浙教版初中数学八年级上册 2.7 探索勾股定理
2.7探索勾股定理课件-2024-2025学年浙教版八年级数学上册
3.通过构建模型等,应用勾股定理知识解决简单的生活实际问题，丰富数学活动经
验,发展推理能力及分析问题、解决问题的能力.
任务一 从特殊到一般，猜想直角三角形三边之间的关系
相传 2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家
用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系。现在，让我们
为什么?
2.如图,学校有一个长方形花园,有极少数
人为了避开拐角而走“捷径”,在花园内
走出了一条“路”.他们仅仅少走了几步
路(假设2步为1 m)却踩伤了花草?
课堂小结
本节课你在探索勾股定理的过程中，你有哪些收获（惑）？
（知识方面、思想方法、推理论证、问题解决等）
课外实验探究
实践作业1 尝试用正方形纸片折“2002年国际数学家
从特殊到一般
推理
猜想
任务二 数形结合，推理论证直角三角形三边之间的关系
问题3：如何推理论证上面的猜想？
活动要求：利用手中的卡片，通过割、补、拼、画等方式推理证明勾股定理，尽
可能用不同方法，有困难同学可小组合作探究，时间10分钟。
画出图形：
验证猜想：
任务二 从特殊到一般，探寻一般直角三角形三边之间的关系
一同回到 2500 年前，探寻一下地砖理到底藏着什么秘密？
A
C
B
任务一 从特殊到一般，猜想直角三角形三边之间的关系
问题1：情境中的等腰直角三角形，三边长之间具有怎样的数量关系？
从特殊到一般
任务一 从特殊到一般，猜想直角三角形三边之间的关系
问题2：等腰三角形是特殊的直角三角形，类比上面的探究方法（数格子），
2.如图,由于台风的影响,一棵树在离地面6m处齐刷刷折断,树顶落在离树干
浙教版数学八年级上册2.7《探索勾股定理》教学设计
浙教版数学八年级上册2.7《探索勾股定理》教学设计一. 教材分析《探索勾股定理》是浙教版数学八年级上册2.7节的内容，主要介绍了勾股定理的证明和应用。
本节内容是在学生已经掌握了相似三角形、全等三角形和勾股定理的初步知识的基础上进行学习的。
教材通过引导学生探索勾股定理的证明，让学生更深入地理解勾股定理，并能够运用勾股定理解决实际问题。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对三角形的相关知识有一定的了解。
但是，对于证明勾股定理的深层次理解还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过实践探索，加深对勾股定理的理解。
三. 教学目标1.理解勾股定理的证明过程，掌握勾股定理的应用。
2.培养学生的探索精神和合作意识。
3.提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.重难点：勾股定理的证明过程。
2.难点：如何引导学生探索并理解勾股定理的证明过程。
五. 教学方法1.引导探究法：通过引导学生探索勾股定理的证明过程，让学生加深对勾股定理的理解。
2.小组合作法：在探索过程中，采用小组合作的方式，培养学生的合作意识。
3.实例讲解法：通过具体实例，讲解勾股定理的应用，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
六. 教学准备1.教具准备：多媒体课件、黑板、粉笔。
2.学具准备：每人一份勾股定理的证明材料，一份练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件，展示勾股定理的应用场景，引导学生思考勾股定理的意义和重要性。
2.呈现（10分钟）呈现勾股定理的证明过程，引导学生观察和思考，让学生尝试自己证明勾股定理。
3.操练（10分钟）学生分组合作，根据呈现的证明过程，自己动手操作，尝试证明勾股定理。
4.巩固（10分钟）学生分组讨论，总结证明勾股定理的方法和步骤，加深对勾股定理的理解。
5.拓展（10分钟）利用实例，讲解勾股定理在实际问题中的应用，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的学习内容，加深对勾股定理的理解。
2.7 探索勾股定理(1)浙教版八年级数学上册课件
解得x=10，
∴E站应建在距A站10km处．
达标测评
1.下列几组数据：（1）8，15，17； （2）7，12，15；（3）12，
15，20；（4）7，24，25．其中是勾股数组的有几组（ B ）
A．1 B．2 C．3
D．4
解：（1）∵82+152=64+225=289，172=289，
探索勾股定理
——第一课时
浙教版
八年级上
学习目标
1.了解拼图验证勾股定理的方法；
2.掌握勾股定理，会利用两边边长求直角三角形的另一边长；
3.会利用勾股定理解决实际问题．
观看下面图片
华罗庚教授建议向外
B
C
太空发射与外星人联
系的图案
A
合作学习
你知道这三个正方形的
面积分别是多少吗 ？
三个正方形A，B，C的面积之
C
A
A
a
图1
a
C
B
图2
合作学习
大正方形的面积:c²
小正方形面积:（b-a）²
阴影部分面积:4× ab
1
2
它们之间的关系是： c 4 ab (b a )
2
2
化简得： a2+b2=c2
直角三角形三边有下面的关系：
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
讲解新知
勾股定理： 直角形三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
A
∴AB=130（mm）
答：两孔中心A,B之间的距离
90
B
C
40
为130mm
160
即时演练
m
铁路上A、B两站（视为直线上两点）相距25km，C、D为
2.7 探索勾股定理八年级上册数学浙教版
2.7 探索勾股定理
学习目标
1.掌握勾股定理，了解勾股定理的证明过程.
