1.4生活中的优化问题举例
例3、经统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的 、经统计表明， 耗油量y（ 关于行驶速度x（千米/小时 小时） 耗油量 （升）关于行驶速度 （千米 小时）的函数解析式 可以表示为： 可以表示为：
1 3 3 y= x − x + 8(0 < x ≤ 120). 128000 80
若已知甲、乙两地相距 千米。 若已知甲、乙两地相距100千米。 千米 千米/小时的速度匀速行驶时 （I）当汽车以 千米 小时的速度匀速行驶时，从甲地到 ）当汽车以40千米 小时的速度匀速行驶时， 乙地要耗油为 17.5 升; 千米/小时 （II）若速度为 千米 小时，则汽车从甲地到乙地需 ）若速度为x千米 小时， 行驶
的速度行驶时， 解：设当汽车以x km/h的速度行驶时，从甲地到乙地 设当汽车以 的速度行驶时 的耗油量为h(x) L，则 的耗油量为 ，
1 3 100 3 h( x ) = ( x − x + 8). 128000 80 x 1 2 800 15 = x + − (0 < x ≤ 120) 1280 x 4
解：设每瓶饮料的利润为y，则 设每瓶饮料的利润为 ， r3 2 y = f (r ) = 0.8π( - r ) (0 < r ≤ 6) 3 ∵当r∈(0，2)时， f (r ) < f (0) = 0 ∈ ， 时 而f (6)=28.8π，故f (6)是最大值 π 是最大值 答：当瓶子半径为6cm时，每瓶饮料的利润最大， 当瓶子半径为 时 每瓶饮料的利润最大， 当瓶子半径为2cm时，每瓶饮料的利润最小 当瓶子半径为 时 每瓶饮料的利润最小.
这里的w是汽油消耗量， 是汽车行驶的路程 这里的 是汽油消耗量，s是汽车行驶的路程 是汽油消耗量
w 若用G来表示每千米平均的汽油消耗量 来表示每千米平均的汽油消耗量， 若用 来表示每千米平均的汽油消耗量，则 G = s
例2、通过研究，人们发现汽车在行驶过程中，汽油的 、通过研究，人们发现汽车在行驶过程中， 平均消耗率 g（即每小时的汽油消耗量， 单位 L / h） （即每小时的汽油消耗量， 单位: ） 与汽车行驶的平均速度 单位: 平均速度v（ 与汽车行驶的平均速度 （单位 km）之间，有如图的 ）之间， 函数关系 g = f (v) ，那么如何根据这个图象中的数据来 解决汽油的使用效率最高的问题呢？ 解决汽油的使用效率最高的问题呢？ w g 的几何意 分析： 分析：每千米平均的汽油消耗量 G = ，这里 w是汽油 是汽油 v s 义是什么？ 义是什么？ 消耗量， 是汽车行驶的路程 消耗量，s是汽车行驶的路程 g (L/h) ∵w=gt，s=vt ， 15 w gt g P(v，g) ， ∴G = = = s vt v 10 g 所以由右图可知，当直线OP 所以由右图可知，当直线 如图所示， 如图所示， 表示经过原点 v kmin = f '(90) 为曲线的切线时，即斜率k取 5 为曲线的切线时，即斜率 取 与曲线上的点 P(v，g)的直线 ， 的直线 ≈ 0.07 最小值时， 最小值时，汽油使用效率最高 的斜率k 的斜率 90 120 v(km/h) O 30 50
解决优化问题的方法之一： 解决优化问题的方法之一： 通过搜集大量的统计数据， 通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学 模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案， 模型，再通过研究相应函数的性质，提出优化方案， 使问题得到解决．在这个过程中， 使问题得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有 力的工具， 力的工具，其基本思路如以下流程图所示 优化问题 用函数表示的数学问题
4 3 每个瓶的容积为: 解：∵每个瓶的容积为 πr (ml) 3 4 3 每瓶饮料的利润： ∴每瓶饮料的利润： y = f (r ) = 0.2 × πr − 0.8πr 2 3 r3 2 = 0.8π( - r ) (0 < r ≤ 6) 3
( 令f '(r ) = 0.8π r - 2r)= 0，得r = 2
例1、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造 、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料， 成本是0.8π 其中r是瓶子的半径 单位是厘米， 是瓶子的半径， 成本是 πr2分，其中 是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出 的饮料， 售1ml的饮料，制造商可获利 分，且制造商能制造的瓶子的 的饮料 制造商可获利0.2分 最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？ 最大半径为 ，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？
规格（ ） 规格（L） 价格（ 价格（元）
2 5.1
1.25 4.5
0.6 2.5
例1、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造 、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料， 成本是0.8π 其中r是瓶子的半径 单位是厘米， 是瓶子的半径， 成本是 πr2分，其中 是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出 的饮料， 售1ml的饮料，制造商可获利 分，且制造商能制造的瓶子的 的饮料 制造商可获利0.2分 最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？ 最大半径为 ，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？
2
r f↘ 减函数↘
2 0 -1.07π π
(2，6] ，
+
增函数↗ 增函数↗
例1、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造 、 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料， 成本是0.8π 其中r是瓶子的半径 单位是厘米， 是瓶子的半径， 成本是 πr2分，其中 是瓶子的半径，单位是厘米，已知每出 的饮料， 售1ml的饮料，制造商可获利 分，且制造商能制造的瓶子的 的饮料 制造商可获利0.2分 最大半径为6cm，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？ 最大半径为 ，则每瓶饮料的利润何时最大，何时最小呢？
解：设每瓶饮料的利润为y，则 设每瓶饮料的利润为 ， r3 2 y = f (r ) = 0.8π( - r ) (0 < r ≤ 6) 3 r f '(r) f (r) (0，2) ，
减函数↘ 减函数↘
2 0 -1.07π π
(2，6] ，
+
增函数↗ 增函数↗
∵f (r)在(2，6]上只有一个极值点 在 ， 上只有一个极值点 由上表可知， ∴由上表可知，f (2)=-1.07π为利润的最小值 π
生活中经常会遇到求什么条件下可使用料最省， 生活中经常会遇到求什么条件下可使用料最省，利 润最大，效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题. 润最大，效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题. 这往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题. 这往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题.其中 不少问题可以运用导数这一有力工具加以解决. 不少问题可以运用导数这一有力工具加以解决.
