一类含绝对值函数值域的求法
求函数值域的方法
函数值域求法基本初等函数的值域：1、一次函数y=kx+b （k ≠0）的值域为R ；2、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的值域：当a ＞0时，值域为[ab ac 442-，﹢∞）；当a ＜0时，值域为（-∞，ab ac 442-]。
3、反比列函数y=xk（k ≠0，x ≠0）的值域为：{y|y ≠0，y ∈R} 4、指数函数y=a x（a ＞0且a ≠1）的值域为：R +5、对数函数y=㏒a x （a ＞0，且a ≠1）的值域R6、正、余弦函数的值域为：[-1，+1]，正、余切函数的值域为R函数值域求法观察法对于一些比较简单的函数，其值域可结合不等式的性质、图象通过观察得到。
如利用|x|≥0，2x ≥0，x ≥0等，直接得出它的值域．例1、 求下列函数的值域⑴ y ＝1x ． ⑵ y ＝25x +． 解：⑴ 由x ∈R ，且x ≠0，易知y ∈R 且x ≠0．所以函数的值域为{ y|y ∈R 且y ≠0}．⑵ ∵ x2≥0，∴25x +≥5．∴ 函数的值域为{ y| y ≥5}．例2、求函数x3y -=的值域。
解：∵x≥0 ∴- x ≤0 3—x ≤3。
故函数的值域是：（ —∞，3 ]例3、求函数[]2,1,211∈-=x xy 的值域。
解：由21≤≤x 得1213-≤-≤-x ，312111-≤-≤-x ，故函数的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--31,1.例4、求函数111y x =++的值域。
分析：首先由1x +≥0，得1x ++1≥1，然后在求其倒数即得答案。
解：1x +≥0∴1x ++1≥1，∴０＜111x ++≤１，∴函数的值域为（０，１]．例5、求242-+-=x y 的值域。
由绝对值函数知识及二次函数值域的求法易得：)[)[∞+-∈∞+∈-+-=,2,,024)(2y x x g 所以 例6、求函数y =211x +的值域 解：Θ 22111,011x x +≥∴<≤+ 显然函数的值域是：(]0,1配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域 例1、求下列函数的值域：⑴ y ＝－2x －4x ＋1，x ∈[－3，3]；⑵y ＝4x ＋41x －1．解：⑴配方，得y ＝－(x ＋2)2＋5，又x ∈[－3，3]，结合图象，知 函数的值域是{ y │－20≤y ＜5}⑵ ∵y ＝4x ＋41x －1＝2221x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋1≥1， 当且仅当221x x -＝0，即x ＝±1时取等号，∴ 函数y ＝x4＋41x －1的值域为[1，＋∞)．例2、求函数y=2x —2x+5，x ∈[-1，2]的值域。
函数求值域的方法
不同函数类型值域求解方法归纳题型一：二次函数的值域: 配方法(图象对称轴) 例1． 求6a )(2+-=x x x f 的值域解答：配方法：4a 64a 62a 6a )(2222-≥-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=x x x x f 所以值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+-，4a 62例2． 求6)(2+-=x x x f 在[]11，-上的值域解答：函数图像法：423216)(22+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=x x x x f画出函数的图像可知，6)(2+-=x x x f 在21=x 时取到最小值423，而在1-=x 时取到最大值8，可得值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡8423，。
