勾股定理能力提升训练(整理4)
勾股定理典型模型归纳训练
1 / 3勾股定理【知识梳理】 1.勾股定理：股勾b a2.勾股定理的证明：方法一：以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形方法二：做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像下图那样拼成两个正方形.方法三：以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形3.基本训练：（1）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，求AB 的长．（2）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=1，BC=2，求AB 的长．（3）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=1，BC=3，求AB 的长．（4）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=6，AB=10，求BC 的长．（5）如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=12，AB=13，求BC 的长．3.常见的勾股数：【探究】与勾股定理相关的问题探究1.已知直角三角形的两边求第三边，或已知直角三角形的两边比和一边长求两边. （1）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，AB=5，求BC 的长．（2）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC ：BC=3:4，AB=10，求AC 、BC 的长.2.求直角三角形斜边上的高. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，AC=3，BC=4，求CD 的长．3.求直角三角形三边的中线的长.（1）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，AB=5，E 是BC 的中点，求AE 的长．（2）如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=4，AB=5，E 是AC 的中点，求BE 的长．（3）如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，F 是AB 的中点，求CF的长．4.求直角三角形角平分线的长.（1）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，AD平分∠CAB，求CD和AD的长．（2）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，BD平分∠ABC，求CD和BD的长．5.含特殊角的直角三角形（1）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=1，求AB和BC的长．（2）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=2，求AC和BC的长．（3）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=3，求AC和AB的长．（4）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，BC=2，求AC和AB的长．（5）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AB=2，求AC和BC的长．6.等边三角形与直角三角形如图，△ABC是等边三角形，AB=6，AD⊥BC，求AD的长和△ABC的面积．7.含120°角的等腰三角形与直角三角形（1）如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB=3，AD⊥BC，求AD、BC的长和△ABC的面积．（2）如图，AB=AC，∠BAC=120°，BC=6，AD⊥BC，求AD、AB的长和△ABC的面积．8.等腰三角形与直角三角形（1）如图，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC，求AD的长和△ABC的面积．（2）如图，AB=AC=5，BC=8，AD⊥BC，求AD的长和△ABC的面积．9.含特殊角的三角形与直角三角形（1）如图，AB=2，BC=3，求AC的长和△ABC的面积．DB CDBB2 / 33 / 360°ABC（2）如图，AB=1，BC=2，求AC 的长和△ABC 的面积．120°ABC10.折叠与直角三角形（1如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，沿AD 折叠，使点C 落在斜边AB 上，若AC=3，BC=4，则CD= ．DCAB第（1）题 第（2）题 第（3）题 第（4）题 第（5）题（2））如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=6cm ，AC=8cm ，按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的C ′点，那么△ADC ′的面积是 ．（3）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC ＝6 cm 、BC ＝8 cm ，现将△ABC 折叠，使点B 与点A重合，折痕为DE ，则DE 的长为 ．（4）如图.在Rt △ABC 中，∠A=30°，DE 垂直平分斜边AC ，交AB 于D ，E 式垂足，连接CD ，若BD=1，则AC 的长是 ．（5）如图所示，已知在三角形纸片ABC 中，BC =3， AB =6，∠BCA =90°，在AC 上取一点E ，以BE为折痕，使AB 的一部分与BC 重合，A 与BC 延长线上的点D 重合，则DE 的长度为 ． （6）如图，矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，将矩形ABCD 沿直线DE 折叠，点A 恰好落在边BC 的点F处．若AE=5，BF=3，则CD 的长是 ．第（6）题 第（7）题 第（8）题 第（9）题 （7）如图，矩形ABCD 边AD 沿拆痕AE 折叠，使点D 落在BC 上的F 处，已知AB=6，△ABF 的面积是24，则FC 等于 ．（8）如图所示，矩形纸片ABCD 中，6AB cm =，8BC cm =，现将其沿EF 对折，使得点C 与点A 重合，则AF 长为 ．（9）如图，将长8cm ，宽4cm 的矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与C 重合，则折痕EF 的长为_____cm. （10）把一张矩形纸片（矩形ABCD ）按如图方式折叠，使顶点B 和点D 重合，折痕为EF ．若AB = 3 cm ，BC = 5 cm ，则重叠部分△DEF 的面积是 cm 2．（11）如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC=3，则折痕CE 的长为 ．第（10）题 第（11）题 第（12）题 第（13）题（12）如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD=8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF=3，则AB 的长为 ．（13）如图，从点()02A ，发出的一束光，经x 轴反射，过点()43B ，，则这束光从点A 到点B 所经过路径的长为 ．（14）矩形纸片ABCD 的边长AB=4，AD=2．将矩形纸片沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为_____________.。
