08.幻方(三)双偶数阶幻方的编排方法
偶数阶幻方的填充方法与步骤
偶数阶幻方的填充方法与步骤嘿，朋友们！今天咱来聊聊偶数阶幻方的填充方法和步骤。
这玩意儿可有意思啦，就像搭积木一样，一块一块地把数字摆好，最后就会出现一个神奇的图案！咱先说说这偶数阶幻方是啥。
简单来说，就是一个正方形的格子里，填上一些数字，让每行、每列和对角线上的数字之和都相等。
这是不是挺神奇的？就好像这些数字都商量好了似的。
那怎么填充呢？别着急，听我慢慢道来。
咱就拿四阶幻方来举例子吧。
首先，把 1 放在第一行的中间位置，这就像给这个幻方找到了一个起点。
然后呢，就开始一格一格地填数字啦。
下一个数字要放在右上角的格子里，如果右上角的格子已经有数字了，那就放到下面的格子里。
就这么一格一格地填下去，就像在走迷宫一样，有趣得很呢！比如说，填到 2 的时候，右上角的格子已经有数字了，那就把 2 放在 1 的下面。
然后 3 又该放到右上角了，4 又会根据规则放到 3 的下面。
这样一直填下去，直到所有的格子都填满了。
你看，这过程是不是挺有意思的？哎呀，你想想看，就这么一个个数字填进去，最后就能形成一个那么神奇的图案，这不是很奇妙吗？就好像是数字们在跳舞一样，最后跳出了一支完美的舞蹈。
再来说说六阶幻方。
其实方法也是差不多的，只是格子更多了，就像一个更大的舞台，让数字们去尽情表演。
你说这偶数阶幻方是不是很像一个魔法盒子？打开它，就能看到各种神奇的数字组合。
在填充的过程中，可别粗心大意哦，一个不小心填错了，那可就前功尽弃啦！就像盖房子，一块砖没放好，可能整座房子都会歪掉。
而且啊，你还可以自己创造一些新的方法来填充幻方，说不定你能发现更有趣的规律呢！这就像是在探索一个未知的世界，充满了惊喜和挑战。
总之呢，偶数阶幻方的填充方法和步骤虽然有点复杂，但只要你有耐心，慢慢去尝试，肯定能掌握的。
这就像是学骑自行车，一开始可能会摔倒，但多练习几次，你就能骑得稳稳当当啦！相信自己，你一定可以的！去试试吧，让我们一起在偶数阶幻方的世界里遨游！。
偶数阶幻方构造方法
偶数阶幻方构造方法我折腾了好久偶数阶幻方构造方法，总算找到点门道。
一开始我真的是瞎摸索，就感觉这偶数阶幻方特别神秘。
我先试了最简单的4阶幻方构造，我就按照常规思路，想把1到16这些数字依次摆放。
我先从左上角开始放1，然后按照顺序横着摆。
结果发现最后得到的根本不是幻方，每行每列以及对角线上的数字之和都不一样。
我当时就有点懵，知道自己这个方法肯定不对。
后来我看书才知道，原来对于4阶幻方有一种双偶阶幻方的构造方法。
我就跟着这个方法重新试。
这方法就像搭积木一样，先把1到16分成四组。
然后先确定四个角的数字，把最小的那一组数字里最小的数放在左上角，最大的数放在右下角，第二小的数放在右上角，第二大的数放在左下角。
这就像给房子先打四个桩基一样。
再慢慢地按照一定的规则往里面填数，比如从左到右，从上到下，遇到已经填过数字的格子就按斜线方向跳着填。
这个过程一定要特别仔细，我第一次填的时候就因为粗心大意跳错了格，结果又失败了。
对于6阶这样的双偶阶幻方也可以用类似的方法。
不过分组的时候是分成六组，操作起来就会更复杂一点。
我有一次在构造6阶幻方的时候，前面填角上的数字就弄错了，因为要根据数字的大小顺序和分组情况准确放置，我当时一马虎就搞错了，结果全盘皆输。
对于单偶阶幻方，比如说10阶，构造起来就更加复杂了。
我还没完全掌握特别好的通用方法。
我现在知道一种方法是先把它当成大的双偶阶幻方构造，然后再进行调整。
但这个调整的过程中很容易出错，要根据具体的数字和位置关系来操作。
我觉得要是构造偶数阶幻方的话，最重要的就是得细心，不管是分组还是按规则填数，差一点就全不对了。
而且每个不同规模的偶数阶幻方可能都有自己需要注意的小细节，一定要先搞清楚基本的构造框架。
像4阶幻方可以当做最基本的模型去研究，把它搞透彻了，再去弄6阶、8阶之类的可能就会好一些。
幻方之填法(自我学习总结)
幻方的填写技巧一、N阶幻方的分类：1、奇数阶幻方：当n=2k+1时，称为奇数阶幻方。
2、偶数阶幻方：（1）双偶数幻方：当n=4k=2×2k时，称为双偶数数阶幻方。
（2）单偶数幻方：当n=4k+2=2×(2k+1）时，称为单偶数阶幻方。
