单纯形表 PPT课件
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§1[1].6__单纯形表
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max z 3 x1 5 x2
s .t .
3 x1 2 x 2 18 4 x1 2 x 2 12 x 0, x2 0 1
取松弛变量 x3 , x4 , x5作为初始可行基，得单纯形表如下
3
XB
5
0
0
0
b x1
x2
2 0 2
x3
1 0 0
x4
将式(2.4)与(2.5)组成一个m+1个方程、n+1个变量的方程组为
1( m 1 ) x m 1 1 n x n 1 x1 x2 2( m 1) x m 1 2 n x n 2 x m m ( m 1) x m 1 mn x n m z m 1 xm 1 n xn z0
表2-1单纯形表 c1 XB b x1
1 0
c2
cm x2 xm
0 0
cm+1 xm+1
1 m 1 2 m 1
cn xn
1n 2n
c1
c2
x1
x2
α1
α2
0 1
cm
xm
αm
z0
0 0 1
m m 1
§1.6 单纯形表
单纯形表(simple tableau)是为单纯形算
法而设计的一种计算表，其功能类似于方 程组的增广矩阵，易于进行基变换运算。
设可行基 x1 , x2 ,, xm 的典式为：
max z z0 m 1 x m 1 n x n
运筹学单纯形法PPT课件
由上式得 A 11
1 1
1 0
10 b 05
第30页/共95页
可能的基阵
A 11
1 1
1 0
10
1 1 B12 1 1
1 1 B13 1 0
1 0 B14 1 1
1 1
1 0
1 0
B23 1 0 B24 1 1 B34 0 1
C42
2!
4! 4
2
!
43 21 21 21
可令 y j x j l j 或者 y j l j x j
代入原问题
如果某个变量为自由变量，则可令
xxjj
xj , xj
0
xj
第12页/共95页
X1+X2 5 s.t -6 X1 10
X20
令 X1' = X1 +6 -6+6 X1+6 10+6 0 X1' 16
X1' +X2 11 s.t X1' 16
5
X 0 0 5 0T
为基本可行解，B13为可行基,为退化解
第32页/共95页
1 0 对于基阵 B14 1 1
则
x1 5
x1
x4
0
令 x2 0 x3 0
X 5 0 0 5T
1 1 对于基阵 B23 1 0 令 x1 0 x4 0
则
x2x2
x3 0
5
X 0 0 5 0T
s.t 3X1 +2X2 + X4 ＝ 60
2X2
+ X5 ＝ 24
X1 ,…, X5 0
第9页/共95页
当约束条件为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≥ bi
运筹学之单纯形法.ppt
x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0
2.基本过程:
1）加入人工变量;
2）通过单纯形法的迭带,将虚拟的人 工变量从原来的基变量中替换出去, 变成非基变量,使每一个人工变量都 等于0.反之,如果不能都变为非基变 量,表明原问题无可行解.
(一)、大M法：
2.4 单纯形法补遗
2.4.1 进基变量的相持及其突破
Y
结束
N
沿边界找新
的基本可行解
2.1 单纯形法的基本思想
单纯形法的三种形式：1）方程组形式； 2）表格形式；3）矩阵形式。
2.1.1 方程组形式的单纯形法
maxZ=3X1 +5X2
X1
+X3
=8
2X2 +X4 =12
3X1+4X2
+X5 =36
X1 … X5 0
解：(1)、确定初始可行解
B=(a3 a4 a5)=I Z -3X1-5X2 =0 X3 =8- X1 X4=12-2X2
此时可以确定X5为离基变量
Z
+1/2X4 +X5 =42
X3 +2/3X4 -1/3X5 =4
X2 +1/2X4 =6
X1 -2/3X4+1/3X5=4
令X4 =X5 =0
X =(4, 6, 4, 0, 0)T Z =42
。此时4=1/2, 5=1, Z值不
再增大了,X值是最优基本解
即:X*=(4,6)T,Z*=42
X6
X7
CB XB -36 M -M -6 -M -4 0
0
M
0
0
0
X3 100
2
3
1
00
0
2.基本过程:
1）加入人工变量;
2）通过单纯形法的迭带,将虚拟的人 工变量从原来的基变量中替换出去, 变成非基变量,使每一个人工变量都 等于0.反之,如果不能都变为非基变 量,表明原问题无可行解.
