方差分析公式
方差分析公式
方差分析公式(2012-06-26 11:03:09)转载▼标签：分类：统计方法杂谈方差分析方差分析（analysis of variance，简写为ANOV或ANOVA）可用于两个或两个以上样本均数的比较。
应用时要求各样本是相互独立的随机样本；各样本来自正态分布总体且各总体方差相等。
方差分析的基本思想是按实验设计和分析目的把全部观察值之间的总变异分为两部分或更多部分，然后再作分析。
常用的设计有完全随机设计和随机区组设计的多个样本均数的比较。
一、完全随机设计的多个样本均数的比较又称单因素方差分析。
把总变异分解为组间（处理间）变异和组内变异（误差）两部分。
目的是推断k个样本所分别代表的μ1，μ2，……μk是否相等，以便比较多个处理的差别有无统计学意义。
其计算公式见表19-6.表19-6 完全随机设计的多个样本均数比较的方差分析公式变异来源离均差平方和SS 自由度v 均方MS F总ΣX2-C* N-1组间（处理组间）k-1 SS组间/v组间MS组间/MS组间组内（误差）SS总-SS组间N-k SS组内/v组内*C=（ΣX）2/N=Σni，k为处理组数表19-7 F值、P值与统计结论αF值P值统计结论0.05 ＜F0.05（v1.V2）＞0.05 不拒绝H0，差别无统计学意义0.05 ≥F0.05（v1.V2）≤0.05 拒绝H0，接受H1，差别有统计学意义0.01 ≥F0.01（v1.V2）≤0.01 拒绝H0，接受H1，差别有高度统计学意义方差分析计算的统计量为F，按表19-7所示关系作判断。
例19.9 某湖水不同季节氯化物含量测量值如表19-8，问不同季节氯化物含量有无差别？表19-8 某湖水不同季节氯化物含量（mg/L）X ij春夏秋冬22.6 19.1 18.9 19.0 22.8 22.8 13.6 16.9 21.0 24.5 17.2 17.6 16.9 18.0 15.1 14.820.0 15.2 16.6 13.121.9 18.4 14.2 16.9 21.5 20.1 16.7 16.2 21.2 21.2 19.6 14.8ΣX ijj167.9 159.3 131.9 129.3 588.4（ΣX）n i8 8 8 8 32（N）X i20.99 19.91 16.49 16.16ΣX2ijj3548.51 3231.95 2206.27 2114.1111100.84（ΣX2）H0：湖水四个季节氯化物含量的总体均数相等，即μ1=μ2=μ3=μ4H1：四个总体均数不等或不全相等α=0.05先作表19-8下半部分的基础计算。
variance analysis公式
variance analysis公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：方差分析（variance analysis）是一种常用的统计方法，用于比较和分析数据集中的变异情况。
通过计算方差，我们可以了解不同组别或因素之间的差异程度，从而帮助我们进一步探索数据背后的规律和趋势。
方差分析通常用于研究实验设计中不同处理组之间的差异，以及分析市场调查、商业报告等领域中的数据变化。
方差分析的基本公式为：\[SS_{total} = SS_{between} + SS_{within}\]\(F\)代表F统计量，\(MS_{between}\)代表组间均方，\(MS_{within}\)代表组内均方。
方差分析的步骤如下：1. 计算总平方和：首先计算所有数据点与整体平均值的离差的平方和，得到总平方和\(SS_{total}\)。
4. 计算F统计量：通过总平方和、组间平方和和组内平方和的比较，计算F统计量，用于判断不同组别之间的差异是否显著。
在进行方差分析时，通常需要进行假设检验，以确定数据之间的差异是否具有统计学意义。
常见的假设包括：- 零假设（\(H_0\)）：不同组别或因素之间没有显著差异，即各组别或因素的均值相等。
- 备择假设（\(H_1\)）：不同组别或因素之间存在显著差异，即至少有一个组别或因素的均值与其他组别或因素不同。
在方差分析中，我们利用F统计量进行假设检验，当F值大到足以拒绝零假设时，我们可以认为不同组别或因素之间的差异具有统计学意义。
除了用于比较不同组别或因素之间的差异，方差分析也可以用于研究单个组别或因素内部的数据变化。
通过计算组内平方和，我们可以了解同一组别或因素内部不同数据点之间的差异情况，从而更深入地分析数据的特征和规律。
第二篇示例：方差分析是一种用于比较实际结果与预期结果之间差异的统计方法。
在商业和财务领域，方差分析通常被用来评估实际成本与预算成本之间的差异。
这种分析可以帮助企业了解其业绩表现是否符合预期，以及对差异做出有效的管理决策。
方差定理公式
