常用数论公式
常用函数公式运用
常用函数公式运用介绍常用函数公式及其运用是一个很广泛的话题。
由于篇幅有限，我将介绍一些常见的函数公式及其在数学、物理、工程和经济等领域的应用。
1.三角函数公式：- sin²x + cos²x = 1：这个简单的三角恒等式是很多三角函数相关公式的基础。
它在几何学、物理学和工程学中经常被用来证明三角形的恒等关系，以及计算角度间的关系。
- 三角函数的和差化积公式：例如sin(x+x) = sin x cos x +cos x sin x，这个公式在解决角度和方向问题时非常有用。
2.指数函数公式：-指数函数的性质e^(x+x)=e^x*e^x：这个公式在解决复利问题和连续增长模型时非常有用。
它被广泛应用于经济学中的复利计算和人口增长模型中。
- 牛顿冷却定律：温度变化率与温度差成正比，即dT/dt = -k(T-T_a)，其中k为比例常数，T为物体温度，T_a为环境温度。
这个公式描述了物体的温度随时间的变化，从而可以用来研究随时间变化的物理系统。
3.对数函数公式：- 对数函数的性质log(x * x) = log x + log x：这个公式在解决乘法问题时非常有用。
它在经济学、物理学和计算机科学中的各种模型中经常被应用。
-高斯分布公式：x=x^−((x−x)^2/2x^2)/(x√(2x))，其中x 为均值，x为标准差。
这个公式描述了一种常见的概率分布模型，广泛应用于统计学、金融学和工程学中。
4.多项式函数公式：-迪利克雷公式：x(x)=∑(x，x)x(x)=x，其中x(x)表示正整数x的因数个数，x(x)表示小于或等于x且与x互质的数的个数。
这个公式在数论中有重要的应用。
-贝塞尔函数公式：贝塞尔函数是一类特殊函数，用来解决边界值问题。
它们在物理学和工程学中广泛应用于波动现象、傅里叶分析和信号处理等领域。
5.微积分公式：-牛顿-莱布尼茨公式：∫(x,x)x'(x)xx=x(x)−x(x)，其中x'(x)表示函数x(x)的导数。
初数数学中的数论公式解析
初数数学中的数论公式解析数论作为数学的一个重要分支，研究整数的性质和相互关系。
在初等数论中，有许多重要的数论公式，它们能够帮助我们解决一些关于整数的问题。
本文将对一些常见的数论公式进行解析，帮助读者更好地理解和掌握数论知识。
一、欧拉函数公式欧拉函数是一个十分重要的数论函数，通常表示为φ(n)，表示小于等于n且与n互质的正整数的个数。
欧拉函数有一个重要的性质，即对于任意的正整数n，都有以下公式成立：φ(n) = n × (1 - 1/p₁) × (1 - 1/p₂) × ... × (1 - 1/pₙ)其中p₁, p₂, ..., pₙ是n的所有不同的素因子。
这个公式的解析非常简单明了：首先我们将n进行素因数分解，得到n的所有不同的素因子。
然后，对于每个素因子p，将1减去1/p的值，再将这些结果相乘，最后再乘以n，即可得到欧拉函数的值φ(n)。
二、费马小定理费马小定理是一个重要的数论定理，它表明如果p是一个素数，a 是一个整数且不被p整除，那么a的p-1次方除以p的余数等于1：a^(p-1) ≡ 1 (mod p)这个公式的解析也比较简单：根据费马小定理，我们可以利用这个公式来进行模幂运算。
首先，将指数p-1进行二进制拆分，然后利用模运算的性质求取每一位的幂运算结果，最后再将这些结果相乘，再进行一次模运算，即可得到最终结果。
三、威尔逊定理威尔逊定理是另一个与素数相关的重要数论定理，它表明如果p是一个素数，那么(p-1)!除以p的余数等于p-1：(p-1)! ≡ -1 (mod p)这个公式的解析稍微复杂一些。
首先，我们可以利用质数的定义以及基本的数论知识来证明威尔逊定理。
然后，我们可以通过数学归纳法来证明(p-1)! ≡ -1 (mod p)成立。
最后，利用模运算的性质，我们可以证明(p-1)!除以p的余数等于p-1。
四、高斯二项式定理高斯二项式定理是一个经典的数论定理，它可以用于计算组合数的模运算结果。
数学九大最美公式
数学九大最美公式1.欧拉公式：e^πi+1=02. 素数定理：π(x) ~ x/log(x)素数定理描述了随着自然数x的增长，不大于x的素数个数π(x)的增长趋势。
这个公式简洁地表达了素数在自然数中的分布规律，对于研究数论和密码学等领域有重要意义。
3.费马定理：a^n+b^n=c^n无整数解，其中a、b、c和n都是大于1的整数。
费马定理是数论中的一个著名问题，该定理在17世纪由费马提出，直到1995年才被安德鲁·怀尔斯证明。
这个公式承载着许多数学家长期追求的目标，它具有简单而优雅的形式，但困扰了数学界多年。
