江苏省G4联考：2020-2021学年上学期高三四校联考试卷数学试题
2020年9月江苏省苏州四市五区普通高中2021届高三上学期期初调研联考数学试题及答案
绝密★启用前江苏省苏州四市五区普通高中2021届高三年级上学期期初调研联考检测数学试题2020年9月注意事项：学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1.本卷共6页，包含单项选择题(第1题～第8题)、多项选择题(第9题～第12题)、填空题(第13题～第16题)、解答题(第17题～第22题)。
本卷满分150分,答题时间为120分钟。
答题结束后,请将答题卡交回。
2.答题前,请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置。
3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效。
作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔。
请注意字体工整,笔迹清楚。
4.请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损。
一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔。
一、单项选择题：本大题共8小题,每小题5分,共计40分。
每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的。
请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。
1.集合A ＝{x|x 2－2x －3≤0},B ＝{x|x>1},则A∩B＝A.(1,3)B.(1,3]C.[－1,＋∞)D.(1,＋∞)2.复数z 满足(1＋i)z ＝2＋3i,则z 在复平面表示的点所在的象限为A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.(2x －21x)4的展开式中x 的系数为 A.－32 B.32 C.－8 D.84.已知随机变量服从正态分布N(1,σ2),若P(ζ<4)＝0.9,则P(－2<ζ<1)为A.0.2B.0.3C.0.4D.0.65.在△ABC 中,AB AC 2AD +=,AE 2DE 0+=,若EB xAB yAC =+,则A.y ＝2xB.y ＝－2xC.x ＝2yD.x ＝－2y6.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回到自己出生的淡水流域产卵。
记鲑鱼的游速为v(单位：m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为Q 。
科学研究发现v 与log 3100Q 成正比。
2020年12月江苏省南通市四校联盟2021届高三上学期第二次调研联考数学试题及答案
绝密★启用前 江苏省南通市四校联盟 2021届高三毕业班上学期第二次调研联考数学试题2020年12月一．单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应的位置上）1. 已知集合A ={a |a 2-4a <5},B ={a |a <2}正确的是 ( )A .-1,2∈AB . 15∉BC .B ⊆AD .A ∪B ={a |-5<a <4}2. 若a >0,b >0,则“a +b ≤4”是“ab ≤4”的 ( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件3. 已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧c os πx x ≤1f (x -1)+1 x >1 则f (43)+f (-43)的值为 ( ) A .12 B .- 12 C .-1 D .14. 已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧a x x >1(4-a 2)x +2 x ≤1 是R 上的单调递增函数,则实数a 的取值范围是 ( )A .(1,+∞)B .[4,8)C .(4,8)D .(1,8)5. 根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N 最接近的是(参考数据:lg 3≈0.48) ( )A .1033B .1053C .1073D .10936. 已知函数f (x )的图象如图所示,则f (x )的解析式可以是 ( )A .f (x )=ln|x |xB .f (x )=e x xC .f (x )=1x 2-1D .f (x )=x -1x 7. 已知函数f (x )=x +2+k ,若存在区间[a ,b ][-2,+∞)使得函数f (x )在区间[a ,b ]上的值域为[a +2,b +2],则实数k 的取值范围为（ ）A .( -1,+∞)B .(-14,0]C . (-14,+∞)D . ( -1,0]8. 已知函数f (x )= ⎩⎪⎨⎪⎧-x 2+2x x ≤0ln(x +1) x>0 ,若| f (x )|≥kx ,则k 的取值范围是（ ） A . (-∞,0] B . (-∞,1] C .[-2,1] D . [-2,0]二．多选题（本大题共4小题,每小题5分,共计20分.在每小题给出的四个选项中,至少有两个是符合题目要求的,请把答案填涂在答题卡相应的位置上）9. 给出下列命题:A .∃a ∈R,ln(a 2+1)<0;B .∀a >2,a 2>2a ;C .∀α,β∈R,sin(α-β)=sin α-sin β;D .a >b 是2a >2b 的充要条件.其中假．命题为 ( ) 10. 对于函数f (x )=x1+|x |,下列判断正确的是（ ）A . f (-x +1)+ f (x -1)=0B . 当m ∈(0,1)时,方程f (x )=m 有唯一实数解C . 函数f (x )的值域为(-∞, ∞)D . ∀x 1≠x 2,f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0。
2020届江苏省百校联考高三年级第四次试卷数学试题含答案
2020届江苏省百校联考高三年级第四次试卷数学试题第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A ＝{2，5}，B ＝{3，5}，则A U B ＝ ． 2．已知复数z 满足12ii z+=（i 为虚数单位），则复数z 的实部为 ． 3．A ，B ，C 三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为160，240，400，为了调查联考数学学科的成绩，现采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取样本，若在B 学校抽取的数学成绩的份数为30，则抽取的样本容量为 ． 4．根据如图所示的伪代码，若输入的x 的值为2，则输出的y 的值 为 ．5．某同学周末通过抛硬币的方式决定出去看电影还是在家学习，抛 一枚硬币两次，若两次都是正面朝上，就在家学习，否则出去看 电影，则该同学在家学习的概率为 ．6．已知数列{}n a 满足11a =，且1130n n n n a a a a +++-=恒成立，则6a 的值为 ． 第4题7．已知函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0，ϕ＜2π)的部分图象如图所示，则(0)f 的值为 ．第11题 第12题 第7题8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的焦距为2c ，若过右焦点且与x 轴垂直的直线与两条渐近线围成的三角形面积为c 2，则双曲线的离心率为 ． 9．已知m ，n 为正实数，且m ＋n ＝mn ，则m ＋2n 的最小值为 ． 10．已知函数()4f x x x =-，则不等式(2)(3)f a f +>的解集为 ．11．如图，在一个倒置的高为2的圆锥形容器中，装有深度为h 的水，再放入一 个半径为1的不锈钢制的实心半球后，半球的大圆面、水面均与容器口相平，则h 的值为 ． 12．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝2，AD ＝4，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，若AE DE 1⋅=-u u u r u u u r ，则AF CD ⋅u u u r u u u r的值为 ．13．函数()f x 满足()(4)f x f x =-，当x ∈[﹣2，2)时，3223 2()1, 2x x a x af x x a x ⎧++-≤≤=⎨-<<⎩,，若函数()f x 在[0，2020)上有1515个零点，则实数a 的范围为 ．14．已知圆O ：224x y +=，直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，A(2，2)，若AP 2＋AQ 2＝40，则弦PQ 的长度的最大值为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，已知在三棱锥P—ABC 中，PA ⊥平面ABC ，E ，F ，G 分别为AC ，PA ，PB 的中点，且AC ＝2BE ．（1）求证：PB ⊥BC ；（2）设平面EFG 与BC 交于点H ，求证：H 为BC 的中点．16．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若m u r ＝(a ，b ﹣c )，n r＝(sinA ﹣sinB ，sinB ＋sinC)，p u r ＝(1，2)，且m u r ⊥n r．（1）求角C 的值；（2）求n p ⋅r u r的最大值．17．（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，左右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，P 是椭圆上的一个动点（不与左，右顶点重合），且△PF 1F 2的周长为6，点P 关于原点的对称点为Q ，直线AP ，QF 2交于点M ．（1）求椭圆方程；（2）若直线PF 2与椭圆交于另一点N ，且22AF M AF N 4S S =△△，求点P 的坐标．18．（本小题满分16分）管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具，现欲用清洁棒清洁一个如图1所示的圆管直角弯头的内壁，其纵截面如图2所示，一根长度为L crn 的清洁棒在弯头内恰好处于AB 位置（图中给出的数据是圆管内壁直径大小，θ∈(0，2π)）． （1）请用角θ表示清洁棒的长L ；（2）若想让清洁棒通过该弯头，清洁下一段圆管，求能通过该弯头的清洁棒的最大长度．19．（本小题满分16分）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的各项均为整数，它们的前n 项和分别为n S ，n T ，且1122b a ==，2354b S =，2211a T +=．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求112233n n n M a b a b a b a b =++++L ； （3）是否存在正整数m ，使得1m m m mS T S T +++恰好是数列{}n a 或{}n b 中的项？若存在，求出所有满足条件的m 的值；若不存在，说明理由． 20．（本小题满分16分）已知函数4()(1)e xf x x=-，()1ag x x=-(a ∈R)（e 是自然对数的底数，e ≈2.718…）． （1）求函数()f x 的图像在x ＝1处的切线方程； （2）若函数()()f x yg x =在区间[4，5]上单调递增，求实数a 的取值范围； （3）若函数()()()h x f x g x =+在区间(0，+∞)上有两个极值点1x ，2x (1x ＜2x )，且1()h x m <恒成立，求满足条件的m 的最小值（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵M ＝ 1 4a b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦(a ，b ∈R)不存在逆矩阵，且非零特征值对应的一个特征向量αu r ＝11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求a ，b 的值．B ．选修4—4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，已知曲线C 1：sin()4πρθ+=曲线C 2：cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），求曲线C 1，C 2交点的直角坐标．