2013届高考数学一轮复习讲义 7.4 基本不等式及其应用
∴ab＝28 800，
又设上栏框内高度为 h cm，下栏框内高度为 2h cm， b－18 则 3h＋18＝b，∴h＝ ， 3 ∴透光部分的面积
2b－18 b－18 S＝(a－18)× ＋(a－12)× 3 3 ＝(a－16)(b－18)＝ab－2(9a＋8b)＋288 ＝28 800－2(9a＋8b)＋288 ＝29 088－2(9a＋8b)．
2
16 ∴当 a＝2 2，b＝ 2时，a ＋ 取得最小值 16. ba－b
2
基本不等式的实际应用
例 3 围建一个面积为 360 m2 的矩形场地， 要求矩形场地的一面 利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙 对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口，如图所示．已知 旧墙的维修费用为 45 元/m，新墙的造价为 180 元/m.设利用的 旧墙长度为 x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为 y(单 位：元)．
审题视角
(1)求函数最值问题，可以考虑利用基本不等式，但是利用基 本不等式，必须保证“正、定、等”，而且还要符合已知条件． (2)可以考虑利用函数的单调性，但要注意变量的取值范围．
规范解答
1 1 解 方法一 y＝a＋ab＋b 1 b a 1 ＝ab＋ab＋a＋b≥ab＋ab＋2 1 2 1 －3 ＝ ab＋ ＝ 4 ab＋ ab ab a＋b2 1 ≥2 4 ab· －3× 2 ab 32 25 ＝4－2 ＝ . 4
当且仅当 x＝y＝z 时等号成立．
探究提高
利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况， 证 明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发， 借助不等式的性 质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．
变式训练 1
若 a>0，b>0，c>0，试证： bc ac ab (1) a ＋ b ＋ c ≥a＋b＋c； a2 b2 c2 (2) b ＋ c ＋ a ≥a＋b＋c. 证明 (1)∵a，b，c∈(0，＋∞)， bc ac bc ac ∴ a ＋ b ≥2 a · ＝2c， b
[难点正本
疑点清源]
1． 在应用基本不等式求最值时， 要把握不等式成立的三个条件， 就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相 等——等号能否取得”， 若忽略了某个条件， 就会出现错误． a＋b 2 对于公式 a＋b≥2 ab，ab≤ ，要弄清它们的作用和 2 使用条件及内在联系， 两个公式也体现了 ab 和 a＋b 的转化 关系． 2．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆 a2＋b2 a＋b 用，例如 a2＋b2≥2ab 逆用就是 ab≤ ； ≥ ab (a， 2 2 a＋b 2 b>0)逆用就是 ab≤ b>0)等． 还要注意“添、 拆项” 2 (a， 技巧和公式等号成立的条件等．
(2)∵9a＋8b≥2 9a· 8b＝2 9×8×28 800＝2 880， 9 当且仅当 9a＝8b 时等号成立，此时 b＝ a， 8
代入①式得，a＝160，从而 b＝180， 即当 a＝160，b＝180 时，S 取得最大值． ∴铝合金窗的宽为 160 cm，高为 180 cm 时，可使透光部分的面 积最大．
x＋1＝2y＋1， 当且仅当 x＋2y＋2xy＝8， x＝2， 即 y＝1
时等号成立．
∴x＋2y 的最小值是 4.
b＋a－b a2 2 (2)∵a>b>0，∴b(a－b)≤ ＝4， 2
当且仅当 a＝2b 时等号成立．
16 16 2 64 2 ∴a ＋ ≥a ＋ 2 ＝a ＋ 2 a a ba－b 4 2 64 ≥2 a · 2 ＝16，当且仅当 a＝2 2时等号成立． a
3602 3602 (2)∵x>2，∴225x＋ x ≥2 225x× x ＝10 800. 3602 ∴y＝225x＋ x －360≥10 440.