方差定理公式方差定理公式是一种用于描述随机变量的离散程度的数学工具，它可以帮助我们分析数据的变化情况，评估统计模型的拟合效果，以及进行假设检验等。
方差定理公式有多种形式，本文将介绍其中的几种，并给出相应的证明和应用。
什么是方差方差是一种衡量随机变量或者一组数据与其均值之间的距离的度量，它反映了数据的波动程度。
方差越大，说明数据越分散，越不稳定；方差越小，说明数据越集中，越稳定。
方差的定义有多种方式，其中最常见的一种是：V ar(X)=E[(X−E(X))2]其中，X是一个随机变量，E(X)是它的期望值，E[(X−E(X))2]是它与期望值之差的平方的期望值。
这个定义可以理解为：方差等于每个可能的输出值与均值之差的平方乘以其概率后求和。
另一种常见的定义是：V ar(X)=E(X2)−[E(X)]2这个定义可以通过展开上面的定义得到，也可以记忆为“期望平方内减外”。
这个定义可以理解为：方差等于随机变量的平方的期望值减去随机变量的期望值的平方。
还有一种常见的定义是：V ar(X)=n∑i=1(x i−μ)2f(x i)其中，x i是随机变量X的第i个可能取值，μ=E(X)是它的期望值，f(x i)是它取该值的概率。
这个定义可以理解为：方差等于每个可能取值与均值之差的平方乘以其概率后求和。
以上三种定义都是等价的，可以根据不同的情况选择合适的形式来计算或推导方差。
方差定理公式方差定理公式是一些关于方差运算或性质的公式，它们可以帮助我们简化计算或推导过程，也可以帮助我们理解方差背后的含义或规律。
以下介绍几种常用的方差定理公式。
方差线性性质如果X,Y是两个随机变量，a,b是两个常数，则有：V ar(aX+bY)=a2V ar(X)+b2V ar(Y)+2abCov(X,Y)其中，Cov(X,Y)是X,Y之间的协方差，它表示两个随机变量之间的线性相关程度。
如果X,Y相互独立，则协方差为零，上式就简化为：V ar(aX+bY)=a2V ar(X)+b2V ar(Y)这个公式说明了方差具有线性性质，即两个独立随机变量之和或者差的方差等于它们各自方差乘以系数后求和。
方差的计算公式范文
方差的计算公式范文方差是概率论和统计学中常用的概念，用于衡量数据集中数据分散程度的一种统计指标。
方差的计算公式在不同的情况下可能会有所不同，根据数据类型的不同可以分为总体方差和样本方差。
总体方差（population variance）是用来描述总体数据分散程度的统计量，通常用σ^2表示。
如果总体中有N个数据，那么总体方差的计算公式为：σ^2=Σ(x-μ)^2/N其中，x表示每个数据点，μ是总体均值。
具体的计算步骤是，首先计算每个数据点与均值之差的平方，然后将它们相加，最后再除以数据个数N。
样本方差（sample variance）是从总体中抽取样本，并根据样本数据来估计总体方差的统计量，通常用S^2表示。
如果样本中有n个数据，样本方差的计算公式为：S^2=Σ(x-x̄)^2/(n-1)其中，x表示每个数据点，x̄是样本均值。
不同于总体方差的计算公式，样本方差的计算中除以的是自由度n-1，这是由于样本的计算通常要估计一个总体参数，因此自由度减少一个。
方差具有以下几个性质：1.方差非负：方差是平方差的求和，因此方差始终为非负值。
2.方差为0的唯一情况是所有数据值相等：如果数据集的所有数值都相等，则方差为0，表示数据没有分散。
3.方差受离群值的影响：方差是通过将差的平方加和来测量数据的离散程度。
由于差的平方使离群值的影响成了平方的关系，因此离群值对方差的影响较大。
方差的计算公式在实际应用中具有广泛的用途，在统计学、经济学、自然科学等领域都有重要的应用。
通过计算方差，我们可以判断数据集的分布是否集中或分散，从而对数据进行更深入的分析和解释。
同时，在数据分析中，方差也是许多统计方法和模型的基础，如回归分析、方差分析等。
因此，理解和掌握方差的计算公式对于进行有效的数据分析和解释具有重要的意义。
第九章----方差分析
若组间变异明显大于组内变异, 则不能认为组 间变异仅反映随机误差的大小, 处理因素也在起 作用。根据计算出的检验统计量F值, 查界值表 得到相应的P值, 按所取检验水准α作出统计推断 结论。
检验统计量F值服从F分布。
F<Fα,(ν组间, ν组内),则P > α, 不拒绝H0, 还不能认 为各样本所来自的总体均数不同;
1、各样本是相互独立的随机样本, 且来自 正态分布的总体;
2、相互比较的各样本的总体方差相等, 即 具有方差齐性。 独立性、随机性、正态性、方差齐性
五、方差分析的用途
1、用于进行两个或多个样本均数的比较; 2、分析两因素或多因素间的交互作用; 3、用于回归方程的线性假设检验。
六、方差分析的优点
1、不受比较组数的限制,可比较多组均数; 2、可同时分析多个因素的作用; 3、可分析因素间的交互作用.
