极射赤平投影
jishechipintouying
17
π图解：
是指褶皱面各部位法线的赤平投影图解。 是指褶皱面各部位法线的赤平投影图解。对 圆柱状褶皱来说， 圆柱状褶皱来说，同一褶皱面的极点在赤平投影 网上将落在一个特定的大圆上或附近。 网上将落在一个特定的大圆上或附近。这个大圆 圆的极点代表褶皱枢纽（ ） 即π圆，π圆的极点代表褶皱枢纽（β）
18
5
(二）、投影网：吴尔福网和施密特网 ）、投影网 投影网： 1、吴氏网的结构及成因原理 吴氏网的结构：基圆、径向大圆弧、纬向小圆弧、 吴氏网的结构：基圆、径向大圆弧、纬向小圆弧、 东西、南北经纬线，间距2 误差±0.5° 东西、南北经纬线，间距2°，误差±0.5°。 ）、基圆 赤平大圆，代表水平面， 基圆： （1）、基圆：赤平大圆，代表水平面，0°360°方位角刻度。 360°方位角刻度。 （2）、两条直径：EW，SN。 ）、两条直径：EW，SN。 两条直径 ）、经向大圆弧 由一系列走向SN的 经向大圆弧： （3）、经向大圆弧：由一系列走向SN的，向东 或西倾斜，倾角不同（ 90°），间隔 间隔2 或西倾斜，倾角不同（0°-90°），间隔2°的投 影大圆弧（代表倾斜平面）组成。 影大圆弧（代表倾斜平面）组成。 ）、纬向小圆 为一系列走向东西、 纬向小圆“ （4）、纬向小圆“为一系列走向东西、直立小 圆的投影小圆弧组成。他们将SN直径、 SN直径 圆的投影小圆弧组成。他们将SN直径、经向大圆和 基圆等分，每小格为2 基圆等分，每小格为2 °。幻灯片 7
21
（二）据共轭剪节理求三个 主应力轴(σ 主应力轴(σ1 、 σ2 、 σ3)
一共轭节理产状 :70° 60° 为:70°∠60°和 120° 60° 120°∠60°， 求三个主应力轴产 状。
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（二）面的旋转
赤平投影简介-构造地质学
投影要素
1、投影球
2、赤平面:过投影球球心的
水平面 3、基圆:赤平面与球面相交 的大圆（赤平大圆）。
凡过球心的平面与球面相
交的大圆，统称为大圆， 不过球心的平面与球面相
交所成的圆统称小圆。
4、极射点: 球上两极发射 点，分上半球投影和下球 投影
3
一、面和线的赤平投影
（一）投影原理 任何一个过球心的无限伸展的平面（岩层
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实例: 一个背斜两翼的产状数据，求 枢纽的产状 (1)、143∠37, (2)、104∠30, (3)、直立，走向104，(4)、 154∠44
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作业： P230 1、2、3、4、5、7、8、
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三、两面夹角的测量及面的旋转方法
（一）两面夹角及角平分线的测量 两相交平面的公垂面和两平面的投影大圆弧相交，其 间的夹角为所求的夹角，角的一半为平分线。
投影新地层DHF 、老地层 ABC 的产状; 将新地层产状恢复水平，旋 转DHF 大圆弧与SN向经向 大圆重合，将大圆弧上各点 转到基圆上。
将老地层向相同方向旋转相 同角度，使老地层ABC大圆 达到新位置，将新位置各点 拟合大圆即可。
25
作业：
P230 9、11、12、16、18
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面、断层面、节理面或轴面等）和线，必然与
球面相交成球面大圆和点。 球面大圆与极射点的连线必然穿过赤平面， 在赤平面上这些穿透点的连线即为该平面的相 应大圆的赤平投影，简称大圆弧。
