人教课标版高中数学必修5《正余弦定理应用举例》教学设计

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《正弦定理和余弦定理的实际运用举例》教学设计

《正弦定理和余弦定理的实际运用举例》教学设计正弦定理和余弦定理的实际运用举例教学设计简介本教学设计旨在教授正弦定理和余弦定理的实际运用方法。

通过实例演示和练题的形式，帮助学生理解和掌握这两个几何定理的应用场景。

教学目标- 理解正弦定理和余弦定理的概念和原理- 掌握正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用方法- 进一步发展解决几何问题的能力教学内容正弦定理- 介绍正弦定理的概念和公式（a/sinA = b/sinB = c/sinC）- 解释正弦定理的几何意义和运用场景- 演示实际问题中如何利用正弦定理求解未知变量余弦定理- 介绍余弦定理的概念和公式（c² = a² + b² - 2abcosC）- 解释余弦定理的几何意义和运用场景- 演示实际问题中如何利用余弦定理求解未知变量实际运用举例- 提供几个实际问题的案例，涉及三角形的边长和角度- 分步引导学生运用正弦定理和余弦定理解决这些问题- 给予学生充足的练机会，以加深对定理应用的理解和熟练度教学步骤1. 引入：复三角形的基本概念和知识点2. 正弦定理：- 介绍正弦定理的公式和使用方法- 演示一个实际问题的解决过程，利用正弦定理求解未知变量- 学生模仿演示并完成相关练题3. 余弦定理：- 介绍余弦定理的公式和使用方法- 演示一个实际问题的解决过程，利用余弦定理求解未知变量- 学生模仿演示并完成相关练题4. 实际运用举例：- 提供几个实际问题的案例，涉及三角形的边长和角度- 分组或个人完成案例分析和解决过程- 学生通过小组或个人报告展示解决思路和结果5. 总结与讨论：- 综合讨论学生的解决思路和方法的优劣- 引导学生总结出正弦定理和余弦定理在解决实际问题中的重要性和应用价值教学评估1. 参与度评估：观察学生在课堂中的积极参与程度和问题解答能力2. 练成绩评估：通过练题的完成情况和准确度，进行学生对正弦定理和余弦定理的理解和应用评估3. 案例分析评估：评估学生在实际问题解决中的思考能力和解决方法的合理性参考资源1. 《高中数学教材》2. 互动教学软件和课件3. 个人和小组练习题。

高中数学必修5《正弦定理和余弦定理》教案

高中数学必修5《正弦定理和余弦定理》教案高中数学必修5《正弦定理和余弦定理》教案【一】教学准备教学目标进一步熟悉正、余弦定理内容，能熟练运用余弦定理、正弦定理解答有关问题，如判断三角形的形状，证明三角形中的三角恒等式.教学重难点教学重点：熟练运用定理.教学难点：应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化.教学过程一、复习准备：1. 写出正弦定理、余弦定理及推论等公式.2. 讨论各公式所求解的三角形类型.二、讲授新课：1. 教学三角形的解的讨论：① 出示例1：在△ABC中，已知下列条件，解三角形.分两组练习→ 讨论：解的个数情况为何会发生变化?②用如下图示分析解的情况. (A为锐角时)② 练习：在△ABC中，已知下列条件，判断三角形的解的情况.2. 教学正弦定理与余弦定理的活用：① 出示例2：在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC=6∶5∶4，求最大角的余弦.分析：已知条件可以如何转化?→ 引入参数k，设三边后利用余弦定理求角.② 出示例3：在ΔABC中，已知a=7，b=10，c=6，判断三角形的类型.分析：由三角形的什么知识可以判别? → 求最大角余弦，由符号进行判断③ 出示例4：已知△ABC中，，试判断△ABC的形状.分析：如何将边角关系中的边化为角? →再思考：又如何将角化为边?3. 小结：三角形解的情况的讨论;判断三角形类型;边角关系如何互化.三、巩固练习：3. 作业：教材P11 B组1、2题.高中数学必修5《正弦定理和余弦定理》教案【二】一)教材分析(1)地位和重要性：正、余弦定理是学生学习了平面向量之后要掌握的两个重要定理，运用这两个定理可以初步解决几何及工业测量等实际问题，是解决有关三角形问题的有力工具。

(2)重点、难点。

重点：正余弦定理的证明和应用难点：利用向量知识证明定理(二)教学目标(1)知识目标：①要学生掌握正余弦定理的推导过程和内容;②能够运用正余弦定理解三角形;③了解向量知识的应用。

正余弦定理的应用举例教案

正余弦定理的应用举例教案一、教学目标1. 理解正余弦定理的概念及其在几何中的应用。

2. 学会运用正余弦定理解决实际问题，提高解决问题的能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。