二、幻方的填写方法：1、奇数阶幻方：可按照如下方法操作：Merzirac法，有人也叫楼梯法，我管它叫斜步法，即走X+Y斜步（数字按右上方顺序填入），-Y跳步（如果右上方已有数字或出了对角线，则向下移一格继续填写）。
其实斜步法可以向4个方向依次填写数字，即右上、右下、左上、左下4个方向，每种斜步都可有2种跳步，即左（右）跳步、上（下）跳步。
对于X+Y斜步相应的跳步可以为-X，-Y。
【记住，跳步是X+Y斜步的X（或Y）相反方向即可。
如右上方向斜步，跳步就为向左（或向下）一步；左下方向斜步，跳步就为向右（或向上）一步；等等等等】（2）杨辉“阳动阴静”法南宋杨辉不仅精通数学，而且精通易学，在他1275年所著的《续古摘奇算法》中，就对河图和洛书的数学问题进行了详尽的研究。
其中对3阶幻方的排列，找出了一种奇妙的规律：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足”，清代，2、双偶数阶幻方：可按照如下方法操作：（一）四阶幻方：（1） 对角线上的数字一律不动；（2） 对角线以外的数字关于对角线交点作中心对称对换位置即可。
（3） 完成后的四阶幻方如下：（1）对角线上的数字一律不动；（2）对角线以外的数字关于对角线交点作中心对称对换位置即可。
（3）3、（按奇数阶幻方填法按区域填写）（二）十阶幻方：我就在旁边静静地呆着，不言不语，生怕惊扰这静谧的美好，惟愿时光驻留，变成永恒回忆；惟愿几十年后，两鬓斑白的我们仍然携手坐在阳台上，不谈悲喜，只闻花香。
携手的日子总是温暖多过于寒冷，欢笑多过于失意，此时此刻，感恩日子的温润让自己满足。
一个人的独立，两个人的扶持，让光阴有滋有味，富有弹性。
偶阶幻方的解法（文档4篇）
偶阶幻方的解法（文档4篇）以下是网友分享的关于偶阶幻方的解法的资料4篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。
第1篇偶阶幻方的填法第一种：n=4*m+2, m为自然数1)将n阶方阵分为四个小魔方阵ABCD如下排列：B C D A因为n*n=4*(2*m+1)*(2*m+1),记u=n/2=2*m+1,分为1~u*u,u*u+1~2*u*u,2*u*u+1~3*u*u,3*u*u+1~4*u*u 即在调用子函数的时候分别如下面传递参数: A(0),B(u*u),C(2*u*u),D(3*u*u)分别在ABCD中按照前面的填法把奇数阶填好(注意加上所传参数作为基数，每一个元素都要加上这个值)，最后做如下交换：(1)B中第0~(m-1)-1行中元素与C中相对应元素交换(2)D中第(n-1)-m+1~(n-1)共m行的每行中的元素与A中相对应元素交换(3)交换D:(u+m,m)与A中对应元素(矩阵中心值)(4)交换D:(n-1,m)与A中对应元素(实际为矩阵最大值n*n) 所谓对应位置，指相对于小魔方阵的左顶角的相对的行列位置。
上面的这些你可以用数学进行证明，利用魔方阵常数(注意n阶的和u阶的关系) 第二种：n=4*m,m为自然数因为行列都是4的倍数，因而可以将整个矩阵分为每4*4的小矩阵。
先判断一个数是否在划为4*4小矩阵的对角线上，如果在，则填该位置的数为n*n-i+1(i为该元素的相对位置，从1开始，比如n阶的第s行第t个元素则其i=s*n+t) 如果不在，则填上i。
（4的倍数幻方，4，8，12可以。
6、10是不行的。
这样才有一般填法，4的方法是先画好格，连接对角线，这样有8格也就是一半的格子被斜线划过，然后从头到尾，数格子，没有斜线的格子就填上数的数，那么第一排就是1不填，2填，3填，4不填，第二排就是5填，6不填，7不填，8填三四排一样，然后从尾到头数，填划了斜线的格子，就成4介幻方；8阶就是对角线画斜线外，相邻边的中点相连再画4条线，形状就如4个4阶幻方；12阶就是三等分点，画9个如四阶的。
偶数阶幻方的快速构作口诀课件
若不满足，根据口诀进行调整，直到满足幻方的性质为止。
04
常见问题解答
如何确定初始格子数字？
从中间开始 对于一个偶数阶幻方，首先将数字1放在中间行中间列的位置。
如何确定后续格子数字？
03
2. 构建具有特定性质的幻方（如对称性、 中心对称等）。
04