问题情景一： 问题情景一：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品， 下面是某品牌饮料的三种规格不同的产品，若它们 的价格如下表所示， 的价格如下表所示，则 （1）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？ ）对消费者而言，选择哪一种更合算呢？ （2）对制造商而言，哪一种的利润更大？ ）对制造商而言，哪一种的利润更大？
∴当 x = 80 时， h(x) 取到极小值 h(80) = 11.25.
上只有一个极值，所以它是最小值。 因为 h(x) 在 (0,120] 上只有一个极值，所以它是最小值。
千米/小时的速度匀速行驶时 小时的速度匀速行驶时， 答：当汽车以 80 千米 小时的速度匀速行驶时， 从甲地到乙地耗油最少， 从甲地到乙地耗油最少，最少为 11.25 升。
2
25000 x ≥2 • + 200 = 250 x 40
25000 x 当且仅当 = ，即x = 1000时等号成立 x 40 每天应生产1000件产品 ∴每天应生产 件产品
练习：已知某厂每天生产 件产品的成本为 练习：已知某厂每天生产x件产品的成本为
x c = 25000 + 200 x + (元) 40
例3、经统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的 、经统计表明， 耗油量y（ 关于行驶速度x（千米/小时 小时） 耗油量 （升）关于行驶速度 （千米 小时）的函数解析式 可以表示为： 可以表示为：
1 3 3 y= x − x + 8(0 < x ≤ 120). 128000 80
若已知甲、乙两地相距 千米。 若已知甲、乙两地相距100千米。 千米 (III)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油 当汽车以多大的速度匀速行驶时， 当汽车以多大的速度匀速行驶时 最少？最少为多少升？ 最少？最少为多少升？
复习：如何用导数来求函数的最值？ 复习：如何用导数来求函数的最值？
一般地，若函数 一般地，若函数y=f (x)在[a，b]上的图象是一条 在 ， 上的图象是一条 连续不断的曲线，则求f 的最值的步骤是： 连续不断的曲线，则求 (x) 的最值的步骤是： 内的极值(极大值与极小值 （1）求y=f (x)在[a，b]内的极值 极大值与极小值 ； ） 在 ， 内的极值 极大值与极小值)； 比较， （2）将函数的各极值与端点处的函数值 (a)、f (b) 比较， ）将函数的各极值与端点处的函数值f 、 其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值 特别地，如果函数在给定区间内只有一个极值点， 特别地，如果函数在给定区间内只有一个极值点， 则这个极值一定是最值。 则这个极值一定是最值。
变题：若受到设备的影响，该厂每天至多只能生产 变题：若受到设备的影响，该厂每天至多只能生产800件 件 产品，则要使平均成本最低，每天应生产多少件产品呢？ 产品，则要使平均成本最低，每天应生产多少件产品呢？ 件产品， 解：设平均成本为y元，每天生产 件产品，则 设平均成本为 元 每天生产x件产品 c 25000 x y= = + 200 + x x 40
100 x 小时，记耗油量为 小时，记耗油量为h(x)升，其解析式为 升 其解析式为:
1.4生活中的优化问题举例
例3、经统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的 、经统计表明， 耗油量y（ 关于行驶速度x（千米/小时 小时） 耗油量 （升）关于行驶速度 （千米 小时）的函数解析式 可以表示为： 可以表示为：
1 3 3 y= x − x + 8(0 < x ≤120). 128000 80
若已知甲、乙两地相距 千米。 若已知甲、乙两地相距100千米。 千米 千米/小时的速度匀速行驶时 （I）当汽车以 千米 小时的速度匀速行驶时，从甲地到 ）当汽车以40千米 小时的速度匀速行驶时， 乙地要耗油为 17.5 升; 千米/小时 （II）若速度为 千米 小时，则汽车从甲地到乙地需 ）若速度为x千米 小时， 行驶
具体的问题： 具体的问题：汽油使用效率何时最高
我们知道， 单位:L)与汽车的速度 我们知道，汽油的消耗量 w (单位 与汽车的速度 v 单位 (单位 单位:km/h) 之间有一定的关系，汽车的消耗量 w 是汽车 之间有一定的关系， 单位 的函数. 根据实际生活，思考下面两个问题： 速度 v 的函数 根据实际生活，思考下面两个问题： （1）是不是汽车的速度越快， 汽油的消耗量越大 ）是不是汽车的速度越快， 汽油的消耗量越大? 如何计算每千米路 （2）当汽车的行驶路程一定时，是车速快省油还是 ）当汽车的行驶路程一定时， 程的汽油消耗量？ 程的汽油消耗量？ 车速慢的时候省油呢？ 车速慢的时候省油呢？ 一般地，每千米路程的汽油消耗量越少， 一般地，每千米路程的汽油消耗量越少，我们就说 汽油的使用效率越高（即越省油）。 汽油的使用效率越高（即越省油）。 越高
思考1 版心面积为定值128dm 思考1：版心面积为定值128dm2，海报 的面积是否也为定值？ 的面积是否也为定值？
128 (x + 4)( + 2) x
1.4 生活中的优化问题举例