二、教学内容1. 正余弦定理的定义及公式。

2. 正余弦定理在直角三角形中的应用。

3. 正余弦定理在非直角三角形中的应用。

4. 正余弦定理解决实际问题举例。

三、教学重点与难点1. 教学重点：正余弦定理的定义及公式，正余弦定理在几何中的应用。

2. 教学难点：正余弦定理在非直角三角形中的应用，解决实际问题。

四、教学方法1. 采用讲授法讲解正余弦定理的定义及公式。

2. 利用案例分析法讲解正余弦定理在直角三角形和非直角三角形中的应用。

3. 利用小组讨论法解决实际问题。

五、教学过程1. 引入：通过讲解正弦、余弦的概念，引导学生理解正余弦定理的背景。

2. 讲解：详细讲解正余弦定理的定义及公式，结合实际例子，让学生理解并掌握定理的应用。

3. 练习：布置练习题，让学生运用正余弦定理解决直角三角形和非直角三角形的问题。

4. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用正余弦定理进行解决，培养学生的解决问题的能力。

5. 小组讨论：让学生分组讨论，分享各自的解题思路和方法，培养学生的团队协作能力。

6. 总结：对本节课的主要内容进行总结，强调正余弦定理在几何中的应用及其重要性。

7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。

六、教学评估1. 课堂练习：通过课堂练习，了解学生对正余弦定理的理解和应用情况。

2. 课后作业：布置有关正余弦定理应用的作业，收集并批改，分析学生的掌握情况。

3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，了解他们的合作能力和问题解决能力。

七、教学反思1. 教师应根据学生的反馈，及时调整教学方法和进度。

2. 对于学生的共性问题，应加强讲解和辅导。

3. 鼓励学生积极参与课堂和课后实践，提高他们的实际应用能力。

八、拓展与延伸1. 引导学生思考正余弦定理在其他领域的应用。

人教课标版高中数学必修五《正余弦定理应用举例》教案-新版

第一章解三角形1.2正余弦定理应用举例一、教学目标1.核心素养通过学习正余弦定理应用举例，初步形成基本的数学抽象、逻辑推理与运算能力2.学习目标应用正余弦定理解决三角形相应问题、解决实际问题 .3.学习重点综合运用正余弦定理解三角形问题和实际问题 .4.学习难点正余弦定理与三角函数知识的综合运用.二、教学设计(一)课前设计1.预习任务任务阅读教材P11-P16.思考:正余弦定理的内容是什么？利用正余弦定理求解实际问题的基本步骤是什么?题中为什么要给出这些已知条件，而不是其他条件？2.预习自测1.在△ ABC 中，若Z A= 60" B= 45°,BC= 3也，则AC =()A.4 3B.2 .3C.33D.方答案:B.2.已知AABC中,a、b、c分别为A,B,C的对边,a =4,b =4启,N A = 30：则£B等丁A.30B.30 '或150 ：C.60D.60 '或120 =答案:D.3.如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点测出AC的距离为50m,Z ACB=45〉,Z CAB =105。