C ．选修4—5：不等式选讲已知凸n 边形A 1A 2A 3…A n 的面积为1，边长A i A i ＋1＝i a (i ＝1，2，…，n ﹣1)，A n A 1＝n a ，其内部一点P 到边A i A i ＋1＝i a (i ＝1，2，…，n ﹣1)的距离分别为d 1，d 2，d 3，…，d n ．求证：21212222(n na a a d d d +++≥L ．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，且AD// BC ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2AD ＝2，侧面PAB 为等边三角形，且平面PAB ⊥平面ABCD ．（1）求平面PAB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小；（2）若CQ CP λ=u u u r u u u r (0≤λ≤1)，且直线BQ 与平面PDC 所成角为3π，求λ的值．23．（本小题满分10分）如图，正方形AGIC 是某城市的一个区域的示意图，阴影部分为街道，各相邻的两红绿灯之间的距离相等，A~I 处为红绿灯路口，红绿灯统一设置如下：先直行绿灯30秒，再左转绿灯30秒，然后是红灯1分钟，右转不受红绿灯影响，这样独立的循环运行．小明上学需沿街道从I 处骑行到A 处（不考虑A ，I 处的红绿灯），出发时的两条路线(I →F ，I →H)等可能选择，且总是走最近路线．（1）请问小明上学的路线有多少种不同可能？（2）在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下，小明优先直行，求小明骑行途中恰好经过E 处，且全程不等红绿灯的概率；（3）请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值，为小明设计一条最佳的上学路线，且应尽量避开哪条路线？备用图参考答案。
江苏省2021-2022学年高三上学期12月联考数学试题及答案
江苏省G4（苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学）2021-2022学年高三上学期12月联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知复数z 满足()12i z i -=（其中i 为虚数单位），则z =（ ）A B ．2C ．1D ．42．若集合{}2370,A x x x x Z =+≤∈，且B A ⊆，则满足条件的集合B 的个数是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．83．若{}n a 为等比数列，则“s t p q a a a a =”是“s t p q +=+（s ，t ，p ，*N q ∈）”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件4．若()*12nx n N x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式中只有第三项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（ ） A ．6B ．12C ．24D ．485．已知平面向量a ，b 满足2a =，2b =，a 与b 的夹角为45°，()b a a λ-⊥，则实数λ的值为（ ） A ．2B ．2-C ．12D ．12-6．已知cos()sin()6παπα-+-=cos()3πα-的值（ ）A ．B ．15-C ．15D 7．已知直线1:0l kx y +=()k R ∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，则||AB 的最大值为（ ）A．B ．C ．5+D ．3+8．若不等式()()2e 2ln 12xa x a x ->-+++对()0,x ∈+∞恒成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(),2-∞B ．(],2-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞二、多选题9．已知定义在R 上的函数()4,Z4,Z x f x x -∈⎧=⎨∉⎩，则（ ）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 是偶函数C ．对任意R x ∈，()()4f f x =-D ．()f x 的图象关于直线12x =对称10．已知函数()sin 2f x x x =，则下列说法正确的有（ ） A ．点,03π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 的图象的一个对称中心B ．对任意x ∈R ，函数()f x 满足66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．函数()f x 在区间()0,π上有且仅有1个零点D ．存在512πθ>-，使得()f x 在()5,Z 12k k k πππθ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭上单调递增 11．已知两个变量y 与x 线性相关，为研究其具体的线性关系进行了10次实验．实验中不慎丢失2个数据点，根据剩余的8个数据点求得的线性回归方程为3 4.5y x =+，且4x =，又增加了2次实验，得到2个数据点()2,11，()6,22，根据这10个数据点重新求得线性回归方程为y mx n =+（其中m ，R n ∈），则（ ） A ．变量y 与x 正相关 B ．3m <C ． 4.5n <D ．回归直线y mx n =+经过点()4,16.512．已知实数a ，b 满足等式()2e e 22a bb a -=-，则下列不等式中可能成立的有（ ） A ．0a b << B ．0b a << C ．0a b << D ．0b a <<三、填空题13．双曲线22194x y -=的焦点到渐近线的距离为_____________．14．若数列{}n a 满足12a =，23a =，()*21n n n a a a n +++=∈N ，则2021a 的值为__________．15．在如图所示的四边形区域ABCD 中，1AB BC ==，2CD =，120B C ∠=∠=︒，现园林绿化师计划在区域外以AD 为边增加景观区域ADM ，当135AMD ∠=︒时，景观区域ADM 面积的最大值为__________．四、双空题16．已知在四棱锥S -ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 是等腰梯形，//BC AD ，若8SD AD ==，6BC =，AB CD ==S -ABCD 的体积为__________；它的外接球的半径为__________五、解答题17．设数列{}n a 的前n 项和为n s ，且满足()12n n n s s a n N *+=++∈，()54623s a a =+．(1)求数列的通{}n a 项公式：(2)若12na n nb a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1DD 的中点．(1)求证：1BD ∥平面EAC ；(2)求直线1AB 与平面EAC 所成角的正弦值．19．已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin cos sin B A C >． (1)求证：B 为钝角；(2)若△ABC 同时满足下列4个条件中的3个：△cos A △sin C =△2a =；△c =△ABC 存在的这3个条件仅有一组，写出这组条件并求b 的值． 20．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，且过点()2,3．(1)求椭圆C 的方程；(2)设A 为椭圆C 的左顶点，过点()3,0R 作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，连接AP ，AQ 分别交直线163x =于M ，N 两点，若直线MR ，NR 的斜率分别为1k ，2k ，试问12k k 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 21．AMC 是美国数学竞赛（American Mathematics Competitions ）的简称，其中AMC10是面向世界范围内10年级（相当于高一年级）及以下的学生的数学竞赛，AMC10试卷由25道选择题构成，每道选择题均有5个选项，只有1个是正确的，试卷满分150分，每道题答对得6分，未作答得1.5分，答错得0分．考生甲、乙都已答对前20道题，对后5道题（依次记为1T ，2T ，3T ，4T ，5T ）均没有把握确定正确选项．两人在这5道题中选择若干道作答，作答时，若能排除某些错误选项，则在剩余的选项中随机地选择1个，否则就在5个选项中随机地选择1个．(1)已知甲只能排除1T ，2T ，3T 中每道题的1个错误选项，若甲决定作答1T ，2T ，3T ，放弃作答4T ，5T ，求甲的总分不低于135的概率；(2)已知乙能排除1T ，2T ，3T 中每道题的2个错误选项，但无法排除剩余2道题中的任一错误选项．△问乙采用怎样的作答策略（即依次确定后5道题是否作答）可使其总分的数学期望最大，并说明理由；△在△的作答策略下，求乙的总分的概率分布列．22．已知函数()cos xf x e ax x =--，()()g x f x x =-，a R ∈．(1)若()f x 在[)0,∞+上单调递增，求a 的最大值；(2)当a 取（1）中所求的最大值时，讨论()g x 在R 上的零点个数，并证明()g x >参考答案：1．A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算可得复数1z i =-+，再根据复数的模长公式可得结果. 【详解】由()12i z i -=得2i2i(1i)22i1i 1i (1i)(1i)2z +-+====-+--+，所以|||1|z i =-+= 故选：A. 【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，属于基础题. 2．D 【解析】 【分析】解一元二次不等式求集合A ，并列举出A 中元素，再由包含关系求集合B 的个数. 【详解】由题设，{}70,2,1,03A x x x Z ⎧⎫=-≤≤∈=--⎨⎬⎩⎭，又B A ⊆，所以集合B 有328=个. 故选：D ． 3．C 【解析】 【分析】利用等比数列的性质，分别从充分性、必要性两方面判断题设条件间的推出关系，进而确定它们充分、必要关系. 【详解】充分性：若s t p q a a a a =，当1q =时，21s t a a a =，21p q a a a =，此时s t +与p q +不一定相等，不充分．必要性：若s t p q +=+，则2112211s t s t s t a a a qa q -+-+-==，2112211p q p q p q a a a q a q -+-+-==，所以s t p q a a a a =，综上，“s t p q a a a a =”是“s t p q +=+”的必要不充分条件． 故选：C 4．C 【解析】 【分析】由题知4n =，进而得其展开式的通项公式44214C 2rrr r T x --+=，进而2r =时324T =为常数项.【详解】解：△二项式系数最大的项只有第三项， △展开式中共有5项，△4n =．△41122n x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭展开式第1r +项为()44421441C 2C 2rr r r r rr T x x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭，△当2r =时，2234C 26424T ==⨯=为常数项.故选：C ． 5．A 【解析】 【分析】根据向量垂直列方程，化简求得λ的值. 【详解】()0b a a λ-=⊥，20ab a λ⋅-=，40λ⋅=，△2λ=. 故选：A 6．C 【解析】 【分析】利用差角公式和诱导公式将题中所给的条件化简，求得11cos 25αα=，利用辅助角公式得到结果. 【详解】cos()sin()6παπα-+-=3sin 2αα+=，即11cos 25αα=1cos()35πα∴-= 1cos()35πα∴-=，故选：C. 【点睛】该题考查的是有关三角变换的问题，涉及到的知识点有余弦差角公式、诱导公式和辅助角公式，属于基础题目. 