第一章 导数及其应用1.4 生活中的优化问题举例基础过关练题组一 利润最大问题1.(2019甘肃兰州一中高二上期末)已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-13x 3+81x-286,则该生产厂家获取的最大年利润为( ) A.300万元 B.252万元 C.200万元 D.128万元2.(2019河南名校高二联考)某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元,每年最大规模的种植量是8万斤,每种植一万斤莲藕,成本增加0.5万元.已知销售额函数是f(x)=-18x 3+916ax 2+12x(x 是莲藕种植量,单位:万斤,销售额单位:万元,a 是常数),若种植2万斤,利润是2.5万元,则要使利润最大,每年的莲藕种植量应为( ) A.8万斤 B.6万斤 C.3万斤 D.5万斤3.(2019山东师范大学附属中学高二下期中)某小型玩具厂研发生产一种新型玩具,年固定成本为10万元,每生产千件该玩具需另投入3万元,设该厂年内共生产该新型玩具x 千件并全部销售完,每千件的销售收入为F(x)万元,且满足函数关系:F(x)=11.1-x 230.(1)写出年利润G(万元)关于该新型玩具年产量x(千件)的函数解析式;(2)年产量为多少千件时,该厂在该新型玩具的生产中所获年利润最大?最大年利润为多少?4.(2019福建福州八县(市)协作校高二上期末联考)某校高一年级的一个学习兴趣小组进行社会实践活动,决定对某商场销售的商品A进行市场销售量调研,通过对该商品一个阶段的调研得知,该商品每日的销售量g(x)(单位:百件)与销售价格x(元/件)近似满足关系式g(x)=ax-2+2(x-5)2,其中2<x<5,a为常数.已知销售价格为3元/件时,每日可售出该商品10百件.(1)求函数g(x)的解析式;(2)若该商品的成本为2元/件,试确定该商品销售价格x的值,使该商场每日销售该商品所获得的利润(单位:百元)最大,并求出最大利润.题组二几何图形中面积与体积的最值问题5.如图,以长度为10的线段AB为直径作半圆(O为圆心),则它的内接矩形MNQP的面积S的最大值为( )A.10B.15C.25D.506.(2019山东德州高三下一模)在四面体C-ABD中,若AD=DB=AC=CB=1,则四面体C-ABD体积的最大值是( )A.2√327B.13C.2√39D.√337.(2019江西新余高三联考)如图所示,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的正方形ABCD 的中心为O.E,F,G,H 为圆O 上的点,△EAB,△FBC,△GCD,△HDA 分别是以AB,BC,CD,DA 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以AB,BC,CD,DA 为折痕折起△EAB,△FBC,△GCD,△HDA 使得E,F,G,H 重合,得到四棱锥.当正方形ABCD 的边长变化时,所得四棱锥体积的最大值为( )A.3√3 cm 3B.8√53cm 3 C.3√3 D.16√53cm 3 8.(2020江苏徐州高三期末)如图,在圆锥SO 中,底面半径R 为3,母线长l 为5.用一个平行于底面的平面去截圆锥,所得截面圆的圆心为O 1,半径为r,现要以截面为底面,大圆锥底面圆心O 为顶点挖去一个倒立的小圆锥OO 1,记圆锥OO 1的体积为V(r).(1)将V(r)表示成r 的函数; (2)求V(r)的最大值.题组三用料最省、运费最低、效率最高问题9.已知铁道机车运行1小时所需成本由两部分组成,其中固定部分为m元,变动部分与运行速度v(单位:千米/时)的平方成正比,比例系数为k(k>0).如果机车匀速从甲站开往乙站,则当机车以千米/时的速度运行时,成本最省.10.(2019江苏海安高级中学高三下月考)某企业拟生产一种如图所示的圆柱形易拉罐(上、下底面及侧面的厚度不计),易拉罐的体积为108π mL,设圆柱的高度为h cm,底面半径为r cm,且h≥4r,假设该易拉罐的制造费用仅与其表面积有关.已知易拉罐侧面制造费用为m元/cm2,易拉罐上、下底面的制造费用均为n元/cm2(m,n为常数).(1)写出易拉罐的制造费用y(元)关于半径r(cm)的函数表达式,并求其定义域;(2)求易拉罐制造费用最低时r(cm)的值.11.(2019福建宁德高二下期中)某地修建一条大型输油管道需要通过120千米长的沙漠地带,该段输油管道两端的输油站已建好,余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站).经预算,修建一个增压站的工程费用为400万元,铺设距离为x千米的相邻两增压站之间的输油管道费用为(x2+x)万元.设余下工程的总费用为y万元.(1)试将y表示成关于x的函数;(2)需要修建多少个增压站才能使总费用y最小?能力提升练一、选择题1.(★★☆)一个正三棱柱内接于表面积为16π的球,则此三棱柱体积的最大值为( )A.4B.3C.8D.√152.(★★☆)某品牌小汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式为y=181 000x 3-110x+18(0<x ≤120).若要使该汽车行驶200千米时的油耗最低,则汽车匀速行驶的速度应为( )A.60千米/时B.80千米/时C.90千米/时D.100千米/时二、填空题3.(2019广东佛山一中高二下期中,★★☆)母线长为1的圆锥体积最大时,其侧面展开图的圆心角φ等于 .4.(★★☆)当前,网校教学越来越受到广大学生的喜爱,它已经成为学生课外学习的一种趋势.假设某网校的套题每日的销售量y(单位:千套)与销售价格x(单位:元/套)满足的函数关系式为y=mx -2+4(x-6)2,其中2<x<6,m 为常数.