后,就可以计算出A、B两点的距离为（）A.50、.2mB.50 ,3mC.25、、2mD.E2答案:A.（二）课堂设计1.知识回顾（1）正弦定理和余弦定理(2)在AABC中，已知a、b和角A时，角的情况如下:2.问题探究问题探究一正弦定理与余弦定理•活动一回顾正弦定理任意三角形中，都有= 上=工.sin A sin B sin C■活动二回顾正弦定理能解决的问题类型一般地，我们把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题？(1)已知三角形的两个角(也就知道了第三个角)与一边，求解三角形；(2)已知三角形的任意两边和其中一边的对角，求解三角形.■活动三余弦定理及其所能求解的问题类型利用余弦定理可以求解如下两类解三角形的问题：(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的火角，求第三边和其他两个角.问题探究二掌握以下几个常用概念坡度:坡度---沿坡向上的方向与水平■方向的火角.仰角:视线方向向上时与水平■线的火角.(反之为俯角).方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平■转角.问题探究三利用正余弦定理解决实际问题|重点、难点知识■活动一初步运用正余弦定理测量建筑物高度例1:AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.解析：【知识点：正余弦定理，解三角形；数学思想：数形结合】详解:选择基线HG,使H、G、B三点共线，欲求AB,先求AE,在MCE中，可测得角a，只需求出AC就可得到AE,在MCD中，可测得角8，线段DC,乂有立，故可求得AC.•活动二设计求解有一个不可到达或两点都不可到达的点之间的距离例2:如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧, 在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离是55m^ BA^ 60°^ AC^ 7S5.#A、B两点的距离.B解析：【知识点：正余弦定理，解三角形;数学思想:数形结合】详解:在三角形ABC中,N B =45\由正弦定理可知55 55( 3 1)AB = -------- sin 75 = ------ m.sin 45 2例3:如图,A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法.B解析：【知识点：正余弦定理，解三角形;数学思想:数形结合】详解:这是例2的变式题,研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题.首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点.在所在的河岸边选定点C、D,测出ma四个角的大小和C、D问的距离，根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC,再利用余弦定理可以计算出AB的距离.3.课堂总结【知识梳理】(1)正弦定理:在△ ABC中,具=—'=—、=2R (R^AABC的外接圆直径).sin A sin B sinC(2)余弦定理:对丁任意的一个三角形，都有a2=b2c2-2bccos A ,b2=c2a2-2accosB ,c2= a2b2-2abcosC .b2c2-a2c2a2-b2a2b2-c2公式还可以变形为：cos A ,cosB ,cosC .2bc 2ca 2ab(3)几个测量中常用概念坡度:坡度---沿坡向上的方向与水平■方向的火角.仰角:视线方向向上时与水平■线的火角.(反之为俯角).方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平■转角.【重难点突破】(1)运用正余弦定理时，要厘活定理能解决的问题类型，要理活题目条件，合理选择定理求解问题.(2)常见实际问题中的一组已知条件，常隐含着对丁这类测量问题在某一种特定情境和条件限制下的一个测量方案，在这种情境与条件限制下，别的方案中的量可能无法测量出来，因而不能实施别的测量方案.4.随堂检测11.在AABC 中，内角A, B,C 的对边分力U 为a, b,c,右asm B cosC+csin B cos A = b, 2且 a Ab,则Z B=( ). _ - 2二_ 5二A" g B. g C. D. ~-【知识点：正弦定理、解的个数的判断；数学思想:数形结合】解:A2.在锐角AABC中,角A,B所对的边长分另U为a,b.若2asinB = V3b,则角A等丁( )n n Ji KA.我B.g C- D.-【知识点：正弦定理】解:D3.在△ ABC 中，N ABC =^,AB =握,BC =3，贝U sin/BAC =( )4A.J0B.MC.世D.^10 5 10 5【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:C2、24.如图在AABC中,已知点D在BC边上,ADAC, sin N BAC = ——,3AB=^2,AD =3,则BD 的长为B D C【知识点：正余弦定理；数学思想:数形结合】解：、、35.设△ ABC中角A, B, C所对的边分别为,b ,,若bcosC+ccosB = asin A,则^ABC的形状为( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定【知识点：正弦定理、余弦定理】解:B6.在MBC 中，若(a + b + c)(a + b — c) = 3ab ,且sin C = 2sin AcosB ,则AABC 是()A.等边三角形B.等腰三角形，但不是等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形，但不是等腰三角形【知识点：余弦定理】解:A(三)课后作业基础型自王突破1.如图，某人为了测量某建筑物两侧A.B问的距离(在A,B处相互看不到对方)，选定了一个可看到A、B两点的C点进行测量，你认为测量时应测量的数据是【知识点：实际问题，解三角形】解:a，b，了2.如图，一根长为2米的木棒AB斜靠在墙AC上,£ABC = 60°，若AB滑动至DE 位置，且AD=(V3-V2)米,问木棒AB中点O所经过的路程为米.【知识点：正余弦定理】解:一.123.在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位丁P点,一分钟后，其位置在Q点,且ZPOQ =9。

高中数学《正余弦定理应用举例》公开课优秀教学设计

高中数学《正余弦定理应用举例》公开课优秀教学设计本节课是一节实际应用课，主要研究正弦定理、余弦定理及三角形中的几何计算。

通过解决实际问题，引领学生认识问题、分析问题并最终解决问题。

二、教学目标设置根据学生的认知水平，确定本节课的教学目标：知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决有关测量距离的实际问题，了解测量的方法和意义。

在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法，搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题和基本图形和基本等量关系。

过程与方法：采用启发与尝试的方法，让学生在解决实际问题中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。

通过解三角形的应用的研究，提高解决实际问题的能力，让学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用。

情感、态度、价值观：激发学生研究数学的兴趣，并体会数学的应用价值。

培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力。

进一步培养学生研究数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力。

三、学生学情分析本节课的教学对象是XXX高二年级的学生。

学生已经研究了正弦定理和余弦定理，能够运用解决一些三角形问题，但在运用正弦定理和余弦定理解三角形的时候不能将实际问题转化成数学问题，构造模型的能力有待提高。

难点：1.实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解。

2.根据题意建立数学模型，画出示意图。

突破策略：1.在探索概念阶段，让学生和老师共同完成例1，让学生体会实际问题建立数学模型，解答数学模型，再得到实际问题解的过程。

2.在应用概念阶段，通过对解答过程的分析，帮助学生掌握在实际问题中找寻可解三角形的实际过程。

3.教师启发引导，组织学生交流研讨，展现思维过程。

五、教学过程设计教学过程】一、创设情境，明确目标。

在古代，天文学家没有先进的仪器，却能够估算出地球和月亮之间的距离。

人教版高中数学必修⑤《正、余弦定理的应用》教学设计精品文档13页

课题：必修⑤正、余弦定理的应用三维目标：1．知识与技能（1）能够运用正弦定理、余弦定理以及相关的三角知识和方法解决一些有关测量距离、底部不可到达的物体高度测量、有关计算角度等实际问题，并了解常用的测量相关术语；（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的较为综合的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用；（3）提高分析问题、解决问题的能力，增强应用意识，并加强动手操作能力。

