重庆市重庆一中2016-2017学年高二上学期期末考试试卷 数学(理) Word版含答案
秘密★启用前2017年重庆一中高2018级高二上期期末考试数 学 试 题 卷（理科） 2017.1数学试题共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、选择题：（本大题 12个小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须填涂在答题卡上相应位置。
1.椭圆22143x y +=的焦距为（ ） A.1 B.2 C.3 D.42.圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为（ ）A.2πB.3πC.4πD.π3.已知圆22:440C x y ax y ++++=的圆心C 在直线20x y +=上，则实数a 的值为（ ）A.1B.1-C.2D.2-4.已知实数,x y 满足2000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A.4B.3C.0D.25.下列命题是真命题的是（ ）A.x R ∀∈，都有210x -≥ B.平面直角坐标系中任意直线都有斜率 C.a R ∃∈，使得21a> D.过空间一点存在直线与平面平行6.人民代表人民选，现从甲地区6名候选人选出3名人大代表、乙地区5名候选人选出2名人大代表，则不同的选法有（ ） A.80种B.100种C.150种D.200种7.已知平面α及平面α同一侧外的不共线三点,,A B C ，则“,,A B C 三点到平面α的距离都相等”是“平面//ABC 平面α”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8.如图，点O 为ABC ∆所在平面外一点，且,,OA OB OC 两两互相垂 直，1OA OC ==，点E 为棱AC 的中点，若三棱锥O ABC -的体积为12，则异面直线直线OA 与BE 所成角的余弦值为（ ）12 D.149.（原创）在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，点,E F 分别是棱111,A D CC 的中点，在平面11BB C C 内存在点G 使得1//AG EF ，则直线AD 到平面EFG 的距离为（ ）10.（原创）已知点M 是双曲线22:1C x y -=上异于顶点的一点，O 是坐标原点，F 是双曲线C 的右焦点，且过F 作直线l 使得//l OM ，l 交双曲线C 于不同两点,A B ，则2=OM AB（ ） A.34 B.23 C.13 D.1211.（原创）如图，⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是一个三行两列的数表，现从1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字中任选六个不同的数字填在该数表的6个方格子中，每个方格子中只填一个数字，且在这三行中只有．．第三行的两个数字之和为6，则不同的排列方法有（ ）种 A.2880 B.2156 C.3040 D.3544OACBE12.（原创）已知抛物线2:4(0)y px p Γ=>，AB 为过抛物线Γ焦点的弦，AB 的中垂线交抛物线Γ于点,C D 。
若AC AD ⊥，则直线AB 的方程为（ ）A.()y x p =±-B.2()y x p =±-C.2()3y x p =±- D.1()2y x p =±-二、填空题：（本大题4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡相应位置上，只填结果，不要过程）。
13.直线1:10l x y +-=与2:4+30l ax y -=互相垂直，则实数a 的值为___________。
14.已知等差数列{}n a 的第4项4a 是二项式41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项，则26+a a =________。
15.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为30的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是_______________。
16.（改编）某几何体的三视图如图所示，若该几 何体的所有顶点都在同一个球的表面上，则这个球的表面积是________________。
三、解答题：（本大题6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卷上相应题目指定的方框内（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）。
17.（本小题满分10分）设命题p ：方程2214x y k-=-表示双曲线；命题q ：方程()222y k k x =-表示焦点在x 轴的负半轴上的抛物线。
（1）若命题q 为真，求实数k 的取值范围；（2）若命题p q ∧是假命题，且命题p q ∨是真命题，求实数k 的取值范围。
4左（侧）视图18.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点2F 与抛物线2:4E y x=的焦点重合，椭圆C 上一点P 到其两个焦点12,F F 的距离之和为4。
（1）求椭圆C 的离心率e 的值；（2）若AB 为椭圆C 的过点()1,1Q 且以点Q 为中点的弦，求直线AB 的方程。
19.（原创）（本小题满分12分）边长为2的正三角形ABC 中，点,,D E G 分别是边,,AB AC BC 的中点，连接DE ，连接AG 交现将ADE ∆沿DE 折叠至1A DE ∆的位置，使 得平面1A DE ⊥平面BCED ，连接1,AG EG 。
（1）证明：1GF A D ⊥； （2）求点B 到平面1A EG 的距离。
20.（改编）（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，顶点1A 在底面ABC 内的射影恰好是AB 的中点O ，且=2AB BC =。
（1）求证：平面11ABB A ⊥平面11BCC B ； （2）若12AA =，求二面角11A AC B --的余弦值。
21.（改编）（本小题满分12分）如图，已知抛物线()2:20C y px p =>的准线为l ，焦点为F 。
M 的圆心M 在x 轴的正半轴上，且与y 轴相切。
过原点O 作倾斜角为π的直线n ，交l 于点A ，交M 于另一点B ，且2AO BO ==（1）求M 和抛物线C 的方程；（2）设D 为抛物线C 上异于顶点O 的任意一点，过D 作DE l ⊥交l 于点E ，直线EO 交抛物线C 于另一点 G ，证明：直线DG 必过定点。
22.（原创）（本小题满分12分）已知圆22:4O x y +=（其中O 为圆心）上的每一点横坐标不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线C 。
（1）求曲线C 的方程；OAC1A 1B 1C B 1A BCDEFG（2）若点P 为曲线C 上一点，过点P 作曲线C 的切线交圆O 于不同的两点,A B （其中A 在B 的右侧），已知点12(F F 。
①求四边形12ABF F 面积的最大值。
②若三角形1PBF 的外接圆圆心为1O ，试判断1O 与O 的位置关系并加以证明。
2017年重庆一中高2018级高二上期期末考试数学答案（理科）一、选择题：（5×12=60分）1.B2.C3.D4.A5.C6.D7.C8.D9.B 10.D 11.C 12.A 二、填空题：（5×4=20分）13.414. 12 15.+⎫∞⎪⎪⎣⎭16.1894π 三、解答题：（10+5×12=70分）17.解：若命题p 真，则40,4k k ->∴<；若命题q 真，则22002k k k -<⇔<<。
（1） 命题q 为真，02k ∴<<，因此k 的取值范围为()0,2。
（2）由条件知：命题p q 、一真一假，440202k k k k k <≥⎧⎧∴⎨⎨≤≥<<⎩⎩或或 024024k k k k k ⇔≤≤<∈∅⇔≤≤<或或或，因此k 的取值范围为(][),02,4-∞ 。
18.解：（1）由条件知：()()211,0,1,0,1F F c -∴=，又知24, 2.a a b =∴=∴= ∴椭圆22:143x y C +=，因此11,22c e e a ==∴=。
（2）椭圆22:143x y C +=，易知点()1,1Q 在椭圆C 的内部，设()()1122,,,A x y B x y ，则 221122221(1)431(2)43x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ，（1）-（2）得：12121212()()()()043x x x x y y y y +-+-+=， 易知AB 的斜率存在，1212121212,0=2,2,43AB x x y y x x k x x y y ++∴≠∴+⋅=++= ， 1230234AB AB k k ∴+⋅=⇒=-，所以直线:3470AB x y +-=。
19.解：（1）由于ABC ∆为正三角形，中位线//DE BC ，G 为BC 的中点，易知F 为DE 的中点，且,GF DE A F DE ⊥⊥，又 平面1A DE ⊥平面B C E D ，平面1A DE 平面B C E D E D =，GF ⊂平面B C E D ，FG ∴⊥平面1A D E ，而1A D ⊂平面1A D E ，1GF A D ∴⊥。
（2）易知1A F DE ⊥，且1A F GF ⊥，以F 为原点，1,,FG FE FA 分别为x 轴,y 轴,z轴的正向，建立如图的空间直角坐标系。
易知12A F FG ==，则 ()10,0,0,,0,,0,2F G E ⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭10,0,,22A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0,1,0GB = ，设平面1A EG 的一个法向量为(),,n x y z = ，111,0,,2222AG A E ⎛⎛=-=- ⎝⎭⎝⎭，由1100220102x z x z n AG y n A E y z -=⎪⎧=⎧⋅=⎪⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎨=⋅=⎪⎪⎩⎪⎩=⎪⎩ ，令1z =，则1y x ==，()n ∴= ，∴点B 到平面1A EG的距离5GB n d n⋅==。
20.（1）证明：由于BC AB ⊥，1AO ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，1BC AO ∴⊥，而1=AB AO O ，AB ⊂平面11ABB A ，1AO ⊂平面11ABB A ，BC ∴⊥平面11ABB A ，又BC ⊂ 平面11BCC B ，∴平面11ABB A ⊥平面11BCC B 。
【配套K12】2017级高二数学上学期期末试题 理
