江苏省淮安市淮安区八年级(上)期中数学试卷
八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.下列四副图案中，不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.已知等腰三角形一边长为4，一边的长为6，则等腰三角形的周长为（）.A. 14B. 16C. 10D. 14或163.和三角形三条边距离相等的点是（）A. 三条角平分线的交点B. 三边中线的交点C. 三边上高所在直线的交点D. 三边的垂直平分线的交点4.如图，已知MB=ND，∠MBA=∠NDC，下列条件不能判定△ABM≌△CDN的是（）A. AM=CNB. AB=CDC. ∠M=∠ND. ∠A=∠NCD5.如图，用尺规作图作已知角∠AOB的平分线OC，其根据是构造两个三角形全等，它所用到的识别方法是（）A. SASB. SSSC. ASAD. AAS6.在Rt△AOB中，∠AOB=90°，若AB=10，AO=6，则OB长为（）A. 5B. 6C. 8D. 107.由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A. ∠A+∠C=∠BB. a=13，b=14，c=15C. (b+a)(b−a)=c2D. ∠A：∠B：∠C=5：3：28.将一张正方形按图1，图2方式折叠，然后用剪刀沿图3中虚线剪掉一角，再将纸片展开铺平后得到的图形是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共9小题，共30.0分）9.已知△ABC≌△DEF，若AB=6cm，那么DE=______cm．10.开车时，从后视镜中看到后面一辆汽车车牌号的后四位数是“”，则该车号牌的后四位应该是______．11.如图，在△ABC中，线段DE垂直平分AC，若AB=8cm，BC=5cm，则△CBE的周长等于______cm．12.一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、4，若这两个三角形全等，则x+y=______．13.如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需加条件______．14.如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB=AC，∠A=50°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，则∠CBE=______°．15.如图，阴影部分是3个直角三角形，若最大正方形的边长为16，则正方形A，B，C，D的面积和是______．16.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形，若直角三角形的斜边和较短的直角边长分别为5和3，则小正方形的面积为______．17.如图，AD、BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°．（1）求证：△ACB≌△BDA；（2）若∠ABC=35°，则∠CAO=______°．三、解答题（本大题共9小题，共66.0分）18.如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若△AEG的周长为8，求BC的长．19.已知：如图，AE是△ABC外角的平分线，且AE∥BC．求证：△ABC是等腰三角形．20.“三月三，放风筝”，如图是小明同学制作的风筝，他根据AB=AD，CB=CD，不用度量，他就知道∠ABC=∠ADC，请你用学过的知识给予说明．21.在图示的方格纸中，（1）作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1；（2）说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的？（3）在直线MN上找一点P，使得PB+PA最短．（简要说明确定点P的方法，不必说明理由）．22.如图，一块四边形的土地，其中∠DAB=90°，AB=4m，AD=3m，BC=12m，CD=13m，求这块土地的面积？23.如图，已知：大风把一颗大树刮断，折断的一端恰好落在地面上的A处，量得BC=3m，AC=4m，试计算这棵大树的高度．24.已知，如图，点E，F在CD上，DE=CF，请从下列三个条件中选择两个作为已知条件，另一个作为结论，使命题成立，并给出证明：①AC=BD；②∠AEC=∠BFD；③AC∥BD我选的条件是：______（填序号）结论是：______（填序号）证明：25.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6cm，AC=8cm，点O为AB的中点，连接CO．点M在CA边上，从点C以1cm/秒的速度沿CA向点A运动，设运动时间为t秒．（1）当∠AMO=∠AOM时，求t的值；（2）当△COM是等腰三角形时，求t的值．26.如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）说明△ADC≌△CEB；（2）说明AD+BE=DE；（3）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以说明．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A、沿某条直线折叠后直线两旁的部分不能够完全重合，不是轴对称图形，故A符合题意；B、C、D都是轴对称图形，不符合题意．故选：A．关于某条直线对称的图形叫轴对称图形．轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．2.【答案】D【解析】解：（1）当4是腰时，符合三角形的三边关系，所以周长=4+4+6=14；（2）当6是腰时，符合三角形的三边关系，所以周长=6+6+4=16.故选：D.因为底边和腰不明确，分两种情况进行讨论.注意此题一定要分两种情况讨论.但要注意检查是否符合三角形的三边关系.3.【答案】A【解析】解：中线交点即三角形的重心，三角形重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍，B错误；高的交点是三角形的垂心，到三边的距离不相等，C错误；线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等，D错误；∵角平分线上的点到角两边的距离相等，∴要到三角形三条边距离相等的点，只能是三条角平分线的交点，A正确．故选：A．题目要求到三边距离相等，可两两分别思考，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得答案．本题考查了角平分线的性质；熟练掌握三角形中角平分线，重心，垂心，垂直平分线的性质，是解答本题的关键．4.【答案】A【解析】解：A、添加条件AM=CN，仅满足SSA，不能判定两个三角形全等；B、添加条件AB=CD，可用SAS判定△ABM≌△CDN；C、添加条件∠M=∠N，可用ASA判定△ABM≌△CDN；D、添加条件∠A=∠NCD，可用AAS判定△ABM≌△CDN．故选：A．根据全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，结合选项进行判定，然后选择不能判定全等的选项．本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．5.【答案】B【解析】解：连接AC、BC，根据作图方法可得：OA=OB，AC=CB，在△OAC和△OBC中，，∴△OAC≌△OBC（SSS）．故选：B．根据作图的过程知道：OA=OB，OC=OC，AC=CB，所以由全等三角形的判定定理SSS可以证得△OAC≌△OBC．此题主要考查了基本作图，关键是掌握角平分线的作法．6.【答案】C【解析】解：∵在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AB=10，AO=6，∴OB=，故选：C．根据勾股定理解答即可．此题主要考查了勾股定理，已知△ABC是直角三角形，△ABC的三边满足a2+b2=c2．7.【答案】B【解析】A、∵∠A+∠C=∠B，∴∠B=90°，故是直角三角形，正确；B、∵（）2+（）2≠（）2，故不能判定是直角三角形；C、∵（b+a）（b-a）=c2，∴b2-a2=c2，即a2+c2=b2，故是直角三角形，正确；D、∵∠A：∠B：∠C=5：3：2，∴∠A=×180°=90°，故是直角三角形，正确．故选：B．由三角形内角和定理得出条件A和B是直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可得出条件C是直角三角形，B不是；即可得出结果．本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理和勾股定理的逆定理是证明直角三角形的关键，注意计算方法．8.【答案】B【解析】解：由于图3的虚线平行于底边，剪去的三角形后，展开的是矩形，故选：B．可以动手具体操作一下看看，可以直观形象的得到答案．此题主要考查了剪纸问题，解答此类题最好动手操作，易得出答案．9.【答案】6【解析】解：∵△ABC≌△DEF，∴DE=AB=6cm．故答案为6．根据全等三角形的对应边相等求解．本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等；全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等．10.【答案】9087【解析】解：由图分析可得题中所给的“”与“9087”成轴对称．故答案为：9087．根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．本题考查了镜面对称的性质；解决本题的关键是得到对称轴，进而得到相应数字．也可以简单的写在纸上，然后从纸的后面看．11.【答案】13【解析】解：∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA=EC，△CBE的周长=CB+BE+CE=CB+BE+EA=CB+AB=13cm，故答案为：13．根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EC，根据三角形周长公式得到答案．本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．解：∵两个三角形全等，∴x=4，y=5，∴x+y=4+5=9．故答案为：9．根据全等三角形对应边相等求出x、y的值，然后相加即可得解．本题考查了全等三角形的性质，比较简单，准确确定对应边是解题的关键．13.【答案】AB=AC【解析】解：还需添加条件AB=AC，∵AD⊥BC于D，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，，∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），故答案为：AB=AC．根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）可得需要添加条件AB=AC．此题主要考查了直角三角形全等的判定，关键是正确理解HL定理．14.【答案】15【解析】解：∵AB=AC，∠A=50°，∴∠ACB=∠ABC=（180°-50°）=65°，∵将△ABC折叠，使点A落在点B处，折痕为DE，∠A=50°，∴∠ABE=∠A=50°，∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=65°-50°=15°．故答案为：15．由AB=AC，∠A=50°，根据等边对等角及三角形内角和定理，可求得∠ABC的度数，又由折叠的性质，求得∠ABE的度数，继而求得∠CBE的度数．此题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．解：∵根据勾股定理可得：A和B的面积和等于正方形Q的面积，C和D的面积和等于正方形P的面积，∴正方形Q和P的面积和等于正方形M的面积，∴正方形A，B，C，D的面积和=16×16=256．故答案为：256．根据勾股定理可得A和B的面积和等于正方形Q的面积，C和D的面积和等于正方形P的面积，再根据勾股定理可得正方形Q和P的面积和等于正方形M的面积，进而得到答案．此题主要考查了勾股定理，关键是掌握勾股定理的内容：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．16.【答案】1【解析】解：直角三角形的斜边和较短的直角边长分别为5和3，得出：3和4为两条直角边长时，小正方形的边长=4-3=1，∴小正方形的面积12=1；故答案为：1直角三角形的斜边和较短的直角边长分别为5和3，得出3和4为两条直角边长时，求出小正方形的边长=1，即可得出小正方形的面积；即可得出结果．本题考查了勾股定理的证明，理解直角三角形的边长与小正方形的边长之间的关系是关键．17.【答案】20【解析】（1）证明：∵∠D=∠C=90°，∴△ABC和△BAD都是Rt△，在Rt△ABC和Rt△BAD中，，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）；（2）证明：∵Rt△ABC≌Rt△BAD，∴∠ABC=∠BAD=35°，∵∠C=90°，∴∠BAC=55°，∴∠CAO=∠CAB-∠BAD=20°．故答案为：20．（1）根据HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD；（2）利用全等三角形的性质证明即可．本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”，“HL”；全等三角形的对应边相等．18.【答案】解：∵△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，∴AE=BE，AG=CG，∵△AEG的周长为8，∴BC=BE+EG+CGAE+EG+AG=8．【解析】根据题意，利用线段垂直平分线定理得到AE=BE，AG=CG，等量代换即可求出所求．此题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线性质是解本题的关键．19.【答案】证明：∵AE∥BC，∴∠DAE=∠B，∠EAC=∠C，∵AE是△ABC外角的平分线，∴∠DAE=∠EAC，∴∠B=∠C，∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．【解析】由AE∥BC，根据平行线的性质，可求得∠DAE=∠B，∠EAC=∠C，又由AE是△ABC外角的平分线，即可得∠B=∠C，继而证得结论．此题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质以及角平分线的定义．注意等角对等边定理的应用是解此题的关键．20.【答案】解：如图：连接AC，在△ABC与△ADC中，AB=ADBC=DCAC=AC，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠ABC=∠ADC．【解析】可证明△ABC与△ADC全等，题中给出两条边相等，又有一公共边，所以两三角形全等，可得对应角相等．本题考查了全等三角形的应用；熟练掌握全等三角形的性质及判定，会求解一些简单的应用问题，学会把应用问题转化为数学问题来求解．21.【答案】解：（1）△A1B1C1如图所示；（2）向右平移6个单位，再向下平移2个单位（或向下平移2个单位，再向右平移6个单位）．（3）作点B关于MN的对称点B'，连接B'A交MN于点P，即点P即为所求：【解析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于MN的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据平移的性质结合图形解答．（3）作点B关于MN的对称点B'，连接B'A交MN于点P即可．本题考查了利用轴对称变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置以及变化情况是解题的关键．22.【答案】解：连接BD∵AB=4m，AD=3m，∠BAD=90°∴BD=32+42=5（m）∵BC=12m，CD=13m，∴BD2+CD2=52+122=169，BC2=132，∴∠DBC=90°，∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=12×3×4+12×5×12=36（m2）．【解析】连接BD，可以求出BD的长，再根据数据的特点得出△BDC也是直角三角形，这样四边形的面积就被分解成了两个直角三角形的面积之和．本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．通过作辅助线，把四边形的面积分解成两个直角三角形的面积来求是解本题的关键所在．23.【答案】解：设大树断掉的部分AB长为x米，∵∠BCA=90°，∴BC2+CA2=AB2，∴32+42=x2，解得x=5（米），∴大树原高为：3+5=8（米），答：大树原来的高为8米．【解析】该大树折断后，折断部分与地面、原来的树干恰好构成一直角三角形，设大树折断部分AB高为x米，由勾股定理可得出方程：32+42=x2，解该方程可得出AB的长，进而可得大树原来的高．此题主要考查了利用勾股定理解应用题，关键在于把折断部分、大树原来部分和地面看作一个直角三角形，利用勾股定理列出方程求解．24.【答案】②③①【解析】解：选择②③做条件，结论是①（答案不唯一）；证明：∵DE=CF，∴DF=CE，∵AC∥BD，∴∠C=∠D，在△AEC和△BFD中，∴△AEC≌△BFD（ASA），∴AC=BD．利用全等三角形的判定定理选出合适的条件和结论进行证明即可，答案不唯一．此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．25.【答案】（1）∵AC=8，BC=6，∠ACB=90°，∴AB=BC2+AC2=10，∵O为AB中点，∴AO=12AB=5，∵AO=AM，∴AM=5，∴CM=3，∴t=3；（2）①当CO=CM时，CM=5，∴t=5②当MC=MO时，t2=32+（4-t）2，解得：t=258；③当CO=OM时，M与A点重合，∴t=8．综上所述，当△COM是等腰三角形时，t的值为5或258或8．【解析】（1）由勾股定理求出AB，由直角三角形的性质得出AO=5，求出AM=5，得出CM=3即可；（2）分三种情况讨论，分别求出t的值即可．本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质；熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质，注意分情况讨论．26.【答案】（1）证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，在△ADC和△CEB中∠CDA=∠BEC∠DAC=∠ECBAC=BC∴△ADC≌△CEB（AAS）．（2）证明：由（1）知：△ADC≌△CEB，∴AD=CE，CD=BE，∵DC+CE=DE，∴AD+BE=DE．（3）DE=AD-BE，证明：∵BE⊥EC，AD⊥CE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACE=90°，∴∠ACD=∠EBC，在△ADC和△CEB中，∠ACD=∠CBE∠ADC=∠BECAC=BC，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴AD=CE，CD=BE，∴DE=EC-CD=AD-BE．【解析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到答案；（2）由（1）得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；（3）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，代入已知即可得到答案．本题主要考查了邻补角的意义，全等三角形的判定和性质等知识点，能根据已知证出符合全等的条件是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．。
