向不是相同就是相反. ( )
(3)若向量a和b共线,则必有b=λa. ( )
(4)若向量a和b不共线,且λa=μb,则必有λ=μ=0. ( )
(5)若向量 ������������, ������������ 共线,则A,B,C,D四点共线. ( )
(6)实数既可以与向量相乘,也可以相加减. ( )
思维辨析
3.做一做:(1)若|a|=3,|b|=14,则|-2a|=
,|3b|=
.
(2)若 a 与 b 是相反向量,则 5a 与-4b 的方向
.
解析(1)因为|a|=3,|b|=14,所以|-2a|=2|a|=6,|3b|=3|b|=34. (2)5a 与 a 同向,-4b 与 b 反向,而 a 与 b 是相反向量,所以 5a 与-4b
解(1)∵b=-2a,∴a与b共线. (2)∵a= 16b,∴a与b共线.
(3)设a=λb,则e1+e2=λ(3e1-3e2),
∴(1-3λ)e1+(1+3λ)e2=0. ∵e1与e2是两非零不共线向量, ∴1-3λ=0,1+3λ=0.
这样的λ不存在,因此a与b不共线.
探究一
探究二
探究三
核心素养提升
一
二
三
四
思维辨析
2.填空:数乘向量的运算律
(1)λ(μa)=(λμ)a;
(2)(λ+μ)a=λa+μa;
(3)λ(a+b)=λa+λb.
特别地,有(-λ)a=-(λa)=λ(-a);λ(a-b)=λa-λb.
3.做一做:12a+b+32a-4b 等于(
)
A.2a+3b B.a-3b
C.2a-3b
D.2a-2b
+
������������ )=23(a+b)=23a+23b.
∴������������ = ������������ − ������������ =
2 3
������
+
2 3
������
−
1 6
������
+
5 6
������
=12a-16b.
探究一
探究二
探究三
核心素养提升
思维辨析
角度3 证明三点共线问题
【例 4】 已知 e1,e2 是两个不共线的向量,若������������=2e1-8e2, ������������=e1+3e2,������������=2e1-e2,求证:A,B,D 三点共线.
证明∵������������ =e1+3e2,������������ =2e1-e2, ∴������������ = ������������ − ������������=e1-4e2.
故方程组的解是
������
=
4 11
������
+
6 11
������,
������
=
1 11
������-
4 11
������.
探究一
探究二
探究三
核心素养提升
思维辨析
向量的线性运算类似于代数多项式的运算,共线向量可以合并, 即“合并同类项”“提取公因式”,这里的“同类项”“公因式”指的是向 量.
又������������ =2e1-8e2=2(e1-4e2),
∴������������=2������������,∴������������ ∥ ������������. ∵AB 与 BD 有交点 B,∴A,B,D 三点共线.
探究一
探究二
探究三
核心素养提升
思维辨析
1.证明三点共线,通常转化为证明由这三点构成的两个向量共线, 两个向量共线的充要条件是解决向量共线问题的依据.
(7)向量a与b共线,当且仅当有唯一一个实数x,使b=xa. ( )
(8)若m=3a+4b,n=
3 2
a+2b,则m∥n.
(
)
答案(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)× (6)× (7)× (8)√
探究一
探究二
探究三
核心素养提升
思维辨析
向量的线性运算
【例1】 (1)化简下列各向量表达式:
探究一
探究二
探究三
核心素养提升
思维辨析
变式训练 2 如图,四边形 OADB 是以向量������������=a,������������=b 为邻边的
平行四边形,对角线交于
C,又������������
=
1 3
������������, ������������
=
1 3
������������,试用向量
(5)由本性质定理知,若向量������������=λ������������,则������������, ������������共线.又������������, ������������有 公共点 A,从而 A,B,C 三点共线,这是证明三点共线的重要方法.