(一)、大M法：
2.4 单纯形法补遗
2.4.1 进基变量的相持及其突破
Y
结束
N
沿边界找新
的基本可行解
2.1 单纯形法的基本思想
单纯形法的三种形式：1）方程组形式； 2）表格形式；3）矩阵形式。
2.1.1 方程组形式的单纯形法
maxZ=3X1 +5X2
X1
+X3
=8
2X2 +X4 =12
3X1+4X2
+X5 =36
X1 … X5 0
解：(1)、确定初始可行解
B=(a3 a4 a5)=I Z -3X1-5X2 =0 X3 =8- X1 X4=12-2X2
此时可以确定X5为离基变量
Z
+1/2X4 +X5 =42
X3 +2/3X4 -1/3X5 =4
X2 +1/2X4 =6
X1 -2/3X4+1/3X5=4
令X4 =X5 =0
X =(4, 6, 4, 0, 0)T Z =42
。此时4=1/2, 5=1, Z值不
再增大了,X值是最优基本解
即:X*=(4,6)T,Z*=42
X6
X7
CB XB -36 M -M -6 -M -4 0
0
M
0
0
0
X3 100
2
3
1
00
0
线性规划模型的单纯形法PPT课件
函数不可能实现极
大化
目标函数中添加“惩罚因子”-M（M是任意大的正 数）为人工变量系数，只要人工变量>0，则目标函 数不可能实现最优。
第19页/共57页
max Z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5 Mx6 Mx7
x1 x2 x3 x6 350
x1
x4
x7
125
2x1 x2 x5 600
cj-zj 0 1/2M -M 0 -1/2M+1 0 -M 50M
-2
+600
第23页/共57页
表3-13 最优单纯形表3
cj
-2 -3 0 0 0 -M -M
CB XB x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 b
-3 x2 0 1 -2 0 -1 2 0 100
-2 x1 1 0 1 0 1 -1 0 250
cj-zj 20+M 30+M 0 0 -M 0
30 x2 0 20 x1 1 -M a 0
1 0.1 -0.3 0 0 6 0 0 1 0 0 30 0 -0.1 -0.7 -1 1 4
cj-zj
0
0 -3- -11- -M 0
0.1M 0.7M
由检验数全部≤0，可判定但前解应为最优解，但在基 变量中，有不为0 的人工变量，说明没有可行解。
（2）无界解。如果存在一个检验数大于零， 但对应列中的系数向量的每一个元素都小于 或等于零，则此线性规划模型是无界的。
（3）无穷多最优解。基变量中无人工变量， 且无2的情况，非基变量中的检验数有零，则 此线性规划模型有无穷多最优解。
第25页/共57页
无可行解在大M法中判断:检验数全部小于等于零且 有人工变量为基变量，则此线性规划模型无可行解。
大化
目标函数中添加“惩罚因子”-M（M是任意大的正 数）为人工变量系数，只要人工变量>0，则目标函 数不可能实现最优。
第19页/共57页
max Z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5 Mx6 Mx7
x1 x2 x3 x6 350
x1
x4
x7
125
2x1 x2 x5 600
cj-zj 0 1/2M -M 0 -1/2M+1 0 -M 50M
-2
+600
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表3-13 最优单纯形表3
cj
-2 -3 0 0 0 -M -M
CB XB x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 b
-3 x2 0 1 -2 0 -1 2 0 100
-2 x1 1 0 1 0 1 -1 0 250
cj-zj 20+M 30+M 0 0 -M 0
30 x2 0 20 x1 1 -M a 0
1 0.1 -0.3 0 0 6 0 0 1 0 0 30 0 -0.1 -0.7 -1 1 4
cj-zj
0
0 -3- -11- -M 0
0.1M 0.7M
由检验数全部≤0，可判定但前解应为最优解，但在基 变量中，有不为0 的人工变量，说明没有可行解。
（2）无界解。如果存在一个检验数大于零， 但对应列中的系数向量的每一个元素都小于 或等于零，则此线性规划模型是无界的。
（3）无穷多最优解。基变量中无人工变量， 且无2的情况，非基变量中的检验数有零，则 此线性规划模型有无穷多最优解。
第25页/共57页
无可行解在大M法中判断:检验数全部小于等于零且 有人工变量为基变量，则此线性规划模型无可行解。
单纯形表.ppt
Z c1x1 ... cm xm cm1xm1 ... cn xn 0
单纯形表
- Z x1基x变2量..X.Bxm
0 1
0
1E 单位...阵....