已知销售价格为4元/套时,每日可售出套题21千套.(1)实数m= ;(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数),当销售价格为 元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大(精确到0.1).5.(2019湖北宜昌高二期中联考,★★☆)现有一个边长为2的正方形纸板,若在纸板的四角截去四个边长均为x 的小正方形,然后做成一个无盖的方盒,则方盒的容积的最大值为 .6.(2019江西赣州高三摸底考试,★★☆)在一节手工课上,小明将一个底面半径为4、母线长为5的圆锥形橡皮泥捏成一个圆柱(橡皮泥的用量保持不变),则当这个圆柱的表面积最小时,该圆柱的底面半径为 .三、解答题7.(2019山东烟台高三上期中,★★☆)某工厂加工一批零件,加工过程中会产生次品,根据经验可知,其次品率p 与日产量x(万件)之间满足函数关系式p={x6,1≤x <4,3x 2-3x+1,x ≥4,已知每生产1万件合格品可获利2万元,但生产1万件次品将亏损1万元.(次品率=次品数/生产量)(1)试写出加工这批零件的日盈利额y(万元)与日产量x(万件)的函数关系式; (2)当日产量为多少时,可获得最大利润?最大利润为多少?8.(2020福建师大附中高二期末,★★☆)如图,有一块半径为20米,圆心角∠AOB=2π3的扇形展示台,展示台分成了四个区域:三角形OCD,弓形CMD,扇形AOC 和扇形BOD(其中∠AOC=∠BOD).某次菊花展在这四个区域依次摆放:泥金香、紫龙卧雪、朱砂红霜、朱砂红霜.预计这三种菊花展示带来的日效益分别是泥金香50元/米2,紫龙卧雪30元/米2,朱砂红霜40元/米2.(1)设∠COD=θ,试建立日效益总量y 关于θ的函数关系式; (2)试探求θ为何值时,日效益总量达到最大值.答案全解全析 基础过关练1.C 令函数y=f(x)=-13x 3+81x-286,求导数,得f'(x)=-x 2+81,令f'(x)=0,解得x=9(负值舍去).当0<x<9时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增; 当x>9时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.因此,当x=9时,该生产厂家获取最大年利润,最大年利润为200万元.故选C. 2.B 设销售的利润为g(x)万元,由题意,得g(x)=-18x 3+916ax 2+12x-1-12x,x ∈(0,8],即g(x)=-18x 3+916ax 2-1,x ∈(0,8].当x=2时,g(2)=-1+94a-1=52,解得a=2,故g(x)=-18x 3+98x 2-1,则g'(x)=-38x 2+94x=-38x(x-6),当x ∈(0,6)时,g'(x)>0,当x ∈(6,8)时,g'(x)<0,所以函数g(x)在(0,6)上单调递增,在(6,8)上单调递减. 所以x=6时,利润最大. 故选B.3.解析 (1)依题意,G(x)=xF(x)-(10+3x)=8.1x-x 330-10(x>0).(2)由(1)得G'(x)=8.1-x 210=(9+x )(9-x )10,令G'(x)=0,解得x=9(负值舍去).当x ∈(0,9)时,G'(x)>0,G(x)单调递增;当x ∈(9,+∞)时,G'(x)<0,G(x)单调递减. ∴当x=9时,G(x)max =8.1×9-9330-10=38.6.故当年产量为9千件时,该厂在该新型玩具的生产中所获年利润最大,最大年利润为38.6万元.4.解析 (1)由题意得10=a 3-2+2(3-5)2,解得a=2,故g(x)=2x -2+2(x-5)2(2<x<5).(2)设商场每日销售该商品所获得的利润为h(x)百元,则h(x)=(x-2)g(x)=2+2(x-5)2(x-2)(2<x<5),从而h'(x)=4(x-5)(x-2)+2(x-5)2=6(x-3)(x-5). x 变化时,h(x),h'(x)的变化情况如下表:x (2,3) 3 (3,5) h'(x) + 0 - h(x)↗极大值↘由上表可得,x=3是函数h(x)在区间(2,5)内的极大值点,也是最大值点,此时h(x)=10,即该商品销售价格为3元/件时,该商场每日销售该商品所获得的利润最大,最大利润为10百元. 5.C 如图,连结ON.设∠NOQ=θ(0<θ<π2),则NQ=5sin θ,OQ=5cos θ,∴矩形的面积S=5sin θ×2×5cos θ=25sin 2θ, ∴S'=50cos 2θ, 令S'=0,解得θ=π4,当0<θ<π4时,S'>0;当π4<θ<π2时,S'<0.∴当θ=π4时,S 取得最大值,最大值为25.6.A 如图,取AB 的中点E,连结CE,DE,设AB=2x(0<x<1),则CE=DE=√1-x 2, ∴当平面ABC ⊥平面ABD 时,四面体的体积最大,此时四面体的体积V(x)=13×12×2x ×√1-x 2×√1-x 2=13x-13x 3,则V'(x)=13-x 2,令V'(x)=0,解得x=√33(负值舍去). 当x ∈(0,√33)时,V'(x)>0,V(x)单调递增;当x ∈(√33,1)时,V'(x)<0,V(x)单调递减. 因此,当x=√33时,V(x)有最大值,V(x)max =13×√33-13×(√33)3=2√327. 故选A.7.D 由题知折起的四棱锥如图所示,取CD 的中点M,连结OM,EM,设正方形ABCD 的边长为a cm(0<a<5√2),则|OM|=a2 cm,|EM|=(5-a2)cm,则|EO|=√|EM |2-|OM |2=√25-5a cm,故四棱锥的体积V=13·a 2·√25-5a =13√25a 4-5a 5 cm 3.