7．C 【解析】求出点A 的轨迹方程，确定A 点轨迹，然后通过几何意义求得最大值． 【详解】由0220kx y x ky k +=⎧⎨-+-=⎩，消去参数k 得22(1(1)2x y -+-=），所以A 在以(1,1)C又点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，此圆圆心为(2,3)D --5CD ，△AB 的最大值为5CD =+ 故选：C. 【点睛】本题考查交轨法求轨迹方程，考查两点间的距离公式．由圆的性质知某点到圆上的点间距离的最大值可以转化为到圆心的距离与半径的和． 8．B 【解析】 【分析】根据题意，构造函数()()2e 22ln 1xg x x a x x =--++-⎡⎤⎣⎦，0x ≥，在利用导数研究函数单调性得当2a ≤时，()g x 在[)0,∞+单调递增，()()00g x g >=满足条件；当2a >时，存在0x ，使得()g x 在[)00,x 上单调递减，进而()()00g x g <=得矛盾，进而得答案.【详解】解： 因为()2e 2ln 12xa x ax x ->-+++对()0,x ∀∈+∞恒成立，所以()2e 22ln 10xx a x x --++->⎡⎤⎣⎦对()0,x ∀∈+∞恒成立， 故令()()2e 22ln 1xg x x a x x =--++-⎡⎤⎣⎦，0x ≥，()00g =，()'12e 212e 211x x x g a a x x x -⎛⎫=-+-=-+ ⎪++⎝⎭2e 21x ax x =--+，()'00g =，()()''2e 12x g x ax -+=，()''02g a =-，()()()2''212e 11x g x a x x ⎡⎤=+-⎣⎦+， 当20a -≥时，即2a ≤时，()''0g x ≥，则()'g x 在[)0,∞+单调递增，()()''00g g x ≥=，△()g x 在[)0,∞+单调递增，△()()0g x g ≥.0x >时，()()00g x g >=，满足条件．2a >时，()''00g =，x 趋近于+∞时，()''g x 趋近于+∞， △()''g x 在[)0,∞+有解，设为0x ．[)00,x x ∈时，()''0g x <，()'g x 在[)00,x 上单调递减，()()''00g x g <=，△()g x 在[)00,x 上单调递减，△()()00g x g <=，矛盾 综上：2a ≤， 故选：B ． 9．BCD 【解析】 【分析】根据偶函数的定义判断选项A ，B ，根据对称性的定义判断D ，由解析式判断C. 【详解】解：x ∈Z 时，x -∈Z ，()()4f x f x -=-=．x ∉Z 时，x -∉Z ，()()4f x f x -==．△()()f x f x -=，即()f x 为偶函数，A 错，B 对． x ∈Z 时，()4f x =-，4-∈Z ，()()()44f f x f =-=-．x ∉Z 时，()4f x =，4∈Z ，()()()44f f x f ==-．△()()4f f x =-，C 对．x ∈Z 时，1x -∈Z ，此时()()1f x f x =-．x ∉Z 时，1x -∉Z ，此时()()1f x f x =-．综上：()()1f x f x =-，则()f x 关于12x =对称，D 对． 故选：BCD ． 10．AD 【解析】 【分析】化简函数解析式为()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的对称性可判断AB 选项；在()0,x π∈时，解方程()0f x =，可判断C 选项的正误；利用正弦型函数的单调性可判断D选项的正误. 【详解】解：()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()2Z 3x k k ππ+=∈，则()26k x k ππ=-∈Z ， 当1k =时，3x π=，所以，()f x 关于,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，A 对；由()2Z 32x k k πππ+=+∈得1226k x πππ=+=，则16k =∉Z ．所以，直线6x π=不是()f x 的对称轴，B 错； 当0πx <<时，72333x πππ<+<，由()2sin 203f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，可得23x ππ+=或2π，解得3x π=或56π，所以，函数()f x 在区间()0,π上有且仅有2个零点，C 错； 对于D 选项，由()222Z 232k x k k πππππ-+<+<+∈，则()5Z 1212k x k k ππππ-+<<+∈，所以，当51212ππθ-<≤时，()f x 在5,12k k πππθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，D 对．故选：AD. 11．ABD 【解析】 【分析】结合回归直线方程、样本中心点等知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】设()2,11A ，()6,22B ，由1134AB k =<， 而8个数据点的回归方程3b =，△03m <<，A ，B 正确． 而10个数据点的4826410x ⨯++==，16.58112216.510y ⨯++==，样品中心()4,16.5，则16.54,16.54m n n m =+=-，03,0412,1240,4.516.5416.5m m m m <<<<-<-<<-<，即4.516.5n <<△D 正确，C 错． 故选：ABD 12．ACD 【解析】 【分析】将已知条件转化为2e 2e 4a b a b +=+，通过构造函数法，结合导数判断出当0b <时，0a b <<，由此判断AB 选项的正确性.当0b >时，对b 取特殊值来判断CD 选项的正确性.【详解】()2e e 22a b b a -=-，2e 42e a b b a -=-，2e 2e 4a b a b +=+，构造()22e 2e 4e e 2b b b bf b b b b =+--=--，()'22e e 2b b f b =--，当0b <时，()'0f b <，f b 在(),0∞-上递减， ()()00f b f >=，此时2e 2e 4b b b b +>+，△22e 2e 2b a b a +>+，构造()2e 2xg x x =+，()g x 在R 上递增，△()()0g b g a a b >⇒<<，A 正确，B 错．当0b >时，()'f b 先负后正，△f b 先减后增，f b 有正有负，取21e 2e 4a b a =⇒+=+，此时()()21e 2e 41g g a a b =+>+=⇒<=，△0a b <<有可能，C 正确．取14b =，124e 2e 1a a +=+，()1124111e e 1424g g a a b ⎛⎫=+<+=⇒>= ⎪⎝⎭，△0a b >>也有可能，D 正确． 故选：ACD 13．2 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，双曲线的右焦点0)F ，其中一条渐近线的方程为22303y x x y =⇒-=，所以焦点到渐近线的距离为2d ==． 考点：点到直线的距离公式及双曲线的性质． 14．3- 【解析】 【分析】由递推式求数列的前几项，确定数列的项的规律，由规律确定2021a . 【详解】 解：132a a a +=，则3211a a a =-=，243a a a +=，则4322a a a =-=-， 354a a a +=，则5433a a a =-=-，6541a a a =-=-， 7652a a a =-=，8763a a a =-=，⋅⋅⋅⋅⋅⋅△数列{}n a 为周期数列，且周期6T =， 又202163365=⨯+，△202153a a ==-． 故答案为：-3.15．)714【解析】 【分析】连AC ，根据已知条件可得90ACD ∠=︒、AC =AD ，再由余弦定理、基本不等式求MA MD ⋅的范围，最后应用面积公式求区域ADM 面积的最大值. 【详解】连AC ，BA BC =，120B ∠=︒，△30ACB ∠=︒，则90ACD ∠=︒，AC =△AD =在△ADM 中，2227MA MD MA MD ⎛+-⋅⋅= ⎝⎭，△2272MA MD MD MAMD MD =+⋅⋅≥△(722MA MD ⋅≤=，当且仅当MA MD =时等号成立， (())727271122284MADS≤⋅⨯==．故答案为：)714.16． 563【解析】 【分析】根据锥体体积公式即可计算第一空；结合几何关系得底面ABCD 的外接圆的半径为5，进而根据空间几何体的外接球问题求解即可． 【详解】 解： ()168172ABCD S =+⨯=， 115678333S ABCD ABCD V S SD -=⋅=⨯⨯=，AC =△BCD 外接圆半径为r 圆为设为M ，则2r =，△=5r ， 设外接球的球心为O ，半径为R ，则()222225825OM R OM R ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，△221641OM R ⎧=⎨=⎩，△R = 17．(1)2n a n = (2)211334nn n ++-⋅【解析】 【分析】（1）根据11n n n a S S ++=-化简条件可得数列为等差数列，再由()54623s a a =+求出首项即可得出等差数列的通项公式；（2）根据等差、等比数列的求和公式利用分组求和即可求解. (1)()12n n n s s a n N *+=++∈ 12n n a a +∴-=，{}n a ∴是以2为公差的等差数列，()54623s a a =+352532a a ∴⨯=⨯，即1110(4)6(8)a a +=+， 解得12a =，2(1)22n a n n ∴=+-⨯=(2)11224na nn n b a n ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2231111111442(123)++++1444414n n n T n n n⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭∴=+++++=++ ⎪⎝⎭-211334nn n ++-⋅=.18．(1)证明见解析 【解析】 【分析】小问1：连接BD ，交AC 于O ，连接OE ，推导出1//OE BD ，由此能证明1//BD 平面EAC . 小问2：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线1AB 与平面EAC 所成角的大小． (1)证明：连接BD ，交AC 于O ，连接OE ，△在正方体1111ABCD A B C D -中，ABCD 是正方形，△O 是BD 中点， △E 为棱1DD 的中点，△1//OE BD ， △1BD ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ， △1//BD 平面EAC . (2)以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为2，则()2,0,0A ，()12,2,2B ，()0,2,0C ，()0,0,1E ，()10,2,2AB =，()2,0,1AE =-，()2,2,0AC =-， 设平面EAC 的法向量(),,n x y z =，则20220n AE x z n AC x y ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩，取1x =，得()1,1,2n =， 设直线1AB 与平面EAC 所成角的大小为θ，则116sin 8AB n AB nθ⋅===⋅⋅， △直线1AB 与平面EAC19．(1)证明见解析(2)证明见解析，△△△，1b = 【解析】 【分析】（1）变形()sin cos sin B A A B >+，整理可得cos 0B <，则可得答案；（2）分析可得△△不可能都成立，则△△均成立，再根据条件利用余弦定理计算可得答案. (1)△sin cos sin B A C >，△()sin cos sin sin cos cos sin B A A B A B A B >+=+， △sin cos 0A B <，即cos 0B <， △B 为钝角； (2)△B 为钝角，△2A C π+<，即A ，C 均为锐角，则4A π=，3C π=，若△△均成立，则4A π=，3C π=，此时5122B ππ=<与B 为钝角矛盾， △△△不可能都成立，△△△均成立，△a c >，△A C >，只能选△△△．在△ABC 中，由余弦定理得2224b b +-=由0b >，解得1b =． 20．(1)2211612x y +=(2)是定值，定值为127- 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得,a b ，由此求得椭圆方程.