方差 — 标准差
数理统计_方差与标准差
心理和教育方面的实验或调查所得到的数据，大都具有随机变量的性质。
而对这些随机变量的描述，仅有前一章所讲集中趋势的度量是不够的。
集中量数只描述数据的集中趋势和典型情况，它还不能讲明一组数据的全貌。
数据除典型情况之外，还有变异性的特点。
关于数据变异性即离中趋势进行度量的一组统计量，称作差异量数，这些差异量数有标准差或方差，全距，平均差，四分差及各种百分差等等。
第一节方差与标准差方差(Variance)也称变异数、均方。
作为统计量，常用符号S2表示，作为总体参数，常用符号σ2表示。
它是每个数据与该组数据平均数之差乘方后的均值，即离均差平方后的平均数。
方差，在数理统计中又常称之为二阶中心矩或二级动差。
它是度量数据分散程度的一个特别重要的统计特征数。
标准差(Standarddeviation)即方差的平方根，常用S或SD表示。
假设用σ表示，那么是指总体的标准差，本章只讨论对一组数据的描述，尚未涉及总体咨询题，故本章方差的符号用S2，标准差的符号用S。
符号不同，其含义不完全一样，这一点瞧读者能够给予充分的注重。
一、方差与标准差的计算(一)未分组的数据求方差与标准差全然公式是：〔3—la〕〔3—1b〕表3—1讲明公式3—1a与3—1b的计算步骤表3—1未分组的数据求方差与标准差应用3—1公式的具体步骤：①先求平均数X＝36/6＝6；②计算X i-X；③求(Xi-X)2即离均差x2；④将各离均差的平方求和(∑x2)；⑤代进公式3—1a与3—1b求方差与标准差。
具体结果如下：S2(二)已分组的数据求标准差与方差数据分组后，便以次数分布表的形式出现，这时原始数据不见了，假设计算方差与标准差可用下式：(3—3a)(3—3b)式中d＝(Xc-AM)/i，AM为估量平均数Xc为各分组区间的组中值f为各组区间的次数N=Σf为总次数或各组次数和i为组距。
下面以表1—8数据为例，讲明分组数据求方差与标准差的步骤:表3—2次数分布表求方差与标准差具体步骤：①设估量平均数AM，任选一区间的Xc充任；②求d⑧用f乘d，并计算Σfd；④用d与fd相乘得fd2，并求Σfd2；⑤代进公式计算。
方差、标准差、均方差、均方误差区别总结
方差、标准差、均方差、均方误差区别总结一、百度百科上方差是这样定义的（variance)是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。
概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。
统计中的方差（样本方差）是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数。
在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。
看这么一段文字可能有些绕，那就先从公式入手，对于一组随机变量或者统计数据，其期望值我们由E(X)表示，即随机变量或统计数据的均值，然后对各个数据与均值的差的平方求和，最后对它们再求期望值就得到了方差公式。
这个公式描述了随机变量或统计数据与均值的偏离程度。
二、方差与标准差之间的关系就比较简单了根号里的内容就是我们刚提到的那么问题来了，既然有了方差来描述变量与均值的偏离程度，那又搞出来个标准差干什么呢？发现没有，方差与我们要处理的数据的量纲是不一致的，虽然能很好的描述数据与均值的偏离程度，但是处理结果是不符合我们的直观思维的。
举个例子：一个班级里有60个学生，平均成绩是70分，标准差是9，方差是81，成绩服从正态分布，那么我们通过方差不能直观的确定班级学生与均值到底偏离了多少分，通过标准差我们就很直观的得到学生成绩分布在[61,79]范围的概率为0.6826，即约等于下图中的34.2%*2三、均方差、均方误差又是什么？标准差（Standard Deviation），中文环境中又常称均方差，但不同于均方误差（mean squared error，均方误差是各数据偏离真实值的距离平方和的平均数，也即误差平方和的平均数，计算公式形式上接近方差，它的开方叫均方根误差，均方根误差才和标准差形式上接近），标准差是离均差平方和平均后的方根，用σ表示。
标准差是方差的算术平方根。
从上面定义我们可以得到以下几点：1、均方差就是标准差，标准差就是均方差2、均方误差不同于均方误差3、均方误差是各数据偏离真实值的距离平方和的平均数举个例子：我们要测量房间里的温度，很遗憾我们的温度计精度不高，所以就需要测量5次，得到一组数据[x1,x2,x3,x4,x5],假设温度的真实值是x，数据与真实值的误差e=x-xi那么均方误差MSE=总的来说，均方差是数据序列与均值的关系，而均方误差是数据序列与真实值之间的关系，所以我们只需要搞清楚真实值和均值之间的关系就行了。
