第4讲希尔伯特(Hilbert)空间
chp3-3-3-内积空间与希尔伯特空间 PPT
注 ： 1）在一般的内积空间中，||x+y||2=||x||2+||y||2成立，不一定 有xy. 事实上， ||x+y||2=||x||2+||y||2+2Re<x,y>
2）在实内积空间中，xy||x+y||2=||x||2+||y||2
||x+y||=max|1+(t-a)/(b-a)|=2, ||x-y||=max|1-(t-a)/(b-a)|=1
||x+y||2+||x-y||2=54=2(||x||2+||y||2)
C[a, b]中范数不满足平行四边形公式，
因而不是由内积导出的范数 C[a, b]不是内+ ||x|| ||yn-y||0 <xn, yn> <x, y> (n)
注：距离函数、范数、内积都是连续函数
大家应该也有点累了，稍作休息
大家有疑问的，可以询问
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二、内积空间中的正交分解与投影定理
在解析几何中，有向量正交和向量投影 的概念.
两个向量正交的充分必要条件是它们的 内积等于0.
定义3 设H是内积空间，若H按照由内积诱导的范数成为 Banach空间，则称H是希尔伯特空间(Hilbert).
n
例1 n维欧氏空间Rn按照内积 x, y xk yk 是内积空间。 k 1
n
Rn按照由内积导出的范数 x
x
2 k
是Banach空间，
k 1
因而是Hilbert空间。
Rn中由内积导出的距离为
希尔伯特空间
一百年前的数学界有两位泰斗：庞加莱和希尔伯特，而尤以后者更加出名，我想主要原因是他曾经在1900年的世界数学家大会上提出了二十三个著名的希尔伯特问题，指引了本世纪前五十年数学的主攻方向，不过还有一个原因呢，我想就是著名的希尔伯特空间了。
希尔伯特空间是希尔伯特在解决无穷维线性方程组时提出的概念，原来的线性代数理论都是基于有限维欧几里得空间的，无法适用，这迫使希尔伯特去思考无穷维欧几里得空间，也就是无穷序列空间的性质。
大家知道，在一个欧几里得空间R^n上，所有的点可以写成为：X=（x1，x2，x3，...，xn）。
那么类似的，在一个无穷维欧几里得空间上点就是：X= （x1，x2，x3，....xn，.....），一个点的序列。
欧氏空间上有两个重要的性质，一是每个点都有一个范数（绝对值，或者说是一个点到原点的距离），||X||^2=∑xn^2，可是这一重要性质在无穷维时被破坏了：对于无穷多个xn，∑xn^2可以不存在（为无穷大）。
于是希尔伯特将所有∑xn^2为有限的点做成一个子空间，并赋以X*X'=∑xn*xn' 作为两点的内积。
这个空间我们现在叫做l^2，平方和数列空间，这是最早的希尔伯特空间了。
注意到我只提了内积没有提范数，这是因为范数可以由点与自身的内积推出，所以内积是一个更加强的条件，有内积必有范数，反之不然。
只有范数的空间叫做Banach空间，（以后有时间再慢慢讲:-）。
如果光是用来解决无穷维线性方程组的话，泛函就不会被称为现代数学的支柱了。
Hilbert空间中我只提到了一个很自然的泛函空间：在无穷维欧氏空间上∑xn^2为有限的点。
这个最早的Hilbert space叫做l^2（小写的l 上标2，又叫小l2空间），非常类似于有限维的欧氏空间。
数学的发展可以说是一部抽象史。
最早的抽象大概是一个苹果和一头牛在算术运算中可以都被抽象为“一”，也就是“数学”本身的起源（脱离具体物体的数字运算）了，而Hilbert space理论发展就正是如此：“内积+ 线性”这两个性质被抽象出来，这样一大类函数空间就也成为了Hilbert space。
希尔伯特空间柯西施瓦茨不等式-概念解析以及定义
希尔伯特空间柯西施瓦茨不等式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述希尔伯特空间是数学中一个重要的概念，它是由德国数学家希尔伯特在20世纪初提出的。
希尔伯特空间是一种完备的内积空间，其内积定义了空间中向量的长度和夹角。
希尔伯特空间不仅在数学领域有广泛的应用，还在物理学、工程学等多个领域中发挥着重要作用。
柯西施瓦茨不等式是希尔伯特空间中的一个基本定理，它描述了两个向量之间内积的性质。
柯西施瓦茨不等式指出，对于任意的两个向量，在希尔伯特空间中，其内积的绝对值不超过两个向量的范数乘积。
