导数及应用知识点
(完整版)导数知识点总结及应用
《导数及其应用》知识点总结一、导数的概念和几何意义1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --。
2. 导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ∆无限趋近于0时，比值00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限趋近于一个常数A ，则称函数()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0()f x '。
函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。
3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率：00()()f x x f x x +∆-∆；（3）取极限，当x ∆无限趋近与0时，00()()f x x f x x+∆-∆无限趋近与一个常数A ，则0()f x A '=.4. 导数的几何意义：函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。
由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：（1）求出()y f x =在x 0处的导数，即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率； （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。
当点00(,)P x y 不在()y f x =上时，求经过点P 的()y f x =的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。
特别地，如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。
5. 导数的物理意义：质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ，则()V S t '=表示瞬时速度，()a v t '=表示瞬时加速度。
导数及其应用知识点总结
导数及其应用知识点总结导数及其应用是微积分中的重要概念，它可以用来描述一个函数在其中一点的变化率，进而用于求解曲线的切线、求解最值、优化问题等。
在学习导数及其应用的过程中，我们需要掌握导数的定义、导数的计算法则、导数与函数性质的关系以及导数在几何和物理问题中的应用等知识点。
一、导数的定义1.函数在其中一点的导数：函数f(x)在点x=a处的导数定义为：f'(a) = lim(h→0) (f(a+h)-f(a))/h2.函数的导函数：函数f(x)在定义域上每一点的导数所构成的新函数，被称为函数f(x)的导函数，记作f'(x)。
二、导数的计算法则1.常数法则：对于常数k，有：(k)'=0。
2.幂函数法则：对于幂函数y=x^n，其中n为常数，则有：(x^n)'=n*x^(n-1)。
3.基本初等函数法则：对于基本初等函数（如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数），可以通过求导法则求得其导函数。
4.乘积法则：对于函数u(x)和v(x)，有：(u*v)'=u'*v+u*v'。
5.商数法则：对于函数u(x)和v(x)，有：(u/v)'=(u'*v-u*v')/v^26.复合函数法则：对于复合函数y=f(g(x))，有：y'=f'(g(x))*g'(x)。
三、导数与函数性质的关系1.导函数与函数的单调性：若函数f(x)在区间I上可导，则f'(x)在I上的符号与f(x)在I上的单调性一致。
2.导函数与函数的极值：若函数f(x)的导函数在点x=a处存在，且导数的符号在x=a左侧从正数变为负数，那么函数在点x=a处取得极大值；若导数的符号在x=a左侧从负数变为正数，那么函数在点x=a处取得极小值。
3.导函数与函数的凹凸性：函数f(x)的导函数f''(x)的符号与函数f(x)的凹凸性一致。
导数知识点总结及例题
导数知识点总结及例题一、导数的定义1.1 函数的变化率在生活中，我们经常会遇到函数随着自变量的变化而发生变化的情况，比如一辆汽车的速度随着时间的变化而变化、货物的销售量随着价格的变化而变化等。
这种情况下，我们就需要考虑函数在某一点处的变化率，也就是导数。
对于函数y=f(x)，在点x处的变化率可以用函数的增量Δy和自变量的增量Δx的比值来表示：f'(x) = lim(Δx→0) (Δy/Δx)其中f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
利用导数的定义，我们可以计算得到函数在某一点处的变化率。
1.2 导数的几何意义导数还有一个重要的几何意义，它表示了函数曲线在某一点处的切线的斜率。
例如，对于函数y=x^2，在点(1,1)处的导数就代表了曲线在这一点处的切线斜率。
这也意味着，导数可以帮助我们理解函数曲线在不同点处的形状和走向。
1.3 导数存在的条件对于一个函数f(x)，它在某一点处的导数存在的条件是：在这一点处函数曲线的切线存在且唯一。
也就是说，如果函数在某一点处导数存在，那么这个点就是函数的可导点。
二、导数的性质2.1 导数与函数的关系导数是函数的一个重要属性，它可以帮助我们理解函数的性质。
例如，导数可以表示函数在某一点处的斜率，可以告诉我们函数曲线的凹凸性，还可以帮助我们找到函数的极值点等。
2.2 导数与导函数当一个函数在某一点处的导数存在时，我们可以使用导数的定义来求出函数在该点处的导数。
我们把这个过程称为求导，求出的导数称为导函数。
导函数的值就是原函数在对应点处的导数值。
2.3 导数的性质导数具有一些重要的性质，比如导数存在的条件、可导函数的和、差、积、商的导数求法则等。
这些性质是我们求解导数的问题时的重要依据，也是我们理解函数性质的基础。
三、求导法则3.1 基本求导法则基本求导法则是求解导数问题的基础，它包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等函数的导数求法。
导数在函数中的应用知识点讲解+例题讲解(含解析)
