矩阵的判定条件汇总
矩阵的知识点总结
矩阵的知识点总结一、基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是一个由数字排成的矩形阵列。
它由m行n列的数域（通常是实数域或复数域）中的元素所组成，用A=(aij)m×n表示。
1.2 矩阵的分类按行、列的数量可以将矩阵分为行矩阵、列矩阵和方阵；按元素的类型可以分为实矩阵和复矩阵。
1.3 矩阵的转置矩阵A的转置记作A^T，其中A^T的行数等于A的列数，A^T的列数等于A的行数。
1.4 矩阵的秩矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大数目。
二、性质2.1 矩阵的加法性质设A、B是同一维数的矩阵，则它们的和A+B也是同一维数的矩阵，它的元素是A和B 对应元素的和。
2.2 矩阵的数乘性质设A是m×n的矩阵，k是数，则kA是m×n的矩阵，它的元素是k与A中对应元素的乘积。
2.3 矩阵的乘法性质设A是m×n的矩阵，B是n×p的矩阵，那么它们的乘积AB是m×p的矩阵。
2.4 矩阵的逆若存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵，则称B是A的逆矩阵，记作A^-1。
2.5 矩阵的行列式对于n阶方阵A，其行列式是一个标量，通常用det(A)或|A|表示，代表了矩阵A的某种代数性质。
三、运算3.1 矩阵的加法设A=(aij)m×n，B=(bij)m×n，那么A+B=(aij+bij)m×n。
3.2 矩阵的数乘设A=(aij)m×n，k是数，则kA=(kaij)m×n。
3.3 矩阵的乘法设A=(aij)m×n，B=(bij)n×p，那么AB=(cij)m×p，其中cij=∑(k=1→n)aij*bkj。
3.4 矩阵的转置对于n×m的矩阵A，它的转置矩阵是m×n的矩阵，且满足(a^T)ij=aji。
四、特殊矩阵4.1 方阵每个元素是一个标量的矩阵，其中行数和列数相等。
4.2 零矩阵所有元素都是零的矩阵。
矩阵的判定条件
关于矩阵正定的若干判别方法数学学院数学与应用数学（师范）专业 2010级赵明尖指导教师吴春摘要:矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念,研究矩阵的正定性一直都是矩阵分析领域中非常热门的课题。
本文主要讨论了矩阵的定义、性质以及正定性。
全文一共分为两章,第一章,主要阐述矩阵的正定性的定义以及性质；第二章,主要讨论了正定性矩阵的定义判别法和定理判别法。
关键词:正定矩阵；定义；性质；判定Abstract: The positive definiteness of matrix is an important concept in theory of the matrix, Studying positive definiteness of the matrix is always a very popular topic in the area of analysis of the matrix. We mainly discuss the definition, property and positive definiteness of matrix in this paper .The text is divided into two chapters, and the first chapter, we mainly expound the definition and property of the positive definiteness of the matrix; the second chapter, we mainly discuss discriminating method of the definition and the theorem of the positive definiteness of matrix.Key words: positive definiteness of the matrix；definition；property；discrimination1 引言代数学是数学中的一个重要分支，矩阵是高等代数中的重要组成部分，而正定矩阵在矩阵论中占有十分重要的地位。