0
1
1 c1 c20... cm
xm非基1.变..量. XxNn
a1m1 ...a1n a 2 m 1N...a 2 n ......非基阵
15
0 0
x
x4 5
24 5
c z
j
j
2 1 000
xxxx x
1
2
3
4
5
0 5 100 6 2 010 1 1 001
2 1 000
正检验数对应 的列为主列
单纯形表复习小结
• 求解思想－－
•
顶点的逐步转移，
•
条件是
• 使目标函数值不断得到改善。
18
表格单纯形法求解步骤
第一步：将LP化为标准型，并加以整理。
进基变量对应的系数列称为主元列。
（2）出基变量的确定——按最小比值原则确定出基 变量，为的是保持解的可行性；
出基变量所在的行称为主元行。 主元行和主元列的交叉元素称为主元素。
练习:
一般主列选择正检验数中最大者对应的 列,也可选择其它正检验数的列.以第2列
为主列,用单纯形法求解。
c j
CX
B
B
b
0
x 3
a' imk
0
bl' a'
lmk
c j
2
CX
B
B
b
x1
c1 x1 b '1
cm xm bm'
1 C0
单纯形表课件PPT
风险控制
在投资组合管理中，风险是一个重要的考虑因素。单纯形法可以帮助投资者控制风险，确保在满足风险限制的前提下 实现最优的投资组合。
多目标优化
在投资组合管理中，投资者可能面临多个相互冲突的目标，如最大化收益和最小化风险。单纯形法可以 用于多目标优化，帮助投资者找到平衡不同目标的投资组合方案。
04 单纯形法的扩展
资源优化
在生产计划中，资源限制是一个重要因素。单纯形法可以帮助企业优化资源利用，确保在 满足资源限制的前提下实现最优的生产计划。
动态规划
在生产过程中，情况可能会发生变化。单纯形法可以用于动态调整生产计划，以适应变化 的情况并保持最优的生产状态。
单纯形法在投资组合优化中的应用
确定最优投资组合
在投资组合管理中，单纯形法可以用于确定最优的投资组合，以最大化收益或最小化风险。通过构建线性规划模型， 可以将投资组合问题转化为数学问题，并使用单纯形法求解。
单纯形表课件
目 录
• 单纯形法简介 • 单纯形表构造 • 单纯形法的应用 • 单纯形法的扩展 • 单纯形法的软件实现
01 单纯形法简介
线性规划问题
01
线性规划问题是在一组线性不等 式或等式的约束条件下，求解一 个线性目标函数的最优值。
02
线性规划问题广泛应用于生产计 划、资源分配、投资决策等领域 。
生产计划优化
在生产过程中，线性规划问题常常用于确定最优的生产计划，以最小化
成本或最大化利润。通过使用单纯形法，可以找到满足资源限制和目标
函数的最优解。
02
运输和物流管理
在运输和物流领域，线性规划问题用于优化运输路线、车辆调度和货物
配载等方面。单纯形法可以用于解决这些问题，提高运输效率并降低成
在投资组合管理中，风险是一个重要的考虑因素。单纯形法可以帮助投资者控制风险，确保在满足风险限制的前提下 实现最优的投资组合。
多目标优化
在投资组合管理中，投资者可能面临多个相互冲突的目标，如最大化收益和最小化风险。单纯形法可以 用于多目标优化，帮助投资者找到平衡不同目标的投资组合方案。
04 单纯形法的扩展
资源优化