2.会用勾股定理解决简单的几何问题和实际问题.
3.掌握勾股定理的逆定理.
4.会应用勾股定理的逆定理来判定直角三角形.
知识点1 勾股定理 重点
勾股定理
几何语言
变式
应用Βιβλιοθήκη 图示直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
考点2 利用勾股定理的逆定理解决实际问题
典例5 （2021·玉林中考）如图，某港口 位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点 ， 处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西 方向航行，则乙船沿____________方向航行.
典例1 在 中, ， ， 的对边长分别为 ， ， .
（1） 若 ， , ，求 ；
解：（1） ， , ，由勾股定理，得 . ， .
， , .由勾股定理，得 ,解得 （ 舍去）. .
（2） 若 ， , ,求 ；
（3） 若 ， ，求 .
（3）当 是斜边长时，由勾股定理，得 . ， .当 是直角边长时，由勾股定理，得 . ， .综上, 或 .
由图（1）得大正方形的面积 ,由图（2）得大正方形的面积 ,联立两式易得 .
续表
古印度的“无字证明”，单靠移动几个图形就直观地验证了勾股定理
典例2 一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启发人们发现了勾股定理的一种验证方法.如图所示，火柴盒倒下后，它的一个侧面 到了四边形 的位置，连结 ， ， ，设 ， ， .请利用四边形 的面积验证勾股定理： .
北偏东
解析：由题意可知, 海里， 海里， 海里. ， 是直角三角形，且 .由题意知 ， ，即乙船沿北偏东 方向航行.
2.7 探索勾股定理第1课时 勾股定理 浙教版数学八年级上册课件
2.如图，由四个全等的直角三角形及一个小正方形组成一 个大正方形，已知直角三角形的短直角边长为3，小正方 形的面积为1，则大正方形的面积为（ B ）
A. 4 B. 25 C. 6
D. 24
应用勾股定理，由直角三角形任意两边的长度，可 以求出第三边的长度.
例2.如图，长方形OABC的边OA长为2，AB长为1，OA在 数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交 正半轴于一点，求这个点表示的实数.
解：
例3.如图，为了求出位于湖两岸的点A、B之间的距离， 一名观测者在点C设桩，使△ABC恰好为直角三角形.通过 测量，得到AC的长为160米，BC的长为128米.问从点A穿 过湖到点B有多远？
分析：直角三角形的短直角边长为3， 长直角边为3+1=4，则斜边为5. 大正方形的面积为52 =25.
3.丽丽想知道学校旗杆的高，她发现旗杆顶端上的绳子垂
直到地面还多2米，当她把绳子的下端拉开离旗杆6米后，
发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（ B ）
A.4米
B.8米
C.10米
D.12米
分析：设旗杆的高为x米，则绳子的长为(x+2)米， 根据题意得：x2+62= (x+2)2， 解得x=8.
概括 一般地，直角三角形的三条边长有下面的关系： 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
如果a，b为直角三角形的两条直角边的长，c为斜边的 长，则
a2+b2=c2.
我国古代把直角三角形中较短的直
角边称为“勾”，较长的直角边称
为“股”，斜边称为“弦”.