导数在函数中的应用一、知识梳理1.函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.2.函数的极值与导数形如山峰形如山谷3.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若函数f (x )在(a ，b )内单调递增，那么一定有f ′(x )>0.( )(2)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内没有单调性.( ) (3)函数的极大值一定大于其极小值.( )(4)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0为极值点的充要条件.( )(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( ) 解析 (1)f (x )在(a ，b )内单调递增，则有f ′(x )≥0. (3)函数的极大值也可能小于极小值.(4)x 0为f (x )的极值点的充要条件是f ′(x 0)＝0，且x 0两侧导函数异号. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√2.如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 由题意知在x ＝－1处f ′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正. 答案 A3.函数f (x )＝2x －x ln x 的极值是( ) A.1eB.2eC.eD.e 2解析 因为f ′(x )＝2－(ln x ＋1)＝1－ln x ，令f ′(x )＝0，所以x ＝e ，当f ′(x )>0时，解得0<x <e ；当f ′(x )<0时，解得x >e ，所以x ＝e 时，f (x )取到极大值，f (x )极大值＝f (e)＝e. 答案 C4.(2019·青岛月考)函数f (x )＝cos x －x 在(0，π)上的单调性是( ) A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增D.单调递减解析易知f′(x)＝－sin x－1，x∈(0，π)，则f′(x)<0，所以f(x)＝cos x－x在(0，π)上递减.答案D5.(2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()解析设导函数y＝f′(x)与x轴交点的横坐标从左往右依次为x1，x2，x3，由导函数y＝f′(x)的图象易得当x∈(－∞，x1)∪(x2，x3)时，f′(x)<0；当x∈(x1，x2)∪(x3，＋∞)时，f′(x)>0(其中x1<0<x2<x3)，所以函数f(x)在(－∞，x1)，(x2，x3)上单调递减，在(x1，x2)，(x3，＋∞)上单调递增，观察各选项，只有D选项符合.答案D6.(2019·豫南九校考评)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为()A.4B.2或6C.2D.6解析函数f(x)＝x(x－c)2的导数为f′(x)＝3x2－4cx＋c2，由题意知，在x＝2处的导数值为12－8c＋c2＝0，解得c＝2或6，又函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，故导数在x＝2处左侧为负，右侧为正，而当e＝6时，f(x)＝x(x－6)2在x＝2处有极大值，故c＝2.答案C考点一 求函数的单调区间【例1】 已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值. (1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，求函数g (x )的单调减区间. 解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0，即3a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x ，故g ′(x )＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )<0，即x (x ＋1)(x ＋4)<0， 解得－1<x <0或x <－4，所以g (x )的单调减区间为(－1，0)，(－∞，－4). 规律方法 1.求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求f ′(x )；(3)在定义域内解不等式f ′(x )>0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f ′(x )<0，得单调递减区间. 2.若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”与“和”连接.【训练1】 (1)已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( ) A.在(0，＋∞)上递增 B.在(0，＋∞)上递减 C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递增 D.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递减 (2)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间为________.解析 (1)因为函数f (x )＝x ln x ，定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，当f ′(x )>0时，解得x >1e ，即函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞；当f ′(x )<0时，解得0<x <1e ，即函数的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e .(2)f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x .令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，即f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.