高中数学矩阵知识点
高中数学矩阵知识点一、矩阵的定义矩阵是一个由数字排列成的矩形阵列，通常用大写字母表示，如A、B、C等。
在高中数学中，我们主要处理的是二维矩阵，即有行和列的矩阵。
二、矩阵的表示矩阵的元素可以用a_{ij}表示，其中i表示行号，j表示列号。
例如，矩阵A的第2行第3列的元素记作a_{23}。
三、矩阵的类型1. 零矩阵：所有元素都是0的矩阵。
2. 单位矩阵：主对角线上的元素为1，其余元素为0的方阵。
3. 对角矩阵：主对角线上的元素可以是任意数，其余位置为0的矩阵。
4. 行矩阵：行数为1的矩阵。
5. 列矩阵：列数为1的矩阵。
四、矩阵的加法和减法两个矩阵相加或相减，必须具有相同的行数和列数。
对应位置的元素相加或相减得到新的矩阵。
五、矩阵的乘法1. 两个矩阵相乘，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。
2. 乘积矩阵的元素c_{ij}由第一个矩阵的第i行与第二个矩阵的第j列对应元素相乘后求和得到。
六、矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行变成列，列变成行得到的新矩阵。
记作A^T。
七、行列式行列式是一个与方阵相关的标量值，它提供了矩阵是否可逆的重要信息。
行列式的值可以通过拉普拉斯展开或对角线乘积减去小对角线乘积的方法计算。
八、逆矩阵一个矩阵A的逆矩阵记作A^-1，它满足以下条件：AA^-1 = A^-1A = I，其中I是单位矩阵。
并非所有矩阵都有逆矩阵，只有可逆矩阵（或称为非奇异矩阵）才有逆矩阵。
九、矩阵的应用矩阵在现实生活中有广泛的应用，如在解决线性方程组、图像处理、金融建模、物理学中的向量分析等领域。
十、常见矩阵运算性质1. 交换律：矩阵加法不满足交换律，即A + B ≠ B + A。
2. 结合律：矩阵加法满足结合律，即(A + B) + C = A + (B + C)。
3. 分配律：矩阵乘法满足分配律，即(A + B)C = AC + BC。
4. 单位元：矩阵乘法满足单位元的存在，即IA = AI = A，其中I是单位矩阵。
矩阵可对角化的判定条件及推广
矩阵可对角化的判定条件及推广
矩阵的对角化是矩阵理论的一个重要概念，它指的是有一种转换，使给定的方阵成为一个主对角线向量组成的对角矩阵。
矩阵可对角化是一个重要的判定条件，当满足所有下列条件时，矩阵可以对角化：
1、矩阵必须是n阶可逆矩阵，且n>1，即A必须为n阶可逆方阵；
2、所有特征值都是不同的，只有不同的特征值才能保证对角矩阵的特性；
3、矩阵的特征向量必须互相垂直，它们的内积必须为零，两个向量只有在这种状态下才能够形成一个正交矩阵；
4、矩阵的特征向量必须是单位向量，这种向量的模为1，只有确保矩阵的行列式的值不为0，才能让对角矩阵与原矩阵相同。
对角化矩阵的概念可以拓展到实数矩阵，在这种情况下，矩阵可先进行置换变换，让特征值互不相同，然后进行双对角化，将原矩阵分解为两个对角矩阵的乘积，然后将每个矩阵的特征向量分别作为其特征值的正交基，最后将所有对角矩阵的特征值按照其特定顺序汇总起来，从而形成一个新的对角矩阵。
补充到此，实数矩阵也同样满足上述矩阵可对角化的四条条件。
综上所述，矩阵可对角化的判定条件是：矩阵是可逆矩阵，并且特征值各不相同，特征向量互相垂直，且为单位向量，这四条条件同时满足时，矩阵可以对角化。
此外，对角化的概念也可以拓展到实数矩阵，用置换变换与双对角化使实数矩阵可对角化，实数矩阵也必须满足上述四条条件。
矩阵可逆的判定条件
矩阵可逆的判定条件
矩阵可逆的判定条件是一个重要而又有趣的数学问题，它尤其重要，因为可逆矩阵常常被应用于线性规划和求解方程组，以及研究矩阵的几何性质。
一般来说，假设$A$是一个$n times n$的矩阵，要想判断它是否可逆，可以用三种方法。
第一种方法是通过求矩阵的行列式$Delta$来判断，即如果$Delta
eq 0$，则$A$是可逆矩阵，反之则不是可逆矩阵，这是最直接的方法。
第二种是利用矩阵的秩来判断。
假设$A$的矩阵秩是$r$，那么如果$r=n$，即$A$的秩为它的阶数，则$A$是可逆的；反之，如果$r<n$，则$A$是不可逆的。
第三种方法是通过求解A的逆矩阵（如果存在）来判断。