3602 当且仅当 225x＝ x 时，等号成立． 即当 x＝2440 元．
探究提高
(1)利用基本不等式解决实际问题时， 应先仔细阅读题目信息， 理 解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的 函数关系式，然后用基本不等式求解． (2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可 利用函数单调性求解．
(1)将 y 表示为 x 的函数； (2)试确定 x，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最少 总费用．
(1)首先明确总费用 y＝旧墙维修费＋建新墙费，其次，列出 y 与 x 的函数关系式；(2)利用基本不等式求最值，最后确定取得最值 的条件，从而得出问题结论．
解 (1)设矩形的另一边长为 a m， 则 y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360. 360 由已知 xa＝360，得 a＝ x ， 3602 所以 y＝225x＋ x －360 (x>2)．
要点梳理
忆一忆知识要点
3．算术平均数与几何平均数 a＋b 设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为 ，几何平均数为 2 ab，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于
它们的几何平均数 ．
4．利用基本不等式求最值问题 已知 x>0，y>0，则 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，x＋y 有最 小值是 2 P .(简记：积定和最小) (2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当 x＝y 时，xy 有最 大 p2 值是 .(简记：和定积最大) 4
ab2
[10 分]
1 1 1 25 a＋ b＋ 取最小值，最小值为 . 当且仅当 a＝b＝ 时，y＝ a b 2 4
[14 分]
方法二
2 2 2 1 a ＋b 1 a＋b －2ab ＝ab＋ab＋ ab ＝ab＋ab＋ ab 2 ＝ab＋ab－2.
1 33 1 ∴当 t＝ 时，f(t)min＝ ，此时，a＝b＝ . 4 4 2 1 25 ∴当 a＝b＝ 时，y 有最小值 . 2 4
[14 分]
批阅笔记
(1)这类题目考生总感到比较容易下手．但是解这类题目却又常 常出错．(2)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件：即 一正、二定、三相等．否则求解时会出现等号成立条件不具备 而出错．(3)本题出错的原因前面已分析，关键是忽略了等号成 立的条件．
以上三个小题都不具备应用基本不等式求最值的三个条件，可将 负数转化为正数，通过添项、拆项或变系数，使其积(或和)转化 为定值．
解
(1)∵x<0，∴－x>0， 4 4 ∴f(x)＝2＋x＋x＝2－－x＋－x. 4 ∵－x＋(－x)≥2 4＝4， 4 当且仅当－x＝ ，即 x＝－2 时等号成立． －x 4 ∴f(x)＝2－－x＋－x≤2－4＝－2， ∴f(x)的最大值为－2.
(2)∵x>1，∴x－1>0， 1 1 ∴f(x)＝x＋ ＝x－1＋ ＋1 x－1 x－1 1 ≥2 x－1· x－1＋1＝2＋1＝3.
1 当且仅当 x－1＝ ，即 x＝2 时，等号成立． x－1
∴f(x)的最小值为 3.
(3)y＝2x－5x2＝x(2－5x) 1 ＝ · (2－5x)， 5x· 5
ac ab ab bc 同理 b ＋ c ≥2a， c ＋ a ≥2b， bc ac ab ∴2 a ＋ b ＋ c ≥2(a＋b＋c)， bc ac ab 即 a ＋ b ＋ c ≥a＋b＋c.
a2 (2)∵a>0，b>0，c>0，∴ b ＋b≥2a， b2 同理 c ＋c≥2b，
变式训练 2
(1)已知 x>0， y>0， x＋2y＋2xy＝8， x＋2y 的最小值是________． 则 16 2 (2)已知 a>b>0，则 a ＋ 的最小值是________． ba－b
(1)依题意，得(x＋1)(2y＋1)＝9， ∴(x＋1)＋(2y＋1)≥2 x＋12y＋1＝6， 即 x＋2y≥4.
一轮复习讲义
基本不等式及其应用
要点梳理
忆一忆知识要点
a＋b 1．基本不等式 ab≤ 2 (1)基本不等式成立的条件： a≥0，b≥0 . (2)等号成立的条件：当且仅当 a＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥ 2ab (a，b∈R)． b a (2)a＋b≥ 2 (a，b 同号)． a＋b 2 (3)ab≤ (a，b∈R)． 2 a2＋b2 a＋b2 (4) ≥ (a，b∈R)． 2 2
易错警示
基本不等式等号成立的条件把握不准致误
(14 分)已知 a、b 均为正实数，且 a＋b＝1，求 最小值． 学生解答展示
1 1 y＝a＋ab＋b的
错因分析
上面解法显然是错误的，因为当 a＝1，b＝1 时，a
＋b＝2，而已知中 a＋b＝1.照这种解法，无论 a＋b 的值为多少， 1 1 a＋ b＋ 的最小值总是 4，它错在两次利用基本不等式，等号 a b 不能同时成立，故 y 的最小值不可能是 4.
1 1 1 a b a＋ b＋ ＝ab＋ ＋ ＋ y＝ a b ab b a
[8 分]
令 又
a＋b 1 2 1 t＝ab≤ ＝4，即 t∈0，4. 2 1 2 f(t)＝ t ＋t 在0，4上是单调递减的，
[12 分]
c2 a ＋a≥2c，
a2 b2 c2 ①＋②＋③得 b ＋ c ＋ a ＋a＋b＋c≥2a＋2b＋2c， a2 b2 c2 即 b ＋ c ＋ a ≥a＋b＋c.