2．过程与方法（1）结合学生的实际情况，充分运用【合作探究、分层推进教学法】，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。

对于例1这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正。

（2）引导学生运用运用正、余弦定理、面积公式及相关的三角知识，通过合作探究、争辩、交流，解决各类关于三角形的各类实际问题，不但进一步认清刚学的两个定理的本质，还能复习巩固前面所学习的三角知识和基本方法；（3）在体验知识的运用过程和合作探究过程的同时，不断认识三角知识的工具性作用及所带来的转化思想及数形结合思想，锻炼抽象思维能力和推理论证能力；（4）培养学生分析问题、解决问题的能力及钻研精神，培养学生的运算能力、严谨的思维习惯以及解题的规范性。

3．情态与价值观（1）通过三角知识的进一步拓展和运用，体会数学知识抽象性、概括性和广泛性，培养学生学习数学的兴趣，形成学数学、用数学的思维和意识，培养学好数学的信心，为远大的志向而不懈奋斗；（2）通过对三角知识的进一步学习及探索，不断培养自主学习、主动探索、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，并提高参与意识和合作精神，并进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验。

《余弦定理、正弦定理应用举例》教案、导学案、课后作业

《6.4.3 余弦定理、正弦定理》教案第3课时余弦定理、正弦定理应用举例【教材分析】三角形中的几何计算问题主要包括长度、角、面积等，常用的方法就是构造三角形，把所求的问题转化到三角形中，然后选择正弦定理、余弦定理加以解决，有的问题与三角函数联系比较密切，要熟练运用有关三角函数公式.【教学目标与核心素养】课程目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语；2、激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力.数学学科素养1.数学抽象：方位角、方向角等概念；2.逻辑推理：分清已知条件与所求，逐步求解问题的答案；3.数学运算：解三角形；4.数学建模：数形结合，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解．【教学重点和难点】重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解；难点：根据题意建立数学模型，画出示意图.【教学过程】一、情景导入在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，但是没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。