2.7探索勾股定理-浙教版八年级数学上册教案
探索勾股定理-浙教版八年级数学上册教案一、教学目标1.了解直角三角形及其特殊性质。
2.了解勾股定理及其应用。
3.能够利用勾股定理求解直角三角形的边长及面积。
4.能够应用勾股定理解决实际问题。
二、教学重点和难点1.教学重点：勾股定理及其应用。
2.教学难点：如何应用勾股定理解决实际问题。
三、教学过程3.1 概念1.引入：让学生观察三角形ABC，找出其中的直角三角形。
2.介绍直角三角形及其特殊性质。
3.定义勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即a2+b2=c2。
3.2 探索勾股定理1.实验1：在正方形纸上，先画一条线段，再从这条线段的一个端点垂直于它作出一条线段，将这两条线段分别标为a和b，然后把它们剪下来，粘在直角三角形的两条直角边上，并将斜边边长c也剪下来，粘在直角三角形的斜边上。
接着，将剩余部分加上这三段长度比较，看看是否符合勾股定理。
2.实验2：分别选取棱长为3 cm、4 cm、5 cm的正方体，并构成三个直角三角形，尝试是否符合勾股定理。
3.3 勾股定理的应用1.应用勾股定理求直角三角形的边长和面积。
2.练习：小明从自家出发，走了3 km到一家房产中介公司，然后沿路向南15度的方向走了4 km找了一处房子，最后又从房子出发向东走了2 km回到家中。
请问小明家和他找到的房子的距离有多远？3.4 总结1.总结直角三角形及其特殊性质。
2.总结勾股定理的定义和应用。
四、作业1.完成课后练习。
2.思考如何用勾股定理解决其他实际问题。
五、教学反思本节课的教学重点在于勾股定理的应用。
通过实验和练习，学生能够更好地理解勾股定理的含义，并能够将所学知识应用到实际问题中。
在教学中，我也通过不同形式的练习，激发学生的积极性，提高课堂效果。
浙教版八年级数学上册课件：2.7 探索勾股定理 (共11张PPT)
坚持做好每个学习步骤
合作探究
探究一：利用勾股定理求边长
已知直角三角形的两边长分别为3、4， 求第三边长的平方． 解：（1）当两直角边为3和4时，第三边 长的平方为25；
（2）当斜边为4，一直角边为3时，第三 边长的平方为7．
合作探究
探究二：利用勾股定理求图形面积 1．求出下列各图中阴影部分的面积．
225
0.36 0.64 (1)
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师 的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此 外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经 常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。 谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话” 两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师 的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法， 肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做 的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试 成绩就否定自己。高三的几次模拟考试中，她的 成绩一直稳定在年级前5名左右。
144
2 1
(2)
（3）
交流小结
课后作业
• 1.课本《复习题》． • 2.一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面 如图所示．正方形DEFH的边长为2 m，坡 角∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝6 m．当 正方形DEFH运动到什么位置，即当AE＝ m时，有DC2＝AE2＋BC2．
语文
小魔方站作品 盗版必究
教学课件
数学 八年级上册 浙教版
第2章 特殊三角形
2.7 探索勾股定理
情境引入
勾股定理，我们把它称为世界第一定理． 首先，勾股定理是数形结合的最典型的代 表； 其次，正是由于勾股定理得发现，导致无 理数的发现，引发了数学的第一次危机，这一 点，我们将在《实数》一章里讲到； 第三，勾股定理中的公式是第一个不定方 程，有许许多多的数满足这个方程，也是有完 整的解答的最早的不定方程，最为著名的就是 费马大定理，直到1995年，数学家怀尔斯才将 它证明．
浙教版数学八年级上册2.7《探索勾股定理》教案
浙教版数学八年级上册2.7《探索勾股定理》教案一. 教材分析《探索勾股定理》是浙教版数学八年级上册第2.7节的内容。
本节内容是在学生已经学习了平面直角坐标系、相似三角形等知识的基础上，引导学生通过探索、发现、验证勾股定理，培养学生的逻辑思维能力和探索精神。
教材通过丰富的情境和实例，激发学生的学习兴趣，让学生在探究中掌握勾股定理，体验数学的乐趣。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于平面直角坐标系、相似三角形等概念有一定的了解。
但是，对于勾股定理的证明方法和证明过程可能较为陌生。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知水平，引导学生通过实际操作、观察、思考、交流等方式，逐步理解和掌握勾股定理。
三. 教学目标1.理解勾股定理的含义，掌握勾股定理的证明方法。
2.培养学生的观察能力、操作能力、推理能力、交流与合作能力。
3.激发学生对数学的兴趣，感受数学的趣味性和魅力。
四. 教学重难点1.重点：勾股定理的理解和证明方法的掌握。
2.难点：如何引导学生发现和证明勾股定理。
五. 教学方法1.情境教学法：通过丰富的实例和情境，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与探索。
2.操作教学法：让学生通过实际操作，观察、分析、推理，发现和证明勾股定理。
3.交流讨论法：鼓励学生之间进行交流、讨论，培养学生的合作能力和表达能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作涵盖勾股定理的定义、证明方法、实例等内容的PPT。
2.教学素材：准备一些勾股定理的相关实例和图片，用于引导学生观察和思考。
3.学生活动材料：准备一些三角形模型、直尺、三角板等，供学生实际操作。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些生活中的勾股定理实例，如房屋建筑、家具设计等，引导学生关注勾股定理在生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）介绍勾股定理的定义，引导学生了解勾股定理的基本概念。
3.操练（10分钟）学生分组进行实际操作，使用三角板、直尺等工具，尝试构造三角形，并测量其边长，验证勾股定理。
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2.7 探索勾股定理(2) 教案
教学任务分析
教学过程设计
B ’ Ａ B
C A ’ C ’ D
B
A
C
2.如果△ABC 满足AC 2+BC 2=AB 2，那么
这个三角形是不是直角三角形?