答案 (1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2考点二 讨论函数的单调性【例2】 (2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，其中参数a ≤0. (1)讨论f (x )的单调性； (2)若f (x )≥0，求a 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且a ≤0. f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a ).①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，在(－∞，＋∞)上单调递增. ②若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增.(2)①当a ＝0时，f (x )＝e 2x ≥0恒成立.②若a <0，则由(1)得，当x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2， 故当且仅当a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2≥0， 即0>a ≥－2e 34时，f (x )≥0.综上，a 的取值范围是[－2e 34，0].【训练2】 已知f (x )＝x 22－a ln x ，a ∈R ，求f (x )的单调区间.解 因为f (x )＝x 22－a ln x ，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax .(1)当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数. (2)当a >0时，f ′(x )＝（x ＋a ）（x －a ）x，则有①当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递减区间为(0，a ). ②当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞). 综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间. 当a >0时，函数f (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞).考点三 函数单调性的简单应用 角度1 比较大小或解不等式【例3－1】 (1)已知函数y ＝f (x )对于任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x ＝1＋ln x ，其中f ′(x )是函数f (x )的导函数，则下列不等式成立的是( ) A.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4B.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4C.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4D.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6(2)已知函数f ′(x )是函数f (x )的导函数，f (1)＝1e ，对任意实数都有f (x )－f ′(x )>0，设F (x )＝f （x ）e x ，则不等式F (x )<1e 2的解集为( ) A.(－∞，1) B.(1，＋∞) C.(1，e)D.(e ，＋∞)解析 (1)令g (x )＝f （x ）cos x ，则g ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )(－sin x )cos 2x ＝1＋ln x cos 2x .由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <π2，g ′(x )>0，解得1e <x <π2；由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <π2，g ′(x )<0，解得0<x <1e .所以函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，π2上单调递增，又π3>π4，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos π4， 即2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4.(2)F ′(x )＝f ′(x )e x －e x f (x )(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x ，又f (x )－f ′(x )>0，知F ′(x )<0， ∴F (x )在R 上单调递减.由F (x )<1e 2＝F (1)，得x >1， 所以不等式F (x )<1e 2的解集为(1，＋∞).答案 (1)B (2)B角度2 根据函数单调性求参数【例3－2】 (2019·日照质检)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x . (1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求实数a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求实数a 的取值范围. 解 h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x >0.∴h ′(x )＝1x －ax －2.(1)若函数h (x )在(0，＋∞)上存在单调减区间， 则当x >0时，1x －ax －2<0有解，即a >1x 2－2x 有解. 设G (x )＝1x 2－2x ，所以只要a >G (x )min . 又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1.所以a >－1.即实数a 的取值范围是(－1，＋∞). (2)由h (x )在[1，4]上单调递减，∴当x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立， 则a ≥1x 2－2x 恒成立，设G (x )＝1x 2－2x ， 所以a ≥G (x )max . 