江苏省淮安市八年级上学期数学期中考试试卷
江苏省淮安市八年级上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共9题；共18分)1. （2分）(2016·铜仁) 如图是我国几家银行的标志，其中即是轴对称图形又是中心对称图形的有（）A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个2. （2分）长度为1㎝、2㎝、3㎝、4㎝、5㎝的五条线段，若以其中的三条线段为边构成三角形，可以构成不同的三角形共有（）A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个3. （2分） (2019八上·哈尔滨期中) 点A（2，6）关于x轴对称点B的坐标是（）A . （-2，6）B . （-6，2）C . （2，-6）D . （-2，-6）4. （2分） (2018八上·宁波月考) 如图，一扇窗户打开后，用窗钩 AB 可将其固定，这里所运用的几何原理是（）A . 垂线段最短B . 两点之间线段最短C . 两点确定一条直线D . 三角形的稳定性5. （2分） (2020八下·深圳期中) 下列命题中，真命题的个数为（）①平行四边形的对角线相等；②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③连结一个任意四边形四边的中点所构成的四边形一定是平行四边形；④十边形内角和为1800°．A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个6. （2分） (2018七下·大庆开学考) 如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，它们的交点P在线段CD上，下面的结论：①AP⊥BP；②点P到直线AD，BC的距离相等；③PD＝PC．其中正确的结论有（）A . ①②③B . ①②C . ①D . ②7. （2分） (2019八上·滦南期中) 如图，△ACB≌△A′CB′，∠ACA′=30°，则∠BCB′的度数为（）A .B .C .D .8. （2分） (2018八上·甘肃期末) 如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD ， AD=AC ，在AC上截取AE=AB ，连接DE、BE ，并延长BE交CD于点 F ，以下结论：①△BAC≌△EAD；②∠ABE+∠ADE=∠BCD；③BC+CF=DE+EF；其中正确的有（）个A . 0B . 1C . 2D . 39. （2分）在▱ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，且BE＝3.若▱ABCD的周长是16，则EC的长为（）A . 5B . 3C . 2D . 1二、填空题 (共7题；共7分)10. （1分） (2017八下·江海期末) 如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD 于E，AD=8，AB=4，则DE的长为________．11. （1分）(2017·江都模拟) 等腰三角形的两边长分别是4cm和8cm，则它的周长是________．12. （1分） (2019七下·宜兴月考) 如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，……照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了________米。
淮安市盱眙县2022-2023学年第二学期初二数学期中考试试卷及答案
18
a
围棋类
14
0．28
喜剧类
8
0．16
国画类
b
0．20
根据以上信息完成下列问题： （1）直接写出频数分布表中 a 的值； （2）补全频数分布条形图； （3）若全校共有学生 1500 名，估计该校最喜爱围棋的学生大约有多少人？
21．已知，如图，在 ABCD 中， E, F 是对角线 BD 上的两点，且 BF DE ．求证： AE CF ．
22．如图，▱ABCD 中，点 E、F 分别在 AB、CD 上，且 BE=DF，EF 与 AC 相交于点 P，求证：PA=PC．
23．如图，菱形 ABCD 中，AE⊥BC 于点 E，∠BAE=30°，AD=4cm． （1）求菱形 ABCD 的各角的度数； （2）求 AE 的长．
24．如图，BN、CM 分别是△ABC 的两条高，点 D、点 E 分别是 BC、MN 的中点．
（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？
20．某校为更好地开展“传统文化进校园”活动，随机抽查了部分学生，了解他们最喜爱的传统文化项目类型
（分为书法、围棋、戏剧、国画共 4 类），并将统计结果绘制成如图不完整的频数分布表及频数分布条形图．
最喜爱的传统文化项目类型频数分布表
项目类型
频数
频率
书法类
任意摸出 1 个球，摸出白球可能性______摸出黄球可能性．（填“等于”或“小于”或“大于”）．
12．在 ABCD 中， A C 220 ，则 B =____°．
13．在菱形 ABCD 中， AC 6 ， BD 8 ，则菱形 ABCD 的周长是_______．
14．如图，已知矩形 ABCD，P、R 分别是 BC 和 DC 上的点，E、F 分别是 PA，PR 的中点．如果 DR=3， AD=4，则 EF 的长为______．
2023-2024学年江苏省淮安市、南通市部分学校高三(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省淮安市、南通市部分学校高三（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A ＝{x |x 2+x ﹣6＝0}，B ＝{2，3}，则A ∩B ＝（ ） A ．∅B ．{2}C ．{3}D ．{2，3}2．已知a ∈R ，若（2+i ）（1+ai ）为纯虚数，则a ＝（ ） A ．−12B ．12C ．﹣2D ．23．“a ＝1”是“函数f(x)=2x−a2x +a是奇函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．学校以“布一室馨香，育满园桃李”为主题开展了系列评比活动，动员师生一起为营造舒心愉悦的学习生活环境奉献智慧．张老师特地培育了一盆绿萝放置在教室内，绿萝底部的盆近似看成一个圆台，圆台的上、下底面半径之比为3：2，母线长为10cm ，其母线与底面所成的角为60°，则这个圆台的体积为（ ）A ．2375√33πcm 3B ．4750√33πcm 3C ．7125√33πcm 3 D ．9500√33πcm 35．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2），现有如下四个命题： 甲：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2；乙：该函数图象可以由y =cos2x −√3sin2x 的图象向右平移π4个单位长度得到；丙：该函数在区间(−π12，π6)上单调递增； 丁：该函数满足f(π3+x)+f(π3−x)=0． 如果只有一个假命题，那么该命题是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．已知奇函数f （x ）的图象关于直线x ＝1对称，当x ∈[0，1]时，f （x ）＝2x +b ，则f(20232)=（ ） A ．−1−√2B ．1−√2C ．√2+1D ．√2−17．若sin(α+π6)=35，则sin(2α+5π6)=（ ） A ．−725B ．−1625C ．725D ．16258．已知函数f （x ）＝x 3+ax 2+bx +c （a ，b ，c ∈R ），若不等式f （x ）＜0的解集为{x |x ＜m +1且x ≠m }，则函数f （x ）的极小值是（ ） A ．−14B ．0C ．−427D ．−49二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为CC 1，A 1D 1的中点，则（ ） A ．BM ∥AD 1 B ．AM ⊥BDC ．B 1M ⊥平面ABND ．MN ∥平面A 1BD10．设a ＞b ＞0，c ∈R ，则（ ） A ．a |c |＞b |c | B ．ba≤b+c 2a+c 2C ．a 2−b 2＜1a−1bD ．a +b ＜√2(a 2+b 2)11．已知数列{a n }满足a 4＝4，a n a n +1＝2n （n ∈N *），则（ ） A ．a 1＝1B ．数列{a n }为递增数列C ．a 1+a 2+…+a 2023＝21013﹣3D ．1a 1+1a 2+⋯+1a n＜312．已知函数f （x ）＝a 2x ﹣x （a ＞0，a ≠1），则下列结论中正确的是（ ） A ．函数f （x ）恒有1个极值点B ．当a ＝e 时，曲线y ＝f （x ）恒在曲线y ＝lnx +2上方C ．若函数f （x ）有2个零点，则1＜a ＜e 12eD ．若过点P （0，t ）存在2条直线与曲线y ＝f （x ）相切，则0＜t ＜1 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →=(λ，1)，b →=(−1，2)，若a →与b →共线，则|a →−b →|= ． 14．写出一个同时满足下列两个性质的函数：f （x ）＝ ． ①f （x 1+x 2）＝f （x 1）•f （x 2）；②∀x ∈R ，f ′（x ）＜0．15．咖啡适度饮用可以提神醒脑、消除疲劳，让人精神振奋．冲咖啡对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，经过t 分钟后物体的温度为θ℃满足θ=θ0+(θ1−θ0)e −0.08t ．研究表明，咖啡的最佳饮用口感会出现在65℃．现有一杯85℃的热水用来冲咖啡，经测量室温为25℃，那么为了获得最佳饮用口感，从冲咖啡开始大约需要等待 分钟．（结果保留整数）（参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 11≈2.4）16．在平面四边形ABCD 中，AB =AD =√2，BC =CD =1，BC ⊥CD ，将四边形沿BD 折起，使A ′C =√3，则四面体A ′﹣BCD 的外接球O 的表面积为 ；若点E 在线段BD 上，且BD ＝3BE ，过点E 作球O 的截面，则所得的截面中面积最小的圆的半径为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知函数f(x)=(1−2sin 2x)sin2x +12cos4x ． （1）求f （x ）的最大值及相应x 的取值集合；（2）设函数g （x ）＝f （ωx ）（ω＞0），若g （x ）在区间 (0，π2) 上有且仅有1个极值点，求ω的取值范围．18．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan A +tan B =−√3cacosB．（1）求角A ；（2）已知a ＝7，D 是边BC 的中点，且AD ⊥AB ，求AD 的长． 19．（12分）已知数列{a n }中，a 1＝1，a n+1n+1−a n n=1n(n+1)，n ∈N ∗．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n ＝（﹣1）n﹣14na n a n+1，求数列{b n }的前n 项和S n ．20．（12分）已知函数f （x ）＝ax ﹣a ﹣lnx ．（1）求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （2）证明：当a ＝1时，f （x ）≥0；（3）设m 为整数，若对于∀n ∈N ∗，(1+13)(1+232)(1+2233)⋯(1+2n−13n )＜m 成立，求m 的最小值．21．（12分）如图，AB 是半球O 的直径，AB ＝4，M ，N 是底面半圆弧AB ̂上的两个三等分点，P 是半球面上一点，且∠PON ＝60°． （1）证明：PB ⊥平面P AM ；（2）若点P 在底面圆内的射影恰在ON 上，求直线PM 与平面P AB 所成角的正弦值．22．（12分）已知函数f(x)=1+lnx．x（1）讨论f（x）的单调性；（2）设a，b为两个不相等的实数，且ae b﹣be a＝e a﹣e b，证明：e a+e b＞2．2023-2024学年江苏省淮安市、南通市部分学校高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A ＝{x |x 2+x ﹣6＝0}，B ＝{2，3}，则A ∩B ＝（ ） A ．∅B ．{2}C ．{3}D ．{2，3}解：A ＝{x |x 2+x ﹣6＝0}＝{﹣3，2}，故A ∩B ＝{2}． 故选：B ．2．已知a ∈R ，若（2+i ）（1+ai ）为纯虚数，则a ＝（ ） A ．−12B ．12C ．﹣2D ．2解：（2+i ）（1+ai ）＝2﹣a +（1+2a ）i ， 因为a ∈R ，且（2+i ）（1+ai ）为纯虚数， 所以{2−a =01+2a ≠0，解得a ＝2．故选：D ．3．“a ＝1”是“函数f(x)=2x−a2x +a是奇函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：若a ＝1，则f(x)=2x−12x +1，f(−x)=12x −112x +1=1−2x 1+2x =−2x−12x +1=−f(x)，所以f （x ）是奇函数； 若函数f(x)=2x−a2x +a在其定义域上为奇函数，可得f(−x)=12x −a 12x +a =1−a⋅2x 1+a⋅2x =−f(x)=−2x −a 2x +a =a−2x2x +a， 解得a ＝±1，∴a ＝1是函数f(x)=2x−a2x +a在其定义域上为奇函数的充分不必要条件．故选：A ．4．学校以“布一室馨香，育满园桃李”为主题开展了系列评比活动，动员师生一起为营造舒心愉悦的学习生活环境奉献智慧．张老师特地培育了一盆绿萝放置在教室内，绿萝底部的盆近似看成一个圆台，圆台的上、下底面半径之比为3：2，母线长为10cm ，其母线与底面所成的角为60°，则这个圆台的体积为（ ）A ．2375√33πcm 3B ．4750√33πcm 3C ．7125√33πcm 3 D ．9500√33πcm 3解：根据题意，设圆台的上、下底面半径分别为3x ，2x ， 因为母线长为10，且母线与底面所成的角为60°， 所以圆台的高为10sin60°＝5√3，并且x ＝10×12=5，所以圆台的上底面半径为3x ＝15，下底面半径为2x ＝10，高为5√3． 由此可得圆台的体积为V =13π（152+102+15×10）×5√3=2375√3π3（cm 3）． 故选：A ．5．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2），现有如下四个命题： 甲：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2；乙：该函数图象可以由y =cos2x −√3sin2x 的图象向右平移π4个单位长度得到；丙：该函数在区间(−π12，π6)上单调递增； 丁：该函数满足f(π3+x)+f(π3−x)=0． 如果只有一个假命题，那么该命题是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 解：对于甲，该f （x ）图象的相邻两条对称轴之间的距离为T 2=πω=π2，则f （x ）的周期T ＝π；对于乙，将函数y =cos2x −√3sin2x =2cos(2x +π3)的图象向右平移 π4个单位长度，得到y =2cos[2(x −π4)+π3]=2sin(2x +π3) 的图象；对于丙，函数f（x）在区间(−π12，π6)上单调递增；对于丁，函数f（x）满足f(π3+x)+f(π3−x)=0，即f（x）图象关于(π3，0)对称．因为只有乙的条件最具体，所以从乙入手，若乙正确，此时f（x）的单调递增区间为[−5π12+kπ，π12+kπ]（k∈Z），与丙的结论矛盾，根据题设“只有一个命题是假命题”，可知这一个假命题只能是乙或丙，若丙是真命题，则甲、丙、丁三个是真命题，由f（x）图象关于(π3，0)对称，且周期为π，可知：在点(π3，0)的左侧且距离最近的f（x）图象的对称轴为x=π12，而π12∈(−π12，π6)，说明f（x）在区间(−π12，π6)上不单调，与丙是真命题矛盾．若乙是真命题，则甲、乙、丁三个都是真命题，此时f(x)=2sin(2x+π3)，最小正周期T＝π，且图象关于(π3，0)对称，甲、乙、丁之间相符合．综上所述，丙不可能是真命题，即唯一的假命题是丙．故选C．6．已知奇函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x∈[0，1]时，f（x）＝2x+b，则f(20232)=（）A．−1−√2B．1−√2C．√2+1D．√2−1解：因为f（x）为奇函数，且当x∈[0，1]时，f（x）＝2x+b，所以f（0）＝1+b＝0，解得：b＝﹣1，即当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，又因为f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以f（x）＝f（2﹣x），且f（x）＝﹣f（﹣x）则f（x）＝f（2﹣x）＝﹣f（x﹣2）＝﹣f[2﹣（x﹣2）]＝﹣f（4﹣x）＝f（x﹣4），即函数f（x）是以4为周期的周期函数，故f(20232)=f(252×4+72)=f(72−4)=f(−12)=−f(12)=1−√2．