4
1.平面的投影 平面(PGF)产状:SN/90 ° ∠40°,投影 到赤平面上为PHF。PF代表走向，OH代表倾向，DH 代表倾角。 2.线的投影 直线(OG)产状：90 ° ∠40°,投影到赤 平面上为H点。OD为直线的倾伏向，HD为倾伏角。
极射赤平投影原理和基本操作方法
造面产状
在构造面：N 30°E，45 °SE 侧伏为20°S
吴氏网的使用方法
1. 线的投影 例如一直线的产状为：20°，N30°W
2. 面的投影 例如一个面的产状为： N30°E， 30 ° SE
（ 120 °∠ 30 °)
投影到赤平面上。
二、平面的投影
• 大圆投影（即通过球心的平面的投影) 1. 直立平面的投影为一直立大圆 2. 倾斜平面的投影为一倾斜大圆 3. 水平平面的投影为一水平大圆即基圆
面。
球面上的投影大圆与极射点的连线必然穿过赤平面， 在赤平面上这些穿透点的连线即为相应大圆的极射
赤平投影，简称大圆弧。
• 1. 直立大圆的赤平投影为直线； • 2. 水平大圆的赤平投影为基圆 • 3. 倾斜大圆的赤平投影为以基圆直径为弦
实习目的
• 了解极射持平投影的概念； • 掌握极射持平投影的基本原理； • 掌握简单的面、线在吴氏网上的投影方法
实习内容
一、极射赤平投影的基本原理 （一）概念
1. 极射赤平投影 简称赤平投影，是在平面图上表示三维
空间中的面、线的几何关系的一种方法。
应用范围：天文、航海、测量、地理和地质科 学研究中
（一）面状构造产状及表示方法
N
• 向限角法： 走向+倾角+倾向 （N30°E， 45 ° SE)
N??W
N??E
W
E
S??W
S??E
S
• 方位角法：
0°（N）
倾向+倾角
(120 °∠ 45 °)
270°
90°
180°
（二）线状构造的产状及表 示方法
• 倾伏：倾伏角+倾伏向
6极射赤平投影图
• 图4
(111)完整的晶面极射赤面投影示图
极射赤面投影的的特点
• 1．被投影的晶体置于一参考球的球心O‘，并假定 晶体的所有晶向、晶面都通过该球心。 • 2．投影线为射线，取参考球面上一点B为投影点， 投 影面是垂直于通过B点的参考球直径的任一平 面，图中取与参考球相切的平面。过参考球心 O‘且平行于投影面的平面与球O‘相交成一大圆 （N’E‘S’W‘），连接B点与大圆上各点的直径与投 影面交点所构成的圆称基圆（圆O，即大圆的投 影），晶体的所有投影点都在此投影基圆内。 •
材料的结构（6）
-极射赤面投映
极射赤平投影图的应用
极射赤面投影的原理
极射赤面投影，实质是利用一个球体作 为投影工具,把物体置于球体中心，将物体 的几何要素(点、线、面)，通过极射投影于 赤平面上，化立体为平面的一种投影。
极射赤面影的原理
• 极射赤面投影法（Stereographicprojection） 简称赤引面投影，主要用来表示线、面的 方位，相互间的角距关系及其运动轨迹， 把物体三维空间的几何要素（线、面）反 映在投影平面上进行研究处理。 • 它是一种简便、直观的计算方法，又是一 种形象、综合的定量图解，广泛应用于晶 体科学中。。
• 图 2 (001)心射切面投影示图
• 图3
晶体的极射赤面投影示图
• (3) 可以看到,通过 B 极点(或 A 极点) 为光源经过参考球投 射到投影平面时, A 极点(或 B极点) 所在的半球面上的心 射切面投影晶面标记符号,都可以落在 B 极点(或 A 极点) 投射参考球的赤道平面投影圆之内,而 B 极点(或 A 极点) 所在的半球面上之心射切面投影晶面标记符号的投影全部 落在赤道平面投影图这外;因而,若要使参考球面上全部之 心射切面投影晶面标记符号的极点光源投射的平面投影能 在赤道平面投影圆内表达清楚,则分别以 B 极点和A 极点 为极点光源投射,可得两个赤道平面投影圆(图 4) 即为完整 的晶面极射赤面投影图.