①
②
③
利用基本不等式求最值
4 例 2 (1)已知 x<0，求 f(x)＝2＋x＋x 的最大值； 1 (2)已知 x>1，求 f(x)＝x＋ 的最小值； x－1 2 (3)已知 0<x< ，求 y＝2x－5x2 的最大值． 5
届高考数学一轮复习讲义74基本不等式及其应用PPT课件
等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 对于公式 a＋b≥2 ab，ab≤a＋2 b2，要弄清它们的作用和 使用条件及内在联系，两个公式也体现了 ab 和 a＋b 的转化
关系．
2．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆 用，例如 a2＋b2≥2ab 逆用就是 ab≤a2＋2 b2；a＋2 b≥ ab (a， b>0)逆用就是 ab≤a＋2 b2 (a，b>0)等．还要注意“添、拆项” 技巧和公式等号成立的条件等．
当且仅当xx＋ ＋12＝ y＋22y＋xy＝1，8， 即xy＝＝12， 时等号成立． ∴x＋2y 的最小值是 4. (2)∵a>b>0，∴b(a－b)≤b＋2a－b2＝a42， 当且仅当 a＝2b 时等号成立．
∴a2＋ba1－6 b≥a2＋1a62＝a2＋6a42 4
≥2 a2·6a42＝16，当且仅当 a＝2 2时等号成立．
同理abc＋acb≥2a，acb＋bac≥2b， ∴2bac＋abc＋acb≥2(a＋b＋c)， 即bac＋abc＋acb≥a＋b＋c.
(2)∵a>0，b>0，c>0，∴ab2＋b≥2a，
①
同理bc2＋c≥2b，
②
ca2＋a≥2c，
③
①＋②＋③得ab2＋bc2＋ca2＋a＋b＋c≥2a＋2b＋2c，
一轮复习讲义
基本不等式及其应用
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高考数学一轮复习第一章第五讲基本不等式及其应用课件
(a2＋b2) 2
图 1-5-2
解析：∵△ACD∽△CBD，∴CADD＝CBDD， 即 CD＝ AD·BD＝ ab. ∵OC＝A2B＝AD＋2 BD＝a＋2 b， ∴ ab≤a＋2 b.故选 B.
答案：B
考点二 利用基本不等式求最值 考向 1 通过配凑法求最值
[例 2]设 0<x<23，则函数 y＝4x(3－2x)的最大值为________.
2－x x·2－x x＋2＝2，
当且仅当2－x x＝2－x x，即 x＝1 时取等号，所以 y 的最小值为
2.故选 B.
答案：B
2.(考向 2)(2023 年罗湖区校级期中)已知 x＞0，y＞0，且 2x＋ y＝xy，则 x＋2y 的最小值为( )
A.8
B.8 2
C.9
D.9 2
解析：x＞0，y＞0，且 2x＋y＝xy，可得：1x＋2y＝1，则 x＋2y
错误. (3)连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一
致. (4)若 a≥b＞0，则 a≥ a2＋2 b2≥a＋2 b≥ ab≥a2＋abb≥b.
考点一 基本不等式的证明 [ 例 1](1)(2023 年广西一模) 《几何原本》中的“几何代数 法”(以几何方法研究代数问题)是西方数学家处理问题的重要依 据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现
【变式训练】
如图1-5-2所示，线段AB为半圆的直径，O为
圆心，点 C 为半圆弧上不与 A ，B 重合的点. 作 CD⊥AB于点D，设 AD＝a，BD＝b，则下列不等
式中可以直接表示 CD≤OC 的是( )
A.a2＋abb≤ ab
B. ab≤a＋2 b
C.a＋2 b≤
高考数学一轮专项复习ppt课件-基本不等式的综合应用(北师大版)
2.若圆柱的上、下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面
积的最大值为
A.4π
√B.8π
C.12π
D.16π
设底面圆半径为 r，则圆柱的高为 2 4－r2， 圆柱侧面积为 S＝2πr·2 4－r2＝4πr 4－r2≤4π·r2＋24－r2＝8π， 当且仅当 r＝ 4－r2，即 r＝ 2时等号成立.
并求出此时商品的每件定价.
依题意知，当x>25时， 不等式 ax≥25×8＋50＋16(x2－600)＋5x有解， 等价于当 x>25 时，a≥15x0＋6x＋15有解， ∵15x0＋6x≥2 15x0·6x＝10(当且仅当 x＝30 时，等号成立)， ∴a≥10.2.