这一不等式揭示了希尔伯特空间中向量之间的内积关系，为后续的分析提供了重要的基础。
本文将首先介绍希尔伯特空间的定义和一些基本性质，包括内积的性质、完备性等。
然后引入柯西施瓦茨不等式的概念，并对其进行详细的证明。
最后，我们将讨论希尔伯特空间和柯西施瓦茨不等式在实际问题中的应用，并探讨其重要性和未来的研究方向。
通过本文的研究，读者将能够全面了解希尔伯特空间和柯西施瓦茨不等式的内容和应用。
对于数学、物理和工程等领域的学生和研究人员来说，掌握这些基本概念和定理是非常重要的。
希望本文能够为读者提供有益的知识和启发，促进对希尔伯特空间和柯西施瓦茨不等式的更深入理解和应用。
1.2 文章结构文章结构如下：2.正文2.1 希尔伯特空间的定义和性质2.2 柯西施瓦茨不等式的引入2.3 柯西施瓦茨不等式的证明在正文部分，我们将首先介绍希尔伯特空间的定义和性质，以便读者对后续内容有一个清晰的认识。
希尔伯特空间是一种具有内积的完备线性空间，其内积赋予了空间中向量之间的长度和角度的度量。
我们将讨论希尔伯特空间的定义以及一些重要的性质，例如空间的完备性和内积的连续性等。
接下来，我们将引入柯西施瓦茨不等式。
柯西施瓦茨不等式是希尔伯特空间中一项极为重要的基本定理，它描述了内积中的向量之间的关系。
我们将探讨柯西施瓦茨不等式的具体内容及其在希尔伯特空间中的应用。
希尔伯特空间具体例子解析
希尔伯特空间具体例子解析1. 嘿，你知道不，量子力学里的波函数就可以是希尔伯特空间的一个具体例子呀！就像一个神秘的宝藏地图，指引着我们探索微观世界的奇妙。
比如电子的波函数，它描述了电子在空间中出现的概率分布。
哇塞，是不是超级神奇呢！2. 咱说希尔伯特空间啊，那图像处理也能用到呢！比如说图像的各种特征可以构成希尔伯特空间中的元素。
就好比是一幅绚丽多彩的画，而希尔伯特空间就是装这幅画的神奇盒子。
想想看，通过对这个空间的研究，能让图像变得更加清晰美丽，多厉害呀！3. 嘿呀，信号处理也有希尔伯特空间的影子哦！像声音信号的各种特征不就组成了希尔伯特空间的一部分嘛。
这就如同声音是一段奇妙的旅程，而希尔伯特空间就是承载这段旅程的轨道。
这难道不让人感叹科学的奇妙吗？4. 跟你讲哦，流体力学里也有希尔伯特空间的存在呢！比如流体的一些特性参数组合起来就是在希尔伯特空间里啦。
这不就像是流体在一个神秘的舞台上跳舞嘛，而希尔伯特空间就是那个舞台。
是不是很有意思呀！5. 哇哦，金融市场的波动也能和希尔伯特空间挂上钩呢！那些价格的变化数据啥的，都可以成为希尔伯特空间里的元素哟。
这就好像是金融市场是一片波涛汹涌的大海，希尔伯特空间就是掌控大海起伏的神秘力量，真牛啊！6. 你能想到吗，神经网络也和希尔伯特空间有关联哟！神经元的各种状态不就是在这个奇妙空间里嘛。
简直就是像大脑在一个奇幻世界中探索，而希尔伯特空间就是这个世界的主宰。
这太让人着迷了吧！7. 还有呢，密码学里竟然也藏着希尔伯特空间！加密解密过程中的一些关键数据不就是在其中吗。
就好比是密码是一把锁，而希尔伯特空间就是那把能开锁的神奇钥匙。
这真的太绝了呀！我觉得希尔伯特空间真的是超级神奇且充满魅力呀，它在好多领域都有着意想不到的应用和重要性呢！。
内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间
内积空间是希尔伯特空间的特例
完备的内积空间具有完备的几何结构，使得向量可以 按照内积进行长度和角度的度量，并且存在一个完备 的基底来表示空间中的任意向量。
内积空间是一个具有内积运算的线性空间，其满足正 定性、对称性和线性等性质。希尔伯特空间是内积空 间的特殊情况，它是一个完备的内积空间。
希尔伯特空间是内积空间的推广
Annual Work Summary Report
2021
2022
2023
目录
Байду номын сангаас
O1
引言
coOnte2nts
内积空间的基 本性质
O3
希尔伯特空间 的基本性质
O4
内积空间与希 尔伯特空间的 关系
O5
希尔伯特空间 的几何解释
O6
希尔伯特空间 的应用
#O1
引言
#2022
什么是内积空间
内积运算用于计算向量之间的角度和长度，是线性 代数和泛函分析中的基本概念。 内积空间是一个向量空间，其中定义了一个内积运 算，满足非负性、正交性、对称性和三角不等式等 性质。
希尔伯特空间的例子
$L^2$空间
01
函数空间，其元素是平方可积函数，通常用于描述物理系统的