标准差和方差公式
标准差和方差公式
标准差公式：σ = 根号(Σ(x－x)² / N)
方差公式：σ²= Σ(x－x)² / N
其中σ为标准差，Σ(x-x)²表示所有样本值与平均值之差的平方和，N表示样本数量。
以上两个公式都是求涉及到多个值时，它们之间的离散程度或波动性程度的指标。
标准差表示一组数据的离散程度，是描述数据分布情况的指标，它通过计算所有样本值与其平均值之差的绝对值的平方值的平均数，在此基础上求出根号，得出的就是标准差。
它体现了一组数据的平均偏差程度。
而方差则是指一组数据的波动程度，也即各个值与其平均值之差的平方值的平均数，它可以反映一组数据的离散程度，也可以说它是用来衡量一组数据离散程度的度量。
综上所述，标准差和方差都是用来衡量一组数据之间的离散程度和波动情况的量化指标，它们的公式分别为：σ = 根号(Σ(x
－x)² / N) 和σ² = Σ(x－x)² / N，其中σ表示标准差，Σ(x-x)²表
示所有样本值与平均值之差的平方和，N表示样本数量。
标准差方差区别
标准差方差区别标准差和方差是统计学中常用的两个概念，它们都是用来衡量数据的离散程度。
虽然它们都可以用来描述数据的分散程度，但是它们之间存在着一些区别。
本文将就标准差和方差的概念、计算方法以及应用进行详细的介绍和比较。
首先，让我们来了解一下标准差和方差的概念。
方差是指每个数据与平均值之差的平方的平均值，用来衡量数据的离散程度。
而标准差则是方差的平方根，它也是用来衡量数据的离散程度，但是它的数值与原始数据的单位相同，因此更容易理解和比较。
在实际应用中，标准差和方差都可以用来描述数据的分散程度，但是标准差更常用，因为它更容易理解和解释。
其次，我们来看一下标准差和方差的计算方法。
计算方差的方法是先计算每个数据与平均值之差的平方，然后将所有的平方差相加再除以数据的个数。
而计算标准差的方法则是先计算方差，然后再对方差取平方根。
虽然计算方法不同，但是它们都可以用来衡量数据的离散程度，只是标准差更容易理解和比较。
最后，让我们来看一下标准差和方差的应用。
在实际应用中，标准差和方差都可以用来衡量数据的离散程度，但是它们的应用场景略有不同。
方差通常用来描述数据的分散程度，而标准差则更常用来比较不同数据集之间的离散程度。
例如，我们可以用标准差来比较两个班级的成绩离散程度，也可以用标准差来比较两个投资组合的风险程度。
因此，在实际应用中，我们可以根据具体的情况选择使用标准差或者方差来衡量数据的离散程度。
综上所述，标准差和方差都是用来衡量数据的离散程度的统计学概念，它们之间存在着一些区别。
虽然它们都可以用来描述数据的分散程度，但是标准差更常用，因为它更容易理解和比较。
在实际应用中，我们可以根据具体的情况选择使用标准差或者方差来衡量数据的离散程度。
希望本文能够帮助大家更好地理解标准差和方差的区别，以及它们在实际应用中的意义。
方差与标准差的区别
方差与标准差的区别方差和标准差是统计学中常用的两个概念，它们都是用来衡量数据的离散程度的。
虽然它们都可以用来描述数据的分散程度，但是它们之间还是有一些区别的。
首先，让我们来看看方差。
方差是一组数据与其均值之差的平方的平均数。
它的计算公式为，方差 = Σ(xi μ)² / N，其中xi代表每个数据点，μ代表数据的均值，N代表数据的个数。
方差的计算过程中，首先求出每个数据点与均值的差值，然后将这些差值平方，最后求平均数。
方差的单位是数据单位的平方，因此在实际应用中，方差的数值通常比较大。
接下来，我们来看看标准差。
标准差是方差的平方根，它用来衡量数据的离散程度。
标准差的计算公式为，标准差 = √(Σ(xi μ)² / N)，即方差的平方根。
标准差的计算过程与方差类似，不同之处在于最后需要对方差取平方根。
标准差的单位与原始数据的单位相同，因此在实际应用中，标准差的数值相对于方差来说会更容易理解。
在实际应用中，方差和标准差都可以用来衡量数据的离散程度，但是它们各自有着不同的特点。
方差对数据的离散程度进行了平方处理，因此在一定程度上放大了离散程度的差异，使得方差的数值相对较大，不太直观。
而标准差则是对方差进行了平方根处理，使得其数值相对较小，更容易理解。
因此，在实际应用中，标准差更常用于描述数据的离散程度。
总的来说，方差和标准差都是用来衡量数据的离散程度的统计量，但是它们之间还是有一些区别的。