4.黎曼假设：ζ(s)=0，其中ζ(s)是黎曼ζ函数。
5. 傅里叶变换：F(x) = ∫f(t)e^(−2πixt)dt6.二项式定理：(a+b)^n=C(n,0)a^nb^0+C(n,1)a^(n−1)b^1+...+C(n,n−1)a^1b^(n−1)+C(n ,n)a^0b^n二项式定理描述了一个二次方的多项式的展开形式，并给出了各项系数的计算方法。
这个公式在组合学和概率论中广泛应用，也是高中数学中的常见内容。
7.爱因斯坦场方程：R_(μν)−1/2Rg_(μν)=8πGT_μν8. 熵的定义：S = −k∑P(i)logP(i)9.黑-斯科尔公式：V−E+F=2黑-斯科尔公式描述了欧几里得空间中的三维多面体的拓扑性质，它表明了顶点数、边数和面数之间的关系。
这个公式是数学中的一个经典结果，对于几何形状的分类和研究有重要意义。
这些数学公式代表了数学中的重要概念和原理，它们的美感在于它们的简洁性和丰富性。
这些公式饱含数学家们多年来的智慧和努力，推动着数学领域的发展。
通过研究和理解这些公式，我们可以更好地认识数学，并探索数学在自然科学、工程技术和社会科学中的应用。
数学公式大全 全套
数学公式大全全套
很抱歉，但由于数学公式实在太多，无法一一列举。
数学公式的
种类繁多，涵盖了代数、几何、微积分、概率统计、数论等多个领域。
以下将针对一些常见的数学公式进行简单的介绍：
1.代数方面的公式：
-二次方程的求根公式：对于二次方程ax^2 + bx + c = 0，解为
x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
-四则运算公式：加法a + b、减法a - b、乘法a * b、除法a / b。
-指数和对数公式：例如指数函数a^x和自然对数函数ln(x)。
2.几何方面的公式：
-三角函数公式：例如正弦、余弦、正切函数等。
-勾股定理：对于直角三角形，a^2 + b^2 = c^2，其中c表示斜边，a和b表示两条边的长度。
-各种图形的面积和周长公式：例如矩形、三角形、圆等。
3.微积分方面的公式：
-导数和微分公式：例如常见函数的导数求法和微分规则。
-积分公式：例如不定积分和定积分的计算方法，包括牛顿—莱布尼兹公式等。
4.概率统计方面的公式：
-概率公式：例如基本概率公式、条件概率、贝叶斯公式等。
-统计量的计算公式：例如均值、方差、标准差等。
5.数论方面的公式：
-质数相关公式：例如素数定理、埃拉托色尼筛法等。
-数字分解定理：任何一个大于1的正整数，都可以唯一地分解成质数的乘积。
以上只是数学公式的部分示例。
在实际应用中，会有更多的数学公式被用于解决各种问题。
如果有具体的数学公式需要了解，可以提供具体的公式名称，我可以为您提供相应的详细解答。
小学数学分类公式大全
小学公式大全一、计算板块公式1、加数＋加数＝和 和－一个加数＝另一个加数2、被减数－减数＝差 被减数－差＝减数 差＋减数＝被减数3、因数×因数＝积 积÷一个因数＝另一个因数4、被除数÷除数＝商 被除数÷商＝除数 商×除数＝被除数5、加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。
——a b b a +=+6、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，再同第三个数相加，和不变。
——)()(c b a c b a ++=++7、乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积不变。
——a b b a ⨯=⨯8、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，再和第三个数相乘，它们的积不变。
——)()(c b a c b a ⨯⨯=⨯⨯9、乘法分配律：两个数的和同一个数相乘，可以把两个加数分别同这个数相乘，再把两个积相加，结果不变。
——c a b a c b a ⨯+⨯=+⨯)(10、除法的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。
O 除以任何不是O 的数都得O 。
——b a b a b a 20201010÷=÷=÷11、乘法简便运算：被乘数、乘数末尾有O 的乘法，可以先把O 前面的相乘，零不参加运算，有几个零都落下，添在积的末尾。
12、通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母的分数，叫做通分。