一、多个样本均数间的比较能否用 t 检 验或 u 检验？为什么？
原因:
五个样本均数进行比较, 每次两个均数作一次 t 检验, 共需作10（C52=10）次 t 检验。若每次比 较的检验水准α＝0.05, 则每次比较不犯Ⅰ型错误 的概率为（1-α）＝0.95。当这些检验独立进行 时, 则10次比较均不犯Ⅰ型错误的概率为0.9510＝ 0.5987, 此时犯Ⅰ型错误的概率, 即总的检验水准 α变为1-0.5987＝0.4013比0.05大的多。犯Ⅰ型错 误的概率增大, 可能将原本无差别的两个总体推 断为有差别, 误判为有统计意义。因此多重比较 不宜用的 t 检验或 u检验作两两比较。
已知各组均数、标准差和样本含量时F值 的简便计算方法。
当原始数据未知, 只知各组均数、标准差和 样本含量时, 可进行如下计算, 分两种情况: 1、各组样本含量ni相等; 2、各组样本含量ni不等。
方差检验的p值计算公式(一)
方差检验的p值计算公式(一)方差检验的p值计算公式方差检验简介方差检验是一种用于比较多组数据之间差异是否显著的统计方法。
其基本思想是通过计算组间差异与组内差异之间的比值，来判断差异是否有统计学意义。
方差检验的计算公式方差检验的p值计算公式根据具体的方差检验方法而定，下面列举了常见的两种方差检验方法及其对应的计算公式：单因素方差分析（One-way ANOVA）单因素方差分析用于比较多个组的均值是否有显著差异。
假设有k个组，每个组的样本量分别为n1, n2, …, nk，计算公式如下：F=MSB MSE其中，MSB表示组间均方（Mean Square Between），MSE表示组内均方（Mean Square Error）。
F值代表方差比值，如果F值较大，则说明组间差异较大，差异有统计学意义。
双因素方差分析（Two-way ANOVA）双因素方差分析用于比较两个或以上的因素对于观测变量的影响是否有显著差异。
假设有k1个水平的因素A和k2个水平的因素B，两个因素的组合共有k1*k2个，每个组合的样本量分别为n11, n12, …, n2k1k2，计算公式如下：F A=MST A MSEF B=MST B MSEF AB=MST AB MSE其中，MST A表示因素A的组间均方（Mean Square Treatment），MST B表示因素B的组间均方，MST AB表示因素A和因素B交互作用的组间均方。
MSE表示组内均方，F值代表方差比值，如果F值较大，则说明对应的因素或交互作用对观测变量的差异有统计学意义。
示例解释假设我们想要研究不同教学方法对学生考试成绩的影响。
我们随机选取了三种教学方法，分别为传统教学、互动教学和在线教学，并邀请了60名学生参与实验。
每种教学方法下，我们随机选择了20名学生进行教学，并记录了他们的考试成绩。
这个实验中，我们可以使用单因素方差分析来对这三种教学方法的平均成绩进行比较。
方差分析与卡方检验
方差分析与卡方检验方差分析（Analysis of Variance），简称ANOVA，是一种用于比较两个或多个组之间差异的统计方法。
它通过比较组内变异与组间变异的大小来判断不同组之间是否存在显著差异。
卡方检验（Chi-Square Test），又称χ²检验，是一种用于检验实际观测值与理论预期值之间是否存在显著差异的统计方法。
方差分析和卡方检验是常用的两种统计分析方法，本文将分别对它们进行介绍和比较。
一、方差分析方差分析是一种基于方差的统计方法，用于比较两个或多个样本均值之间的差异。
它适用于多个独立样本或多个相关样本之间的比较。
具体的步骤如下：1. 假设检验方差分析的假设检验通常基于以下假设：- 零假设（H0）：各组样本的均值相等。
- 备择假设（H1）：至少有一个组样本的均值与其他组不同。
2. 计算统计量方差分析中常用的统计量是F值。