八年级数学勾股定理拓展提高(勾股定理)拔高练习(含答案)
八年级数学勾股定理拓展提高(勾股定理)拔高练习试卷简介:本测试卷共有13道题，其中5道填空题，5道解答题，3道证明题，分四个板块，板块一为回顾练习，回顾暑期学到的关于勾股定理的主要知识，相关题目为教材1、2、3题；板块二为直角三角形六大性质，勾股定理只是直角三角形六大性质之一，将直角三角形的性质一网打尽，相关题目为教材4、5、6、8题；板块三为折叠专题，此类题为中考常考题，需熟练掌握，相关题目为教材9、10、12题；板块四为勾股定理实际应用，有典型的拱桥问题，台风问题，趣味性强，相关题目为教材14、16题。
学习建议:1.题目中有关于直角三角形边的关系，就要想到用勾股定理。
2.折叠专题要注意解题套路，第一步：找准折痕；第二步：找准相等线段，相等角度；第三步：找直角三角形。
3.勾股定理实际应用要能根据题意和生活经验抽象出数学模型，然后用勾股定理相关知识解答。
一、填空题(共5道，每道4分)1.教材1题：△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长是_______.答案：第一种情况：当高AD在三角形内部时，如图所示，利用勾股定理求出：BD=9，CD=5，BC=14，所以周长为13+14+15=42第二种情况：当高AD在三角形外部时，如图所示，同样由勾股定理求出周长为32所以，答案为42或32解题思路：此题没有给出图形，需要自己画图，所以要分类讨论：高在内部，高在外部。
易错点：只想到第一种情况，忽略了高在外部的情况，导致少一种情况。
试题难度：三颗星知识点：三角形2.教材3题：在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝_______．答案：解：由于△ABC≌△CDE，所以BC=DE∵S1是以AB为边长的正方形的面积，S2是以DE为边长的正方形的面积∴S1+S2=AB2+DE2=AB2+BC2=AC2=1，同理：S3＋S4＝3，故S1＋S2＋S3＋S4＝4．解题思路：要能从图形中看出那两个三角形是全等的，利用全等后对应边相等来运用勾股定理易错点：看不出哪两个三角形是全等的关系试题难度：二颗星知识点：勾股定理的应用3.教材4题：△ABC周长是24，M是AB的中点，MC＝MA＝5，则△ABC的面积是_____.答案：解：一边上的中线等于他的一半，则他一定是一个直角三角形。
勾股定理全面训练与提升
18．1 勾股定理知识归纳：1．勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．2．关于勾股定理的证明方法有很多．赵爽的证法是一种面积证法，其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变．“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲。
正因为此，这个图案被选为2002年在北京召开的世界数学家大会的会徽。
学习目标1．会用勾股定理进行简单的计算。
2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。
3．经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法。
4．培养学生思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值。
重点：勾股定理的简单计算。
难点：勾股定理的灵活运用。
典例分析：【例1】 如图所示，可以利用两个全等的直角三角形拼出一个梯形．借助这个图形，你能用面积法来验证勾股定理吗？分析：面积法验证勾股定理关键是要找到一些特殊图形(如直角三角形，正方形，梯形)的面积之和等于另一些特殊图形的面积，从而达到验证的目的．解：此图可以这样理解，有三个Rt △其面积分别为21ab ，21ab 和21c 2．还有一个直角梯形，其面积为21(a ＋b )(a ＋b )． 由图形可知：21 (a ＋b )(a ＋b )＝ 21ab ＋21ab ＋21c 2 整理得(a ＋b )2＝2ab ＋c 2， a 2＋b 2＋2ab ＝2ab ＋c 2， ∴ a 2＋b 2＝c 2 .由此得到勾股定理．这正是美国第20任总统茄菲尔德证明勾股定理的方法． 【例2】在Rt △ABC ，∠C=90° ⑴已知a=b=5,求c 。
⑵已知a=1,c=2, 求b 。
⑶已知c=17,b=8, 求a 。
⑷已知a ：b=1：2,c=5, 求a 。
⑸已知b=15，∠A=30°，求a ，c 。
谈复习课堂教学中计算能力的有效提升——从勾股定理知识点总结复习说起
以әＡＤＥ≅әＡᶄＤＥꎬø３＝ø４ꎬø５＝ø６.由于әＡＤＥ的内角和为１８０ʎꎬøＡ可以用１８０ʎ－(ø３＋ø５)表示ꎬ而ø３可以用ø１的代数式表示ꎬø５可以用ø２的代数式表示ꎬ再经过化简可以表示出øＡ与ø１＋ø２之间的数量关系.解㊀因为三角形纸片ＡＢＣ沿ＤＥ折叠ꎬ所以әＡＤＥ≅әＡᶄＤＥꎬøＡ＝øＡᶄꎬø３＝ø４ꎬø５＝ø６.因为在әＡＤＥ中øＡ＝１８０ʎ－(ø３＋ø５)ꎬ而ø３＝１２１８０ʎ－ø１()＝９０ʎ－１２ø１ꎬø５＝１２１８０ʎ－ø２()＝９０ʎ－１２ø２ꎬ所以øＡ＝１８０ʎ－９０ʎ－１２ø１æèçöø÷－(９０ʎ－１２ø２)ꎬ即øＡ＝１２(ø１＋ø２).方法五:运用四边形的内角和和三角形的内角解决问题分析㊀如图２ꎬ因为三角形纸片ＡＢＣ沿ＤＥ折叠ꎬ所以әＡＤＥ≅әＡᶄＤＥꎬø１＋ø２也在四边形ＢＣＤＥ中ꎬ由四边形ＢＣＤＥ的内角和为３６０ʎꎬ可以表示出ø１＋ø２ꎬ而其中ø４＋ø６和øＢ＋øＣ又可以分别用øＡ表示ꎬ再经过化简可以表示出øＡ与ø１＋ø２之间的数量关系.解㊀因为三角形纸片ＡＢＣ沿ＤＥ折叠ꎬ所以әＡＤＥ≅әＡᶄＤＥꎬøＡ＝øＡᶄꎬø３＝ø４ꎬø５＝ø６.因为四边形ＢＣＤＥ的内角和为３６０ʎꎬ所以ø１＋ø２＝３６０ʎ－(ø４＋ø６＋øＢ＋øＣ).因为әＡＤＥ和әＡᶄＤＥ的内角和为１８０ʎꎬ所以ø４＋ø６＝１８０ʎ－øＡᶄꎬøＢ＋øＣ＝１８０ʎ－øＡꎬ所以ø１＋ø２＝２øＡ.㊀㊀参考文献:[１]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(２０１１年版)[Ｍ].北京:北京师范大学出版社ꎬ２０１２.[２]杨裕前ꎬ董林伟.数学 七年级 下册[Ｍ].南京:江苏凤凰科学技术出版社ꎬ２０１２.[责任编辑:李㊀璟]谈复习课堂教学中计算能力的有效提升从勾股定理知识点总结复习说起张树斌(江苏省张家港市梁丰初级中学㊀２１５６００)摘㊀要:计算能力的提升是初中数学教学的重要目标之一ꎬ这项目标的锁定与实施需要教师从多个角度㊁多个环节去落实.就数学课堂教学行为而言ꎬ我们要结合很多种课型进行开展.笔者就复习课堂教学中的计算能力提升谈几点拙见.关键词:计算能力ꎻ复习课ꎻ勾股定理ꎻ多元中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１７－０００３－０２收稿日期:２０２０－０３－１５作者简介:张树斌(１９７６.１２－)ꎬ男ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀勾股定理在初中数学的教学过程中是一个难点和重点ꎬ学生不仅需要知道勾股定理的来龙去脉ꎬ更需要熟练应用勾股定理解决实际应用类问题ꎬ此时对学生的计算能力和思维能力都提出了较高的要求.