又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，x ∈[1，4]，因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716.又当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝（7x －4）（x －4）16x，∵x ∈[1，4]，∴h ′(x )＝（7x －4）（x －4）16x ≤0，当且仅当x ＝4时等号成立. ∴h (x )在[1，4]上为减函数. 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.规律方法 1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 2.根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集.(2)f (x )是单调递增的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.【训练3】 (1)已知f (x )是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其导函数为f ′(x )，且不等式xf ′(x )<2f (x )恒成立，则( ) A.4f (1)<f (2) B.4f (1)>f (2) C.f (1)<4f (2)D.f (1)>4f ′(2)(2)(2019·淄博模拟)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A.(－∞，－2]B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.[2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12解析 (1)设函数g (x )＝f (x )x 2(x >0)，则g ′(x )＝x 2f ′(x )－2xf (x )x 4＝xf ′(x )－2f (x )x 3<0，所以函数g (x )在(0，＋∞)内为减函数，所以g (1)>g (2)，即f (1)12>f (2)22，所以4f (1)>f (2).(2)由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，等价于f ′(x )＝k －1x ≥0在(2，＋∞)上恒成立，由于k ≥1x ，而0<1x <12，所以k ≥12.即k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 答案 (1)B (2)B三、课后练习1.(2017·山东卷)若函数e x f (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质.下列函数中具有M 性质的是( ) A.f (x )＝2－x B.f (x )＝x 2 C.f (x )＝3－xD.f (x )＝cos x解析 设函数g (x )＝e x ·f (x )，对于A ，g (x )＝e x ·2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x，在定义域R 上为增函数，A 正确.对于B ，g (x )＝e x ·x 2，则g ′(x )＝x (x ＋2)e x ，由g ′(x )>0得x <－2或x >0，∴g (x )在定义域R 上不是增函数，B 不正确.对于C ，g (x )＝e x ·3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x在定义域R 上是减函数，C 不正确.对于D ，g (x )＝e x ·cos x ，则g ′(x )＝2e x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，g ′(x )>0在定义域R 上不恒成立，D 不正确. 答案 A2.(2019·上海静安区调研)已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2，则不等式f (ln x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x <2f (1)的解集为( ) A.(e ，＋∞)B.(0，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(1，e) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 解析 f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f (－ln x )＝f (ln x ).则原不等式可变形为f (ln x )<f (1)⇔f (|ln x |)<f (1). 又f ′(x )＝x cos x ＋2x ＝x (2＋cos x )， 由2＋cos x >0，得x >0时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. ∴|ln x |<1⇔－1<ln x <1⇔1e <x <e. 答案 D3.若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是________.解析 f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝1－23(2cos 2x －1)＋a cos x ＝－43cos 2 x ＋a cos x ＋53，f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立.令cos x ＝t ，t ∈[－1，1]，则－43t 2＋at ＋53≥0在[－1，1]上恒成立，即4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1，1]上恒成立. 令g (t )＝4t 2－3at －5，则⎩⎨⎧g (1)＝4－3a －5≤0，g (－1)＝4＋3a －5≤0，解得－13≤a ≤13. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，134.