∴当该商品改革后的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使改革后的
所以a2＋b e＝a2＋3aac＝
a＋ 3
23a≥2
a3·
2 ＝2 3a
3 6，当且仅当
a＝ 3
2， 3a
即 a＝ 2时等号成立.
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知识过关
一、单项选择题 1.已知F1，F2是椭圆C：x92＋y42 ＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|
的最大值为
A.13
B.12
√C.9
√A.(－∞，－1)∪(9，＋∞)
B.(－∞，－1]∪[9，＋∞) C.(－9，－1) D.[－9,1]
因为 x>0，y>0，且2x＋1y＝1， 所以 2x＋y＝(2x＋y)2x＋1y＝5＋2yx＋2xy≥5＋2 2yx·2xy＝9， 当且仅当2yx＝2xy，且2x＋1y＝1，即 x＝y＝3 时取等号，此时 2x＋y 取得 最小值 9， 若2x＋y<m2－8m有解，则9<m2－8m，解得m>9或m<－1， 即实数m的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞).
高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.4 基本不等式及其应用课件(理)
(2)(2015·四川)如果函数 f(x)＝12(m－2)x2＋(n－8)x＋1(m≥0，n≥0)在区
间12，2上单调递减，那么 mn 的最大值为( )
A．16
B．18
C．25
81 D. 2
解：当 m＝2 时，易得 n－8＜0，n＜8，此时 mn＜16.
＋2n＝18，得 m＝9＞2，故应舍去．要使 mn 取得最大值，应有 m＋2n＝18(8
＜n＜9)．
此时 mn＝(18－2n)n＜(18－2×8)×8＝16.
综合①②可得最大值为 18.故选 B.
【点拨】(1)基本不等式的应用在于“定和 求积，定积求和”，必要时可以通过变形(拆 补)、配凑，常数代换、构造“和”或者“积”， 使之为定值．(2)本题要讨论抛物线的开口方向 和对称轴，根据所给单调区间找到 m、n 满足 的条件，再利用基本不等式求解．
C．2
D．4
解：依题意得 2a＝2－b，即 2a＋b＝2(a＞0，b＞0)， ∴2＝2a＋b≥2 2ab，∴ab≤12，当且仅当 2a＝b＝1 时取等号，∴ab 的最大值是12.故选 A.
设 f(x)＝lnx，0＜a＜b，若 p＝f( ab)，q＝fa＋2 b，
r＝12(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是( )
C．2 2
D．2 6
解：因为 2a＞0，2b＞0，由基本不等式得 2a＋2b≥2 2a·2b ＝2 2a＋b＝4 2，当且仅当 a＝b＝32时取等号，故选 B.
(2015·贵阳模拟)已知向量 m＝(2，1)，n＝(2－b，
a)(a＞0，b＞0)．若 m∥n，则 ab 的最大值为( )
§7.4 基本不等式及其应用
§7.4 基本不等式及其应用考情考向分析 理解基本不等式成立的条件，会利用基本不等式求最值.加强数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想的应用意识，作为求最值的方法，常在函数、解析几何、不等式的解答题中考查，难度中档.1.基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R ). (2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号). (3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R ).(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R ). 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3.算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)知识拓展不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f (x )在区间D 上存在最小值，则不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立⇔f (x )min >A (x ∈D )；若f (x )在区间D 上存在最大值，则不等式f (x )<B 在区间D 上恒成立⇔f (x )max <B (x ∈D ). (2)能成立问题：若f (x )在区间D 上存在最大值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )>A 成立⇔f (x )max >A (x ∈D )；若f (x )在区间D 上存在最小值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )<B 成立⇔f (x )min <B (x ∈D ).(3)恰成立问题：不等式f (x )>A 恰在区间D 上成立⇔f (x )>A 的解集为D ； 不等式f (x )<B 恰在区间D 上成立⇔f (x )<B 的解集为D .题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( × )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4.( × )(3)“x >0且y >0”是“x y ＋y x≥2”的充要条件.( × ) (4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( × )(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件.( × )(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.( √ )题组二 教材改编2.[P101练习T3]设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为________. 答案 81解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y2≥xy ，即xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81.3.[P101练习T4]若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 答案 25解析 设矩形的一边为x m ，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，∴y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(10－x )22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.题组三 易错自纠4.“x >0”是“x ＋1x≥2成立”的________条件.答案 充要解析 当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x ＝2. 因为x ，1x同号，所以若x ＋1x≥2，则x >0，1x>0，所以“x >0”是“x ＋1x≥2成立”的充要条件.5.设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为________. 