在生产计划中，资源限制是一个重要因素。单纯形法可以帮助企业优化资源利用，确保在 满足资源限制的前提下实现最优的生产计划。
动态规划
在生产过程中，情况可能会发生变化。单纯形法可以用于动态调整生产计划，以适应变化 的情况并保持最优的生产状态。
单纯形法在投资组合优化中的应用
确定最优投资组合
在投资组合管理中，单纯形法可以用于确定最优的投资组合，以最大化收益或最小化风险。通过构建线性规划模型， 可以将投资组合问题转化为数学问题，并使用单纯形法求解。
单纯形表课件
目 录
• 单纯形法简介 • 单纯形表构造 • 单纯形法的应用 • 单纯形法的扩展 • 单纯形法的软件实现
01 单纯形法简介
线性规划问题
01
线性规划问题是在一组线性不等 式或等式的约束条件下，求解一 个线性目标函数的最优值。
02
线性规划问题广泛应用于生产计 划、资源分配、投资决策等领域 。
生产计划优化
在生产过程中，线性规划问题常常用于确定最优的生产计划，以最小化
成本或最大化利润。通过使用单纯形法，可以找到满足资源限制和目标
函数的最优解。
02
运输和物流管理
在运输和物流领域，线性规划问题用于优化运输路线、车辆调度和货物
配载等方面。单纯形法可以用于解决这些问题，提高运输效率并降低成
第五章 单纯形法ppt课件
➢ x2+x5＝250
→ 0＝250？
➢ 显然不能得到相应的解。
编辑版pppt
9
一、问题的提出
➢ 为什么令x2＝0，x5＝0时不能得到解？ ➢ 因为其余三个变量的系数列向量为
110
201
000
➢ 该矩阵是非可逆矩阵，即去掉x2和x5后的三个约束 方程线性相关，这种情况下得不到解。
编辑版pppt
10
编辑版pppt
24
二、单纯形法的基本思路和原理
➢ 3、那有没有办法在求出解之前保证我 们取得的基为可行基？
➢ 解决办法：保证右端项非负，找到一个 单位矩阵，必定是一个可行基。
编辑版pppt
25
二、单纯形法的基本思路和原理
➢ 如范例系数阵：
右端项非负
1 1 1 0 0 300 2 1 0 1 0 400 0 1 0 0 1 250
❖ 我们首先将最优解缩小在一个有限的❖ 回顾图解法，我们知道：最优解必定在可行域的顶 点上取得，而顶点的个数总是有限的。
❖ 多维线性规划问题的可行域也存在有限个顶点。
❖ 如果能够从一个顶点开始，通过某种方式向更优顶 点转移，总会找到最优点。
❖ 首先面临的问题： ❖ 如何通过代数方法找到第一个顶点？
存在3阶单位阵
编辑版pppt （初始可行基）
26
二、单纯形法的基本思路和原理
➢ 基本可行解为（0，0，300，400，250） ➢ 此可行基称为初始可行基。 ➢ 对应的解称为初始基本可行解。
➢ 初始基本可行解在上页矩阵中一目了然。
编辑版pppt
27
二、单纯形法的基本思路和原理 ➢第二步：最优性检验
不存在 (200,0,100,0,50) (300,0,0,-200,-50) (0,250,50,150,0) (0,400,-100,0,150) (0,300,0,100,-50)
运筹学-单纯形法1课件
例2:
cj CB XB 0 x3 0 x4
σj 0 X3 1 x1
σj
maxZ x 1 x 2
s.t.
