求坐标系中三角形的面积 ppt课件
2023年九年级中考数学微专题+铅垂法求三角形面积课件
知识回顾
在平面直角坐标系中，已知A、B、C的坐标，你有 哪些计算△ABC的面积方法？
y
C C(4,7)
方法一：海伦公式
S △ABC p( p a )( p b )( p c ) (其中p= a b c )
2
方法二：割补法
D
A (1,1)
A
o
B (7,3）
B
x
知识回顾
SABC
1 铅垂高h • 水平宽a 2
知识归纳
（1）取AB作水平宽，过点C作铅垂高CD.
y C
铅
垂
高
B
A O
水平宽
D
x
y C
A 水平宽 O
铅 垂
特征：纵向割补
高
B
x
SABC
1 铅垂高h • 水平宽a 2
解决问题
在平面直角坐标系中，已知A（1，1）、B（7，3）、C（7，3） 求△ABC的面积．
y
y 铅垂线
A
铅垂高 h E
D
B
Fa
O
水平宽
C
铅垂足
SABC
1 铅垂高h • 水平宽a 2
x
SABC
1 2
yA yD
xC xB
例题精讲
例1：在平面直角坐标系中，已知A（1，1）、B（7，3）、C（4，7）， 求△ABC的面积．
解：过点C作x轴的垂线交AB于点D 设直线AB的表达式为y=kx+b,将 A（1，1）、B（7，3）代入得
y
思考1：与例1有什么不同？
C (4,7) C(4,7)
思考2：怎样确定水平宽？
D
A (1,1)
A (1,1)
用坐标求三角形的面积公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
A(-3,2)
y
B (0,3) D (0,2)
1
O1
C (0,-1)
x
第9页 9
归纳总结1
若三角形一边在坐标轴上，通 常以坐标轴上边为底边，所对顶 点到坐标轴距离为高求解。
第10页
应用1
1、已知： △ABC 中，A（2，4）， B（-2，0）， C( 1 ,0)，画出图形，求 △ABC面积 ; 2
1×4×2- 1 ×2×2
2
2
=16-4-4-2
=6
第15页
y
想一想，尚有简 E 单办法吗？
A（2，3）
D
B（4，1）
x
C （0,-1）
第16页
归纳总结3
当三角形三边都不与坐标轴平行 时，普通利用“割补”法，把不规则 图形转化成规则图形。本题是利用 “补”办法，把三角形补成一个长方 形，先求出长方形面积，再减去多出 直角三角形面积，从而求出△ABC面积
第1页
导学1
y
5
4
3 2
· B （-4,1） 1
-4 -3 -2 -1 0 -1
-2
B到x轴距离为1， -3 到y轴距离为4
-4
A横坐标为4 A纵坐标为2 A到x轴距离为2，到y轴距离为 4
A（·4,2）
12345 x
第2页
导学2
1、已知：A（0，-2）， B（0，1）， 则AB= 3 ; 2、已知：A（5/2，0）， B（-1/2，0）， 则 AB= ; 3、已知：A（1，2），yB（1，5）， 则AB= ; 4 、已知：A（2，3）， B（-5，3）， 则AB= ;
y
B
3A
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 O1 2 x
平面直角坐标系中三角形面积的求法
例析平面直角坐标系中面积的求法我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积的问题.解题时我们要注意其中的解题方法和解题技巧.现举例说明如下.一、有一边在坐标轴上例1 如图1，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（－3，0），（0，3），（0，－1），你能求出三角形ABC的面积吗？分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出，△ABC的边BC在y轴上，由图形可得BC＝4，点A到BC边的距离就是A点到y轴的距离，也就是A点横坐标的绝对值3，然后根据三角形的面积公式求解.解：因为B(0,3),C(0,-1),所以BC=3-（-1）=4.因为A(-3,0),所以A点到y轴的距离，即BC边上的高为3，二、有一边与坐标轴平行例2 如图2，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（4，5），C（-1，2），求三角形ABC的面积.