2016年重庆一中高2017级高二上期期末考试数 学 试 题 卷（理科） 2016.1（时间：120分钟 分数：150分）一．选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分）1．复数31ii-（i 是虚数单位）的虚部是（ ） （A ）32i （B ）32（C ）32i - （D ）32-2．定积分()332sin x x dx ππ-+⎰等于（ ）（A ）0 （B ）2192π- （C ）2219π- （D ）2219π+ 3．（原创）已知命题p ：R x ∈∀，04223≠+++x x e x，则⌝p 为（ ）（A ）R x ∈∃0，使得042ln 20300=+++x x x （B ）R x ∈∃0，使得04220300≠+++x x e x（C ）R x ∈∃，使得04223=+++x x e x（D ）R x ∈∀0，使得04220300=+++x x e x4．用反证法证明结论：“曲线()y f x =与曲线()y g x =至少有两个不同的交点”时，要做的假设是（ ）（A ）曲线()y f x =与曲线()y g x =至多有两个不同的交点 （B ）曲线()y f x =与曲线()y g x =至多有一个交点 （C ）曲线()y f x =与曲线()y g x =恰有两个不同的交点 （D ）曲线()y f x =与曲线()y g x =至少有一个交点5．已知直线()R a a ay x ∈+=+2与圆072222=---+y x y x 交于,M N 两点，则线段MN的长的最小值为（ ）（A ）24 （B ）22 （C ）2 （D ）26．()()830+-<x x 的一个充分不必要条件是（ ）（A ）38<<-x （B ）8>x （C ）3-<x （D ）8-<x 或3>x7．给出以下五个结论：①经过()()1122,,,A x y B x y 两点的直线的方程为112121y y x x y y x x --=--；②以()()1122,,,A x y B x y 为直径的两个端点的圆的方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--=；③平面上到两个定点12,F F 的距离的和为常数2a 的点的轨迹是椭圆；④平面上到两个定点12,F F 的距离的差为常数()1222||a a F F <的点的轨迹是双曲线；⑤平面上到定点F 和到定直线l 的距离相等的点的轨迹是抛物线。
重庆市2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析
重庆市2016-2017学年高二上学期期末试卷（理科数学）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|0＜log 4x ＜1}，B={x|x≤2}，则A∩B=（ ） A ．（0，1） B ．（0，2] C ．（1，2） D ．（1，2] 2．命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为（ ） A ．对任意x ∈R ，都有x 2＜0 B ．不存在x ∈R ，都有x 2＜0 C ．存在x 0∈R ，使得x 02≥0 D ．存在x 0∈R ，使得x 02＜03．如图，在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 1、BC 1的中点，则以下结论中不成立的是（ ）A ．EF 与BB 1垂直 B ．EF 与BD 垂直C ．EF 与CD 异面 D ．EF 与A 1C 1异面4．已知四棱锥P ﹣ABCD 的三视图如图所示，则四棱锥P ﹣ABCD 的四个侧面中面积最大的是（ ）A ．6B ．8C ．D ．35．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．6．设函数f （x ）定义在实数集上，f （2﹣x ）=f （x ），且当x≥1时，f （x ）=lnx ，则有（ ）A ．B ．C ．D ．7．设平面区域D 是由双曲线y 2﹣=1的两条渐近线和抛物线y 2=﹣8x 的准线所围成的三角形（含边界与内部）．若点（x ，y ）∈D ，则x+y 的最小值为（ ） A ．﹣1 B ．1 C ．0 D ．38．一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是（ ）A ．m ＞1，且n ＜1B ．mn ＜0C ．m ＞0，且n ＜0D ．m ＜0，且n ＜09．若直线l 过点P （﹣3，﹣）且被圆x 2+y 2=25截得的弦长是8，则直线l 的方程为（ ） A ．3x+4y+15=0 B ．x=﹣3或3x+4y+15=0C ．x=﹣3或y=﹣D ．x=﹣310．设椭圆=1（a ＞0，b ＞0）的离心率e=，右焦点F （c ，0），方程ax 2+bx ﹣c=0的两个根分别为x 1，x 2，则点P （x 1，x 2）在（ ）A ．圆x 2+y 2=2内B ．圆x 2+y 2=2上C ．圆x 2+y 2=2外D ．以上三种情况都有可能11．已知正三棱锥P ﹣ABC 的高PO 为h ，点D 为侧棱PC 的中点，PO 与BD 所成角的余弦值为，则正三棱锥P ﹣ABC 的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．12．若实数x 、y 满足x|x|﹣y|y|=1，则点（x ，y ）到直线y=x 的距离的取值范围是（ ）A ．[1，） B ．（0，] C ．（，1） D ．（0，1]二、填空题（每题5分）13．已知||=1，||=6， •（﹣）=2，则向量与的夹角为 ．14．在抛物线y 2=2px 上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为 ．15．已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 1，左焦点为F 2，若椭圆上存在一点P ，满足线段PF 1相切于椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF 1的中点，则该椭圆的离心率为 ．16．设 条件．三、解答题（17、18、19、20、21各题12分，22题10分）17．已知p ：方程x 2+mx+1=0有两个不等的负实根，q ：方程4x 2+4（m ﹣2）x+1=0无实根．若“p 或q”为真，“p 且q”为假．求实数m 的取值范围．18．设△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知a 、b 、c 成等比数列，且．（Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若x ∈[0，π），求函数f （x ）=sin （x ﹣B ）+sinx 的值域．19．点A 、B 分别是椭圆长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA⊥PF．求点P 的坐标．20．如图，直棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1=AC=CB=AB ．（Ⅰ）证明：BC 1∥平面A 1CD（Ⅱ）求二面角D ﹣A 1C ﹣E 的正弦值．21．如图，已知A （﹣4a ，0）（a ＞0），B 、C 两点分别在y 轴和x 轴上运动，并且满足•=0， =．（1）求动点Q 的轨迹方程；（2）设过点A 的直线与点Q 的轨迹交于E 、F 两点，A′（4a ，0），求直线A′E、A′F 的斜率之和．22．在等腰直角△ABC 中，AB=AC=4，点P 是边AB 上异于A 、B 的一点，光线从点P 出发经过BC 、CA 反射后又回到点P ，光线交线段BC 于点Q ，交线段CA 于点R ，若光线QR 经过△ABC 的重心，求线段AP 的长度．重庆市2016-2017学年高二上学期期末试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|0＜log 4x ＜1}，B={x|x≤2}，则A∩B=（ ） A ．（0，1） B ．（0，2] C ．（1，2） D ．（1，2] 【考点】交集及其运算；其他不等式的解法．【分析】求出集合A 中其他不等式的解集，确定出A ，找出A 与B 的公共部分即可求出交集． 【解答】解：由A 中的不等式变形得：log 41＜log 4x ＜log 44， 解得：1＜x ＜4，即A=（1，4）， ∵B=（﹣∞，2]， ∴A∩B=（1，2]． 故选D2．命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为（ ） A ．对任意x ∈R ，都有x 2＜0 B ．不存在x ∈R ，都有x 2＜0 C ．存在x 0∈R ，使得x 02≥0 D ．存在x 0∈R ，使得x 02＜0 【考点】命题的否定；全称命题．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可． 【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为．存在x 0∈R ，使得x 02＜0． 故选D ．3．如图，在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 1、BC 1的中点，则以下结论中不成立的是（ ）A ．EF 与BB 1垂直 B ．EF 与BD 垂直C ．EF 与CD 异面 D ．EF 与A 1C 1异面 【考点】异面直线的判定．【分析】观察正方体的图形，连B 1C ，则B 1C 交BC 1于F 且F 为BC 1中点，推出EF∥A 1C 1；分析可得答案． 【解答】解：连B 1C ，则B 1C 交BC 1于F 且F 为BC 1中点，三角形B 1AC 中EF，所以EF∥平面ABCD ，而B 1B⊥面ABCD ，所以EF 与BB 1垂直；又AC⊥BD，所以EF 与BD 垂直，EF 与CD 异面．由EF ，AC∥A 1C 1得EF∥A 1C 1故选D ．4．已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积最大的是（）A．6 B．8 C． D．3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图复原的几何体是四棱锥，利用三视图的数据直接求解四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积，得到最大值即可．【解答】解：因为三视图复原的几何体是四棱锥，顶点在底面的射影是底面矩形的长边的中点，底面边长分别为4，2，后面是等腰三角形，腰为3，所以后面的三角形的高为： =，所以后面三角形的面积为： =2．两个侧面面积为： =3，前面三角形的面积为： =6，四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积最大的是前面三角形的面积：6．故选A．5．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的应用；数列的应用．【分析】先设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，由题意可知：a+c=2b，由此可以导出该椭圆的离心率．【解答】解：设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，则2a+2c=2×2b，即a+c=2b⇒（a+c）2=4b2=4（a2﹣c2），所以3a2﹣5c2=2ac，同除a2，整理得5e2+2e﹣3=0，∴或e=﹣1（舍去），故选B．6．设函数f（x）定义在实数集上，f（2﹣x）=f（x），且当x≥1时，f（x）=lnx，则有（）A．B．C．D．【考点】对数值大小的比较．【分析】由f（2﹣x）=f（x）得到函数的对称轴为x=1，再由x≥1时，f（x）=lnx得到函数的图象，从而得到答案．【解答】解：∵f（2﹣x）=f（x）∴函数的对称轴为x=1∵x≥1时，f（x）=lnx∴函数以x=1为对称轴且左减右增，故当x=1时函数有最小值，离x=1越远，函数值越大故选C．7．设平面区域D是由双曲线y2﹣=1的两条渐近线和抛物线y2=﹣8x的准线所围成的三角形（含边界与内部）．若点（x，y）∈D，则x+y的最小值为（）A．﹣1 B．1 C．0 D．3【考点】双曲线的简单性质．