（2）设出直线l 的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，求得,M N 两点的坐标，由此计算出12127k k =-为定值. (1)由题意知22222124491c a a a b b a b c ⎧=⎪⎪=⎧⎪⎪+=⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=+⎪⎪⎩△椭圆C 的方程为：2211612x y +=.(2)设直线l 的方程为3x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，()4,0A -，()22223334483448x my my y x y =+⎧⇒++=⎨+=⎩， △()223418210m y my ++-=，1212221821,3434m y y y y m m --+=⋅=++， 直线AP 方程为：()1144y y x x =++， 令163x =得()112834y y x =+，△()112816,334y M x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭，同理()222816,334y N x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭， △()()()()()()121212121212122828161633347374477y y y y y y k k x x y x x my my =⋅⋅==++++++()2221212222116213421187497493434m m m y y m y y m m m m -⋅-+==--+++⋅+⋅+++()22248127318734m m m -==---++为定值．21．(1)532(2)△选择作答1T ，2T ，3T ，放弃作答4T ，5T ，理由见解析；△答案见解析 【解析】 【分析】（1）依题意得甲至少要答对1T ，2T ，3T 中的两题，分类讨论即可求解结果；（2）△1T ，2T ，3T 每道题作答的话，每题得分期望162 1.53⨯=>，4T ，5T 每道题作答的话，每题得分期望166 1.555⨯=<，即可采用策略作答；△结合二项分布求解即可．(1)前20道题和最后两道共可得分1203123+=分， 故1T ，2T ，3T 得分不低于13512312-=分． △甲至少要答对1T ，2T ，3T 中的两题．△若甲只答两题，2213139C 4464P ⎛⎫=⋅⨯= ⎪⎝⎭． △若甲答对三题，3211464P ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故甲的总分不低于135分的概率915646432P =+=． (2)△△1T ，2T ，3T 每道题作答的话，每题得分期望162 1.53⨯=>4T ，5T 每道题作答的话，每题得分期望166 1.555⨯=<故要使乙总分的数学期望最大，应选择作答1T ，2T ，3T ，放弃作答4T ，5T ． △前20道题和最后两道乙共可得分：1203123+=分． △乙的总分的所有可能取值为123，129，135，141 ()328123327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()213124129C 339P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭ ()223122135C 339P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，()311141327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， △乙总分的概率分布列为22．(1)1；(2)2个，证明见解析.【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，转化为导函数()sin 0x f x e a x '=-+≥在[0,)+∞上恒成立，再求导求其最小值即可；（2）利用导数分析函数在0,0x x ≤>上的单调性，根据两点的存在性定理可确定出2个零点，再由导数求出函数的最小值，求出最小值的范围即可得证. (1)由题意可知，()sin 0x f x e a x '=-+≥在[0,)+∞上恒成立， 因为()cos 1cos 0x f x e x x ''=+≥+≥，所以()'f x 单调递增， 所以(0)10'=-≥f a ，解得a ≤1，所以a 的最大值为1. (2)易知a =1，所以()2cos x g x e x x =--,当x ≤0时，()2sin 1sin 0x g x e x x '=-+≤-+≤，所以g (x )单调递减，当x >0时，()2sin x g x e x '=-+，则()cos 1cos 0x g x e x x ''=+≥+≥，所以()g x '单调递增, 因为(0)10,(1)2sin10g g e ''=-<=-+>，所以存在0(0,1)x ∈，使得00()g x '=，()g x 在0(,)x -∞上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，又(0)0g =，所以0()0g x ,因为2(2)4cos 20g e =-->，所以存在10(,2)x x ∈，使得1()0g x =， 所以()g x 有两个零点，又因为002sin 0xe x -+=，所以00000m 0in 0()()2cos 22sin cos xg x g x e x x x x x ==--=---，因为01x <，所以0000()sin cos )4g x x x x >--=+≥π故()g x >. 【点睛】关键点点睛：求函数零点时，注意利用导数研究出函数的单调性后，根据零点存在性定理可确定出函数的隐零点，求最小值时，要注意对隐零点的使用，才能化简求值，属于难题.答案第16页，共16页。
江苏省南京、徐州名校联盟2020-2021学年高三上学期10月联考数学试题
江苏省南京、徐州名校联盟2020-2021学年高三上学期10月联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．函数y =_______.2．已经复数z 满足(2)1z i i -=+（i 是虚数单位），则复数z 的模是________． 3．某算法的流程图如图所示，则物出的n 的值为_______．4．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），［50，60)，［60，70)，［70，80），［80，90），［90，100〕，则图中x 的值为_______5．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自选择其中一个参加，且每位同学参加各个兴趣小组的可能性相同，则这两位同学参加了不同的兴趣小组的概率为______6．把一个底面半径为3cm ，高为4 cm 的钢质实心圆柱熔化，然后铸成一个实心钢球(不计损耗），则该钢球的半径为_______cm7．在平面直角坐标系xoy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条准线与两条渐近线恰能围成一个等边三角形，则该双曲线的离心率为______． 8．若函数()2sin()(0)6f x x πωω=->的最小正周期为π，则当[0,]2x π∈时，()f x 的值域为_______． 9．若锐角α满足tan （α＋4π）＝3tanα＋1，则tan 2α的值为_____． 10．已知函数()1||xf x x =+，则不等式(3)(2)0f x f x -+>的解集为____． 11．设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，已知14799a a a ++=，25893a a a ++=，若对任意*n N ∈都有n k S S ≤成立，则k 的值为__________．12．在ABC △中，已知4CA =，CP =23ACB π∠=，点P 是边AB 的中点，则CP CA ⋅的值为_____.13．在平面直角坐标系xoy 中，已知圆M:22()(2)4x a y a -+-=，圆N ：22(2)(1)4x y -++=，若圆M 上存在一点P ，使得以点P 为圆心，1为半径的圆与圆N 有公共点，则实数a 的取值范围为________．14．已知函数32()31f x x x =-+，2211,0()1,04x x g x x x x ⎧-+>⎪=⎨--⎪⎩，若函数[]()y g f x a =-有6个零点（互不相同），则实数a 的取值范围为________．二、解答题15．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且asin 2BbsinA . （1）求B 的大小； （2）若cosC，求sin()A C -的值． 16．如图，在三梭柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ，E ，F 分别为AB ，A 1B 1的中点．（1）求证：AF ∥平面B 1CE ；（2）若A 1B 1⊥1B C ,求证：平面B 1CE ⊥平面ABC .17．随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利．根据大数据统计，某条地铁线路运行时，发车时间间隔t （单位：分钟）满足：4≤t ≤15，t ∈N ，平均每趟地铁的载客人数p(t)（单位：人）与发车时间间隔t 近似地满足下列函数关系：()()21800159,491800,915t t p t t ⎧--≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎩，其中t N ∈.(1）若平均每趟地铁的载客人数不超过1500人，试求发车时间间隔t 的值． (2）若平均每趟地铁每分钟的净收益为6()7920100p t Q t-=-（单位：元），问当发车时间间隔t 为多少时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大？井求出最大净收益．18．如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点（2a，3e )和(b）都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点C 是椭圆上异于左、右顶点的任一点，线段BC 的垂直平分线与直线BC ，AC 分别交于点P ，Q ，求证：OB PQ ⋅为定值． 19．已知函数2()2ln f x x ax bx =+-，,a b ∈R ．（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线为23y x =-，求实教a ，b 的值．（2）若0a =，且()2f x -对一切正实数x 值成立，求实数b 的取值范围． （3）若4b =，求函数()f x 的单调区间．20．已知数列｛n a ｝的首项a 1＝2，前n 项和为n S ，且数列｛n S n｝是以12为公差的等差数列·（1）求数列｛n a ｝的通项公式；（2）设2nn n b a =，*n N ∈，数列｛n b ｝的前n 项和为n T ，①求证：数列｛nT n｝为等比数列， ②若存在整数m ，n (m ＞n ＞1)，使得()()m m n n T m S T n S λλ+=+，其中λ为常数，且λ≥－2，求λ的所有可能值．参考答案1．[1,)+∞ 【分析】根据被开方数是非负数，解不等式即可. 【详解】要使得函数有意义，则10x -≥，解得[)1,x ∈+∞.故答案为：[)1,+∞. 【点睛】本题考查具体函数的定义域，涉及被开方数是非负的求解，属基础题.2 【详解】(2)1z i i -=+，11323,i iz i i i++∴=+==-z =.3．4 【分析】循环代入,n p 的值，直到10p >时输出p 的值. 【详解】第一次循环：2,4n p ==，不满足，执行循环； 第二次循环：3,9n p ==，不满足，执行循环；第三次循环，4,16n p ==，此时满足10p >，结束循环得：4n =. 故答案为：4. 【点睛】本题考查程序框图循环结构中的判断问题，难度较易.程序框图问题主要是两种处理方法：（1）逐步列举，将退出循环前的情况依次列举；（2）根据循环结构中的特殊形式简化运算. 4．0.018【分析】根据频率和为1来计算x 的值. 【详解】因为(0.00630.010.054)101x ⨯+++⨯=，所以0.018x =. 【点睛】本题考查频率分布直方图中频率总和为1这一知识点，难度较易. 5．