已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R ). (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′（x ）＋m 2在区间(t ，3)上总不是单调函数，求m 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝a （1－x ）x， 当a >0时，f (x )的递增区间为(0，1)， 递减区间为(1，＋∞)；当a <0时，f (x )的递增区间为(1，＋∞)，递减区间为(0，1)； 当a ＝0时，f (x )为常函数.(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a 2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x .∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x ， ∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t ，3)上总不是单调函数， 即g ′(x )在区间(t ，3)上有变号零点.由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎨⎧g ′(t )<0，g ′(3)>0.当g ′(t )<0时，即3t 2＋(m ＋4)t －2<0对任意t ∈[1，2]恒成立， 由于g ′(0)<0，故只要g ′(1)<0且g ′(2)<0， 即m <－5且m <－9，即m <－9；由g ′(3)>0，即m >－373. ∴－373<m <－9.即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－9.。
高考数学导数及其应用知识点
高考数学导数及其应用知识点数学导数及其应用知识点一函数的单调性在a，b内可导函数fx，f′x在a，b任意子区间内都不恒等于0.f′x≥0?fx在a，b上为增函数.f′x≤0?fx在a，b上为减函数.1、f′x>0与fx为增函数的关系：f′x>0能推出fx为增函数，但反之不一定.如函数fx=x3在-∞，+∞上单调递增，但f′x≥0，所以f′x>0是fx为增函数的充分不必要条件.2、可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′x0=0是可导函数fx在x=x0处取得极值的必要不充分条件.例如函数y=x3在x=0处有y′|x=0=0，但x=0不是极值点.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点.3、可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较;函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较.数学导数及其应用知识点二函数的极值1、函数的极小值：函数y=fx在点x=a的函数值fa比它在点x=a附近其它点的函数值都小，f′a=0，而且在点x=a附近的左侧f′x<0，右侧f′x>0，则点a叫做函数y=fx的极小值点，fa叫做函数y=fx的极小值.2、函数的极大值：函数y=fx在点x=b的函数值fb比它在点x=b附近的其他点的函数值都大，f′b=0，而且在点x=b附近的左侧f′x>0，右侧f′x<0，则点b叫做函数y=fx的极大值点，fb叫做函数y=fx的极大值.极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.数学导数及其应用知识点三函数的最值1、在闭区间[a，b]上连续的函数fx在[a，b]上必有最大值与最小值.2、若函数fx在[a，b]上单调递增，则fa为函数的最小值，fb为函数的最大值;若函数fx在[a，b]上单调递减，则fa为函数的最大值，fb为函数的最小值.数学导数及其应用知识点四求可导函数单调区间的一般步骤和方法1、确定函数fx的定义域;2、求f′x，令f′x=0，求出它在定义域内的一切实数根;3、把函数fx的间断点即fx的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数fx的定义区间分成若干个小区间;4、确定f′x在各个开区间内的符号，根据f′x的符号判定函数fx在每个相应小开区间内的增减性.数学导数及其应用知识点五函数极值的步骤1、确定函数的定义域;2、求方程f′x=0的根;3、用方程f′x=0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格;4、由f′x=0根的两侧导数的符号来判断f′x在这个根处取极值的情况.六、求函数fx在[a，b]上的最大值和最小值的步骤1、求函数在a，b内的极值;2、求函数在区间端点的函数值fa，fb;3、将函数fx的各极值与fa，fb比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.感谢您的阅读，祝您生活愉快。
(完整版)导数知识点归纳及应用
导数知识点归纳及应用●知识点归纳一、相关概念1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 处有增量，那么函数y 相应地有增量=f （x +0x ∆y ∆0）－f （x ），比值叫做函数y=f （x ）在x 到x +之间的平均变化率，即x ∆0xy∆∆00x ∆=。
如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x x y ∆∆xx f x x f ∆-∆+)()(000→∆x x y ∆∆处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 处的导数，记作f’（x ）或y’|。
000x x =即f （x ）==。
00lim →∆x x y∆∆0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00说明：（1）函数f （x ）在点x 处可导，是指时，有极限。
如果不存在极限，00→∆x x y ∆∆xy∆∆就说函数在点x 处不可导，或说无导数。
0（2）是自变量x 在x 处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是x ∆00≠∆x y ∆零。