【分析】先求出抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，画出三角形平面区域，根据z=x+y的最小值为斜率为﹣1的直线的纵截距的最小值，即可求出z=x+y的最小值．【解答】解：抛物线y2=﹣8x的准线方程为x=2，双曲线y2﹣=1的两条渐近线方程为y=±x，由题意，三角形平面区域的边界为x=2，y=±x，设z=x+y即y=z﹣x，则z=z﹣x的最小值为斜率为﹣1的直线的纵截距的最小值．：y=﹣x，平移可得，作出直线l当直线l过原点时，取得最小值0．故选：C．8．一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的必要但不充分条件是（）A．m＞1，且n＜1 B．mn＜0 C．m＞0，且n＜0 D．m＜0，且n＜0【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由一次函数的图象和性质，我们可以求出一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的等价命题，进而逐一分析已知中四个答案中的条件与一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的充要关系，即可得到答案．【解答】解：若一次函数的图象同时经过第一、三、四象限则＞0，＜0，即m＞0且n＜0故“m＞1，且n＜1”是“一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的”的不充分也不必要条件；“mn＜0”是“一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的”的必要但不充分条件；“m＞0，且n＜0”是“一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的”的充要条件；“m＜0，且n＜0”是“一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的”的不充分也不必要条件；故选B9．若直线l过点P（﹣3，﹣）且被圆x2+y2=25截得的弦长是8，则直线l的方程为（）A．3x+4y+15=0 B．x=﹣3或3x+4y+15=0C．x=﹣3或y=﹣D．x=﹣3【考点】直线与圆的位置关系．【分析】算出圆心为O（0，0）、半径r=5，根据垂径定理算出直线到圆心的距离等于3．讨论直线斜率存在时设直线方程，由点到直线的距离公式建立关于k的等式，解出k，可得直线的方程；当直线斜率不存在时，直线方程为x+3=0，到圆心的距离也等于3，符合题意．由此即可得所求的直线方程．【解答】解：圆x2+y2=5的圆心为O（0，0），半径r=5；设圆心到直线的距离为d，①当过点P（﹣3，﹣）的直线斜率存在时，设直线方程为y+=k（x+3），即2kx﹣2y+6k﹣3=0，∵直线圆x2+y2=25截得弦长为8，∴根据垂径定理，得=4，即=4，解得d=3；根据点到直线的距离公式，得=3，解之得k=﹣，此时直线的方程为y+=﹣（x+3），化简得3x+4y+15=0；②当过点P（﹣3，﹣）的直线斜率不存在时，直线方程为x=﹣3，即x+3=0；由圆心到直线的距离d=3，可得直线被圆截得的弦长也等于8，符合题意；综上，所求的直线方程为3x+4y+15=0或x+3=0．故选：B．10．设椭圆=1（a ＞0，b ＞0）的离心率e=，右焦点F （c ，0），方程ax 2+bx ﹣c=0的两个根分别为x 1，x 2，则点P （x 1，x 2）在（ ）A ．圆x 2+y 2=2内B ．圆x 2+y 2=2上C ．圆x 2+y 2=2外D ．以上三种情况都有可能 【考点】椭圆的应用．【分析】先根据x 1+x 2=﹣，x 1x 2=﹣表示出x 12+x 22，再由e==得到a 与c 的关系，从而可表示出b 与c 的关系，然后代入到x 12+x 22的关系式中可得到x 12+x 22的范围，从而可确定答案．【解答】解：∵x 1+x 2=﹣，x 1x 2=﹣x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=e==∴a=2c b 2=a 2﹣c 2=3c 2所以x 12+x 22=＜2所以在圆内 故选A ．11．已知正三棱锥P ﹣ABC 的高PO 为h ，点D 为侧棱PC 的中点，PO 与BD 所成角的余弦值为，则正三棱锥P ﹣ABC 的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】利用异面直线所成的角，得到底面边长与高h 的关系，易求，V P ﹣ABC===．【解答】解：设底面边长为a ，连接CO 交AB 于F ，过点D 作DE∥PO 交CF 于E ，连接BE ，则∠BDE 即PO 与BD 所成角，∴cos∠BDE=，∵PO⊥面ABC ，∴DE⊥面ABC ，∴△BDE 是直角三角形，∵点D 为侧棱PC 的中点，∴DE=h ，∴BE=h ，在正三角形ABC 中，BF=a ，EF=CF=a ，在Rt△BEF 中，BE 2=EF 2+BF 2，∴，∴V P ﹣ABC ===故选：C ．12．若实数x 、y 满足x|x|﹣y|y|=1，则点（x ，y ）到直线y=x 的距离的取值范围是（ ）A ．[1，） B ．（0，] C ．（，1） D ．（0，1]【考点】简单线性规划．【分析】对x ，y 的取值进行分段，由此求出曲线方程，然后画图，由图形可得曲线上点（x ，y ）到直线y=x 的距离的取值范围．【解答】解：当x≥0且y≥0时， 方程化为：x|x|﹣y|y|=x 2﹣y 2=1； 当x ＞0且y ＜0时，方程化为：x|x|﹣y|y|=x 2+y 2=1； 当x ＜0且y ＞0时，无意义； 当x ＜0且y ＜0时，方程化为：x|x|﹣y|y|=y 2﹣x 2=1． 作出图象如图所示，∵直线y=x 为两段等轴双曲线的渐近线，四分之一个单位圆上的点到直线y=x 的距离的最大值为1， 故选：D ．二、填空题（每题5分）13．已知||=1，||=6， •（﹣）=2，则向量与的夹角为 ．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由•（﹣）=2，得，利用向量夹角公式可求得＜＞．【解答】解：由•（﹣）=2，得﹣=2，即=3，cos ＜，＞==，所以＜＞=，故答案为：．14．在抛物线y 2=2px 上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为 2 ． 【考点】抛物线的简单性质．【分析】确定抛物线的准线方程，利用抛物线的定义，考查结论．【解答】解：由题意，抛物线的准线方程为x=﹣由抛物线的定义，可得+4=5，∴p=2． 故答案为：215．已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F 1，左焦点为F 2，若椭圆上存在一点P ，满足线段PF 1相切于椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF 1的中点，则该椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设线段PF 1的中点为M ，利用OM 是△F 1PF 2的中位线，以及椭圆的定义求出直角三角形OMF 1的三边之长，再由勾股定理结合隐含条件求离心率．【解答】解：设线段PF 1的中点为M ，由题意知，OM=b ，又OM 是△F 1PF 2的中位线，∴OM=PF 2=b ，则PF 2=2b ，由椭圆的定义知PF 1=2a ﹣PF 2=2a ﹣2b ，又MF==（2a ﹣2b ）=a ﹣b ，OF 1=c ，在直角三角形OMF 1中，由勾股定理得：（a ﹣b ）2+b 2=c 2， 又a 2﹣b 2=c 2，可得2a=3b ， 故有4a 2=9b 2=9（a 2﹣c 2），由此可求得离心率e=，故答案为：．16．设必要不充分条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】充分性是说明p可以推出q，必要性说明由q可以推出p．在这个定义下进行正反认证，发现题中应该是必要不充分条件．【解答】解：若x≠0且x≠1，只有在x≥0的情况下，才有，说明充分性不成立反过来，若，说明在x≥0的大前提下，x2≠x可得x≠0且x≠1，说明必要性成立故答案为：必要不充分三、解答题（17、18、19、20、21各题12分，22题10分）17．已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根，q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假．求实数m的取值范围．【考点】复合命题的真假；一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】根据题意，首先求得p、q为真时m的取值范围，再由题意p，q中有且仅有一为真，一为假，分p 假q真与p真q假两种情况分别讨论，最后综合可得答案．【解答】解：由题意p，q中有且仅有一为真，一为假，若p为真，则其等价于，解可得，m＞2；若q为真，则其等价于△＜0，即可得1＜m＜3，若p假q真，则，解可得1＜m≤2；若p真q假，则，解可得m≥3；综上所述：m∈（1，2]∪[3，+∞）．18．设△ABC的三内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若x∈[0，π），求函数f（x）=sin（x﹣B）+sinx的值域．【考点】解三角形；三角函数的最值．【分析】（Ⅰ）根据a、b、c成等比数列，可得b2=ac，由正弦定理得sin2B=sinAsinC，利用，可得，根据b不是△ABC的最大边，即可求角B的大小；（Ⅱ）先化简函数，再根据x∈[0，π），可得，从而可得，故可求函数f（x）的值域．【解答】解：（Ⅰ）因为a、b、c成等比数列，所以b2=ac，所以由正弦定理得sin2B=sinAsinC．又，所以．因为sinB＞0，则．因为B∈（0，π），所以B=或．又b2=ac，则b≤a或b≤c，即b不是△ABC的最大边，故．…（Ⅱ）因为，则=．…∵x∈[0，π），∴，∴．故函数f（x）的值域是．…19．点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF．求点P的坐标．【考点】椭圆的简单性质．【分析】先根据椭圆的方程可分别求得A，F的坐标，设出点P的坐标，则可分别表示出和，进而根据PA⊥PF求得x和y的关系式，与椭圆方程联立求得x和y即交点P的坐标．【解答】解：由已知可得点A（﹣6，0），F（4，0）设点P的坐标是（x，y），则，由已知得，则或x=﹣6.由于y＞0，只能x=，于是，∴点P 的坐标是．20．如图，直棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1=AC=CB=AB ．（Ⅰ）证明：BC 1∥平面A 1CD（Ⅱ）求二面角D ﹣A 1C ﹣E 的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）通过证明BC 1平行平面A 1CD 内的直线DF ，利用直线与平面平行的判定定理证明BC 1∥平面A 1CD （Ⅱ）证明DE⊥平面A 1DC ，作出二面角D ﹣A 1C ﹣E 的平面角，然后求解二面角平面角的正弦值即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点，又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF，因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD ．（Ⅱ）因为直棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，所以AA 1⊥CD，由已知AC=CB ，D 为AB 的中点，所以CD⊥AB，又AA 1∩AB=A，于是，CD⊥平面ABB 1A 1，设AB=2，则AA 1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，CD=，A 1D=，DE=，A 1E=3故A 1D 2+DE 2=A 1E 2，即DE⊥A 1D ，所以DE⊥平面A 1DC ，又A 1C=2，过D 作DF⊥A 1C 于F ，∠DFE 为二面角D ﹣A 1C ﹣E 的平面角，在△A 1DC 中，DF==，EF==，所以二面角D ﹣A 1C ﹣E 的正弦值．sin∠DFE=．21．如图，已知A（﹣4a，0）（a＞0），B、C两点分别在y轴和x轴上运动，并且满足•=0， =．（1）求动点Q的轨迹方程；（2）设过点A的直线与点Q的轨迹交于E、F两点，A′（4a，0），求直线A′E、A′F的斜率之和．【考点】轨迹方程；平面向量数量积的运算．【分析】（1）分别设出Q、B、C的坐标，利用向量等式把B的坐标用Q的坐标表示，结合•=0求得动点Q的轨迹方程；（2）写出过点A的直线为y=k（x+4a）（k≠0），联立直线方程和抛物线方程，利用根与系数的关系得到E，F两点纵坐标的和，再写出直线A′E、A′F的斜率之和整理得答案．【解答】解：（1）设Q（x，y），B（0，yB ），C（xC，0），则，，∵=，∴，则，又A（﹣4a，0）（a＞0），∴，由已知•=0，则，即y2=9ax，∴动点Q的轨迹方程为y2=9ax；（2）设过点A的直线为y=k（x+4a）（k≠0），再设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），联立，得ky 2﹣9ay+36a 2k=0，则，∴k A′E +k A′F =又，∴=，由，得k A′E +k A′F =0．22．在等腰直角△ABC 中，AB=AC=4，点P 是边AB 上异于A 、B 的一点，光线从点P 出发经过BC 、CA 反射后又回到点P ，光线交线段BC 于点Q ，交线段CA 于点R ，若光线QR 经过△ABC 的重心，求线段AP 的长度．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】建立坐标系，可得直线方程和重心坐标，由反射原理可得P 的两个对称点坐标，可得直线方程，进而可得P 的坐标，可得AP 长度．【解答】解：由题意建立如图所示的坐标系，则A （0，0），B （4，0），C （0，4），可得BC 的方程为x+y=4，可得重心（，），设P （a ，0），则P 关于AC 即y 轴的对称点P′（﹣a ，0），设P 关于BC 的对称点P″（m ，n ），则，解得，即P″（4，4﹣a ），∴光线QR 即P′P″的方程为y=（x+a ），代入（，）可得=（+a ），解得a=或a=0（舍去）∴线段AP 的长度为。
重庆市第一中学2016-2017学年高二3月月考数学理试题
2017年重庆一中高2018级高二下期定时练习数学试题卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．抛物线24y x =的焦点坐标为（ ）A ． (1,0)-B ．(1,0)C ．(0,1)-D ．(0,1) 2．函数cos 2y x =的导数是（ ）A ．sin 2x -B ．sin 2xC ．2sin 2x -D ．2sin 2x 3．32(21)x dx +=⎰（ ）A ． 2B ．6C ．10D ． 8 4．二项式210(x的展开式的二项式系数和为（ ） A ． 1 B ． -1 C ． 102 D ．05．将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，落地时朝上的点数之和为6的概率为（ ） A ．536 B ．16 C ． 112D ．196．函数32()2f x x ax x =-+在实数集R 上单调递增的一个充分不必要条件是（ ）A ．[0,6]a ∈B ．[a ∈C ． [6,6]a ∈-D ．[1,2]a ∈ 7． ()f x 是集合A 到集合B 的一个函数，其中，{1,2,,}A n =，{1,2,,2}B n =，*n N ∈，则()f x 为单调递增函数的个数是（ ）A ．2n n AB ．2nn C ． (2)nn D ．3nn C8．一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在同一个球面上，则该球的内接正方体的表面积为（ ）A ．196 B ．383 C ． 578 D ．1939．函数()f x 在实数集R 上连续可导，且'2()()0f x f x ->在R 上恒成立，则以下不等式一定成立的是（ ） A ．2(2)(1)f f e >B ．2(2)(1)f f e< C ． 3(2)(1)f e f -> D ．3(2)(1)f e f -<10．某转播商转播一场排球比赛，比赛采取五局三胜制，即一方先获得三局胜利比赛就结束，已知比赛双方实力相当，且每局比赛胜负都是相互独立的，若每局比赛转播商可以获得20万元的收益，则转播商获利不低于80万元的概率是（ ） A ．34 B ．58 C ． 38 D ．91611．已知椭圆221(0)1x y m m +=>+的两个焦点是12,F F ，E 是直线2y x =+与椭圆的一个公共点，当12||||EF EF +取得最小值时椭圆的离心率为（ ）A ．23 BC ．3D12．已知函数2()2ln f x x x =-+的极大值是函数()a g x x x =+的极小值的12-倍，并且121,[,3]x x e ∀∈，不等式12()()11f x g x k -≤-恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．40(,2ln 3](1,1)(1,)3-∞-+-+∞B ．34(,2ln 3](1,)3-∞-++∞ C ． 34(,2ln 3][1,1)(1,)3-∞-+-+∞ D ．40(,2ln 3](1,)3-∞-++∞ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．某种树苗成活的概率都为910，现种植了1000棵该树苗，且每棵树苗成活与否相互无影响，记未成活的棵数记为X ，则X 的方差为 ．14．设变量,x y 满足条件22024010x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数z x y =-的最小值为 ．15．半径分别为5,6的两个圆相交于,A B 两点，8AB =，且两个圆所在平面相互垂直，则它们的圆心距为 ．16．四位同学参加知识竞赛，每位同学须从甲乙两道题目中任选一道题目作答，答对甲可得60分，答错甲得-60分，答对乙得180分，答错乙得-180分，结果是这四位同学的总得分为0分，那么不同的得分情况共计有 种．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17． 函数3()f x x x =+在1x =处的切线为m ． （1）求切线m 的方程；（2）若曲线()sin g x x ax =+在点(0,(0))A g 处的切线与m 垂直，求实数a 的取值． 18． 如图所示，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，3ABC π∠=，4PA AB ==，AC 交BD 于O ，点N 是PC 的中点．（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求平面ANC 与平面ANB 所成的锐二面角的余弦值．19． 甲、乙、丙三人每人有一张游泳比赛的门票，已知每张票可以观看指定的三场比赛中的任一场（三场比赛时间不冲突），甲乙二人约定他们会观看同一场比赛并且他俩观看每场比赛的可能性相同，又已知丙观看每一场比赛的可能性也相同，且甲乙的选择与丙的选择互不影响．（1）求三人观看同一场比赛的概率；（2）记观看第一场比赛的人数是X ，求X 的分布列和期望． 20． 已知函数3()ln f x x a x =-． （1）当3a =，求()f x 的单调递增区间；（2）若函数()()9g x f x x =-在区间1[,2]2上单调递减，求实数a 的取值范围．21． 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率2e =，且过点(22．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，过椭圆C 的右焦点F 作两条相互垂直的直线,AB DE 交椭圆分别于,,,A B D E ，且满足12AM AB =，12DN DE =，求MNF ∆面积的最大值． 22．已知函数1()ln 1af x x ax x-=-+-． （1）若()f x 在2x =处取得极值，求a 的值；（2）若1a =，函数2222()ln()()221x x x h x mx f x x --+=++-+，且()h x 在(0,)+∞上的最小值为2，求实数m 的值．试卷答案一、选择题1-5: BCBCA 6-10:DDBAA 11、12：DB二、填空题13． 90 14． -2 15．． 44三、解答题17．（1）根据条件'2()31f x x =+，切点为(1,2)，斜率为'(1)4f =，所以m 的方程为420x y --=，（2）根据条件'()cos g x x a =+，又()g x 图象上任意一点(0,(0))A g 处的切线与m 垂直，则有'54(0)14g a ⨯=-⇒=-，所以a 的值为54-． 18．（1）∵ABCD 是菱形，∴BD AC ⊥，又∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD PA ⊥， 而PAAC A =，∴BD ⊥平面PAC ．（2）以O 为坐标原点，,,OC OB ON 所在直线分别为,,x y z 轴，方向如图所示，根据条件有点(0,0,2),(2,0,0),N A B -，由（1）可知OB ⊥平面ANC ，所以可取OB 为平面ANC 的法向量1n，1n OB ==，现设平面BAN 的法向量为2(,,)n x y z =，则有2200AN n BN n ⎧=⎪⎨=⎪⎩00x z z +=⎧⎪⇒⎨+=⎪⎩，令1z =，则2(1,3n =-，设平面ANC 与平面ANB 所成的锐二面角大小为θ，则12127cos ||7||||n n n n θ==19．（1）记事件A =“三人观看同一场比赛”，根据条件，由独立性可得，12311()()33P A C ==． （2）根据条件可得分布列如下：4221012319999EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．20．（1）根据条件3'233(1)()3x f x x x x-=-=，又0x >，则'()0f x >解得1x >，所以()f x 的单调递增区间是(1,)+∞；（2）由于函数()g x 在区间1[,2]2上单调递减，所以'2()390ag x x x=--≤在[0,2]上恒成立，即339x x a -≤在1[,2]2上恒成立，则max [()]a h x ≥（1[,2]2x ∈），其中3()39h x x x =-，'2()99h x x =-，则()h x 在1[,1]2上单减，在[1,2]上单增，max 1[()]max{(),(2)}62a h x h h ≥==，经检验，a 的取值范围是[6,)+∞．21．