原(逆)命题和原(逆)定理
知识卡片-原命题与逆命题、原定理与逆定理
原命题与逆命题、原定理与逆定理
能量储备
●逆命题：在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，
那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
两个命题的条件与结论恰好相反，是互逆命题，当把前者叫做原命题时，后者叫做原命题的逆命题，反过来也成立．
●逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是证明是真命题，那么它也是一个定理，其中
一个定理称为另一个定理的逆定理.
●如果原命题是真命题，那么它的逆命题不一定是真命题；如果原命题是假命题，那么它
的逆命题不一定是假命题．
●任何命题都有逆命题，但不一定每个定理都有逆定理．
通关宝典
★基础方法点
1：写原命题的逆命题时，最好先将原命题改写成“如果……那么……”的形式，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论，再根据改写后的命题写出原命题的逆命题．
例：命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是
________________________________________________________________________．
解析：原命题可改写为“如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的对角线互相平分”，此命题的条件是“一个四边形是平行四边形”，结论是“这个四边形的对角线互相平分”，交换原命题的条件和结论的位置即可得到它的逆命题．
答案：对角线互相平分的四边形是平行四边形
★★易混易误点
蓄势待发
考前攻略
逆命题与逆定理，主要考查已知命题的逆命题或判断已知定理是否有逆定理，以填空题或选择题的形式呈现，难度不大．
完胜关卡。
2.4 逆命题和逆定理(解析版)
2.4 逆命题和逆定理（3）举出反例即可．【详解】（1）解：此命题的条件为：a=b，结论为：|a|=|b|；（2）此命题的逆命题为：如果|a|=|b|，那么a=b；（3）此命题的逆命题是假命题，当a,b为相反数时，它们的绝对值相等，但本身不相等，如a=2,b=―2时，|2|=|―2|，而2≠―2．【点睛】本题考查的是命题与定理，用到的知识点是真假命题的定义，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，交换命题的中题设和结论即为原命题的逆命题．考查题型二互逆定理4．下列说法正确的是（）A．任何命题都有逆命题B．任何定理都有逆定理C．真命题的逆命题一定是真命题D．定理的逆命题一定是真命题【答案】A【分析】利用逆命题、逆定理的知识对各项进行判断即可得到答案．【详解】解：A.任何命题都有逆命题，故A说法正确，符合题意；B.任何定理不一定有逆定理，故B说法错误，不符合题意；C.真命题的逆命题不一定是真命题，故C说法错误，不符合题意；D. 定理的逆命题不一定是真命题，故D说法错误，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了命题与定理，判断事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，经过推理论证的真命题叫定理，两个命题的题设与结论为互换的命题互为逆命题．5．下列定理中，没有逆定理的是（）A．同角的余角相等B．等腰三角形两个底角相等C．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等D．两直线平行，同旁内角互补【答案】A【分析】没有逆定理就是逆命题不正确的选项，逐一写出各选项的逆命题，判定即可．【详解】解：A、逆命题是余角相等的两个角是同一个角，不是逆定理；B、逆命题是有两个角相等的三角形是等腰三角形，是逆定理；C、到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，是逆定理；D、逆命题是同旁内角互补，两直线平行，是逆定理；故选A．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解这些命题的逆命题，然后判断其真假．6．下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，写出它的逆定理．(1)同旁内角互补，两直线平行．(2)三角形的两边之和大于第三边．【答案】(1)有，逆定理是：两直线平行，同旁内角互补(2)有，逆定理是：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形【分析】（1）先写出逆命题，再根据平行线的性质判断逆命题的真假，进而可得出结论；（2）先写出逆命题，再根据三角形的三边关系判断逆命题的真假，进而可得出结论．