于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。

那么运用正弦定理、余弦定理能否解决这些问题？又怎么解决？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本48-51页，思考并完成以下问题1、方向角和方位角各是什么样的角？2、怎样测量物体的高度？3、怎样测量物体所在的角度？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1、实际测量中的有关名称、术语四、典例分析、举一反三题型一测量高度问题例1 济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A 点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2 m ，到达B 点，测得泉标顶部仰角为80°.你能帮李明同学求出泉标的高度吗？(精确到1 m)【答案】泉城广场上泉标的高约为38 m.【解析】如图所示，点C ，D 分别为泉标的底部和顶端．依题意，∠BAD ＝60°，∠CBD ＝80°，AB ＝15.2 m ，则∠ABD ＝100°，故∠ADB ＝180°－(60°＋100°)＝20°.在△ABD 中，根据正弦定理，BD sin 60°＝AB sin ∠ADB . ∴BD ＝AB ·sin 60°sin 20°＝15.2·sin 60°sin 20°≈38.5(m)．在Rt △BCD 中，CD ＝BD sin 80°＝38.5·sin 80°≈38(m)，即泉城广场上泉标的高约为38 m.解题技巧（测量高度技巧）(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．跟踪训练一1、乙两楼相距200 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是多少？【答案】甲楼高为200 3 m ，乙楼高为40033m. 【解析】如图所示，AD 为乙楼高，BC 为甲楼高．在△ABC 中，BC ＝200×tan 60°＝2003，AC ＝200÷sin 30°＝400，由题意可知∠ACD ＝∠DAC ＝30°，∴△ACD 为等腰三角形．由余弦定理得AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos 120°，4002＝AD 2＋AD 2－2AD 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3AD 2，AD 2＝40023，AD ＝40033.故甲楼高为200 3 m ，乙楼高为40033 m. 题型二测量角度问题例2 如图所示，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3) n mile 的两个观测点．现位于A 点北偏东45°方向、B 点北偏西60°方向的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距20 3 n mile 的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30n mile/h ，则该救援船到达D 点需要多长时间？【答案】救援船到达D 点需要的时间为1 h. 【解析】由题意，知AB ＝5(3＋3)n mile ，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB 中，由正弦定理得BD sin ∠DAB ＝AB sin ∠ADB，即BD ＝AB sin ∠DAB sin ∠ADB＝＝＝10 3 n mile.又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝60°，BC ＝20 3 n mile ， 3)sin 45sin1055(33)sin 4545cos 60cos 45sin 60++∴在△DBC 中，由余弦定理，得CD ＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC cos ∠DBC ＝ 300＋1 200－2×103×203×12＝30 n mile ，则救援船到达D 点需要的时间为3030＝1 h. 解题技巧： (测量角度技巧)测量角度问题的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量．通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解．跟踪训练二1、在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距离A 处(3－1)n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile 的C 处的缉私船奉命以10 3 n mile 的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？【答案】缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.【解析】设缉私船用t h 在D 处追上走私船，画出示意图，则有CD ＝103t ，BD ＝10t ，在△ABC 中，∵AB ＝3－1，AC ＝2，∠BAC ＝120°，∴由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos∠BAC ＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos 120°＝6，∴BC ＝6，且sin ∠ABC ＝ACBC ·sin∠BAC ＝26·32＝22， ∴∠ABC ＝45°，∴BC 与正北方向成90°角．∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理，得sin ∠BCD ＝BD ·sin∠CBD CD ＝10t sin 120°103t＝12，∴∠BCD ＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.题型三测量距离问题例3 如图所示，要测量一水塘两侧A ，B 两点间的距离，其方法先选定适当的位置C ，用经纬仪测出角α，再分别测出AC ，BC 的长b ，a 则可求出A ，B 两点间的距离．若测得CA＝400 m ，CB ＝600 m ，∠ACB ＝60°，试计算AB 的长．【答案】A ，B 两点间的距离为2007 m.【解析】在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ，∴AB 2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000.∴AB ＝2007 (m)．即A ，B 两点间的距离为2007 m.例4 如图所示，A ，B 两点在一条河的两岸，测量者在A 的同侧，且B 点不可到达，要测出A ，B 的距离，其方法在A 所在的岸边选定一点C ，可以测出A ，C 的距离m ，再借助仪器，测出∠ACB ＝α，∠CAB ＝β，在△ABC 中，运用正弦定理就可以求出AB .若测出AC ＝60m ，∠BAC ＝75°，∠BCA ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________ m.【答案】20 6 .【解析】∠ABC ＝180°－75°－45°＝60°，所以由正弦定理得，AB sin C ＝AC sin B ， ∴AB ＝AC ·sin C sin B ＝60×sin 45°sin 60°＝206(m)．即A ，B 两点间的距离为20 6 m.解题技巧（测量距离技巧）当A，B两点之间的距离不能直接测量时，求AB的距离分为以下三类：(1)两点间不可通又不可视(如图①)：可取某点C，使得A，B与C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得：AB＝a2＋b2－2ab cos γ.(2)两点间可视但不可到达(如图②)：可选取与B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC 和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB.(3)两点都不可到达(如图③)：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC 中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB.跟踪训练三1.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．【答案】A，B两点间的距离为64km.【解析】∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝32.在△BCD中，∠DBC＝45°，由正弦定理，得BC ＝DC sin ∠DBC ·sin∠BDC ＝32sin 45°·sin 30°＝64. 在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38. ∴AB ＝64(km)．∴A ，B 两点间的距离为64km. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本51页练习，52页习题6.4中剩余题.【教学反思】对于平面图形的计算问题，首先要把所求的量转化到三角形中，然后选用正弦定理、余弦定理解决.构造三角形时，要注意使构造三角形含有尽量多个已知量，这样可以简化运算.学生在这里的数量关系比较模糊，需要强化，三角形相关知识点需要简单回顾。