（1）根据条件有2222213124a b a b⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得222,1a b ==，所以椭圆22:12x C y +=． （2）根据12AM AB =，12CN CD =可知，,M N 分别为,AB DE 的中点，且直线,AB DE 斜率均存在且不为0，现设点1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为1x my =+，不妨设0m >，联立椭圆C 有22(2)210m y my ++-=，根据韦达定理得：12222my y m +=-+，121224()22x x m y y m +=++=+，222(,)22m M m m -++，||MF =2||()2NF m=-+，所以MNF ∆面积211||||124()2MNF m mS MF NF m m∆+==++，现令12t m m =+≥， 那么21124294MNFt S t t t∆==≤++，所以当2t =，1m =时，MNF ∆的面积取得最大值19．22．（2）2'21()ax x a f x x-++-=，又()f x 在2x =处取得极值，则'1(2)03f a =⇒=， 此时'2(1)(2)()3x x f x x --=-，显然满足条件，所以a的值为13． （2）由条件12()ln()1221h x mx x =++++，又()h x 在(0,)+∞上的最小值为2， 所以有(1)2h ≥，即1511ln()2ln()0ln12323m m ++≥⇒+≥>=12m ⇒>又2'2224824()21(21)(21)(21)m mx m h x mx x mx x +-=-=++++，当2m ≥时，可知()h x 在(0,)+∞上递增，无最小值，不合题意，故这样的m 必须满足122m <<，此时，函数()h x 的增区间为)+∞，减区间为，min 1()ln()122h x h ==+=整理得1ln()02=（*）若112m <<0>，且ln10<=，无解若12m ≤<，0<，将（*）变形为0+=．即0=，设1(,1]2t =则上式即为ln 0t +=，构造()ln F t t =()0F t ='()0F t =≤，故()F t 在1(,1]2上单调递减又(1)0F =，故()0F t =等价于1t =，与之对应的1m = 综上，1m =．。
重庆市第一中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学(理)试题-含答案
2017年重庆市一中2018级高二下学期期末考试数学试题卷（理科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设集合2{1,3,5,7},{|35}A B x x x ==-≤，则A B =A ．{}1,3B ．{}3,5C ．{}5,7D ．{}1,72、设复数z 满足21i z=+，则z = A ．1i + B ．1i - C ．2i D ．2i -3、命题：“对任意22,ln(2)0x x R e x x ∈-++>”的否定是A ．任意22,ln(2)0x x R e x x ∈-++≤B ．存在22,ln(2)0x x R e x x ∈-++>C ．不存在22,ln(2)0x x R e x x ∈-++≤D ．存在22,ln(2)0x x R e x x ∈-++≤4、已知2(2017,)N ξσ，若(20162017)0.2P ξ≤≤=，则(2018)P ξ>等于A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.45、函数()3f x x=-的定义域为 A ．{}|3x x ≠ B ．{|3x x ≤-或3}x > C ．{|33}x x -<≤D ．{|33}x x -≤<6、函数()321313f x x x x =-+++，以下关于此函数的说法正确的是 A ．在1x =处取得极小值 B ．在1x =-处取得极大值C ．在3x =-处取得极小值D ．在3x =-处取得极大值7、一个半径为1的球对称的消去了三部分，其俯视图如图所示，那么该立体图形的表面积为A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π8、已知12,F F 是双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的左右焦点，P 为双曲线右支上一点，1PF与以原点为圆心a 为半径的圆相切，切点为M ，若11()2OM OF OP =+，那么该双曲线的离心率为ABCD1 9、（原创）在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人现独立思考完成，然后一起讨论，甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你作对了！”，丙说：“我也做错了！”最后老师知道了他们三人的答案和讨论后总结：“你们三人中有且只有一人做对了”，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是A ．甲做对了B ．甲说对了C ．乙作对了D ．乙说对了10、（原创）NBA 全明星周末有投篮之星、扣篮大赛、技巧挑战赛和三分大赛四种项目，某高中为了锻炼学生体质，也模仿全明星周末举行“篮球周末”活动，同样是投篮之星，扣篮大赛、技巧挑战赛和三分大赛四种项目，现在高二某班有两名同学要报名参加此次活动，每名同学最多两项（至少参加一项），那么他俩共有多少种不同的报名方式A ．96B ．100C ．144D ．22511、（原创）已知点P 为圆22(2)1x y -+=上的点，直线1l为y =，2l为y x =，P 到12l l 的距离分别为12d d ，那么12d d 的最小值为A ．12B ．13C ．29D ．1612、（原创）设函数()f x 在R 上连续可导，对任意x R ∈，有()()cos 2f x f x x -+=，当(0,)x ∈+∞ 时，()sin 20f x x +>，若()()c o s 202f m f m m π--->，则实数m 的取值范围为A ．(,)4π+∞B ．(,)4π-∞C ．(0,)4π D ．(,)44ππ- 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13、设函数()22,242x x x f x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩，则1()(10)f f =14、闭区间[]0,5上等可能的任取一个实数x ，那么不等式220x x --≤ 成立的概率为15、已知22201221(2)(1)(1)(1),2,n n n x a a x a x a x n n N +-+=+++++++≥∈， 则24222n n a a a a -++++=16、（原创）已知,,a b c 为正整数，()(),c f x ax f x b x=+=在(0,1)x ∈上有两个不同的实数解，若这样的正整数b 有且只有2个，那么a c +的最小值为三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必做题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17、（本小题满分10分）已知条件2:560p x x -+≤，条件q ：关于x 的不等式230x mx m +++>.（1）若条件q 中对于一切x R ∈恒为真，求实数m 的取值范围；（2）若p 是q ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.18、（本小题满分12分）（原创）空气质量按照空气质量指数的大小分为七档（五级），相对空气质量的七个类别，指数越大，说明污染的情况月严重，对人体危害越大.现统计了重庆某时间段连续60天空气质量指数，统计结果如下表：空气质量指数级别对人们的幸福指数有影响，若空切质量指数级别与人们行贾指数平均值对应如下表（幸福指数满分10分）（1）若某人计划到重庆10日游，预测在这10天里重庆人幸福指数平均值不超过6的天数；（2）求重庆人幸福指数平均值的分布列及期望.19、（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为边长为2的菱形，060,DAB PAD ∠=∆为正三角形，6PB =.（1）证明：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）E 为线段PB 上的点，平面PAD 与平面ACE 所成锐二面角为030,PE PB λ=，求出λ的值.20、（本小题满分12分）（原创）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，该椭圆上、左、下顶点及右焦点围成的四边形面积为12. （1）求椭圆的方程；（2）如图，若矩形ABCD 的三条边都与该椭圆相切，求矩形ABCD 面积的最大值.21、（本小题满分12分）（原创）已知函数()()11,1n x n m x f x g x m mx x +-==--（其中,,m e n me ≥为正整数，e 为自然对数的底）（1）证明：当1x >时，()0m g x >恒成立；（2）当3n m >≥时，试比较()n f m 与()m f n 的大小，并证明.请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．22、（本小题满分10分） 选修4-4 坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为22cos 28sin 0ρθρρθ+-=，曲线2C 的参数方程为2x t y =⎧⎪⎨=⎪⎩. （1）将曲线1C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）曲线1C 与2C 相交于,A B 两点，若(0,2)P ，求PA PB ⋅的值.23、（本小题满分10分））选修4-5 不等式选讲已知函数()42f x x x =++-.（1）解不等式()8f x >；（2）设函数()f x 的最小值为a ，正实数,,m n s 满足22m m s a ++=，求222m n s ++的最小值.。
重庆市高中名校高二数学(理)上学期期末试题及答案
2016年重庆一中高2017级高二上期期末考试数 学 试 题 卷（理科） 2016.1（时间：120分钟 分数：150分）一．选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分）1．复数31ii -（i 是虚数单位）的虚部是（ ） （A ）32i （B ）32 （C ）32i - （D ）32-2．定积分()32sin x x dx ππ-+⎰等于（ ）（A ）0 （B ）2192π- （C ）2219π- （D ）2219π+ 3．（原创）已知命题p ：R x ∈∀，04223≠+++x x e x ，则⌝p 为（ ）（A ）R x ∈∃0，使得042ln 20300=+++x x x （B ）R x ∈∃0，使得04220300≠+++x x ex （C ）R x ∈∃，使得04223=+++x x e x （D ）R x ∈∀0，使得04220300=+++x x ex4．用反证法证明结论：“曲线()y f x =与曲线()y g x =至少有两个不同的交点”时，要做的假设是（ ）（A ）曲线()y f x =与曲线()y g x =至多有两个不同的交点 （B ）曲线()y f x =与曲线()y g x =至多有一个交点 （C ）曲线()y f x =与曲线()y g x =恰有两个不同的交点 （D ）曲线()y f x =与曲线()y g x =至少有一个交点5．已知直线()R a a ay x ∈+=+2与圆072222=---+y x y x 交于,M N 两点，则线段MN的长的最小值为（ ）（A ）24 （B ）22 （C ）2 （D ）26．()()830+-<x x 的一个充分不必要条件是（ ）（A ）38<<-x （B ）8>x （C ）3-<x （D ）8-<x 或3>x7．给出以下五个结论：①经过()()1122,,,A x y B x y 两点的直线的方程为112121y y x x y y x x --=--； ②以()()1122,,,A x y B x y 为直径的两个端点的圆的方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--=；③平面上到两个定点12,F F 的距离的和为常数2a 的点的轨迹是椭圆；④平面上到两个定点12,F F 的距离的差为常数()1222||a a F F <的点的轨迹是双曲线；⑤平面上到定点F 和到定直线l 的距离相等的点的轨迹是抛物线。