【详解】（1）解：逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，是真命题，故原定理有逆定理：两直线平行，同旁内角互补；（2）解：逆命题为：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形，是真命题，故原定理有逆定理：如果三条线段中，任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度，那么这三条线段能围成三角形．【点睛】本题考查了逆定理的定义、平行线的性质、三角形的三边关系，解答的关键是理解逆定理的定义：如果一个定理的逆命题被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理．∠ABC，∴∠CBD=12∴∠CBD=∠BCE，在△BCE和△CBD∠CBE=∠BCDBC=CB∠BCE=∠CBD棍EF，GD组成，D是EF的中点．寻找角的平分线时，需要调整位置，使得所分角的顶点O在GD上，同时保证T形分角仪的E，F两点正好落在所分角的两条边OA，OB上，此时OD就会平分∠AOB．为说明制作原理，请结合下边图形，用数学符号语言补全“已知”、“求证”，并写出证明过程．已知：如图，点E，F分别在∠AOB的边上，DG经过点O，__________，__________．求证：__________．证明：【答案】见解析【分析】根据题意，写出已知、证明、求证，根据垂直平分线的性质得出OE=OF，进而根据等腰三角形的性质得出OD平分∠AOB．【详解】已知：如图，点E，F分别在∠AOB的边上，DG经过点O，DG⊥EF，DE=DF（或D是EF的中点），求证：OD平分∠AOB（或∠AOD=∠BOD）．证明：∵DG⊥EF，DE=DF，∴DG垂直平分EF．∴OE=OF．∵DG⊥EF，点O在DG上，∴OD平分∠EOF．即OD平分∠AOB．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．11．如图，有如下四个论断：①AC∥DE；②DC∥EF；③CD平分∠BCA；④EF平分∠BED，请你选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个正确的数学命题并证明它．【答案】见解析【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论．【详解】已知：AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA，求证：EF平分∠BED．证明：如图所示，∵AC∥DE，∴∠BCA=∠BED，即∠1+∠2=∠4+∠5，∵DC∥EF，∴∠2=∠5，∵CD平分∠BCA，∴∠1=∠2，∴∠4=∠5，∴EF平分∠BED．【点睛】本题考查了命题与定理，平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．12．作图：已知直线l1∥l2∥l3，在三条直线上各取一个点作一个等边△ABC．操作：如图，在l1上取点A，D，在l3上取点E，作等边△ADE，DE交l2于点B；在l3上点E的左侧取点C，使CE＝BD，连接AC，BC，则△ABC即为所求的等边三角形．(1)完成作图并写出已知，求证；(2)证明△ABC为等边三角形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据题意作图即可；然后写出对应的已知和求证即可；（2）只需要证明△ACE ≌△ADB 得到AC ＝AB ，∠CAE ＝∠BAD ，再证∠CAE +∠EAB ＝∠BAD +∠EAB ＝60°，即∠CAB ＝60°，即可证明△ABC 为等边三角形．【详解】（1）解：如图，△ABC 即为完成的图形；已知：如图，已知直线l 1∥l 2∥l 3，在l 1上取点A ，D ，在l 3上取点E ，作等边△ADE ，DE 交l 2于点B ；在l 3上点E 的左侧取点C ，使CE ＝BD ，连接AC ，BC ．求证：△ABC 为等边三角形．（2）证明：由（1）得：∵△ADE 是等边三角形，∴AD ＝AE ，∠EAD ＝∠EDA ＝∠AED ＝60°，∵l 1∥l 2∥l 3，∴∠EAD ＝∠CEA ＝60°，∴∠AEC ＝∠EDA ，在△ACE 和△ADB 中，AD =AE ∠AEC =∠ADB BD =CE，∴△ACE ≌△ADB （SAS ），∴AC ＝AB ，∠CAE ＝∠BAD ，∴∠CAE +∠EAB ＝∠BAD +∠EAB ＝60°，∴∠CAB ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．