状态。
$L^2$空间的子空间
02
例如，$L^2(0,1)$的闭子空间，通常用于描述量子力学中的束
缚态。
有限维空间
03
例如，$R^n$（实数向量空间），其具有有限个维度。
#O4
内积空间与希尔 伯特空间的关系
#2022
描述算子
在量子力学中，概率幅可以通过希尔伯 特空间中的内积计算。
计算概率幅
在信号处理和图像处理中的应用
高等量子力学-第一章__希尔伯特空间
2、基矢
正交归一的完全集称为这个空间的一个基矢组，或一组 基矢。当然一个空间可有不同的多组基矢。
n 维空间的一组基矢{1, 2 ,..., n} 的正交归一性质可以写为
i , j ij ， i, j = 1,2,…,n （1.5）
Schmidt 正交化方法： 一个矢量空间，只要知道它的一个 完全集总可以找到一组基矢。
2
1 （ 2
，2 ）12 2（，）2
由于 2 0 ，所以有 （，）2 2 2
即 （，）
三角形不等式：对于任意 和 ，有
（1.2）
Байду номын сангаас
证明：因为对任意复数 a 有 Re a a ，取 的模方，利
用此关系和 Schwartz 不等式，有 ( , ) 2 22R(e(,,) ) (,2 ) 2 2 2 ( ,) 2 2 2
和一个数 a，在集合内总有一个矢量 与之对应，记为
a a
称为 与 的乘积。数乘要满足下列四个条件：
条件（5）：1
条件（6）： ( a)b (ab) （结合律）
条件（7）： (a b) a b （第一分配律）
条件（8）： ( )a a a
（第二分配律）
α是实数时，空间称为在实数域上的矢量空间； α是复数时，空间称为在复数域上的矢量空间。
第三个例子 取数学对象为一组有次序的复数，例如四个数，
可以把它们写成一个一列矩阵：
l1
l
l2
l3 l4
加法，数乘和内积的定义分别为
l1 m1
l
m
l2
l3 l4
m2 m3 m4
l1
l
l2
l3 l4
(l, m)
第一章 希尔伯特空间与施斗姆刘维尔算子
第二篇 数学物理方程第一章 希尔伯特空间[]2,L a b 与施斗姆-刘维尔算子§2.2.1希尔伯特（Hilbert ）空间],[2b a L 希尔伯特空间[]2,L a b 是一个函数空间，这里简单地介绍一下，不作专门的理论研究. 2.1.1.1连续函数空间],[b a C 定义在区间[],a b 上的所有连续的复值函数的集合记为，这里区间],[b a C [],a b 可以是无限的. 是一个线性空间，现在在空间引入内积运算.],[b a C ],[b a C 定义1.设()(),f x g x 为空间内的任意两个函数，称在黎曼（Riemann ）意义下的积分],[b a C x x g x f bad ∫)()(为,f g 的内积，记作x x g x f g f bad ∫=)()(),(这里()g x 表示取()g x 的复共轭.根据定义，内积满足以下性质： 1.()(),,f g g f =. 2．对任意复数,αβ都有()()(),,,f g h f h g h αβαβ+=+这里[],,,a b f g h C ∈.3．≥0，当且仅当(f f ,)0f =时，(),0f f =. 可见是一内积空间. [],a b C 引入空间内的范数.[],a b C 定义2.设()f x 为[],a b C ()f x 的范数，记为f .显然范数与内积满足关系式()g f ,≤g f ⋅，它就是Cauchy-Schwarz 不等式.范数⋅具有以下明显的性质. 1．f ≥0，当且仅当0f =时，0f =. 2．对任意复数α，有f f ⋅=αα. 3．成立三角不等式g f +≤g f +.现在引入连续函数空间中函数序列收敛的概念.[],a b C 定义3.设中的一个函数序列[],a b C (){}n f x ，如果有函数()f x ，使得0lim lim 212=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−∫+∞→+∞→x f f f f ba n n n n d ,则称函数()f x 为函数序列{}n f 的极限，记为lim n n f f →+∞=.这种收敛的概念与高等数学中的序列收敛（点点收敛）的定义是不同的，通常称{}n f 为以范数收敛或平均收敛，为方便，也可简称平均收敛为收敛.高等数学中有一个判定序列收敛的著名的哥西（Cauchy ）准则.