F值是组间均方与组内均方之比，其具体计算公式为：F = 组间均方 / 组内均方3. 比较临界值根据给定的显著性水平（通常为0.05），查表或计算得到临界值。
4. 做出判断如果计算得到的F值大于临界值，则拒绝零假设，认为各组样本的均值存在显著差异；否则，接受零假设，认为各组样本的均值相等。
二、卡方检验卡方检验是一种用于检验实际观测值与理论预期值之间差异的统计方法。
它适用于分类变量之间的比较。
具体的步骤如下：1. 假设检验卡方检验的假设检验通常基于以下假设：- 零假设（H0）：实际观测值与理论预期值之间无显著差异。
- 备择假设（H1）：实际观测值与理论预期值之间存在显著差异。
2. 构建列联表根据实际观测值，构建列联表。
列联表是由多个分类变量组成的二维表格，用于统计不同组别之间的频数或频率。
3. 计算卡方值根据列联表中的实际观测频数和理论预期频数，计算卡方值。
卡方值的计算公式为：χ² = ∑ [(观测频数 - 预期频数)^2 / 预期频数]4. 比较临界值根据给定的自由度和显著性水平，查表或计算得到临界值。
方差分析
二、方差分析的基本假定
每个总体都应服从正态分布 各个总体的方差 σ 2 必须相同 观测值是独立的
三、方差分析的分类
单因素方差分析 双因素方差分析 多因素方差分析 协方差分析 多元方差分析
单因素方差分析
单因素方差分析研究的是一个分类型自 变量对一个数值型因变量的影响。例如， 要检验不同行业被投诉次数的均值是否 相等，这里只涉及行业一个因素，因而 属于单因素方差分析。
计算统计量
由于各误差平方和的大小与观测值的多少有关，为了消 除观测值多少对误差平方和的影响，需要将其平均，也就是 用各平方和除以它们对应的自由度，这一结果称为均方，也 称为方差。 SST的自由度为n-1，其中n为全部观测值的个数。 SSA的自由度为k-1，其中k为因素水平（总体）的个数。 SSE的自由度为n-k。 SSA的均方也称为组间均方或组间方差，记为MSA SSA MSA=组间平方和/自由度= k − 1 代入例题得 MSA=485.536232 SSE MSE=组内平方和/自由度= n − k 代入例题得MSE=142.526316
则根据上面计算出F=3.40643，若取显著性水 平 α = 0 . 05 ，根据自由度 df 2 = n − k = 23 − 4 = 19 和分母自由度 df 1 = k − 1 = 4 − 1 = 3 ，查F分布 F0.05 (3,19) = 3.13 表得到临界值 。由于 F > Fα 拒绝原假设 H 0 : µ1 = µ 2 = µ3 = µ 4 ，表明 µ1, µ 2, µ3, µ 4, 之间有显著的差异，即行业对投诉次数有显著影响。
k
x）
k
∑ ∑
x =
代入得：
i=1
ni
j =1
x ij =
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方差分析公式
（20PP-06-2611:03:09）
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分类：统计方法
杂谈
方差分析
方差分析（analPsisofvarianee ，简写为ANOV或ANOV A可用于两个或两个以
上样本均数的比较。
应用时要求各样本是相互独立的随机样本；各样本来自正态
分布总体且各总体方差相等。
方差分析的基本思想是按实验设计和分析目的把全部观察值之间的总变异分为两部分或更多部分，然后再作分析。
常用的设计有完
全随机设计和随机区组设计的多个样本均数的比较。
一、完全随机设计的多个样本均数的比较
又称单因素方差分析。
把总变异分解为组间（处理间）变异和组内变异（误差）两部分。
目的是推断k个样本所分别代表的卩1,卩2,……卩k是否相等，以便比较多个处理的差别有无统计学意义。
其计算公式见表19-6.