笔者结合勾股定理知识点总结复习一课ꎬ就相应环节如何达成计算能力的提升做以下阐述.㊀㊀一㊁多元拼图证明ꎬ让计算服务证明证明勾股定理是我们在学习勾股定理的一个必要过程ꎬ这个证明的方法和路径有很多种ꎬ而我们在课堂中ꎬ需要引领学生用一种方法多个策略去证明勾股定理ꎬ一方面通过学生的熟练精准的计算来提升学生的计算能力ꎬ另一方面是让学生在多元证明的过程中ꎬ体验计算的巧妙性㊁科学性㊁严谨性ꎬ也让学生深刻感受到计算的重要性和必要性.比如ꎬ我们让学生通过两种方法拼图和计算来完成以下证明:例题１㊀如图１所示ꎬ用硬纸板做成的四个全等的直角三角形(两直角边长分别是ａꎬｂꎬ斜边长为ｃ)和一个边长为ｃ的正方形ꎬ请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.(１)画出拼成的图形的示意图ꎻ(２)利用该图形证明勾股定理.３方法１:拼成如图２所示的图形ꎬ此时我们可以结合大正方形面积减去四个小的直角三角形的面积等于小正方形的面积ꎬ从而列出表达式:４ˑ１２ａｂ＋(ｂ－ａ)２＝ｃ２ꎬ从而推出勾股定理表达式.方法２:拼图拼成如图３所示的图形ꎬ此时我们同样可以结合大正方形面积减去四个小的直角三角形的面积等于小正方形的面积ꎬ从而列出表达式:ｃ２＋４ˑ１２ａｂ＝(ａ＋ｂ)２ꎬ从而推出勾股定理表达式.在这个过程中ꎬ学生的计算能力得到有效的训练ꎬ而训练的效果就是巧妙地证明了勾股定理.㊀㊀二㊁熟悉主要应用ꎬ让计算对接应用数学是一门工具性很强的学科ꎬ而计算则是数学学习中的主要工具ꎬ可想而知ꎬ数学计算成为工具中的工具ꎬ核心中的核心ꎬ因此ꎬ计算一定离不开应用ꎬ离不开实战性的训练.为此ꎬ在勾股定理的复习过程中ꎬ我们在应用环节还是渗透了计算的任务给学生ꎬ以任务驱动生长.１.求边的问题.我们通过勾股定理可以解决 已知直角三角形的两边求第三边 的问题ꎬ在问题的启发下ꎬ我们建构如上表格ꎬ让学生很快建构出 已知直角三角形的两边求第三边 的方法ꎬ学生的口算计算和应用能力火速提升.在完成表格后ꎬ我们进行一定的运算ꎬ以此提升学生的计算熟练程度ꎬ训练学生的计算能力.随之ꎬ我们再次提问学生ꎬ如果 已知直角三角形的一边与另两边的关系ꎬ求直角三角形的另两边. 如下:例题２㊀若一个直角三角形的一条直角边长是７ｃｍꎬ另一条直角边比斜边短１ｃｍꎬ则斜边的长是ｃｍ.学生在实实在在的计算和训练中ꎬ归纳总结出这个方法.对比前面两种方法ꎬ学生不难发现ꎬ解决这类问题的一般方法ꎬ即已知直角三角形的一边及两边之间的关系ꎬ就可以求出第三边.这里就要充分考虑学生对勾股定理应用的熟练程度和学生的计算能力.学生在深入的计算过程中ꎬ深刻感受到计算的重要性和必要性.从意识形态上提升了学生对计算题的重视程度.２.求证平方关系.在初中数学中ꎬ很多线段之间存在一种平方的关系ꎬ面对这种问题ꎬ我们可以借助勾股定理来得以突破ꎬ为了让学生深刻感受到这种应用的价值性和实用性ꎬ我们还是可以让学生通过计算来达成.这种达成让学生再次感悟计算的重要性ꎬ其中计算能力的有的放矢的训练也为学生验证 利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 这一应用的实用性.例题３㊀如图４ꎬ已知әＡＢＣ中ꎬøＡＣＢ＝９０ʎꎬ以әＡＢＣ的各边为边在әＡＢＣ外作三个正方形ꎬＳ１㊁Ｓ２㊁Ｓ３分别表示这三个正方形的面积ꎬＳ１＝６ꎬＳ３＝２５ꎬ则Ｓ２＝.这类计算让学生明显发现其中巧妙利用勾股定理的计算ꎬ结合线段的平方关系而解出答案.学生在解答的过程中ꎬ将正方题中面积中的平方关系和勾股定理中的平方关系巧妙融合在一起ꎬ在亲自的计算体验中ꎬ也积累了这种基本的计算技能.３.求作ｎ的线段.初中数学的计算ꎬ在很大程度上是和图象㊁线段㊁作图紧密相关的ꎬ这种关系也再次凸显了数学计算的应用之广ꎬ也充分凸显了数学的学科魅力和价值.对此ꎬ我们需要进一步引导学生在本节复习课中去寻找这层关系ꎬ而教师结合具体问题的引导与思考是教学策略的首选.比如ꎬ我们需要让学生在数轴上画出表示１３及－１０的点.在没有学习勾股定理前ꎬ这样点是很难准确地画在数轴上的ꎬ但是学好勾股定理以后ꎬ我们可以发现１３是边长为３和２的直角三角形的斜边ꎬ为此ꎬ我们只需要构建一个直角三角形即可.同样ꎬ－１０也可以同样画出来ꎬ此时在思考的过程中ꎬ对学生的口算㊁心算的计算能力要求较高ꎬ学生看到１３和－１０以后ꎬ要结合勾股定理很快锁定相应的直角三角形和直角边的长度ꎬ具体解法如图５所示.在此ꎬ我们充分还原学生计算的机会ꎬ让学生在教师的引导下ꎬ深入计算训练.计算不仅解决问题ꎬ还收获结论ꎬ充分提升了学生参与计算训练的兴趣与信心ꎬ也促进学生计算能力的可持续提升.虽然学生参与计算的过程是枯燥乏味的ꎬ但是教师在教学过程中ꎬ充分结合教学内容的特点ꎬ抓住其内在魅力ꎬ用科学合理的问题设计ꎬ激励学生的参与ꎬ我们将收获很多ꎬ此时ꎬ学生将会兴趣倍增ꎬ我们的教学效果也是事半功倍.㊀㊀参考文献:[１]张建芬.如何建构富有新意的初中数学复习课[Ｊ].中学数学ꎬ２０１９(１２):５－６.[２]薛霞燕ꎬ易良斌.基于 教㊁学㊁评 一致性的复习课设计 以 二次根式 为例[Ｊ].中学数学教学参考ꎬ２０１９(０９):２－５.[责任编辑:李㊀璟]４。
勾股定理能力提升训练(整理4)
1 《勾股定理》能力提升训练1、以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）A ．32，42，52B．C． D ．1，2，3 2. 下列说法中, 不正确的是 ( )A. 三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形B. 三个角的度数之比为3:4:5的三角形是直角三角形C. 三边长度之比为3:4:5的三角形是直角三角形D. 三边长度之比为5:12:13的三角形是直角三角形3、若直角三角形的三边长分别为2，4，x ，则x 的可能值有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4、如图，在平面直角坐标系中，点P 坐标为（-2，3），以点O 为圆心，以OP 的长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点A ，则点A 的横坐标介于（ ） A ．-4和-3之间 B ．3和4之间 C ．-5和-4之间 D ．4和5之间5、如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m 处，发现此时绳子末端距离地面2m ，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为（ ） A ．12m B ．13m C ．16m D ．17m6、如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a 的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）A ．12≤a ≤13B ．12≤a ≤15C ．5≤a ≤12D ．5≤a ≤137、如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB 、CD 、EF 、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）A. CD 、EF 、GHB. AB 、EF 、GHC. AB 、CD 、GHD. AB 、CD 、EF8、如图，将矩形ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ，EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD 的长是（ ）A ．