3. 解决幻方构建中的经典难题和未解决问 题。
THANKS
感谢观看
于15。
将1-16的数字填入4×4的正 方形网格中，使得每行、每 列及两条对角线上的数字之
和都等于34。
将n^2个连续整数填入n×n的 正方形网格中，使得每行、 每列及两条对角线上的数字 之和都等于相同的常数。
将n^2个偶数填入n×n的正方 形网格中，使得每行、每列 及两条对角线上的数字之和
都等于相同的常数。
填充幻方
根据口诀的指示，将数字逐行逐列地填入幻方中。
检查与调整
填完所有数字后，检查是否满足幻方的性质（每行、每列、两条对角 线上的数字之和相等）。若不满足，根据口诀进行调整。
口诀法实例演示
以4阶幻方为例，其口诀为“1居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出框界往下写， 右出框时左边放，重复便在下格填，出角重复一个样。”
02
偶数阶幻方的特性
偶数阶幻方的定义
定义
偶数阶幻方是一个由数字组成的 正方形阵列，其中每行、每列以 及两条主对角线上的数字之和都 相等。
阶数
幻方的阶数表示其行数或列数， 通常为偶数。常见的偶数阶幻方 有4阶、6阶、8阶等。
偶数阶幻方的特性
01
幻方
第四章双偶数阶幻方的制作方法（《数学趣味幻方》电子版 2004年5月13日修改定稿）人们一般将偶数分成两类，其中是偶数的2倍（是4的倍数）的称为双偶数，是奇数的2倍的称为单偶数。
4、8、12、16、……是双偶数，用4m的形式表示；2、6、10，14、18、……是单偶数，用4m + 2的形式表示（其中m是自然数）。
例如m = 3时，4m = 4×3 = 12是一个双偶数；4m + 2 = 4×3 + 2 = 14是一个单偶数。
双偶数阶幻方与单偶数阶幻方的制作方法有较大的区别，在这一章我们只介绍双偶数阶幻方的制作方法。
在双偶数阶幻方中，阶数最低的是已在第二章作了详细研究的四阶幻方。
本章主要是研究八阶幻方的制作方法，给出16阶幻方的一些实例，并对4m（m为自然数）阶幻方的一般制作方法作简单的介绍。
同时对某些特殊的双偶数阶幻方作一些研究。
一、3种制作方法简介（一）平移补空法1 2 3 4 13 12 8 1 13 12 8 15 6 7 8 14 7 11 2 2 7 11 149 10 11 12 15 6 10 3 3 6 10 1513 14 15 16 16 9 5 4 16 9 5 4A 初始方阵—→B 环形填写数—→C 四阶幻方图4—1 用平移补空法制作四阶中心对称幻方如图4—1所示，从右上角起顺时针方向环形依次填写1～8这些数；再从与数8所在的方格成中心对称的方格起，逆时针方向依次填写9～16这些数，得到B图。
然后将B图中处于四阶方阵外面的各个数作平移复位（平移复位，参看第一章第二节），得到的C图就是一个四阶中心对称幻方。
57 56 25 24 48 33 16 158 26 55 47 23 15 34 259 27 46 54 14 22 35 360 28 45 13 53 21 36 461 29 44 12 52 20 37 562 30 43 51 11 19 38 663 31 50 42 18 10 39 764 49 32 17 41 40 9 8图4—2 用平移补空法制作的八阶中心对称幻方用这种方法也可以制作其它双偶数阶幻方。
幻方常规解法汇总
幻方常规解法汇总按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。
下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。
奇数阶幻方（罗伯法）奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。
填写的方法是：把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数：1、每一个数放在前一个数的右上一格；2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。
例，用该填法获得的5阶幻方：双偶数阶幻方（对称交换法）所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。