分析：由A（4，1），B（4，5）两点的横坐标相同，可知边AB与y 轴平行，因而AB的长度易求.作AB边上的高CD，则D点的横坐标与A点的横坐标相同，也是4，这样就可求得线段CD的长，进而可求得三角形ABC的面积.解：因为A，B两点的横坐标相同，所以边AB∥y轴，所以AB=5-1=4. 作AB边上的高CD，则D点的横坐标为4，所以CD=4-（-1）=5，所以=.三、三边均不与坐标轴平行例3 如图2,平面直角坐标系中，已知点A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），你能求出三角形ABC的面积吗？分析：由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接求边长，也无法求高，因此得另想办法.根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形围在一个梯形或长方形中，这个梯形（长方形）的上下底（长）与其中一坐标轴平行，高（宽）与另一坐标轴平行.这样，梯形（长方形）的面积容易求出，再减去围在梯形（长方形）内边缘部分的直角三角形的面积，即可求得原三角形的面积.解：如图，过点A、C分别作平行于y轴的直线，与过点B平行于x 轴的直线交于点D、E，则四边形ADEC为梯形.因为A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），所以AD＝4，CE=6，DB=4，BE=1，DE＝5.所以=（AD+CE）×DE-AD×DB-CE×BE=×（4+6）×5－×4×4－×6×1＝14.平面直角坐标系中的面积问题（提高篇）“割补法”的应用一、已知点的坐标，求图形的面积。
坐标系中如何求三角形的面积
坐标系中如何求三角形的面积
问题描述
在平面直角坐标系中，给定三角形的三个顶点坐标 A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3,
y3)，如何通过坐标计算出这个三角形的面积呢？
基本原理
要计算三角形的面积，我们可以利用向量的知识来求解。
设向量AB为向量a，向量AC为向量b。
则向量a的坐标为 (x2 - x1, y2 - y1)，向量b的坐标为 (x3 - x1,
y3 - y1)。
具体步骤
1.计算向量a和向量b的叉乘，即 a × b = x1y2 + x2y3 + x3y1 - x1y3 -
x2y1 - x3y2。
2.三角形的面积等于叉乘结果的绝对值的一半，即 area = |a × b| / 2。
3.最终得出的结果即为这个三角形的面积。
例子
例子：
假设三角形ABC的三个顶点坐标为A(1, 2), B(4, 5), C(3, 7)。
计算过程如下：
向量a = AB = (4 - 1, 5 - 2) = (3, 3)
向量b = AC = (3 - 1, 7 - 2) = (2, 5)
叉乘结果为 a × b = 15 + 42 + 33 - 17 - 45 - 32 = 5 + 8 + 9 - 7 - 20 - 6 = -1
三角形的面积为 area = |-1| / 2 = 0.5
所以，三角形ABC的面积为0.5。
结论
通过向量的方法，我们可以方便地在坐标系中计算三角形的面积。
这种方法简
单直观，可以很好地应用于实际问题中。
北师大版数学八上第3章直角坐标系中的面积问题课件
（3）是否存在点P(x，- )，使S△AOP为四边形
AOBC的面积的2倍？若存在，
要求点P的坐标B（2,0），(1)在y轴的正半
轴上找一点C，使得S△ABC=15，求C的坐标；
(2)过(1)中的点N作直线MN//x轴 ,在直线MN上
（注意关键字词句）
1. 如图，直角坐标系中，点A、B的坐标为
(a,0),(b,0),且a，b满足|a+2|+ − =0，点C的坐
标为（0, 3）.
（1）求a,b的值及S△ABC .
（2）若点M在x轴上，且
S△ACM= S△ABC ,
求点M的坐标．
（3）若点M在x轴上， 且S△ACM= S△ABC ,
第三章
位置与坐标
1
考点1.直接法、割补法求面积
1.如图，在平面直角坐标系中，A（-2,0），
B（1,2）连接AB交y轴于点C.