方差是数据与均值之差的平方的平均数，而标准差是方差的平方根。
在实际应用中，标准差相对于方差来说更容易理解，更常用于描述数据的离散程度。
因此，在选择统计量时，需要根据具体的情况来决定使用方差还是标准差。
标准差方差公式
标准差方差公式标准差和方差是统计学中常用的两个概念，它们分别用来衡量数据的离散程度和分散程度。
在实际应用中，我们经常会遇到需要计算标准差和方差的情况，因此对于这两个概念的理解和运用是非常重要的。
接下来，我们将详细介绍标准差和方差的公式及其计算方法。
首先，我们来看一下方差的定义和计算公式。
方差是用来衡量一组数据的离散程度的统计量，它的计算公式如下：\[Var(X) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i \overline{X})^2\]其中，\(X\) 表示一组数据，\(n\) 表示数据的个数，\(X_i\) 表示第 \(i\) 个数据点，\(\overline{X}\) 表示数据的平均值。
方差的计算方法是先计算每个数据点与平均值的差值的平方，然后将所有差值的平方求和，最后除以数据的个数。
接下来，我们来看一下标准差的定义和计算公式。
标准差是方差的平方根，它的计算公式如下：\[SD(X) = \sqrt{Var(X)}\]标准差的计算方法是先计算方差，然后对方差取平方根。
在实际应用中，我们经常会用到标准差和方差来衡量数据的离散程度。
例如，在金融领域，投资者常常会用标准差来衡量投资组合的风险；在质量管理中，工程师们会用标准差来衡量产品质量的稳定程度；在生物统计学中，研究人员会用标准差来衡量生物数据的变异程度。
因此，对于标准差和方差的理解和运用是非常重要的。
除了上述的计算方法，我们还可以通过计算机软件来快速计算标准差和方差。
在Excel中，我们可以使用STDEV.P函数来计算总体标准差，使用STDEV.S函数来计算样本标准差；在Python中，我们可以使用numpy库中的std函数来计算标准差，使用var函数来计算方差。
这些计算工具可以帮助我们快速准确地计算标准差和方差。
总之，标准差和方差是统计学中常用的两个概念，它们分别用来衡量数据的离散程度和分散程度。
我们可以通过相应的公式和计算方法来计算标准差和方差，也可以利用计算机软件来快速计算。
标准差和方差的意义
标准差和方差的意义标准差和方差是统计学中常用的两个概念，它们在描述数据分布和数据离散程度上起着重要的作用。
在实际应用中，我们经常会用到这两个指标来分析数据的稳定性和波动性。
接下来，我们将详细介绍标准差和方差的意义及其在统计学中的应用。
首先，我们来介绍一下方差。
方差是衡量一组数据离散程度的指标，它表示数据与其均值之间的偏离程度。
方差越大，数据的离散程度就越大；方差越小，数据的离散程度就越小。
在统计学中，方差通常用σ^2来表示，其计算公式为：σ^2 = Σ(xi μ)^2 / N。
其中，xi表示第i个数据点，μ表示数据的均值，N表示数据的个数。
从公式中可以看出，方差是每个数据点与均值之差的平方的平均值。
通过计算方差，我们可以了解数据的波动情况，进而分析数据的稳定性和可靠性。
接下来，我们来介绍标准差。
标准差是方差的平方根，它也是衡量数据离散程度的指标。
标准差的计算公式为：σ = √(Σ(xi μ)^2 / N)。
通过计算标准差，我们可以直观地了解数据的离散程度。
与方差相比，标准差更容易理解和比较，因为它的单位与原始数据的单位相同。
通常情况下，我们更倾向于使用标准差来描述数据的离散程度。
在实际应用中，方差和标准差经常被用来分析数据的稳定性和波动性。
例如，在金融领域，我们经常会用标准差来衡量股票的波动性；在质量管理中，我们也会用方差来评估产品质量的稳定性。
此外，方差和标准差还经常被用来进行假设检验、方差分析等统计推断。
总之，标准差和方差是统计学中常用的两个指标，它们可以帮助我们了解数据的离散程度，进而分析数据的稳定性和波动性。
通过合理地运用这两个指标，我们可以更好地理解数据，从而做出准确的统计推断和决策。
方差与标准差的公式
方差与标准差的公式方差和标准差是描述数据分布离散程度的重要统计量，它们在统计学和概率论中有着广泛的应用。
在本文中，我们将详细介绍方差和标准差的定义、计算公式以及它们在实际应用中的意义。
首先，我们来了解一下方差的定义和计算公式。