在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在 n 阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与 1 的和（即 n×n＋1），我们称它们为一对互补数。
如在三阶幻方中，每一对和为 10 的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为 17 的数，是一对互补数。
双偶数阶幻方的对称交换解法：先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换（6，11）（7，10）互换即可。
对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。
写好后，按4×4把它划分成k×k个方阵。
因为n 是4的倍数，一定能用4×4的小方阵分割。
然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。
以8阶幻方为例：(1) 先把数字按顺序填。
偶阶幻方构造方法
偶阶幻方构造方法
嘿，朋友们！今天咱来聊聊偶阶幻方的构造方法，这可好玩啦！
你说啥是偶阶幻方？嘿嘿，就好像是一个神奇的数字魔法阵呀！想象一下，一堆数字整整齐齐地排列在那里，横竖斜着加起来都一个得数，多有意思！
那怎么构造偶阶幻方呢？咱先来说说双偶数阶幻方，也就是 4 的倍数阶幻方。
这就像是搭积木一样，得有步骤。
先把数字按顺序排好，就像给它们排排队。
然后呢，把对角线上的数字互换位置，就像是给它们换了个新伙伴。
瞧，一个漂亮的幻方就出来啦！是不是很简单？
再来说说单偶数阶幻方，这就稍微有点难度咯，但别怕呀！咱可以把它分成几个小部分来处理。
就好像把一个大拼图分成小块，一块一块地拼起来。
先把中间的那部分搞定，然后再慢慢往外扩展。
这可得有点耐心哦，别着急，慢慢来，肯定能成功的。
你想想看，通过自己的努力，构造出一个完美的偶阶幻方，那得多有成就感呀！这就像是自己创造了一个小小的数字世界，多酷呀！而且，这可不是随便玩玩的哦，在很多地方都有用呢。
比如在数学研究里，在游戏设计里，都能看到偶阶幻方的身影呢。
构造偶阶幻方就像是一场冒险，每一步都充满了惊喜和挑战。
有时候可能会遇到困难，但别灰心，多试试，肯定能找到解决办法的。
就像走路会遇到小石子，但咱跨过去不就好啦！
总之呀，偶阶幻方的构造方法真的很有趣，也很有用。
大家都来试试吧，说不定你就是那个能创造出最神奇幻方的人呢！不用犹豫，不用害怕，大胆地去尝试吧！让我们一起在数字的海洋里畅游，感受那奇妙的魅力！。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3、幻方（三）——双偶数阶幻方的编排方法
奇数阶幻方我们已经会编排了，偶数阶幻方怎么编排呢？和奇数阶幻方的编排方法一样吗？为了便于讲解，我们把偶数分为两类：一类是4、8、12、16、……这样的偶数叫做双偶数（能连续两次被2整除），双偶数也就是4的倍数，因此双偶数可用4k表示（k是自然数）；另一类是6、10、14、18、……这样的偶数叫做单偶数（只能一次被2整除），单偶数可用4k＋2表示（k是自然数）。
这一节先学习双偶数阶幻方的编排方法。
一、中心对称交换法
例1、用1～16这十六个数编排一个四阶幻方（四行四列）。
【分析与解答】用1至16编排一个四阶幻方，就是把1～16这十六个数填入四行四列的方格内，使每行、每列、两条对角线上的四个数的和都相等。
先计算这个相等的和是多少？也就是前面学过的幻和：（1＋2＋3＋…＋15＋16）÷4＝34。
再想办法将这十六个数排列成幻和是34的四阶幻方。
①先把1～16按顺序填入4×4的方格中（如下图A）；我们把图A称为四阶自然方阵。
这时可以发现，两条对角线上的四个数的和都恰好是34，其它每行、每列上四个数的和都不是34，因此，这两条对角线上的八个数都不动，作为四阶幻方两条对角线上的数。
②观察自然方阵（图A）中的第一列和第四列。