极射赤平投影原理
极射赤平投影原理极射赤平投影是一种地图投影方法，又称为极射投影或天体赤平投影。
它是一种将地球表面投影到一个切平面上的方法，保持地球的极点在地图的中心，使得赤道线在地图上呈现为直线，而经纬线则变成半圆形。
极射赤平投影的主要应用领域包括天文学、地理学以及地图制作等。
极射赤平投影的基本原理是将地球表面上的点，投影到位于地球极点与地球中心之间的一个平面上。
在极射赤平投影中，将地球的极点作为投影的中心，地球表面上的每一个点都沿着从极点到该点的直线被投影到平面上。
这种投影方法使得地球的周长圆变成了一个大圆，而经纬线则成为半圆形。
同时，由于赤道与极点之间的投影长度较长，因此在极射赤平投影中，赤道区域显得更为扭曲，而高纬度地区则比较平缓。
极射赤平投影的优点是可以在投影图上直观地看到赤道线、经线、纬线以及地球的极点。
它在天文学领域中被广泛应用，用于绘制天球图和天空赤平图，方便研究天文现象和观测星体的位置。
此外，在地理学中，极射赤平投影也可用于制作大比例尺地图，以及展示极地和高纬度地区的地理信息。
然而，极射赤平投影也存在一些缺点。
首先，它会引起地图上地理特征的形变和扭曲。
由于赤道区域在投影中较长，因此经度线在赤道区域内变形更为严重，会导致经线错位和拉长。
此外，在高纬度地区，极射赤平投影也存在较大的面积形变和形状变化，使得地图上的地理区域较难准确表示。
极射赤平投影的具体实现可以通过数学公式和计算机图形处理来完成。
数学公式包括投影点坐标的计算方法，以及经纬度坐标与平面坐标的相互转换方法。
计算机图形处理技术则用于实现将地球表面上的点投影到平面上，并进行图形绘制和渲染。
总之，极射赤平投影是一种将地球表面投影到平面上的方法，可用于绘制天球图和天空赤平图，以及制作大比例尺地图。
它在天文学和地理学领域中具有广泛的应用，但也存在地图形变和扭曲的问题。
通过数学公式和计算机图形处理技术，可以实现极射赤平投影的具体实现。
极射赤平投影图
二、结构面赤平投影图的具体作法
1、吴氏网的结构
2、结构面赤平投影图具体作图法 例1. 结构面的产状120°∠40 ° 结构面的产状120°
例2.
两组结构面交线的倾向与倾角的赤平 投影图
三、利用赤平投影图初步分析岩质 边坡稳定性
分析之一：一组结构面与坡面的边坡稳定 性分析
I
分析之二：两组结构面与坡面走向基本一致 稳定性分析
分析之三：两组结构面与坡面走向斜交的稳 定分析
分析之四：多组结构面与坡面走向斜交的稳 定分析
• 一个坡面有四组结构面相交的情况下的边 坡稳定性分析。其产状分别为; • 坡面: 245∠45° • J1: 250∠40° • J2: 130∠45° • J3: 185∠40° • J4: 190∠60°
四、注意事项
• 赤平投影图应用在坚硬～较坚硬层状结构 岩体边坡；软质、碎裂状、散粒状结构的 岩质边坡，除有区域性断裂存在外，均不 必采用此法。 • 这不是评价边坡稳定的唯一的方法，仅是 一种较好的方法。
构造地质之极射赤平投影基本原理介绍课件
应用领域拓展
地质灾害预警：利用极射赤平投
A
影技术，预测地质灾害的发生和
发展趋势
矿产资源勘探：通过极射赤平投
B
影技术，提高矿产资源勘探的准
确性和效率
地下水监测：利用极射赤平投影
C
技术，监测地下水资源的分布和
变化情况
地质环境评价：通过极射赤平投
D
影技术，对地质环境进行评价和
规划，为工程建设提供依据
研究方法创新
03
02
地层对比：通过 投影对比不同地 区的地层，了解 地层之间的相互 关系
04
矿产资源勘探： 通过投影分析矿 产资源的分布和 储量，为勘探提 供依据
构造地质与极射赤平投影的结合
01
构造地质：研究地球内部构造和演化的科学
02
极射赤平投影：一种将地球表面投影到平面上的方法
03
结合：通过极射赤平投影，可以更直观地展示构造地质现象
某地区地质灾害预警
利用极射赤平投影 技术，对某地区地 质构造进行研究
结合其他地质数据， 对地质灾害风险进 行评估和预警
发现地质构造不稳 定，存在潜在地质 灾害风险
及时采取措施，减 轻地质灾害造成的 损失和影响
某地区矿产资源勘探
D
指导矿产资源开发，提高开采效率和资源利用率
C 通过实地勘探，验证极射赤平投影分析结果
B 结合地质资料，确定矿产资源分布区域
A 利用极射赤平投影，分析该地区地质构造特征
极射赤平投影在地质 研究中的发展趋势
技术进步
遥感技术的发展：提高了地质数据的获取和 处理能力
计算机技术的发展：提高了地质数据的分析 和可视化能力