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第一章解三角形 1.2 正余弦定理应用举例一、教学目标1.核心素养通过学习正余弦定理应用举例,初步形成基本的数学抽象、逻辑推理与运算能力. 2.学习目标应用正余弦定理解决三角形相应问题、解决实际问题. 3.学习重点综合运用正余弦定理解三角形问题和实际问题. 4.学习难点正余弦定理与三角函数知识的综合运用.二、教学设计（一）课前设计 1.预习任务任务阅读教材P11－P16.思考:正余弦定理的内容是什么?利用正余弦定理求解实际问题的基本步骤是什么?题中为什么要给出这些已知条件,而不是其他条件? 2.预习自测1.在△ABC 中,若∠A ＝60°,∠B ＝45°,BC ＝32,则AC ＝( ) A.4 3 B.2 3 C. 3 D.32 答案:B.2.已知ABC ∆中,a 、b 、c 分别为A,B,C 的对边, 30,34,4=∠==A b a ,则B ∠等于（）A.30B.15030或C.60D.60或120答案:D.3.如图,设A、B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点测出AC的距离为50m,∠45CAB=︒后,就可以计算出A、B两点ACB=︒,∠105的距离为( )A.B.C.mD.2答案:A.（二）课堂设计1.知识回顾（1）正弦定理和余弦定理（2）在ABC ∆中,已知a 、b 和角A 时,角的情况如下:2.问题探究问题探究一正弦定理与余弦定理 ●活动一回顾正弦定理任意三角形中,都有sin a A ＝sin b B ＝sin c C. ●活动二回顾正弦定理能解决的问题类型一般地,我们把三角形的三个角A ,B ,C 和它们的对边a ,b ,c 叫做三角形的元素,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题?（1）已知三角形的两个角（也就知道了第三个角）与一边,求解三角形; （2）已知三角形的任意两边和其中一边的对角,求解三角形. ●活动三余弦定理及其所能求解的问题类型利用余弦定理可以求解如下两类解三角形的问题: （1）已知三边,求三个角;（2）已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角. 问题探究二掌握以下几个常用概念坡度:坡度---沿坡向上的方向与水平方向的夹角. 仰角:视线方向向上时与水平线的夹角.(反之为俯角). 方位角:从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角.问题探究三利用正余弦定理解决实际问题重点、难点知识★▲ ●活动一初步运用正余弦定理测量建筑物高度例1:AB 是底部B 不可到达的一个建筑物,A 为建筑物的最高点,设计一种测量建筑物高度AB 的方法.解析: 【知识点:正余弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】详解:选择基线HG ,使H 、G 、B 三点共线,欲求AB ,先求AE ,在ACE ∆中,可测得角α,只需求出AC 就可得到 AE ,在ACD ∆中,可测得角β,线段DC ,又有α,故可求得AC.●活动二设计求解有一个不可到达或两点都不可到达的点之间的距离例2:如图,设A 、B 两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在A 的同侧,在所在的河岸边选定一点C ,测出AC 的距离是55m ,60,75BAC ACB ∠=∠=.求A 、B 两点的距离.解析:【知识点:正余弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】详解:在三角形ABC 中,45B ∠=,由正弦定理可知5555(31)sin 75sin 45AB +=⋅︒=︒. 例3:如图,A 、B 两点都在河的对岸（不可到达）,设计一种测量A 、B 两点间距离的方法.解析:【知识点:正余弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】详解:这是例2的变式题,研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题. 首先需要构造三角形,所以需要确定C 、D 两点.在所在的河岸边选定点C 、D ,测出,,,αβγδ四个角的大小和C 、D 间的距离,根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法,分别求出AC 和BC ,再利用余弦定理可以计算出AB 的距离. 3.课堂总结【知识梳理】(1)正弦定理:在△ABC 中,2sin sin sin a b cR A B C===（R 为△ABC 的外接圆直径）. (2)余弦定理:对于任意的一个三角形,都有A bc c b a cos 2222-+=,B ac a c b cos 2222-+=,C ab b a c cos 2222-+=.公式还可以变形为:bc a c b A 2cos 222-+=,ca b a c B 2cos 222-+=,abc b a C 2cos 222-+=.（3）几个测量中常用概念坡度:坡度---沿坡向上的方向与水平方向的夹角. 仰角:视线方向向上时与水平线的夹角.(反之为俯角). 方位角:从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角. 【重难点突破】(1)运用正余弦定理时,要厘清定理能解决的问题类型,要理清题目条件,合理选择定理求解问题.(2)常见实际问题中的一组已知条件,常隐含着对于这类测量问题在某一种特定情境和条件限制下的一个测量方案,在这种情境与条件限制下,别的方案中的量可能无法测量出来,因而不能实施别的测量方案. 4.随堂检测1.在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若1sin cos sin cos ,2a B C c B A b +=且a b >,则B ∠=（）A.6πB.3πC.23πD.56π【知识点:正弦定理、解的个数的判断;数学思想:数形结合】解:A2.在锐角ABC ∆中,角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin 3,a B b A =则角等于（）A.12πB.6πC.4πD.3π 【知识点:正弦定理】解:D3.在△ABC 中, ,2,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠=（）A.1010B.105C.31010D.55【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:C4.如图在ABC ∆中,已知点D 在BC 边上,ADAC,22sin 3BAC ∠=, 32AB =,3AD =,则BD 的长为________.【知识点:正余弦定理;数学思想:数形结合】解35.