由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 处的导数的步骤：0① 求函数的增量=f （x +）－f （x ）；y ∆0x ∆0② 求平均变化率=；x y ∆∆xx f x x f ∆-∆+)()(00③ 取极限，得导数f’(x )=。
0xyx ∆∆→∆lim 例：设f(x)= x|x|, 则f ′( 0)= .[解析]：∵ ∴f ′( 0)=00||lim ||lim )(lim )0()0(lim0000=∆=∆∆∆=∆∆=∆-∆+→∆→∆→∆→∆x xxx x x f x f x f x x x x 2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x ，f （x ））000处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x ，f （x ））处的切线的斜率00是f’（x ）。
0相应地，切线方程为y －y =f /（x ）（x －x ）。
导数在函数极值中的应用例题和知识点总结
导数在函数极值中的应用例题和知识点总结在数学的广袤天地中，导数无疑是一座连接函数性质与实际应用的重要桥梁。
而在函数的研究中，极值问题又占据着关键地位。
通过导数来求解函数的极值，不仅能让我们更深入地理解函数的变化规律，还能为解决实际问题提供有力的工具。
接下来，我们将通过具体的例题和详细的知识点总结，来探讨导数在函数极值中的应用。
一、知识点回顾1、导数的定义函数＼（y ＝ f(x)＼）在＼（x ＝ x_0\）处的导数＼（f'（x_0)＼）定义为：＼（f'（x_0) ＝＼lim_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)｝｛＼Delta x}＼）2、导数的几何意义导数＼（f'（x_0)＼）表示函数＼（y ＝ f(x)＼）在＼（x ＝ x_0\）处的切线斜率。
3、函数的单调性与导数的关系若＼（f'（x) ＞ 0\），则函数＼（f(x)＼）在区间内单调递增；若＼（f'（x) ＜ 0\），则函数＼（f(x)＼）在区间内单调递减。
4、函数的极值设函数＼（f(x)＼）在＼（x_0\）处可导，且在＼（x_0\）处附近左增右减，则＼（x_0\）为函数的极大值点，＼（f(x_0)＼）为极大值；若在＼（x_0\）处附近左减右增，则＼（x_0\）为函数的极小值点，＼（f(x_0)＼）为极小值。
5、求函数极值的步骤（1）求导数＼（f'（x)＼）；（2）解方程＼（f'（x) ＝ 0\），求出函数的驻点；（3）分析驻点左右两侧导数的符号，确定极值点；（4）将极值点代入函数，求出极值。
二、例题讲解例 1：求函数＼（f(x) ＝ x^3 3x^2 ＋ 1\）的极值。
解：首先，对函数求导：＼（f'（x) ＝ 3x^2 6x\）令＼（f'（x) ＝ 0\），即＼（3x^2 6x ＝ 0\），解得＼（x ＝ 0\）或＼（x ＝ 2\）当＼（x ＜ 0\）时，＼（f'（x) ＞ 0\），函数单调递增；当＼（0 ＜ x ＜ 2\）时，＼（f'（x) ＜ 0\），函数单调递减；当＼（x ＞ 2\）时，＼（f'（x) ＞ 0\），函数单调递增。
九年级数学导数的知识点
九年级数学导数的知识点导数是数学中的重要概念，它在微积分中具有广泛的应用。
本文将介绍九年级数学中导数的基本概念、计算方法和应用等知识点。
一、导数的概念导数是函数在某一点处的变化率，表示函数曲线在该点处的切线斜率。
记作f'(x)或dy/dx。
二、导数的计算1. 导数的基本计算法则- 常数法则：若f(x) = C（C为常数），则f'(x) = 0。
- 幂的法则：若f(x) = x^n（n为常数），则f'(x) = nx^(n-1)。
- 和差的法则：若f(x) = u(x) ± v(x)，则f'(x) = u'(x) ± v'(x)。
- 积的法则：若f(x) = u(x)v(x)，则f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)。
- 商的法则：若f(x) = u(x)/v(x)，则f'(x) = (u'(x)v(x) -u(x)v'(x))/[v(x)]^2。
2. 常用的导数- 常数函数的导数为0。
- 单项式函数y = ax^n的导数为dy/dx = anx^(n-1)。
- 指数函数y = e^x的导数为dy/dx = e^x。
- 对数函数y = ln(x)的导数为dy/dx = 1/x。
三、导数的应用1. 函数的增减性和极值根据导数的正负性可以判断函数在某个区间的增减性。
若f'(x) > 0，则函数在该区间上递增；若f'(x) < 0，则函数在该区间上递减。
极值点可以通过导数为零的点来确定，即f'(x) = 0。
2. 函数的凹凸性和拐点凹凸性是指函数曲线在某一点的弯曲程度。
若f''(x) > 0，则函数在该点处凹；若f''(x) < 0，则函数在该点处凸。
拐点是函数由凹变凸或由凸变凹的点，可以通过f''(x) = 0来确定。
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壹
导数及其应用知识点
【知识概要】
一、导数的概念和几何意义
●1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为：
2121
()()
f x f x x x --。
●2. 导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ∆无限趋近于0时，比值
00()()
f x x f x y x x
+∆-∆=
∆∆无限趋近于一个常数A ，则称函数()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0()f x '。
函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。
●3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率：
00()()
f x x f x x
+∆-∆；（3）取极限，当x ∆无限趋近与0时，
00()()
f x x f x x
+∆-∆无限趋近与一个常数A ，则0()f x A '=。
●4. 导数的几何意义：
函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。