重庆市高二数学上学期期末考试试题理
2017年重庆一中高2018级高二上期期末考试数学试题卷（理科）数学试题共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、选择题：（本大题 12个小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须填涂在答题卡上相应位置。
1.椭圆的焦距为（）A.1B.2C.3D.42.圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为（）A. B. C. D.3.已知圆的圆心在直线上，则实数的值为（）A. B. C. D.4.已知实数满足，则的最大值为（）A.4B.3C.0D.25.下列命题是真命题的是（）A.，都有B.平面直角坐标系中任意直线都有斜率C.，使得D.过空间一点存在直线与平面平行6.人民代表人民选，现从甲地区6名候选人选出3名人大代表、乙地区5名候选人选出2名人大代表，则不同的选法有（）A.80种B.100种C.150种D.200种7.已知平面及平面同一侧外的不共线三点，则“三点到平面的距离都相等”是“平面平面”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8.如图，点为所在平面外一点，且两两互相垂直，，点为棱的中点，若三棱锥的体积为，则异面直线直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.9.（原创）在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，在平面内存在点使得，则直线到平面的距离为（）A. B. C. D.10.（原创）已知点是双曲线上异于顶点的一点，是坐标原点，是双曲线的右焦点，且过作直线使得，交双曲线于不同两点，则（）A. B. C. D.11.（原创）如图，是一个三行两列的数表，现从1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字中任选六个不同的数字填在该数表的6个方格子中，每个方格子中只填一个数字，且在这三行中只有．．第三行的两个数字之和为6，则不同的排列方法有（）种A.2880B.2156C.3040D.354412.（原创）已知抛物线，为过抛物线焦点的弦，的中垂线交抛物线于点。
重庆市高中名校2017级高二数学(理)上学期期末试题及答案
2016年重庆一中高2017级高二上期期末考试数 学 试 题 卷（理科） 2016.1（时间：120分钟 分数：150分）一．选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分）1．复数31ii-（i 是虚数单位）的虚部是（ ） （A ）32i （B ）32 （C ）32i - （D ）32-2．定积分()332sin x x dx ππ-+⎰等于（ ）（A ）0 （B ）2192π- （C ）2219π- （D ）2219π+ 3．（原创）已知命题p ：R x ∈∀，04223≠+++x x e x，则⌝p 为（ ）（A ）R x ∈∃0，使得042ln 20300=+++x x x （B ）R x ∈∃0，使得04220300≠+++x x e x（C ）R x ∈∃，使得04223=+++x x e x（D ）R x ∈∀0，使得04220300=+++x x e x4．用反证法证明结论：“曲线()y f x =与曲线()y g x =至少有两个不同的交点”时，要做的假设是（ ）（A ）曲线()y f x =与曲线()y g x =至多有两个不同的交点 （B ）曲线()y f x =与曲线()y g x =至多有一个交点 （C ）曲线()y f x =与曲线()y g x =恰有两个不同的交点 （D ）曲线()y f x =与曲线()y g x =至少有一个交点5．已知直线()R a a ay x ∈+=+2与圆072222=---+y x y x 交于,M N 两点，则线段MN的长的最小值为（ ）（A ）24 （B ）22 （C ）2 （D ）26．()()830+-<x x 的一个充分不必要条件是（ ）（A ）38<<-x （B ）8>x （C ）3-<x （D ）8-<x 或3>x7．给出以下五个结论：①经过()()1122,,,A x y B x y 两点的直线的方程为112121y y x x y y x x --=--；②以()()1122,,,A x y B x y 为直径的两个端点的圆的方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--=；③平面上到两个定点12,F F 的距离的和为常数2a 的点的轨迹是椭圆；④平面上到两个定点12,F F 的距离的差为常数()1222||a a F F <的点的轨迹是双曲线；⑤平面上到定点F 和到定直线l 的距离相等的点的轨迹是抛物线。
重庆一中2016-2017学年高二(上)期中数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年重庆一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线x+y﹣3=0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°2．3个班分别从5个风景点处选择一处游览，不同的选法种数是（）A．53B．35C．A53D．C533．对任意的实数m，直线y=mx+1与圆x2+y2=4的位置关系一定是（）A．相切B．相交且直线过圆心C．相交且直线不过圆心D．相离4．已知椭圆方程为的左、右焦点分别为F1，F2，过左焦点F1的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为（）A．12 B．9 C．6 D．45．若曲线表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（）A．m＜1 B．m＜0 C．D．6．设椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若=，则||•||=（）A．2 B．3 C．D．7．在（x﹣1）n（n∈N+）的二项展开式中，若只有第4项的二项式系数最大，则的二项展开式中的常数项为（）A．960 B．﹣160 C．﹣560 D．﹣9608．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A．1 B．C．D．9．P是双曲线的右支上一点，M，N分别是圆x2+y2+10x+21=0和x2+y2﹣10x+24=0上的点，则|PM|﹣|PN|的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．910．4个男生4个女生站成一排，要求相邻两人性别不同且男生甲与女生乙相邻，则这样的站法有（）A．576种B．504种C．288种D．252种11．已知点P（x，y）在椭圆上运动，设，则d 的最小值为（）A．B． C．D．12．已知直线l与坐标轴不垂直且横、纵截距相等，圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=r2，若直线l和圆C相切，且满足条件的直线l恰好有三条，则圆的半径r的取值集合为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为．14．已知，则x2+y2的最小值是．15．将编号1，2，3，4，5的小球放入编号1，2，3，4，5的盒子中，每个盒子放一个小球，则至多有两个小球的编号与盒子的编号相同的放法共有种．16．已知双曲线C的右焦点为F，过F的直线l与双曲线C交于不同两点A、B，且A、B两点间的距离恰好等于焦距，若这样的直线l有且仅有两条，则双曲线C 的离心率的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．△ABC中，点A（1，2），B（﹣1，3），C（3，﹣3）．（1）求AC边上的高所在直线的方程；（2）求AB边上的中线的长度．18．已知（2x2﹣x+1）（1﹣2x）6=a0+a1x+a2x2+…+a8x8．（1）求a2；（2）求（a2+a4+a6+a8）2﹣（a1+a3+a5+a7）2．19．已知过点P（1，2）的直线l和圆x2+y2=6交于A，B两点．（1）若点P恰好为线段AB的中点，求直线l的方程；（2）若，求直线l的方程．20．设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上投影，M为线段PD上一点，且．（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；（2）过点（3，0）且斜率为的直线交轨迹C于A，B两点，若点F（﹣3，0），△ABF求的面积．21．已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线，若抛物线C：y2=2px（p＞0）上的点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2．（1）求抛物线C的方程；（2）在抛物线C上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围．22．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，动点P在椭圆上运动，|PF1|•|PF2|的最大值为25，且点P到F1的距离的最小值为1．（1）求椭圆T的方程；（2）直线l与椭圆T有且仅有一个交点A，且l切圆M：x2+y2=R2（其中（3＜R ＜5））于点B，求A、B两点间的距离|AB|的最大值；（3）当过点C（10，1）的动直线与椭圆T相交于两不同点G、H时，在线段GH上取一点D，满足，求证：点D在定直线上．2016-2017学年重庆一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线x+y﹣3=0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°【考点】直线的倾斜角．【分析】将直线方程化为斜截式，求出斜率再求倾斜角．【解答】解：将已知直线化为y=，所以直线的斜率为，所以直线的倾斜角为150°，故选：D．2．3个班分别从5个风景点处选择一处游览，不同的选法种数是（）A．53B．35C．A53D．C53【考点】计数原理的应用．【分析】每班从5个风景点中选择一处游览，每班都有5种选择，根据乘法原理，即可得到结论【解答】解：∵共3个班，每班从5个风景点中选择一处游览，∴每班都有5种选择，∴不同的选法共有53，故选：A．3．对任意的实数m，直线y=mx+1与圆x2+y2=4的位置关系一定是（）A．