构造函数h(a)=25a 4-5a 5(0<a<5√2),求导,得h'(a)=100a 3-25a 4,由h'(a)>0得0<a<4,由h'(a)<0得a>4,故h(a)在(0,4)上单调递增,在(4,5√2)上单调递减.故当a=4时,h(a)取得最大值,也就是V 取得最大值,即所得四棱锥体积的最大值为13×√25×44-5×45=16√53cm 3.故选D.8.解析 (1)在△SAO 中,SO=√SA 2-AO 2=√52-32=4, 由△SNO 1∽△SAO 可知,SO 1SO =r R,所以SO 1=43r,所以OO 1=4-43r,所以V(r)=13πr 2·(4-43r)=49π(3r 2-r 3),0<r<3. (2)由(1)得V(r)=49π(3r 2-r 3),0<r<3,所以V'(r)=49π(6r-3r 2),令V'(r)=0,得r=2或r=0(舍去).当r ∈(0,2)时,V'(r)>0,所以V(r)在(0,2)上单调递增; 当r ∈(2,3)时,V'(r)<0,所以V(r)在(2,3)上单调递减. 所以当r=2时,V(r)取得最大值V(2)=16π9.9.答案 √mk解析 设甲、乙两站相距s 千米,以速度v 匀速运行时成本最省,总成本为y 元, 则机车匀速从甲站到乙站所需时间t=sv ,∴y=(m+kv 2)s v =s (kv +mv ),求导,得y'=s (k -mv2),令y'=0,得v=√m k (负值舍去),∴函数在(0,√m k )上单调递减,在(√mk ,+∞)上单调递增,则v=√mk 为极小值点.∴当v=√m k时,y 有最小值,故答案为√mk.10.解析 (1)因为易拉罐的体积为108π mL,所以πr 2h=108π,即h=108r 2,易拉罐的侧面积为S=2πrh=2πr 108r 2=216πr,易拉罐的上、下两底面的面积和为S=2πr 2, 所以y=m216πr+2n πr 2=2π(108m r+nr 2),因为h ≥4r, 所以有108r 2≥4r,解得r ≤3,故0<r ≤3.综上,易拉罐的制造费用为y=2π·(108m r+nr 2),r ∈(0,3].(2)由(1)知y'=2π(-108m r 2+2nr),令y'=0,解得r=3√2m n3,①若3√2m n3<3,即2m<n,此时3√2m n3∈(0,3),当r ∈(0,3√2m n3)时,函数y=2π·(108m r +nr 2)单调递减; 当r ∈(3√2m n3,3)时,函数y=2π·(108m r+nr 2)单调递增.故当r=3√2m n3时,函数y=2π·(108m r+nr 2)取得最小值,即易拉罐的制造费用最低. ②若3√2m n3≥3,即2m ≥n,此时3√2m n3≥3,当r ∈(0,3]时,函数y=2π·(108m r+nr 2)单调递减,故当r=3时,函数y=2π·(108m r +nr 2)取得最小值,即易拉罐的制造费用最低.综上,若2m<n,则当r=3√2m n3时,易拉罐的制造费用最低;若2m ≥n,则当r=3时,易拉罐的制造费用最低. 11.解析 (1)依题意可知余下工程有120x段输油管道,有(120x-1)个增压站,故余下工程的总费用y=(x 2+x)·120x+400·(120x-1)=120x+48 000x-280,所以将y 表示成关于x 的函数为y=120x+48 000x-280(0<x<120).(2)由(1)知y=120x+48 000x-280(0<x<120),则y'=120-48 000x 2,令y'=0,得x=20(负值舍去), x 变化时,y,y'的变化情况如下表:x (0,20) 20 (20,120)y' - 0 + y↘极小值↗由上表易知,函数在x=20时取得最小值,此时120x-1=5,故需要修建5个增压站才能使总费用y 最小.能力提升练一、选择题1.C 设球的半径为R,根据球的表面积公式得4πR 2=16π,所以R=2. 设该正三棱柱底面边长为x,则底面等边三角形外接圆的半径为√33x,故该正三棱柱的高为2×√R 2-(√33x)2=2√4-x 23, 所以该正三棱柱的体积为V(x)=√34x 2×2√4-x 23=√32×√4x 4-x 63=√-x 6+12x 42(0<x<2√3).令f(x)=-x 6+12x 4,由f'(x)=-6x 3(x-2√2)·(x+2√2)=0,解得x=2√2(负值舍去),易知函数在x=2√2时取得最大值,此时V(2√2)=√34×8×2√4-83=8.2.C 设汽车行驶途中总的耗油量为f(x)升.若速度为x 千米/时,则时间为200x小时,所以f(x)=(181 000x 3-110x +18)·200x=1405x 2+3 600x-20(0<x ≤120),所以f'(x)=2405x-3 600x =2x 3-2×903405x (0<x ≤120).令f'(x)=0,得x=90.易知当x ∈(0,90)时,函数f(x)单调递减,当x ∈(90,120)时,函数f(x)单调递增. 所以x=90时,函数f(x)取得最小值.二、填空题 3.答案2√6π3解析 设圆锥的底面半径为r,高为h, 因为圆锥的母线长为1,所以r 2+h 2=1,所以圆锥的体积为V(h)=13πr 2h=13π(1-h 2)h=13π(-h 3+h),0<h<1,求导可得,V'(h)=13π(-3h 2+1).令V'(h)=0,得h=√33(负值舍去), 当h ∈(0,√33)时,V'(h)>0,V(h)单调递增; 当h ∈(√33,1)时,V'(h)<0,V(h)单调递减. 