12厘米B ．16厘米C ．20厘米D ．28厘米9、已知x 、y 为正数，且│x 2-4│+（y 2-3）2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）A 、5B 、25C 、7D 、1510. 直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边上的高为h,则下列各式中总能成立的是 ( ) A.ab=h 2 B. a 2+b 2=2h 2 C. a 1+b 1=h 1 D. 21a +21b =21h11.已知，如图，在矩形ABCD 中，P 是边AD 上的动点，AC PE ⊥于E ，BD PF ⊥于F ，如果AB=3，AD=4，那么（ ）A.512=+PF PE ；B. 512＜PF PE +＜513； 第6题2C. 5=+PF PED. 3＜PF PE +＜412.已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿.13、如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为 ；14、如图，在△ABC 中，∠B=45°，AB= 15、如图，△ABC 中，有一点P 在AC 上移动．若AB=AC=5，BC=6，则AP+BP+CP 的最小16、如图所示，已知在三角形纸片ABC 中，BC=3，AB=6，∠BCA=90°．在AC 上取一点E ，17、数轴上的点A 所表示的数为x ，则x 2—10的立方根为18、在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积20解答题：21、如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，请证明△ABC 是直角三角形．20、在一棵树的10米高的B 处有两只猴子，为了抢吃池塘边A处水果，一只猴子爬下树跑到离C 处20米远的A 处．另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高．21、已知：如图，在长方形ABCD 中，AB=3，BC=4将△BCD 沿BD所在直线翻折，使点C 落在点F 上，如果BF 交AD 于E ，求AE 的长．22、如图，在△ABC 中，∠C=90°，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，设△ABC 的面积为s ，周长的一半为e ．（1）填写表：3个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第二个正方形AEGH ，如此下去……． ⑴记正方形ABCD 的边长为11=a ，按上述方法所作的正方形的边长依次为n a a a a ,,,,432 ，请求出432,,a a a 的值；⑵根据 以上规律写出n a 的表达式．24、在等腰直角三角形中，AB=AC ，点D 是斜边BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF 。
勾股定理的优秀教案5篇
勾股定理的优秀教案5篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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第1章勾股定理(已整理)
第一章勾股定理1探索勾股定理练习题1.直角三角形ABC的两直角边BC=12,AC=16,则ΔABC的斜边AB的长是()A.20B.10C.9.6D.82.直角三角形两直角边长分别是6和8,则周长与最短边长的比是()A.7∶1B.4∶1C.25∶7D.31∶73.如图所示,在ΔABC中,AB=AC,AD是ΔABC的角平分线,若BC=10,AD=12,则AC=.3题图 4题图 5题图4.如图所示,在RtΔABC中,∠ACB=90°,AB=10,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为S1,S2,则S1+S2的值等于.【基础巩固】1.在RtΔABC中,AB=6,BC=10,∠A=90°,则AC=.2.若三角形是直角三角形,且两条直角边长分别为5,12,则此三角形的周长为,面积为.3.已知直角三角形的两边长分别是3和4,则第三边长为.4.如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是.【能力提升】5.如图所示,在正方形网格中,ΔABC的三边长a,b,c的大小关系是()A.a<b<cB.c<a<bC.c<b<aD.b<a<c6.如图所示,在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中,以EF为边的小正方形与正方形ABCD的面积比是.7.如图所示,阴影部分是一个正方形,它的面积为.8.如图所示,三个正方形的面积中,字母A所在的正方形的面积是.9.飞机在空中水平飞行,某一时刻飞机刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处,过20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,飞机每小时飞行多少千米?10.一个门框的尺寸如图所示,一块长3 m,宽2.2 m的薄木板能否从门框内通过?为什么?11.在ΔABC中,AB=25,AC=30,BC边上的高AD=24,求BC的长.【拓展探究】12.如图所示,在RtΔABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,以点A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点D,则BD=.13.如图所示,一个机器人从O点出发,向正东方向走3米到A1点,再向正北方向走6米到达A2点,再向正西方向走9米到达A3点,…,按此规律走下去,当机器人走到A6点时,离O点的距离是.如左下图所示,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A,B都是格点,则线段AB的长度为()A.5B.6C.7D.25例1 例题2如图所示,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为3和4,则b的面积为.我方侦察员小王在距离东西向公路400 m处侦察,发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他相距400 m,10 s后,汽车与他相距500 m,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗? 〔解析〕根据题意,可以画出右图,其中点A表示小王所在位置,点C,点B表示两个时刻敌方汽车的位置.由于小王距离公路400 m,因此∠C是直角,这样就可以由勾股定理来解决这个问题了.解:由勾股定理,可以得到AB2=BC2+AC2,也就是5002=BC2+4002,所以BC=300.敌方汽车10 s行驶了300 m,那么它1 h行驶的距离为300×6×60=108000(m),即它行驶的速度为108 km/h.检测反馈1.下列选项中,不能用来证明勾股定理的是()2.用四个边长均为a,b,c的直角三角板,拼成如图所示的图形,则下列结论中正确的是()2题图 3题图A.c2=a2+b2B.c2=a2+2ab+b2C.c2=a2-2ab+b2D.c2=(a+b)23.如图所示,大正方形的面积是,另一种方法计算大正方形的面积是,两种结果相等,推得勾股定理是.4.