2x 1 x1
x2 x2
100 50
x1,x2 0
1
1
00
bi x1 x2 x3 x4
100 -2 1
1
0
50 [ 1 ] -1 0 1
11
0
0
200 0 -1 1 2
50 1 -1 0 1
唯一最优解；
• a4<0,a5<0, a6≥0
无穷多最优解；
• a6≥0,a4≤0, a5≤0, a4=0或a5=0
无界；
• a6≥0,a5>0,a2≤0, a3≤0
无可行解；
• a4≤0,a5≤0, x4或x2为人工变量, a6≥0 ；
非最优，继续换基: X3换入，x2换出
• x1为人工变量, a6>0 • a4>0,a4>a5;a6/a1>2→a1>0
0 -M -M
x5 x6 x7 θ
0 0 04 -1 1 0 1
0 0 13
-M 0 0 x2入, x6出
1 -1 0 1 -1 1 0 -
3 -3 1 1
3M -1/2
0 1/2
-4M 0 1/2 -1/2 0 1/3 -1/2 1/6
x1入, x7出 9 3/2
3/2 -M-3/2 -M+1/2 x3入, x1出
28.09.2024
11
练习: 列出初始单纯形表，并求解第2小题 的最优解
P55，2.2（1） 2.
28.09.2024
12
单纯形表
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-3/7 -
0
2/7 -133//77 0
右端 比
最 小
所-25有/2检验数全部 非15正/2 ，1故5/已7 得最 5/2 优5 解
66
-110/7
15/7
x1 (2) 1 0
-1/7 5/7 0
10/7
x5
(3) 0 0
-2/7 -4/7 1 27/7
7
关于单纯形法的补充说明1
1、无穷多最优解与唯一最优解的判别法则
基变量
x1
x2
x3
x4 右端项
z
4
1
0
0
表1
在本例中，最大的系数是x1的系数5，因此把x1确定为入 基变量， x1所在的列用框标出。（见下一页）
3
1.3.2 基可行解的判别与改进
迭代：（接上一页）
(步骤2):通过最小比值计算确定出基变量。
最小比值计算：用右端列与入基变量列中相应的数作比式，将比值写在右端列右 面的相应行中，找出比值最小的行，该行上的基变量即为出基变量。在下一个单 纯形表中，用入基变量替换基变量列中的此出基变量。 框出这一行。行列相交处 的元素2叫做主元，在主元上加圈作为标志。
本例中，在新表中用X1代替X4成为基变量，将主元所在行除 以2，然后用初等行变换把主元所在的列的其他元素化为0.本 例中具体算法：主元行乘以-5加到第0行，得到第0行系数变 为（0,3/2,0,-5/2,0),重复处理第1行和第3行，填入新表。
迭代 基变量 方程
系数
右端
x1
x2
x3
x4
x5
Z1
(0)
5
4
0
0
0
0
0
x3
(1)
3
5
1
0
0 15
x4
(2)
2
1
0
1
0
5
x5
(3)
2
2
0
0
1 11
Z1
(0) 0
x3
(1) 0
3/2 0 7/2 1
-5/2 0 -3/2 0
2155//22
1
x1
(2) 1
1/2 0 1/2 0
5/2
x5
(3) 0
1
0
-1
1
6
6
第二次迭代
在新的单纯形表中进行最优性检验---检验数仍有大于零的所以此表不是最优 表，进行第二次迭代：确定入基变量—作右端项和入基变量列的比值---通过 最小比值确定出基变量---圈出主元---做初等变换----建立新的单纯形表。
x3
12
1
0 11
x4
2 -2
0
1
4
注意：表0的z行中所有的检验数已经非正，但这并不是最优表。 因为，它甚至还不是一张标准的单纯形表，。在单纯形表的z 行中，基变量的系数必须为0。
10
单纯形表例题
基变量
x1
x2
x3
x4 右端项
表0
z
0
-1
-2
-1
x3
121011x42
-2
0
1
4
作初等行变换，把x3行的2倍和x4行的一倍都加到z行上， 即得初始单纯形表（表1）
若对某可行解X，
（1）所有非基变量的检验数小于零，则问题有唯 一最优解。
（2）所有检验数小于等于0，且有一个非基变量的 检验数等于0，则问题有无穷多最优解；
x1
x2
x3
x4
右端项
z
0
0
0
-1
x1
1
0
1
-1
1
x2
0
1
1
-1
1
8
关于单纯形法的补充说明2
单纯形法计算中可能出现以下两种情况： 出现两个以上值相同的最大检验数，原则上可任取一个令对
例1.3-3 求下列LP问 题的最优解
x1 2 x2 x3 11
s.t.