故当h=√33时,体积取得最大值,此时r=2=√63, 此时φ=2πr 1=2π√63=2√6π3. 4.答案 (1)10 (2)3.3解析 (1)当x=4时,y=21,代入函数关系式y=m x -2+4(x-6)2,得m2+16=21,解得m=10.(2)设每日销售套题所获得的利润为f(x)元,由(1)可知,套题每日的销售量为y=10x -2+4(x-6)2,所以f(x)=(x-2)·[10x -2+4(x -6)2]=10+4(x-6)2(x-2)=4x 3-56x 2+240x-278(2<x<6),则f'(x)=12x 2-112x+240. 令f'(x)=0,得x=103或x=6(舍去).当x ∈(2,103)时, f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当x ∈(103,6)时, f'(x)<0,函数f(x)单调递减.所以x=103是函数f(x)在区间(2,6)内的极大值点,也是最大值点, 所以当x=103≈3.3时,函数f(x)取得最大值.故当销售价格约为3.3元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大. 5.答案1627解析 由于在边长为2的正方形纸板的四个角截去四个边长均为x 的小正方形,做成一个无盖的方盒,所以无盖的方盒的底面是正方形,且边长为2-2x,高为x, 则无盖的方盒的容积为V(x)=(2-2x)2×x(0<x<1), 整理得V(x)=4x 3-8x 2+4x(0<x<1), 则V'(x)=12x 2-16x+4=4(3x-1)(x-1), 令V'(x)=0,得x=13或x=1(舍去).当x ∈(0,13)时,V'(x)>0,V(x)单调递增;当x ∈(13,1)时,V'(x)<0,V(x)单调递减.所以当x=13时函数V(x)取得最大值,最大值为V (13)=(2-23)2×13=1627,故答案为1627.6.答案 2解析 设圆柱的底面半径为r,高为h,因为圆锥的高为22体积V=13π×42×3=16π,所以圆柱的体积V=πr 2h=16π,则h=16r2,圆柱的表面积S=2πr 2+2πrh=2π(r 2+rh)=2π(r 2+16r),设f(r)=r 2+16r(r>0),则f'(r)=2r-16r=2r 3-16r .令f'(r)=0,得r=2.当0<r<2时, f'(r)<0, f(r)单调递减; 当r>2时, f'(r)>0, f(r)单调递增.所以当r=2时, f(r)最小,从而圆柱的表面积S 最小,故答案为2.三、解答题7.解析 (1)当1≤x<4时,y=2x (1-x6)-x ·x6=2x-x 22,当x ≥4时,y=[x -(3x2-3x+1)x]×2-(3x2-3x+1)x=9-x-9x,所以所求函数关系式为y={2x -x 22,1≤x <4,9-x -9x,x ≥4.(2)当1≤x<4时,y=2x-x 22=-12(x-2)2+2,所以当x=2时,y 取得最大值2; 当x ≥4时,y=9-x-9x,y'=-1+9x2=9-x 2x 2<0,所以函数在[4,+∞)上单调递减,所以当x=4时,y 取得最大值114. 又114>2,所以当日产量为4万件时可获得最大利润,最大利润为114万元.8.解析 (1)依题意得,∠AOC=23π-θ2=π3-θ2,则y=12(π3-θ2)×202×40×2+12×202×sin θ×50+12×θ×202-12×202×sin θ×30=16 000(π3-θ2)+10 000sin θ+6 000θ-6 000sin θ=16 000π3+4 000sin θ-2 000θ,其中0<θ<2π3.(2)易得y'=4 000cos θ-2 000, 令y'=0,得θ=π3,当0<θ<π3时,y'>0,当π3<θ<2π3时,y'<0,所以,θ=π3是函数在区间0,2π3上的极大值点,且是唯一的极大值点,从而当θ=π3时,日效益总量达到最大值.。
1.4生活中的优化问题举例
令S ( x ) 0, 得x 50.
'
练习: 把长为L的铁丝分成两段，一段做 成圆形, 一段围成正方形，怎样分 法，能使圆和正方形面积之和最小.
L 解: 取 4 的一段做圆
4 L 的一段做正方形 4
例1. 某产品生产x件时的总成本函 数为
1 3 2 C ( x ) 300 x 5 x 170 x 12
每件产品的价格是134元, 求产量为 多少时利润最大.
解: 由题意, 生产x件时, 总收益 R(x)=134x ,设利润为L(x)
L( x ) R( x ) C ( x ) 1 3 2 134 x ( 300 x 5 x 170 x ) 12 1 3 2 x 5 x 36 x 300 12
f ( r ) 0.8 ( r 2r )
2
当r 2时，f ( r ) 0
当r (0,2)时，f ( r ) 0 当r ( 2,6)时，f ( r ) 0
当r=2cm时, 利润最小 当r=6cm时, 利润最大 书本P36 例1
例4. 要设计一个容积为V的圆柱形 水池(无盖), 已知底的单位面积造价 是侧面的单位面积造价的2倍, 问: 如何设计水池的底半径和高, 才 能使总造价最省? R
h
解:设高为h,底半径R, 侧面单位造价为a
则表面积S=2Rh+ R2 所以, 总造价P=2aRh+ 2aR2
由V R h, 则 2aRV 2 P (r ) 2aR 2 R
2
令P ( R ) 2aV / R 4aR 0,
2
得R V / 2 , 从而
问题: 1.瓶子多大时, 能使每瓶饮料的利 润最大? 2. 瓶子半径多大时, 每瓶饮料的利 润最小?