第一列上四个数的和是1＋5＋9＋13＝28，比34少6；第四列上四个数的和是4＋8＋12＋16＝40，比34多6。
为了使第一列和第四列上四个数的和分别是34，只要把这两列中对角线以外的相应的数（即5和8，9与12）相互交换就可以了（图B）。
同样地，为使第二、三列上的四个数的和也是34，只要把这两列中对角线以外的相应的数（即2与3，14与15）相互交换就可以了（图C）。
③再观察上图C的第一、第四行。
第一行上四个数的和是1＋3＋2＋4＝10，比34少24；第四行上四个数的和是13＋15＋14＋16＝58，比34多24。
为了使第一行和第四行上四个数的和分别是34，只要把这两行中对角线以外的相应的数（即2和14，3与15）相互交换就可以了。
同样地，为使第二、三行上的四个数的和也是34，只要把这两行中对角线以外的相应的数（即8与12，5与9）相互交换就可以了。
交换后的结果见图D，这就是一个四阶幻方。
这样编排太复杂了！能不能由四阶自然方阵直接得到四阶幻方？
对比图A与图D可以发现：只要把图A中的2与15，3与14，5与12，8与9互相交换，就可以直接得到图D（见下图）。
那么，2与15，3与14，5与12，8与9是什么关系呢？不难看出，它们的位置是“对称”的。
例如2在从上往下、从左往右数的第一行第二列，而15在从下往上、从右往左数的第一行第二列。
又如，9在从上往下、从左往右数的第三行第一列，而8在从下往上、从右往左数的第三行第一列。
我们把这样的两个数叫“中心对称数”，也就是说只要把四阶自然方阵中对角线以外的数作中心对称交换就可以直接得到四阶幻方，把这种编排双偶数阶幻方的办法叫“中心对称交换法”。
由例1可以看到，用“中心对称交换法”编排四阶幻方的主要步骤归纳如下：
①把1～16按顺序排成四阶自然方阵；
②四阶自然方阵中对角线上的八个数不动，作为四阶幻方两条对角线上的数；
③把四阶自然方阵中对角线以外的数作中心对称交换。
运用“中心对称交换法”不仅可以编排四阶幻方，而且可以编排任意的双偶数阶幻方。
例2、用1～64这六十四个数编排一个八阶幻方（八行八列）。
【分析与解答】编排步骤如下:
①把1至64按顺序填入8×8的方格子中,排成八阶自然方阵；（见左下图）
②把八阶自然方阵分成四个四阶自然方阵（左下图粗线条），每个四阶自然方阵分别画出对角线（图中有颜色的数字）；
③每个四阶自然方阵中对角线的数字都不动，把对角线以外的数字在八阶自然方阵中进行中心对称交换。
这样就得到一个八阶幻方（见右下图）。
二、环形平移补空法
例3、用“环形平移补空法”编排一个八阶幻方。
【分析与解答】编排步骤如下:
①画一个8×8的八阶幻方空格（下图A的中间实线部分），并在左右两端画出凸阶梯状虚线方格（如图A所示，每向外一层上、下各减少一格）。
②把1至64这六十四个数分成四组，即第一组：1～16，第二组：17～32，第三组：33～48，第四组：49～64。
③把第一组的十六个数从八阶幻方的第一行第八列开始，按顺时针方向依次排成环形（红色）；第二组的十六个数从八阶幻方的第八行第四列开始，按逆时针方向依次排成环形（蓝色）；第三组的十六个数从八阶幻方的第一行与1相隔一格开始，按顺时针方向依次排成环形（深绿色）；第四组的十六个数从八阶幻方的第八行第二列开始，按逆时针方向依次排成环形（浅绿）。
（见图B）
④把右边凸阶梯状虚线方格中的数分别向左平移8格到相应的八阶幻方中，去掉右边凸阶梯状虚线格（图C）；把左边凸阶梯状虚线方格中的数分别向右平移8格到相应的八阶幻方中，去掉左边凸阶梯状虚线格。
这样就编成了一个八阶幻方。
（图D）
环形平移补空法可分为：“画左、右阶梯状图”、“数字分组”、“环形填数”、“平移补空”四个步骤。
一般地，当编排任意4k阶幻方时，先画一个4k×4k且左、右有凸阶梯状虚线方格，再把1至（4k）2个自然数依次分成（4k÷2）组，如8阶就分成8÷2＝4组，12阶就分成12÷2＝6组，…把第一、三、五、…等组中的各数，从4k阶幻方的右上角开始，每次起点左移二格，按顺时针方向依次排成环形。
再把第二、四、六、…等组中的各数，从4k阶幻方的左半部分的右下角开始，每次起点左移二格，按逆时针方向依次排成环形。
最后把凸阶梯状虚线方格中的各数进行平移补空，便得到一个4k阶幻方。
（这种方法很难，请多练习）。