相切B．相交且直线过圆心C．相交且直线不过圆心D．相离【考点】直线与圆的位置关系．【分析】对任意的实数m，直线y=mx+1恒过点（0，1），且斜率存在，判断（0，1）在圆x2+y2=4的关系，可得结论．【解答】解：对任意的实数m，直线y=mx+1恒过点（0，1），且斜率存在∵（0，1）在圆x2+y2=4内，圆心坐标（0，0）不满足y=mx+1，所以直线不经过圆的圆心，∴对任意的实数m，直线y=mx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是相交但直线不过圆心故选：C．4．已知椭圆方程为的左、右焦点分别为F1，F2，过左焦点F1的直线交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为（）A．12 B．9 C．6 D．4【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆方程为焦点在x轴上，a=3，根据椭圆的定义可知：椭圆的定义可知：|AF1|+|AF2|=2a=6，|BF1|+|BF2|=2a=6，则△ABF2的周长（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=4a=12．【解答】解：椭圆方程为焦点在x轴上，a=3，b=2，c=，由椭圆的定义可知：|AF1|+|AF2|=2a=6，|BF1|+|BF2|=2a=6，则△ABF2的周长（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=2a+2a=4a=12，∴△ABF2的周长12，故选A．5．若曲线表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（）A．m＜1 B．m＜0 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】将曲线化成焦点在y轴上双曲线的标准方程，得，由此建立关于m的不等式组，解之可得m＜0．【解答】解：∵曲线表示焦点在y轴上的双曲线，∴将曲线化成标准方程，得，由此可得1﹣m＞0且﹣m＞0，解得m＜0．故选：B6．设椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若=，则||•||=（）A．2 B．3 C．D．【考点】椭圆的简单性质；平面向量数量积的运算．【分析】设|PF1|=m、|PF2|=n，根据椭圆的定义得到m+n=4．在△F1PF2中利用余弦定理，得4=m2+n2﹣2mncos∠F1PF2，结合=算出m2+n2=9，两式联解得出mn=，即得||•||的值．【解答】解：椭圆中，a=2，b=，可得c==1，焦距|F1F2|=2．设|PF1|=m、|PF2|=n，根据椭圆的定义，可得m+n=2a=4，平方得m2+2mn+n2=16…①．△F1PF2中，根据余弦定理得：|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|cos∠F1PF2，即4=m2+n2﹣2mncos∠F1PF2，…②∵=，∴cos∠F1PF2=mncos∠F1PF2=，代入②并整理，可得m2+n2=9…③，用①减去③，可得2mn=7，解得mn=，即||•||=．故选：C7．在（x﹣1）n（n∈N+）的二项展开式中，若只有第4项的二项式系数最大，则的二项展开式中的常数项为（）A．960 B．﹣160 C．﹣560 D．﹣960【考点】二项式定理的应用．【分析】先求得n=6，再利用二项展开式的通项公式，求得的二项展开式中的常数项．）的二项展开式中，若只有第4项的二项式系【解答】解：在（x﹣1）n（n∈N+数最大，则n=6，=•26﹣r•（﹣1）则=的二项展开式的通项公式为T r+1r•x3﹣r，令3﹣r=0，求得r=3，可得展开式中的常数项为•23•（﹣1）=﹣160，故选：B．8．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）A．1 B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】求出满足条件的该正方体的正视图的面积的范围为即可得出．【解答】解：水平放置的正方体，当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大为．因此满足棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积的范围为．因此可知：A，B，D皆有可能，而＜1，故C不可能．故选C．9．P是双曲线的右支上一点，M，N分别是圆x2+y2+10x+21=0和x2+y2﹣10x+24=0上的点，则|PM|﹣|PN|的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题设通过双曲线的定义推出|PF1|﹣|PF2|=6，利用|MP|≤|PF1|+|MF1|，|PN|≥|PF2|﹣|NF2|，推出|PM|﹣|PN|≤|PF1|+|MF1|﹣|PF2|﹣|NF2|，求出最大值．【解答】解：双曲线双曲线，如图：∵a=3，b=4，c=5，∴F1（﹣5，0），F2（5，0），∵x2+y2+10x+21=0，x2+y2﹣10x+24=0，∴（x+5）2+y2=4和（x﹣5）2+y2=1，∵|PF1|﹣|PF2|=2a=6，∴|MP|≤|PF1|+|MF1|，|PN|≥|PF2|﹣|NF2|，∴﹣|PN|≤﹣|PF2|+|NF2|，所以，|PM|﹣|PN|≤|PF1|+|MF1|﹣|PF2|+|NF2|=6+1+2=9．故选D10．4个男生4个女生站成一排，要求相邻两人性别不同且男生甲与女生乙相邻，则这样的站法有（）A．576种B．504种C．288种D．252种【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】把男生甲与女生乙排在一起作为一个元素，剩余3个男生与3个女生，按照男生、女生不相邻的插空排法共有•不同的站法；再把男生甲与女生乙放入，符合条件的是••种不同的站法．【解答】解：4个男生4个女生站成一排，把男生甲与女生乙排在一起作为一个元素，剩余3个男生与3个女生，按照男生、女生不相邻的插空排法，有•=6×24=144种不同的站法；现在有7个位置把男生甲与女生乙放入，符合条件的是：••=×7×144=504．故选：B．11．已知点P（x，y）在椭圆上运动，设，则d 的最小值为（）A．B． C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由设P（2cosα，sinα），则设=﹣cosα=﹣cosα，当sinα=0，cosα=1时，d的最小值．【解答】解：椭圆焦点在x轴上，由点P（x，y）在椭圆上，设P（2cosα，sinα），则设=﹣cosα，=﹣cosα，当sinα=0，cosα=1时，d的最小值为=﹣1=2﹣1，d的最小值2﹣1，故选B．12．已知直线l与坐标轴不垂直且横、纵截距相等，圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=r2，若直线l和圆C相切，且满足条件的直线l恰好有三条，则圆的半径r的取值集合为（）A．B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】当r=1，2时，符合题意，排除B，A，C，即可得出结论．【解答】解：由题意，r=1时，直线过原点，方程x=0，与x轴垂直，另外一条与圆C相切；斜率为﹣1，与圆C相切，有两条，符合题意，排除B．r=2时，直线过原点，方程y=0，与y轴垂直，另外一条与圆C相切；斜率为﹣1，与圆C相切，有两条，符合题意，排除A，C．故选D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为1．【考点】抛物线的标准方程．【分析】利用抛物线的标准方程可得p=1，由焦点到准线的距离为p，从而得到结果．【解答】解：抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为p，由标准方程可得p=1，故答案是：1．14．已知，则x2+y2的最小值是5．【考点】简单线性规划．【分析】（1）画可行域；（2）设目标函数z=x2+y2z为以（0，0）为圆心的圆半径平方（也可以理解为可行域内点到（0，0）点距离平方）；（3）利用目标函数几何意义求最值．【解答】解：已知，如图画出可行域，得交点A（1，2），B（3，4），令z=x2+y2，z为以（0，0）为圆心的圆半径平方（也可以理解为可行域内点到（0，0）点距离平方），因此点A（1，2），使z最小代入得z=1+4=5则x2+y2的最小值是5．15．将编号1，2，3，4，5的小球放入编号1，2，3，4，5的盒子中，每个盒子放一个小球，则至多有两个小球的编号与盒子的编号相同的放法共有109种．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】利用间接法，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：5个球全排列为A55=120种情况3个球的编号与盒子的相同，先选出3个小球，放到对应序号的盒子里，有C53=10种情况，另外2个球，有1种不同的放法，故10种情况4个球的编号与盒子的相同，有1种不同的放法，故至多有两个小球的编号与盒子的编号相同的放法共有120﹣10﹣1=109种不同的放法，故答案为：109．16．已知双曲线C的右焦点为F，过F的直线l与双曲线C交于不同两点A、B，且A、B两点间的距离恰好等于焦距，若这样的直线l有且仅有两条，则双曲线C的离心率的取值范围为（1，）∪（2，+∞）．【考点】双曲线的简单性质．【分析】讨论当A，B均在右支上，可得c＞，当A，B在左右两支上，可得c＞2a，运用离心率公式，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：当A，B均在右支上，可得c＞，即有2b2＜ac，即2c2﹣ac﹣2a2＜0，即为2e2﹣e﹣2＜0，解得1＜e＜；当A，B在左右两支上，可得c＞2a，即有e＞2．故答案为：（1，）∪（2，+∞）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．△ABC中，点A（1，2），B（﹣1，3），C（3，﹣3）．（1）求AC边上的高所在直线的方程；（2）求AB边上的中线的长度．【考点】待定系数法求直线方程．【分析】（1）由斜率公式易知k AC，由垂直关系可得AC边上的高所在的直线方程的斜率k，代入点斜式易得；（2）求得线段AB的中点坐标为M（0，），然后利用两点间的距离公式进行解答．【解答】解：（1）由斜率公式易知k AC=﹣=﹣，∴AC边上的高所在的直线的斜率k=，又AC 边上的高所在的直线过点B （﹣1，3），代入点斜式易得y ﹣3=（x +1）， 整理，得：2x ﹣5y +17=0．（2）由A （1，2），B （﹣1，3）得到AB 边的中点坐标M 是（0，），故中线长|CM |==．18．已知（2x 2﹣x +1）（1﹣2x ）6=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 8x 8． （1）求a 2；（2）求（a 2+a 4+a 6+a 8）2﹣（a 1+a 3+a 5+a 7）2． 【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算． 【分析】（1）利用展开式的通项公式，求得a 2的值．（2）令x=0，可得a 0 =1，再分别令x=1、x=﹣1，可得两个式子，化简这2个式子，可得要求式子的值．【解答】解：（1）分析项的构成，知：．