[活动2] 理论释意
已知：如图在△ABC 中，AC=a ，BC=b ，AB=c ，
a 2+
b 2=
c 2．
求证：△ABC 是直角三角形．
[活动3] 例1、根据下列条件，分别判断以a ，b ，c 为边的三角形是不是直角三角形
（1）a ＝7，b ＝24，c ＝25
（2）a ＝ ，b ＝1，c ＝
牛刀小试 ：1、根据下列条件，判断下面以a 、b 、c 为边的三角形是不是直角三角形？ (1) a =20，b=21，c=2 (2) a =5，b=7，c=8 (3)
2、如图，四边形ABCD 中，AB ＝3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD 的面积．
学生结合活动1的体验，
独立思考问题1，在此基础上，
通过小组交流、讨论，说出问
题2的证明思路．
教师提出问题，并适时诱导，指导．
学生完成活动2的证
明．之后，归纳得出勾股定理
的逆定理．在此基础上，类比定理与逆定理的关系． 在活动2中教师应重点
关注： （1）学生能否联想到
了全等，进而设法构造全等三
角形，这一问题获解的关键； （2）学生在活动2中，所表
现出来的构造直角三角形的
意识；
（3）数形结合的意识和由特
殊到一般的数学思想方法；
学生说出例1（1）的判
断思路，部分学生演板问题2，剩下的学生在课堂作业本上完成．
教师板书例1的详细解答过程，并纠正学生在练习中出现的问题，最后向学生介绍勾股数的概念．
在活动3、4中教师应重点关注：
（1）学生的解题过程是否规
范；
（2）是不是用两条较小边长的平方和与较大边长的平方进行比较；
“命题+证明=定理”的推理模式为定理的发生、发展、形成的探究过程，把“构造直角三角形”这一方法的获取过程交给学生，让他们在不断的尝试、探究的过程中，亲身体验参与发现的愉悦，有效地突破本节的难点．
进一步熟悉和掌握勾股定理的逆定理及其运用，理解勾股数的概念，突出本节的教学重点．
2c b a ===,3,732
教学设计说明
本节课是安排在勾股定理之后，主要内容包括，勾股定理的逆定理及其应用、互逆命题（定理）及勾股数的概念，其中前者是重点，勾股定理的逆定理的证明是难点．勾股定理的逆定理既是对直角三角形的再认识，也是判断一个三角形是不是直角三角形（确定直角）的一种重要方法，除此以外，它还是向学生渗透“数形结合”这一数学思想方法的很好素材．作为一种数学模型，它在日常生活中（比如，测量等）也有着极其广阔的应用．考虑到勾股定理逆定理与勾股定理的互逆关系，在教学中，我们首先从勾股定理的反面出发，给出三组数据，让学生通过摆、画三角形的实践，并结合观察、归纳、猜想等一系列探究性活动，得出勾股定理的逆命题．如何突破“勾股定理的逆定理的证明”这一教学难点呢？我们又设计了一个由特殊到一般的探索、归纳过程，来凸现“构造直角三角形”这一问题转化的关键．对于勾股定理的逆定理应用的教学，充分利用课本提供的两道例题，着眼于“双基”和“应用”这两个层面，来突出本节的教学重点．
本节课立足于创新和学生可持续发展，把教学内容分解为一系列富有探究性的问题，让学生在解决问题的过程中经历知识的发生、发展、形成的过程，把知识的发现权交给学生，让他们在获取知识的过程中，体验成功的喜悦，真正体现学生是学习的主人，教师只是学习的参与者、合作者、引导者．在重视基础知识和基本技能的同时，更关注知识的形成过程及应用数学的意识．。