(1)求△AOB的面积；(2)求点C的坐标。
2
2. 如图，平面直角坐标系中，四边形
ABCD的顶点坐标分别为A（1,0）B（5,0）
C（3,3）D（2,4）,求四边形ABCD的面积。
7
3. 已知A（0,1）B（2,0）C（4,3）
（1）求S△ABC；
（2）设点P在坐标轴上，且△ABP与
△ABC的面积相等，求点P的坐标．
8
4. 直角坐标系中，已知A（a,0）B（b,0）且a，
b满足|a+1|+(b-3)2=0
（1）写出a=_____,b=_____；
（2）如果第三象限内有一点M(-2，m) ,
请用含m的式子表示△ABM的面积；
已知三角形三点坐标求三角形的面积的各种方法
已知三角形三点坐标,求三角形的面积先介绍一下三维中的两点之间距离之式，和二维的几乎一样：d=sqrt((x0-x1)^2+ (y0-y1)^2 + (z0-z1)^2)再介绍叉乘，中心内容！叉乘在定义上有：两个向量进行叉乘得到的是一个向量，方向垂直于这两个向量构成的平面，大小等于这两个向量组成的平行四边形的面积。
在直角座标系[O;i,j,k]中，i、j、k分别为X轴、Y轴、Z轴上向量的单位向量。
设P0(0,0,0)，P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)。
因为是从原点出发，所以向量P0P1可简记为P1，向量P0P2可简记为P2。
依定义有：|i j k |P1×P2 = |x1 y1 z1||x2 y2 z2|展开，得到：上式= iy1z2 + jz1x2 + kx1y2 - ky1x2 - jx1z2 - iz1y2= (y1z2 - y2z1)i + (x2z1 - x1z2)j + (x1y2 - x2y1)k按规定，有：单位向量的模为1。
可得叉积的模为：|P1×P2| = y1z2- y2z1 + x2z1 - x1z2 + x1y2 - x2y1= (y1z2 + x2z1 + x1y2) - (y2z1 + x1z2 + x2y1)开始正式内容。
我们设三角形的三个顶点为A(x0,y0,z0)，B(x1,y1,z1)，C(x2,y2,z2)。
我们将三角形的两条边AB和AC看成是向量。
然后，我们以A为原点，进行坐标平移，得到向量B(x1-x0,y1-y0,z1-z0)，向量C(x2-x0,y2-y0,z2-z0)。
①在三维的情况下，直接代入公式，可得向量B和向量C叉乘结果的模为：|B×C| = ((y1-y0)*(z2-z0) + (z1-z0)*(x2-x0) + (x1-x0)*(y2-y0)) -((y2-y0)*(z1-z0) + (z2-z0)*(x1-x0) + (x2-x0)*(y1-y0))| 1 1 1 |= |x1-x0 y1-y0 z1-z0||x2-x0 y2-y0 z2-z0|它的一半即为所要求的三角形面积S。
平面直角坐标系下图形面积的计算课件
边长×边长。正方形四边等长， 只需测量一条边长即可计算出面 积。
三角形、梯形面积计算
三角形面积
底×高÷2。通过测量三角形的底和 高，可以计算出三角形的面积。
梯形面积
(上底+下底)×高÷2。梯形有上底、下 底和高三个参数，测量这三个参数后 可以计算出梯形的面积。
圆、椭圆面积计算
圆面积
π×半径²。通过测量圆的半径，可以计算出圆的面积。π是圆周率，常取值 3.14。
Green公式
在平面直角坐标系中，计算多边形面积的Green公式为 S=(1/2)*∑(xi*yi+1-xi+1*yi)，其中多边形的顶点依次为 P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，...，Pn(xn,yn)，Pn+1(x1,y1)。
02
规则图形面积计算方法
矩形、正方形面积计算
矩形面积
长×宽。通过测量矩形的长和宽 ，可以直接计算出矩形的面积。
圆面积计算
给定圆的半径，利用公式 计算面积，并演示动画过 程。
不规则图形面积计算实例分析
梯形面积计算
任意多边形面积计算
通过分割梯形为两个三角形或一个矩 形和一个三角形，计算面积，并演示 动画过程。
通过划分多边形为多个三角形，应用 海伦公式或其他方法计算面积，并演 示动画过程。
平行四边形面积计算
通过分割平行四边形为一个矩形和两 个三角形，计算面积，并演示动画过 程。
作业布置
针对本节课所学内容，布置相关练习题，要 求学生运用所学知识进行计算。作业难度适 中，既要巩固基础知识，又要具有一定的挑 战性。
感谢您的观看
THANKS
数轴称为y轴。
原点
两条数轴的交点称为原点，其坐 标为(0,0)。
坐标系中求三角形面积的方法
坐标系中求三角形面积的方法大家好，今天我们要聊聊如何在坐标系中算出三角形的面积。