【点睛】本题主要考查了作等边三角形，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，平行线的性质，写出一个命题的已知和求证，正确理解题意画出图形是解题的关键．13．写出定理“等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高线互相重合”的逆命题，并证明这个命题是真命题．逆命题：______．已知：______．求证：______．【答案】一边上的高线与这边对角的角平分线重合的三角形是等腰三角形；如图所示，AD⊥BC，AD是△ABC的角平分线；△ABC是等腰三角形；证明见解析．【分析】根据逆命题可直接进行解答，然后写出已知求证，进而根据三角形全等进行求证即可．【详解】解：由题意可得，原命题的逆命题为：一边上的高线与这边对角的角平分线重合的三角形是等腰三角形．这个命题是真命题．已知，如图所示：AD⊥BC，AD是△ABC的角平分线，求证△ABC是等腰三角形．证明如下：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠DAB=∠DAC，∵AD=AD，∴△ABD≌△ACD，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形．故答案为：一边上的高线与这边对角的角平分线重合的三角形是等腰三角形；如图所示，AD⊥BC，AD是△ABC的角平分线；△ABC是等腰三角形．【点睛】本题主要考查逆命题、全等三角形的性质与判定及等腰三角形的判定，熟练掌握逆命题、全等三角形的性质与判定及等腰三角形的判定是解题的关键．14．如图所示，AB，CD相交于点E，连接AD，BC，①∠A=∠C，②AD=CB，③AE=CE．以这三个式子中的两个作为命题的条件，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①．（1）在构成的三个命题中，真命题有________个；（2）请选择其中一个真命题加以证明．【答案】（1）2；（2）选择①②⇒③，见解析.【分析】（1）根据全等三角形的判定定理AAS ，ASA 即可判断；（2）选择①②⇒③，根据全等三角形的判定定理AAS ，得到ΔADE≌ΔCBE (AAS )，然后即可得到AE =CE .【详解】解：（1）①②⇒③，满足全等三角形判定定理AAS ，是真命题；①③⇒②，满足全等三角形判定定理ASA ，是真命题；②③⇒①，是SSA ，不能证明三角形全等，故不能得到①成立，是假命题；故答案为2；（2）选择①②⇒③．证明：在ΔADE 和ΔCBE 中，∠AED =∠CEB (对顶角相等)，∠A =∠C (已知)，AD =CB (已知)，∴ΔADE≌ΔCBE (AAS )．∴AE =CE （全等三角形的对应边相等）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，掌握、熟练运用全等三角形的证明方法证明全等是解题的关键.。
人教版八年级下册数学《原(逆)命题、原(逆)定理》
规律方法总结： 每一个命题都有逆命题，而一个定理 不一定有逆定理。定理和逆定理都是 真命题，而命题和逆命题却不一定是 真命题。
小结：本节课你学到了什么？
逆命题: 如果三角形三边a,b,c满足关系 a2 b2 c2 那么这个三角形是直角三角形
原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段 两端的距离相等。
逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段 的垂直平分线上。
原命题：角平分线上的点，到这个角的两边 距离相等。
逆命题： 到角两边距离相等的点，在这个 角的平分线上。
课堂练习
1、说出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题 （1）如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角 互余 （2）等边三角形的每个角都等于60°
(3)矩形的对角线相等
(4)两直线平行，同旁内角互补
2、举例说明下列命题的逆命题是假 命题：
（1）如果一个整数的个位数字是5， 那么这个整数能被5整除；
请同学们举出一些互逆命题，并思 考：是否原命题正确，它的逆命题 也正确呢？
说出下列命题的逆命题，ຫໍສະໝຸດ 些命题的 逆命题成立吗？ 1、两条直线平行，内错角相等。
内错角相等，两直线平行
2、如果两个实数相等，那么它们的绝对 值相等。
如果两个实数的绝对值相等，那么这两 个实数也相等
3、对顶角相等。 如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
17.2.1 原（逆）命题，原（逆）定理
学习目标
1.理解原命题、逆命题、逆定理 的概念。 2.理解定理、逆定理、互逆定理 的关系。
探究一：命题与逆命题