故选：B．7．若sin(α+π6)=35，则sin(2α+5π6)=（）A．−725B．−1625C．725D．1625解：∵sin(α+π6)=35，∴sin(2α+5π6)=sin（2α+π3+π2）＝cos（2α+π3）=1−2sin2(α+π6)=1−2×(35)2=725．故选：C．8．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+c（a，b，c∈R），若不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜m+1且x≠m}，则函数f（x）的极小值是（）A．−14B．0C．−427D．−49解：因为不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜m+1且x≠m}，所以f（m）＝f（m+1）＝0，且x＝m为f（x）＝0的二重根，所以f（x）＝（x﹣m）2[x﹣（m+1）]，则f′（x）＝2（x﹣m）[x﹣（m+1）]+（x﹣m）2＝（x﹣m）（3x﹣3m﹣2），则当x＞3m+23或x＜m时f′（x）＞0，当m＜x＜3m+23时f′（x）＜0，所以f（x）在(3m+23，+∞)，（﹣∞，m）上单调递增，在(m，3m+23)上单调递减，所以f（x）在x=3m+23处取得极小值，即f(x)极小值=f(3m+23)=(3m+23−m)2[3m+23−(m+1)]=−427．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为CC1，A1D1的中点，则（）A．BM∥AD1B．AM⊥BDC．B1M⊥平面ABN D．MN∥平面A1BD解：对于选项A：连接BC1，则BC1∥AD1，又BC1∩BM＝B，所以BM∥AD1不正确，故选项A不正确；对于选项B：在正方体中，BD⊥AA1，BD⊥AC且AA1∩AC＝A，AA1⊂平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以BD⊥平面AA1C1C，又AM⊂平面AA1C1C，所以AM⊥BD，故选项B正确；对于选项C：在正方体中，AB⊥平面B1BCC1，又B1M⊂平面B1BCC1，所以AB⊥B1M，取B1C1的中点Q，连接BQ，在正方形BCC1B1中（如图），△BB1Q≅△B1C1M，∠BQB1＝∠B1MC1，又∠B1MC1+∠MB1C1＝90°，所以∠B1QB+∠MB1C1＝90°，所以B1M⊥BQ，又在正方体中，AN∥BQ，所以B1M⊥AN，又AN∩AB＝A，所以B1M⊥平面ABN，故选项C正确；对于选项D：取A1D的中点E，连接EN，EC，则EN∥AA1，且EN=1AA1，2所以EN∥MC，且EN＝MC，故四边形NECM为平行四边形，则MN∥EC，又EC与平面A1BD相交于点E，所以MN不可能与平面A1BD平行，故选项D不正确．故选：BC ．10．设a ＞b ＞0，c ∈R ，则（ ） A ．a |c |＞b |c | B ．ba≤b+c 2a+c 2C ．a 2−b 2＜1a−1bD ．a +b ＜√2(a 2+b 2)解：选项A ．当c ＝0时，a |c |＞b |c |不成立，故选项A 不正确． 选项B ．由b+c 2a+c 2−b a=(b+c 2)a−b(a+c 2)a(a+c 2)=c 2(a−b)a(a+c 2)＞0，所以ba≤b+c 2a+c 2，故选项B 正确．选项C ．由 a 2−b 2−(1a−1b)=(a −b)(a +b)−b−a ab =(a −b)(a +b +1ab)＞0， 所以a 2−b 2＞1a−1b，故选项C 不正确．选项D ．由[√2(a 2+b 2)]2−(a +b)2=a 2+b 2−2ab =(a −b)2＞0，所以a +b ＜√2(a 2+b 2)，故选项D 正确． 故选：BD ．11．已知数列{a n }满足a 4＝4，a n a n +1＝2n （n ∈N *），则（ ） A ．a 1＝1B ．数列{a n }为递增数列C ．a 1+a 2+…+a 2023＝21013﹣3D ．1a 1+1a 2+⋯+1a n＜3解：依题意，a 4＝4，a n a n+1=2n，a n =2na n+1，a n+1=2na n，所以a 3=23a 4=84=2，a 2=22a 3=42=2，a 1=21a 2=22=1，A 选现正确．所以a 3＝a 2，所以B 选项错误． 由a n a n+1=2n 得a n+1a n+2=2n+1，两式相除得a n+2a n=2，所以数列{a n }的奇数项是首项为1，公比为2的等比数列；偶数项是首项为2，公比为2的等比数列．a 1+a 2+⋯+a 2023＝（a 1+a 3+⋯+a 2023）+（a 2+a 4+⋯+a 2022）=1(1−21012)1−2+2(1−21011)1−2=21012−1+21012−2=21013−3，所以C 选项正确．由上述分析可知，数列{1a n}的奇数项是首项为1，公比为12的等比数列；偶数项是首项为12，公比为12的等比数列． 当n 为偶数时，1a 1+1a 2+⋯+1a n=(1a 1+1a 3+⋯+1a n−1)+(1a 2+1a 4+⋯+1a n)，=1(1−12n 2)1−12+12(1−12n 2)1−12=3−32n 2＜3；当n 为奇数时，1a 1+1a 2+⋯+1a n =(1a 1+1a 3+⋯+1a n)+(1a 2+1a 4+⋯+1a n−1)，=1(1−12n+12)1−12+12(1−12n−12)1−12=3−22n+12−12n−12＜3， 综上所述，1a 1+1a 2+⋯+1a n＜3，所以D 选项正确．故选：ACD ．12．已知函数f （x ）＝a 2x ﹣x （a ＞0，a ≠1），则下列结论中正确的是（ ） A ．函数f （x ）恒有1个极值点B ．当a ＝e 时，曲线y ＝f （x ）恒在曲线y ＝lnx +2上方C ．若函数f （x ）有2个零点，则1＜a ＜e 12eD ．若过点P （0，t ）存在2条直线与曲线y ＝f （x ）相切，则0＜t ＜1 解：f （x ）＝a 2x ﹣x （a ＞0，a ≠1），f ′（x ）＝2a 2x lna ﹣1，对于A ：因为a 2x ＞0恒成立，所以当a ∈（0，1）时，f ′（x ）＜0，此时f （x ）单调递减， 所以此时不存在极值点，A 错误；对于B ：当a ＝e 时，f （x ）＝e 2x ﹣x ，令g （x ）＝f （x ）﹣（lnx +2）＝e 2x ﹣x ﹣lnx ﹣2， 下面先证明：e x ≥x +1和lnx ≤x ﹣1，令f 1(x)=e x −x −1，则f 1′(x)=e x −1＞0⇒x ＞0，所以f 1（x ）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增，所以f 1（x ）≥f 1（0）＝0，所以e x ≥x +1，当且仅当x ＝0时，取到等号； 令f 2（x ）＝lnx ﹣x +1，则f 2′(x)=1x −1＞0⇒0＜x ＜1， 所以f 2（x ）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减，所以f 2（x ）≤f 2（1）＝0，所以lnx ≤x ﹣1，当且仅当x ＝1时，取到等号， 由上结论可得：e 2x ≥2x +1，﹣lnx ≥﹣x +1，因为不能同时取等，所以两式相加可得：e 2x ﹣lnx ＞x +2， 即e 2x ﹣lnx ﹣x ﹣2＞0恒成立，即g （x ）＞0恒成立， 所以y ＝f （x ）恒在曲线y ＝lnx +2上方，B 正确；对于C ：函数f （x ）有2个零点等价于方程a 2x ﹣x ＝0有两个根， 即a 2x =x ⇒lna 2x =lnx ⇒2xlna =lnx ⇒2lna =lnxx有两个根， 令ℎ(x)=lnxx ，则ℎ′(x)=1−lnxx 2＜0⇒x ＞e ， 所以h （x ）在（0，e ）上单调递增，在（e ，+∞）上单调递减，所以ℎ(x)max =ℎ(e)=1e ，当x →0时，h （x ）→﹣∞，当x →+∞时，h （x ）→0， 所以要使得2lna =lnx x 有两个根，则2lna ∈(0，1e)， 所以0＜lna ＜12e⇒1＜a ＜e 12e ，所以C 正确；对于D ：设切点坐标为(x 0，a 2x 0−x 0)，则k =f ′(x 0)=2a 2x 0lna −1，又因为切线经过点P （0，t ），所以k =a 2x 0−x 0−tx 0， 所以2a2x 0lna −1=a 2x 0−x 0−tx 0，解得t =a 2x 0−a 2x 0lna 2x 0，令m =a 2x 0，则m ∈（0，+∞），所以t ＝m ﹣mlnm ， 因为过点P （0，t ）存在2条直线与曲线y ＝f （x ）相切， 所以方程t ＝m ﹣mlnm 有两个不同的解，令φ（m ）＝m ﹣mlnm ，则φ′（m ）＝﹣lnm ＞0⇒0＜m ＜1， 所以φ（m ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以φ（m ）max ＝φ（1）＝1，当m →0时，φ（m ）→0，当m →+∞时，φ（m ）→﹣∞， 所以要使得方程t ＝m ﹣mlnm 有两个根，则t ∈（0，1），D 正确． 故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量a →=(λ，1)，b →=(−1，2)，若a →与b →共线，则|a →−b →|=√52． 解：由于a →与b →共线，所以λ×2=1×(−1)，λ=−12，a →=(−12，1)，a →−b →=(−12，1)−(−1，2)=(12，−1)， 所以|a →−b →|=√14+1=√52．故答案为：√52． 14．写出一个同时满足下列两个性质的函数：f （x ）＝ a x （0＜a ＜1）（答案不唯一） ． ①f （x 1+x 2）＝f （x 1）•f （x 2）； ②∀x ∈R ，f ′（x ）＜0．解：由性质②，f（x）是R上的减函数，且满足性质①f（x1+x2）＝f（x1）•f（x2），可以是指数函数，所以函数f（x）＝a x（0＜a＜1）符合题意．故答案为：a x（0＜a＜1）（答案不唯一）．15．咖啡适度饮用可以提神醒脑、消除疲劳，让人精神振奋．冲咖啡对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，经过t分钟后物体的温度为θ℃满足θ=θ0+(θ1−θ0)e−0.08t．研究表明，咖啡的最佳饮用口感会出现在65℃．现有一杯85℃的热水用来冲咖啡，经测量室温为25℃，那么为了获得最佳饮用口感，从冲咖啡开始大约需要等待5分钟．（结果保留整数）（参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln11≈2.4）解：由题意得，65＝25+（85﹣25）e﹣0.08t，即e−0.08t=2 3，所以−0.08t=ln 23，解得t=−252×(ln2−ln3)≈252×(0.7−1.1)=5，所以大约需要等待5分钟．故答案为：5．16．在平面四边形ABCD中，AB=AD=√2，BC=CD=1，BC⊥CD，将四边形沿BD折起，使A′C=√3，则四面体A′﹣BCD的外接球O的表面积为3π；若点E在线段BD上，且BD＝3BE，过点E作球O的截面，则所得的截面中面积最小的圆的半径为23．解：如图所示：因为AB=AD=√2，BC=CD=1，BC⊥CD，所以BE=CE=DE=√22，AE=√AD2−DE2=√(√2)2−(√22)2=√62，且AC⊥BD，点E为△BCD外接圆的圆心，所以四面体A′﹣BCD的外接球的球心O一定在过点E且垂直面BCD的直线上，如图不妨设GE⊥面BCD，A′F⊥面BCD，四面体A′﹣BCD的外接球的半径OE=ℎ，OB=R=√OE2+EB2=√ℎ2+12，FE＝x，则由对称性可知点F也在直线CE上且A′F⊥FC，A′F＝2OE＝2h，由题意A ′E =AE =√62，FC =FE +EC =x +√22，A ′C =√3， 在Rt △A ′FE 中，有A ′F 2+FE 2＝A ′E 2，即x 2+(2ℎ)2=32， 在Rt △A ′FC 中，有A ′F 2+FC 2＝A ′C 2，即(x +√22)2+(2ℎ)2=3，联立以上两式解得x =√22，ℎ=12， 所以R =√ℎ2+12=√14+12=√32， 从而四面体A ′﹣BCD 的外接球O 的表面积为S =4πR 2=4π×(√32)2=3π；如图所示：由题意将上述第一空中的点E 用现在的点F 来代替，而现在的点E 为线段BD 的靠近点B 的三等分点， 此时过点E 作球O 的截面，若要所得的截面中面积最小，只需截面圆半径最小， 设球心到截面的距离为d ，截面半径为r ，则r =√R 2−d 2， 所以只需球心到截面的距离为d 最大即可，而当且仅当OE 与截面垂直时，球心到截面的距离为d 最大，即d max ＝OE ， 由以上分析可知此时OO 1=FE =FB −BE =12BD −13BD =√26，OF =12，OE =√14+118=√116，R =√32，所以r =r min =√R 2−OE 2=√34−1136=23． 故答案为：3π；23．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知函数f(x)=(1−2sin 2x)sin2x +12cos4x ． （1）求f （x ）的最大值及相应x 的取值集合；（2）设函数g （x ）＝f （ωx ）（ω＞0），若g （x ）在区间 (0，π2) 上有且仅有1个极值点，求ω的取值范围．解：（1）f(x)=(1−2sin 2x)sin2x +12cos4x =cos2x sin2x +12cos4x=12（sin4x +cos4x ）=√22sin （4x +π4）， 当4x +π4=π2+2k π，k ∈Z ，即x =π16+kπ2，k ∈Z 时，函数取得最大值√22，此时{x |x =π16+kπ2，k ∈Z }； （2）因为g （x ）＝f （ωx ）=√22sin （4ωx +π4），ω＞0，若g （x ）在区间 (0，π2) 上有且仅有1个极值点，则极值点只能为极大值， 根据五点作图法，令4ωx +π4=π2，则x =π16ω， 令4ωx +π4=3π2，则x =5π16ω，所以{π16ω＜π25π16ω≥π2ω＞0解得18＜ω≤58，故ω的范围为（18，58]．18．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan A +tan B =−√3cacosB ． （1）求角A ；（2）已知a ＝7，D 是边BC 的中点，且AD ⊥AB ，求AD 的长．解：（1）因为tan A +tan B =−√3cacosB ，所以sinA cosA +sinBcosB =−√3c acosB，由正弦定理得，sinAcosA +sinBcosB =−√3sinCsinAcosB ，因为sinAcosA+sinB cosB=sinAcosB+cosAsinB cosAcosB=sin(A+B)cosAcosB=sinC cosAcosB，所以sinCcosAcosB=−√3sinCsinAcosB，因为0＜C ＜π，所以sin C ≠0， 又cos B ≠0，所以tan A =−√3， 因为0＜A ＜π，所以A =2π3．（2）因为D 是边BC 的中点，所以BD ＝CD =12BC =72， 因为AD ⊥AB ，所以∠DAC ＝∠BAC ﹣∠BAD =2π3−π2=π6，在Rt △ABD 中，sin B =AD BD =AD 72=2AD7， 在△ACD 中，由正弦定理知，ADsinC=CD sin∠DAC，所以sin C =ADsin∠DAC CD=AD×1272=AD7， 在△ABC 中，由正弦定理知，bsinB=c sinC=a sin∠BAC=√32=√3，所以b2AD 7=cAD 7=√3，所以b =4AD 3，c =2AD3， 在△ABC 中，由余弦定理得，a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ， 所以49＝b 2+c 2﹣2bc ×cos 2π3，即b 2+c 2+bc ＝49， 所以（√3）2+（√3）23×3=49，解得AD =√212．19．（12分）已知数列{a n }中，a 1＝1，a n+1n+1−a n n=1n(n+1)，n ∈N ∗．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n ＝（﹣1）n ﹣14na n a n+1，求数列{b n }的前n 项和S n ．解：（1）因为a n+1n+1−a n n=1n(n+1)⇒a n+1n+1−a n n=1n−1n+1⇒a n+1+1n+1=a n +1n，所以{a n +1n }是常数列，所以a n +1n =a 1+11=2，所以a n ＝2n ﹣1． （2）b n =(−1)n−14na n a n+1=(−1)n−14n(2n−1)(2n+1)=(−1)n−1(12n−1+12n+1)，当n 为偶数时，S n =(1+13)−(13+15)+⋯+(12n−3+12n−1)−(12n−1+12n+1)=1−12n+1=2n2n+1， 当n 为奇数时，S n =(1+13)−(15+12)+⋯−(12n−3+12n−1)+(12n−1+12n+1)=1+12n+1=2n+22n+1，所以S n =2n+1+(−1)n−12n+1．20．（12分）已知函数f （x ）＝ax ﹣a ﹣lnx ．（1）求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程； （2）证明：当a ＝1时，f （x ）≥0；（3）设m 为整数，若对于∀n ∈N ∗，(1+13)(1+232)(1+2233)⋯(1+2n−13n )＜m 成立，求m 的最小值．解：（1）已知f （x ）＝ax ﹣a ﹣lnx ，函数定义域为（0，+∞），可得f′(x)=a−1x，此时f′（1）＝a﹣1，又f（1）＝0，所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝（a﹣1）（x﹣1），即（a﹣1）x﹣y﹣a+1＝0；（2）证明：当a＝1时，f（x）＝x﹣1﹣lnx，函数定义域为（0，+∞），可得f′(x)=1−1x=x−1x，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以当x＝1时，函数f（x）取得极小值也是最小值，最小值f（1）＝0，故f（x）≥0；（3）由（2）知lnx≤x﹣1，当且仅当x＝1时，等号成立，令x=2n−13n+1，此时ln(1+2n−13n)＜2n−13n，可得ln(1+13)+ln(1+232)+ln(1+2233)+⋯+ln(1+2n−13n)＜13+232+⋯+2n−13n=13(1−2n3n)1−23=1−2n3n＜1，即ln[(1+13)(1+232)(1+2233)⋯(1+2n−13n)]＜1，所以(1+13)(1+232)(1+2233)⋯(1+2n−13n)＜e，当n≥4时，(1+13)(1+232)(1+2233)⋯(1+2n−13n)≥(1+13)(1+232)(1+2233)(1+2334)=12139659049＞2，所以对于任意n∈N*，(1+13)(1+232)(1+2233)⋯(1+2n−13n)＜m成立时，整数m的最小值为3．