答案 0解析 y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0， 当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立.∴函数的最小值为0.6.若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是________. 答案 5解析 由3x ＋y ＝5xy ，得3x ＋y xy ＝3y ＋1x＝5，所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y )·15⎝ ⎛⎭⎪⎫3y ＋1x＝15⎝⎛⎭⎪⎫4＋9＋3y x ＋12x y ≥15(4＋9＋236)＝5，当且仅当3y x ＝12xy，即y ＝2x 时，“＝”成立，故4x ＋3y 的最小值为5.题型一 利用基本不等式求最值命题点1 通过配凑法利用基本不等式典例 (1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________. 答案 23解析 x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋(4－3x )22＝43， 当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号.(2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________.答案 23＋2解析 y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2. 当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立.命题点2 通过常数代换法利用基本不等式典例 若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为________. 答案 4解析 由lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，得lg(ab )＝lg(a ＋b )，即ab ＝a ＋b ，则有1a ＋1b＝1，所以a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值为4.思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式.(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求最值. 跟踪训练 (1)若对∀x ≥1，不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是__________. 答案 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12解析 因为函数f (x )＝x ＋1x －1在[1，＋∞)上单调递增，所以函数g (x )＝x ＋1＋1x ＋1－2在[0，＋∞)上单调递增，所以函数g (x )在[1，＋∞)上的最小值为g (1)＝12，因此对∀x ≥1，不等式x ＋1x ＋1－1≥a 恒成立，所以a ≤g (x )min ＝12，故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12. (2)(2018届江苏淮安盱眙中学调研)已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝3，则y x ＋1y的最小值为________. 答案23＋23解析y x ＋1y ＝y x ＋x ＋2y3y ＝y x ＋x 3y ＋23≥2y x ×x 3y ＋23＝23＋23，当且仅当y x ＝x3y，即x ＝3y 时等号成立，所以y x ＋1y 的最小值为23＋23.题型二 基本不等式的实际应用典例 某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元).当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10 000x－1 450(万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解 (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1 000x 万元，依题意得当0<x <80时，L (x )＝1 000x ×0.05－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋10x －250＝－13x 2＋40x －250；当x ≥80时，L (x )＝1 000x ×0.05－⎝⎛⎭⎪⎫51x ＋10 000x－1 450－250＝1 200－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x.∴L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋40x －250，0<x <80，1 200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x ，x ≥80.(2)当0<x <80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950.对称轴为x ＝60，即当x ＝60时，L (x )max ＝950万元；当x ≥80时，L (x )＝1 200－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x≤1 200－210 000＝1 000(万元)， 当且仅当x ＝100时，L (x )max ＝1 000万元， 综上所述，当年产量为100千件时，年获利润最大.思维升华 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值. (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解. 跟踪训练 (2017·江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________. 答案 30解析 一年的总运费为6×600x ＝3 600x(万元).一年的总存储费用为4x 万元.总运费与总存储费用的和为⎝ ⎛⎭⎪⎫3 600x ＋4x 万元.因为3 600x＋4x ≥23 600x·4x ＝240，当且仅当3 600x＝4x ，即x ＝30时取得等号，所以当x ＝30时，一年的总运费与总存储费用之和最小.题型三 基本不等式的综合应用命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题典例 (1)已知函数f (x )＝lg x ，若a >b >0，有|f (a )|＝|f (b )|，则a 2＋(b i)2a －b(i 是虚数单位)的取值范围为________. 答案 (2，＋∞)解析 因为f (x )＝lg x ，由|f (a )|＝|f (b )|，可得a >1>b >0，所以lg a ＝－lg b ，得ab ＝1，所以a 2＋(b i)2a －b ＝a 2－b 2a －b ＝a ＋b ＝a ＋1a>2.(2)已知圆C 1：(x ＋2a )2＋y 2＝4和圆C 2：x 2＋(y －b )2＝1只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为________.答案 9解析 由题意可得两圆相内切，两圆的标准方程分别为(x ＋2a )2＋y 2＝4，x 2＋(y －b )2＝1，圆心分别为(－2a,0)，(0，b )，半径分别为2和1，故有4a 2＋b 2＝1，∴4a 2＋b 2＝1，∴1a2＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2(4a 2＋b 2)＝5＋b 2a ＋4a 2b ≥5＋4＝9，当且仅当b 2a ＝4a 2b 时，等号成立，∴1a ＋1b的最小值为9.