称凡是满足哥西准则的中的函数序列[],a b C (){}n f x 为基本列，即如果(){}nf x 是基本列，那么对于任意给定的0ε>，总存在自然数()N N ε=，当时都有,n m N >n m f f ε−<，反之亦然.应当指出，在空间中，基本列[],a b C {}n f 的极限未必是连续函数，即基本列{}n f 在中未必收敛.不能使得每一个基本列都收敛的空间称为不完备空间.可见，空间是不完备的.[,a b C ][],a b C 为了便于极限运算，可以将不完备的内积空间完备化，并且称的完备化空间为[],a b C [],a b C []2,L a b 空间.所谓完备化，就是在中增加所有基本列的极限函数.设函数序列{[],a b C }n f 是中的基本列，则定义函数[],a b C ()f x 为)(lim )(x f x f n n +∞→=.这样，若{}n f 本身在中为收敛于[],a b C 0f 的基本列，则取0f f =.若中两个基本列[],a b C {}n f 与{}n g 满足0→−n n g f （当时），则n →+∞规定lim lim n n n n f g →+∞→+∞=.2.1.1.2[]2,L a b 空间由此可见，函数空间[]2,L a b 中所有函数()f x 都可以表示为连续函数序列{}n f 的极限.于是，可以这样来引入[]2,L a b 中的线性运算与内积运算.定义4.设{}n f ，{}n g 是中的两个基本列，记[],a b C lim n n f f →+∞=，，则定义lim n n g →+∞=g ()lim n n n f g f αβαβ→+∞+=+g ，这里,αβ为复数，()(),lim ,n n n f g f →+∞=g由于{}n n f g αβ+仍是中的基本列，[],a b C (){},n n f g 是复数域中的基本列，因此上面的定义是合理的.由此，[]2,L a b 空间中函数f 的范数定义为f =.显然，成立定理1.定理1.设{}n f 是空间中的基本列，则数列是复平面上的基本列，这里区间[],a b C ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∫x x f b a n d 11)([]11,a b 是区间[],a b 的任意一个子区间.这样，数列是复平面上的基本列，并且有复数⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∫x x f ba n d 11)(A 为x x fA b a nn d ∫+∞→=11)(lim.于是我们定义定义5.设{}n f 是空间中的基本列，[],a b C [][]11,a b a b ⊂,，记()()lim n n f x f →+∞=x ，那么我们称数列的极限⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∫x x f b a n d 11)(A 为函数()f x 在[]11,a b 上的勒贝格(Lebesgue )积分，记为，并说⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∫x x f ba d 11)(()f x 在[]11,a b 上勒贝格可积.显然，若()f x 在[],a b 上黎曼可积则它的黎曼积分与它的勒贝格积分相等.今后如不特别声明，本书中的积分均指勒贝格积分.注意到中基本列的有界性，因此数列[],a b C {}2nf 也是基本列，这样[]2,L a b 中函数f 的范数也可用积分表示：+∞<⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∫∫+∞→212212lim x f x f f ba ba n n d d . 同样，[]2,L ab 中的内积用勒贝格积分表示为x x g x f g f bad ∫=)()(),(,其中()()[]2,,f x g x L a b ∈.若函数()f x 的模数()2f x 在[],a b 上勒贝格可积，则称函数()f x 是平方可积的.由此可见，[]2,L a b 中的每一个函数都是平方可积函数.凡是平方可积的函数也必都属于[]2,L a b ，因此也可以把它作为空间[]2,L a b 的定义.