21．（12分）如图，AB是半球O的直径，AB＝4，M，N是底面半圆弧AB̂上的两个三等分点，P是半球面上一点，且∠PON＝60°．（1）证明：PB⊥平面P AM；（2）若点P在底面圆内的射影恰在ON上，求直线PM与平面P AB所成角的正弦值．证明：（1）连接OM ，MN ，BM ，因为M ，N 是底面半圆弧AB ̂上的两个三等分点， 所以有∠MON ＝∠NOB ＝60°，又因为OM ＝ON ＝OB ＝2，所以△MON ，△NOB 都为正三角形，所以MN ＝NB ＝BO ＝OM ，即四边形OMNB 是菱形， 记ON 与BM 的交点为Q ，Q 为ON 和BM 的中点， 因为∠PON ＝60°，OP ＝ON ， 所以三角形OPN 为正三角形， 所以PQ =√3=12BM ，所以PB ⊥PM ，因为P 是半球面上一点，AB 是半球O 的直径，所以PB ⊥P A ， 因为PM ∩P A ＝P ，PM ，P A ⊂平面P AM ， 所以PB ⊥平面P AM ；解：（2）因为点P 在底面圆内的射影恰在ON 上，由（1）知Q 为ON 的中点，△OPN 为正三角形，所以PQ ⊥ON ， 所以PQ ⊥底面ABM ，因为四边形OMNB 是菱形，所以MB ⊥ON ， 即MB 、ON 、PQ 两两互相垂直，以点Q 为坐标原点，QM ，QN ，QP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则O(0，−1，0)，M(√3，0，0)，B(−√3，0，0)，N(0，1，0)，A(√3，−2，0)，P(0，0，√3)， 所以PM →=(√3，0，−√3)，OP →=(0，1，√3)，OB →=(−√3，1，0)，设平面P AB 的一个法向量为m →=(x ，y ，z)， 则{m →⋅OP →=0m →⋅OB →=0，所以{y +√3z =0−√3x +y =0， 令x ＝1，则y =√3，z ＝﹣1，所以m →=(1，√3，−1)， 设直线PM 与平面P AB 的所成角为θ， 所以sinθ=|cos〈PM →，m →〉|=3+36×5=√105，故直线PM 与平面P AB 所成角的正弦值为√105． 22．（12分）已知函数f(x)=1+lnxx． （1）讨论f （x ）的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的实数，且ae b ﹣be a ＝e a ﹣e b ，证明：e a +e b ＞2． 解：（1）由f(x)=1+lnx x 得，f ′(x)=−lnxx2， 当x ∈（0，1）时，f ′（x ）＞0；当x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＜0． 故f （x ）的递增区间为（0，1），递减区间为（1，+∞）． （2）将ae b ﹣be a ＝e a ﹣e b 变形为a+1e a=b+1e b ．令e a ＝m ，e b ＝n ，则上式变为1+lnm m=1+lnnn，即有f （m ）＝f （n ），于是命题转换为证明：m +n ＞2．不妨设m ＜n ，由（1）知0＜m ＜1，n ＞1． 要证m +n ＞2，即证n ＞2﹣m ＞1，由于f （x ）在（1，+∞）上单调递减，故即证f （n ）＜f （2﹣m ）， 由于f （m ）＝f （n ），故即证f （m ）＜f （2﹣m ）， 即证f （m ）﹣f （2﹣m ）＜0在0＜m ＜1上恒成立． 令g （x ）＝f （x ）﹣f （2﹣x ），x ∈（0，1），则g ′(x)=f ′(x)+f ′(2−x)=−lnx x 2−ln(2−x)(2−x)2=−(2−x)2lnx+x 2ln(2−x)x 2(2−x)2， =−(4−4x+x 2)lnx+x 2ln(2−x)x 2(2−x)2=−(4−4x)lnx+x 2ln[(2−x)x]x 2(2−x)2≥0，所以g （x ）在区间（0，1）内单调递增， 所以g （x ）＜g （1）＝0，即m +n ＞2成立． 所以e a +e b ＞2．。
江苏省淮安市淮安区2019-2020学年八年级上学期期中考试数学试题 含解析
2019-2020学年八年级上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共8小题．每小题2分，共计16分．在每小题所给的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）1．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，据此可以证明△BAD≌△BCD，证明的依据是（）A．AAS B．ASA C．SAS D．HL3．如图所示：求黑色部分（长方形）的面积为（）A．24 B．30 C．48 D．184．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条高的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条角平分线的交点5．等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是（）A．30°B．80°或20°C．80°或50°D．20°6．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，37．已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形8．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，F为BC的中点，DE＝5，BC＝8，则△DEF的周长是（）A．21 B．18 C．13 D．15二、填空题（本大题共10小题．每小题3分，共计30分．不需写出解答过程，请把正确答案直接填在答题卡相应的位置上）9．一个等边三角形的对称轴有条．10．一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是；11．直角三角形的斜边长是5，一直角边长是3，则此直角三角形另一直角边是．12．如图，△ABC≌△ADE，若∠C＝35°，∠D＝75°，∠DAC＝25°，则∠BAD＝°．13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点P，PD⊥AB，垂足为D，若PD＝3，则PC＝．14．若△ABC三边之比为5：12：13，则△ABC是三角形．15．如图，∠1＝∠2，∠B＝∠C，则△ABD与△ACD（填“全等”、“不一定全等”）．16．如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和BE的交点，CD＝4，则线段DF的长度为．17．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC 的周长为cm．18．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如下图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为．三、解答题（本大题共8小题，共计74分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的演算步骤、证明过程或文字说明）19．已知：如图，点E、F在线段BD上，BE＝DF，AB∥CD，∠A＝∠C．求证：△ABF≌△CDE．20．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，∠A＝∠D．（1）求证：AC∥DE；（2）若BF＝13，EC＝5，求BC的长．21．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F （1）求证：BE＝BF；（2）若△ABC的面积为70，AB＝16，DE＝5，求BC的长．22．如图，一架长为5米的梯子AB斜靠在地面OM垂直的墙ON上，梯子底端距离强ON有3米．（1）求梯子顶端与地面的距离OA的长．（2）若梯子顶点A下滑1米到C点，求梯子的底端向右滑到D的距离．23．如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．（1）判断∠D是否是直角，并说明理由．（2）求四边形ABCD的面积．24．如图，折叠长方形纸片ABCD，使点D落在边BC上的点F处，折痕为AE．已知该纸片宽AB＝3cm，长BC＝5cm．求EC的长．25．如图，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形．（1）利用网格线作出△ABC与△DEF的对称轴l；（2）结合所画图形，在直线l上画出点P，使PA+PC最小；（3）如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出△ABC的面积＝．26．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D从点B出发沿射线BC移动，以AD为边在AB 的右侧作△ADE，且∠DAE＝90°，AD＝AE．连接CE．（1）如图1，若点D在BC边上，则∠BCE＝°；（2）如图2，若点D在BC的延长线上运动．①∠BCE的度数是否发生变化？请说明理由；②若BC＝3，CD＝6，则△ADE的面积为．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项正确；B、是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，故此选项错误；故选：A．2．如图，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CB，据此可以证明△BAD≌△BCD，证明的依据是（）A．AAS B．ASA C．SAS D．HL【分析】依据图形可得到BD＝BD，然后依据全等三角形的判定定理进行判断即可．【解答】解：∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴△BAD和△BCD均为直角三角形．∵，∴△BAD≌BCD（HL）．3．如图所示：求黑色部分（长方形）的面积为（）A．24 B．30 C．48 D．18【分析】首先根据勾股定理求得直角三角形的斜边，即为矩形的长，进一步求其面积．【解答】解：根据勾股定理，得直角三角形的斜边是＝10，则矩形的面积是10×3＝30．故选：B．4．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条高的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条角平分线的交点【分析】根据线段垂直平分线的性质可求得答案．【解答】解：∵到两个顶点的距离相等的点在该边的垂直平分线上，∴到三角形三个顶点的距离都相等的点是三条边的垂直平分线的交点，故选：B．5．等腰三角形的一个角是80°，则它的顶角的度数是（）A．30°B．80°或20°C．80°或50°D．20°【分析】分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解．【解答】解：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°，②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2＝20°，综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°．故选：B．6．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，3 【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、42+52＝41≠62，不可以构成直角三角形，故A选项错误；B、1.52+22＝6.25＝2.52，可以构成直角三角形，故B选项正确；C、22+32＝13≠42，不可以构成直角三角形，故C选项错误；D、12+（）2＝3≠32，不可以构成直角三角形，故D选项错误．故选：B．7．已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【分析】根据轴对称的性质可知：OP1＝OP2＝OP，∠P1OP2＝60°，即可判断△P1OP2是等边三角形．【解答】解：根据轴对称的性质可知，OP1＝OP2＝OP，∠P1OP2＝60°，∴△P1OP2是等边三角形．故选：D．8．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，F为BC的中点，DE＝5，BC＝8，则△DEF的周长是（）A．21 B．18 C．13 D．15【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DF、EF，再根据三角形的周长的定义解答．【解答】解：∵CD⊥AB，F为BC的中点，∴DF＝BC＝×8＝4，∵BE⊥AC，F为BC的中点，∴EF＝BC＝×8＝4，∴△DEF的周长＝DE+EF+DF＝5+4+4＝13．故选：C．二．填空题（共10小题）9．一个等边三角形的对称轴有 3 条．【分析】根据对称轴：如果沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴．对称轴绝对是一条点化线，可得答案．【解答】解：如图：一个等边三角形的对称轴有 3条，故答案为：3．10．一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是13cm 或14cm；【分析】分4cm为等腰三角形的腰和5cm为等腰三角形的腰，先判断符合不符合三边关系，再求出周长．【解答】解：当4cm为等腰三角形的腰时，三角形的三边分别是4cm，4cm，5cm符合三角形的三边关系，∴周长为13cm；当5cm为等腰三角形的腰时，三边分别是，5cm，5cm，4cm，符合三角形的三边关系，∴周长为14cm，故答案为：13cm或14cm．11．直角三角形的斜边长是5，一直角边长是3，则此直角三角形另一直角边是 4 ．【分析】根据勾股定理计算即可．【解答】解：由勾股定理得，直角三角形另一直角边＝＝4，故答案为：4．12．如图，△ABC≌△ADE，若∠C＝35°，∠D＝75°，∠DAC＝25°，则∠BAD＝45 °．【分析】依据全等三角形的对应角相等以及三角形内角和定理，即可得到∠BAD的度数．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∠D＝75°，∴∠D＝∠B＝75°，又∵∠C＝35°，∴∠BAC＝70°，又∵∠DAC＝25°，∴∠BAD＝45°，故答案为：45．13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点P，PD⊥AB，垂足为D，若PD＝3，则PC＝ 3 ．【分析】依据角平分线的性质，即可得到PD＝PC，进而得出PC的长．【解答】解：∵∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点P，PD⊥AB，∴PD＝PC，又∵PD＝3，∴PC＝3，故答案为：3．14．若△ABC三边之比为5：12：13，则△ABC是直角三角形．【分析】由两小边的平方和等于最长边的平方可得△ABC是直角三角形．【解答】解：设△ABC三边之比为5x，12x，13x，∵（5x）2+（12x）2＝（13x）2，∴△ABC是直角三角形．故答案为：直角15．如图，∠1＝∠2，∠B＝∠C，则△ABD与△ACD全等（填“全等”、“不一定全等”）．【分析】根据三角形的外角性质求出∠CAD＝∠BAD，再根据AAS推出全等即可．【解答】解：△ABD与△ACD全等，理由是：∵∠1＝∠C+∠CAD，∠2＝∠B+∠BAD，又∵∠1＝∠2，∠B＝∠C，∴∠CAD＝∠BAD，在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（AAS），故答案为：全等．16．如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和BE的交点，CD＝4，则线段DF的长度为 4 ．【分析】易证BD＝AD，即可证明△BDF≌△ADC，即可求得DF＝CD．【解答】解：∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，∴BD＝AD，∵∠CAD+∠AFE＝90°，∠CAD+∠C＝90°，∠AFE＝∠BFD，∴∠AFE＝∠C，∵∠AFE＝∠BFD∴∠C＝∠BFD在△BDF和△ADC中，，∴△BDF≌△ADC（AAS），∴DF＝CD＝4，故答案为4．17．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC 的周长为21 cm．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DC和AC＝2AE＝8cm，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，AC＝2AE＝8cm，∵△ABD的周长＝AB+BD+DA＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13cm，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝21cm，故答案为：21．18．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如下图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为 5 ．【分析】观察图形可知，小正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个直角三角形的面积，利用已知（a+b）2＝21，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．【解答】解：如图所示：∵（a+b）2＝21，∴a2+2ab+b2＝21，∵大正方形的面积为13，2ab＝21﹣13＝8，∴小正方形的面积为13﹣8＝5，故答案为：5三．解答题（共8小题）19．已知：如图，点E、F在线段BD上，BE＝DF，AB∥CD，∠A＝∠C．求证：△ABF≌△CDE．【分析】两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，据此利用AAS进行判定即可．【解答】证明：∵BE＝DF，∴BE+EF＝DF+EF，即BF＝DE，∵AB∥CD，∴∠B＝∠D，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（AAS）．20．