2
x1
2 x2
x4
4
x1, x2 , x3 , x4 0
(a)代数形式
表0
(b)表格形式
(0) Z- x2-2x3-x4 =0
基变量 x1
x2
x3
x4 右端
z
0
-1
-2
-1
项
(1) x1+2X2+x3=11 (2) 2x1-2x2+x4=4
第一章 线性规划和单纯形法
1.3 单纯形法的基本步骤
郑来运 宁夏大学机械工程学院
1
1.3.1单纯形表
表 3.0 光华食品厂问题的初始方程组
(b)表格形式
(a)代数形式
基方
系数
右
变程
端
量
x1 x2 x3 x4 x5
(0) Z1+5x1+4x2
=0 Z1 (0) 5 4
0
(1) 3x1+5x2 +x3
2
单纯形法的步骤
初始化：模型标准化，设法引入松弛变量使约束方程的
系数矩阵中包含一个单位矩阵作为初始基，令非基变量全 部为零，得出初始基可行解。
最优性检验：若第0行的每个系数（检验数）小于等于
零，则相应的基可行解为最优解，计算停止；否则，进行 一次迭代，得到下一个基可行解。
迭代：
(步骤1):确定入基变量：选择拥有最大值的系数的变量作 为入基变量，框出此系数所在的列。
迭代最优基解变为x1方﹡程=10/7, xz*2﹡=-=1量1150//77,最优值x1 为 x2
Z1 (0) 0 3/2
1
x3 (1) 0 7/2
x1 (2) 1 1/2
x5 (3) 0 1
Z1
(0) 0
0
2 x2 (1) 0 1
系数
x3
x4
x5
0 -5/2 0
1 -3/2
0 1/2 0
0 -1 1
需要做的特定的初等变换运算如下： 1、出基行除以主元，把主元位置上的元素化为1 2、把入基列上主元以外的数全部化为0
对入基列中有负系数的其他行（包括0行），把该负系数的绝对值和变化后的 出基行的乘积加到该行去。
3、对每出基列中拥有正系数的其他行（包括0行）减去该系数和变化后的出基行 的乘积
5
第一次迭代
应的变量为入基变量； 相持:右端项与入基列相应元素的比值出现两个以上相同的最
小值。则可任选其中一个作为出基变量。 为防止出现循环现象，出现以上两种情况时做以下选择： （1选取检验数中下标最小的非基变量为换入变量 （2若出现两个和两个以上的最小比值时，选取下标最小的
基变量为换出变量。
9
单纯形表例题 min Z x2 2 x3 x4
基变量 方程 x1
系数
x2
x3
x4
右端 比值 x5
Z1
(0)
5
4
0
0
0
0
最
x3
(1)
3
5
1
0
0
15 5
小
x4
(2)
2
1
0
1
0
5 5/2
x5
(3)
2
2
0
0
1 11 11/2
4
1.3.2 基可行解的判别与改进
迭代：(接上一页）
(步骤3):通过初等行变换（一行乘以或者除以一个非零常数；一行加上或者减 去另一行的倍数），按照高斯消去法，在当前表的下方建立新的单纯形表， 在新的表中，基仍为单位阵。然后返回最优性检验步骤。
=15 x3 (1) 3 5 1
15
(2) 2x1+ x2 +x4
=5 x4 (2) 2 1
(3) 2x1+2x2
+x5=11 x5 (3) 2 2
1
5
1 11
基变量(x3,, x4, x5)，非基变量(x1,x2),令非基变量取零，右 端项一列即给出基变量的解，则初始可行解是
(0,0,15,5,11),z=0