如果两个函数[]2,,f g L a b ∈，在[],a b 的任一子区间[]11,a b 上有x x g x x f b a b a d d ∫∫=1111)()(,则说两个函数,f g 是在[],a b 上几乎处处相等的，仍记为f g =.于是，在此意义下，在[]2,L a b 空间中(),f f 0=的必要且充分的条件是.0f =显然，[]2,L a b 是内积空间，满足内积的三条性质与范数的三条性质，同样，保持哥西不等式及内积连续性等性质，是完备的内积空间，因此[]2,L a b 空间是希尔伯特空间. 2.1.1.3[]2,L a b 空间的傅里叶（Fourier ）级数有人曾经指出，希尔伯特空间[]2,L a b 是无穷维的欧氏空间.这反映了[]2,L a b 具有许多类似于欧氏空间的性质：一个n 维欧氏空间n R 中存在标准正交基，对于n R 中的任一向量均可由这组标准正交基线性表示，对于[]2,L a b 空间也有这方面的类似性质.定义6.设[]122,,f f L a b ∈，如果()12,f f 0=则称函数12,f f 是正交的.定义7.若[]2,L a b 中一个可列无穷的函数列{}n ϕ满足{})3,2,1,()(1)(0,L =⎩⎨⎧=≠==j i j i j i ijjiδϕϕ 则称函数列{}n ϕ为[]2,L a b 中的标准正交系.例1：在复的[]2,L ππ−+空间里，函数系()0,1,2,inx n ⎫[] =±±⋅⋅⋅⋅⎬⎭是2,L π−π+中的一个标准正交系.例2：在[]2,L a b 空间里,这里是实数,函数系,a b ()2,1,2n x a n b a π−, =⋅⋅⋅⋅−是[]2,L a b 的一个标准正交系.对于欧氏空间n R 的任一向量均可由它的标准正交基线性表出,也就是说,欧氏空间的标准正交基是完全的.对于[]2,L a b 空间，也可以讨论其标准正交系是否完全的问题以及[]2,L a b 空间中的任一函数由标准正交系线性表示问题.定义8.设{}n ϕ是[]2,L a b 空间的一个标准正交系，如果存在一个非零函数[]2,f L a b ∈，使f 与{}n ϕ中的每一个函数都正交，则称{}n ϕ是不完全的，否则称{}n ϕ是完全的.例3：函数系()()21,2,3,n x a n b a π⎫−⎪=⋅⋅⋅⎬−⎪⎭[是]2,L a b 上一个不完全的标准正交函数系.事实上，函数系()()21,2,3,n x a n b a π⎫−⎪ =⋅⋅⋅⎬−⎪⎭是[]2,L a b 上的一个标准正交系是显然的.因此只要证明它不是完全的.取()[]21,f x L a =∈b，且()21bbaan x a b aπ−−∫0=)(1,2,3,n =⋅⋅⋅⋅，所以函数系()2n x a b a π⎫−⎪⎬−⎪⎭是[]2,L a b 上一个不完全的标准正交系.例4：函数系()()1,2,3,n x a n b a π⎫−⎪ =⋅⋅⋅⎬−⎪⎭[是]2,L a b 上一个完全的标准正交系.应当指出，标准正交系{}n ϕ中任意有限个函数12,,,m n n n ϕϕϕ⋅⋅⋅⋅是线性无关的.定义9.设{}()1,2,n n ϕ =⋅⋅⋅是[]2,L a b 中的一个标准正交系，则把数列(){}(),1,n f n ϕ2, =⋅⋅⋅叫做函数f 关于标准正交系{}n ϕ的傅里叶系数，这里[]2,f L a b ∈.我们不加证明给出傅里叶级数的收敛定理.定理：如果{}n ϕ是[]2,L a b 空间中一个完全标准正交系，则()[]2,f x L a b ∈的傅里叶级数∑收敛于+∞=1)(),(n n n x f ϕϕ()f x ，即()f x =()(1,n n n )f x ϕϕ+∞=∑,并且成立巴塞伐尔(Parseval )等式()221,n n ff ϕ+∞==∑,即[]2,L a b 空间中的勾股定理.类似地，推广到二维上去.设函数系(){}()1,2,n x n ϕ =⋅⋅⋅是[]2,L a b 中的一个标准正交的完全系.那么函数系()(){}m n x y ϕϕ是[][]2,,L a b a b ×上的一个标准正交的完全系，这里,1,2,m n =⋅⋅⋅⋅.