一
二
三
四
思维辨析
一
二
三
四
思维辨析
A.23a+13b C.13a+23b
B.23a-13b D.13a-23b
解析由题意可得,������������
=
������������
+
������������
=
������������
+
2 3
������������
=
������������
+
2 3
(������������
−
������������ )=13
一
二
三
四
思维辨析
2.填空:
定义 长度 方向 规定
一般地,实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫做向 量的数乘,记作 λa
|λa|=|λ||a| λ>0 λa 的方向与 a 的方向相同 λ=0 λa=0 λ<0 λa 的方向与 a 的方向相反 当 λ=0 或 a=0 时,λa=0
一
二
三
四
2.若A,B,C三点共线,则向量 ������������, ������������, ������������ 在同一直线上,因此必定 存在实数,使得其中两个向量之间存在线性关系,而向量共线定理 是实现线性关系的依据.
探究一
探究二
探究三
核心素养提升
思维辨析
变式训练 3 已知 O,A,M,B 为平面上四点,且������������=λ������������+(1-λ)������������(λ ∈R,λ≠0,且 λ≠1).
①3(6a+b)-9
������
+
1 3
������
;
②(5a-4b+c)-2(3a-2b+c);
③2
3
(4������-3������)
+
1 3
������-
1 4
(6������-7������)
.
(2)解关于
x,y
的方程组
2������ + ������-4������
3������ = ������, = 2������.
a,b
表示������������, ������������, ������������.
解∵������������ = ������������ − ������������=a-b,
∴������������
=
1 3
������������
=
1 6
������������
=
16(a-b),
∴������������ = ������������ + ������������=b+16(a-b)=16a+56b.
+
7 4
������
=23
5 2
������-
11 12
������
=53a-1118b.
(2)由 x-4y=2b,可得 x=4y+2b,代入 2x+3y=a,
可得 2(4y+2b)+3y=a,
于是 8y+4b+3y=a,解得 y=111a-141b,
再代入 x=4y+2b 中可得 x=141a+161b.
探究一
探究二
探究三
核心素养提升
思维辨析
变式训练 1(1)13
1 2
(2������
+
8������)-(4������-2������)
的结果是(
)
A.2a-b
B.2b-a C.b-a D.a-b
(2)已知2a-b=m,a+3b=n,那么a,b用m,n可以表示为
a=
,b=
.
解析(1)原式=13(a+4b-4a+2b)=13(-3a+6b)=-a+2b=2b-a. (2)由 2a-b=m,可得 2a-m=b,代入 a+3b=n 可得 a+3(2a-m)=n, 解得 a=37m+17n,代入 2a-m=b 可得 b=-17m+27n. 答案(1)B (2)37m+17n -17m+27n
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高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义课件3新人教A必修4
【即时小测】
1.思考下列问题.
(1)两个向量相加结果可能是一个数量吗？ 提示：不能，实数相加结果是数，而向量具有方向，所以相加的结果 是向量. (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加，这种说法对吗？ 提示：这种说法是不正确的.向量既有大小又有方向，在进行向量相 加时，不仅要确定长度还要确定向量的方向.
答案：CF
知识点1 向量的加法
【知识探究】
观察图形，回答下列问题：
问题1：三角形法则和平行四边形法则的使用条件有何不同？ 问题2：共线向量怎样进行求和？ 问题3：当涉及多个向量相加时，运用哪个法则求解？
【总结提升】 1.对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的三点说明 (1)两个法则的使用条件不同. 三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于 两个不共线的向量求和. (2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的. (3)在使用三角形法则时要注意“首尾相连”，在使用平行四边形法 则时需要注意两个向量的起点相同.
3.如图，在正六边形ABCDEF中BuuAur
uuur CD
uur EF
=______.
【解析】根据正六边形的性质，对边平行且相等，我们容易得到
uuur uuur uur uuur uuur uur uur uuur uur BA CD EF BA AF EF BF CB CF.
uur
【解题探究】典例图1中a与b有何关系，图2两向量相加可采用哪种方
法进行？图3三向量相加可采用哪种方法进行？ 提示：图1中向量a与向量b共线，图2中两向量相加可采用三角形法则 或平行四边形法则进行.图3中三向量相加可采用三角形法则或平行四 边形法则进行.
【解析】如图中(1)，(2)所示， 首先作OuuAu=r a，然后作 Auu=Burb，则 Ou=uBura+b.