操作:剪若干个大小形状完全相同的直角三角形,三边长分别记为a,b,c(如图(1)所示),分别用4张这样的直角三角形纸片拼成如图(2)(3)所示的形状,图(2)中的两个小正方形的面积S2,S3与图(3)中小正方形的面积S1有什么关系?你能得到a,b,c之间有什么关系?【基础巩固】1.我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为a,b,那么(a-b)2的值是()A.1B.2C.12D.131题图 3题图3.北京召开的第24届国际数学家大会会标的图案如图所示.(1)它可以看做是由四个边长分别为a,b,c的直角三角形拼成的,请从面积关系出发,写出一个关于a,b,c 的等式.(要有过程)(2)请用四个这样的直角三角形再拼出另一个几何图形,也能验证(1)中所写的等式.(不用写出验证过程)(3)如果a2+b2=100,a+b=14,求此直角三角形的面积.【能力提升】4.勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载.如图(1)所示的是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图(2)是由图(1)放入矩形内得到的,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,点D,E,F,G,H,I都在矩形KLMJ的边上,则矩形KLMJ的面积为.5.在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示,它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的较长直角边为a,较短直角边为b,则a4+b4的值为 ()A.35B.43C.89D.976.据传当年毕达哥拉斯借助如图所示的两个图验证了勾股定理,你能说说其中的道理吗?7.如图所示,在平面内,把矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转90°得到矩形A'BC'D'.设AB=a,BC=b,BD=c.请利用该图验证勾股定理.【拓展探究】8.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图(1)所示).图(2)是由弦图变化得到的,它是用八个全等的直角三角形拼接而成的.记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3.若S1+S2+S3=16,则S2的值是.9.勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感,他惊喜地发现,当两个全等的直角三角形如图(1)或图(2)摆放时,都可以用“面积法”来证明,下面是小聪利用图(1)证明勾股定理的过程.将两个全等的直角三角形按图(1)所示摆放,连接DC,其中∠DAB=90°,求证a2+b2=c2.证明:连接DB,过点D作BC边上的高DF,则DF=EC=b-a.∵b2+ab,又∵c2+a(b-a),∴b2+ab=c2+a(b-a),∴a2+b2=c2.请参照上述证法,利用图(2)完成下面的验证过程.将两个全等的直角三角形按图(2)所示摆放,其中∠DAB=90°,连接BE.验证a2+b2=c2.证明:连接,∵=,又∵=,∴,∴a2+b2=c2.2一定是直角三角形吗？1.以以下各组数为三边长的三角形中,能组成直角三角形的是()A.3,4,6B.9,12,15C.5,12,14D.10,16,252.ΔABC的三边长分别为a,b,c,在下列条件下,不能判定ΔABC是直角三角形的是()A.a2=b2-c2B.a2∶b2∶c2=1∶2∶3C.∠A=∠B-∠CD.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶53.如图所示,四边形ABCD中,AB=3,BC=4,AC=5,CD=12,AD=13,则四边形ABCD的面积为()A.72B.36C.66D.424.如图所示,在ΔABC中,AB=26,BC=20,边BC上的中线AD=24.求AC.【基础巩固】1.下列几组数中,是勾股数的是 ()A.5,6,7B.3,4,9C.5,3,6D.10,24,262.有五根木棒,它们的长度分别为2 cm,6 cm,8 cm,10 cm,12 cm,从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形,则这三根木棒的长度分别为 ()A.2 cm,6 cm,8 cmB.6 cm,8 cm,10 cmC.6 cm,8 cm,12 cmD.2 cm,8 cm,10 cm3.如图所示,有一块地,已知AD=4 m,CD=3 m,∠ADC=90°,AB=13 m,BC=12 m,则这块地的面积为()A.24 m2B.26 m2C.28 m2D.30 m24.若ΔABC的三边长a,b,c满足|a-5|+(b-12)2+(c-13)2=0,则ΔABC的面积为.【能力提升】5.观察下列几组勾股数:①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;④9,40,41;⑤15,m,n.根据你发现的规律可得m+n=.6.如图所示,∠C=90°,AC=12,BC=9,AD=8,BD=17,求ΔABD的面积.7.已知a,b,c为ΔABC的三边长,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断ΔABC的形状.解:∵a2c2-b2c2=a4-b4,①∴c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2).②∴c2=a2+b2.③∴ΔABC是直角三角形.(1)在上述解题过程中,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号:;(2)错误的原因为;(3)写出本题正确的解题过程.8.求证若勾股数组中,弦与股的差为1.证明这样的勾股数组可表示为如下形式:2a+1,2a2+2a,2a2+2a+1,其中a为正整数.9.国道通过A,B两村庄,而C村庄离国道较远,为了响应政府“村村通公路”的号召,C村决定采用自己筹集一部分,政府补贴一部分的方法修建一条水泥路直通国道.已知C村到A,B两村的距离分别为6 km,8 km,A,B两村距离为10 km,那么这条水泥路的最短距离为多少?3勾股定理的应用课后练习题1.如图所示,有两棵树,一棵高10 m,另一棵高4 m,两树相距8 m.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则小鸟至少飞行()A.8 mB.10 mC.12 mD.14 m2.如图所示,将一根长24 cm的筷子放入底面直径为5 cm,高为12 cm的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长度为h cm,则h的最小值是()A.12 cmB.13 cmC.11 cmD.9 cm3.某楼梯的侧面视图如图所示,其中AB=6.5米,BC=2.5米,∠C=90°,楼梯的宽度为6米,因某种活动要求铺设红色地毯,则在AB段楼梯所铺地毯的面积应为.4.如图所示,铁路AB的一边有C,D两村庄,DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,已知AB=25 km,DA=15 km,CB=10 km,现要在铁路上建一个农产品收购站E,并使DE=CE,则农产品收购站E应建在距点A多少千米处?【基础巩固】1.