命题点2 求参数值或取值范围典例 (1)已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，则m 的最大值为________.答案 12解析 由3a ＋1b ≥ma ＋3b，得m ≤(a ＋3b )⎝⎛⎭⎪⎫3a ＋1b＝9b a＋ab＋6.又9b a ＋ab＋6≥29＋6＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当9b a ＝a b ，即a ＝3b 时等号成立， ∴m ≤12，∴m 的最大值为12.(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞ 解析 对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173.∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173，∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞.思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解.(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解.(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围.跟踪训练 (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2sin C cos B ＝2sin A ＋sin B ，c ＝3ab ，则ab 的最小值为________. 答案 13解析 在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，可知sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )，∴2sin C cos B ＝2sin A ＋sin B ＝2sin(B ＋C )＋sin B ， 化简得－2sin B cos C ＝sin B ， ∵sin B >0，∴cos C ＝－12，∵c ＝3ab ，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 即9a 2b 2＝a 2＋b 2＋ab ≥3ab ， 当且仅当a ＝b 时等号成立. ∴ab ≥13，则ab 的最小值为13.(2)已知a >b >1且2log a b ＋3log b a ＝7，则a ＋1b 2－1的最小值为________. 答案 3解析 因为2log a b ＋3log b a ＝7，所以2(log a b )2－7log a b ＋3＝0，解得log a b ＝12或log a b ＝3，因为a >b >1，所以log a b ∈(0,1)，故log a b ＝12，从而b ＝a ，因此a ＋1b 2－1＝a ＋1a －1＝(a－1)＋1a －1＋1≥3，当且仅当a ＝2时等号成立.利用基本不等式求最值典例 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋2y＝1，则x ＋y 的最小值是________.(2)函数y ＝1－2x －3x(x <0)的值域为________.现场纠错解析 (1)∵x >0，y >0，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y＝3＋y x＋2xy≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号)，∴当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y )min ＝3＋2 2. (2)∵x <0，∴y ＝1－2x －3x＝1＋(－2x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x ≥1＋2(－2x )·3－x＝1＋26，当且仅当x ＝－62时取等号， 故函数y ＝1－2x －3x(x <0)的值域为[1＋26，＋∞).答案 (1)3＋2 2 (2)[1＋26，＋∞)纠错心得 利用基本不等式求最值时要注意条件：一正二定三相等；多次使用基本不等式要验证等号成立的条件.1.“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的________条件.答案 充分不必要解析 由a >b >0，可知a 2＋b 2>2ab ，充分性成立，由ab <a 2＋b 22，可知a ≠b ，a ，b ∈R ，故必要性不成立.2.下列不等式一定成立的是________.(填序号)①lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)；②sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )；③x 2＋1≥2|x |(x ∈R )； ④1x 2＋1>1(x ∈R ). 答案 ③解析 当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x (x >0)， 当且仅当x ＝12时，等号成立； 故①不正确；运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故②不正确；由基本不等式可知，③正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故④不正确. 3.已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是________. 答案 92解析 依题意，得1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ·(a ＋b ) ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2b a ·4a b ＝92， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝2，b a ＝4a b ，a >0，b >0，即a ＝23，b ＝43时取等号， 即1a ＋4b 的最小值是92. 4.(2017·苏北四市期末)若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜12，则3x ＋1y －3的最小值为_______.答案 8解析 方法一 因为实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜12，所以y ＝3x －3(y ＞3)， 所以3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1y －3＋6≥2(y －3)·1y －3＋6＝8，当且仅当y －3＝1y －3，即y ＝4时取等号，此时x ＝37，所以3x ＋1y －3的最小值为8.方法二 因为实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎪⎫0＜x ＜12，所以y ＝3x －3(y ＞3)，y －3＝3x －6＞0， 所以3x ＋1y －3＝3x ＋13x －6＝3x －6＋13x－6＋6≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －6·13x －6＋6＝8，当且仅当3x －6＝13x －6，即x ＝37时取等号，此时y ＝4，所以3x ＋1y －3的最小值为8. 