1、什么叫做命题？
可以判断真假的语句叫做命题。 2、什么叫做逆命题？ 命题的题设和结论正好是相反的， 像这样的两个命题称为互逆命题。 如果把其中一个叫做原命题，那么 另一个叫做它的逆命题。
人教版初中数学八年级下册 原(逆)命题原(逆)定理-“黄冈杯”一等奖
例4．说出命题“如果一个四边形是平行四边形，那么它的一条对角线把它分为两个全等三角形“的逆命题，判断这个命题的真假，并给出证明。幻灯片演示
注意：①用反例证明。（学生初次接触，教师必须强调）
②原命题正确，而它的逆命题不一定正确。源自四、小结：这节课我们学到了什么
①逆命题、逆定理的概念。
2、等腰三角形两底角相等。
如果三角形是等腰三角形，那么它的两底角相等。
如果三角形的两底角相等，那么它是等腰三角形。
两角相等的三角形是等腰三角形。
4、角平分线上的点到角两边的距离相等。
1）如果一个点在角的角平分线上，那么这个点到角两边的距离相等。
2）如果一个点到角两边距离相等，那么这个点在叫的角平分线上。
学情分析
学生比较容易会识别两个命题是不是互逆命题，会在简单情况下写出一个命题的逆命题，但如何写“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”逆命题以及证明逆命题为真的表述都有些难度。通过本课的教学活动，再次让学生感受我们常常从正、反两个方面来研究某一个问题，这种研究思路使我们可以对一件事物的认识得以深化，也是我们发现新性质、新结论常经的途径，同时这样的研究方法有利于培养学生的逆向思维和发展思维的批判性、深刻性等品质。
思考:所有的命题都有逆命题
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，
所以每个命题都有逆命题。
二、写出逆命题的步骤：
1、把原命题写成:“如果题设，那么结论的形式”。
2、确定命题的题设和结论。
3、形成逆命题的形式：“如果原命题的结论，
那么原命题的题设”。
4、整理句子，确定逆命题。
例1写出下列命题的逆命题
教学重难点
重点
会识别两个命题是不是互逆命题，会在简单情况下写出一个命题的逆命题，了解原命题成立，其逆命题不一定成立．
人教版八年级下册数学 原(逆)命题、原(逆)定理
a2c2 b4 a4 b2c2，试判断△ABC的形状.
解：由题意得：(a+b)(a-b)(a2+b2-c2)=0，∴a-b=0或a2+b2-c2=0. 当a=b时，△ABC为等腰三角形; 当a≠b时，△ABC为直角三角形.
收获与疑惑：
01我们把题设和结论正好相反的两命题 叫做互逆命题。
02一般的，如果一个定理的逆命题经过证 如果三角形明的是三正边确长的a、，b那、么c,它满也足是一个定理，称，这那 么这个三角两形个是定直理角互三为角逆形定。理。
每一个命题是否都有逆命题？ 任何一个定理都有逆定理吗？
归纳:互逆定理
1)两条直线平行，内错角相等；
内错角相等，两直线平行。 性质和判定
2)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
在角的内部，角平分线上的点到两边的距离相等。
3)如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,
斜边长为c，那么
。
如果三角形的三边长a、b、c,满足 角形是直角三角形。
（4）在角的内部，到角的两边距离相等的点在角
的平分线上。
（3）如果两个三角形的对应角相等， 那么这两个三角形是全等三角形。
（4）在角的内部，角平分线上的点到两边 的距离相等
例2：如果直角三角形的两条直角边长分别是
a,b,斜边长为c，那么
。下面
哪句话能与勾股定理凑成一对互逆命题呢？
A. 如果直角三角形的三边满足 长分别为a，b,斜边长为c。
原（逆命题） 原（逆定理）
学习目标:
温故知新
判断一件事情的语句，叫做 命题 。 命题由 题设和 结论 两部分组成。 有些命题的题设和结论不明显，要经过分析 才能找到，从而将命题改写成 “如果 …那么 …”的形式。 题设成立，结论也一定成立的命题叫真命题。 题设成立，结论不一定成立的命题叫 假命题。
人教版初中数学八年级下册《原(逆)命题、原(逆)定理》
讨论与探究
判断下列命题的真假.
命题 题设
——原（逆）定理
结论
命题真假
两直线平行, 同位角相等. 同位角相等， 两直线平行. 如果a>0,b>0, 那么a+b>0. 如果a+b>0, 那么a>0,b>0.
两直线平行 同位角相等 a>0,b>0 a+b>0
同位角相等 两直线平行
真 真 真
a+b>0 a>0,b>0
知识 互逆 命题 互逆 定理 关键总结 原命题① 题设 逆命题② 结论 结论 题设
互 逆 命 题
注意事项 任何一个命题都有 逆命题 不是所有的定理都 有逆定理
定理的逆命题是真命题时 才称之为互逆定理
巩固与练习
——展开联想的翅膀
作
业
1.总结我们学过的定理，写出这些定理的 逆命题并判断其真假.