1.4生活中的优化问题举例
§1.4生活中的优化问题举例一、几何中的最值问题【例1】学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上下边各空2dm,左右空1dm,如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？1-1、用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做成一个无盖的方底容器，先在四角分别截去一个小正方形,再然后把四边翻转角再焊接而成，则该容器的高为多少时，容器的容积最大?最大容积是多少?1-2、要做成一个截面为等腰梯形的水槽，下底长和腰都为a，如图，问斜角 为多大时，水槽的流量最大？二、利润最大问题【例2】 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是20.8r π分，其中r （单位：cm ）是瓶子的半径，已知每出售1mL 的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm .(1) 瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？(2) 瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？2-2、某分公司经销某种品牌产品，每件成品的成本为3元，且每件成品需向总公司交元a 元(35)a ≤≤的管理费，预计当每件成品的售价为x 元(911)a ≤≤时，一年销售量为2(12)x -万件.（1）求分公司一年的利润L 与每件成品的售价x （元）的函数关系式；（2）当每件成品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大？并求出L 的最大()Q a .2-1、某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；房间的单价每增加0元，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆每天每间需花费20元的各种维修费．房间定价多少时，宾馆的利润最大？三、费用最省问题【例3】某单位用2160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2000平分米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(10)x≥层，则每平方米的平均建筑费用为56048x+（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=购地总费用/建筑总面积）3-1、已知某厂每天生产x件产品的成本为22500020040xc x=++元，若受到设备的影响，该厂每天至多只能生产800件产品，则要使平均成本最低，每天应生产多少件产品呢？[注] 对于型如)0(>+=ab xb ax y 的函数最值问题，要根据定义域选择恰当的方法，并熟练掌握这些方法的要点。
1.4生活中的优化问题举例
练习1、 一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个 正方形，要使两个正方形的面积和最小， 两段铁丝的长度分别是多少？
解：设两段铁丝的长度分别为x,l-x,
其中0<x<l 则两个正方形面积和为
S
=
s1
+ s2
=( x)2 4
+( l
- x)2 4
=
1 (2x2 16
-
2lx
+
l2
)
S 1 (4x 2l) 1 (2x l)
生活中经常遇到求利润最大、用料 最省、效率最高等问题，这些问题称 为优化问题，优化问题有时也称为最 值问题．解决这些问题具有非常重要 的现实意义．
通过前面的学习，我们知道，导数是求函 数最大（小）值的有力工具，本节我们运 用导数，解决一些生活中的优化问题。
类型一：求面积、容积的最大问题
例1、海报版面尺寸的设计： 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，
解：设版心的高为xdm，则版心的
1dm
m
宽 128 dm，此时四周空白面积为 2dm x
S( x) ( x 4)(128 2) 128 x
2x 512 8 ( x 0) x
S
'(
x
)
2
512 x2
2dm
S(
x)
2
x
512 x
8，S
'(
x)
2
512 x2
令S '(x) 0可解得x 1（6 x -16舍去）
V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).
令
V(x)= 60x - 3 x2 = 0 2
,解得x=0(舍去),x=40.且
1.4生活中的优化问题举例
= 2 × 32 + 8 = 72
256 , 即x = 8( x > 0)时S 取最小值 当且仅当4 x = x
128 此时y= = 16 8
答：应使用版心宽为8dm，长为16dm，四周空白面积最小
例2.饮料瓶大小对饮料公司利润的 影响 饮料瓶大小对饮料公司利润的 （1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般 ）你是否注意过， 比大包装的要贵些？ 比大包装的要贵些？ （2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？ ）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？ 背景知识：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料。 背景知识：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料。 2 瓶子的制造成本是 0.8π r 分，其中 r 是瓶 子的半径，单位是厘米.已知每出售 已知每出售1 子的半径，单位是厘米 已知每出售 ml 的饮料， 的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能 且制造商能 制作的瓶子的最大半径为 6cm. 问题(１ 瓶子的半径多大时 能使每瓶饮料的利润最大？ 瓶子的半径多大时， 问题 １)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ (２)瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？ 瓶子的半径多大时， ２ 瓶子的半径多大时 每瓶的利润最小？
利用导数解决优化问题的基本思路：
建立数学模型
优化问题
用函数表示数学问题
解决数学模型
作答
优化问题的答案
用导数解决数学问题
作业 P37 A1 A2
3.4 生活中的优化问题举例
生活中的优化问题举例( 生活中的优化问题举例(一)
生活中经常遇到求利润最大、用 生活中经常遇到求利润最大、 料最省、效率最高等问题， 料最省、效率最高等问题，这些问题 通常称为优化问题． 通过前面的学习， 通常称为优化问题． 通过前面的学习， 我们知道，导数是求函数最大（ 我们知道，导数是求函数最大（小） 值的强有力工具．这一节， 值的强有力工具．这一节，我们利用 导数，解决一些生活中的优化问题． 导数，解决一些生活中的优化问题．
1.4生活中的优化问题(带答案)
1。
4生活中的优化问题举例1．要制做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为() A。
错误!cm B．错误!cm C.错误!cm D．错误!cm ［答案] D2．用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为3:4，那么容器容积最大时，高为()A．0.5m B．1m C．0。