5.若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为________. 答案 2 2解析 由1a ＋2b ＝ab 知，a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab ，即ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ， 即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2. 6.若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 解析 因为对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立， 所以对任意x ∈(0，＋∞)，a ≥⎝⎛⎭⎪⎫x x 2＋3x ＋1max ， 而对任意x ∈(0，＋∞)， x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12x ·1x ＋3＝15， 当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立，∴a ≥15. 7.已知2a ＋4b ＝2(a ，b ∈R )，则a ＋2b 的最大值为________.答案 0 解析 2a ＋4b ＝2a ＋22b ＝2≥22a ＋2b ，2a ＋2b ≤1＝20，a ＋2b ≤0，当且仅当a ＝2b 时等号成立，所以a ＋2b 的最大值为0.8.已知x >－1，y >0且满足x ＋2y ＝1，则1x ＋1＋2y 的最小值为________.答案 92解析 ∵x >－1，y >0且满足x ＋2y ＝1，∴x ＋1>0，且(x ＋1)＋2y ＝2，∴1x ＋1＋2y ＝12[(x ＋1)＋2y ]⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋2y ＝52＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y x ＋1＋2(x ＋1)y ≥52＋12×22y x ＋1·2(x ＋1)y ＝92， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 2y x ＋1＝2(x ＋1)y ，x ＋2y ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－13，y ＝23时取等号， 故1x ＋1＋2y 的最小值为92. 9.已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________.答案 [4,12]解析 ∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22， ∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22， ∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号).又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12(当且仅当x ＝－2y 时取等号).综上可知，4≤x 2＋4y 2≤12.10.某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元.答案 2 20解析 设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为y 1万元，仓储费为y 2万元，则y 1＝k 1x (k 1≠0)，y 2＝k 2x(k 2≠0)，∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，∴k 1＝5，k 2＝20，∴运费与仓储费之和为⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋20x 万元， ∵5x ＋20x ≥25x ×20x ＝20，当且仅当5x ＝20x，即x ＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元.11.已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)求1x ＋1y的最小值. 解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立.因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2x y时，等号成立. 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1010－203，y ＝20－4103. ∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 12.(2018届南京调研)某工厂有100名工人接受了生产1 000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置.现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置.设加工甲型装置的工人有x 人，他们加工完甲型装置所需时间为t 1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t 2小时.设f (x )＝t 1＋t 2.(1)求f (x )的解析式，并写出其定义域；(2)当x 等于多少时，f (x )取得最小值？解 (1)因为t 1＝9 000x， t 2＝ 3 0003(100－x )＝1 000100－x， 所以f (x )＝t 1＋t 2＝9 000x ＋1 000100－x， 定义域为{x |1≤x ≤99，x ∈N *}.(2)f (x )＝9 000x ＋1 000100－x ＝10[x ＋(100－x )]⎝ ⎛⎭⎪⎫9x ＋1100－x ＝10⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＋9(100－x )x ＋x100－x ， 因为1≤x ≤99，x ∈N *，所以9(100－x )x >0，x 100－x>0， 所以9(100－x )x ＋x 100－x≥29(100－x )x ·x 100－x＝6， 当且仅当9(100－x )x＝x100－x ，即x ＝75时取等号. 即当x ＝75时，f (x )取得最小值.13.若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值为________. 答案 6解析 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b＝1， ∴a ＋b ＝ab ，1a ＝1－1b >0，1b ＝1－1a>0， ∴b >1，a >1，则1a －1＋9b －1≥29(a －1)(b －1)＝29ab －(a ＋b )＋1＝6(当且仅当a ＝43，b ＝4时等号成立)，∴1a －1＋9b －1的最小值为6. 14.函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n的最小值为________. 答案 8解析 y ＝log a (x ＋3)－1恒过定点A (－2，－1)，由A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，可得－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1.