2.试证明勾股定理的逆命题，判断其是否
真不 命一 题定 的是 逆真 命命 题题
应用与练习
——知识转化为能力
2、下列说法正确的是( B ) A．每个定理都有逆定理 B．每个命题都有逆命题 C．原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题 D．真命题的逆命题是真命题
应用与练习
——知识转化为能力
3、下列命题中,其逆命题是真命题的是(
A.同旁内角互补，两直线平行；
互 逆 命 题
互 逆 命 题
想一想：任何一个命题都有逆命题吗？
应用与练习
——知识转化为能力
说出下列命题的逆命题.
(1)如果a＞b,那么a²＞b² . (2)如果|a|=|b|,那么a=b. 如果a2＞b2,那么a＞b.
19.3 命题和逆定理(解析版)
19.3 命题和逆定理1.知道原命题、逆命题、互逆命题、逆定理、互逆定理的含义2.会写一个命题的逆命题，并会证明它的真假3.知道每一个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆定理知识点一 互逆命题、原命题、逆命题1.概念在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做它的逆命题(1)原命题与逆命题是相对的,每个命题都有逆命题.(2)原命题是真命题,逆命题不一定是真命题;原命题是假命题，逆命题不一定是假命题拓展:符号语言表示原命题:如果p,那么q;逆命题:如果q,那么p.2.方法写原命题的逆命题时,首先要分清这个命题的题设和结论，最好先将原命题改写成“如果…,那么…”的形式，“如果”引出的部分是题设，“那么”引出的部分是结论，再根据改写后的命题写出原命题的逆命题.即学即练1（2022秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）A ．直角三角形的两个锐角互余B ．两直线平行，内错角相等C ．三条边对应相等的两个三角形是全等三角形D ．若x y =，则22x y =【答案】D【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可．【详解】解：A 、逆命题为两角互余的三角形是直角三角形，正确，是真命题，不符合题意；B 、逆命题为内错角相等，两直线平行，正确，是真命题，不符合题意；如果一个定理的逆命题经过证明也是定理,那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理B、逆命题是：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，是真命题，故本选项不符合题意；C、逆命题是：如果三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，是真命题，故本选项不符合题意；D、逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角，是假命题，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了互逆定理的知识，如果一个定理的逆命题是假命题，那这个定理就没有逆定理．即学即练2（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）下列定理中，没有逆定理的是（）A．两直线平行，同旁内角互补；B．两个全等三角形的对应角相等C．直角三角形的两个锐角互余；D．两内角相等的三角形是等腰三角形【答案】B【分析】先写出各选项的逆命题，判断出其真假即可解答．【详解】A．其逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”，正确，所以有逆定理；B．其逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”，错误，所以没有逆定理；C．其逆命题是“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，正确，所以有逆定理；D．其逆命题是“等腰三角形的两个内角相等”，正确，所以有逆定理．故选B．【点睛】本题考查了命题与定理的区别，正确的命题叫定理．例2（2023秋·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期末）下列定理中，如果其逆命题是真命题，那么这个定理是（）A．对顶角相等B．直角三角形的两个锐角互余C．全等三角形的对应角相等D．邻补角互补【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，可得答案．【详解】解：∵“如果22a b=．”=，那么a＝b”的逆命题是“如果a＝b，那么22a b∴“如果22=，那么a＝b”的逆命题是真命题，a b故答案为：真．【点睛】本题考查了命题与定理，主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．一、单选题1．（2023春·上海嘉定·八年级校考开学考试）下列命题的逆命题是假命题的是（）A．同位角相等，两直线平行B．在一个三角形中，等边对等角C．