23【分析】甲、乙参加了不同的兴趣小组的可能数与可能的情况总数的比值即为对应概率. 【详解】甲、乙参加了不同的兴趣小组的情况有23A =6种，总的可能情况有339⨯=种，则概率62=93P =.【点睛】本题考查古典概型的概率计算，难度较易.古典概型的概率计算公式为：P =待求事件包含的基本事件个数可能出现的事件总数.6．3 【分析】根据熔化前后的体积不变求解钢球的半径即可. 【详解】圆柱体积：=94=36V ππ⨯⨯圆柱，球的体积：34=3V r π球，所以34363r ππ=，解得3r =.【点睛】圆柱的体积公式：2V r h π=；球的体积公式：343V r π=.7 【分析】根据准线与两条渐近线恰能围成一个等边三角形得到渐近线的斜率，然后再计算离心率的值. 【详解】由题意可知其中一条渐近线倾斜角为：30︒，所以tan 303b a =︒=，则c e a ===.【点睛】本题考查双曲线的离心率计算，难度较易.求解离心率的时候如果涉及到几何图形，可借助几何图形的特点去分析问题. 8．［－1，2］ 【分析】先根据最小正周期求出ω的值，再利用给定区间分析函数()f x 的最值. 【详解】 因为2||T ππω==，所以2ω=，则()2sin(2)6f x x π=-； 又[0,]2x π∈ ，所以5(2)[,]666x πππ-∈-，则max ()2sin22f x π==，min ()2sin()16f x π=-=-. 所以()f x 的值域为：[1,2]-. 【点睛】本题考查三角函数的周期以及值域，难度较易.对于求解()sin()f x A x ωϕ=+在给定区间D 上的值域：先分析x D ∈时，x ωϕ+的范围，再根据sin y x =的单调性求解()f x 的值域. 9．34【分析】先计算tan α的值，再利用二倍角公式计算2tan α的值. 【详解】 由题意可知：1tan 3tan 11tan ααα+=+-，则1tan 3α=或tan 0α=（舍，α为锐角），则22122tan 33tan 211tan 41()3ααα⨯===--. 【点睛】常用的二倍角公式：2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-，sin 22sin cos ααα=，22tan tan21tan ααα=-.10．（1，＋∞） 【分析】先分析()f x 奇偶性，再分析()f x 单调性，然后将不等式转化为自变量间的关系，计算出解集. 【详解】()f x 的定义域为R ，关于原点对称且()()1||xf x f x x -=-=-+，所以()f x 是奇函数；又因为0x >时1()111x f x x x ==-++是增函数，所以()f x 在R 上是增函数； 因为(3)(2)0f x f x -+>，所以(3)(2)f x f x ->-且(2)(2)f x f x -=-，则有32x x ->-，故1x >，即(1,)x ∈+∞.【点睛】解关于函数值的不等式，一般可先考虑函数的奇偶性（注意定义域）和单调性，将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系，然后求解出对应解集. 11．20 【分析】由已知条件得出关于首项和公差的方程组，解出这两个量，计算出n S ，利用二次函数的基本性质求出n S 的最大值及其对应的n 值，即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由14712581399931293a a a a d a a a a d ++=+=⎧⎨++=+=⎩，解得1392a d =⎧⎨=-⎩，()()()221139140204002n n n d S na n n n n n n -∴=+=--=-+=--+.所以，当20n =时，n S 取得最大值，对任意*n N ∈都有n k S S ≤成立，则k S 为数列{}n S 的最大值，因此，20k =. 故答案为：20. 【点睛】本题考查等差数列前n 项和最值的计算，一般利用二次函数的基本性质求解，考查计算能力，属于中等题. 12．6 【分析】 根据()12CP CA CB =+，平方处理求得2CB =，()12CP CA CA CB CA ⋅=+⋅即可得解. 【详解】在ABC △中，已知4CA =，CP 23ACB π∠=，点P 是边AB 的中点， ()12CP CA CB =+ ()222124CP CA CB CA CB =++⋅211316842CB CB ⎛⎫⎛⎫=++⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2CB =则()()21111162462222CP CA CA CB CA CA CB CA ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=+⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：6 【点睛】此题考查平面向量的基本运算，关键在于根据向量的运算法则求出模长，根据数量积的运算律计算求解. 13．［－2，2］ 【分析】可将问题转化为圆M 的半径增加1后与圆N 有交点，然后利用圆心距计算即可. 【详解】根据题意可知：圆22()(2)9x a y a -+-=与圆22(2)(1)4x y -++=有交点，则5≤，得24a ≤，即[2,2]a ∈-.【点睛】解答有关圆的问题的时候，要学会将所给的条件转化成更容易处理的条件，比如针对一些“存在”“恒成立”问题，一般只需要根据已知条件找到临界条件即可进行计算求解. 14．3(,2)4【分析】令()f x t =，则()g t a =，作出()f x ，()g t 的图象，通过对a 分类讨论并结合函数的图象即可得到答案. 【详解】由已知，'2()36f x x x =-，易知()f x 在(0,2)上单调递减，在(,0)-∞，(2,)+∞上单调递增，令()f x t =，则()g t a =，作出()f x ，()g t 的图象如图所示当0a <时，y a =与()y g t =只有1个交点4t <-，此时()y f x =与y t =只有1个交点，不满足题意；当0a =时，y a =与()y g t =有2个交点120,4t t ==-，此时()y f x =与0y =有3个交点，与4y =-有1个交点，故一共有4个交点，不满足题意；当01a <<时，y a =与()y g t =有2个交点12(4,2),(2,0)t t ∈--∈-，要使原函数有6个零点，只需1(3,2)t ∈--，所以3(,1)4a ∈；当1a =时，y a =与()y g t =只有2个交点1212,2t t =-=，此时()y f x =与2y =-有3个交点，与12y =有3个交点，故一共有6个交点，满足题意； 当12a <<时，y a =与()y g t =有2个交点1211(0,),(,1)22t t ∈∈，此时()y f x =与11(0,)2y t =∈有3个交点，与21(,1)2y t =∈有3个交点，故一共有6个交点，满足题意；当2a ≥时，y a =与()y g t =只有1个交点1t >，此时()y f x =与y t =只有1个交点，不满足题意；综上，a 的取值范围是3(,2)4. 故答案为：3(,2)4【点睛】本题考查函数的零点与方程的综合应用，考查学生等价转化、数形结合的思想，是一道有一定难度的题.15．（1）4B π=；（2）sin()10A C -=【分析】（1）根据正弦定理以及二倍角公式完成求解；（2）利用A B C π++=计算A 的正余弦值，再利用两角差的正弦公式完成结果求解. 【详解】解：（1）由正弦定理得：sin sin 2sin A B B A =即2sin sin cos sin ()A B B B A =*∵A ，B ∈(0，π)∴(*)可化简为cos B =∴4B π=(2）由(1)知cos 2B =，可得sin B =∵cos 05C =，C ∈(0，π)∴sin 0C =[]cos cos ()cos()cos cos sin sin A B C B C B C C B π=-+=-+=-+22=-=∵A ∈(0，π)∴sin A =sin()sin cos sin cos A C A C C A -=-==【点睛】（1）边化角、角化边的过程中，对于正余弦定理的选择一定仔细分析； （2）三角形的问题中有一个隐含条件：A B C π++=，要注意使用. 16．（1）见证明；（2）见证明 【分析】（1）先通过证1//AF B E ，由线线平行经过判定定理得到线面平行；（2）由线线垂直1(,)AB B C AB EC ⊥⊥经过判定定理得到线面垂直11(A B ⊥平面)ABC ，再由面面垂直的判定定理证明即可.【详解】（1）证：在三棱锥ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，AB=A1B1∵E，F是AB，A1B1的中点∴FB1∥12A1B1，AE∥12AB，FB1=12A1B1，AE=12AB∴FB1∥12AE，FB1=12AE，四边形FB1EA为平行四边形∴AF∥EB1又∵AF⊄平面B1CE，EB1⊂平面B1CE，∴AF∥平面B1CE(2）证：由(1)知，AB∥A1B1∵A1B1⊥B1C∴AB⊥B1C又∵E为等腰ΔABC的中点∴AB⊥EC又∵EC∩B1C=CAB⊥B1C∴AB⊥平面B1CE又∵AB⊂平面ABC∴平面ABC⊥平面B1CE【点睛】（1）线面平行的判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行；（2）面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 17．（1）t=4.（2）当发车时间间隔为7min时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大，最大净收益为260元.【分析】（1）分段考虑()1500p t≤的解；（2）净收益也是分段函数，将其写出，分别考虑每段函数的在对应t的范围内的最大值. 【详解】解: （1）9≤t≤15时，1800≤1500，不满足题意，舍去.4≤t <9时，1800-15(9-t )2≤1500，即218610t t -+≥ 解得t舍)或t≤9∵4≤t <9，t ∈N. ∴t =4.(2）由题意可得4410(90)1520,49,2880100,915,t t t N tQ t t N t⎧-++≤<∈⎪⎪=⎨⎪-≤≤∈⎪⎩4≤t <9，t =7时，1520Q ≤-=260(元) 9≤t ≤15，t =9时，28801009Q ≤-=220(元) 答:(1)若平均每趟地铁的载客人数不超过1500人，发车时间间隔为4min.(2)问当发车时间间隔为7min 时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大，最大净收益为260元. 【点睛】处理函数的实际应用问题时，如果涉及到分段函数，一定要记得分段去处理，求解出每一段满足的解，同时在分析函数的时候也可以借助每段函数本身具备的性质，必要时利用导数这个工具也是可行的.18．（1）22143x y +=；（2）见证明 【分析】（1）将点的坐标代入方程，联立求解；（2）设出C 点坐标，然后求解出P Q 、的坐标，最后利用向量数量积的坐标表示计算结果得出定值. 【详解】（1）由题意知：222222191431e b b e a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，结合222a b c =+ 解得2a =，b =1c =.所以椭圆的标准方程为：22143x y +=.(2）由题意知：A (-2，0)，B (2，0)，O (0，0)，设C (0x ，0y )，则P (022x +，02y) AC l :00(2)2y y x x =++，PQ l :000022()22x x yy x x y -+=-+ 化简得：PQ l ：00026x yy x y -=- 连理AC ，PQ 直线的方程，解得Q 000014(18),22(2)x y x x ⎛⎫++⎪+⎝⎭所以(2,0)(6,)12P Q OB PQ y y ⋅=⋅-=. 【点睛】本题考查圆锥曲线中的椭圆方程以及定值问题，难度一般.对于求解方程，将满足条件的等式联立即可直接求解；定值问题中最难的就是如何将待求的式子表示出来，当能正确表示的时候，即可进行计算，中间可能会借助点自身满足的关系式进行化简. 19．（1）1,2a b ==；（2）2b ≥；（3）见解析. 【分析】（1）利用导数的几何意义即可；（2）分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值即可； （3）对a 分0a =，0a <，01a <<，1a ≥四种情况讨论即可. 