极坐标与参数方程习题

！极坐标与参数方程习题一、选择题1.直线12+=x y 的参数方程是（ ）A 、⎩⎨⎧+==1222t y t x （t 为参数） B 、⎩⎨⎧+=-=1412t y t x （t 为参数）C 、 ⎩⎨⎧-=-=121t y t x （t 为参数） D 、⎩⎨⎧+==1sin 2sin θθy x （t 为参数） 2.已知实数x,y 满足02cos 3=-+x x ，022cos 83=+-y y ，则=+y x 2（ ）A ．0B ．1C ．-2D ．83.已知⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,5πM ，下列所给出的不能表示点的坐标的是( ).A 、⎪⎭⎫⎝⎛-3,5πB 、⎪⎭⎫⎝⎛34,5π C 、⎪⎭⎫⎝⎛-32,5π D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛--35,5π 4.极坐标系中，下列各点与点P （ρ，θ）（θ≠k π，k ∈Z ）关于极轴所在直线对称的是（ ）A ．（-ρ，θ）B ．（-ρ，-θ）C ．（ρ，2π-θ）D ．（ρ，2π+θ）5.点()3,1-P ，则它的极坐标是( )A 、⎪⎭⎫⎝⎛3,2π B 、⎪⎭⎫⎝⎛34,2π C 、⎪⎭⎫⎝⎛-3,2π D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π 6.直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B 分别在曲线13cos :sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩ （θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为( ).】7.参数方程为1()2x t t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩为参数表示的曲线是（ ）A ．一条直线B ．两条直线C ．一条射线D ．两条射线8.()124123x tt x ky k y t=-⎧+==⎨=+⎩若直线为参数与直线垂直，则常数（ ） B.16-D.169.极坐标方程4cos ρθ=化为直角坐标方程是( )A ．22(2)4x y -+= B.224x y += C.22(2)4x y +-= D.22(1)(1)4x y -+-=10.柱坐标（2，32π，1）对应的点的直角坐标是（ ）. ）A.(1,3,1-)B.(1,3,1-)C.(1,,1,3-)D.(1,1,3-)11.已知二面角l αβ--的平面角为θ，P 为空间一点，作PA α⊥，PB β⊥，A ，B 为垂足，且4PA =，5PB =，设点A 、B 到二面角l αβ--的棱l 的距离为别为,x y ．则当θ变化时，点(,)x y 的轨迹是下列图形中的12.曲线24sin()4x πρ=+与曲线1221222x ty t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩的位置关系是（ ）。

/A 、 相交过圆心B 、相交C 、相切D 、相离二、填空题13.在极坐标()θρ, ()πθ20<≤中，曲线θρsin 2=与1cos -=θρ的交点的极坐标为____________.3333（A ） （B ） （C ）（D ）14.在极坐标系中，圆2ρ=上的点到直线()6sin 3cos =+θθρ的距离的最小值是 .15. 圆C ：x =1+cos θy =sin θ⎧⎨⎩(θ为参数)的圆心到直线l：x =3t y =13t⎧-⎪⎨-⎪⎩(t 为参数)的距离为 .16. A ：（极坐标参数方程选做题）以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，已知曲线1C 、2C 的极坐标方程分别为0,3πθθ==，曲线3C 的参数方程为2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，且,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦），则曲线1C 、2C 、3C 所围成的封闭图形的面积是 . ·三、解答题17.在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x-y+4=0，曲线C 的参数方程为x y sin ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩（为参数）．（I ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴 正 半轴为极轴）中，点P 的极坐标为（4，2π），判断点P 与直线l 的位置关系； （II ）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．18.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 方程为5cos (3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数）（Ⅰ）求过椭圆的右焦点，且与直线42(3x tt y t=-⎧⎨=-⎩为参数）平行的直线l 的普通方程。

&（Ⅱ）求椭圆C 的内接矩形ABCD 面积的最大值。

19.坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴非负半轴重合．直线l 的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 21231（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为：θρcos 4=． （1）写出曲线C 的直角坐标方程，并指明C 是什么曲线； （2）设直线l 与曲线C 相交于Q P ,两点，求PQ 的值．20.在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程是()21x tt y t =⎧⎨=+⎩为参数，在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=（I ）求圆C 的直角坐标方程； （II ）求圆心C 到直线l 的距离。

21.在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点M的极坐标为4π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线C的参数方程为1,,x y αα⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参数）．。

（1）求直线OM 的直角坐标方程；（2）求点M 到曲线C 上的点的距离的最小值．22.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

已知点P 的极坐标为4π⎫⎪⎭，直线l 过点P ，且倾斜角为23π，方程2213616x y +=所对应的切线经过伸缩变换1312x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩后的图形为曲线C（Ⅰ）求直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标系方程 （Ⅱ）直线l 与曲线C 相交于两点,A B ，求PA PB ⋅的值。

23.在直角坐标系中，以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线θθρcos 2sin :2a C =)0(>a ，已知过点)4,2(--P 的直线l 的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y t x 224222， 直线l 与曲线C 分别交于N M ,．（Ⅰ）写出曲线C 和直线l 的普通方程； ~（Ⅱ）若|||,||,|PN MN PM 成等比数列,求a 的值．试卷答案⎪⎭⎫ ⎝⎛43,2π16.23π 17.解：（I ）把极坐标系下的点(4,)2P π化为直角坐标，得P （0，4）。

因为点P 的直角坐标（0，4）满足直线l 的方程40x y -+=，。

所以点P 在直线l 上，（II ）因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q的坐标为,sin )αα， 从而点Q 到直线l 的距离为2cos()4)6d παπα++===++，由此得，当cos()16πα+=-时，d18.（1）由已知得椭圆的右焦点为()4,0，已知直线的参数方程可化为普通方程：220x y -+=，所以12k =,于是所求直线方程为240x y -+=。

（2）460sin cos 30sin S xy ϕϕ===2ϕ， 当22πϕ=时，面积最大为3019.^（2）把⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 21231代入x y x 422=+，整理得05332=+-t t ，---6分 设其两根分别为,,21t t 则5,332121==+t t t t ，---8分 所以721=-=t t PQ ．----10分20.（1）圆C 的直角坐标方程是22+-2=0x y x ；（2）圆心C 到直线35l d 的距离。

21.解：（Ⅰ）由点M 的极坐标为π42,4⎛⎫⎪⎝⎭，得点M 的直角坐标为(4，4)， 所以直线OM 的直角坐标方程为x y =．%（Ⅱ）由曲线C 的参数方程12,2x y αα⎧=+⎪⎨⎪⎩(α为参数)，化成普通方程为：2)1(22=+-y x ， 圆心为A (1，0)，半径为2=r ．由于点M 在曲线C 外，故点M 到曲线C 上的点的距离最小值为25||-=-r MA ．22.23.（Ⅰ）22,2y ax y x ==-.（Ⅱ）直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y tx 224222（t 为参数）,代入22y ax =, 得到222)8(4)0t a t a -+++=， 则有121222(4),8(4)t t a t t a +=+⋅=+.因为2||||||MN PM PN =⋅，所以2212121212()()4t t t t t t t t -=+-⋅=⋅. 解得 1a =.。