方差是衡量一组数据离散程度的统计量，它的计算公式如下：\[ \sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i \mu)^2 \]其中，\( \sigma^2 \) 表示方差，\( n \) 表示数据的个数，\( x_i \) 表示第 \( i \) 个数据点，\( \mu \) 表示数据的均值。
方差的计算公式可以简单地理解为每个数据点与均值的偏差的平方的平均值。
方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小。
接下来，我们来讨论标准差的定义和计算公式。
标准差是方差的平方根，它也是衡量数据离散程度的重要指标。
标准差的计算公式如下：\[ \sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i \mu)^2} \]其中，\( \sigma \) 表示标准差，其他符号的含义与方差的计算公式相同。
标准差的计算公式可以简单地理解为方差的平方根，它衡量了数据的离散程度与均值的偏差的大小。
标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小。
在实际应用中，方差和标准差有着广泛的应用。
例如，在金融领域，投资组合的方差和标准差可以用来衡量风险；在质量管理中，产品的方差和标准差可以用来衡量产品质量的稳定性；在自然科学中，实验数据的方差和标准差可以用来评估实验结果的可靠性。
总之，方差和标准差是描述数据分布离散程度的重要统计量，它们在统计学和概率论中有着广泛的应用。
通过本文的介绍，相信读者对方差和标准差有了更深入的理解，希望本文可以对读者有所帮助。
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方差(Variance)
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什么是方差
方差和标准差是测度数据变异程度的最重要、最常用的指标。
方差是各个数据与其算术平均数的离差平方和的平均数，通常以σ2表示。
方差的计量单位和量纲不便于从经济意义上进行解释，所以实际统计工作中多用方差的算术平方根——标准差来测度统计数据的差异程度。
标准差又称均方差，一般用σ表示。
方差和标准差的计算也分为简单平均法和加权平均法，另外，对于总体数据和样本数据，公式略有不同。
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方差的计算公式
设总体方差为σ2，对于未经分组整理的原始数据，方差的计算公式为：
对于分组数据，方差的计算公式为：
方差的平方根即为标准差，其相应的计算公式为：
未分组数据：
分组数据：
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样本方差和标准差
样本方差与总体方差在计算上的区别是：总体方差是用数据个数或总频数去除离差平方和，而样本方差则是用样本数据个数或总频数减1去除离差平方和，其中样本数据个数减1即n－1
称为自由度。
设样本方差为，根据未分组数据和分组数据计算样本方差的公式分别为：
未分组数据：
分组数据：
未分组数据：
分组数据：
例:考察一台机器的生产能力，利用抽样程序来检验生产出来的产品质量，假设搜集的数据如下：
根据该行业通用法则：如果一个样本中的14个数据项的方差大于0.005，则该机器必须关闭待修。
问此时的机器是否必须关闭？
解：根据已知数据，计算
因此，该机器工作正常。
方差和标准差也是根据全部数据计算的，它反映了每个数据与其均值相比平均相差的数值，因此它能准确地反映出数据的离散程度。
方差和标准差是实际中应用最广泛的离散程度测度值。
∙函数VAR假设其参数是样本总体中的一个样本。
如果数据为整个样本总体，则应使用函数VARP来计算方差。
∙参数可以是数字或者是包含数字的名称、数组或引用。
∙逻辑值和直接键入到参数列表中代表数字的文本被计算在内。
∙如果参数是一个数组或引用，则只计算其中的数字。
数组或引用中的空白单元格、逻辑值、文本或错误值将被忽略。
∙如果参数为错误值或为不能转换为数字的文本，将会导致错误。
∙如果要使计算包含引用中的逻辑值和代表数字的文本，请使用VARA 函数。
∙函数VAR 的计算公式如下：
其中x 为样本平均值AVERAGE(number1,number2,…)，n 为样本大小。
示例
假设有10 件工具在制造过程中是由同一台机器制造出来的，并取样为随机样本进行抗断强度检验。
如果将示例复制到一个空白工作表中，可能会更容易理解该示例。
STDEV(number1,number2,...)