具体的做法是，记$A^{-1}$表示矩阵$A$的逆矩阵，如果$A^{-1}$存在，则说明$A$可逆；反之，$A^{-1}$不存在，则说明$A$是不可逆的。
以上三种方法都可以用来判断一个矩阵是否可逆，但是它们并不相互等价。
将它们拆开来看，第一种方法是求矩阵的行列式，由于行列式的几何意义是可以用来判断矩阵的秩的，因此第二种方法实际上是基于第一种方法的简化。
而第三种方法则与第一种和第二种方法有着更直接的联系，但是它的实现可能更加复杂，因此在这里，我们不会详细叙述它。
总之，我们可以说，矩阵可逆的判定条件是一个有趣而又重要的数学问题，有三种方法可以用来判断一个矩阵是否可逆：求矩阵的行列式，求矩阵的秩，以及求逆矩阵。
无论如何，判断一个矩阵是否可逆都是不容易的，希望这篇文章能够让读者有所收获。
对称正定矩阵判定
对称正定矩阵判定
对称正定矩阵是线性代数中非常重要的概念之一。
它是一个方阵，满足两个条件：首先，它是对称的，也就是说，矩阵的转置和矩阵本身是相等的；其次，它是正定的，也就是说，对于任意非零向量v，v的转置与矩阵相乘后的结果v'Av都大于零。
对称正定矩阵在许多领域都有广泛的应用。
在数值计算中，它们可以用来解决线性方程组和最小二乘问题。
在优化问题中，它们可以用来求解最大值和最小值。
在统计学中，它们可以用来估计参数和计算置信区间。
判断一个矩阵是否为对称正定矩阵有多种方法。
其中一种方法是通过计算矩阵的特征值来判断。
如果矩阵的所有特征值都大于零，那么它就是正定的。
另一种方法是通过计算矩阵的主子式来判断。
如果矩阵的所有主子式都大于零，那么它就是正定的。
除了判断对称正定矩阵外，我们还可以对其进行一些运算。
例如，可以对其进行矩阵乘法、矩阵加法和矩阵的转置等运算。
这些运算可以帮助我们解决各种实际问题。
对称正定矩阵在数学和应用领域都有重要的地位。
它们不仅是理论的基础，也是解决实际问题的工具。
无论是在科学研究还是工程应用中，对称正定矩阵都发挥着重要的作用。
因此，掌握对称正定矩阵的性质和判断方法是非常有必要的。
矩阵知识点归纳总结
矩阵知识点归纳总结一、矩阵的表示1. 矩阵的定义矩阵是由m行n列数字构成的矩形数组，通常用大写字母表示，如A、B、C等。
矩阵的元素用小写字母表示，如a_ij表示第i行第j列的元素。
2. 矩阵的大小矩阵的大小由其行数和列数确定，通常用m×n表示。
例如一个3×2的矩阵表示有3行2列的矩阵。
3. 矩阵的类型根据矩阵的大小和元素的性质，可以分为方阵、对角阵、零矩阵等。
方阵是行数等于列数的矩阵，对角阵是只有主对角线上有非零元素的矩阵，零矩阵则所有元素均为零。
二、矩阵的运算1. 矩阵的加法如果两个矩阵A和B的大小相同，即都是m×n的矩阵，那么它们的和C=A+B也是一个m×n的矩阵，其中C的第i行第j列的元素等于A的第i行第j列的元素加上B的第i行第j列的元素。
2. 矩阵的数乘如果一个矩阵A的大小为m×n，那么它的数乘kA也是一个m×n的矩阵，其中k是一个常数，且kA的每个元素等于A相应位置的元素乘以k。
3. 矩阵的乘法矩阵的乘法是一种较为复杂的运算，如果矩阵A的大小为m×n，矩阵B的大小为n×p，那么它们的乘积C=AB是一个m×p的矩阵，其中C的第i行第j列的元素等于A的第i行和B的第j列对应元素的乘积之和。
4. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵，它通常用A^T表示。
例如，如果A 是一个m×n的矩阵，那么它的转置A^T就是一个n×m的矩阵，其中A^T的第i行第j列的元素等于A的第j行第i列的元素。
5. 矩阵的逆如果一个方阵A存在逆矩阵A^-1，那么称A是可逆的。
A的逆矩阵满足AA^-1 = A^-1A = I，其中I是单位矩阵。
逆矩阵A^-1可以用来求解线性方程组和矩阵方程。
三、矩阵的特征1. 矩阵的秩矩阵的秩是指矩阵中非零行列式的个数，它也等于矩阵的列空间维数和行空间维数的最小值。
矩阵知识点归纳
矩阵知识点归纳矩阵，作为数学中一个重要的概念，在多个领域都有着广泛的应用。
接下来，咱们就一起来好好梳理一下矩阵的相关知识点。
首先，咱们来聊聊矩阵的定义。
简单来说，矩阵就是一个按照矩形排列的数字或者符号的阵列。
比如说，一个 m 行 n 列的矩阵，就可以写成 A ＝ aij，其中 i 表示行，j 表示列，aij 就是第 i 行第 j 列的元素。