例3． 求6a )(2+-=x x x f 在[]11，-上的值域解答：由函数的图像可知，函数的最值跟a 的取值有关，所以进行分类讨论： ① 当2a-≤时，对称轴在1-=x 的左侧，所以根据图像可知，a 7)1(max -==f f ，a 7)1(min +=-=f f , 此时值域为[]a 7a 7-+，.② 当0a2≤≤-时，对称轴在1-=x 与y 轴之间，所以根据图像可知，a 7)1(max -==f f ，4a 6)2a (2min-==f f ,此时值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--a 74a 62，. ③ 当2a0≤≤时，对称轴在y 轴与1=x 之间，所以根据图像可知，a 7)1(max +=-=f f ，4a 6)2a (2min-==f f ,所以此时值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-a 74a 62，④ 当a 2≤时，对称轴在1=x 的右侧，所以根据图像可知，a 7)1(max +==f f ，a 7)1(min -=-=f f所以此时的值域为[]a 7a 7+-，题型二：指数、对数函数的值域: 采用换元法例4． 求()62log )(22+-=x x x f 的值域解答：复合形式用换元：令622+-=x x t，则由例1可知，[)+∞∈,5t根据单调性，可求出t 2log 的值域为[)+∞,5log 2例5． 求624)(1++=+x x x f 的值域解答：因为()224x x=，所以，采用换元法，令xt 2=，则()+∞∈,0t则原函数变为622++t t，可以根据二次函数值域的求法得到值域为()+∞,6题型三：分式函数的值域分式函数的值域方法：(1) 分离变量(常数)法;(2) 反函数法(中间变量有界法);(3) 数形结合(解析几何法：求斜率);(4) 判别式法（定义域无限制为R ）; 例6． 求函数132)(++=x x x f 的值域 解法一：分离变量法。
求函数值域的几种常用方法
求函数值域的几种常用方法函数值域是指函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
求解函数值域通常有几种常用的方法，下面将对这些方法进行详细的介绍。
1.代入法：代入法是求解函数值域最直接的方法。
通过将定义域内的值代入函数表达式，得到对应的函数值，然后将这些函数值集合起来形成函数的值域。
例如对于函数f(x)=x²+1，我们可以将定义域内的各个数值代入该函数，计算函数值，然后再将函数值组成的集合确定为函数的值域。
2.图像法：图像法是通过绘制函数的图像来求解函数的值域。
对于一些简单的函数，可以直接绘制函数的图像，然后观察图像来确定函数的值域。
通过观察函数的图像，我们可以看出函数的上界、下界以及其他特征，从而确定函数的值域。
需要注意的是，通过图像法求解函数值域只能获得大致的范围，如果需要准确求解，请使用其他方法。
3.分析法：分析法是通过对函数表达式进行分析，找出函数的特点来求解函数的值域。
例如对于多项式函数，可以通过对其导数进行分析，找出导数的零点，以及函数在这些零点附近的变化情况，进而确定函数的最值和值域。
另外，还可以通过计算函数的极限来确定函数的值域，例如对于有界闭区间上的连续函数，它的值域就是该函数在这个区间内取得的最大值和最小值之间的闭区间。
4.反函数法：反函数法是通过求解函数的反函数来求解函数的值域。
如果函数存在反函数，并且已知反函数的定义域，则函数的值域就等于反函数的定义域。
可以通过求解函数的反函数来确定函数值域的范围。
5.值域的性质法：对于一些特殊的函数，可以利用其性质来求解函数的值域。
例如三角函数和指数函数等，我们可以利用其周期性、奇偶性和单调性等特点来确定函数的值域。
通过分析这些函数的性质，结合函数的定义域，可以直接得出函数的值域。
需要注意的是，对于复杂的函数，可能需要结合多种方法来求解函数的值域。
有时候还需要利用一些数学工具和理论来辅助求解，如极值定理、介值定理等。