∴1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋2(2m ＋n )n ＝n m ＋4m n＋4≥24＋4 ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当n m ＝4m n ，即m ＝14，n ＝12时等号成立.15.设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值是______.答案 1解析 xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3≤14－3＝1，当且仅当x ＝2y 时等号成立，此时z ＝2y 2，2x ＋1y －2z ＝－1y 2＋2y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1，当且仅当y ＝1时等号成立，故所求的最大值为1. 16.若实数a ，b 满足ab －4a －b ＋1＝0(a >1)，则(a ＋1)(b ＋2)的最小值为________. 答案 27解析 因为ab －4a －b ＋1＝0，所以b ＝4a －1a －1. 又a >1，所以b >0，所以(a ＋1)(b ＋2)＝ab ＋2a ＋b ＋2＝6a ＋2b ＋1＝6a ＋8＋6a －1＋1＝6(a －1)＋6a －1＋15. 因为a －1>0，所以6(a －1)＋6a －1＋15 ≥26(a －1)×6a －1＋15＝27，当且仅当6(a －1)＝6a －1(a >1)，即a ＝2时等号成立，故(a ＋1)(b ＋2)的最小值为27.。
高三一轮总复习高效讲义第1章第4节基本不等式课件
[对点练] 1．已知 a>0，b>0，3a＋b＝2ab，则 a＋b 的最小值为________． 解析：因为 3a＋b＝2ab，所以23b ＋21a ＝1，又 a>0，b>0，故 a＋b＝(a＋b)23b＋21a ＝2＋32ab ＋2ba ≥2＋ 3 ，当且仅当32ab ＝2ba 时取等号时，a＋b 的最小值为 2＋ 3 ． 答案：2＋ 3
2．已知 x＜54 ，则 f(x)＝4x－2＋4x－1 5 的最大值为________． 解析：因为 x＜54 ，所以 5－4x＞0， 则 f(x)＝4x－2＋4x－1 5 ＝－5－4x＋5－14x ＋3≤－2 （5－4x）·5－14x ＋3＝－ 2＋3＝1． 当且仅当 5－4x＝5－14x ，即 x＝1 时，等号成立． 故 f(x)＝4x－2＋4x－1 5 的最大值为 1．
(2)已知 a>0，b>0，a＋b＝1，则1＋1a 1＋1b 的最小值为________． 解析：1＋1a 1＋1b ＝1＋a＋a b 1＋a＋b b ＝ 2＋ba ·2＋ab ＝5＋2ba＋ab ≥5＋4＝9．当且仅当 a＝b＝12 时，取等号． 答案：9
(3)已知 x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则 x＋3y 的最小值为________． 解析：法一(换元消元法) 由已知得 9－(x＋3y)＝13 ·x·3y≤13 ·x＋23y 2 ，当且仅当 x＝3y，即 x＝3，y ＝1 时取等号． 即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0， 令 x＋3y＝t，则 t>0 且 t2＋12t－108≥0， 得 t≥6，即 x＋3y 的最小值为 6．
4，当且仅当 a＝b＝12 时等号成立． 答案：4
(2)(变条件)若本例(2)中条件变为已知 a>0，b>0，4a＋b＝4，则1＋1a 1＋1b 的最 小值为__________．
高考数学一轮总复习 7.4 基本不等式及其应用精品课件 理 新人教版
考点(kǎo diǎn)四
探究
(tànjiū)突
破
考点四
基本不等式的实际应用
【例 4】首届世界低碳经济大会在南昌召开,本届大会以“节能减排,绿色生
态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,
把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少 关闭
(1)由题意可知,二氧化碳每吨的平均处理成本为
造价分别为 120 元和 80 元,求水池表面积的最低造价是多少.
关闭
设水池底面的长度、宽度分别为 a m,b m,则 ab=4,
令水池表面的总造价为 y,
则
y=ab×120+2(2a+2b)×80=480+320(a+b)≥480+320×2 =480+320×4=1
760(元),当且仅当 a=b=2 时取“=”.
5
2
C.-
考点(kǎo
diǎn)三
第十九页，共28页。
D.-3
考点(kǎo diǎn)四
探究(tànjiū)
突破
解析:法一:设 f(x)=x2+ax+1,则对称轴为 x=- .
2
1
1
2
2
2
当- ≥ ,即 a≤-1 时,f(x)在 0,
5
5
2
2
上是减函数,应有 f
1
≥0,解得
2
a≥- ,∴- ≤a≤-1.
是指从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,
经过逐步的逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,
逐步推向“未知”.
高考数学第7章不等式推理与证明第四节基本不等式及其应用课件理
[方法归纳] 有关函数最值的实际问题的解题技巧 (1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求 得函数的最值；(2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变 量定义为函数；(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义 及其取值范围；(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号 取不到，可利用函数的单调性求解.
函数单调性求最值]函数 f(x)＝x＋1x在[2，＋∞)上的最小值为 ________.
解析 若 x＝1x，则 x＝1∉[2，＋∞)，函数 f(x)在[2，＋∞)上
单调递增，所以最小值为 f(2)＝2＋12＝52.
答案
5 2
[当在分母中使用基本不等式或式子前有负号时，注意不等号
方向的改变]
(2)若 x＞0，则 y＝x2＋xx＋4有最______值为________.
1≥0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，－2)
B.[－2，＋∞)
C.[－2，2]
D.[0，＋∞)
解析 (1)作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示， 由图可知，当目标函数 z＝ax＋by(a＞0，b＞0) 过点 A(1，1)时，z 取得最大值， ∴a＋b＝4， ∴ab≤a＋2 b2＝4.(当且仅当 a＝b＝2 时取等号)， 又∵a＞0，b＞0， ∴ab∈(0，4]，故选 B.
答案 大 －1
突破利用基本不等式求最值的方法
(1)利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或乘 积为定值，主要有两种思路： ①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解. ②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值. (2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但 可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等 式.常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常 数法、换元法、整体代换法等.