【详解】（1）'2()2f x ax b x =+-，由题意(1)1(1)2f f '=-⎧⎨=⎩，即1222a b a b -=-⎧⎨+-=⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩；（2）当0a =时，()2ln f x x bx =-，()2f x -对一切正实数x 值成立，即2ln 2x b x+≥对一切正实数x 值成立， 设2ln 2()x m x x +=，则'22ln ()x m x x -=，由'()0m x >得01x <<， 由'()0m x <得1x >，故()m x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞单调递减， 所以max ()(1)2m x m ==，所以2b ≥；（3）当4b =时，2()2ln 4f x x ax x =+-，2'22(21)()24ax x f x ax x x-+=+-=，令2()21g x ax x =-+当0a =时，由'()0g x >得102x <<，由'()0g x <得12x >， 所以()f x 的单调递增区间为1(0,)2，单调递减区间为1(,)2+∞；当0a <时，由'()0g x >得0x <<'()0g x <得x >()f x 的单调递增区间为，单调递减区间为)+∞；当0a >时，16(1)a ∆=-，若1a ≥，则16(1)0a ∆=-≤，()0g x ≥，'()0f x ≥，所以()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间；若01a <<，由'()0g x >得0x <<x >'()0g x <得x <<所以()f x 的单调递增区间为，)+∞，单调递减区间为11(,a a； 综上，当0a =时，()f x 的单调递增区间为1(0,)2，单调递减区间为1(,)2+∞；当0a <时，()f x 的单调递增区间为1(0,a-，单调递减区间为1(,)a+∞；当1a ≥时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间；当01a <<时，()f x 的单调递增区间为1(0,a-，1()a+∞，单调递减区间为； 【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数恒成立问题，函数单调性问题，考查学生逻辑推理能力，是一道中档题.20．（1）1n a n =+；（2）①见证明；②当n =2，m =4时，λ=-2，当n =2，m =3时，λ=-1. 【分析】（1）先求解等差数列{}nS n的通项公式，再根据1(2)n n n S S a n --=≥求解{}n a 的通项公式；（2）①采用错位相减法先求n T ，再根据11(0)n n T n c c T n++=≠，证明{}n T n 为等比数列；②将所给的等式变形，然后得到对应的等量关系，接着分析此等量关系（借助数列的单调性）在什么时候满足即m n λ、、取什么值时能满足要求. 【详解】（1）因为12a =，所以121S = 所以1132(1)222n S n n n =+-=+即21322n S n n ==+当2n ≥时，2211311(1)(1)12222n S n n n -=-+-=+-∴11(2)n n n a S S n n -=-=+≥当n=1时，12a =，符合上述通项，所以1()n a n n N *=+∈ (2）①因为1()n a n n N *=+∈，所以2(1)nn b n =+ 所以23222324...2(1)nn T n =⋅+⋅+⋅++⋅+ 则23412222324...2(1)n n T n +=⋅+⋅+⋅++⋅+ 两式相减，可整理得12n n T n +=⋅∴+12n n T n =，+12+1n n T n n T ⋅=，且141T =所以数列n T n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为首项，2为公比的等比数列.②由①可知，12n n T n +=⋅，且由（1）知21322n S n n ==+，代入()()m m n nT m S T n S λλ+=+可得21121322213222m n m m m m n n n n λλ++⎛⎫++ ⎪⋅⎝⎭=⋅⎛⎫++ ⎪⎝⎭整理得22232232m n m m n n λλ++=++即：22323222n m n n m m λλ++++=，设2322n nn n c λ++=，则m n c c = 则222111(1)3(1)23224222n n n n n n n n n n n c c λλλ+++++++++---+-=-= 因为2λ≥-，所以当3n ≥时，2112402n n n n n c c λ++---+-=＜，即1n n c c +＜ 因为1m n ＞＞，且245143160288c c λλλ+++-=-=≥ 所以2(5)n c c n ≥＞所以24c c =或23c c =，即n=2，m =4或3 当n =2，m =4时，λ=-2， 当n =2，m =3时，λ=-1. 【点睛】（1）错位相减法求和：能使用错位相减法的数列的通项公式必须满足:（等差数列）⨯（等比数列）的形式；（2）对于数列中探究等式成立的条件的问题解决方法：先将等式化简，得到一个容易直接证明或者可利用函数或数列性质分析的式子，对此进行分析，然后得出对应结论.。
2020-2021学年江苏省苏北四市联考高三(上)期中考试数学试题Word版含解析
2020-2021学年江苏省苏北四市联考高三（上）期中考试数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知全集U={﹣1，0，1，2}，集合A={﹣1，2}，则∁U A= ．2．（5分）已知复数z满足z（1﹣i）=2，其中i为虚数单位，则z的实部为．3．（5分）函数y=cos（x+）的最小正周期为．4．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出x的值为．5．（5分）某校有足球、篮球、排球三个兴趣小组，共有成员120人，其中足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人．现用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取24人来调查活动开展情况，则在足球兴趣小组中应抽取人．6．（5分）若随机地从1，2，3，4，5五个数中选出两个数，则这两个数恰好为一奇一偶的概率为．7．（5分）设实数x，y满足，则3x+2y的最大值为．8．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，且a2=3，S4=16，则S9的值为．9．（5分）将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体体积是．10．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B1，B2分别为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点．若B2F⊥AB1，则椭圆C的离心率是．11．（5分）若tanβ=2tanα，且cosαsinβ=，则sin（α﹣β）的值为．12．（5分）已知正数a，b满足+=﹣5，则ab的最小值为．13．（5分）已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，AB=8，CD=6，则•的取值范围是．14．（5分）已知函数f（x）=|x2﹣4|+a|x﹣2|，x∈[﹣3，3]．若f（x）的最大值是0，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．15．（14分）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanB=2，tanC=3．（1）求角A的大小；（2）若c=3，求b的长．16．（14分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知D，E分别为BC，B1C1的中点，点F在棱CC1上，且EF ⊥C1D．求证：（1）直线A1E∥平面ADC1；（2）直线EF⊥平面ADC1．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2﹣4x=0及点A（﹣1，0），B（1，2）（1）若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，MN=AB，求直线l的方程；（2）在圆C上是否存在点P，使得PA2+PB2=12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．18．（16分）某城市有一直角梯形绿地ABCD，其中∠ABC=∠BAD=90°，AD=DC=2km，BC=1km．现过边界CD上的点E处铺设一条直的灌溉水管EF，将绿地分成面积相等的两部分．（1）如图①，若E为CD的中点，F在边界AB上，求灌溉水管EF的长度；（2）如图②，若F在边界AD上，求灌溉水管EF的最短长度．19．（16分）在数列{a n}中，已知a1=，a n+1=a n﹣，n∈N*，设S n为{a n}的前n项和．（1）求证：数列{3n a n}是等差数列；（2）求S n；（3）是否存在正整数p，q，r（p＜q＜r），使S p，S q，S r成等差数列？若存在，求出p，q，r的值；若不存在，说明理由．20．（16分）设函数f（x）=lnx﹣ax2+ax，a为正实数．（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求证：f（）≤0；（3）若函数f（x）有且只有1个零点，求a的值．[选修4-1：几何证明选讲]21．（10分）如图，AB是圆O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，过E作BA的延长线的垂线，垂足为F．求证：AB2=BE•BD﹣AE•AC．[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）求椭圆C：+=1在矩阵A=对应的变换作用下所得的曲线的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程为ρsin（θ+）=3，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]24．设c＞0，|x﹣1|＜，|y﹣1|＜，求证：|2x+y﹣3|＜c．七、解答题（共2小题，满分20分）25．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BAD=90°，AD=AP=4，AB=BC=2，M为PC的中点．（1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值；（2）点N在线段AD上，且AN=λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值．26．（10分）设n∈N*，f（n）=3n+7n﹣2．（1）求f（1），f（2），f（3）的值；（2）证明：对任意正整数n，f（n）是8的倍数．2020-2021学年江苏省苏北四市联考高三（上）期中考试数学试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知全集U={﹣1，0，1，2}，集合A={﹣1，2}，则∁U A= {0，1} ．【分析】根据补集的定义进行计算即可．【解答】解：全集U={﹣1，0，1，2}，集合A={﹣1，2}，所以∁U A={0，1}．故答案为：{0，1}．【点评】本题考查了补集的定义与计算问题，是基础题目．2．（5分）已知复数z满足z（1﹣i）=2，其中i为虚数单位，则z的实部为 1 ．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z（1﹣i）=2，得，∴z的实部为1．故答案为：1．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．（5分）（2016秋•江苏期中）函数y=cos（x+）的最小正周期为4π．【分析】找出ω的值，代入周期公式计算即可得到结果．【解答】解：∵ω=，∴函数的最小正周期T==4π，故答案为：4π【点评】此题考查了三角函数的周期性及其求法，熟练掌握周期公式是解本题的关键．4．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出x的值为23 ．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的S是什么．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，知第1次循环，x=5，n=2；第2次循环，x=11，n=3；第3次循环，x=23，n=4；退出循环，输出x=23．故答案为：23．