由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：
（1）求出()y f x =在x 0处的导数，即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率；
（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为
000()()y y f x x x '-=-。
当点00(,)P x y 不在()y f x =上时，求经过点P 的()y f x =的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。
特别地，如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。
●5. 导数的物理意义：
质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ，则()V S t '=表示瞬时速度，
()a v t '=表示瞬时加速度。
贰
二、导数的运算
●1. 常见函数的导数：
（1）()kx b k '+=(k , b 为常数)； （2）0C '=(C 为常数)；
（3）()1x '=；
（4）2()2x x '=； （5）32()3x x '=；
（6）211()x
x
'=-；
（7
）'=；
（8）1()ααx αx -'=（α为常数）； （9）()ln (0,1)x x a a a a a '=>≠；
（
10
）
11(log )log (0,1)ln a a x e a a x x a
'==>≠；
（11）()x x e e '=； （12）1(ln )x x
'=；
（13）(sin )cos x x '=；
（14）(cos )sin x x '=-。
●2. 函数的和、差、积、商的导数： （1）[()()]()()f x g x f x g x '''±=±；
（2）[()]()Cf x Cf x ''=（C 为常数）； （3）[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+；
（4）2()()()()()
[
](()0)()()
f x f x
g x f x g x g x g x g x ''-'=≠。
●3. 简单复合函数的导数：
若(),y f u u ax b ==+，则x
u x y y u '''=⋅，即x u y y a ''=⋅。
三、导数的应用
●1. 求函数的单调性：
利用导数求函数单调性的基本方法：设函数()y f x =在区间(,)a b 内可导， （1）如果恒()0f x '>，则函数()y f x =在区间(,)a b 上为增函数； （2）如果恒()0f x '<，则函数()y f x =在区间(,)a b 上为减函数； （3）如果恒()0f x '=，则函数()y f x =在区间(,)a b 上为常数函数。
利用导数求函数单调性的基本步骤：①求函数()y f x =的定义域；②求导数
()f x '；
叁
③解不等式()0f x '>，解集在定义域内的不间断区间为增区间；④解不等式
()0f x '<，解集在定义域内的不间断区间为减区间。
反过来, 也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题（如确定参数的取值范围）： 设函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，
(1)如果函数()y f x =在区间(,)a b 上为增函数,则()0f x '≥(其中使()0f x '=的
x 值不构成区间)；
(2) 如果函数()y f x =在区间(,)a b 上为减函数,则()0f x '≤(其中使()0f x '=的
x 值不构成区间)；
(3) 如果函数()y f x =在区间(,)a b 上为常数函数,则()0f x '=恒成立。
●2. 求函数的极值：
设函数()y f x =在0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有0()()f x f x >（或0()()f x f x <）
，则称0()f x 是函数()f x 的极小值（或极大值）。
可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是：
（1）确定函数()f x 的定义域；（2）求导数()f x '；（3）求方程()0f x '=的全
部实根，12n x x x <<<L ，顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：x 变化时，()
f x '和()f x 值的变化情况：
（4）检查()f x '的符号并由表格判断极值。
●3. 求函数的最大值与最小值：
如果函数()f x 在定义域I 内存在0x ，使得对任意的x I ∈，总有0()()f x f x ≤，则称0()f x 为函数在定义域上的最大值。
函数在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯一的。
求函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值和最小值的步骤：
肆
（1）求()f x 在区间(,)a b 上的极值；
（2）将第一步中求得的极值与(),()f a f b 比较，得到()f x 在区间[,]a b 上的最大值与最小值。
●4. 解决不等式的有关问题：
（1）不等式恒成立问题（绝对不等式问题）可考虑值域。
()()f x x A ∈的值域是[,]a b 时，
不等式()0f x <恒成立的充要条件是max ()0f x <，即0b <；
不等式()0f x >恒成立的充要条件是min ()0f x >，即0a >。
()()f x x A ∈的值域是(,)a b 时，
不等式()0f x <恒成立的充要条件是0b ≤； 不等式()0f x >恒成立的充要条件是0a ≥。
（2）证明不等式()0f x <可转化为证明max ()0f x <，或利用函数()f x 的单调性，转化为证明0()()0f x f x <≤。
●5. 导数在实际生活中的应用：
实际生活求解最大（小）值问题，通常都可转化为函数的最值. 在利用导数来求函数最值时，一定要注意，极值点唯一的单峰函数，极值点就是最值点，在解题时要加以说明。