（通分用最小公倍数）13、约分：把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫做约分。
（约分用最大公约数）14、分数的加减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。
异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。
——ac b a c a b ±=± 15、分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。
——cb a bc a ⨯=⨯ 16、分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作为分母。
常用数学知识
常用数学知识重要定理和公式一、常见递推关系1.Fibonacci 数列A(1)=1; A(2)=1;A(n)=A(n-1) + A(n-2);2.Catalan数：前16个:1 12 5 14 42 132 429 1430 4862 16796 58786 208012 742900 2674440 9694845 (在处理数据的过程中应该用到高精度）考虑具有n个结点不同形态的二叉树的个数H(n)H (0) = 1;H (n) = H (0) H (n-1) + H (1) H (n-2) + H (2) H (n-3) … + H (n-2) H (1) + H (n-1) H (0) ;通项公式为：H (n) = (1/ (n+1)) * C (n, 2n)可推导出：1．长度为n的0-1串中最多含k个1的例长度为N (N<=31)的01串中1的个数小于等于L的串组成的集合中找出按大小排序后的第I个01串。
2给定序列入栈出栈后可形成的情况总数为C(2n, n) –C(2n,n+1).例fjoi2000在一个列车调度站中，2条轨道连接到2条侧轨处，形成2个铁路转轨站，如下图所示。
其中左边轨道为车皮入口，右边轨道为出口。
编号为1，2，……，n的N个车皮从入口依次进入转轨站，由调度室安排车皮进出栈次序，并对车皮按其出栈次序重新编序a1,a2,……,an。
给定正整数N（1<=n<=300），编程计算右边轨道最多可以得到多少个不同的车皮编序方案。
例如当n=3时，最多得到5组不同的编序方案。
3. 第二类Stirling数：s(n,k)表示含n个元素的集合划分为k个集合的情况数A.分类：集合{An}存在，则有s(n-1,k-1); 不存在则An和放入k个集合中的任意一个，共k*s(n-1,k)种。
s(n,k)={ s(n-1,k-1)+k*s(n-1,k) (n>k>=1) }*:求一个集合总的划分数即为sigema(k=1..n) s(n,k) .4．数字划分模型*NOIP2001数的划分将整数n分成k份，且每份不能为空，任意两种分法不能相同(不考虑顺序)。
常用数论公式
数论公式费马小定理：a^p mod p=a (p为素数，且a不是p的倍数)卡特兰数前几项为（OEIS中的数列A000108）: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452令h(1)＝1,h(0)=1，catalan数满足递归式：h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2)另类递归式：h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);该递推关系的解为：h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)Catalan数通项公式：Cn=C(2n-2,n-1)/n递归式：Cn=∑Ci*C(n-i) (i=1..n-1,C1=C2=1)特征数字int main(){int i,j;memset(ans,0,sizeof(ans));ans[0] = 1;for (i=2;i<=500;i++){for (j=i;j<=500;j++){ans[j] += ans[j-i];ans[j]%= M;}}scanf("%d",&T);while (T--){scanf("%d",&n);printf("%d\n",ans[n]);}}1 0 1 12 2 4 4 7 8 12 14 21 24 34 41 55 66 88 105 137以下等式或者不等式均可以用数学归纳法予以证明！