空间信息技术的发展：提高了地质数据的空 间分析和建模能力
赤平投影法
（2）、直线的赤平投影 步骤同1、2即可。 例2：线理产状 330°∠40°投影如下。
9
（3） 、法线的投影 关键：法线和平面垂直，倾向相反（90°），倾角互 余。 例3: 产状为90 °∠40 °平面的法线投影。
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（4）、已知真倾角求视倾角 例4:某岩层产状300°∠40°，求在
335°方向剖面上岩层的视倾角。视倾角为 图19-8中的H′D ′。
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例9: 已知一角度不整合上覆地层的产状 240°∠30°，下伏老地层产状为120 ° ∠ 40 °， 求新地层水平时老地层的产状。
❖ 投影新地层DHF 、老地层 ABC 的产状;
❖ 将新地层产状恢复水平，旋 转DHF 大圆弧与SN向经向 大圆重合，将大圆弧上各点 转到基圆上。
❖ 将老地层向相同方向旋转相 同角度，使老地层ABC大圆 达到新位置，将新位置各点 拟合大圆即可。
例8:有两个平面 ⑴245 °∠30° ⑵145°∠48°
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（二）据共轭剪节理求三个 主应力轴(σ1 、 σ2 、 σ3)
一共轭节理产状 为:70°∠60°和 120°∠60°， 求三个主应力轴产 状。
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（二）面的旋转
❖ 问题：一个产状已知的平面，沿某方向旋转一定角度 后，求此面的产状。
❖ 原理：平面的投影是一个大圆，大圆是无数个点组成 的，因此大圆的旋转实际上是组成该大圆上许多点的 旋转。 球面上任一点绕SN轴 (定轴) 旋转，该点的旋转 轨迹为一圆，此圆为走向东西的一个直立平面，其投 影与吴氏网的纬向小圆重合。因此只要求出大圆上各 点绕轴旋转后的位置，即可知道旋转后的平面产状。
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实例: 一个背斜两翼的产状数据，求
枢纽的产状 (1)、143∠37, (2)、104∠30,
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一、序言岩质边坡稳定性分析方法有许多，但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法，还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》（GB50021－94）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面（包括结构面和坡面、坡顶面）或直线（包括平面的法线）的地质产状，以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。
其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐，也很容易出错。
如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数，那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。
二、极射赤平投影的基本原理（一）投影要素极射赤平投影（以下简称赤平投影）以圆球作为投影工具，其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包括：1.投影球（也称投射球）：以任意长为半径的球。
2.球面：投影球的表面称为球面。
3.赤平面（也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。
4.大圆：通过球心的平面与球面相交而成的圆，统称为大圆（如图一（a）中ASBN、PSFN、NESW），所有大圆的直径相等，且都等于投影球的直径。
当平面直立时，与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一（a）中PSFN）；当平面水平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a）中NESW）；当平面倾斜时，与球面相交成的大圆称为倾斜大圆（如图一（a）中ASBN）。