最终获得函数的值域需要结合具体情况，并根据函数的定义域和性质来确定。
函数值域求法大全
函数值域求法大全函数的值域是由定义域和对应法则共同确定。
确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。
本文介绍了十一种函数值域求法。
首先是直接观察法，对于一些简单的函数，可以通过观察得到其值域。
例如，对于函数y=1/x，由于x不等于0，因此函数的值域为(-∞,0)U(0,+∞)。
再比如，对于函数y=3-x，由于x的取值范围为(-∞,+∞)，因此函数的值域为(-∞,3]。
其次是配方法，这是求二次函数值域最基本的方法之一。
例如，对于函数y=x^2-2x+5，将其配方得到y=(x-1)^2+4，由此可得出函数的值域为[4.+∞)。
还有判别式法，例如对于函数y=(1+x+x^2)/(1+x^2)，可以将其化为关于x的一元二次方程，然后根据判别式的值来确定函数的值域。
除此之外，还有其他的函数值域求法，如利用导数、利用反函数、利用奇偶性等方法。
这些方法各有特点，应根据具体情况选择合适的方法来求解。
总之，确定函数的值域是研究函数的重要一环，掌握好函数值域的求法可以帮助我们简化运算过程，事半功倍。
换元法是一种数学方法，可以通过简单的换元将一个函数变为简单函数。
其中，函数解析式含有根式或三角函数公式模型是其题型特征之一。
换元法不仅在求函数的值域中发挥作用，也是数学方法中几种最主要方法之一。
例如，对于函数 $y=x+x^{-1}$，我们可以令 $x-1=t$，则$x=t+1$。
代入原函数，得到$y=t^2+t+1=(t+1)^2+\frac{1}{4}$。
由于 $t\geq 0$，根据二次函数的性质，当 $t=0$ 时，$y$ 取得最小值 $1$，当 $t$ 趋近于正无穷时，$y$ 也趋近于正无穷。
因此，函数的值域为 $[1,+\infty)$。
又如，对于函数 $y=x^2+2x+1-(x+1)^2$，我们可以将 $1-(x+1)^2$ 化简为 $\frac{1}{2}-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2$，然后令 $x+1=\cos\beta$，则 $y=\sin\beta+\cos\beta+1$。
求函数的值域、最值的13种方法
⑦单调性法：先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种求解方
法在高考中是必考的，且多在解答题的某一问中出现．
⑧导数法：设函数 f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，则 f(x)在[a，b]上的最
大值和最小值应为 f(x)在(a，b)内的各极值与 f(a)，f(b)中的最大值和最小值．利用这种
方法二：（判别式法）由
1 y＝x＋ ＋1，得
x2＋(1－y)x＋1＝0.
x
∵方程有实根，∴Δ＝(1－y)2－4≥0.即(y－1)2≥4，∴y－1≤－2 或y－1≥2.得y≤－1 或y≥3.
1 （x＋1）（x－1）
方法三：（导数法）令 y′＝1－ ＝
<0，得－1<x<0 或 0<x<1.
x2
x2
∴函数在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，此时y≥3；函数在(－1，0)上递减，在(－∞，－1)上递增，
此时 y≤－1.∴y≤－1 或 y≥3.即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
(4)方法一：（单调性法）定义域为{x|x≥－1}，函数y＝2x，y＝ 1＋x均在[－1，＋∞)上递增，
故 y≥2×(－1)＋ 1＋（－1）＝－2.
方法二：（换元法）令 1＋x＝t，则 t≥0，且 x＝t2－1.
∴y＝2t2＋t－2＝2(t＋1)2－17≥－2(t≥0)．∴函数值域为[－2，＋∞)． 48
cx＋d