8m D．1.5m[答案］ A［解析］设容器底面相邻两边长分别为3x m、4x m,则高为错误!＝错误!(m），容积V＝3x·4x·错误!＝18x2－84x3错误!，V′＝36x－252x2,由V′＝0得x＝1或x＝0（舍去)．x∈错误!时，V′〉0，x∈错误!时，V′<0，7所以在x＝错误!处，V有最大值，此时高为0。
5m。
3．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为(）A．R B．2R C.错误!R D．错误!R［答案］ C［解析］设圆锥高为h,底面半径为r，则R2＝（h－R）2＋r2，∴r2＝2Rh－h2, ∴V＝错误!πr2h＝错误!h(2Rh－h2)＝错误!πRh2－错误!h3，V′＝错误!πRh－πh2。
令V′＝0得h＝错误!R.当0<h〈错误!R时，V′〉0；当错误!<h〈2R时，V′〈0。
因此当h＝错误!R时，圆锥体积最大．4．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时时，原油温度（单位:℃)为f（x）＝错误!x3－x2＋8(0≤x≤5），那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是（）A．8 B．错误!C．－1 D．－8［答案］ C[解析］瞬时变化率即为f′（x)＝x2－2x为二次函数，且f′(x）＝(x－1）2－1，又x∈[0,5],故x＝1时,f′（x）min＝－1.5．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1 200＋错误!x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品的单价为50元,总利润最大时，产量应定为__________件．[答案］25[解析]设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题知a＝错误!。
1.4生活中的优化问题举例课件人教新课标
重难聚焦
名师点拨1.在求实际问题的最大(小)值时,一定要考虑实际问题的 意义,不符合实际意义的值应舍去. 2.在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'(x)=0的 情形,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知 道这就是最大(小)值. 3.在解决实际优化问题时,不仅要注意将问题中涉及的变量关系用 函数关系表示,还应确定出函数关系中自变量的定义区间.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
利润最大问题 【例3】 某分公司经销某品牌产品,每件产品的成本为3元,并且每 件产品需向总公司交a(3≤a≤5)元的管理费,估计当每件产品的售 价为x(9≤x≤11)元时,一年的销售量为(12-x)2万件. (1)求分公司一年的利润L(单位:万元)与每件产品的售价x的函数关 系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润L最大?并求出 L的最大值Q(a). 分析:(1)利用题中等量关系找出L与x的函数关系式;(2)求出(1)中函 数关系式的导函数,再利用导数求最值.
当x=140时,y=175,即当x=140,y=175时,S取得最小值24 500. 故当广告的高为140 cm,宽为175 cm时,可使矩形广告的面积最小.
题型一
题型二
题型三
题型四
典例透析
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
解:(1)隔热层厚度为 x cm,
由题意知每年能源消耗费用为 C(x)= 3xk+5, 再由 C(0)=8,得 k=40,因此 C(x)= 3x4+05. 而建造费用为 C1(x)=6x.
课件6：1.4 生活中的优化问题举例
3
20 c－2.
令 3 c－202＝m，则 m>0， 所以 y′＝8πcr－2 2(r－m)(r2＋rm＋m2)． ①当 0<m<2，即 c>92时， 当 r＝m 时，y′＝0；
当 r∈(0，m)时，y′<0； 当 r∈(m,2)时，y′>0， 所以 r＝m 是函数 y 的极小值点，也是最小值点． ②当 m≥2，即 3<c≤92时， 当 r∈(0,2)时，y′<0，函数单调递减， 所以 r＝2 是函数 y 的最小值点． 综上所述，当 3<c≤92时，建造费用最小时 r＝2；
当 c>92时，建造费用最小时 r＝
3
20 c－2.
【名师点评】 (1)建立函数后要写出定义域．
(2)对于含参数的函数模型，不但要注意参数的范围，而 且若参数对最值(实际上是对单调性)有影响时，需对参数 分类讨论．
题型三 利润最大问题 例 3 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的
销售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关 系式 y＝x－a 3＋10(x－6)2，其中 3<x<6，a 为常数．已知 销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克． (1)求 a 的值；
故当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得
的利润最大．
【名师点评】 (1)解决此类有关利润的实际应用题,应 灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本 等量关系有：
①利润＝收入－成本；
②利润＝每件产品的利润×销售件数．
(2)对于单峰函数来说极值点就是最值点．
方法感悟
利用导数解决优化问题的基本步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数 学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)． (2)求导函数f′(x)，解方程f′(x)＝0. (3)比较函数在区间端点和极值点的函数值的大小，最大 者为最大值，最小者为最小值． (4)依据实际问题的意义给出答案．
1.4生活中的优化问题举例
64 64 8 =72, S 4( x ) 8 4 2 x x x 64 x x 8 , x=－8(舍). x
2 1
128
1
即海报版面长为10dm, 宽为20dm时, … 2 128 解:设版心长为: xdm, 宽为: dm, x 128 海报版面长为: (x＋2)dm, 宽为: ( 4)dm, x 128 海报的四周空白面积: s ( x 2)( 4)－128 x 64 256 4x 8 4( x ) 8 x x
练习: P37
4~5
本节课到此结束, 请同学们课后再 做好复习与作业。谢谢!
Homework: 习题1.4 :1、3、6 聚焦课堂:
再见!
64 S ' 4(1 2 ) =0 x
x=8 或x=－8 (舍)
2
当x∈(0,8)时: S ’( x)<0. S(x)单调递减, 当x∈(8, ＋∞)时: S’( x)>0. S(x)单调递增, 1 128 1 当x=8时, S(8)最小. 即海报版面长为10dm, 宽为20dm时, … 2 128 解:设版心长为: xdm, 宽为: dm, x 128 海报版面长为: (x＋2)dm, 宽为: ( 4)dm, x 128 海报的四周空白面积: s ( x 2)( 4)－128 x 64 256 4x 8 4( x ) 8 x x
(0 r 6). f '(r ) 0.8 r 2r =0, r=2 或r=0 (舍) 当r∈(0,2)时: f ’( r)<0. f(r)单调递减, r 此时半径越大, 利润越低. 2 当r∈(2,6)时: f ’( r)>0. f(r)单调递增, 0 6 此时半径越大, 利润越高.