高中数学必修4课件2-3-4
第18页
第二章 2.3 2.3.4
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修四
思考题 3 已知 a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当 k 为何值时，ka＋b 与 a－3b 平行？平行时它们是同向还是反向？
第19页
第二章 2.3 2.3.4
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修四
【解析】 由已知可得 ka＋b＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(10， －4)，当 ka＋b 与 a－3b 平行时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修四
第二章 平面向量
第1页
第二章 平面向量
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修四
2．3 平面向量的基本定理及坐标表示
第2页
第二章 平面向量
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修四
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
第3页
第二章 平面向量
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修四
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修四
答：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，要证明三点共线只 需证A→B＝λB→C.
∵A→B＝(x2－x1，y2－y2)，B→C＝(x3－x2，y3－y2)， ∴只需证(x2－x1)(y3－y2)－(x3－x2)(y2－y1)＝0 即可．
第7页
第37页
第二章 2.3 2.3.4
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修四
解析 λa＋b＝(3λ＋2,2λ－1)，a＋b＝(3＋2λ，2－λ)． ∵λa＋b 与 a＋λb(λ∈R)平行， ∴(3λ＋2)(2－λ)－(2λ－1)(3＋2λ)＝0，即－7λ2＋7＝0，解得 λ ＝±1.
第38页
高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课件 新人教A版必修4
1.若向量 a，b 不共线，则 c＝2a－b，d＝3a－2b， 试判断 c，d 能否作为基底． 解：设存在实数 λ，使 c＝λd， 则 2a－b＝λ(3a－2b)， 即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0， 由于向量 a，b 不共线， 所以 2－3λ＝2λ－1＝0，这样的 λ 是不存在的， 从而 c，d 不共线，c，d 能作为基底．
探究点二 用基底表示平面向量
如图所示，在▱ABCD 中，点 E，F
分别为 BC，DC 边上的中点，DE 与 BF 交 于点 G，若A→B＝a，A→D＝b，试用 a，b 表 示向量D→E，B→F.
[解] D→E＝D→A＋A→B＋B→E ＝－A→D＋A→B＋12B→C
＝－A→D＋A→B＋12A→D＝a－12b．
4．若 a，b 不共线，且 la＋mb＝0(l，m∈R)，则 l＝________， m＝________． 答案：0 0 5.若A→D是△ABC 的中线，已知A→B＝a，A→C＝b，若 a，b 为基底，则A→D＝________． 答案：12(a＋b)
探究点一 对基底的理解
设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，给出下列向
解：D→E＝D→C＋C→E＝2F→C＋C→E＝－2C→F＋C→E＝－2b＋a．
B→F＝B→C＋C→F＝2E→C＋C→F
＝－2C→E＋C→F＝－2a＋b．
用基底表示向量的两种方法 (1基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一 性求解.
对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共 线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底若确定，那么平面上任意一个向量都可以由 这组基底唯一线性表示出来，设向量 a 与 b 是平面内两个不共 线的向量，若 x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则xy11＝＝yx22.，
高中数学 第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算(第1课时)教学课件 新人教A版必修4
1．准确理解向量加法的三角形法则和平行四边 形法则
(1)两个法则的使用条件不同．
三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平 行四边形法则只适用于两个不共线的向量求 和．
(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致
的．
如
图
所
示
，
→ AC
＝
→ AB
＋
→ AD
(
平
行
四
边
形
法
则)．又∵B→C＝A→D，
∴A→C＝A→B＋B→C(三角形法则)．
方法二：(A→B＋D→B)＋(C→D＋B→C) ＝A→B＋(B→C＋C→D＋D→B) ＝A→B＋B→B＝A→B＋0＝A→B.
(2)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A ＝(A→B＋B→C)＋(C→D＋D→F＋F→A) ＝A→C＋C→A＝0.
向量加法运算的几个注意点
(1)解决该类题目要灵活应用向量加法运算律， 注意各向量的起、终点及向量起、终点字母排 列顺序，特别注意勿将0写成0.