矩阵有很多类型，比如零矩阵，就是所有元素都为零的矩阵；单位矩阵，主对角线元素都为 1，其余元素都为 0 的矩阵；还有对称矩阵，满足 A ＝ A^T（A^T 表示 A 的转置矩阵）。
接下来谈谈矩阵的运算。
矩阵的加法和减法，要求两个矩阵的行数和列数都相同，然后对应位置的元素相加或相减。
矩阵的乘法就有点特别啦。
一般来说，只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，它们才能相乘。
比如说，一个 m×n 的矩阵 A和一个 n×p 的矩阵 B 相乘，得到的矩阵 C 是 m×p 的，其中 C 的元素Cij 是 A 的第 i 行与 B 的第 j 列对应元素乘积的和。
矩阵的转置也很重要。
把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，就叫做 A 的转置矩阵，记作 A^T 。
再来说说逆矩阵。
对于一个 n 阶方阵 A，如果存在另一个 n 阶方阵B，使得 AB ＝ BA ＝ I（I 是单位矩阵），那么 B 就是 A 的逆矩阵，记作 A^（－1) 。
不是所有的矩阵都有逆矩阵哦，只有行列式不为零的矩阵才有逆矩阵。
矩阵的秩也是一个关键概念。
矩阵 A 的秩就是 A 中线性无关的行向量或者列向量的最大个数。
在实际应用中，矩阵有着非常重要的作用。
比如说在图像处理中，图像可以用矩阵来表示，通过对矩阵的运算和变换，可以实现图像的旋转、缩放、平移等操作。
在解线性方程组的时候，也会用到矩阵。
可以把线性方程组写成矩阵形式 Ax ＝ b，然后通过矩阵的运算来求解。
在经济学中，投入产出模型就用到了矩阵，能够帮助分析经济系统中各个部门之间的相互关系。
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关于矩阵正定的若干判别方法数学学院数学与应用数学（师范）专业2010级赵明尖指导教师吴春摘要:矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念,研究矩阵的正定性一直都是矩阵分析领域中非常热门的课题。
本文主要讨论了矩阵的定义、性质以及正定性。
全文一共分为两章,第一章,主要阐述矩阵的正定性的定义以及性质；第二章,主要讨论了正定性矩阵的定义判别法和定理判别法。
关键词:正定矩阵；定义；性质；判定Abstract: The positive definiteness of matrix is an important concept in theory of the matrix, Studying positive definiteness of the matrix is always a very popular topic in the area of analysis of the matrix. We mainly discuss the definition, property and positive definiteness of matrix in this paper .The text is divided into two chapters, and the first chapter, we mainly expound the definition and property of the positive definiteness of the matrix; the second chapter, we mainly discuss discriminating method of the definition and the theorem of the positive definiteness of matrix.Key words: positive definiteness of the matrix；definition；property；discrimination1 引言代数学是数学中的一个重要分支，矩阵是高等代数中的重要组成部分，而正定矩阵在矩阵论中占有十分重要的地位。
而且正定矩阵部分的应用非常广泛，n阶实正定矩阵在正定理论中占有非常重要的地位。