如图所示,一根竹子高9尺,折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处,折断处离地面高度是 ()A.3尺B.4尺C.5尺D.6尺2.如图所示,一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到正方体上底面的B点处,它爬行的最短路线是()A.A⇒P⇒BB.A⇒Q⇒BC.A⇒R⇒BD.A⇒S⇒B3.如图所示,一个圆柱的底面半径为8 cm,高为15πcm,一只蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是cm.4.有一块边长为24米的正方形绿地ABCD(如图所示),在绿地的BC边上距B点7米的点E处有一健身器,居住在A处的居民经常践踏绿地,沿直线AE直达E处健身,小明同学想在A处立一块标牌“少走■米,踏之何忍?”,则标牌上的“■”处的数字是.5.如图所示,要从电线杆离地面12米处向地面拉一条长为13米的钢缆,求地面钢缆固定点A到电线杆底部B的距离.【能力提升】6.两艘轮船从同一港口同时出发,甲船时速40海里,乙船时速30海里,两小时后,两船相距100海里,已知甲船的航向为北偏东46°,则乙船的航向为()A.东偏南46°B.北偏西46°C.东偏南46°或西偏北46°D.无法确定7.如图所示,已知长方体的三条棱AB,BC,BD的长分别为4,5,2,蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程的平方是.7题图 9题图 10题图8.一艘轮船以24海里/时的速度离开港口向东南方向航行,另一艘轮船同时以10海里/时的速度离开港口向西南方向航行,经过1小时,这两艘轮船相距多远?9.如图所示,在长15米,宽8米的长方形ABCD花园内修一条长13米的笔直小路EF,小路出口一端E选在AD边上距D点3米处,另一端出口F应选在AB边上距B点几米处?10.如图所示,有一圆柱形油罐,要从A点环绕油罐搭梯子,正好到A点的正上方B点.梯子最短需要多少米?(已知油罐底面的周长是12 m,高AB是5 m)【拓展探究】11.如图所示,三条公路的交叉地带是一个三角形,经测量这个三角形的三条边长分别是AB=130米,BC=140米,AC=150米.市政府准备将其作为绿化用地,请你求出绿化用地的面积.如图所示,圆柱形玻璃杯,高为12 cm,底面周长为18 cm,在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm.第一章勾股定理专题复习专题一勾股定理及其逆定理的基本用法【专题分析】勾股定理是初中阶段应该掌握的一个重要定理,运用勾股定理的过程中蕴含着方程、几何、不等式等多种解决问题的方法.用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形应注意:(1)首先确定最大边,不妨设最大边长为c;(2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系,若c2=a2+b2,则ΔABC是以∠C为直角的直角三角形.(若c2>a2+b2,则ΔABC是以∠C为钝角的钝角三角形;若c2<a2+b2,则ΔABC为锐角三角形)若直角三角形两直角边长的比是3∶4,斜边长是20,求此直角三角形的面积.【针对训练1】等腰三角形的底边长为6,腰长为5,求ΔABC的面积.如图所示,ΔABC中,已知AB=AC,D是AC上的一点,CD=9,BC=15,BD=12.(1)求证ΔBCD是直角三角形;(2)求ΔABC的面积.【针对训练2】如图所示,在四边形ABDC中,∠A=90°,AB=9,AC=12,BD=8,CD=17.(1)求BC的长;(2)求四边形ABDC的面积.专题二勾股定理的应用【专题分析】在实际生活中,勾股定理有着广泛的应用.在运用的过程中,要注意是运用勾股定理还是运用勾股定理的逆定理.在解决问题的过程中,寻找和构造垂直关系就成为解题的关键所在.(莱芜中考)如图所示,在ΔABC中,AB=AC=5,BC=6.若点P在边AC上移动,求BP的最小值.【针对训练3】如图所示,直线MN表示一条铁路,A,B是两个城市,它们到铁路的垂直距离分别为AA1=20 km,BB1=40 km,已知A1B1=80 km,现要在A1,B1之间设一个中转站P,使两个城市到中转站的距离之和最短,请你设计一种方案确定P点的位置,并求这个最短距离.专题三数学思想方法(一)转化的思想方法【专题分析】我们在求三角形的边或角,或进行推理论证时,常常作垂线,构造直角三角形,将问题转化为直角三角形问题来解决.如图(1)所示,ΔABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E,F分别是AB,AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5.求线段EF的长.【针对训练4】在甲村至乙村的公路有一块山地正在开发,现有一C处需要爆破,已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米,与公路上的另一停靠站B的距离为400米,且CA⊥CB,如图(1)所示.为了安全起见,爆破点C周围半径250米范围内(包括250米)不得进入,则在进行爆破时,公路AB段是否有危险?是否需要暂时封锁?(二)方程的思想方法【专题分析】方程是通过等量关系解决问题的重要手段,在解决几何计算、代数求值、求解函数解析式等都渗透着方程思想,在中考中方程思想占有重要的地位,渗透在各种大小问题之中.如图所示,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8 cm,BC=10 cm,求EF的长.【针对训练5】如图所示,四边形ABCD是长方形,把ΔACD沿AC折叠得到ΔACD',AD'与BC交于点E,若AD=4,DC=3,求BE的长.。
期中难点特训(二)勾股定理与全等结合的压轴题(原卷版)
期中难点特训（二）勾股定理与全等结合的压轴题1．（1）如图1，将一块直角三角板的直角顶点E放在正方形ABCD的对角线AC上（不与点A，C 重合，其中的一条直角边经过点D，另一条直角边与BC相交于点F，①试猜想线段DE、EF之间的数量关系，并说明理由；②试猜想线段CE、CD、CF之间的数量关系，并说明理由；（2）如图2，当点F落到BC的延长线上时，请直接写出线段CE、CD、CF之间的数量关系．2．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边AC上，CD⊥DE，且CD＝DE，连接BE，取BE的中点F，连接DF．(1)请直接写出∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系；(2)将图1中的△CDE绕点C按逆时针旋转，①如图2，（1）中∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范围．3．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的双腰分割线，称这个三角形为双腰三角形．(1)如图1，三角形内角分别为80°、25°、75°，请你画出这个三角形的双腰分割线，并标出每个等腰三角形各角的度数．(2)如图2，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点D．求证：AD 是△ABC的一条双腰分割线．(3)如图3，已知△ABC中，∠B＝64°，AD是三角形ABC的双腰分割线，且AB＝AD．①求∠C的度数．②若AB＝3，AC＝5，求BC的长．4．