1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n^21*2 + 2*3 + 3*4 + ... + n*(n + 1) = n*(n + 1)*(n + 2) / 31*1! + 2*2! + 3*3! + ... + n*n! = (n + 1)! - 11^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n*(n + 1)*(2n + 1) / 61^2 - 2^2 + 3^2 -... + (-1)^n * n^2 = (-1)^(n + 1) * n * (n + 1) / 2 2^2 + 4^2 + ... + (2n)^2 = 2n*(n+1)*(2n+1) / 31/2! + 2/3! + ... + n/(n+1)! = 1 - 1/(n+1)!2^(n + 1) < 1 + (n + 1)2^n1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = (n*(n + 1) / 2)^21/(2*4)+1*3/(2*4*6)+1*3*5/(2*4*6*8)+...+(1*3*5*...*(2n-1))/(2*4*6*... *(2n+2)) = 1/2 - (1*3*5*...*(2n+1))/(2*4*6*...*(2n+2))1/(2^2-1) + 1/(3^2-1) + .. + 1 / ((n+1)^2 - 1) = 3/4 - 1/(2*(n+1)) - 1/(2*(n+2))1/2n <= 1*3*5*...*(2n-1) / (2*4*6*...*2n) <= 1 / sqrt(n+1) n=1,2...2^n >= n^2 , n=4, 5,...2^n >= 2n + 1, n=3,4,...r^0 + r^1 + ... + r^n < 1 / (1 - r), n>=0, 0<r<11*r^1 + 2*r^2 + ... + n*r^n < r / (1-r)^2, n>=1, 0<r<11/2^1 + 2/2^2 + 3/2^3 + ... + n /2^n < 2, n>=1(a(1)*a(2)*...*a(2^n))^(1/2^n) <= (a(1) + a(2) + ... + a(2^n)) / 2^n, n = 1, 2, ... a(i)是正数注:()用来标记下标cos(x) + cos(2x) + ... + cos(nx) = cos((x/2)*(n+1))*sin(nx/2) / sin(x/2), 其中sin(x/2) != 01*sin(x) + 2*sin(2x) + ... + n*sin(nx) = sin((n+1)*x) / (4*sin(x/2)^2) - (n+1)cos((2n + 1)/2 * x) / (2 * sin(x/2))其中sin(x/2) != 05^n - 1能被4整除7^n - 1能被6整除11^n - 6能被5整除6*7^n - 2*3^n能被4整除3^n + 7^n - 2能被8整除n条直线能将平面最多划分为(n^2 + n + 2) / 2个区域定义H(k) = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/k则1 + n/2 <=H(2^n) <= 1 + nH(1) + H(2) + ... + H(n) = (n + 1) * H(n) - n1*H(1) + 2*H(2) + ... + n*H(n) = n*(n + 1) / 2 * H(n + 1) - n * (n + 1) / 4欧拉函数的定义:E(k)=([1,n-1]中与n互质的整数个数).因为任意正整数都可以唯一表示成如下形式:k=p1^a1*p2^a2*……*pi^ai;(即分解质因数形式)可以推出:E(k)=(p1-1)(p2-1)……(pi-1)*(p1^(a1-1))(p2^(a2-1))……(pi^(ai-1))=k*(p1-1)(p2-1)……(pi-1)/(p1*p2*……pi);=k*(1-1/p1)*(1-1/p2)....(1-1/pk)在程序中利用欧拉函数如下性质，可以快速求出欧拉函数的值(a为N的质因素)若(N%a==0 && (N/a)%a==0) 则有:E(N)=E(N/a)*a;若(N%a==0 && (N/a)%a!