全等三角形三条对应边相等D．全等三角形三个对应角相等【答案】D【分析】先写出原命题的逆命题，然后判断真假即可解答．【详解】解：A、逆命题为两直线平行，同位角相等，正确，为真命题；B、逆命题为：在一个三角形中等角对等边，正确，是真命题；C、逆命题为：三条边对应相等的三角形全等，正确，是真命题；D、逆命题为：三个角对应相等的三角形全等，错误，为假命题，故选：D．【点睛】本题主要考查了命题与定理的知识，能够正确的写出原命题的逆命题是解题的关键．2．（2022秋·上海黄浦·八年级校联考阶段练习）下列命题中，逆命题是假命题的是（ ）A．等边三角形的三个内角都等于60°B．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应角相等C．如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等D．相等的两个角是对顶角【答案】B【分析】先分别确定各命题的逆命题，再判断真假即可．【详解】A选项的逆命题是“三个内角都等于60°的是等边三角形”，是真命题，所以不符合题意；题意；C 、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，不符合题意；D 、若0a >，0b >，则0a b +>的逆命题是若0a b +>，则0a >，0b >，逆命题是假命题，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是正确的写出一个命题的逆命题，难度不大．5．（2022秋·上海·八年级专题练习）下列命题中,其逆命题是真命题的命题个数（ )(1)全等三角形的对应角相等; (2) 对顶角相等; (3) 等角对等边;(4)两直线平行,同位角相等; (5)全等三角形的面积相等;A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假．【详解】（1）逆命题是：三个角对应相等的两个三角形全等，错误；（2）逆命题是：相等的角是对顶角，错误；（3）逆命题是等边对等角，正确；（4）逆命题是同位角相等，两条直线平行，正确；（5）逆命题是面积相等，两三角形全等，错误．故选：B ．【点睛】本题主要考查了逆命题的定义及真假性，学生易出现只判断原命题的真假，也就是审题不认真，难度适中．【答案】见解析【分析】由角的和差关系可得∠CPB=∠DPA，由中点的定义可得BP=AP，利用SAS可证明△APD≌△BPC，根据全等三角形的性质即可得结论．【详解】∵∠1＝∠2，∴∠1+∠CPD=∠2+∠CPD，即∠CPB=∠DPA∵P是线段AB的中点，∴BP=AP，在△APD和△BPC中，BP APCPB DPA PC PD=ìïÐ=Ðíï=î，∴△APD≌△BPC，∴∠C=∠D．【点睛】本题考查中点的定义及全等三角形的判定与性质，判定三角形全等的常用方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL等，注意：SSA、AAA不能判定两个三角形全等，利用SAS时，角必须是两边的夹角；熟练掌握并灵活运用全等三角形的判定定理是解题关键．14．（2022春·上海·八年级专题练习）如图，在Y ABCD中，E为对角线AC延长线上的一点．(1)若四边形ABCD是菱形，求证：BE＝DE.(2)写出(1)的逆命题，并判断其是真命题还是假命题，若是真命题，给出证明；若是假命题，举出反例．【答案】见解析【详解】试题分析：（1）根据“菱形ABCD的对角线互相垂直平分”的性质推知OE是△BDE 的边BD上的中垂线，结合角平分线的性质可知△DEB为等腰三角形；（2）（1）的逆命题是“若BE=DE，则四边形ABCD是菱形”．根据平行四边形ABCD的对角线相互平分知OD=OB，结合角平分线的性质推知OE是BD的中垂线，即平行四边形ABCD 的对角线互相垂直．试题解析：（1）连接BD，交AC于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，且BO=OD.又∵E是AC延长线上的一点，∴EO是△BDE的边BD的中垂线，∠DEB的角平分线，∴△DEB是等腰三角形，∴BE=DE；（2）（1）的逆命题是“若BE=DE，则四边形ABCD是菱形”，它是真命题，理由如下：∵平行四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，∴BO=OD.又∵BE=DE∴EO⊥BD，即AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．。
23原命题、逆命题
【考点精讲】原命题、逆命题：如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个命题叫做原命题，另一个叫做它的逆命题。
命题经过证明是正确的，我们称为定理，若该命题的逆命题经过证明也是正确的，它也是一个定理，我们把这两个定理叫做互逆定理。
注意：一个原命题是正确的，但它的逆命题不一定是正确的。
例如“对顶角相等”是一个真命题，但它的逆命题“相等的角是对顶角”则是一个假命题。
