华师大版七上数学 有理数的乘方 导学案
2.11 有理数的乘方
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1．理解有理数乘方的意义．
2．能进行有理数的乘方运算．
3．由乘法得出乘方定义的过程，体会归纳、概括、推理的方法．
【重点难点】
1．正确理解乘方的意义，掌握乘方运算法则，能进行有理数的乘方运算．
2．正确理解乘方，底数，指数的概念并合理运算教学方法．
知识概览图
新课导引
某种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个，如图2-11-1
所示．经过5小时，这种细胞由1个能分裂成多少个？
5小时分裂10次，分裂成个，该式子是10
个2的积，有没有一种简便记法来表示这个结果呢？
通过本节课的学习，你将会得到问题的答案！
教材精华
知识点1 乘方的意义
求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．一般地：，在a n中，a叫做底数，n叫做指数，a n叫做幂．a n读作a的n次幂（或读作a的n次方）．
归纳总结：(1)乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果．
(2)一个数可以看作是这个数本身的一次方，例如5就是51，a就是a l，指数是1通常省略不写．
(3)当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在其右上角写上指数，指数要写得小些．如(2
3)2不能写成232，(-5)2不能写成-52． (4)因为a n 以就是n 个a 相乘，所以可以利用有理数乘法运算进行有理数的乘方运算. 知识点2 有理数乘方运算 乘方是一种运算，是一种特殊的乘法运算（因数相同的乘法运算）．在进行有理数乘方时，将有理数的乘方转化为有理数的乘法进行运算．幂是乘方运算的结果．
提示：运算时一定要分清底数和指数．
知识点3 乘方运算的符号法则
正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，
提示：(1)任何数的偶次幂都是非负数．(2)有理数的乘方运算与有理数的加、减、乘、除一样，首先要确定幂的符号，然后计算幂的绝对值．(3)(-1)2n ＝1，（-1）2n+l ＝-1（n 为正整数）. 课堂检测
基本概念题
1、填空题：
(1)若x 、y 互为倒数，则(xy)
2 011＝ ； (2)比较大小：（-2）2 010 -22 010，（-2）2 011 -22 011；
(3)计算：-4
23
＝ ． 基础知识应用题
2、计算：(1)-22×（-
21）2÷(0.8)3； (2)4-(-2)2-33÷(-1)
2 001
+0×（-2)3.
3、平方等于它本身的数是 ；立方等于它本身的数是 ；平方数与立方数相等的数是 .
综合应用题 4、若｜a+1｜+(b-2)2＝0,求（a+b ）
2 010+a 2 011的值.
5、我们对拉面并不陌生，你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一要很粗的面条，把两头捏合在一起，然后拉伸，再捏合，反得几次，就把这根很粗的面条拉成许多细的面条，如图2-11-2所示.
这样要捏合到第 次后，可拉出128根细面条.
探索创新题
6、看一看下面两组算式：（3×5）2与32×52
，[(-21)×4]2与（-2
1）2×42,每组两个算式的计算结果是否相等.你是否发现了什么规律？请用一句总结出来.
体验中考
1、x 3
表示( )
A.3x
B.x+x+x
C.x ·x ·x
D.x+3
2、（-1）2＝( )
A.1
B.-1
C.2
D.-2 3、(-1)
2 010的值是( ) A.1
B.-1
C.2 010
D.-2 010 学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、解析：互为倒数的两个数乘积为1，1的任何次幂都是1．（-2）2010是正数，-22 010是负数，正数大于负数，所以（-2）2010＞-22 010，(-2)2011是负数，-22 011也是负数，它们的绝对值相等，所以（-2）2011＝-22 011.23=2×2×2，2的3次方中的指数3与“负号”及
“4”都无关，所以-4
23＝-4222??＝-48＝-2. 答案：(1)1；(2)＞，＝；(3)-2
2、分析：第(1)题是有乘、除、乘方三种运算形式的混合运算；第(2)题是有加、减、乘、除、乘方五种运算形式的混合运算，要按照先乘方，后乘除，再加减的运算顺序进行计算．
解：(1)原式＝-4×41÷（54）3＝-1÷125
64=-1×64125＝-64125. (2)原式＝4-4-27÷(-1)+0=0-27×（-1）+O ＝27．
点拨
（1）注意运算顺序；（2）正确判断符号.
3、解析：02＝0，12＝1，所以平方等于它本身的数是0，1；因为03＝0，13＝1,(-1)3＝-1,所以立方等于它本身的数是0，±1；因为02＝03,12=13,所以平方数与立方数相等的数是0，1.
答案：0，1；0，±1；0，1
点拨
本题主要是让同学们理解特殊数0，±1的奇、偶幂的意义.解答此题时，考虑问题要全面.
4、分析：任何数的绝对值和平方都是非负数，因此可求得a 、b 的值.
解：∵｜a+1｜≥0，（b-2）2≥0，∴a+1=0,b-2=0,∴a ＝-1，b=2.
∴（a+b ）
2010+a 2011＝（-1+2）2 010+(-1)2 011＝1+（-1）＝0.
点拨
（1）两个非负数和的和为0，则这两个非负数同时为0.
（2）+1的任何次幂都是+1；-1的奇次幂是-1，-1的偶次幂是+1. 5、解析：运用数形结合可发现拉面过程有这样一个规律——第一次捏合后，面条的根数为21，第二次捏合后，面条的根数为22，第三次捏合后，面条的根数为23，…，第n 次捏合后，面条的根数为2n ，设2n =128,∵l28=27，∴n ＝7．
答案：7
方法
通过观察不难发现每次捏合后，面条的根数都是捏合前根数的2倍，即变化是沿着2→2×2→2×2×2→…发展下去的，利用分解质因数的方法128＝2×2×2×2×2×2×2，即27，很自然地找到答案.
6、分析：仔细读题，认真计算，则有(3×5)2＝32×52＝225,[（-
21）×4]2＝（-21）2×42 ＝4，所以得到规律：两数积的平方等于两数平方的积.
解：(3×5)2＝32×52,[（-21）×4]2＝（-2
1）2×42． 得到的规律是：两数积的平方等于两数平方的积，
点拨
仔细观察运算，就可以发现规律，这正体现了新课标中的归纳、猜想的数学思想. 体验中考
1、解析：根据有理数乘方的意义可知x3表示3个x相乘，即，x3=x·x·x．
答案：C
2、解析：（-1）2＝（-1）×（-1）＝1．
答案：A
3、解析：根据负数的偶次幂是正数．即由乘方的意义可知：
答案：A