模糊C均值聚类 及距离函数的优缺点

K-均值聚类分析是一种硬划分，它把每一个待识别的对象严格的划分到某一类中，具有非此即彼的性质。

而实际上高光谱值目标在形态和类属方面存在着中介性，没有确定的边界来区分。

因此需要考虑各个像元属于各个类别的隶属度问题，进行软划分，从而更好的区分。

设要进行聚类分析的图像像元数N ，图像像元集合{}N x x x X ,...,,21=，其中
{}
T
p k k k k x
x x x ,...,,2
1=，p 为波段数。

设把图像分为C 个类别，每个类别的聚类中心
),...,,(21p i i i i v v v v =，聚类中心集合{}c v v v V ,...,,21=。

用ik u 表示像元k x 隶属于以i v 为中心的类别i 的隶属度，定义隶属度矩阵U 为[]N C ik u U ⨯=。

矩阵U 中每一列的元素表示所对应的像元隶属于C 个类别中各个类的隶属度。

满足一下约束条件：
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧≤≤===>∑∑==10,...2,1;,...,2,1. (101)
1ik C
i ik N
k ik u N k C i u u
对隶属度ik u 进行了迷糊化，ik u 可取0和1之间的任意实数，这样一个像元可以同时隶
属于不同的类别，但其隶属度的总和总是等于1，这符合高光谱像元的实际情况。

而属于硬聚类的K-均值聚类，其隶属度具有非此即彼的性质，隶属度ik u 只能取0或1。

定义目标函数J 为
∑∑==⋅=N k C
i ik m ik m d u V U J 11
2)()(),( 22)(i
k ik v
x d -=为Euclidean 距离；[)∞∈,1m 为模糊加权指数（当m=1时，同K-
均值的目标函数一致）。

最优化的类就是使目标函数取最小值的类，如果一类中的所有点都
贴近于它们的类中心，则目标函数很小。

FCM 算法步骤：
（1） 确定聚类数C ，加权指数m ，终止误差ε，最大迭代次数LOOP 。

（2） 初始化隶属度矩阵)
0(U
（3） 开始循环，当迭代次数为IT （IT=0,1,2…,C ）时，根据)
(IT U
计算C-均值向量，
即C i u x u U
N
k N
k m ik k m ik IT ,...,2,1],))(/()([1
1
)
(==∑∑==
（4） 对k=1,2,…,N ，按以下公式更新)
(IT U 为)
1(+IT U ： 若i k v x ≠对所有的i v (i=1,2,…,C)满足，则对此k x 计算
C i v x d d
u i k C
j m jk
ik ik ,...,2,1,,])([1112
=≠=-=-∑
若对某一个i v ，有k x 满足i k v x =，则对应此k x ，令)(0;1i j u u jk ik ≠==。

这样把聚
类中心与样本一致的情形去掉，把隶属度模糊化为0和1之间的实数。

（5） 若ε<+)1()
(-IT IT U U
或IT>LOOP ，停止；否则置IT=IT+1，并返回第三步。

FCM 算法允许自由选取聚类个数，每一向量按其指定的隶属度]1,0[∈ik u 聚类到每一聚类中心。

FCM 算法是通过最小化目标函数来实现数据聚类的。

欧氏距离是p 维波段亮度差异的总的贡献，但是欧氏距离具有多解性，例如“多维球面”上所有光谱向量Y 与光谱向量x 的距离均相等。

∑=-=p
t t i t
k ik
v x d 122)( 马氏距离比较欧式距离，欧式距离可检测特征空间中超球体结构的数据子集，而马氏距离可检测特征空间中超椭球体结构的数据子集。

虽然马氏距离比欧式距离更能反映光谱曲线的差异，但它仍具有多解性。

)()(1-2i k T i k ik v x C v x d --=
1-C 为标准协方差矩阵C 的逆矩阵，当I C =1-时，马氏距离就变成了欧式距离。

光谱角SAM ：
⎥
⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=∑∑∑===-2/1122/1121
2
1))(())(()(cos p
t t i p
t t k p
t t i t k v x v x α
类似于求两向量之间的夹角，两个光谱之间相似性度量并不受增益因素影响，因为两个光谱向量之间的角度不受向量本身长度的影响。

这一点在光谱分类上可以减弱目标对照度的影响(它的影响反映在同一方向直线的不同位置上)。