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，∠A＝∠D．（1）求证：AC∥DE；（2）若BF＝13，EC＝5，求BC的长．【分析】（1）首先证明△ABC≌△DFE可得∠ACE＝∠DEF，进而可得AC∥DE；（2）根据△ABC≌△DFE可得BC＝EF，利用等式的性质可得EB＝CF，再由BF＝13，EC ＝5进而可得EB的长，然后可得答案．【解答】（1）证明：在△ABC和△DFE中，∴△ABC≌△DFE（SAS），∴∠ACE＝∠DEF，∴AC∥DE；（2）解：∵△ABC≌△DFE，∴BC＝EF，∴CB﹣EC＝EF﹣EC，∴EB＝CF，∵BF＝13，EC＝5，∴EB＝＝4，∴CB＝4+5＝9．21．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F （1）求证：BE＝BF；（2）若△ABC的面积为70，AB＝16，DE＝5，求BC的长．【分析】（1）由角平分线的对称性直接证明△DBE≌△DBF即可；（2）先算出三角形ABD的面积，再得出三角形BCD的面积，高DF＝DE＝5，从而直接算出BC．【解答】解：（1）∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠BED＝∠BFD＝90°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠EBD＝∠FBD，在△BDE和△BDF中，∵，∴△DBE≌△DBF（AAS），∴BE＝BF；（2）∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF＝DE＝5，∴S△ABD＝AB•DE＝40，∴S△BCD＝BC•DF＝70﹣40＝30，∴BC＝12．22．如图，一架长为5米的梯子AB斜靠在地面OM垂直的墙ON上，梯子底端距离强ON有3米．（1）求梯子顶端与地面的距离OA的长．（2）若梯子顶点A下滑1米到C点，求梯子的底端向右滑到D的距离．【分析】（1）已知直角三角形的斜边和一条直角边，可以运用勾股定理计算另一条直角边；（2）在直角三角形OCD中，已知斜边仍然是5，OC＝4﹣1＝3，再根据勾股定理求得OD 的长即可．【解答】解：（1）AO＝＝＝4（米）．答：梯子顶端与地面的距离OA的长为4米；（2）OD＝＝＝4（米），BD＝OD﹣OB＝4﹣3＝1（米）．答：若梯子顶点A下滑1米到C点，求梯子的底端向右滑到D的距离是1米．23．如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．（1）判断∠D是否是直角，并说明理由．（2）求四边形ABCD的面积．【分析】（1）连接AC，根据勾股定理可知AC2＝BA2+BC2，再根据AC2＝DA2+DC2即可得出结论；（2）根据S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC即可得出结论．【解答】解：（1）连接AC，∵∠B＝90°，∴AC2＝BA2+BC2＝400+225＝625，∵DA2+CD2＝242+72＝625，∴AC2＝DA2+DC2，∴△ADC是直角三角形，即∠D是直角；（2）∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC，∴S四边形ABCD＝AB•BC+AD•CD＝×20×15+×24×7＝234．24．如图，折叠长方形纸片ABCD，使点D落在边BC上的点F处，折痕为AE．已知该纸片宽AB＝3cm，长BC＝5cm．求EC的长．【分析】由题意可得AF＝AD＝5cm，根据勾股定理可求BF＝4cm，即可得FC＝1cm，再根据勾股定理可求EC的长．【解答】解：由折叠可知AD＝AF＝5cm，DE＝EF∵∠B＝90°∴AB2+BF2＝AF2，∵AB＝3cm，AF＝5cm∴BF＝4cm，∵BC＝5cm，∴FC＝1cm∵∠C＝90°，∴EC2+FC2＝EF2设EC＝x，则DE＝EF＝3﹣x∴（3﹣x）2＝12+x2∴x＝25．如图，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形．（1）利用网格线作出△ABC与△DEF的对称轴l；（2）结合所画图形，在直线l上画出点P，使PA+PC最小；（3）如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出△ABC的面积＝ 3 ．【分析】（1）利用网格特点，作AD的垂直平分线即可；（2）连接CD，与直线l的交点即为所求；（3）利用割补法求解可得．【解答】解：（1）如图所示，直线l即为所求．（2）如图所示，点P即为所求；（3）△ABC的面积＝2×4﹣×1×2﹣×1×4﹣×2×2＝3，故答案为：3．26．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D从点B出发沿射线BC移动，以AD为边在AB 的右侧作△ADE，且∠DAE＝90°，AD＝AE．连接CE．（1）如图1，若点D在BC边上，则∠BCE＝90 °；（2）如图2，若点D在BC的延长线上运动．①∠BCE的度数是否发生变化？请说明理由；②若BC＝3，CD＝6，则△ADE的面积为．【分析】（1）由△ABC和△ADE都是等腰Rt△可得，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，则有∠BAD＝∠CAE，从而可证到△ACE≌△ABD；由△ACE≌△ABD可得∠ACE＝∠ABD＝45°，从而得到∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝90°；（2）①由△ABC和△ADE都是等腰Rt△可得，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，则有∠BAD＝∠CAE，从而可证到△ACE≌△ABD；由△ACE≌△ABD可得∠ACE＝∠ABD＝45°，从而得到∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝90°；②得出BD，由△ACE≌△ABD可得CE＝BD，运用三角形面积公式解答．【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE都是等腰Rt△，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE．在△ACE和△ABD中，，∴△ACE≌△ABD（SAS）；∴∠ACE＝∠ABD＝45°，∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝45°+45°＝90°；故答案为：90；（2）①不发生变化．∵AB＝AC，∠BAC＝90°∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠BAC＝∠DAE＝90°∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC∴∠BAD＝∠CAE，在△ACE和△ABD中∴△ACE≌△ABD（SAS）∴∠ACE＝∠ABD＝45°∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝45°+45°＝90°∴∠BCE的度数不变，为90°；②∵BC＝3，CD＝6，∴BD＝9，∵△ACE≌△ABD，∴CE＝BD＝9，∴AE＝AD＝，∴△ADE的面积＝；故答案为：。
2024年江苏省淮安市中考数学试卷(含答案)
2024年江苏省淮安市中考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列实数中，比−2小的数是( )A. −1B. 0C. 2D. −32.下列计算正确的是( )A. a⋅a3=a4B. a2+a3=a5C. a6÷a=a6D. (a3)4=a73.中国古典建筑中的镂空砖雕图案精美，下列砖雕图案中不是中心对称图形的是( )A. B. C. D.4.如图，AB//CD，点E在直线AB上，点F、G在直线CD上，∠FEG=90°，∠EGF=28°，则∠AEF的度数是( )A. 46°B. 56°C. 62°D. 72°5.用一根小木棒与两根长度分别为3cm、5cm的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是( )A. 9cmB. 7cmC. 2cmD. 1cm6.若关于x的一元二次方程x2−4x+k=0有2个不相等的实数根，则k的取值范围是( )A. k≥4B. k>4C. k≤4D. k<47.如图，用9个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1.记这个图形的周长(实线部分)为l，则下列整数与l最接近的是( )A. 14B. 13C. 12D. 118.如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=3，∠B=60°，P是BC边上的动点(BP>1)，将△ABP沿AP翻折得△AB′P，射线PB′与射线AD交于点E.下列说法不正确的是( )A. 当AB′⊥AB时，B′A=B′EB. 当点B′落在AD上时，四边形ABPB′是菱形C. 在点P运动的过程中，线段AE的最小值为2AP⋅BB′D. 连接BB′，则四边形ABPB′的面积始终等于12二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
=______．9.计算：8×1210.分解因式：a2−16=______．11.2024年5月3日嫦娥六号成功发射，它将在相距约380000km的地月之间完成月壤样品的“空中接力”.数据380000用科学记数法表示为______．12.一只不透明的袋中装有8个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中.通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.4，则袋中约有红球___个.13.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC=50°，⊙O半径为3，则BC的长为______．14.一辆轿车从A地驶向B地，设出发x ℎ后，这辆轿车离B地路程为y km，已知y与x之间的函数表达式为y=200−80x，则轿车从A地到达B地所用时间是______ℎ.15.某公园广场的地面由形状、大小完全相同的一种地砖密铺(无空隙、不重叠的拼接)而成，铺设方式如图1.图2是其中一块地砖的示意图，AB=EF，CD=GH，BC=FG，BC//FG，AB//CD//GH//EF，部分尺寸如图所示(单位：dm).结合图1、图2信息，可求得BC的长度是______dm．16.如图，点P是正六边形ABCDEF的边AB的中点，一束光线从点P出发，照射到镜面EF上的点Q处，经反射后恰好经过顶点C.已知正六边形的边长为2，则EQ=______．三、解答题：本题共11小题，共102分。
2024届江苏省淮安市淮安区八年级数学第一学期期末联考试题含解析
2024届江苏省淮安市淮安区八年级数学第一学期期末联考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．下列计算正确的是（ ）A ．235+=B ．222()-=-C ．33231-=D ．33(1)1-=-2．如图，AB ＝AC ，∠A ＝36°，AB 的垂直平分线MN 交AB 于点M ，交AC 于点D ，下列结论：①△BCD 是等腰三角形；②BD 是∠ABC 的平分线；③DC +BC ＝AB ；④△AMD ≌△BCD ，正确的是 （ ）A ．①②B ．②③C ．①②③D ．①②④3．把()22214a a +-分解因式得（ ）A ．()221a +B ．()221a -C ．()()221212a a a a +++-D ．22(1)(1)a a +-4．如图，已知BD CD =，则AD 一定是ABC 的（ ）A ．角平分线B ．高线C ．中线D ．无法确定5．下列条件中，能判定△ABC 为直角三角形的是（ ）．A ．∠A=2∠B -3∠C B ．∠A+∠B=2∠C C ．∠A-∠B=30°D ．∠A=12∠B=13∠C 6．如果三角形的一个内角等于其它两个内角的差，那么这个三角形是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．斜三角形7．下列计算正确的是（ ）A ．a 6÷a 2=a 3B ．（a 3）2=a 5C ．D ．8．将直线y=-2x 向上平移后得到直线AB ，直线AB 经过点（1，4），则直线AB 的函数表达式为（ ）A ．y=2x+2B ．y=2x-6C ．y=-2x+3D ．y=-2x+69．若实数m 、n 满足 402n m -+=-，且m 、n 恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长是 （ ） A ．12 B ．10 C ．8或10 D ．610．如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张ABC 纸片，点D 、E 分别是边AB 、AC 上，将ABC 沿着DE 折叠压平，A 与A '重合，若70A ︒∠=，则12∠+∠=（ ）.A ．140B ．130C ．110D ．70二、填空题(每小题3分,共24分)11．如果点（2m -，1m -）关于x 轴的对称点在第四象限内，则m 的取值范围是________．12．直角三角形的直角边长分别为8，15，斜边长为x ，则2x =__________．13．若方程组3(31)2y kx y k x =+⎧⎨=++⎩无解，则y ＝kx ﹣2图象不经过第_____象限． 14．在平面直角坐标系中，(2,0)A ，(0,3)B ，若ABC ∆的面积为6，且点C 在坐标轴上，则符合条件的点C 的坐标为__________．15．如图，将等腰Rt ABC ∆绕底角顶点A 逆时针旋转15°后得到'''A B C ∆，如果1AC =，那么两个三角形的重叠部分面积为____．16．团队游客年龄的方差分别是S 甲2＝1.4，S 乙2＝18.8，S 丙2＝2.5，导游小力最喜欢带游客年龄相近龄的团队，则他在甲、乙、丙三个的中应选_____．17．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠C ＝90°，BD 平分∠CBA 交AC 于点D ，DE ⊥AB 于E ．若△ADE 的周长为8cm ，则AB ＝_____ cm ．18．已知2211221899m n n m +=--，则11m n-的值等于___________． 三、解答题(共66分)19．（10分）如图，由5个全等的正方形组成的图案，请按下列要求画图：（1）在图案（1）中添加1个正方形，使它成轴对称图形但不是中心对称图形．（2）在图案（2）中添加1个正方形，使它成中心对称图形但不是轴对称图形．（3）在图案（3）中添加1个正方形，使它既成轴对称图形，又成中心对称图形．20．（6分）在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成．（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？21．（6分）如图，在ABC ∆中，B C ∠=∠，D 是BC 的中点，DE AB ⊥，DF AC ⊥，E ，F 是垂足，现给出以下四个结论：①DEFDFE ∠=∠；②AE AF =；③AD 垂直平分EF ；④BDE CDF ∠=∠．其中正确结论的个数是_____．22．（8分）化简：2344111x x x x x -+⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭，请选择一个绝对值不大于2的整数，作为x 的值代入并求值. 23．（8分）如图，已知ABC ∆与EFC ∆都是等腰直角三角形，其中90ACB ECF ∠=∠=︒，E 为AB 边上一点.（1）试判断AE与BF的大小关系，并说明理由；（2）求证：222+=.AE BE EF24．（8分）某商贸公司有A、B两种型号的商品需运出，这两种商品的体积和质量分别如下表所示：体积（立方米/件）质量（吨/件）A型商品1．8 1．5B型商品 2 1（1）已知一批商品有A、B两种型号，体积一共是21立方米，质量一共是11．5吨，求A、B两种型号商品各有几件？（2）物资公司现有可供使用的货车每辆额定载重3．5吨，容积为6立方米，其收费方式有以下两种：①按车收费：每辆车运输货物到目的地收费611元；②按吨收费：每吨货物运输到目的地收费211元．现要将（1）中商品一次或分批运输到目的地，如果两种收费方式可混合使用，商贸公司应如何选择运送、付费方式，使其所花运费最少，最少运费是多少元？25．（10分）已知：如图，点A，D，C在同一直线上，AB∥EC，AC=CE，∠B=∠EDC,求证：BC=DE26．（10分）已知：如图，在等腰三角形ABC中，120︒<∠BAC<180︒，AB=AC，AD⊥BC于点D，以AC为边作等边三角形ACE，∆ACE与∆ABC在直线AC的异侧，直线BE交直线AD于点F，连接FC交AE于点M．（1）求∠EFC的度数；（2）求证：FE+FA=FC．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【分析】先对各选项进行计算，再判断.【题目详解】A23、B2(2)2-=，故错误；C选项：3233=，故错误；D33(1)1-=-，故正确；故选：D.【题目点拨】考查立方根、平方根和算术平方根的问题，关键是根据立方根、平方根和算术平方根的定义分析．2、C【分析】由等腰三角形的性质和垂直平分线的性质，结合三角形的内角和定理，以及全等三角形的判定，分别进行判断，即可得到答案．【题目详解】解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC=∠C=1(18036)722⨯︒-︒=︒，∵MN垂直平分AB，∴AD=BD，AM=BM，∴∠ABD=∠A=36°，∴∠DBC=36°，∠BDC=72°，∴BD=BC，∴△BCD 是等腰三角形，①正确；∵∠ABD=∠DBC=36°，∴BD 平分∠ABC ，②正确；∵BC=BD=AD ，AB=AC ，∴DC+BC ＝DC+AD=AC=AB ；③正确；△AMD 与△BCD 不能证明全等，④错误；故正确的结论有：①②③；故选：C ．【题目点拨】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行解题．3、D【分析】首先利用平方差公式分解因式，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．【题目详解】解：()22214a a +- ()()221212a a a a =+++-()()2211a a =+-．故选：D ．【题目点拨】本题主要考查了公式法因式分解，正确应用乘法公式是解题关键．4、C【分析】根据三角形中线的定义可知．【题目详解】因为BD CD =，所以AD 一定是ABC 的中线．