表19-6完全随机设计的多个样本均数比较的方差分析公式
GC=（艺G） 2/N=艺ni , k为处理组数
方差分析计算的统计量为F,按表19-7所示关系作判断。
例19.9某湖水不同季节氯化物含量测量值如表19-8，问不同季节氯化物含量有
无差别？
表19-8某湖水不同季节氯化物含量（mg/L）
SS 加刖=丄 和
' 10619.265^
170
HO:湖水四个季节氯化物含量的总体均数相等，即 卩仁卩2=卩3=卩4
H1:四个总体均数不等或不全相等
a =0.05
先作表19-8下半部分的基础计算。
C=（艺 G ） 2/N= （588.4） 2/32=10819.205 SS 总=艺 G2-C=11100.84-10819.205=281.635 V 总=N-仁31
（工吋
“ 1
广_ （】6二口尸斗/」期.匸尸千
K
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"一 -
• r . —I b
K V 组间=k-1=4-1=3
SS 组内=SS 总-SS 组间=281.635-141.107=140.465 V 组内=N-k=32-4=28
MS 组间二SS 组间 /v 组间=141.107/3=47.057
MS组内=SS组内 /v 组内=140.465/28=5.017
F=MS组间 /MS 组内=47.057/5.017=9.380
以v1 （即组间自由度）=3, v2 （即组内自由度）=28查附表19-2 , F界值表，得F0.05（3，28）=2.95，F0.01（3，28）=4.57.本例算得的 F=9.380>F0.01 （3,
28）, P v0.01，按a =0.05检验水准拒绝H0,接受H1,可认为湖水不同季节的氯化物含量不等或不全相等。
必要时可进一步和两两比较的q检验，以确定是否任两总体均数间不等。
资料分析时，常把上述计算结果列入方差分析表内，如表19-9.
表19-9例19.9资料的方差分析表
二、随机区组（配伍组）设计的多个样本均数比较
又称两因素方差分析。
把总变异分解为处理间变异、区组间变异及误差三部分。
除推断k个样本所代表的总体均数，卩1,卩2,……卩k是否相等外，还要推断b个区组所代表的总体均数是否相等。
也就是说，除比较多个处理的差别有无统计学意义外，还要比较区组间的差别有无统计学意义。
该设计考虑了个体变异对处理的影响，故可提高检验效率。
表19-10随机区组设计的多个样本均数比较的方差分析公式
C、k、N的意义同表19-6 , b为区组数
例19.10为研究酵解作用对血糖浓度的影响，从8名健康人中抽血并制成血滤液。
每个受试者的血滤液被分成4份，再随机地把4份血滤液分别放置0，45，90, 135分钟，测定其血溏浓度（表19-11），试问放置不同时间的血糖浓度有无差别？处理间：
H0:四个不同时间血糖浓度的总体均数相等，即卩仁卩2=卩3=卩4
表19-11血滤放置不同时间的血糖浓度（mmol/L）
H1:四个总体均数不等或不全相等
a =0.05
区组间：
H0:八个区组的总体均数相等，即卩仁卩2=……卩8
H1:八个区组的总体均数不等或不全相等
a =0.05
先作表19-11下半部分和右侧一栏的基本计算。
C=（艺 G） 2/N= （169.56） 2/32=898.45605
SS总=艺 G2-C=904.1214-898.45605=5.66535
V 总=N-1=32-1=31
V 处理=k-1=4-1=3
一曲=2 •熹)缶
V区组=b-1=8-仁7
SS误差=SS总-SS 处理-SS 区组=5.66535-2.90438-2.49800=0.26297
V误差=(k-1 )( b-1 ) =3X 7=21
MS处理=SS处理 /v 处理=2.90438/3=0.9681
MS区组=SS区组/v 区组=2.49800/7=0.3569
MS误差=SS误差 /v 误差=0.26297/21=0.0125
F 处理=MS处理 /MS 误差=0.9681/0.0125=77.448