这个话题听起来可能有点复杂，但其实并没有我们想象的那么难。
咱们一步一步来，搞定它！1. 了解坐标系1.1 坐标系是什么？坐标系就是一个用来定位和描述点的位置的系统。
想象一下，你在纸上画了一个大十字架，横的叫x轴，竖的叫y轴。
这个交点叫做原点，每个点的位置都可以用(x, y)这样的形式来表示。
1.2 为什么要用坐标系？用坐标系来处理问题，简单明了，能够精确地描述任何点的位置。
这在数学和工程里特别有用，让我们能更加准确地处理各种几何问题。
2. 计算三角形面积的基本方法2.1 三角形的基本定义三角形是由三条线段围成的形状。
要计算三角形的面积，我们首先得知道这三条边连成的形状在坐标系中的位置。
别担心，计算起来没那么复杂。
2.2 坐标系中的面积计算公式在坐标系中，我们可以用一个公式来计算三角形的面积，这个公式是：。
[ text{面积} = frac{1}{2} left| x_1(y_2 y_3) + x_2(y_3 y_1) + x_3(y_1 y_2) right| ]。
这里的 ( (x_1, y_1) )、( (x_2, y_2) ) 和 ( (x_3, y_3) ) 是三角形三个顶点的坐标。
这个公式看起来很吓人，但实际上只要代入数据计算就行了。
3. 实际操作3.1 找出三角形顶点的坐标首先，你得知道三角形的三个顶点在坐标系中的位置。
例如，假如顶点A的坐标是(2, 3)，顶点B的坐标是(4, 7)，顶点C的坐标是(6, 5)。
3.2 代入公式进行计算把这些坐标代入公式里：[ text{面积} = frac{1}{2} left| 2(7 5) + 4(5 3) + 6(3 7) right| ]。
[ text{面积} = frac{1}{2} left| 2 times 2 + 4 times 2 + 6 times (4) right| ]。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
y
例2 如图2△ABC 的三个顶点的 坐标分别是
A（-1，-4）， B（2，0），
C（-4，-4）
求△ABC的面积
7
6
5
4
3
2
1O
-6 -5 -4 -3 -2 -1-1 1
2•B3
4
5
6
x
-2
-3
•C •-A4
-5
-6
-7
求坐标系中三角形的面积
5
小结2
• 当三角形有一边和坐标轴平行时， 就以这条边为底边，它的长等于两 个顶点的横坐标（或纵坐标）差的 绝对值，这条边上的高等于另一个 顶点到这条边所在直线的距离求坐标系中图形的面积来自求坐标系中三角形的面积
1
教学目标：正确熟练解坐标系中的图形面积问题
求坐标系中三角形的面积
2
有一边在坐标轴上
y
例1 如图1△ABC的
7 6
三个顶点的坐标分 别是A（2，3），
5 4
3 •A
B（-4，0），C （4，0）
求△ABC的面积
2
-6
-5
-•4B-3
-2
1 -1-1
O
1
2
7
小结3
• 当三角形的三边都不和坐标轴平行 时，一般利用“割补”法，把不规 则的图形转化成规则的图形。本题 就是利用“补”的方法，把三角形 补成一个长方形，先求出长方形的 面积，再减去多出的直角三角形的 面积，从而求出△ABC的面积
求坐标系中三角形的面积
8
巩固练习 y
• 在图4所示平面直角坐标系中， △ABC的三个顶点都在网格点 上，其中点C的坐标是
x
-6
-7
求坐标系中三角形的面积
9
求坐标系中三角形的面积
10
3
4•C5 6
x
-2
-3
-4
-5
-6
-7
求坐标系中三角形的面积
3
小结1
• 当三角形有一边在横轴（或纵轴） 上时，就以坐标轴上的边为底边， 它的长等于坐标轴上的两个顶点的 横坐标（或纵坐标）差的绝对值， 这条边上的高等于另一个顶点纵坐 标（或横坐标）的绝对值。
求坐标系中三角形的面积
4
有一边与坐标轴平行
C（1，2）
(1)直接写出点A、B的坐标
7
6
5
4
3
•B
2 •C
(2)三角形ABC的面积是多 少？
(3)将△ABC先向左平移3个 单位长度，再向上平移2个单 位长度，得到△A’B’C’, 写出A’,B’,C’三点的坐标
1O
-5 -4 -3 -2 -1-1 1 2 3•A4 5 6
-2 -3 -4 -5
求坐标系中三角形的面积
6
三边都不与坐标轴平行
y
7
例3 如图3在平面
6
直角坐标系中 △ABC的三个顶 点的坐标分别是
5
4
3
•B
2 •C
A（2，-1）， B（4，3）， C（1，2）
1O
x
-6 -5 -4 -3 -2 -1-1 1 2•A3 4 5 6
-2
-3
求△ABC的面积
-4 -5
-6
-7
求坐标系中三角形的面积