（2）原式=（a 1+a 2+a 3+…+a 8）（﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4﹣a 5+a 6﹣a 7+a 8）， 令x=0，得a 0=1，令x=1，得a 0+a 1+a 2+a 3+…+a 8=2⇒a 1+a 2+a 3+…+a 8=1，令x=﹣1，得a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4﹣a 5+a 6﹣a 7+a 8=2916⇒﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4﹣a 5+a 6﹣a 7+a 8=2915 从而原式=2915．19．已知过点P （1，2）的直线l 和圆x 2+y 2=6交于A ，B 两点． （1）若点P 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程； （2）若，求直线l 的方程．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（1）圆心为原点O ，由已知OP ⊥l ，求出l 的斜率，可得直线l 的方程；（2）分类讨论，利用垂径定理，求出直线的斜率，即可求出直线l 的方程． 【解答】解：（1）易知圆心为原点O ，由已知OP ⊥l ，所以k OP •k l =﹣1，而k OP =2，解出，由点斜式可得直线的方程为：x+2y﹣5=0；（2）当直线l的斜率不存在时，刚好满足，此时直线方程为x=1；若直线斜率存在，设为y﹣2=k（x﹣1），整理为kx﹣y+（2﹣k）=0．由垂径定理，可得圆心到直线的距离，所以，解出，此时直线的方程为3x﹣4y+5=0．综上可知满足条件的直线方程为：x=1或者3x﹣4y+5=0．20．设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上投影，M为线段PD上一点，且．（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；（2）过点（3，0）且斜率为的直线交轨迹C于A，B两点，若点F（﹣3，0），△ABF求的面积．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）由题意可知：M的坐标为（x，y），P的坐标为（x'，y'），则，解得：，代入x'2+y'2=25，整理得点M的轨迹C的方程；（2）设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理可知：x1+x2=3，x1•x2=﹣8，利用弦长公式求出丨AB丨，求出点F到AB的距离，即可求△ABF的面积．【解答】解：（1）设M的坐标为（x，y），P的坐标为（x'，y'），由，解得：，∵P在圆上，∴x'2+y'2=25，即x2+（y）2=25，整理得．（2）直线，代入C的方程，整理得：x2﹣3x﹣8=0∴由韦达定理可知：x1+x2=3，x1•x2=﹣8，∴线段AB的长度为，点F到AB的距离为，故．21．已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线，若抛物线C：y2=2px（p＞0）上的点到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2．（1）求抛物线C的方程；（2）在抛物线C上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）由抛物线的定义知：P到直线的距离等等于P到焦点的距离，则P距离之和的最小值为点F到直线l1的距离，利用点到直线的距离公式，即可求得p的值，求得抛物线C的方程；（2）可设直线AB：x=﹣ky+m．代入抛物线方程，由韦达定理及中点坐标公式可知：．又AB与抛物线有两个不同的交点，故△=16k2+16m＞0．代入即可求得k的取值范围．【解答】解：（1）抛物线C：y2=2px（p＞0）焦点在x轴上，焦点F（，0），由抛物线的定义知：P到直线的距离等等于P到焦点的距离，∴P到两直线的距离之和的最小值为点F到直线l1的距离，由点到直线的距离公式可知：=2，解得：p=2，∴抛物线的方程为y2=4x．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为M（x0，y0），关于直线y=kx+3对称，故可设直线AB：x=﹣ky+m．，整理得：y2+4ky﹣4m=0．由韦达定理可知：y1+y2=﹣4m，则，∴．∵点M（x0，y0）在y=kx+3上，则﹣2k=k（2k2+m）+3．即．又AB与抛物线有两个不同的交点，故△=16k2+16m＞0．将m代入上式得：，即k（k+1）（k2﹣k+3）＜0，k2﹣k+3＞0恒成立，∴解得：﹣1＜k＜0，由故k的取值范围为（﹣1，0）．22．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，动点P在椭圆上运动，|PF1|•|PF2|的最大值为25，且点P到F1的距离的最小值为1．（1）求椭圆T的方程；（2）直线l与椭圆T有且仅有一个交点A，且l切圆M：x2+y2=R2（其中（3＜R ＜5））于点B，求A、B两点间的距离|AB|的最大值；（3）当过点C（10，1）的动直线与椭圆T相交于两不同点G、H时，在线段GH上取一点D，满足，求证：点D在定直线上．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由于，则|PF1|•|PF2|的最大值为a2，a2=25，a﹣c=1，c=4，即可求得b的值，求得椭圆T的方程；（2）设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，由直线与圆相切代入即可求得A，B坐标，由两点之间的距离公式，利用韦达定理即可求得A、B两点间的距离|AB|的最大值；（3）设G、H、D的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x，y），由题设知，于是且．从而．又G、H在椭圆上，则，化简整理得点D在定直线18x+5y﹣45=0上．【解答】解：（1）由于，所以|PF1|•|PF2|的最大值为a2，当|PF1|=|PF2|时取等号，由已知可得a2=25，即a=5，又a﹣c=1，c=4，所以b2=a2﹣c2=9，故椭圆的方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）分别为直线l与椭圆和圆的切点，设直线AB的方程为y=kx+m．因为A既在椭圆上，又在直线AB上，从而有，消y得（25k2+9）x2+50kmx+25（m2﹣9）=0．由于直线与椭圆相切，故，△=（50km）2﹣4（25k2+9）×25（m2﹣9）=0，从而可得m2=9+25k2①，且②．由，消y得（k2+1）x2+2kmx+m2﹣R2=0．由于直线与椭圆相切，得m2=R2（1+k2）③，且④．由①③得，故，=，，即|AB|≤2．当且仅当时取等号，所以|AB|的最大值为2．（3）证明：设G、H、D的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x，y），由题设知，均不为零，记，则λ＞0且λ≠1，又C、G、D、H四点共线，则．于是且．从而．又G、H在椭圆上，则，消去x1，y1，x2，y2得90x+25y=9×25，即点D在定直线18x+5y﹣45=0上．2017年1月14日。
重庆一中2017-2018学年高二上学期期末考试题数学(理)
秘密★启用前2018年重庆一中高2019级高二上期期末考试数 学 试 题 卷（理科） 2018.1数学试题共4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一.选择题.(每小题5分,共60分)1.若命题“p q ∧”为假，且“p ⌝”为假，则( )A ．p 且q 为真B ．q 假C ．q 真D .p 假 2.当函数x y x e =g 取极小值时，x =( )A ．2B ．2-C ．1D ． 1- 3.若抛物线24y x =上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离为( )A ．8B ．9C ．10D ．114.设a R ∈，函数()x x f x e a e -=+g 的导函数是()f x '，且()f x '是奇函数，则a 的值为( )A ．1B ．12-C ．12D ．1-5.设平面α与平面β相交于直线l ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b l ⊥，则“a b ⊥”是“αβ⊥”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.已知P 是椭圆2221(05)25x y b b +=<<上除顶点外的一点，1F 是椭圆的左焦点，若11()42OP OF +=u u ur u u u r ，则点P 到该椭圆左焦点的距离为( ) A ．6 B ．4 C ．2 D ．527.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点，已知,2BAC π∠=2AB =，23,2AC PA ==，则异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为( )A ．34B ．38C ．14D ．188.已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截去一部分后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为( ) A ．210 B ．22C ．92D ．3102 9.给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导函数，()f x ''是函数()f x '的导函数，若()f x ''有零点0x ，则称点()00,()x f x 为原函数()y f x =的“拐点”。
重庆市第一中学2016-2017学年高二数学上学期期末考试试题理
数 学 试 题 卷（理科）
数学试题共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项：
1. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2. 答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡 皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。 3. 答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
0) 的右焦点为 F ，若过点 F 且倾斜角为 30 的直线与双
曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
_______________ 。
16. （改编）某几何体的三视图如图所示，若该几 何体的所有顶点都在同一个球的表面上，则这个球 的表面积是 ________________ 。
三、解答题： （本大题 6 个小题，共 70 分）各题解答必须答在答题卷上相应题目指定的方框
D.
3.
已知圆
C
:
2
x
2
y
ax
4y
4
0 的圆心 C 在直线 2 x
y
0 上，则实数 a 的值为 （
）
A. 1
B.
1
C.
2
D.
2
xy20
4. 已知实数 x, y 满足 x 0
，则 z x 2 y 的最大值为（ ）
y0
A.4
B.3
C.0
D.2
5. 下列命题是真命题的是（
）
A. x R ，都有 x2 1 0
）
12
6
A.
B.