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结果，是基础题．5．（5分）某校有足球、篮球、排球三个兴趣小组，共有成员120人，其中足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人．现用分层抽样的方法从这三个兴趣小组中抽取24人来调查活动开展情况，则在足球兴趣小组中应抽取8 人．【分析】先求出足球、篮球、排球的成员的比例，再根据比例确定足球兴趣小组应抽取的学生数．【解答】解：足球、篮球、排球的成员分别有40人、60人、20人则比例为40：60：20=2：3：1，则足球兴趣小组中应抽取：24×=8人故答案为：8．【点评】本题考查基本的分层抽样，本题考查分层抽样的定义和方法，用样本容量除以每个个体被抽到的概率等于个体的总数．属基本题．6．（5分）若随机地从1，2，3，4，5五个数中选出两个数，则这两个数恰好为一奇一偶的概率为．【分析】先求出基本事件总数，再求出这两个数恰好为一奇一偶包含的基本事件个数，由此能求出这两个数恰好为一奇一偶的概率．【解答】解：随机地从1，2，3，4，5五个数中选出两个数，基本事件总数n=，这两个数恰好为一奇一偶包含的基本事件个数m==6，∴这两个数恰好为一奇一偶的概率p==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．7．（5分）设实数x，y满足，则3x+2y的最大值为 3 ．【分析】作出不等式组对于的平面区域，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对于的平面区域如图：设z=3x+2y，则y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=，经过点C时，直线y=的截距最大，此时z最大，由，解得，即C（1，0），此时z max=3×1+2×0=3，故答案为：3【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．8．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，且a2=3，S4=16，则S9的值为81 ．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=3，S4=16，∴a1+d=3，4a1+d=16，解得a1=1，d=2．则S9=9+×2=81．故答案为：81．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（5分）将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体体积是．【分析】几何体为两个同底等高的圆锥的组合体．【解答】解：等腰直角三角形的斜边长为4，斜边的高为2．∴旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥的组合体．圆锥的底面半径为2，高为2．∴几何体的体积V=2×=．故答案为：．【点评】本题考查了旋转体的结构特征和体积计算，属于基础题．10．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B1，B2分别为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点．若B2F⊥AB1，则椭圆C的离心率是．【分析】由B2F⊥AB1，可得•=0，即可得出．【解答】解：F（c，0），A（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b），∴=（﹣c，b），=（a，b），∵B2F⊥AB1，∴•=﹣ac+b2=0，∴a2﹣c2﹣ac=0，化为：e2+e﹣1=0，0＜e＜1．解得e=，故答案为：．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）若tanβ=2tanα，且cosαsinβ=，则sin（α﹣β）的值为﹣．【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得 2sinαcosβ=cosαsinβ，再根据cosαsinβ=，求得 sinαcosβ的值，利用两角差的正弦公式求得sin（α﹣β）的值．【解答】解：∵tanβ=2tanα，即=2，∴2sinαcosβ=cosαsinβ．∵cosαsinβ=，∴sinαcosβ=，则sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ=﹣=﹣，故答案为：．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦公式的应用，属于基础题．12．（5分）已知正数a，b满足+=﹣5，则ab的最小值为36 ．【分析】正数a，b满足+=﹣5，﹣5≥，化为：﹣5﹣6≥0，解出即可得出．【解答】解：∵正数a，b满足+=﹣5，∴﹣5≥，化为：﹣5﹣6≥0，解得≥6，当且仅当=，+=﹣5，即a=2，b=18时取等号．解得ab≥36．故答案为：36．【点评】本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（5分）已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，AB=8，CD=6，则•的取值范围是[﹣9，0] ．【分析】以AB所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设出点M（x，y），表示出•，求出它的最值即可．【解答】解：以AB所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示；且圆O的直径为AB，设M（x，y），则A（4，0），B（﹣4，0），=（4﹣x，﹣y），=（﹣4﹣x，﹣y）；•=（4﹣x）（﹣4﹣x）+（﹣y）2=x2+y2﹣16，又M是圆O的弦CD上一动点，且CD=6，所以16﹣9≤x2+y2≤16，即7≤x2+y2≤16，其中最小值在CD的中点时取得，所以•的取值范围是[﹣9，0]．故答案为：[﹣9，0]．【点评】本题考查了平面向量的数量积与应用问题，解题的关键是建立适当的平面直角坐标系，表示出出•，是综合性题目．14．（5分）已知函数f（x）=|x2﹣4|+a|x﹣2|，x∈[﹣3，3]．若f（x）的最大值是0，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5] ．【分析】由题意可得f（x）=|x2﹣4|+a|x﹣2|=|x﹣2|（|x+2|+a）≤0，分离参数，得到a≤﹣|x+2|，设y=﹣|x+2|，x∈[﹣3，3]．画出图象，结合图象即可得到a的取值范围．【解答】解：f（x）=|x2﹣4|+a|x﹣2|=|x﹣2|（|x+2|+a）≤0，当x=2时，f（x）=0恒成立，当x≠2时，∴|x+2|+a≤0，∴a≤﹣|x+2|，设y=﹣|x+2|，x∈[﹣3，3]．则其图象为：由图象可知y min=﹣5，a≤﹣5，故实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5]，故答案为：（﹣∞，﹣5]【点评】本题考查了参数的取值的范围，关键是分离参数，属于基础题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．15．（14分）在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanB=2，tanC=3．（1）求角A的大小；（2）若c=3，求b的长．【分析】（1）利用两角和的正切函数公式表示出tan（B+C），把tanB和tanC的值代入即可求出tan（B+C）的值，根据三角形的内角和定理及诱导公式得到tanA等于﹣tan（B+C），进而得到tanA的值，结合A的范围即可得解；（2）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinB，sinC的值，进而利用正弦定理即可得解b的值．【解答】（本题满分为10分）解：（1）因为：tanB=2，tanC=3，tan（B+C）===﹣1，…（3分）因为：A=180°﹣B﹣C，（4分）所以：tanA=tan（180°﹣（B+C））=﹣tan（B+C）=1…（5分）因为：A∈（0，π），所以：A=．（2）因为：c=3，tanB=2，tanC=3．所以：sinB=，sinC=，所以由正弦定理可得：b===2…（10分）【点评】本题主要考查了两角和的正切函数公式，三角形的内角和定理，诱导公式，同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．16．（14分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知D，E分别为BC，B1C1的中点，点F在棱CC1上，且EF ⊥C1D．求证：（1）直线A1E∥平面ADC1；（2）直线EF⊥平面ADC1．【分析】（1）连接ED，∵D，E分别为BC，B1C1的中点．可得四边形B1BDE是平行四边形，进而证明四边形AA1ED是平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明直线A1E∥平面ADC1．（2）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，利用线面垂直的判定与性质定理可得AD⊥BB1，又△ABC是正三角形，可得AD⊥BC，再利用线面垂直的判定定理即可证明结论．【解答】证明：（1）连接ED，∵D，E分别为BC，B1C1的中点，∴B1E∥BD且B1E=BD，∴四边形B1BDE是平行四边形，∴BB1∥DE且BB1=DE，又BB1∥AA1且BB1=AA1，∴AA1∥DE且AA1=DE，∴四边形AA1ED是平行四边形，∴A1E∥AD，又∵A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，∴直线A1E∥平面ADC1．（2）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，所以AD⊥BB1，又△ABC是正三角形，且D为BC的中点，∴AD⊥BC，又BB1，BC⊂平面B1BCC1，BB1∩BC=B，∴AD⊥平面B1BCC1，又EF⊂平面B1BCC1，∴AD⊥EF，又EF⊥C1D，C1D，AD⊂平面ADC1，C1D∩AD=D，∴直线EF⊥平面ADC1．【点评】本题考查了空间位置关系、线面平行与垂直的判定性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2﹣4x=0及点A（﹣1，0），B（1，2）（1）若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，MN=AB，求直线l的方程；（2）在圆C上是否存在点P，使得PA2+PB2=12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．【分析】（1）求出圆心C到直线l的距离，利用勾股定理建立方程，即可求直线l的方程；（2）求出P的轨迹方程，利用两圆的位置关系，即可得出结论．【解答】解：（1）圆C的标准方程为（x﹣2）2+y2=4，所以圆心C（2，0），半径为2．因为l∥AB，A（﹣1，0），B（1，2），所以直线l的斜率为，设直线l的方程为x﹣y+m=0，…（2分）则圆心C到直线l的距离为．…（4分）因为，而，所以，…（6分）解得m=0或m=﹣4，故直线l的方程为x﹣y=0或x﹣y﹣4=0．…（8分）（2）假设圆C上存在点P，设P（x，y），则（x﹣2）2+y2=4，PA2+PB2=（x+1）2+（y﹣0）2+（x﹣1）2+（y﹣2）2=12，即x2+y2﹣2y﹣3=0，即x2+（y﹣1）2=4，…（10分）因为，…（12分）所以圆（x﹣2）2+y2=4与圆x2+（y﹣1）2=4相交，所以点P的个数为2．…（14分）【点评】本题考查了直线与圆的方程的求法，考查了圆与圆的位置关系，是中档题．18．（16分）某城市有一直角梯形绿地ABCD，其中∠ABC=∠BAD=90°，AD=DC=2km，BC=1km．现过边界CD 上的点E处铺设一条直的灌溉水管EF，将绿地分成面积相等的两部分．（1）如图①，若E为CD的中点，F在边界AB上，求灌溉水管EF的长度；（2）如图②，若F在边界AD上，求灌溉水管EF的最短长度．【分析】（1）取AB中点G，则四边形BCEF的面积为，求出GF，即可求灌溉水管EF的长度；（2）△ADC中，由余弦定理，得，即可求灌溉水管EF的最短长度．【解答】解：（1）因为AD=DC=2，BC=1，∠ABC=∠BAD=90°，所以，…（2分）取AB中点G，则四边形BCEF的面积为，即=，解得，…（6分）所以（km）．故灌溉水管EF的长度为km．