F 区组=MS区组/MS误差=0.3569/0.0125=28.552
推断处理间的差别，按v仁3, v2=21查F界值表，得F0.005 (3, 21) =3.07 , F0.01( 3，21)=4.87，P v 0.01 ;推断区组间的差别，按v仁7, v2=21查F界值表，得F0.05 (7, 21) =2.49，F0.01 ( 7, 21) =3.64，P v 0.01.按a =0.05 检验水准皆拒绝H0,接受H1,可认为放置时间长短会影响血糖浓度且不同受试者的血糖浓度亦有差别。
但尚不能认为任两个不同放置时间的血糖浓度总体均数皆有差别，必要时可进一步作两两比较的q检验。
表19-12例19.10资料的方差分析表
（各组ni 相等）公式（19.14）
总 5.66538 31
三、多个样本均数间的两两比较的 q 检验
经方差分析后，若按a =0.05检验水准不拒绝H0,通常就不再作进一步分析；若 按a =0.05甚至a =0.01检验水准拒绝H0,且需了解任两个总体均数间是否都存 在差别，可进一步作多个样本均数间的两两比较。
两两比较的方法较多，在此仅
介绍较常用的q 检验（Newman-Keuls 法）
t
/ ” 严（1 彳 _L_
（各组ni 不等）公式（19.15）
式中，GA-GB 为两两对比中，任两个对比组 A 、B 的样本均数之差；sGA-GB 为两 样本均数差的标准误；ni 为各处理组的样本含量；nA, nB 分别为A B 两对比组 的样本含量；MS 误差为单因素方差分析中的组内均方（MS 组内）或两因素方差 分析中的误差均方（MS 误差）。
计算的统计量为q,按表19-13所示关系作判断。
例19.11对例19.9资料作两两比较
H0:任两个季节的湖水氯化物含量的总体均数相等，即 卩A=y B
H1:任两总体均数不等，即 卩Ap B
表19-13|q|值、P 值与统计结论
a
|q| P 值 统计结论
0.05 V q °.05 ( v.a )
>0.05 不拒绝H,差别无统计学意义 0.05
A q °.05 ( v.a )
<0.05 拒绝H0。
接受H,差别有统计学意义 0.01
A q
°.01 ( v.a )
<0.01
拒绝H ，接受H ，差别有高度统计学意义
a =0.05
1.将四个样本的均数由大到小排列编秩，注明处理组
G 167.9 159.3 131.9 129.3 处理组 春 夏 秋 冬 秩次
1
2
3
4
2.计算sGA-GB 本例各处理组的样本含量n1相等，按式（19, 14）计算两均数差 的标
准误。
已知 MS组内=5.017, n=8
表19-14两两比较的q检验计算表
表中第（1）栏为各对比组，如第一行1与4,指A为第1组，B为第4组。
第（2）栏为两对比组均数之差，如第一行为 G1与G4之差，余类推。
第（3）栏为四个样本均数按大小排列时，A B两对比组范围内所包含的组数 a,如第一“1与4” 范围内包含4个组，故a=4.第（4）栏是按式（19.13 ）计算的统计量q值，式| 中的分母0.7919是按式（19.14 ）计算出来的SGA-GB第（ 5）、（ 6）栏是根据误差自由度v与组数a查附表19-3q界值表所得的q界值，本例v误差=28，因q界值表中自由度一栏无28,可用近似值30或用内插法得出q界值，本例用近似值 30 查表，当 a=4 时，q0.05（ 30, 4） =3.85 , q0.01 （ 30, 4） =4.80，余类推。
第（7）栏是按表19-13判定的。
4.结论由表19-14可见，除秋季与冬季为P V0.05夕卜，其它任两对比组皆为 P V 0.01，按a =0.05检验水准均拒绝H0,接受H1,可认为不同季节的湖水氯化物含量皆不同，春季氯化物含量最高，冬季含量最低。
PS:进行方差分析前必须要做方差齐性检验和正态分布检验，至于如何做，方法很多了，常见的正态性检验有Kolmogorov-Smirnov 检验和Shapiro-Wilk 检验。
方差齐性常采用Bartlett检验。
相同的数据，不同的软件，采用相同的方法给出的p值应该是一
样的。