正定矩阵在物理学，概率论以及优化控制论中都得到了重要的应用，另外在数值计算科学中也经常用到正定矩阵的知识。
比如线性方程组的高斯-塞德尔迭代法就是在方程组的系数是正定矩阵的情况下对任意初始向量是收敛的。
但是随着数学本身及应用矩阵的其他学科或领域（数学规划，现代控制等）的发展，普通矩阵越来越不能满足其应用需要，于是正定矩阵引起了国内外学者的广泛关注并做出了许多重要的研究工作，本文在前人研究的基础上对正定矩阵的性质及判定做了进一步的讨论研究，获得了一些相应的结论。
通过对矩阵正定判定的研究，归纳与总结了正定矩阵的性质及判定，补充并完善了部分定理的条件与结论。
本文提供解决正定矩阵判定问题的几种方法。
让学者在学习判断矩阵的正定性时，能够深入探讨其基本性质对于其他科研领域的研究有着重要的作用。
2 定义与性质2.1定义定义 2.1[]1实二次型12(,,...,)n f x x x 称为正定的，如果对任意一组不全为零的实数12,,...,n c c c 都有12(c ,c ,...,c )0n f >。
定义 2.2[]2设n n A R ⨯∈，且A 是n 阶实对称矩阵即T A A =，若0n X R ≠∈，都有0T X AX >，则A 叫做正定矩阵。
定义2.3[]1在实二次型()n x x x f ,,,21 的规范形中，正平方项的个数p 称为()n x x x f ,,,21 的正惯性指数，负平方项的个数p r -称为()n x x x f ,,21的负惯性指数，它们的差()r p p r p -=--2称为()n x x x f ,,,21 的符号差。
2.2性质性质2.1 如果矩阵A 是正定矩阵，则必有： （1）0,1,2,......,ii a i n >=；（2）A 的元素的绝对值最大者必是主对角元； （3）1nn n A a A -≤,其中1n A -是A 的1n -阶顺序主子式； （4）1122...nn A a a a ≤,当且仅当A 为对角阵时等号成立。
注2.1 我们可以利用上述正定矩阵A 的性质判定某些实对称矩阵不是正定矩阵。
例如，对角元有非正数的对称矩阵必不是正定矩阵；只要有一个非对角元的绝对值不小于对称矩阵的最大者，则这个矩阵必不是正定矩阵；或若对于n 阶矩阵A 有：1122...nn A a a a >,则A 必不是正定正矩阵。
例2.1[]4判断二次型22211213223310824228f x x x x x x x x x =+++-+是否正定。
解 二次型f 对应的矩阵为33()ij A a ⨯==10412421412141⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭. 显然A 的元素绝对值最大者为2314a =,为非对角元，则A 为非正定矩阵，所以二次型也是非正定的。
3 正定矩阵的判定方法3.1 定义判定定义3.1[]8对于实对称矩阵A =()ij a （其中,,1,2,,ij a R i j n ∈=⋯ ）,若对于任意非零列向量X ，都有0T X AX >,则称A 是正定矩阵。
例3.1[]7设A 为正定矩阵，B 为n 阶实反对称矩阵，证明2A B -是正定矩阵。
分析 这是两个矩阵之差，要证明其正定性，用定义可证。
证明 因为A 是正定矩阵,所以T A A = ,且对任意n 维列向量0X ≠有0T X AX >,又B 是实反对称矩阵，即T B B =,从而222()()T A B A B A B -=--=-. 即2A B -是实对称矩阵，又对任意实n 维列向量0x ≠,有：2()()()()0T T T T T X A B X X A B B X X AX BX BX -=+=+>,故2A B -是正定矩阵。
例 3.2[]3 设A 是n 阶正定矩阵，B 是n m ⨯实矩阵，B 的秩为m ，证明 ：T B AB 是正定矩阵。
证明 因为()T T T T T B AB B A B B AB ==，故 T B AB 是实对称矩阵，其次，由于秩,,B m m n =≤故0BX =只有零解，因此，若任取非零实列向量X 必有0BX ≠，因A 是正定矩阵，故对任取的非零实列向量X ，必有 ()()()T T T X B AB X BX A BX = , 因此T B AB 是正定矩阵。
例 3.3[]5证明:A 是正定矩阵，则A *也是正定矩阵。