5.小圆：不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b）、（c）中AB、CD、FG、PACB）。
当平面直立时，与球面相交成的小圆称为直立小圆（如图一（b）中DC）；当平面水平时，与球面相交成的小圆称为水平小圆（如图一（b）中AB）；当平面倾斜时，与球面相交成的小圆称为倾斜小圆（如图一（b）中FG或图一（c）中PACB）。
6.极射点：投影球上两极的发射点（如图一），分上极射点（P）和下极射点（F）。
由上极射点（P）把下半球的几何要素投影到赤平面上的投影称为下半球投影；由下极射点（F）把上半球的几何要素投影到赤平面上的投影称为上半球设影。
一般采用下半球投影。
7.极点：通过球心的直线与球面的交点称为极点，一条直线有两个极点。
铅直线交球面上、下两个点（也就是极射点）；水平直线交基圆上两点；倾斜直线交球面上两点（如图五中A、B）。
（二）平面的赤平投影平面与球面相交成大圆或小圆，我们把大圆或小圆上各点和上极射点（P）的连线与赤平面相交各点连线称为相应平面的赤平投影。
1.过球心平面的赤平投影随平面的倾斜而变化：倾斜平面的赤平投影为大圆弧（如图二中的NB′S）；直立平面的赤平投影是基圆的一条直径（如图一（a）中的NS）；水平面的赤平投影就是基圆（如图一中的NESW）。
2.不过球心平面的赤平投影也随平面倾斜而变化：直立平面的赤平投影是基圆内的一条圆弧（如图三KD′H）；倾斜平面的赤平投影有以下三种情况：⑴当倾斜小圆在赤平面以下时，投影是一个圆，且全部在基圆之内（如图三FG）；⑵当倾斜小圆全部位于上半球时，投影也是一个圆，但全部在基圆之外；⑶当倾斜小圆一部分在上半球，另一部分在下半球时，赤平面以下部分的投影在基圆之内，以上部分的投影在基圆之外。
当球面小圆通过上极射点时，其赤平投影为一条直线（如图一（c）中PACB的投影为AB）；水平小圆的赤平投影在基圆内（如图四中A′B′），A′B′是一个与基圆同心的圆。
（三）直线的赤平投影直线AB的投影点就是其极点A、B和极射点P的连线与赤平面的交点A′、B′。
铅直线的投影点位于基圆中心；过球心的水平直线的投影点就是基圆上两个极点，两点间距离等于基圆直径；倾斜直线的投影点有两个，一点在基圆内，另一个在基圆外，两点呈对蹼点，在赤平投影图上两点的角距相差180°（如图五）。
（四）吴氏网及其CAD制作目前广泛使用的极射赤平投影有等角距投影网和等面积投影网。
等角距投影网是由吴尔福发明的，简称吴氏网；等面积投影网是由施密特发明的，简称施氏网。
两者的主要区别在于：球面上大小相等的小圆在吴氏网上的投影仍然是圆，投影圆的直径角距相等，但由于在赤平面上所处位置不同，投影圆的大小不等，其直径随着投影圆圆心与基圆圆心的距离增大而增大。
而在施氏网上的投影则呈四级曲线，不成圆，但四级曲线所构成的图形面积是相等的，且等于球面小圆面积的一半。
使用吴氏网求解面、线间的角距关系时，旋转操作显示其优越性，不仅作图方便，而且较为精确。
而使用施氏网时，可以作出面、线的极点图或等密度图，能够真实反映球面上极点分布的疏密，有助于对面、线群进行统计分析，但其存在作图麻烦等缺点。
1.吴氏网的结构及成图原理吴氏网（图六）由基圆、南北经向大圆弧（NGS）、东西纬向小圆弧（ACB）等经纬线组成。
标准吴氏网的基圆直径为20cm，经、纬线间的角距为2°。
(1)基圆，由指北方向（N）为0°,顺时针方向刻出360°，这些刻度起着量度方位角的作用；(2)经向大圆弧是由一系列通过球心，走向南北，分别向西和向东倾斜，倾角由0°到90°（角距间隔为2°）的许多赤平投影大圆弧所组成。
这些大圆弧与东西直径线EW的交点到端点（E点和W点）的距离分别代表各平面的倾角。
如图六中GW表示的大圆弧NGS所代表的平面向西倾斜，倾角为30°。
(3)纬向线是由一系列走向东西的直立平面的赤平投影小圆弧所组成。
这些小圆弧离基圆的圆心O愈远，其所代表的球面小圆的半径角距就愈小，反之离圆心O愈近，则半径角距就愈大。
相邻纬向小圆弧间的角距也是2°，它分割南北直径线的距离，与经向大圆弧分割东西径线的距离是相等的。
如图六所示，ED＝SH＝WG＝NF，角距都为30°。
2.吴氏网的CAD图解绘制吴氏网，其实质就是在赤平大圆上画出经向大圆弧和纬向小圆弧。