【题目点拨】本题考查三角形的中线，掌握三角形中线的定义是解题的关键．5、D【分析】根据三角形内角和定理和各选项中的条件计算出△ABC 的内角，然后根据直角三角形的判定方法进行判断．【题目详解】解：A 、∠A+∠B+∠C=180°，而∠A=2∠B=3∠C ，则∠A=108011 °，所以A 选项错误； B 、∠A+∠B+∠C=180°，而∠A+∠B=2∠C ，则∠C=60°，不能确定△ABC 为直角三角形，所以B 选项错误； C 、∠A+∠B+∠C=180°，而∠A=∠B=30°，则∠C=150°，所以B 选项错误；D、∠A+∠B+∠C=180°，而∠A=12∠B=13∠C，则∠C=90°，所以D选项正确．故选：D．【题目点拨】此题考查三角形内角和定理，直角三角形的定义，解题关键在于掌握三角形内角和是180°．6、C【分析】三角形三个内角之和是180°，三角形的一个角等于其它两个角的差，列出两个方程，即可求出答案．【题目详解】解：设三角形的三个角分别为：α、β、γ，则由题意得：180αβγαβγ++=︒⎧⎨-=⎩，解得：α=90°故这个三角形是直角三角形．故选：C．【题目点拨】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．7、D【题目详解】解：A、a6÷a2=a6-2=a4≠a3，故本选项错误；B、（a3）2=a3×2=a6≠a5，故本选项错误；C、=5，表示25的算术平方根式5，≠±5，故本选项错误；D、，故本选项正确．故选D．【题目点拨】本题考查立方根；算术平方根；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．8、D【分析】设直线AB的解析式为y=kx+b，根据平移时k的值不变可得k=-2，把（1，4）代入即可求出b的值，即可得答案．【题目详解】设直线AB的解析式为y=kx+b，∵将直线y=-2x向上平移后得到直线AB，∴k=-2，∵直线AB经过点（1，4），∴-2+b=4，解得：b=6，∴直线AB 的解析式为：y=-2x+6，故选：D ．【题目点拨】本题考查了一次函数图象与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意平移k 值不变．9、B【分析】根据绝对值和二次根式的非负性得m 、n 的值，再分情况讨论：①若腰为2，底为4，由三角形两边之和大于第三边，舍去；②若腰为4，底为2，再由三角形周长公式计算即可.【题目详解】由题意得：m-2=0，n-4=0，∴m=2，n=4，又∵m 、n 恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，①若腰为2，底为4，此时不能构成三角形，舍去，②若腰为4，底为2，则周长为：4+4+2=10，故选B.【题目点拨】本题考查了非负数的性质以及等腰三角形的性质，根据非负数的性质求出m 、n 的值是解题的关键.10、A【分析】利用∠1所在平角∠AEC 上与∠2所在平角∠ADB 上出发，利用两个平角的和减去多余的角，就能得到∠1+∠2的和，多余的角需要可以看作2∠AED+2∠ADE ，因为∠A=70°所以∠AED+∠ADE=180°-70°=110°，所以∠1+∠2=360°-2(∠AED+∠ADE)=360°-220°=140° 【题目详解】∠AED+∠ADE=180°-70°=110°, ∠1+∠2=∠AEC+∠ADB-2∠AED-2∠ADE=360°-2(∠AED+∠ADE)=360°-220°=140° 【题目点拨】本题主要考查角度之间的转化，将需要求的角与已知联系起来二、填空题(每小题3分,共24分)11、1m <【分析】利用关于x 轴对称点的性质可知点P 在第一象限，由此根据第一象限点的坐标的特征列不等式组即可解答．【题目详解】∵点P （2m -，1m -）关于x 轴的对称点在第四象限内，∴点P （2m -，1m -）在第一象限，∴2010m m ->⎧⎨->⎩， 解得：1m <．故答案为：1m <．【题目点拨】本题主要考查了关于x 轴对称点的性质以及象限内点的坐标特点，正确记忆各象限内点的坐标符号是解题关键． 12、1【分析】根据勾股定理计算即可．【题目详解】根据勾股定理得：斜边的平方=x 2=82+152=1．故答案为：1．【题目点拨】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答本题的关键．13、一【分析】根据两直线平行没有公共点得到k ＝3k +1，解得k ＝﹣12，则一次函数y ＝kx ﹣2为y ＝﹣12x ﹣2，然后根据一次函数的性质解决问题． 【题目详解】解：∵方程组()3312y kx y k x =+⎧⎪⎨=++⎪⎩无解， ∴k ＝3k +1，解得k ＝﹣12， ∴一次函数y ＝kx ﹣2为y ＝﹣12x ﹣2， 一次函数y ＝﹣12x ﹣2经过第二、三、四象限，不经过第一象限． 故答案为一．【题目点拨】 本题考查一次函数与二元一次方程组的关系、一次函数图像与系数的关系，解题的关键是求出k 的值．14、()2,0-或()6,0或()0,3-或()0,9【分析】根据C 点在坐标轴上分类讨论即可.【题目详解】解：①如图所示，若点C 在x 轴上，且在点A 的左侧时，∵(0,3)B∴OB=3∴S △ABC =12AC ·OB=6 解得：AC=4∵(2,0)A∴此时点C 的坐标为：()2,0-； ②如图所示，若点C 在x 轴上，且在点A 的右侧时，同理可得：AC=4∴此时点C 的坐标为：()6,0；③如图所示，若点C 在y 轴上，且在点B 的下方时，∵(2,0)A∴AO=2∴S △ABC =12BC ·AO=6 解得：BC=6∵(0,3)B∴此时点C 的坐标为：()0,3-；④如图所示，若点C 在y 轴上，且在点B 的上方时，同理可得：BC=6∴此时点C 的坐标为：()0,9.故答案为()2,0-或()6,0或()0,3-或()0,9.【题目点拨】此题考查的是平面直角坐标系中已知面积求点的坐标，根据C 点的位置分类讨论是解决此题的关键.15、36【分析】设B′C′与AB 相交于点D ，根据等腰直角三角形的性质可得∠BAC=45°，根据旋转角可得∠CAC′=15°，然后求出∠C′AD=30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AD=2C′D ，然后利用勾股定理列式求出C′D 的长度，再根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解．【题目详解】设B′C′与AB 相交于点D ，如图，在等腰直角△ABC 中，∠BAC=45°，∵旋转角为15°，∴∠CAC′=15°，∴∠C′AD=∠BAC-∠CAC′=45°-15°=30°，∴AD=2C′D ，在Rt △AC′D 中，根据勾股定理，AC′2+C′D 2=AD 2，即12+C′D 2=4C′D 2，解得∴重叠部分的面积=112⨯．【题目点拨】本题考查了旋转的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．16、甲【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案．【题目详解】解：∵S 甲2＝1.4，S 乙2＝18.8，S 丙2＝2.5，∴S 甲2＜S 丙2＜S 乙2，∴他在甲、乙、丙三个的中应选甲，故答案为：甲．【题目点拨】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．17、1．【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE ，再利用“HL”证明Rt △BCD 和Rt △BED 全等，根据全等三角形对应边相等可得BC=BE ，然后求出△ADE 的周长=AB ．【题目详解】∵∠C=90∘，BD 平分∠CBA ，DE ⊥AB ，∴CD=DE ，在Rt △BCD 和Rt △BED 中，∵BD BD CD ED =⎧⎨=⎩∴Rt △BCD ≌Rt △BED(HL)，∴BC=BE ，∴△ADE 的周长=AE+AD+DE=AE+AD+CD=AE+AC=AE+BC=AE+BE=AB ，∵△ADE 的周长为1cm ，∴AB=1cm.故答案为1cm.【题目点拨】本题考查了角平分线的性质和等腰直角三角形，熟练掌握这两个知识点是本题解题的关键.18、29- 【分析】先进行配方计算出m ，n 的值，即可求出11m n -的值. 【题目详解】2211221899m n n m +=-- 22112218099m n n m +++=- 22112929099m m n n -++++= 221133033m n ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+ 1130,3033m n +=-= 9,9m n =-=， 则1129m n -=-， 故答案为：29-. 【题目点拨】本题是对完全平方非负性的考查，熟练掌握配方知识和完全平方非负性是解决本题的关键.三、解答题(共66分)19、（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）作图见解析【分析】（1）根据轴对称、中心对称的性质作图，即可完成求解；（2）根据轴对称、中心对称的性质作图，即可完成求解；（3）根据轴对称、中心对称的性质作图，即可完成求解．【题目详解】（1）如图所示（2）如图所示（3）如图所示．【题目点拨】本题考查了轴对称、中心对称的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称、中心对称的性质，从而完成求解．20、（1）乙队单独完成需2天；（2）在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱．【分析】（1）求的是乙的工效，工作时间明显．一定是根据工作总量来列等量关系．等量关系为：甲20天的工作量+甲乙合作24天的工作总量=1．（2）根据题意，分别求出三种情况的费用，然后把在工期内的情况进行比较即可．【题目详解】解：（1）设乙队单独完成需x天．根据题意，得：11120()241 6060x⨯++⨯=．解这个方程得：x=2．经检验，x=2是原方程的解．∴乙队单独完成需2天．（2）设甲、乙合作完成需y天，则有11()1 6090y+⨯=，解得，y=36；①甲单独完成需付工程款为：60×3.5=210（万元）．②乙单独完成超过计划天数不符题意，③甲、乙合作完成需付工程款为：36×（3.5+2）=198（万元）．答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱．【题目点拨】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．21、1【分析】根据等腰三角形的性质，角平分线的性质及全等三角形的判定与性质对各个选项进行分析判断即可．【题目详解】∵B C∠=∠，∴AB=AC，∵D是BC的中点，∴．AD平分∠BAC，∵DE AB⊥，DF AC⊥，∴DE=DF∴DEF DFE∠=∠，故①正确；∵DE AB⊥，DF AC⊥∴∠DEA=∠DFA=90°∵DE=DFDA=AD∴△ADE≌△ADF(HL)∴AE=AF，故②正确，∵ED=FD∴AD垂直平分EF，故③正确，∵DE AB⊥，DF AC⊥，∴∠DEB=∠DFC=90°又∵∠B=∠C，且∠B+∠DEB+∠EDB=180°，∠C+∠DFC+∠FDC=180°，∴∠BDE=180°-∠B+∠DEB，∠FDC=180°-∠C-∠DFC，∴BDE CDF∠=∠，故④正确．故答案为：1．【题目点拨】此题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质及角平分线性质的综合运．22、22x x +--；1 【分析】先根据分式的运算法则将所给代数式化简，然后选一个绝对值不大于2且使分式有意义的整数代入计算即可. 【题目详解】2344111x x x x x -+⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭=23(1)(1)11(2)x x x x x --++⨯+- =2(2)(2)11(2)x x x x x +-+⨯+- =22x x +--， x=0符合题意，则当x=0时，原式=0202+--=1. 【题目点拨】 本题考查了分式的计算和化简，解决这类题目关键是把握好通分与约分，分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分．同时注意在进行运算前要尽量保证每个分式最简．23、（1）AE BF =，理由见解析；（2）见解析.【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质很容易证明ACE BCF ∆≅∆，利用全等三角形的性质即可得出AE 与BF 的大小关系；（2）由ACE BCF ∆≅∆可得45CBF CAE ∠=∠=︒，从而得到90EBF ∠=︒，最后利用勾股定理和等量代换即可得出结论．【题目详解】（1）AE BF =，理由如下：∵ABC ∆与EFC ∆都是等腰直角三角形,45,,AC BC CAB ABC CE CF ∴=∠=∠=︒=∵90ACB ECF ∠=∠=︒，ACB BCE ECF BCE ∴∠-∠=∠-∠∴ACE BCF ∠=∠，又,AC BC CE CF ==，∴ACE BCF ∆≅∆，∴AE BF =；（2）由ACE BCF ∆≅∆，得45CBF CAE ∠=∠=︒，90CBF ABC ∴∠+∠=︒即90EBF ∠=︒，∴222BF BE EF +=，又AE BF =，∴222AE BE EF +=.【题目点拨】本题主要考查全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定方法及性质是解题的关键．24、（1）A 种型号商品有5件，B 种型号商品有8件；（2）先按车收费用3辆车运送18m 3，再按吨收费运送1件B 型产品，运费最少为2111元【分析】（1）设A 、B 两种型号商品各x 件、y 件，根据体积与质量列方程组求解即可；（2）①按车付费=车辆数⨯611；②按吨付费=11.5⨯211；③先按车付费，剩余的不满车的产品按吨付费，将三种付费进行比较.【题目详解】（1））设A 、B 两种型号商品各x 件、y 件，0.82200.510.5x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得58x y =⎧⎨=⎩， 答：A 种型号商品有5件，B 种型号商品有8件；（2）①按车收费：10.5 3.53÷=（辆），但是车辆的容积63⨯=18<21，3辆车不够，需要4辆车，60042400⨯=（元）；②按吨收费：211⨯11.5=2111（元）；③先用车辆运送18m 3，剩余1件B 型产品，共付费3⨯611+1⨯211=2111（元），∵2411>2111>2111，∴先按车收费用3辆车运送18m 3，再按吨收费运送1件B 型产品，运费最少为2111元.【题目点拨】此题考查二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键，（2）注意分类讨论，分别求出费用进行比较解答问题.25、证明见解析【分析】根据由两个角和其中一角的对边相等的两个三角形全等证明△ABC ≌△CDE ，由全等三角形的性质即可得到BC=DE ．【题目详解】证明：∵AB ∥EC ，∴∠A=∠ECA ，在△ABC 和△CDE 中A ECAB EDC AC CE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ABC ≌CDE （AAS ），∴BC=DE ．【题目点拨】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（即对应角相等、对应边相等）．26、 (1)60EFC ∠=︒；(2)详见解析【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠1＝∠2，由直线AD 垂直平分BC ，求出FB ＝FC ，根据等腰三角形的性质得出∠3＝∠4，然后求出AB ＝AE ，根据等腰三角形的性质得出∠3＝∠5，等量代换求出45∠=∠即可得到60EFC CAE ∠=∠=︒；（2）在FC 上截取FN ，使FN ＝FE ，连接EN ，根据等边三角形的判定得出△EFN 是等边三角形，求出∠FEN ＝60°，EN ＝EF ，再求出∠5＝∠6，根据SAS 推出△EFA ≌△ENC ，根据全等得出FA ＝NC ，即可证得结论．【题目详解】解：（1）如图1，∵AB AC =，∴12∠=∠，∵AD BC ⊥，∴直线AD 垂直平分BC ，∴FB FC =，∴FBC FCB ∠=∠，∴12FBC FCB ∠-∠=∠-∠，即34∠=∠，∴在等边三角形ACE 中，AC AE =，∴AB AE =，∴35∠=∠，∴45∠=∠，∵FME CMA ∠=∠，∴EFC CAE ∠=∠，∵在等边三角形ACE 中，60CAE ∠=︒，∴60EFC ∠=︒；（2）在FC 上截取FN ，使FN FE =，连接EN ，如图2，∵60EFC ∠=︒，∵FN FE =，∴EFN 是等边三角形，∴60FEN ∠=︒，EN EF =，∵ACE △为等边三角形，∴60AEC ∠=︒，EA EC =，∴FEN AEC ∠=∠，∴FEN MEN AEC MEN -∠=∠-∠，即56∠=∠，在EFA △和ENC △中，56EF EN EA EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()EFA ENC SAS △≌△，∴FA NC =，∴FE FA FN NC FC +=+=．【题目点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．。
2019-2020学年江苏省淮安市开明中学八年级(上)期中数学试卷(附答案详解)