如图，正六边形 ABCDEF 中，B→A＋C→D＋E→F＝( )
A．0
→ B.BE
→ C.AD
→ D.CF
解析：因为 ABCDEF 是正六边形，所以 BA∥DE，BA＝ DE.所以B→A＝D→E.所以B→A＋C→D＋E→F＝D→E＋C→D＋E→F＝C→D＋D→E ＋E→F＝C→F.
答案：D
错解
错因
则
图形
平
已知不共线的两个向量 a，b，在平面 前提
行
内任取一点 O
四
以同一点 O 为起点的两个已知向量 作法
法则
边 形
a，b 为邻边作▱OACB
结论 对角线__O→_C___就是 a 与 b 的和
人教新课标A版高一数学《必修4》2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
课后总结
1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算， 例如 λ＋a，λ－a 是没有意义的． 2.λa 的几何意义就是把向量 a 沿着 a 的方向或反方向扩 a 大或缩小为原来的|λ|倍．向量 表示与向量 a 同向的单 |a| 位向量.
谢谢大家！
2 2 1 解：原式＝3(4a－3b)＋9b－6(6a－7b) 8 2 7 ＝ a－2b＋ b－a＋ b 3 9 6
8 2 7 5 11 ＝ 3－1 a＋ －2＋9＋6 b＝3a－18b
5 11 ＝ (3i＋2j)－ (2i－j) 3 18 10 11 11 34 71 ＝5i＋ 3 j－ 9 i＋18j＝ 9 i＋18j.
自我检测
→等 1.如图所示， D 是△ABC 的边 AB 上的中点， 则向量CD 于( B ) 1→ → A.BC＋2BA 1→ → C.－BC－2BA 1→ → B.－BC＋2BA 1→ → D.BC－2BA
1→ → → → → 解析 CD＝BD－BC＝2BA－BC.
2 1 2.设 a＝3i＋2j，b＝2i－j，试用 i，j 表示向量 [(4a－3b)＋ b－ 3 3 1 4(6a－7b)]．
小结 对数乘运算的理解，关键是对实数的作用的认识， λ>0 时，λa 与 a 同向，模是|a|的 λ 倍；λ<0 时，λa 与 a 反向， 模是|a|的－λ 倍；λ＝0 时，λa＝0.
跟踪训练 1 下面给出四个命题： ① 对于实数 m 和向量 a、b，恒有 m(a－b)＝ma－mb； ② 对于实数 m、n 和向量 a，恒有(m－n) a＝ma－na； ③ 若 ma＝mb(m∈R)，则有 a＝b； ④ 若 ma＝na (m，n∈R，a≠0)，则 m＝n. 其中正确命题的个数是( C ) A．1 B．2 C．3 D．4
高中数学必修4第二章：平面向量2.2平面向量的线性运算
知识回顾
向量的表示：AB或a
有向线段
向量
向量的大小 (长度、模)
向量的方向
单位向量 与零向量
相等向量与 平行向量 相反向量 (共线向量)
既有大小又有方向的量叫向量； 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
新课导入
大三通之前，由 于大陆和台湾没有直 航，因此要从台湾去 上海探亲，乘飞机要 先从台北到香港，再 从香港到上海，这两 次位移之和是什么？
解：(1)OA OC OB;
(2)BC FE AD;
E
D
FO
C
(3)OA FE 0.
A
B
(1)向量加法交换律： a b b a
D
a
C
b
b a+b
A
a
B
(2)向量加法结合律：
(a+b)+c a (b c)
D
c
C
D
c
C
(a + b) + c
a+b
a + (b + c) b
b+c b
B
B
A
a
－c.
通法提炼 两个向量的减法可以转化为向量的加法来进行.例如， 作a－b，可以先作－b，然后作a＋－b即可，也可以直接 用向量减法的三角形法则，把两向量的起点重合，则差向 量就是连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量.
如图，已知不共线的两个非零向量a，b，求作向量a－ b，b－a，－a－b.
2（2008安徽）若 AB (2,4), AC (1, 3),
则BC （ B ）
A.(1,1) C.(3,7)
B.(-1,-1) D.(-2,-4)
向量的表示：AB或a
有向线段
向量
向量的大小 (长度、模)
向量的方向
单位向量 与零向量
相等向量与 平行向量 相反向量 (共线向量)
既有大小又有方向的量叫向量； 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
新课导入
大三通之前，由 于大陆和台湾没有直 航，因此要从台湾去 上海探亲，乘飞机要 先从台北到香港，再 从香港到上海，这两 次位移之和是什么？
解：(1)OA OC OB;
(2)BC FE AD;
E
D
FO
C
(3)OA FE 0.