那么这些大圆弧和小圆弧都是怎样是绘制出来的呢？在没有CAD制图系统软件以前，人们通过平面几何关系利用圆规、直尺等原始工具绘制，其绘制过程很复杂。
而在CAD制图系统软件下，绘制大圆弧和小圆弧是非常简的，下面就介绍它们的原理和绘制过程。
(1)绘制大圆弧的原理与步骤要绘制大圆弧，应至少知道大圆弧上的三个点N、S、B′（如图二所示），其中N、S点是每条大圆弧都必须经过的，是已知点。
现在只要能确定经向大圆弧与东西径线EW的交点B′，问题就迎刃而解。
①计算OB′长度根据倾斜平面的倾角、基圆的直径，可按下式计算点O与点B′之间的距离（公式一）式中R——基圆的半径；α——大圆弧所代表平面的倾角（°）。
②以基圆的圆心为圆心，OB′长为半径画一个圆，该圆与基圆的东西径向线EW交于B′点。
③过N、S、B′三个点画一个圆，并剪掉基圆外部分，大圆弧也就绘制完成。
(2)绘制小圆弧的原理与步骤要绘制半径角距为的小圆弧，同样也应至少知道小圆弧上的三个点（如图六所示的A、C、B三个点）。
根据吴氏网的结构与原理，可以通过CAD 制图确定A、C、B三个点的位置。
①确定点C，首先用公式一计算点O与点C间距离，但其中为小圆弧的半径角距；然后以基圆的圆心为圆心，OC长为半径画圆，该圆与基圆的南北径向线NS交于C点。
②以基圆的圆心为基点，将南北径线ON分别逆时针和顺时针旋转角度，得两条直线，分别与基圆交于A、B点。
③过A、C、B三个点画一个圆，并剪掉基圆外部分，小圆弧也就绘制完成。
三、赤平投影网CAD图解的应用利用传统标准吴氏网对平面、直线进行投影时，一般步骤是：把透明纸（或透明胶片等）蒙在吴氏网上，画基圆及“十”字网心，并用针固定于网心上，使透明纸能够绕网心旋转。
然后在透明纸上标出E、S、W、N，以正北（N）为0°，顺时针数到360°。
东西直径EW确定倾角，一般是圆周为0°，至圆心为90°。
这样做具有以下缺点：一是较麻烦，二是当旋转透明纸时，容易从针孔处发生破裂而移位；三就是准确性不高；四是效率低。
如果用CAD制图，则可避免上述不足，且使作图更简化，用不着吴氏网中的那么多的经、纬线，只需要画出基圆及其南北径线和东西径线。
1.平面赤平投影的CAD图解（如图七）例1：一平面产状126°∠30°，绘制其赤平投影图。
(1)绘制一直径为20cm的基圆，同时画出铅直和水平两条直径，并标出E、S、W、N。
后面的例子均需要这一步，画法与之相同，所以不再重复。
(2)平面的倾向是126°，则其走向为36°。
将南北径线绕基圆的圆心O顺时针旋转36°到达AB位置，与基圆交于A、B两点，则AB就是平面的走向线。
(3)以基圆的圆心O为基点，将射线ON顺时针旋转126°到达OD位置，与基圆相交于点D，则OD即为该平面的倾向线。
(4)用公式一计算线段OC长度。
以基圆的圆心O为圆心，OC为半径画圆，交OD于C点。
(5)采用三点法，即过A、C、B三点画圆，并切掉基圆外部分，所得大圆弧ACB即为该平面的赤平投影。
2.直线赤平投影的CAD图解（如图八）例2：一直线产状330°∠40°，绘制其赤平投影图。
(1)将ON绕圆心O顺时针旋转330°后到达OA位置，与基圆交于点A，则OA即为该直线的倾伏向。
(2)用公式一计算OA′值。
以基圆的圆心O为圆心，OA′为半径画圆，交OA于A′点，则点A′即为该直线的赤平投影。
3.平面法线赤平投影的CAD图解（如图九）例3：一平面产状为105°∠40°，绘制其法线的赤平投影。
(1)按例1所述方法，绘制产状为105°∠40°平面的赤平投影大圆弧NB′S。
(2)平面法线的倾角与平面的倾角之和等于90°，因此平面法线的倾角为50°。
用公式一计算OA′。
以基圆的圆心O为圆心，OA′为半径画圆，交B′O的延长线于A′点，则A′点为该平面法线的赤面投影，也称其为平面的极点。
由于平面法线倾向与平面倾向相反，相差180°，平面法线的倾角与平面的倾角之和等于90°，因此也可根据平面法线产状与平面产状间的这种关系，首先计算法线的产状为285°∠50°，然后再按例2方法绘制法线的赤平投影。
4.相交两条直线所构成平面的产状例4：已知两直线180°∠20°和90°∠32.3°相交，用赤平投影法求解这两条直线所构成平面的产状（如图十（a）、（b））。
(1)为很好地利用CAD制图解决这个问题，引入两条直线倾角与平面倾角间的关系式：tan2βsin2γ=tan2α1+tanα2-2tanα1tanα2cosγ（公式二）式中β——两条相交直线所构成平面的倾角（°）；α1、α2——分别为两条直线的倾伏角（°）；γ——两条直线倾向夹角（°）。