…（8分）（2）设DE=a，DF=b，在△ABC中，，所以在△ADC中，AD=DC=CA=2，所以∠ADC=60°，所以△DEF的面积为，又，所以，即ab=3．…（12分）在△ADC中，由余弦定理，得，当且仅当时，取“=”．故灌溉水管EF的最短长度为km．…（16分）【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，考查余弦定理，属于中档题．19．（16分）在数列{a n}中，已知a1=，a n+1=a n﹣，n∈N*，设S n为{a n}的前n项和．（1）求证：数列{3n a n}是等差数列；（2）求S n；（3）是否存在正整数p，q，r（p＜q＜r），使S p，S q，S r成等差数列？若存在，求出p，q，r的值；若不存在，说明理由．【分析】（1）把给出的数列递推式a n+1=a n﹣，n∈N*，变形后得到新数列{3n a n}，该数列是以1为首项，以﹣2为公差的等差数列；（2）由（1）推出{a n}的通项公式，利用错位相减法从而求得求S n；（3）根据等差数列的性质得到2S q=S p+S r，从而推知p，q，r的值．【解答】（1）证明：由a n+1=a n﹣，n∈N*，得到3n+1a n+1=3n a n﹣2，则3n+1a n+1﹣3n a n=﹣2．又∵a1=，∴3×a1=1，数列{3n a n}是以1为首项，以﹣2为公差的等差数列；（2）由（1）可以推知：3n a n=1﹣2（n﹣1），所以，a n=，所以S n=﹣﹣﹣﹣…﹣，①S n=﹣﹣﹣﹣…﹣，②①﹣②，得S n=﹣2（+++…+）﹣，=﹣2×﹣，=，所以S n=．（3）假设存在正整数p，q，r（p＜q＜r），使S p，S q，S r成等差数列．则2S q=S p+S r，即=+．由于当n≥2时，a n=＜0，所以数列{S n}单调递减．又p＜q，所以p≤q﹣1且q至少为2，所以≥，﹣=．①当q≥3时，≥≥，又＞0，所以＜+，等式不成立．②当q=2时，p=1，所以=+．所以=，所以r=3，（数列{S n}单调递减，解唯一确定）．综上可知，p，q，r的值分别是1，2，3．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（16分）设函数f（x）=lnx﹣ax2+ax，a为正实数．（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求证：f（）≤0；（3）若函数f（x）有且只有1个零点，求a的值．【分析】（1）求导数，确定切线的斜率，切点坐标，可得切线方程；（2）构造函数，确定函数的单调性与最值，即可证明结论；（3）由（1）可知，a=2时，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=0，即可得出结论．【解答】（1）解：当a=2时，f（x）=lnx﹣2x2+2x，f′（x）=﹣2x+1，∴f′（1）=0，∵f（1）=0，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=0；（2）证明：f（）=﹣lna﹣+1（a＞0），令g（x）=﹣lnx﹣+1（x＞0），则g′（x）=，∴0＜x＜1时，g′（x）＞0，函数单调递增；x＞1时，g′（x）＜0，函数单调递减，∴x=1时，函数取得极大值，即最大值，∴g（x）≤g（1）=0，∴f（）≤0；（3）解：由（1）可知，a=2时，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=0，∴若函数f（x）有且只有1个零点，则a=2．【点评】本题考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性极值与最值等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．[选修4-1：几何证明选讲]21．（10分）如图，AB是圆O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，过E作BA的延长线的垂线，垂足为F．求证：AB2=BE•BD﹣AE•AC．【分析】连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆知，BD•BE=BA •BF，再利用△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BE•BD﹣AE•AC．【解答】证明：连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，又EF⊥AB，∠AFE=90°，则A，D，E，F四点共圆，∴BD•BE=BA•BF，又△ABC∽△AEF，∴，即AB•AF=AE•AC∴BE•BD﹣AE•AC=BA•BF﹣AB•AF=AB•（BF﹣AF）=AB2．【点评】本小题主要考查与圆有关的比例线段、四点共圆的证明方法、三角形相似等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．[选修4-2：矩阵与变换]22．（10分）求椭圆C：+=1在矩阵A=对应的变换作用下所得的曲线的方程．【分析】确定变换前后坐标之间的关系，代入椭圆方程，即可求出曲线的方程．【解答】解：设椭圆C上的点（x1，y1）在矩阵A对应的变换作用下得到点（x，y），则，…（5分）则代入椭圆方程，得x2+y2=1，所以所求曲线的方程为x2+y2=1．…（10分）【点评】本题考查矩阵变换，考查学生的计算能力，确定坐标之间的关系是关键．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程为ρsin（θ+）=3，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程．【分析】由展开得，再利用互化公式即可得出．【解答】解：由展开得，又ρcosθ=x，ρsinθ=y，∴曲线C的直角坐标方程为．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．设c＞0，|x﹣1|＜，|y﹣1|＜，求证：|2x+y﹣3|＜c．【分析】运用绝对值不等式的性质：|a+b|≤|a|+|b|，结合不等式的基本性质，即可得证．【解答】证明：由c＞0，|x﹣1|＜，|y﹣1|＜，可得|2x+y﹣3|=|2（x﹣1）+（y﹣1）|≤2|x﹣1|+|y﹣1|＜=c，则|2x+y﹣3|＜c成立．【点评】本题考查绝对值不等式的证明，注意运用绝对值不等式的性质，以及不等式的简单性质，考查运算能力，属于基础题．七、解答题（共2小题，满分20分）25．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BAD=90°，AD=AP=4，AB=BC=2，M为PC的中点．（1）求异面直线AP，BM所成角的余弦值；（2）点N在线段AD上，且AN=λ，若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值．【分析】（1）分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出，，利用向量的夹角公式，即可求异面直线AP，BM所成角的余弦值；（2）求出平面PBC的一个法向量，利用直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求λ的值．【解答】解：（1）因为PA⊥平面ABCD，且AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，又因为∠BAD=90°，所以PA，AB，AD两两互相垂直．分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则由AD=2AB=2BC=4，PA=4可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，4，0），P（0，0，4），又因为M为PC的中点，所以M（1，1，2）．所以，，…（2分）所以=，所以异面直线AP，BM所成角的余弦值为．…（5分）（2）因为AN=λ，所以N（0，λ，0）（0≤λ≤4），则，，，设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则令x=2，解得y=0，z=1，所以=（2，0，1）是平面PBC的一个法向量．…（7分）因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，所以，解得λ=1∈[0，4]，所以λ的值为1．…（10分）【点评】本题考查空间角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．26．（10分）设n∈N*，f（n）=3n+7n﹣2．（1）求f（1），f（2），f（3）的值；（2）证明：对任意正整数n，f（n）是8的倍数．【分析】（1）由n∈N*，f（n）=3n+7n﹣2，分别取n=1，2，3，能求出f（1），f（2），f（3）的值．（2）利用用数学归纳法能证明对任意正整数n，f（n）是8的倍数．【解答】解：（1）∵n∈N*，f（n）=3n+7n﹣2，∴f（1）=3+7﹣2=8，f（2）=32+72﹣2=56，f（3）=33+73﹣2=368．证明：（2）用数学归纳法证明如下：①当n=1时，f（1）=3+7﹣2=8，成立；②假设当n=k时成立，即f（k）=3k+7k﹣2能被8整除，则当n=k+1时，f（k+1）=3k+1+7k+1﹣2=3×3k+7×7k﹣2=3（3k+7k﹣2）+4×7k+4=3（3k+7k﹣2）+4（7k+1），∵3k+7k﹣2能被8整除，7k+1是偶数，∴3（3k+7k﹣2）+4（7k+1）一定能被8整除，即n=k+1时也成立．由①②得：对任意正整数n，f（n）是8的倍数．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数值是8的倍数的证明，是基础题，解题时要认真审，注意数学归纳法的合理运用．。
2020年江苏高三四模数学试卷(百校联考)答案
此时
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2020/4/27
2020年江苏高三四模数学试卷（百校联考）
设 为 的中点，
，
即
，
即
，
，
，
设
，则
，
取
得
，
“获
所以
，
器
∴
．
神
课
二、解答题
“授
15. （ 1 ）证明见解析．
时， 的最大值为
有最大值 ， ．
更多 17. （ 1 ）
．
（2）
或
．
【解析】（ 1 ）∵离心率为 ， 设焦距为 ，
的周长为 ，
则
，解得
，
∴椭圆方程为
．
（ 2 ）设 为
，则
，且
，
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当
时，有
综上，
，无解20，20年江苏高三四模数学试卷（百校联考）
的解集为
．
11. 【解析】 设容器底面半径为 ，原水面所在半径为 ，母线长为 ，
江苏省南通市四校(四星级学校)2020-2021学年高三上学期第一次联考数学试题
15．已知函数 在区间 上单调递增，则实数a的取值范围为_________________.
16．已知函数 .若函数 有 个零点，则实数 的取值范围是________.
四、解答题
17．在① ，② ，③ 这三个条件中选择一个，补充在下面问题中，并给出解答.
【详解】
因为 为定义在 上周期为2的奇函数，
所以 ， ，
所以 ， ， ， ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ， ， ， ， .
所以函数 在 上零点的个数为11.
故选：C.
【点睛】
本题考查了函数奇偶性与周期性的应用，考查了函数零点的概念，属于基础题.
7．D
【分析】
通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得 ，将点的坐标代入直线方程，求得 ．
A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件D．必要不充分条件
3．函数f(x)= 在[—π，π]的图像大致为
A． B．
C． D．
4．若函数 ，是定义在 上的减函数，则 的取值范围为（）
A． B．
C． D．
5．平面向量 ， ， ，则向量 、 夹角的余弦值为（）
A． B． C． D．
6． 为定义在 上周期为2的奇函数，则函数 在 上零点的个数为（）
故选：AB
【点睛】
本题考查了集合的包含关系，根据集合交并补的结果判断集合间的关系，属于基础题.
10．CD
【分析】
令 结合对数函数图象，分类讨论 ， ， 时a，b的关系即可知不成立的选项.
江苏省南通市四校（四星级学校）2020-2021学年高三上学期第一次联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________