A
B
(1)向量加法交换律： a b b a
D
a
C
b
b a+b
A
a
B
(2)向量加法结合律：
(a+b)+c a (b c)
D
c
C
D
c
C
(a + b) + c
a+b
a + (b + c) b
b+c b
B
B
A
a
－c.
通法提炼 两个向量的减法可以转化为向量的加法来进行.例如， 作a－b，可以先作－b，然后作a＋－b即可，也可以直接 用向量减法的三角形法则，把两向量的起点重合，则差向 量就是连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量.
如图，已知不共线的两个非零向量a，b，求作向量a－ b，b－a，－a－b.
2（2008安徽）若 AB (2,4), AC (1, 3),
则BC （ B ）
A.(1,1) C.(3,7)
B.(-1,-1) D.(-2,-4)
最新版高中数学课件 高中数学人教A版 必修4第二章课件 2.2 平面向量的线性运算
平行四边形法则
思考：1如何求共线向量的和？
a
b
（1）
A
B
C
ab
aபைடு நூலகம்
b
（2）
C
A
B
ab
2 a + b 的模与的模有何关系？
若a，b方向相同，则 | a b || a | | b |
若a，b方向相反，则 | a b || a | | b（| 或 | b | | a |）
若a，b不共线，则 | a b || a | | b |
B
重要提示 : AB BA
b
A
a
C
b
D
E
a b a (b) AC AD AE BC
即 AC AB BC
向量的减法：
a
Oa
起 A点
b
相
b
ab
同
B
指向被减向量
已知向量 a 、b , 在平面内任取一点O，作OA a, OB b, 则向量BA叫做a与b的差，记作a b,即
a b OA OB BA 这种求向量差的方法，叫做向量减法的三角形法则。
向量的加法
学习目标：
通过实例，掌握向量的加法运 算及理解其几何意义。
熟练运用加法的“三角形法则” 和“平行四边形”法则
由于大陆和台湾没有直航，因此要从台湾去上海探亲，乘飞机 要先从台北到香港，再从香港到上海，这两次位移之和是什么？
上海 C
香港 B
A 台北
向量的加法：
a
b
首
C
尾
相
ab
接
b
A
a
B
已知非零向量 a 、b , 在平面内任取一点A，作 AB a, BC b, 则向量 AC叫做a与b的和，记作a b,即
人教A版高中数学必修4第二章 平面向量2.2 平面向量的线性运算课件(3)
r
r
r
思 与向考量题2ar:
向量 3a 与向量 有什么关系?
a 有什么关系? 向量
3a
r
r
r
r
(的1)3向倍量,即3a3的ar 方3向ar .与 a 的方向相同, 向量 3a的长度是 a
r
r
r
r
(2)向量3a的r方向r与 a 的方向相反, 向量3a的长度是 a
的3倍,即 3a 3 a .
精品PPT
C
3 AB BC A
B
D
3AC
∴ AC与 AE 共线．
精品PPT
定理的应用:
(1)有关向量共线问题:
(2)证明三点共线的问题:
AB BC(BC 0) A、B、C三点共线
精品PPT
例3：设a，b是两个不共线的向量，
AB a b，BC 2a 8b，CD 3 a b ，
求证：A，B，D三点共线.
如何作出
r a
r a
r a
和(ar)Biblioteka r (a)r (a)?
r
rrr
r rr
a
aaa
a a a
uuur uuur Ouuur Auuur rB r rC N r rM r Q r P
OC
OA
uuur
AB
r
BC
a
a
uuaur
记r: a ra a r 3a
r
即: OC 3a. 同理可得: PN (a) (a) (a) 3a
c)
(3ar
2br
cr)
a 5b 2c
注：向量与实数之间可以像多项式
一样进行运算.