2x＋1 sinx＋2
③反解法：适用于分子、分母只含有一次项的函数（即有理分式一次型），也可用于易反解出
自变量的函数类型.
④配方法：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)及二次型函数 y＝a[f(x)]2＋b[f(x)]＋c(a≠0) ⑤换元法：换元法有两类，即代数换元和三角换元．如可用三角代换解决形如 a2＋b2＝1 及部
求函数值域的几种方法
求函数值域的几种方法函数是中学数学中最重要概念之一, 是中心数学的核心内容, 它不仅与方程和不等式有着本质的内在联系, 而且作为一种重要的思想方法, 在很多内容当中都能够看到它的作用, 这就决定了它在高考当中的重要地位. 函数的值域就是函数值的取值集合, 它虽然由函数的定义域和对应法则完全确定, 但是确定值域仍是较为困难的. 函数的值域经常穿插于高考的大小试题中, 它所涉及的知识面宽, 用到的数学思想方法多, 从而可供选择的方法也丰富多彩. 研究函数值域, 必须仔细观察函数表达式的结构特征, 采取相应的解法, 灵活机动地变通. 现归纳以下十二种方法: 1、观察法通过对函数定义域、性质的观察, 结合函数的解析式,求得函数的值域. 例1 求下列函数的值域：2(1)y x =; (2)y =(3)y x =; 1(4)y x=.第（1）（3）题，虽然定义域都是R ，但第（1）题是自变量取平方，第（3）题是取绝对值，因此他们的值域都是[0, ∞),观察第（2）题易知定义域为[0, ∞)，值域为[0, ∞)，而第（4）题定义域是(,0)(0,)-∞⋃+∞，从而该函数的值域为(,0)(0,)-∞⋃+∞。
求下列函数（5）2(21)y x =-；（6）y =（7）35y x =-；（8）123y x =-的值域。
此4小题是上4个小题的演变，观察易知其括号内、根号下、绝对值里和分式的分母都用一次式取代了原来的x,但都没有影响其值域。
第（5）（6）（7）题的值域依然是[0,)+∞，第（4）题的值域是(,0)(0,)-∞⋃+∞。
2不等式性质法函数由基本初等函数简单变形而来，可以通过基本函数的值域及不等式的性质逐步求出函数的值域。
例2 求下列函数的值域：（1）22(21)5y x =-+；（2）6y =；（3）352y x =-+；（4）3223y x =--解：（1）中因2(21)0x -≥，由不等式的性质，得22(21)0x -≥，从而22(21)55x -+≥，即得到所求函数的值域为[5,)+∞。
一道值域的求法
一道值域的求法【题目】求函数y x =+学生1给出的方法：方法一：因为刚刚学习了不等式，所以有些同学想到了柯西不等式 2222211221212()()()a b a b a a b b +≤++从而有22222((11)[](11)42x x x =⋅≤++=⨯所以|8x ≤所以x -≤+≤故函数的值域为[-. （表扬了这个学生，但是没有给他指出错误所在） 学生2给出向量方法：因为推导柯西不等式的时候用到向量方法，所以想到构造向量((1,1)m x n == ，根据||||||m n m n ⋅≤ 即可得出|8x +≤（下同方法一）这里有些学生发现这种方法其实就是第一种方法。
学生3 看到24x -联想到三角代换，令cos x α=2|cos |α==，于是函数变为2cos 2|sin |y αα=+，这里还带着绝对值，还是没法求。
这时有学生提出把α范围给缩小一下，有学生想到缩小到[0,]π（为什么呢？） 此时，2cos 2sin ,[0,]y αααπ=+∈再用辅助角公式),[0,]4y πααπ=+∈再根据三角函数知识得到函数的值域为[-。
此时有学生发现方法一和方法二的答案不对，范围扩大了，这是为什么呢？这个时候就引导学生注意利用不等式求值域与最值的时候一个非常关键的步骤就是验证等号成立的条件。
那么学生就问，难道不能用柯西不等式吗？我就让学生自己思考。