设△ABC 中角A , B , C 所对的边分别为,b ,, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为（） A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定【知识点:正弦定理、余弦定理】解:B6.在ABC ∆中,若()()3a b c a b c ab +++-=,且sin 2sin cos C A B =,则ABC ∆是( )A.等边三角形B.等腰三角形,但不是等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形,但不是等腰三角形【知识点:余弦定理】解:A（三）课后作业基础型自主突破1.如图,某人为了测量某建筑物两侧A.B 间的距离(在A,B 处相互看不到对方),选定了一个可看到A 、B 两点的C 点进行测量,你认为测量时应测量的数据是________.【知识点:实际问题,解三角形】解:a,b,γ .2.如图,一根长为2米的木棒AB 斜靠在墙AC 上,060=∠ABC ,若AB 滑动至DE 位置, 且)23(-=AD 米,问木棒AB 中点O 所经过的路程为米.【知识点:正余弦定理】解:12π. 3.在O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动,开始时该物体位于P 点,一分钟后,其位置在Q 点,且90POQ ∠=,再过两分钟后,该物体位于R 点,且30QOR ∠=,则tan OPQ ∠的值为 _________. 【知识点:正余弦定理】解:233. 4.在ABC ∆中,三边长为连续的自然数,且最大角是最小角的2倍,求此三角形的三边长.【知识点:正余弦定理,解三角形】解:三边长为4,5,6.5.甲船在岛A 的正南B 处,以每小时4千米的速度向正北航行,AB ＝10千米,同时乙船自岛A 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间为 .【知识点:正余弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】解:1507 分钟.6. 如图,飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内,若飞机的高度为海拔18 km,速度为1 000 km/h,飞行员先看到山顶的俯角为30°,经过1 min 后又看到山顶的俯角为75°,则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km) .【知识点:正余弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】解:6.6.能力型师生共研7.在ABC ∆中,证明下列各式:（1）0tan )(tan )(222222=+-+--B c b a A c b a . (2)2222112cos 2cos ba b B a A -=-. 【知识点:正弦定理,解三角形】证明:(1)左边＝)(222c b a --BBc b a A A cos sin )(cos sin 222+-+右边==+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-++-+-+-=-+⋅⋅+-+-+⋅⋅--=0)11()(2222)(22)(222222222222222222222222Rabcb c a b c a a c b a c b R abc b c a ac R b c b a a c b bc R a c b a故原命题得证右边左边=-=+--=+--=---=22222222222222222211)2(2)2(211sin )2(sin 2sin )2(sin 2)11(sin 21sin 21)2(b a R R b a BR BA R A b a bB a A故原命题得证.8.已知圆O 的半径为R ,它的内接ABC ∆中,222(sin sin ))sin R A C b B -=-成立,求三角形面积的最大值. 【知识点:正弦定理,三角形面积】解:2212R +. 9.在ABC ∆中,30A ︒=,sin C2sin B B C =. (1) 求证:ABC ∆为等腰三角形;(2) 设D 为ABC ∆外接圆的直径BE 与AC 的交点,且2AB =,求:AD DC 的值. 【知识点:正余弦定理;数学思想:数形结合】解:（1）略 ;（2）3:1.10.ABC ∆中,若已知三边为连续正整数,最大角为钝角. （1）求最大角;（2）求以此最大角为内角,夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积. 【知识点:正余弦定理,三角形面积;数学思想:数形结合】解:（1） 109,41cos ,4,3,2=-====C C c b a .（2）设夹C 角的两边为y x ,,4=+y x ,)4(415415)4(sin 2x x x x C xy S +-⋅=⋅-==,当2=x 时15max =S . 探究型多维突破11.求22sin 10cos 40sin10cos 40︒+︒+︒︒的值. 【知识点:正余弦定理,三角函数】解:43. 12. 如图,已知O 的半径为1,点C 在直径AB 的延长线上,1BC =,点P 是O 上半圆上的一个动点,以PC 为边作正三角形PCD ,且点D 与圆心分别在PC 两侧. （1）若POB θ∠=,试将四边形OPDC 的面积y 表示成θ的函数; （2）求四边形OPDC 面积的最大值.【知识点:正余弦定理,函数】解:当150POC ∠=︒时,四边形OPDC 的面积最大. 自助餐1.从A 处望B 处的仰角为α,从B 处望A 处的俯角为β,则α,β之间的关系是( ) A.α>β B.α＝β C .α＋β＝90° D.α＋β＝180° 【知识点:正弦定理、余弦定理】解:B.2.已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC ＝120°,则A 、C 两地的距离为( )A.10 kmB. 3 kmC.10 5 kmD.107 km 【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:D AC ＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cos120°＝102＋202＋2×10×20×12＝107(km).3.某人在山外一点测得山顶的仰角为42°,沿水平面退后30米,又测得山顶的仰角为39°,则山高为(sin42°≈0.669 1,sin39°≈0.629 3,sin3°≈0.052 3)( )A.180米B.214米C.242米D.266米【知识点:正弦定理;数学思想:数形结合】解: C ∵∠BCA ＝42°,∠BDA ＝39°,∴∠DBC ＝3°.在△BDC 中,DC ＝30, DC sin3°＝BC sin39°,∴BC ＝30·sin39°sin3°.在Rt △ABC 中,AB ＝BC·sin42°＝30·sin39°·sin42°sin3°＝242.4.