如图，△ABC中，AB＝10cm，BC＝6cm，AC＝8cm，若动点P从点C开始，按C→A→B的路径运动，且速度为每秒2cm，设出发的时间为t秒．（1）请判断△ABC的形状，说明理由．（2）当t为何值时，△BCP是以BC为腰的等腰三角形．（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒1cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．直接写出t为何值时，P、Q两点之5．如图1，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD、CE．(1)求证：△ABD≌△ACE．(2)如图2，连接CD，若BD=13，CD=5，DE=12，求∠ADC的度数．(3)如图3，取BD，CE的中点M，N，连接AM，AN，MN，判断△AMN的形状，并说明理由．6．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝4cm，过点A作射线l∥BC，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿射线l运动，设运动时间为t秒（t＞0），作∠PCB的平分线交射线l于点D，记点D关于射线CP的对称点是点E，连接AE、PE、BP．（1）求证：PC＝PD；（2）当△PBC是等腰三角形时，求t的值；（3）是否存在点P，使得△P AE是直角三角形，如果存在，请直接写出t的值，如果不存在，请说明理由．7．如图，∠MON＝90°，A是射线OM上一点且OA＝8cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AO水平向左匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以1cm/s的速度沿ON竖直向上匀速运动．连接PQ，以PQ为斜边作等腰直角三角形PCQ．设P、Q两点运动时间为ts，其中0＜t＜8．（1）OP＋OQ＝________cm；（2）连接AC，判断OAC的形状，并说明理由；（3）是否存在实数t，使得线段PQ的长度最小？若存在，求出t的值及PQ2的最小值；若不存在，说明理由．8．在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°，（1）如图1，当点A、C、D在同一条直线上时，AC=4，EC=3，①求证：AF⊥BD；②AF的长度为直接写出答案）；（2）如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，求证：AF⊥BD；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，则∠FCD+∠FEC= （直接写出答案）9．（1）阅读理解：如图1，等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的大小．思路点拨：考虑到P A，PB，PC不在一个三角形中，采用转化与化归的数学思想，可以将△ABP绕顶点A逆时针旋转60°到△ACP'处，此时△ACP'≌△ABP，这样，就可以利用全等三角形知识，结合已知条件，将三条线段的长度转化到一个三角形中，从而求出∠APB的度数．请你写出完整的解答过程．（2）变式拓展：请你利用第（1）问的解答思想方法，解答下面问题：如图2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，BE＝8，CF＝6，求EF的大小．（3）能力提升：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，请直接写出（OA+OB+OC）2＝．10．已知在△ABC和△A'B'C'中，AB＝A'B'，AC＝A'C'，AD、A'D'分别是BC、B'C'边上的高，且AD ＝A'D'．（1）如图①，当AB＝AC时，求证：△ABC≌△A'B'C'（2）如图②，当AB≠AC时，△ABC与△A'B'C'不一定全等．请画出△A'B'C'，使△A'B'C'与△ABC不全等．并在图中作出适当的标注或必要的文字说明．（3）在△ABC中，AB＝20，AC＝15，BC边上的高AD＝12，则△ABC的周长为．11．（1）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，EF分别是BC，CD上的点，且∠EAF ＝60°，探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是延长FD 到点G ，使DG ＝BE ，连结AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是______；（2）探索延伸： 如图2，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）结论应用：如图3，等腰直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点M ，N 在边BC 上，且∠MAN ＝45°．若BM ＝12，CN ＝16，则MN 的长为______ ．12．【情景呈现】画90AOB ∠=︒，并画AOB ∠的平分线OC ．（1）把三角尺的直角顶点落在OC 的任意一点P 上，使三角尺的两条直角边分别与AOB ∠的两边,OA OB 垂直，垂足为,E F （如图1）．则________PE PF ．（选填：“<”、“>”或“=”） （2）把三角尺绕点P 旋转（如图2），PE 与PF 相等吗？猜想,PE PF 的大小关系，并说明理由．【理解应用】（3）在（2）的条件下，过点P 作直线GH OC ⊥，分别交,OA OB 于点,G H ，如图3． ①图中全等三角形有_________对．（不添加辅助线）②猜想,,GE FH EF 之间的关系为___________．【拓展延伸】（4）如图4，画60AOB ∠=︒，并画AOB ∠的平分线OC ，在OC 上任取一点P ，作120EPF ∠=︒，EPF ∠的两边分别与,OA OB 相交于,E F 两点，PE 与PF 相等吗？请说明理由．13．定义：三角形中，连接一个顶点和它所对的边上一点，如果所得线段把三角形的周长分成相等的两部分，则称这条线段为三角形的“周长平分线”．（1）下列与等腰三角形相关的线段中，一定是所在等腰三角形的“周长平分线”的是_______（只要填序号）；①腰上的高；②底边上的中线；③底角平分线．（2）如图1，在四边形ABCD 中，45B C ∠=∠=︒，P 为BC 的中点，90APD ∠=︒．取AD 中点Q ，连接PQ ．求证：PQ 是APD ∆的“周长平分线”．（3）在（2）的基础上，分别取AP ，DP 的中点M ，N ，如图2．请在BC 上找点E ，F ，使EM 为APE ∆的“周长平分线”，FN 为DPF ∆的“周长平分线”．①用无刻度直尺确定点E ，F 的位置（保留画图痕迹）；②若AB =CD =EF 的长．14．如图，在等腰Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 是AB 上一点，作等腰Rt DCE ，且90DCE ∠=︒，连接AE ．(1)求证：CEA CDB△△；≌(2)求证：222+=．BD AD DE15．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是．A．SAS；B. SSS；C. AAS；D. HL(2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是．解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．(3)【初步运用】如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AC＝BF．求证AE ＝FE．(4)【灵活运用】如图③，在△ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF 交AC于点F，连接EF．试猜想线段BE、CF、EF三者之间的数量关系，并证明你的结论．。