=0) 则有:E(N)=E(N/a)*(a-1);若N>2, 欧拉函数E(N)必定是偶数若gcd(a,b) = 1,则有E(a * b) = E(a) * E(b)若一个数N分解成p1^a1 * p2^a2 * ... * pn^an，那么E(N) = p1^(a1 - 1) * (p1 - 1) * ... * pn^(an - 1) * (pn - 1)若N>1,不大于N且与N互素的所有正整数的和是1/2 * N * E(N)因子和: 若k=p1^a1*p2^a2...*pi^ai F(k) = (p1^0+...+p1^a1)*(p2^0+...+p2^a2)*...*(pi^0 + ... + pi^ai)没有一个平方数是以2,3,7,8结尾的max{a, b, c} - min{a, b, c} = (|a - b| + |b - c| + |a - c|) / 2ac % m = bc % m 可以得到 a % m' = b % m' m' = m / gcd(m, c)如果a % mi = b % mi (i=1,2,...,n) 并且 l = lcm(m1, m2, ..., mn) 则可以得到 a % l = b % lEuler 定理若gcd(a,m)==1, 则a^(phi(m)) % m = 1 % mFermat小定理p为素数，对任意的a有 a^p % p = a % pp为素数，对任意的a(a<p), a^(p-1) % p = 1 % pp为素数，对任意的a，若gcd(p,a)==1, a^(p-1) % p = 1 % p一个奇数a的平方减1都是8的倍数任意4个连续整数的乘积再加上1 一定是完全平方数当a是整数时，a(a-1)(2a-1)是6的倍数当a是奇数时, a(a^2 - 1)是24的倍数n次代数方程 x^n + a1 * x^(n-1) + ... + an-1*x + an = 0 的系数都是a1, a2, ... , an都是整数。
高中数学公式总结与知识点归纳
高中数学公式总结与知识点归纳高中数学是一门逻辑性强、应用性广泛的学科，公式是数学学习中不可缺少的一部分。
下面是高中数学常用公式总结与知识点归纳。
一、函数与方程1.直线方程：一般式、点斜式、两点式、截距式2.二次函数：顶点式、轴对称式、一般式3.分式函数：定义域、值域、图像性质4.指数函数：指数函数的性质、常用公式5.对数函数：对数函数的性质、常用公式6.幂函数：幂函数的性质、常用公式7.三角函数：正弦、余弦、正切等的定义、性质、常用公式二、数列与数学推理1.数列的概念：通项公式、递推公式、求和公式2.等差数列：常用公式、等差数列的性质3.等比数列：常用公式、等比数列的性质4.递归数列：斐波那契数列、倒数数列等的定义与性质5.数学推理：数学归纳法、逻辑推理等方法三、平面几何与立体几何1.二次曲线：椭圆、双曲线、抛物线等的定义、性质、常用公式2.三角形：三角形的性质、重要定理（如海伦公式、三角形内切圆、外接圆性质等）3.圆：圆的定义、性质、弦、弧、切线公式4.立体几何：立体图形的面积与体积计算公式四、概率与统计1.概率：事件的概率计算、事件的并、交、补等运算2.统计：频率、频数、均值、中位数、众数的计算与应用五、解析几何1.点、直线、平面、坐标系等基本概念2.直线的位置关系：平行、垂直、相交等3.抛物线、椭圆、双曲线等的解析方程六、数论与离散数学1.数论基本概念：素数、公倍数、最大公约数、最小公倍数等2.基本性质：同余、模运算等3.离散数学：排列、组合、概率论等的基本概念与计算公式以上只是高中数学公式和知识点的简单总结与归纳，实际上高中数学知识非常广泛深入，需要详细学习和掌握。
在学习过程中，积极总结公式与知识点，将其应用于解题，深化对数学知识的理解与掌握。
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数论公式费马小定理：a^p mod p=a (p为素数，且a不是p的倍数)卡特兰数前几项为（OEIS中的数列A000108）: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452令h(1)＝1,h(0)=1，catalan数满足递归式：h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2)另类递归式：h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);该递推关系的解为：h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)Catalan数通项公式：Cn=C(2n-2,n-1)/n递归式：Cn=∑Ci*C(n-i) (i=1..n-1,C1=C2=1)特征数字int