2019-2020学年江苏省淮安市开明中学八年级（上）期中数学试卷1.下列大学的校徽图案是轴对称图形的是()A. 清华大学B. 北京大学C. 中国人民大学D. 浙江大学2.平面直角坐标系中，点A(−1,−3)在第()象限．A. 一B. 二C. 三D. 四3.下列说法正确的是()A. −√5是5的平方根B. −2的平方根是±23=±4 D. √9=±3C. √644.下列各数组中，不能作为直角三角形的三边长的是()A. 5，12，13B. 3，4，5C. 8，15，17D. 4，5，65.已知点A(−3,a)和点B(b,−2)关于原点对称，则a与b的值分别是()A. a=2，b=3B. a=−2，b=3C. a=−2，b=−3D. a=2，b=−36.一个等腰三角形的两边长分别为3和5，则它的周长为()A. 11B. 12C. 13D. 11或137.如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，AB：BC=2：1，则△ABD与△BCD面积比为()A. 2：1B. 2：3C. 3：2D. 3：18.象棋是流行广泛的益智游戏．如图是一副象棋残局，若表示棋子“炮”和“車”的点坐标分别为(1,3)，(−2,1)，则表示棋子“马”的点坐标为()A. (1,3)B. (3,2)C. (4,3)D. (2,3)9.4是______的算术平方根．10.用四舍五入法将37.26精确到0.1的近似数为______．11.在平面直角坐标系中，点(4,2)到y轴的距离为______．12.比较大小：√33______6.(填“>”、“<”或“=”)13.Rt△ABC中，两条直角边长分别为5和12，则斜边上的中线长等于______．14.若某个正数a的两个平方根分别为m+3与2m−9，则a的值为______．15.如图，AD是等边△ABC的边BC上的中线，且AE=AD，则∠BED的度数为______．16.如图，直角坐标系中有一个电子跳蚤，以每秒1个单位的速度，在第一象限及x轴、y轴上运动．在第1秒钟，它从原点运动到(0,1)，接着按图中箭头所示方向运动．那么第28秒时该跳蚤所在位置的坐标为______．17.(1)计算：√9−(π−3)0+|2−√3|；(2)解方程：(x+1)3=−8．18.已知：如图，(1)画出将△ABC向左平移4个单位得到的图形△A1B1C1；(2)画出△A1B1C1关于x轴对称的图形△A2B2C2．19.(1)如图，用直尺和圆规在△ABC的边AC上确定一点P，使PC=PB.(保留作图痕迹)(2)若△ABP的周长为17，BC=8，则△ABC的周长为______．20.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB、AC上，AD=AE，∠ACD=∠ABE，CD与BE相交于点F，求证：BF=CF．21.同学们都玩过荡秋千吧？如图，已知秋千顶端O离地面的距离为2.4m，秋千静止时座位离地面的距离是0.4m.当秋千荡到最高处，此时座位离地面的距离恰为0.8m.你能求出秋千荡出的水平距离BC是多少吗？22.张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：n2345…a22−132−142−152−1…b46810…c22+132+142+152+1…(1)请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n(n>1)的代数式表示：a=______ ，b=______ ，c=______ ；(2)猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想．23.如图，在直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为(0,1)，(2,0)，(2,1.5)．(1)△ABC的面积为______．(2)如果在第二象限内有一点P(a,1.8)，试用含a的式子表示四边形ABOP的面积．(3)在(2)的条件下，是否存在点P，使得四边形ABOP的面积是△ABC面积的2倍？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．24.阅读理解：如图1，在△ABC的边AB上取一点P，连接CP，可以把△ABC分成两个三角形，如果这两个三角形都是等腰三角形，我们称点P是△ABC的边AB上的完美点．解决问题：(1)如图2，△ABC中，∠ACB=90°，试找出边AB上的完美点P，并说明理由．(2)如图3，已知∠A=36°，△ABC的顶点B在射线l上，点P是边AB上的完美点，请认真分析所有符合要求的点B，直接写出相应的∠B的度数．25.我们知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即长方形ABCD中，∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，AD//BC，AB//CD．学完轴对称的性质，周老师设计如下三个问题，带领大家研究长方形纸片的折叠问题．请你运用所学知识，解决下面的问题．问题(1)：如图(1)，有一张长方形纸片ABCD，AB=12，AD=16，将纸片折叠，使AB落在对角线AC上，折痕为AE(点E在边BC上)，点B落在点B′处，求线段CE的长度；问题(2)：如图(2)，点G在一张长方形纸片ABCD的边AD上，将纸片折叠，使AB 落在CG所在直线上，设折痕为EF(点E，F分别在边BC、AD上)，利用直尺和圆规画出折痕EF(不写作法，保留作图痕迹)；问题(3)：如图(3)，有一张长方形纸片ABCD，AB=12，AD=27，F为AD边上一点，AF=7，E为BC上一点．将纸片折叠，使点B恰好落在线段ED上的B′处，折痕为EF，点A落在点A′处．求线段B′D的长度．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A、不是轴对称图形，本选项错误；B、是轴对称图形，本选项正确；C、不是轴对称图形，本选项错误；D、不是轴对称图形，本选项错误．故选：B．结合轴对称图形的概念进行求解即可．本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.【答案】C【解析】解：点A(−1,−3)在第三象限．故选C．根据各象限内点的坐标特征解答．本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．3.【答案】A【解析】解：A，∵5的平方根是±√5，∴正确，B∵负数没有平方根，∴B错误，3=4，∴C错误，C∵√64D∵√9=3∴D错误．故选：A．A：由5的平方根是±√5判断；B：负数没有平方根进行判断；C：开立方求出结果，然后判断；D：求出算数平方根，然后判断．本题主要考查了平方根，算术平方根、立方根的概念的运用，掌握这几个定义的区别及实际应用是解题关键．4.【答案】D【解析】解：A、52+122=132，故是直角三角形，不符合题意；B、32+42=52，故是直角三角形，不符合题意；C、82+152=172，故是直角三角形，不符合题意；D、42+52≠62，故不能组成直角三角形，符合题意．故选：D．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．5.【答案】A【解析】解：∵点A(−3,a)和点B(b,−2)关于原点对称，∴a=2，b=3，故选：A．根据平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，求得a、b的值．本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．6.【答案】D【解析】【分析】此题考查了等腰三角形的性质与三角形三边关系．此题难度不大，解题的关键是注意分类讨论思想的应用，小心别漏解．由等腰三角形两边长为3、5，分别从等腰三角形的腰长为3或5去分析即可求得答案，注意分析能否组成三角形．【解答】解：①若等腰三角形的腰长为3，底边长为5，∵3+3=6>5，∴能组成三角形，∴它的周长是：3+3+5=11；②若等腰三角形的腰长为5，底边长为3，∵5+3=8>5，∴能组成三角形，∴它的周长是：5+5+3=13，综上所述，它的周长是：11或13．故选D．7.【答案】A【解析】解：作DE⊥AB于E，∵BD平分∠ABC，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC，∵AB：BC=2：1，∴设AB=2x，BC=x，∴△ABD与△BDC的面积之比：(12×AB×DE)：(12×BC×CD)=AB：BC=2：1．故选：A．作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE=DC，根据三角形的面积公式计算即可．本题考查的是角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵棋子“炮”和“車”的点坐标分别为(1,3)，(−2,1)，∴帅的位置为原点，如图所示，∴棋子“马”的点坐标为(4,3)，故选：C．根据棋子“炮”和“車”的点坐标分别为(1,3)，(−2,1)，得出原点的位置，进而得出答案．本题考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解决问题的关键．9.【答案】16【解析】解：∵42=16，∴4是16的算术平方根．故答案为：16．如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求出结果．此题主要考查了算术平方根的概念，牢记概念是关键．10.【答案】37.3【解析】解：用四舍五入法将37.26精确到0.1的近似数为37.3，故答案为：37.3．对百分位数字四舍五入即可．本题主要考查近似数，一般地说，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．11.【答案】4【解析】解：∵点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，点(4,2)的横坐标为4，∴点(4,2)到y轴的距离为4．故答案为：4．根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答即可．本题考查了点的坐标，利用点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值是解题的关键．12.【答案】<【解析】解：∵33<36，∴√33<6，故答案为：<．通过比较这两个正数的平方来比较大小．本题考查了实数的比较大小，通过比较这两个正数的平方来比较大小是解题的关键．13.【答案】6.5【解析】解：∵直角三角形两直角边长为5和12，∴斜边=√52+122=13，=6.5．∴此直角三角形斜边上的中线的长=132故答案为：6.5．根据勾股定理可求得直角三角形斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．此题主要考查勾股定理及直角三角形斜边上的中线的性质；熟练掌握勾股定理，熟记直角三角形斜边上的中线的性质是解决问题的关键．14.【答案】25【解析】解：∵一个正数的平方根互为相反数，∴m+3+2m−9=0，解得m=2，∴a的平方根是±5，∴a=25．故答案为：25．由一个正数的平方根互为相反数，列一元一次方程，求出m，最后求出a．此题主要考查了平方根的性质，掌握性质的应用，由一个正数的平方根互为相反数，列一元一次方程，是解题关键．15.【答案】105°【解析】解：∵△ABC为等边三角形，BD=DC，∠BAC=30°，∴∠BAD=12∵AE=AD，×(180°−30°)=75°，∴∠AED=12∴∠BED=180°−∠AED=105°，故答案为：105°．∠BAC=30°，根据等腰三角形的性质计算即根据等腰三角形的三线合一求出∠BAD=12可．本题考查的是等边三角形的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，掌握等边三角形的每个内角都是60°是解题的关键．16.【答案】(3,5)【解析】解：电子跳蚤每秒1个单位，按照图中运动的规律，到达(0,1)用1秒，到达(2,0)用4秒，到达(0,3)用9秒，到达(4,0)用16秒，到达(0,5)用25秒，∴到达(3,5)用28秒，故答案为：(3,5)．根据电子跳蚤运动的特点，从中找出规律，即可得出答案．本题考查了坐标确定位置，读懂题意，正确确定跳蚤运动的规律是解决问题的关键．17.【答案】解：(1)原式=3−1+2−√3=4−√3；(2)方程(x+1)3=−8，开立方得：x+1=−2，解得：x=−3．【解析】(1)原式利用算术平方根定义，零指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值；(2)方程利用立方根定义开立方即可求出解．此题考查了实数的运算，立方根，以及零指数幂，熟练掌握立方根定义，零指数幂法则，以及绝对值的代数意义是解本题的关键．18.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．(2)如图，△A2B2C2即为所求．【解析】(1)利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．(2)利用轴对称的性质分别作出A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可．本题考查作图−轴对称变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握平移变换，轴对称变换的性质，属于中考常考题型．19.【答案】25【解析】解：(1)如图，点P为所作；(2)∵PC=PB，∴△ABP的周长=AB+AP+PB=AB+AP+PC=AB+AC=17，∴△ABC的周长=AB+AC+BC=17+8=25．故答案为25．(1)作BC的垂直平分线即可；(2)利用等线段代换得到△ABP的周长=AB+AC=17，然后计算△ABC的周长．本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．20.【答案】证明：在△ABE与△ACD中，{∠A=∠A∠ACD=∠ABE AD=AE，∴△ABE≌△ACD(ASA)，∴AB=AC，∠ADC=∠AEB，∴AB−AD=AC−AE，即DB=EC，∴∠BDF=∠CEF，在△DBF与△ECF中，{∠BDF=∠CEF ∠DFB=∠EFC DB=EC，∴△DBF≌△ECF(AAS)，∴BF=CF．【解析】根据AAS证明△ABE与△ACD全等，利用全等三角形的性质得出AB=AC，进而利用AAS证明△DBF与△ECF全等，利用全等三角形的性质解答即可．考查了全等三角形的判定和性质，根据AAS 证明△ABE 与△ACD 全等是本题的关键．21.【答案】解：能求出秋千荡出的水平距离BC 的长，理由如下：由题意得：秋千最低点为A ，最高点为B ，OD =2.4m ，AD =0.4m ， 则OA =OB =OD −AD =2(m)，过B 点作BC ⊥OA 于C ，BE ⊥地面于E ，则CD =BE =0.8m ，∴AC =CD −AD =0.8−0.4=0.4(m)，∴OC =OA −AC =2−0.4=1.6=85(m)， 在Rt △OBC 中，由勾股定理得：BC =√OB 2−OC 2=√22−(85)2=65(m)=1.2m ， 即秋千荡出的水平距离BC 是1.2m ．【解析】过B 点作BC ⊥OA 于C ，BE ⊥地面于E ，则CD =BE =0.8m ，求出AC =CD −AD =0.4(m)，OC =OA −AC =1.6(m)，再根据勾股定理求出BC 的长即可． 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，求出OC 的长是解题的关键．22.【答案】(1)n 2−1；2n ；n 2+1(2)猜想为：以a ，b ，c 为边的三角形是直角三角形．证明：∵a =n 2−1，b =2n ；c =n 2+1∴a 2+b 2=(n 2−1)2+(2n)2=n 4−2n 2+1+4n 2=n 4+2n 2+1=(n 2+1)2 而c 2=(n 2+1)2【解析】解：(1)由题意有：n 2−1，2n ，n 2+1；(2)猜想为：以a ，b ，c 为边的三角形是直角三角形．证明：∵a =n 2−1，b =2n ；c =n 2+1∴a 2+b 2=(n 2−1)2+(2n)2=n 4−2n 2+1+4n 2=n 4+2n 2+1=(n 2+1)2 而c 2=(n 2+1)2∴根据勾股定理的逆定理可知以a ，b ，c 为边的三角形是直角三角形．(1)结合表中的数据，观察a ，b ，c 与n 之间的关系，可直接写出答案；(2)分别求出a 2+b 2，c 2，比较即可．本题需仔细观察表中的数据，找出规律，利用勾股定理的逆定理即可解决问题．23.【答案】1.5【解析】解：(1)∵A、B、C三点的坐标分别为(0,1)，(2,0)，(2,1.5)，∴OA=1，OB=2，BC=1.5，BC//OA，∴△ABC的面积=12×1.5×2=1.5；故答案为：1.5；(2)如图所示，作PE⊥y轴于E，∵在第二象限内有一点P(a,1.8)，∴a<0，则S四边形ABOP =S△AOB+S△AOP=12OA⋅OB+12OA⋅PE=12×1×2+12×1×(−a)=1−12a；(3)存在点P，使得四边形ABOP的面积是△ABC面积的2倍，根据题意得：1−12a=2×1.5，解得：a=−4，∴P(−4,1.8)．(1)根据A、B、C三点的坐标即可得出△ABC的面积；(2)作PE⊥y轴于E，四边形ABOP的面积=△AOB的面积+△AOP的面积，即可得出结果；(3)根据四边形ABOP的面积是△ABC面积的2倍列方程，求出a=−4，即可得出点P 的坐标．本题考查了四边形综合题，综合掌握坐标与图形性质、三角形面积的计算；熟练掌握坐标与图形性质是解决问题的关键．24.【答案】解：(1)取AB的中点P，连接PC即可如图①∵∠ACB=90°，P是AB的中点，∴CP=12AB，AP=BP=12AB，∴AP=PB=CP．∴△APC，△PBC是等腰三角形．∴点P是边AB上的完美点．(2)满足条件的点B如图所示：②③④⑤⑥【解析】(1)取AB的中点P，连接PC即可，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半证明；(2)根据点P是边AB上的完美点，结合等腰三角形的性质画出图即可．本题考查等腰三角形的性质、直角三角形的性质，掌握性质的熟练应用，理解题意是解题的关键．25.【答案】解：问题(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，BC=AD=16，∵AB=12，由勾股定理得：AC=√AB2+BC2=√122+162=20，由折叠得：∠AB′E=∠B=90°，AB′=AB=12，BE=B′E，∴∠CB′E=90°，设CE=x，则B′E=BE=16−x，由勾股定理得：CE2=B′E2+B′C2，即x2=(16−x)2+(20−12)2，解得：x=10，∴CE=10；问题(2)如图(2)所示：EF即为所求；问题(3)∵AF=7，AD=27，∴FD=20，∵将纸片折叠，使点B恰好落在线段ED上的B′处，∴∠BEF=∠B′EF，BE=B′E，∵AD//BC，∴∠DFE=∠BEF，∴DE=DF=20，∴CE=√DE2−DC2=√202−122=16，∴BE=BC−CE=11，∴B′E=11，∴B′D=DE−B′E=20−11=9．【解析】问题(1)：设CE=x，根据折叠的性质表示B′E=BE=16−x，由勾股定理计算AC=20，则CB′=8，最后根据勾股定理列方程可得答案；问题(2)：如图(2)中，延长BA交直线CG交于点H，作∠BHC的角平分线交AD于F，交BC于E，直线EF即为所求；问题(3)：首先求出FD=20，由矩形的性质得出AD//BC，BC=AD=27，由平行线的性质得出∠DFE=∠BEF，由翻折不变性可知，∠BEF=∠DEF，证出∠DFE=∠DEF，由等腰三角形的判定定理证出DF=DE=20，再由勾股定理求出CE，可得BE，再利用翻折不变性，可知EB′=EB，由此即可解决问题．本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用翻折不变性解决问题．。
江苏省淮安市淮安区2022-2023学年八年级上学期期中数学试题