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《勾股定理》能力提升训练
1、以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A ．32，42，52 B
．C
． D ．1，2，3 2. 下列说法中, 不正确的是 ( )
A. 三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形
B. 三个角的度数之比为3:4:5的三角形是直角三角形
C. 三边长度之比为3:4:5的三角形是直角三角形
D. 三边长度之比为5:12:13的三角形是直角三角形 3、若直角三角形的三边长分别为2，4，x ，则x 的可能值有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4、如图，在平面直角坐标系中，点P 坐标为（-2，3），以点O 为圆心，以OP 的长为半径画弧，交x 轴的负半轴于点A ，则点A 的横坐标介于（ ）
A ．-4和-3之间
B ．3和4之间
C ．-5和-4之间
D ．4和5之间
5、如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子
末端拉到距离旗杆8m 处，发现此时绳子末端距离地面2m ，则旗杆的高度为（滑
轮上方的部分忽略不计）为（ ） A ．12m B ．13m C ．16m
D ．17m
6、如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，
则一条到达底部的直吸管在罐内部分a 的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）
A ．12≤a ≤13
B ．12≤a ≤15
C ．5≤a ≤12
D ．5≤a ≤13
7、如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB 、CD 、EF 、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）
A. CD 、EF 、GH
B. AB 、EF 、GH
C. AB 、CD 、GH
D. AB 、CD 、EF
8、如图，将矩形ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ，
EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD 的长是（ ）
A ．12厘米
B ．16厘米
C ．20厘米
D ．28厘米
9、已知x 、y 为正数，且│x 2-4│+（y 2-3）2=0，如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）
A 、5
B 、25
C 、7
D 、15 10. 直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边上的高为h,则下列各式中总能成立的是 ( ) A. ab=h 2 B. a 2+b 2=2h 2 C. a 1+b 1=h 1 D. 21a +21b =21h
11.已知，如图，在矩形ABCD 中，P 是边AD 上的动点，AC PE ⊥于E ，BD PF ⊥于F ，如果AB=3，AD=4，那么（ ）
B A 6cm 3cm 1cm A.512=+PF PE ； B. 512＜PF PE +＜5
13； C. 5=+PF PE D. 3＜PF PE +＜4
12.已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿.
13、如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为 ；
14、如图，在△ABC 中，∠B=45°，AB= 2，BC= 3+1，则边AC 的长为 ；
15、如图，△ABC 中，有一点P 在AC 上移动．若AB=AC=5，BC=6，则AP+BP+CP 的最
小值为 ；
16、如图所示，已知在三角形纸片ABC 中，BC=3，AB=6，∠BCA=90°．在AC 上取一
点E ，以BE 为折痕，使AB 与BC 重合，A 与BC 延长线上的点D 重合，则DE 的长度为 ；
17、数轴上的点A 所表示的数为x ，则x 2—10的立方根为
18、在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1，S 2，S 3，S 4，则
S 1+S 2+S 3+S 4= ；
19、如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．
①如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，
那么所用细线最短需要__________cm ；
②如果从点A 开始经过4个侧面缠绕3圈到达点B ，
那么所用细线最短需要__________cm ． 20、一直角三角形斜边的长是2，周长是2+7，则该三角形的面积是 ； 解答题：
21、如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三
个顶点均在格点上，请证明△ABC 是直角三角形．
20、在一棵树的10米高的B 处有两只猴子，为了抢吃池塘边A
处水果，一只猴子爬下树跑到离C 处20米远的A 处．另一
只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两
只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高．
21、已知：如图，在长方形ABCD 中，AB=3，BC=4将△BCD 沿BD
所在直线翻折，使点C 落在点F 上，如果BF 交AD 于E ，求
AE 的长．
22、如图，在△ABC 中，∠C=90°，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，设△ABC 的
面积为s ，周长的一半为e ．
（1）填写表：
（2）观察表，令m=e-a ，n=e-b ，探究m 、n 与s 之间的关系，并对你的结论给予证明．
23.四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第
二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第二个正方形AEGH ，
如此下去……．
⑴记正方形ABCD 的边长为11=a ，按上述方法所作的正方
形的边长依次为n a a a a ,,,,432 ，请求出432,,a a a 的值；
⑵根据 以上规律写出n a 的表达式．
24、在等腰直角三角形中，AB=AC ，点D 是斜边BC 的中点，点E 、F 分别为AB 、AC 边上的点，
且DE ⊥DF 。
（1）说明：222EF CF BE =+
(2)若BE=12,CF=5，试求DEF ∆的面积。
三边a 、b 、c e-a e-b s 3、4、5 3 2 6
5、12、13 8、15、17 F E
A。