Number1,number2,...为对应于总体样本的 1 到255 个参数。
也可以不使用这种用逗号分隔参数的形式，而用单个数组或对数组的引用。
注解
∙函数STDEV 假设其参数是总体中的样本。
如果数据代表全部样本总体，则应该使用函数STDEVP来计算标准偏差。
∙此处标准偏差的计算使用“n-1”方法。
∙参数可以是数字或者是包含数字的名称、数组或引用。
∙逻辑值和直接键入到参数列表中代表数字的文本被计算在内。
∙如果参数是一个数组或引用，则只计算其中的数字。
数组或引用中的空白单元格、逻辑值、文本或错误值将被忽略。
∙如果参数为错误值或为不能转换为数字的文本，将会导致错误。
∙如果要使计算包含引用中的逻辑值和代表数字的文本，请使用STDEVA 函数。
∙函数STDEV 的计算公式如下：
其中x 为样本平均值AVERAGE(number1,number2,…)，n 为样本大小。
示例
假设有10 件工具在制造过程中是由同一台机器制造出来的，并取样为随机样本进行抗断强度检验。
如果将示例复制到一个空白工作表中，可能会更容易理解该示例。
如何复制示例
∙创建一个空白工作簿或工作表。
∙选择“帮助”主题中的示例。
不要选择行或列标题。
从“帮助”中选择示例
∙按Ctrl+C。
∙在工作表中，选择单元格A1，然后按Ctrl+V。
∙要在查看结果和查看返回结果的公式之间进行切换，请按Ctrl+`（重音符），或在“公式”选项卡上的“公式审核”组中，单击“显示公式”按钮。
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
11 A
强度
1345
1301
1368
1322
1310
1370
1318
1350
1303
1299
公式说明（结果）
=STDEV(A2:A11) 抗断强度的标准偏差(27.46391572)
∙函数VARP 假设其参数为样本总体。
如果数据只是代表样本总体中的一个样本，则使用函数VAR 计算方差。
∙参数可以是数字或者是包含数字的名称、数组或引用。
∙逻辑值和直接键入到参数列表中代表数字的文本被计算在内。
∙如果参数是一个数组
或引用，则只计算其中的数字。
数组或引用中的空白单元格、逻
辑值、文本或错误值将被忽略。
∙如果参数为错误值或为不能转换为数字的文本，将会导致错误。
∙如果要使计算包含引用中的逻辑值和代表数字的文本，请使用VARPA 函数。
∙函数VARP 的计算公式如下：
其中x 为样本平均值AVERAGE(number1,number2,…)，n 为样本大小。
方差和标准差是实际中应用最广泛的离散程度测度值。
I．样本总体中的一个样本：
1〉VAR =
2〉STDEV =
II．样本总体：
1〉VARP=
2〉STDEVP=
∙函数STDEVP 假设其参数为整个样本总体。
如果数据代表样本总体中的样本，应使用函数STDEV 来计算标准偏差。
∙对于大样本容量，函数STDEV 和STDEVP 计算结果大致相等。
∙此处标准偏差的计算使用“n”方法。
∙参数可以是数字或者是包含数字的名称、数组或引用。
∙逻辑值和直接键入到参数列表中代表数字的文本被计算在内。
∙如果参数是一个数组或引用，则只计算其中的数字。
数组或引用中的空白单元格、逻辑值、文本或错误值将被忽略。
∙如果参数为错误值或为不能转换为数字的文本，将会导致错误。
∙如果要使计算包含引用中的逻辑值和代表数字的文本，请使用STDEVPA 函数。
∙函数STDEVP 的计算公式如下：
其中x 为样本平均值AVERAGE(number1,number2,…)，n 为样本大小。
∙函数STDEV 假设其参数是总体中的样本。
如果数据代表全部样本总体，则应该使用函数STDEVP 来计算标准偏差。
∙此处标准偏差的计算使用“n-1”方法。
∙参数可以是数字或者是包含数字的名称、数组或引用。
∙逻辑值和直接键入到参数列表中代表数字的文本被计算在内。
∙如果参数是一个数组或引用，则只计算其中的数字。
数组或引用中的空白单元格、逻辑值、文本或错误值将被忽略。
∙如果参数为错误值或为不能转换为数字的文本，将会导致错误。
∙如果要使计算包含引用中的逻辑值和代表数字的文本，请使用STDEVA 函数。
∙函数STDEV 的计算公式如下：
其中x 为样本平均值AVERAGE(number1,number2,…)，n 为样本大小。
示例
假设有10 件工具在制造过程中是由同一台机器制造出来的，并取样为随机样本进行抗断强度检验。
如果将示例复制到一个空白工作表中，可能会更容易理解该示例。
相关系数
用统计函数中的CORREL函数,假设的两组数据为:A1:A10和B1:B10
在C1输入公式= CORREL(A1:A10,B1:B10)。