精品PPT
精品PPT
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算课件3新人教A版必修4
1 (4,2)，所以 2
=(2,1).
(2)设点A(x,y)，则x＝ | OA | cos 60＝4 3cos 60＝2 3，
y＝ OA sin 60＝4 3sin 60＝6， 即 A 2 3,6 ， 所以
OA＝ 2 3,6 .
【方法技巧】平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进 行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的 坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
(x1+x2，y1+y2)； ①a+b= _______________ (x1-x2，y1-y2) ； ②a-b= _____________ (λx1，λy1) ③λa= ____________.
(2)重要结论：已知向量 y2)，则 的起点A(x1，y1)，终点B(x2，
(x2-x1，y2-y1) = _____________.
=(x-5,2-y+2)=(4,6)，解得x=9,
2.已知四边形ABCD为平行四边形，O为对角线AC,BD的交点， =(3,7), =(－2,1)．求 的坐标．
【解析】因为 DB AB －AD =(－2,1)－(3,7)=(－5,－6)，
1 5 所以 OB DB (－ ,－3). 2 2
(2)定义坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理 (x_______ ，y) xi+yj 则有序数对 知，有且只有一对实数x，y，使得a=_____. 叫做向量a的坐标. (3)特殊向量的坐标：i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).
3.平面向量的坐标运算
=(2,1).
(2)设点A(x,y)，则x＝ | OA | cos 60＝4 3cos 60＝2 3，
y＝ OA sin 60＝4 3sin 60＝6， 即 A 2 3,6 ， 所以
OA＝ 2 3,6 .
【方法技巧】平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进 行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的 坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
(x1+x2，y1+y2)； ①a+b= _______________ (x1-x2，y1-y2) ； ②a-b= _____________ (λx1，λy1) ③λa= ____________.
(2)重要结论：已知向量 y2)，则 的起点A(x1，y1)，终点B(x2，
(x2-x1，y2-y1) = _____________.
=(x-5,2-y+2)=(4,6)，解得x=9,
2.已知四边形ABCD为平行四边形，O为对角线AC,BD的交点， =(3,7), =(－2,1)．求 的坐标．
【解析】因为 DB AB －AD =(－2,1)－(3,7)=(－5,－6)，
1 5 所以 OB DB (－ ,－3). 2 2
(2)定义坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理 (x_______ ，y) xi+yj 则有序数对 知，有且只有一对实数x，y，使得a=_____. 叫做向量a的坐标. (3)特殊向量的坐标：i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).
3.平面向量的坐标运算
高中数学人教A版(课件)必修四 第二章 平面向量 2.2.2 .ppt
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[探究共研型]
向量减法的三角不等式及其取等条件
探究 1 若|A→B|＝8，|A→C|＝5，则|B→C|的取值范围是什么？ 【提示】 由B→C＝B→A＋A→C及三角不等式，得|B→A|－|A→C|≤|B→A＋A→C|≤|B→A| ＋|A→C|，又因为|B→A|＝|A→B|＝8，所以 3≤|B→C|＝|B→A＋A→C|≤13，即|B→C|∈[3，13]．
综上所述，得不等式 ||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
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设 a 和 b 的长度均为 6，夹角为2π 3 ，则|a－b|等于________．
【精彩点拨】 画出平行四边形数形结合求解． 【自主解答】 作O→A＝a，O→B＝b，则|a－b|＝|B→A|， 在 Rt△BCO 中， ∠BOC＝π3 ，|B→O|＝6， ∴|B→C|＝3 3， ∴|a－b|＝|B→A|＝2|B→C|＝6 3. 【答案】 6 3
即
→ 0<|AC|<4.
【答案】 (1)D (2)①0 ②0 ③A→B (3)2 (0，4)
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1．向量加法与减法的几何意义的联系： (1)如图所示，平行四边形 ABCD 中，若A→B＝a，A→D＝b，则A→C＝a＋b，D→B ＝a－b.
(2)类比||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|可知||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.
即|a＋b|与|a－b|是平行四边形的两条对角线的长度，又因为|a＋b|＝|a－b|， 所以该四边形为矩形，从而|a－b|＝ 62＋82＝10.
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[构建·体系]
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