main(){int i,j;memset(ans,0,sizeof(ans));ans[0] = 1;for (i=2;i<=500;i++){for (j=i;j<=500;j++){ans[j] += ans[j-i];ans[j]%= M;}}scanf("%d",&T);while (T--){scanf("%d",&n);printf("%d\n",ans[n]);}}1 0 1 12 2 4 4 7 8 12 14 21 24 34 41 55 66 88 105 137以下等式或者不等式均可以用数学归纳法予以证明！1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n^21*2 + 2*3 + 3*4 + ... + n*(n + 1) = n*(n + 1)*(n + 2) / 31*1! + 2*2! + 3*3! + ... + n*n! = (n + 1)! - 11^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n*(n + 1)*(2n + 1) / 61^2 - 2^2 + 3^2 -... + (-1)^n * n^2 = (-1)^(n + 1) * n * (n + 1) / 2 2^2 + 4^2 + ... + (2n)^2 = 2n*(n+1)*(2n+1) / 31/2! + 2/3! + ... + n/(n+1)! = 1 - 1/(n+1)!2^(n + 1) < 1 + (n + 1)2^n1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = (n*(n + 1) / 2)^21/(2*4)+1*3/(2*4*6)+1*3*5/(2*4*6*8)+...+(1*3*5*...*(2n-1))/(2*4*6*... *(2n+2)) = 1/2 - (1*3*5*...*(2n+1))/(2*4*6*...*(2n+2))1/(2^2-1) + 1/(3^2-1) + .. + 1 / ((n+1)^2 - 1) = 3/4 - 1/(2*(n+1)) - 1/(2*(n+2))1/2n <= 1*3*5*...*(2n-1) / (2*4*6*...*2n) <= 1 / sqrt(n+1) n=1,2...2^n >= n^2 , n=4, 5,...2^n >= 2n + 1, n=3,4,...r^0 + r^1 + ... + r^n < 1 / (1 - r), n>=0, 0<r<11*r^1 + 2*r^2 + ... + n*r^n < r / (1-r)^2, n>=1, 0<r<11/2^1 + 2/2^2 + 3/2^3 + ... + n /2^n < 2, n>=1(a(1)*a(2)*...*a(2^n))^(1/2^n) <= (a(1) + a(2) + ... + a(2^n)) / 2^n, n = 1, 2, ... a(i)是正数注:()用来标记下标cos(x) + cos(2x) + ... + cos(nx) = cos((x/2)*(n+1))*sin(nx/2) / sin(x/2), 其中sin(x/2) != 01*sin(x) + 2*sin(2x) + ... + n*sin(nx) = sin((n+1)*x) / (4*sin(x/2)^2) - (n+1)cos((2n + 1)/2 * x) / (2 * sin(x/2))其中sin(x/2) != 05^n - 1能被4整除7^n - 1能被6整除11^n - 6能被5整除6*7^n - 2*3^n能被4整除3^n + 7^n - 2能被8整除n条直线能将平面最多划分为(n^2 + n + 2) / 2个区域定义H(k) = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/k则1 + n/2 <=H(2^n) <= 1 + nH(1) + H(2) + ... + H(n) = (n + 1) * H(n) - n1*H(1) + 2*H(2) + ... + n*H(n) = n*(n + 1) / 2 * H(n + 1) - n * (n + 1) / 4欧拉函数的定义:E(k)=([1,n-1]中与n互质的整数个数).