新教材人教版高中数学必修1 第四章 4.4 4.4.3

4.4.3不同函数增长的差异(教师独具内容)课程标准：利用计算器、计算机画出幂函数、指数函数、对数函数的图象，探索、比较它们的变化规律．教学重点：比较一次函数、指数函数、对数函数增长的快慢差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．教学难点：指数函数、幂函数不同区间增长快慢的差异.【知识导学】知识点几种函数模型的增长差异(1)当a＞1时，指数函数y＝a x是□01增函数，并且当a越□02大时，其函数值的增长就越快．(2)当a＞1时，对数函数y＝log a x是□03增函数，并且当a越□04小时，其函数值的增长就越快．(3)当x＞0，n＞1时，幂函数y＝x n显然也是□05增函数，并且当x＞1时，n 越□06大，其函数值的增长就越快．(4)一般地，虽然指数函数y＝a x(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)在区间[0，＋∞)上都单调递□07增，的增大，□08指数函数y＝a x(a>1)的增长速度越来越快，即使□09k的值远远大于□10a的值，□11y＝a x(a>1)的增长速度最终都会超过并远远大于□12y＝kx的增长速度．尽管在x的一定变化范围内，□13a x会小于□14kx，但由于□15指数函数y＝a x(a>1)的增长最终会快于□16一次函数y＝kx(k>0)的增长，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，恒有□17a x>□18kx.(5)一般地，虽然对数函数y＝log a x(a>1)与一次函数y＝kx(k>0)在区间(0，＋∞)上都单调递□19增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，□20一次函数y＝kx(k>0)保持固定的增长速度，而□21对数函数y＝log a x(a>1)的增长速度越来越慢．不论□22a的值比□23k的值大多少，在一定范围内，□24log a x可能会大于□25kx，但由于□26log a x的增长慢于□27kx的增长，因此总会存在一个x0，当x>x0时，恒有□28log a x<□29kx.【新知拓展】指数函数、对数函数和幂函数的增长差异一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a＞1)，y＝log a x(a＞1)和y＝x n(n ＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x 的增大，y＝a x(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有log a x＜x n＜a x.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些．()(2)函数y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．()(3)对数函数y＝log a x(a＞1)的增长特点是随自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢．()答案(1)×(2)√(3)√2．做一做(1)下图反映的是下列哪类函数的增长趋势()A．一次函数B．幂函数C．对数函数D．指数函数(2)当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是()A．y＝100x B．y＝100ln xC．y＝x100D．y＝100·2x(3)已知变量x，y满足y＝1－3x，当x增加1个单位时，y的变化情况是________．答案(1)C(2)D(3)减少3个单位题型一几类函数模型增长差异的比较例1四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：关于x呈指数函数变化的变量是________．[解析]以爆炸式增长的变量是呈指数函数变化的．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化．[答案]y2金版点睛常见的函数及增长特点(1)线性函数线性函数y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(2)指数函数指数函数y＝a x(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．(3)对数函数对数函数y＝log a x(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．(4)幂函数幂函数y＝x n(n＞0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．[跟踪训练1]有一组数据如下表：现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是()A．v＝log2t B．v＝log12tC．v＝t2－12D．v＝2t－2答案 C解析从表格中看到此函数为单调增函数，排除B；增长速度越来越快，排除A，D，选C．题型二指数函数、对数函数与幂函数的比较例2函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2018)，g(2018)的大小．[解](1)当x充分大时，图象位于上方的函数是指数函数y＝2x，另一个函数就是幂函数y＝x3.∴C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，∴1<x1<2,9<x2<10.∴x1<6<x2,2018>x2.从图象上可以看出，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，∴f(6)<g(6)．当x>x2时，f(x)>g(x)，∴f(2018)>g(2018)．又g(2018)>g(6)，∴f(2018)>g(2018)>g(6)>f(6)．金版点睛由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．[跟踪训练2]函数f(x)＝1.1x，g(x)＝ln x＋1，h(x)＝x 12的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a，b，c，d，e 为分界点)．解由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)＝1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)＝x 12，曲线C3对应的函数是g(x)＝ln x＋1.由题图知，当x<1时，f(x)>h(x)>g(x)；当1<x<e时，f(x)>g(x)>h(x)；当e<x<a时，g(x)>f(x)>h(x)；当a<x<b时，g(x)>h(x)>f(x)；当b<x<c时，h(x)>g(x)>f(x)；当c<x<d时，h(x)>f(x)>g(x)；当x>d时，f(x)＞h(x)>g(x)．1．下列函数中，随着x的增大，增长速度最快的是() A．y＝50 B．y＝1000xC．y＝0.4·2x－1D．y＝1 1000ex答案 D解析指数函数y＝a x，在a＞1时呈爆炸式增长，而且a越大，增长速度越快，选D．2．有一组实验数据如下表所示：下列所给函数较适合的是()A．y＝log a x(a＞1) B．y＝ax＋b(a＞1)C．y＝ax2＋b(a＞0) D．y＝log a x＋b(a＞1)答案 C解析通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，而B中的函数增长速度保持不变，故选C．3．当2<x<4时，2x，x2，log2x的大小关系是()A．2x＞x2＞log2x B．x2＞2x＞log2xC．2x＞log2x＞x2D．x2＞log2x＞2x答案 B解析解法一：在同一平面直角坐标系中画出函数y＝log2x，y＝x2和y＝2x 的图象(图略)，在区间(2,4)内从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图象，所以x2>2x>log2x.解法二：比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法，如取x＝3，经检验易知选B．4．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·(0.5)x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件，则此厂3月份该产品的产量为________万件．答案 1.75解析∵y＝a·(0.5)x＋b，且当x＝1时，y＝1，当x＝2时，y＝1.5，则有⎩⎨⎧ 1＝a ×0.5＋b ，1.5＝a ×0.25＋b ，解得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝2.∴y ＝－2×(0.5)x ＋2.当x ＝3时，y ＝－2×0.125＋2＝1.75(万件)．5．下面是四个不同函数随x 的增大而得到的函数值表：试问：(1)随着x 的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？ (2)各函数增长速度的快慢有什么不同？解 (1)随着x 的增大，各函数的函数值都在增大．(2)由题表可以看出：各函数增长速度的快慢不同，其中f (x )＝2x 的增长速度最快，而且越来越快；其次为f (x )＝x 2，增长速度也在变大；而f (x )＝2x ＋7的增长速度不变；增长速度最慢的是f (x )＝log 2x ，其增长速度越来越小．。