证明 由于A 正定，所以0A >，且对任意n 维向量0X ≠有0T X AX >.又1A A A *-=,从而对任意0,X ≠有（注意T A A =,且当0X ≠时10A X -≠）1111()()0T T T T T X A X X A A X A X A AA X A A X A A X *----===>,又因为有()111()()TTT A A AA A A A A *---*====,即A *实对称矩阵，故A *正定矩阵。
注 3.1 以上三个例子，是运用正定矩阵的定义来证明的。
还提供了利用实矩阵来构造正定矩阵的方法。
具体是，若A 不是方阵，也不对称时,,T T A A AA 是正定矩阵，若A 是方阵，但不对称，则T A A +是正定矩阵，同时，在证明的过程中，我们也看到了齐次线性方程组解的理论在正定二次型的理论中的应用。
3.2 定理判定定理3.1[]1 n 阶实对称矩阵A 正定当且仅当实二次型12(,,...,)T n f x x x X AX =的正惯性指数为n 。
证明 设实二次型()12,,...,n f x x x 经过非退化线性变换得2221122n na x a x a x ++⋯+. （3.1） 由于非退化实线性变换保持正定性不变，那么A 正定当且仅当（3.1）是正定的，由定义2知（3.1）正定当且仅当i a >0(n i ,,2,1 =)，因此正惯性指数为n 。
定理3.2[]1 实对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n d d d21正定的充分必要条件是 0i d >(n i ,,2,1 =)证明 由定理3.1得，实对称矩阵正定当且仅当二次型222121122(,,...,)...n n nf x x x d x d x d x =+++. 的正惯性指数为n ，因此0(1,2,...,)i d i n >=。
定理 3.3[]1 实对称矩阵A 是存在一实系数n n ⨯矩阵B ，使得T AB B A +正定，其T B 为B 的转置。
证明 因为()()()T T T T T T AB B A AB B A AB B A +=+=+,所以T AB B A +是n 阶实对称矩阵。
先证必要性若秩A n =,则1A -存在，令1B A -=,则111()()2T T T AB B A AA A A E AA E ---+=+=+=，由此可知T AB B A +正定。
再证充分性设T AB B A + 正定,,0n X R X ∀∈≠()()()0T T T T X AB B A X AX BX BX AX +=+>. （*） 由（*）式知0AX > ,这就是说，任意的0X ≠ ,都有0AX ≠ ,从而0AX =仅有零解，所以秩A n =。
定理 3.4[]1 实对称矩阵A 是正定的充要条件是二次型12(,,...,)n f x x x = T X A X 的系数矩阵A 的所有特征值都是正数，即大于零。
证明 由题意知，实对称矩阵A 可对角化为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a21， 其中1a ，,,2 a n a 恰好是A 的特征值，则二次型T X A X 的标准形为：1a 21x +2a 22x +…+n a 2n x ,而非退化实线性变换保持正定性不变，由222121122(,,...,)...n n nf x x x a x a x a x =+++正定，得0(1,2,...,)i a i n >=。
例 3.4[]5设A 为三阶实对称矩阵，且满足220A A +=，已知A 的秩2A =.则当k 为何值时，矩阵A kE +为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵。
解 设t 为A 的一个特征值，对应的特征矩阵向量为X ，则AX tX =,则22,(X 0)A X t X =≠。
从而， 22(A 2A)X (t 2t)X +=+。
由条件220A A +=， 推知2(t 2t)0+=，又由于0X ≠，故有 2,0,t t =-= 于是故矩阵A 的全部特征值为122t t ==-，30t =.矩阵A kE +仍为实对称矩阵.则A kE +的全部特征值为2,2,k k k -+-+。