因为任意正整数都可以唯一表示成如下形式:k=p1^a1*p2^a2*……*pi^ai;(即分解质因数形式)可以推出:E(k)=(p1-1)(p2-1)……(pi-1)*(p1^(a1-1))(p2^(a2-1))……(pi^(ai-1))=k*(p1-1)(p2-1)……(pi-1)/(p1*p2*……pi);=k*(1-1/p1)*(1-1/p2)....(1-1/pk)在程序中利用欧拉函数如下性质，可以快速求出欧拉函数的值(a为N的质因素)若(N%a==0 && (N/a)%a==0) 则有:E(N)=E(N/a)*a;若(N%a==0 && (N/a)%a!=0) 则有:E(N)=E(N/a)*(a-1);若N>2, 欧拉函数E(N)必定是偶数若gcd(a,b) = 1,则有E(a * b) = E(a) * E(b)若一个数N分解成p1^a1 * p2^a2 * ... * pn^an，那么E(N) = p1^(a1 - 1) * (p1 - 1) * ... * pn^(an - 1) * (pn - 1)若N>1,不大于N且与N互素的所有正整数的和是1/2 * N * E(N)因子和: 若k=p1^a1*p2^a2...*pi^ai F(k) = (p1^0+...+p1^a1)*(p2^0+...+p2^a2)*...*(pi^0 + ... + pi^ai)没有一个平方数是以2,3,7,8结尾的max{a, b, c} - min{a, b, c} = (|a - b| + |b - c| + |a - c|) / 2ac % m = bc % m 可以得到 a % m' = b % m' m' = m / gcd(m, c)如果a % mi = b % mi (i=1,2,...,n) 并且 l = lcm(m1, m2, ..., mn) 则可以得到 a % l = b % lEuler 定理若gcd(a,m)==1, 则a^(phi(m)) % m = 1 % mFermat小定理p为素数，对任意的a有 a^p % p = a % pp为素数，对任意的a(a<p), a^(p-1) % p = 1 % pp为素数，对任意的a，若gcd(p,a)==1, a^(p-1) % p = 1 % p一个奇数a的平方减1都是8的倍数任意4个连续整数的乘积再加上1 一定是完全平方数当a是整数时，a(a-1)(2a-1)是6的倍数当a是奇数时, a(a^2 - 1)是24的倍数n次代数方程 x^n + a1 * x^(n-1) + ... + an-1*x + an = 0 的系数都是a1, a2, ... , an都是整数。
如果它有有理数的根，证明这个根一定是整数，而且这个数一定是an的因子。
如果不是整数，就一定是无理数。
设a,b都是正整数，a<b而gcd(a,b) = 1 ,如果存在一个素数p，它能够整除b，但是不能够整除10，则a/b一定不能够化成有限小数。
如果b=2^a * 5^b，其中a,b都是非负整数，则a/b能化成有限小数。
设0<a<b, 且gcd(a,b) = 1, 如果a/b能表示成纯循环小数，则我们有gcd(b, 10) = 1。
设0<a<b, 且gcd(a,b) = 1, 令h是一个最小的正整数，使得10^h 与1 关于b 同余，那么a/b可以表示成纯循环小数0.d1d2d3...dh。
设b是一个正整数且gcd(10, b) = 1，令h是一个最小的正整数，能使得10^h 与1 关于b同余，则h能够整除Euler(b)设a, b, b1都是正整数，a < b, gcd(a, b) = 1, b1 > 1, gcd(b1, 10) = 1。
b = 2^c * 5^d * b1, 其中c， d都是非负整数，且不同时为0，令h是一个最小的正整数，使得 10^h 与 1 关于b1同余, 则当c>=d时，我们有a/b = 0.a1a2...aca'(c+1)...a'(c + h) ，而当 c < d时，我们有a/b = 0.a1a2...ada'(d+1)...a'(d + h)设0.a1a2...an...不能换成有限小数，也不能化成循环小数，则它不能化成分数。
设p是一个素数，m是一个正整数且m=na+b其中a是一个非负整数而b是一个不大于n-1的非负整数。
令a=p^m, 当b=0的时候，a的开n次方是一个整数，当1<= b <= n - 1时，a的开n次方不能表示为分数。
设p是一个素数，m是一个正整数且m=na+b其中a是一个非负整数而b是一个不大于n-1的非负整数。