在200 m 高的山顶上,测得山下塔顶和塔底的俯角分别为30°,60°,则塔高为( )A.4003 mB.40033 mC.20033 mD.2003 m【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:A 在Rt △BAC 中,∠ABC ＝30°,AB ＝200,∴BC ＝AB cos30°＝4003 3.∵∠EBD ＝30°,∠EBC ＝60°,∴∠DBC ＝30°,∠BDC ＝120°. 在△BDC 中,DC sin30°＝BC sin120°.∴DC ＝BC·sin30°sin120°＝40033×1232＝4003(m). 5.某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来,他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差,则第一辆车与第二辆车的距离d 1与第二辆车与第三辆车的距离d 2之间的关系为( )A.d 1>d 2B.d 1＝d 2C.d 1<d 2D.不能确定大小【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:C.6.有一长为1千米的斜坡,它的倾斜角为20°,现要将倾斜角改为10°,则斜坡长为( )A.1 千米B.2sin10° 千米C.2cos10° 千米D.cos20° 千米【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:C.7.已知A船在灯塔C北偏东80°处,且A船到灯塔C的距离为2 km,B船在灯塔C北偏西40°处,A、B两船间的距离为3 km,则B船到灯塔C的距离为________km.【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:6－1.8.如图所示,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟,从D沿着DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米,则该扇形的半径为________米.【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:507 连接OC,在△OCD中,OD＝100,CD＝150,∠CDO＝60°,由余弦定理,得OC2＝1002＋1502－2·100·150·cos60°＝17 500.9.某校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°,第一排和最后一排的距离为10 6 米(如图所示),旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌长度约为50秒,升旗手应以________(米/秒)的速度匀速升旗.【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:0.6 在△BCD 中,∠BDC ＝45°,∠CBD ＝30°,CD ＝106,由正弦定理,得BC ＝CDsin45°sin30°＝20 3.在Rt △ABC 中,AB ＝BCsin60°＝203×32＝30(米).所以升旗速度v ＝AB t ＝3050＝0.6(米/秒).10.甲船在A 处观察乙船在它的北偏东60°的B 处,此时两船相距a 海里,乙船正向北行驶,若甲船的速度是乙船的3倍,则甲船以什么方向前进才能追赶上乙船?此时乙船行驶了多少海里【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:甲船应取北偏东30°的方向去追赶乙船,此时乙船已行驶a 海里如图所示,AC 为甲船的航行路线,BC 为乙船的航行路线,设甲船取北偏东θ的方向去追赶乙船,在C 点处追上,若乙船行驶的速度是v,则甲船行驶的速度是3v,由于甲、乙两船到达C 点的时间相等,都为t,则BC ＝vt,AC ＝3vt.∠ABC ＝120°. 由余弦定理可知AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cos120°,即3v 2t 2＝a 2＋v 2t 2＋avt.所以2v 2t 2－avt －a 2＝0.解得t 1＝a v ,t 2＝－a 2v (舍去).所以BC ＝a,∠CAB ＝30°,θ＝30°. 即甲船应取北偏东30°的方向去追赶乙船,此时乙船已行驶a 海里.11.在海岸A 处,发现北偏东45°方向,距A 处(3－1)n mile 的B 处有一艘走私船,在A 处北偏西75°的方向,距离A 处2n mile 的C 处的缉私船奉命以103n mile/h 的速度追截走私船.此时,走私船正以10n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:缉私船沿东偏北30°方向能最快追上走私船,设缉私船用t h 在D 处追上走私船,则有CD ＝103t,BD ＝10t,在△ABC 中,∵AB ＝3－1,AC ＝2,∠BAC ＝120°,∴由余弦定理,得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·ACcos ∠BAC ＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos120°＝6.∴BC ＝ 6.且sin ∠ABC ＝AC BC ·sin ∠BAC ＝26·32＝22.∴∠ABC ＝45°.∴BC 与正北方向垂直.∵∠CBD ＝90°＋30°＝120°,在△BCD 中,由正弦定理,得sin ∠BCD ＝BD·sin ∠CBD CD ＝10tsin120°103t＝12.∴∠BCD ＝30°.即缉私船沿东偏北30°方向能最快追上走私船.12.某广场有一块不规则的绿地如图所示,城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志,小李、小王设计的底座形状分别为△ABC,△ABD,经测量AD ＝BD ＝7米,BC ＝5米,AC ＝8米,∠C ＝∠D.(1)求AB 的长度;(2)若环境标志的底座每平方米造价为5 000元,不考虑其他因素,小李、小王谁的设计使建造费用较低(请说明理由)?较低造价为多少?(3＝1.732,2＝1.414)【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:(1)在△ABC 中,由余弦定理,得cosC ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC·BC ＝82＋52－AB 22×8×5.①在△ABD 中,由余弦定理,得cosD ＝72＋72－AB 22×7×7.②由∠C ＝∠D,得cosC ＝cosD.∴AB ＝7,∴AB 长为7米.(2)小李的设计建造费用较低,理由如下:S △ABD ＝12AB·BD·sinD,S △ABC ＝12AC·BC·sinC.∵AD·BD>AC·BC,∴S △ABD >S △ABC .故选择△ABC 建造环境标志费用较低.∵AD ＝BD ＝AB ＝7,∴△ABD 是等边三角形,∠D ＝60°.∴S △ABC ＝103＝10×1.732＝17.32.∴总造价为5 000×17.32＝86600(元).。