第二天，有学生提出了问题所在，等号成立条件不能满足((1,1)m x n == ，不等式||||||m n m n ⋅≤ 可以得到||||||||m n m n m n -≤⋅≤ ，那么右边等号成立的条件是两个向量方向相同，而左边等号成立的条件是两个向量方向相反。
向量(m x = 的坐标满足||2m = ，但是纵坐标大于或等于0，于是向量m 在一个半径为2，圆心在原点的上半圆，而向量n 是一个固定的向量，由图形可以看出，当向量 m 在A 点的时候，两个向量共线，取得最大值当向量 m 在B 点的时候，两个向量的夹角最大，从而数量积最小，取得最小值2-.从这道题目学习了那些思想方法？。
函数的值域(最值)的常见求法带解析
【知识要点】一、函数值域的定义函数值的集合叫做函数的值域.二、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑定义域，函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则.三、常见函数的值域1、一次函数的值域为.2、二次函数，当时的值域为，时的值域为.3、反比例函数的值域为.4、指数函数的值域为.5、对数函数的值域为.6、幂函数的值域为，幂函数的值域为.7、正弦函数、余弦函数的值域为，正切函数的值域为.四、求函数的值域常用的方法求函数的值域常用的方法有观察法、分离常数法、配方法、反函数法、换元法、判别式法、基本不等式法、单调性法、数形结合法、导数法、绝对值不等式法和柯西不等式法等.其中最常用的有“三数（函数、数形结合、导数）”和“三不（基本不等式、绝对值不等式、柯西不等式）”.五、函数的值域一定要用集合或区间来表示.六、函数的值域、取值范围和函数的最值实际上是同一范畴的问题，所以求函数值域的方法适用于求函数的最值和取值范围等.【方法讲评】方法六判别式法使用情景形如的函数.解题步骤一般先将函数化成二次方程，再利用判别式来求函数的值域.【例1】求函数的值域.【点评】（1）分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为的形式，再利用判别式加以判断.（2）函数经过变形后可以化为的形式后，要注意对是否为零进行分类讨论，因为它不一定是一元二次方程.（3）判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是）代回方程检验，把不满足题意的舍去.【反馈检测1】求函数的值域.方法七基本不等式法使用情景一般变量是正数，变量的和或积是定值.解题步骤一般先进行配凑，再利用基本不等式求函数的最值，从而得到函数的值域.【例2】已知，求函数的最小值.【解析】.=当且仅当，即时，上式等号成立.因为在定义域内，所以最小值为.【点评】（1）本题不能直接使用基本不等式，本题在利用基本不等式前，要对函数化简，要用到分离函数的方法对函数进行化简，再使用基本不等式.（2）很多函数在使用基本不等式之前都要进行化简和配凑，所以要注意观察函数的结构,再进行变形，再使用基本不等式.(3)利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”，三个条件缺一不可.【例3】已知，求函数的最大值.【点评】（1）基本不等式有二元基本不等式(和三元不等式.（2）基本不等式不仅适用于一般函数，也适用三角函数和其它所有函数，只要满足条件，就可以利用“一正二定三相等”来分析解答.【反馈检测2 】已知，，且，则的最小值为.【反馈检测3】【2017浙江，17】已知αR，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是___________．方法八单调性法使用情景函数的单调性容易判断.解题步骤先判断函数的单调性，再利用函数的单调性得到函数的值域.【例 4】求函数的值域.【点评】（1）本题先利用复合函数的单调性确定了函数的单调区间，从而得到函数的最大值和最小值，得到函数的值域.（2）判定函数的单调性常用的有定义法、图像法、复合函数分析法和导数法,注意灵活使用.【例5】求函数的值域.【解析】令，则在上都是增函数，所以在上是增函数当时，当时，故所求函数的值域为。