江苏省淮安市淮安区2022-2023学年八年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．下列4组数据中，是勾股数的是（ ）A ．1，2，3B ．2，3，4C ．3，4，5D ．6，7，8 3．如图，已知ABC DEF ≌△△，则下列结论不正确的是（ ）A ．A D ∠=∠B ．C E ∠=∠ C ．AB DE =D ．BC EF =4．如图，红红书上的三角形被墨迹污染了一部分，她根据所学的知识很快就画了一个与书上完全一样的三角形，那么红红画图的依据是（ ）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS 5．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ︒∠=，CD 是斜边AB 上的中线，若 2.5CD =，AB 的长为（ ）A ．2.5B ．4C ．5D ．66．如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 7．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝55°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A '处，折痕为CD ，则A DB '∠＝( )A ．40°B ．30°C ．20°D ．10° 8．如图，BO 平分ABC ∠，CO 平分ACB ∠，MN BC ∥，15AB =，18AC =，则AMN 的周长为（ ）A ．15B ．18C ．30D ．33二、填空题9．已知△ACB ∠∠A ′C B ′，∠B =70°，则∠B ′的度数为_______．10．如图，ABC DCB ∠=∠，要用SAS 判断ABC DCB ∆≅∆，需要增加一个条件：_________．11．如图，点P 是∠AOB 平分线OC 上一点，PE∠OA ，PF∠OB ，垂足分别是E 和F ，若PE=3，则PF=_____.12．如图所示：已知两个正方形的面积，则字母A 所代表的正方形的面积为___________．13．三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形的面积是_____．14．如图，在ABC 中，=4cm AC ，线段AB 的垂直平分线交AC 于点N ，BCN △的周长是7cm ，则BC 的长为 _____．15．等腰三角形ABC 中，5AB =，2BC =，则AC 的长为________．16．在ABC 中，5AB AC ==，6BC =．若点 P 在边AC 上移动，则线段BP 的最小值是 ________ ．三、解答题17．如图，115ACF ADE AC AF ==≌，，△△，求DF 的长．18．如图，AB CD B C =∠=∠，，点F 、E 在BC 上，BF CE =．求证：AEB DFC =∠∠．19．在∠ABC 中，∠C ＝90°，BC ∠AB ＝3∠5且AB ＝20cm ，求边AC 的长度．20．如图，甲乙两船从港口A 同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，12小时后，甲船到达C 岛，乙船到达B 岛，若CB 两岛相距17海里，问乙船的航速是多少？21．如图：已知OA 和OB 两条公路，以及C 、D 两个村庄，建立一个车站P ，使车站到两个村庄距离相等即PC =PD ，且P 到OA ，OB 两条公路的距离相等．22．如图，在四边形ABCD 中，DE 垂直平分AB ，DF 垂直平分BC ，垂足分别为E 、F ．(1)试说明DA ＝DC ；(2)如果∠A ＝70°，∠C ＝60°，求∠ADC 的度数．23．如图，在88⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点ABC （即三角形的顶点都在格点上）．(1)在图中作出ABC 关于直线l 对称的111A B C △．（要求：A 与1A ，B 与1B ，C 与1C 相对应）(2)在直线上找一点Q ，使QB QC +的值最小．24．已知，如图，∠ABC 中，AB =AC ，动点D 、E 、F 在AB 、BC 、AC 上移动，移动过程中始终保持BD =CE ，∠DEF =∠B ，请你分析是否存在始终与∠BDE 全等的三角形，并说明理由．25．如图，在Rt ABC △中，90C AD ∠=︒，平分BAC ∠交BC 于点D ，过点D 作DE AB⊥于点E ，若35CD BD ==，，求AE 的长．26．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB ，由点A 飞向点B ，已知点C 为其中一个着火点， 且点 C 与直线 AB 上两点A ，B 的距离分别为600m 和800m ，又AB ＝1000m ，飞机中心周围500m 以内可以受到洒水影响．（1）着火点C 受洒水影响吗？为什么？（2）若飞机的速度为10 m/s ，要想扑灭着火点C 估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C 能否被扑灭？27．如图，在∠ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝16cm ，BC ＝12cm ，AC ＝20cm ，P 、Q 是∠ABC 边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A →B 方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B →C →A 方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．（1）BP =______（用t 的代数式表示）（2）当点Q 在边BC 上运动时，出发几秒后，∠PQB 是等腰三角形？（3）当点Q 在边CA 上运动时，出发__________________秒后，∠BCQ 是以BC 或BQ 为底边的等腰三角形？。
江苏省淮安市淮阴区2023-2024学年八年级上学期期中数学试题(含答案)
2023-2024学年度第一学期八年级期中调研测试数学试题2023.11一、选择题（每小题3分，共24分）1．在下面的四个京剧脸谱中，不是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．下列各式中，正确的是（）AB ．CD3．在实数中，无理数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图，，下列所给条件不能证明的是（）（第4题）A ．B ．C ．D ．5．等腰三角形一边长为，另一边长为，那么这个等腰三角形的周长是（）A ．B ．C ．或D ．以上都不对6．下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是（）A ．B ．C ．D ．7．如图，在中，的垂直平分线交于点，那么等于（）（第7题）A ．B ．C ．D ．8．如图，在中，为中点，于点，则的长是（）4=±4=3=-4=-220,,1.010*******πABC DCB ∠=∠ABC DCB ≌△△A D ∠=∠AB DC =ACB DBC ∠=∠AC BD =3cm 6cm 12cm15cm12cm 15cm7,24,255,13,152,3,48,12,20ABC △30,B AB ∠=︒BC D ADC ∠20︒30︒60︒80︒ABC △5,6,AB AC BC D ===BC DE AC ⊥E DE（第8题）A．B ．C ．D ．二、填空题（每小题3分，共24分）9______．10．已知，则的度数为______．11．已知为连续的整数，且，则的值为______．12．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为______．（第12题）13．已知的三边长分别是，则的面积是______．14，那么的值为______．15．如图，在的网格中，______．（第15题）16．如图，是正方形内一点，连接．若，则的长为______．6595125165=,30ABC DEF A ︒∠=≌△△D ∠,a b a b <<a b +ABC △9cm,7cm,AC BC AB ==AB D AC E BCE △cm ABC △6cm 8cm 10cm 、、ABC △2cm ()210y ++=xy 23⨯12∠+∠=P ABCD PA PB PC 、、1,2,135AP BP APB ==∠=︒PC（第16题）三、解答题（共72分）17．（10分）（1）计算：（2）解方程：18．（10分）如图，已知点在一条直线上，．（第18题）（1）求证：；（2）若，求的长．19．（8分）如图，每个正方形网格的边长都是1，试判断的形状，并说明理由．（第19题）20．（8分）如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地面的高度为2.7米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.5米的学生正对门缓慢走到离门1.6米的地方时（米），感应门自动打开，求的长．（第20题）21．（8分）我们知道，长方形的对边平行且相等，四个角都是直角，即长方形中，．如图，在长方形中，，点为上一点，把沿折叠，点恰好落在的点处，求的长．()03.142π--()31640x +-=B E C F 、、、,,AB DF AC DE A D ==∠=∠//AC DE 13,5BF CE ==BC ABC △A AB CD 1.6BC =AD ABCD 90,,,//,//BAD B C ADC AB CD AD BC AD BC AB CD ∠=∠=∠=∠=︒==ABCD 7,25AB AD ==E BC ABE △AE B DE F BE（第21题）22．（8分）如图，在Rt 中，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点．（第22题）（1）求证：（2）当时，求点运动的时间．23．（10分）如图，在中，，点是的中点．将沿翻折得到，连接．（1）求证：；（2）若，求的值．24．（10分）如图1，在长方形中，，有一只蚂蚁从点处开始以每秒1个单位的速度沿边向点爬行，另一只蚂蚁从点以每秒1个单位的速度沿边向点爬行，蚂蚁的大小忽略不计，如果同时出发，设运动时间为秒．图1 图2ABC △90,7cm,5cm,ACB AC BC CD ∠=︒==AB E B BC 2cm /s E BC CD F A BCD∠=∠CF AB =E ACB △90,75ACB A ∠=︒∠=︒D AB ACD △CD ECD △BE //CD BE 4AB =BE ABCD 6,12AB BC ==P A AB B Q B BC C P Q 、（1）当时，的面积是______；（2）如图2，当是以为底的等腰三角形时，求的值；（3）当同时运动3秒时，点停止运动，点立即以原速向点返回，在返回的过程中，是否存在点，使得平分？若存在，求出点运动的时间，若不存在，请说明理由．八年级数学期中检测参考答案2023.11一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）题号12345678答案DCBDBACC二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）9．210．11．1112．1613．2414．15．4516．3三、解答题（共72分）17．（1）（2）18．（1）在和中（2）19．根据网格图，由勾股定理得：是直角三角形20．过点作于点，由题意可得在Rt 中，由勾股定理得即答：为．2t =PBQ△DPQ △PQ P Q 、P Q B Q DP ADQ ∠Q 30︒2-(132=---2=-+()3164x +=14x +=3x =ABC △DFE △AB DFA DAC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABC DFE ∴≌△△ACB DEF ∴∠=∠//AC DE ∴ABC DFE≌△△BC FE ∴=BE FC ∴=13,5BF CE == 4BE ∴=9BC ∴=2222313AB =+=2224652BC =+=2221865AC =+=135265+= 222AB BC AC ∴+=ABC ∴△D DE AB ⊥E 1.6, 2.7 1.5 1.2DE BC AE ===-=ADE △222AE DE AD +=2221.2 1.6AD +=2AD ∴=AD 2m21．折叠，点恰好落在线段上的点处在Rt 中，由勾股定理得22．（1）为边上的高，（2）①当点在射线上运动时在和中点运动的时间②当点在射线上运动时在和中点运动的时间当时，点运动的时间为1秒或6秒．B DE F ,90,,7BEA FEA AFE B BE FE AF AB ∴∠=∠∠=∠=︒===//AD BC DAE BEA FEA ∴∠=∠=∠25DE AD ∴==AFD△24DF ∴===1EF DE DF ∴=-=1BE ∴=CD AB 90ACB ∠=︒90ADC ACB ∴∠=∠=︒90ACD BCD A ACD ∴∠+∠=∠+∠=︒A BCD∴∠=∠E CE ,A BCD BCD FCE ∠=∠∠=∠ A FCE∴∠=∠ABC △CFE △A FECACB CEFAB CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABC CFE ∴≌△△7CE AC ∴==7512BE ∴=+=∴E 1226=÷=E CB ,A ECF ACB CEF∠=∠∠=∠ ABC △CFE △A ECF ACB CEFAB CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABC CEF ∴≌△△7CE AC ∴==752BE ∴=-=∴E 221=÷=∴CF AB =E23．（1），点是的中点沿翻折得到（2）连接是等边三角形由勾股定理得：24．（1）4（2）是以为底的等腰三角形当是以为底的等腰三角形时，（3）如图，过点作于点，连接平分，且，点运动，且RtRt 90,75ACB A ︒∠︒∠== D AB 12AD BD CD AB ∴===15ABC DCB ∴∠=∠=︒30ADC ∴∠=︒ACD △CD ECD △,30AD ED EDC ADC ∴=∠=∠=︒,60AD ED DB ADE ∴==∠=︒30DBE DEB ∴∠=∠=︒ADC DBE ∴∠=∠//CD EB∴AE,60AD ED ADE =∠=︒ ADE ∴△1,602AE AD AB DAE ∴==∠=︒18090AEB EAB ABE ∴∠=-∠-∠=︒ 42AB AE =∴= ∴222224212BE AB AE =-=-=BE ∴=DPQ △PQ DP DQ ∴=22DP DQ∴=2222AP AD DC CQ ∴+=+()221443612t t ∴+=+- 1.5t ∴=∴DPQ △PQ 1.5t =P PE DQ ⊥E PQDP ADQ ∠ADP QDP ∴∠=∠90,A DEP DP DP ︒∠=∠==ADP EDP ∴≌△△,12AP PE DE DA ∴=== P 3s 3AP ∴=3PB AB AP PE ∴=-==PQ PQ =∴PQE ≌△PQB △BQ EQ∴=222DQ DC CQ =+ ()()22123612BQ BQ ∴+=+-34BQ ∴=33214314t -∴=+=。
江苏省淮安市八年级上学期数学期中考试试卷
江苏省淮安市八年级上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共10分)1. （1分） (2019七下·江门期末) 在平面直角坐标系中，点的位置为（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （1分）下列函数既是一次函数又是正比例函数的是（）A . y＝3x2B . y＝C . y＝5x－4D . y＝－3x3. （1分）下列说法中错误的是A . 三角形的中线、角平分线、高线都是线段B . 任意三角形的外角和都是360°C . 有一个内角是直角的三角形是直角三角形D . 三角形的一个外角大于任何一个内角4. （1分） (2019七下·台州月考) 平面直角坐标系y轴上有一点P（m-1，m+3），则P点坐标是（）A . （-4，0）B . （0，-4）C . （4，0）D . （0，4）5. （1分）若等腰三角形的一个内角为50°，则另两个角的度数为（）A . 65°、65°B . 65°、65°或50°、80°C . 50°、80°D . 50°、50°6. （1分）直线y=2﹣x与y=﹣x+ 的位置关系是（）A . 平行B . 相交C . 重合D . 不确定7. （1分）(2019·道外模拟) 将直线沿轴向左平移1个单位，再沿轴向下平移1个单位后得到的直线解析式为（）A .B .C .D .8. （1分）已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（）A . 11B . 16C . 17D . 16或179. （1分）(2019·西安模拟) 如图，函数和的图象相交于点，坐标原点为O，轴于点B，的面积为3，则满足的实数x的取值范围是A .B .C .D .10. （1分） (2020八下·海安月考) 甲乙两车从A地驶向B地，甲车比乙车早出发2h，并且甲车在途中休息了0.5h，甲、乙两车离A地的距离y(km)与甲车行驶时间x(h)之间的函数图象如图所示.根据图象提供的信息，下列说法：①乙车速度比甲车慢；②a=40；③乙车比甲车早1.75小时到达B地.其中正确的有（）A . 0个B . 2个C . 1个D . 3个二、填空题 (共8题；共8分)11. （1分）(2017·抚州模拟) 在函数y= 中，自变量x的取值范围是________．12. （1分）写出一个平面直角坐标系中第三象限内点的坐标：________.13. （1分） (2018八上·沙洋期中) 等腰三角形腰上的高与另一腰的夹角为30°，则底角度数是________或________.14. （1分） (2019八上·西安月考) 在平面直角坐标系中，将 P（2，3）沿 x 轴向右平移 3 个单位后，再沿 y 轴向下平移 4个单位后，所得到的点坐标为________.15. （1分）(2017·陕西模拟) 如图，在第一象限内，点P（2，3），M（a，2）是双曲线y= （k≠0）上的两点，PA⊥x轴于点A，MB⊥x轴于点B，PA与OM交于点C，则△OAC的面积为________．16. （1分）函数y=kx+b的图象平行于直线y=﹣2x，且与y轴交于点（0，3），则此一次函数的解析式为________．17. （1分） (2019八上·泗阳期末) 已知点A（1，y1）、B（2，y2）都在直线y=﹣2x+3上，则y1与y2的大小关系是________.18. （1分） (2019八上·利辛月考) 如图，直线y=x+b与y=kx的图象交于点M(-5，5)，则不等式x+b>kx 的解集为________。