【典例精析】例题1（广西桂林中考）下列命题的逆命题不正确的是（）A. 直角三角形的两个锐角互余B. 两直线平行，内错角相等C. 等腰三角形的两个底角相等D. 对顶角相等思路导航：先写出各选项命题的逆命题，再根据平行线、对顶角、等腰三角形及直角三角形的性质和判定逐个判断各个逆命题的正确性。
答案：∵命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是：两个锐角互余的三角形是直角三角形的，是正确的，∴A选项不符合题意；∵命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题是：内错角相等，两直线平行，是正确的，∴B选项不符合题意；∵命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是：有两个角相等的三角形是等腰三角形，是正确的，∴C选项不符合题意；∵命题“对顶角相等”的逆命题是：相等的角是对顶角，是错误的，∴D选项符合题意；故选D。
点评：要判定命题的逆命题是否正确，关键是要能正确写出每个命题的逆命题；把命题的题设与结论部分交换位置就得到这个命题的逆命题。
例题2已知下列命题：①若a≤0，则｜a｜＝－a；②若ma2>na2，则m>n；③若a2＝b2，则a＝b；④同位角相等。
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个思路导航：根据题目要求，先判断每个命题的真假，再构造真命题的逆命题，然后逐个判断逆命题的真假。
答案：①②命题的原命题均为真命题，①的逆命题为：若｜a｜＝－a，则a≤0，也为真命题；②的逆命题为：若m>n，则ma2>na2，是假命题，当a＝0时，结论就不成立；③本身就是假命题，a和b也可能是互为相反数；但③的逆命题是若a＝b，则a2＝b2，是真命题；④是假命题，只有当两直线平行时，同位角相等，所以为假命题。
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2.如果两个命题的题设、结论正好相反，那么这样的两个命题叫做命题，若把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的命题。例如：
①原命题：若a＝b,则a2＝b2；逆命题：.（正确吗？）
②原命题：对顶角相等；逆命题：.（正确吗？）
由此可见：原命题正确，它的逆命可能也可能，正确的命题叫真命题，不正确的命题叫假命题
探究活动：
1、怎样判定一个三角形是直角三角形？
2、下面的三组数分别是一个 三角形的三边长a.b.c
5、12、13 7、24、25 8、15、17
（1）这三组数满足 吗？
（2）分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
猜想命题2：如果三角形的三边长 、 、 ，满足 ，那么这个三角形是 三角形
2、练习册相关习题。
教学反思
勾股定理的逆定理及其应用。
学习难点
勾股定理的逆定理的证明。
授课类型
新授课
课时
教具学具ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
学习活动
修改意见
一、复习导入
1、勾股定理：直角三角形的两条的平方等于的，即.
2、填空题：
（1）在Rt△ABC， ∠C=90°， 8， 15，则 。
（2）在Rt△ABC，∠B=90°， 3， 4，则 。（如图）
3、直角三角形的性质
（4）在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
3、以下列各组线段为边长，能构成三角形的是，能构成直角三角形的是．（填序号）
①3，4，5②1，3，4③4，4，6④6，8，10
⑤5，7，2⑥13，5，12⑦7，25，24
四、课堂小结
本节课你的收 获是什么？还有哪些疑问 ？
五、布置作业
1、教材第34页习题17.2第1、2题。
由此得到勾股定理逆定理：。
（具体证明过程阅读教材第32页。）
三、课堂练习
1 、判断由线段 、 、 组成的三角形是不是直角三角形：
（1） ；（2） ．
2、说出下列命题的逆命题．这些命题 的逆命题成立吗?
（1）两条直线平行，内错角相等．
（2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．
（3）全等三角形的对应角相等．
（ 1）有一个角是；（2）两个锐角；
（3）两直角边的平方和等于斜边的平方：；
（4）在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的边是边 的一半．
二、合作探究
1、猜想：如果三角形的三边长 、 、 ，满足 ，那么这个三角形是三角形。这个猜想的题设是：，结论是：____________________________________。
逊让乡中心学校学教案设计
年级：八年级科目：数学主备人：李海荣辅备人：祁学忠姚文举
课题
17.2勾股定理逆定理（1）
授课人
李海荣
学习目标
1、了解勾股定理的逆 定理的证明方法和过程；m
2、理解互逆命题、互逆定理、勾股数的概念及互逆命题之间的关系；
3、能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角 形。
学习重点