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ｘ＋２ １，
下面举例说明此类问题的一般解法。
例１．求函数Ｙ＝Ｉ—Ｘ２＋２ｘ一４ Ｉ的值域。 解：ｆ（ｘ）＝一ｘ２＋２ｘ一４＝一（ｘ一１）２—３≤三一３ 所以ｌ ｆ（ｘ）Ｉ≥３，因此Ｙ∈［３，＋ｏｏ） 例２．求函数ｙ＝Ｊ ｘ＋２
Ｉ＋ｌ
例５．求函数ｙ＝Ｉ鲁旧值域。 解：ｆ（ｘ）＝罢＝ｘ（ｘ≠±１）
解：可求得ｆ（ｘ）＝｛÷｝的值域为
ｆ（ｘ）∈（一ｃｏ，１）Ｕ（１，＋。ｏ），但因为ｆ（ｘ）可以取～１ 于是ｙ可以取１。因此ｙＥ［０．＋ｏｏ）
Ｉ可以取一切非负实数，而
１只能取不小于１的实数。
２．即使Ｉ ｆ（ｘ）ｌ，Ｉ ｇ（ｘ）Ｉ都能取一切非负实数， 『ｆ（ｘ）ｆ＋｜ｇ（ｘ）Ｊ也不一定能取一切非负实数。 如Ｉ ｘ＋２ Ｉ，『２ｘ一３ ｌ都能取一切非负实数，其和却 不能为零。因为要使其和为零。必须ｌ
不难解决。 演员，属排列问题，共有Ｐｉ种指导方法，最后依乘法原理，共有
ｒ、。ｒｐ２ｒ：
１
例３．六名歌唱演员分成四组，每组人数分别为１人，１人，
有多少种不同的配合方法？ 解：歌唱演员分组属均匀不编号分组，分组方法为
２人，２人，－ｆ５声乐教师分成两组，一组教师指导一组演员，问±｛薹善；：竺ｃ℃≯２＿１６２０种配合方法。
Ｘ一１
所以Ｉ ｆ（ｘ）Ｉ≠１。因此，ｙ∈［０，１）【Ｊ（１．４－ｏ。）
例６．求函数ｙ＝Ｉ普
解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ可求得ｆ（ｘ）＝
ｘ一１
的值域。
２ｘ一３
Ｉ的值域。
ｘ２一ｘ＋１
的值域为
解：若ｘ≥二｝，贝４
ｙ＝ｘ＋２＋２ｘ一３＝３ｘ一１
ｆ（ｘ）∈（一ＣＯ，一１］Ｕ［３，＋ｏｏ），若ｆ（Ｘ）≥３，贝４
ｆ（ｘ）ｆ≥３，若ｆ（Ｘ）≤一１，则Ｊ ｆ（ｘ）Ｊ≥１。因此，ｙ∈
４
２
万方数据
。黝缓缓６７荔缓貔‰。
青海教育２００２・ｌ一２
一类含绝对值函数值域的求法
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 张洁
青海教育 QINGHAI EDUCATION 2002(1)
本文链接：/Periodical_qhjy200201054.aspx
ＺＸＬＫＪＸ
一类含绝对值
’
若一２≤ｘ＜Ｔ３，则ｙ＝ｘ＋２＋（３－２ｘ）＝一ｘ＋５ 由一２≤ｘ＜丁３，得ｉ７＜一ｘ＋５≤７
若ｘ＜一２，则Ｙ＝（一ｘ一２）＋３—２ｘ＝一３ｘ＋１ 由ｘ＜一２，得一３ｘ＋１＞７
ｅ冯
数值域白匀求法
口张
洁
因此ｙ∈［丁７，＋ｏｏ）Ｕ（Ｔ７，７］Ｕ（７，＋。ｏ）＝［７２
＋ｏｏ）
在高中数学＜函数＞一章中涉及到求下列函数 的值域：（１）ｙ＝Ｉ ｘ一２ ｌ；（２）Ｙ＝『ｘ ２＋１ Ｉ；（３）Ｙ＝
ｘ２＋１ ｘ２—１
解：仿例２解法，可得
ｆ ｘ一３（当２≤ｘ≤３时），此时一１≤ｘ一３≤０； —ｘ＋１（当ｏ≤ｘ＜２时），此时一１＜一ｘ＋１≤１； 一Ｊ ７一‘１ —３ｘ＋１（当一ｌ≤ｘ＜ｏ时），此时１＜一３ｘ＋１≤４； Ｌ—ｘ＋３（当一２≤三ｘ＜一１时），此时４＜一ｘ＋３≤５ 因此ｙＥ［一１，５］
例４．求函数ｙ＝ｆ鲁旧值域。
例３．若Ｘ∈［～２，３］，求函数ｙ＝Ｉ
ｘ＋１ Ｉ的值域。
Ｘ一２
Ｉ＋Ｉ
ｘ
｜ｘ＋２｜＋『２ｘ＿３…４）ｙ－Ｉ并ｌ。许多学
生都不假思索地说是非负实数集。理由是：绝对值
是非负数，非负数的和也是非负数。可是只答对了 第一题，其余都错了，错误的原因在于忽视了： １．如果ｆ（ｘ）不能取一切实数，那么ｌ ｆ（ｘ）ｌ就不 一定能取一切非负实数。如ｘ２—１和ｘ２＋１都不能 取一切实数，ｌ
由ｘ≥丁３，得３Ｘ－１≥÷
［１，＋ｏｏ）
ｒ、ｌ，’ｌ，、４，、ｌ，、ｌ，、Ｚ，、２
去挑选，又有Ｐ；种，故总的分法数为÷菩丢；｝Ｐ；＝９０（种）±专；善；翌种，声乐教师分组属非均匀不编号分组，分组方法为
掌握了分组方法后，只要善于正确归类，许多分组问题便ＣｌＣｊ种。一组教师指导一组演员，相当于２组教师去指导４组