于是对于在[][],,a b a b ×上平方可积的函数(,)f x y 有二维傅里叶级数的收敛定理()()(,1,mnm n m n )f x y ax y ϕϕ+∞==∑并且成立()22,1,mn m n f x y a +∞==∑,这里()()()(),,mn m n a f x y x y ϕϕ=是二维的傅里叶系数.2.1.1.4 施斗姆(Sturm )-刘维尔(Liouville )算子通常称算子⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−≡)()()()(1x y x q x y x p x x r Ly d d d d 为施斗姆−刘维尔算子.这里系数()(),p x q x 在[],a b 上定义，并且≥)(x p 0const 0>=p ,≥0，≥)(x q )(x r 0const 0>=r .我们考虑空间[]()()2,,L a b r x ，其内积为带权因子()r x 的积分定义，记为 x x g x f x r g f bar d ∫=)()()(),(,从而其范数为212)()(⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∫x x f x r fba rd . 若(),0f g r =则记,f g 带权因子正交，r 1r =就是通常意义下的正交.2.1.1.5施斗姆−刘维尔本征值问题 称方程Ly y λ=即0)()()()()(=+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛x y x r x y x q x y x p x λd d d d为施斗姆−刘维尔方程,是数学物理问题中常见的一种微分方程，这里λ是参数.施斗姆−刘维尔方程Ly y λ=在不同情况下应与如下几种边界条件构成本征值问题：（1）若在端点x a =有()0p a ≠，则在x a =点要附加三类齐次边界条件0)()(=+′a y a y βα，这里220αβ+≠，若0,0αβ=≠为第一类边界条件；若0,0αβ≠=为第二类边界条件.（2）若()0,p a =而0)(≠′a p ,则在x a =有()y a 为有限的条件称之为自然边界条件.（3）若在端点x a =，x b =有()()p a p b =，则在x a =，x b =有称之为周期性的边界条件)()(b y a y =，)()(b y a y ′=.在上述三类条件之一下，求使得方程Ly y λ=有非零解()y x 的值λ的问题称之为本征值问题（又叫固有值问题）.对于此，在空间[]()2,,L a b r 内有① 有可列无穷多个非负的本征值（固有值）0≤1λ≤2λ≤≤L n λ≤L 和相应的本征函数()()()12,,,,n x x x ϕϕϕ⋅⋅⋅⋅⋅⋅满足n n L n ϕλϕ=.② 这些本征函数()()()12,,,,n x x x ϕϕϕ⋅⋅⋅⋅⋅⋅构成[]()2,,L a b r 空间内的标准正交完全系，且有,...)3,2,1,,(,0)()()(=≠=∫m n m n x x x x r bam nd ϕϕ③若()[]()2,,f x L a b r ∈，则有（广义）傅里叶级数()()1n n n f x C ϕ+∞==∑x ，其中 x x x f x r C b anr nn d ∫=)()()(12ϕϕ.例5: 证明施斗姆−刘维尔本征值问题⎩⎨⎧≠+≠+=+′=+′≠≠=0,0,0)()(0)()(0)(,0)(222221212211βαβαβαβαλb y b y a y a y b p a p y Ly 这里的本征函数系{}()1,2,n n ϕ =⋅⋅⋅在区间[],a b 上是带权因子()r x 正交的.证：设(),n m n m λλ≠为两个不相等的本征值，()(,n m )x x ϕϕ分别是它们的对应的本征函数，即n n L n ϕλϕ=，m m L m ϕλϕ=，并且满足0)()(,0)()(2211=+′=+′b b a a n n n nϕβϕαϕβϕα,0)()(,0)()(2211=+′=+′b b a a m m m mϕβϕαϕβϕα. 注意到()()(),,p x q x r x 都是实值函数，所以有,n n n m m rL r rL r m ϕλϕϕλϕ= =用m ϕ乘以第一式，n ϕ乘以第二式，相减，并在[],a b 上积分，注意到算子的特点得：L ()∫−bam n m n x x x x r d )()()(ϕϕλλx x x p x x x x p x x ba n m m n d d d d d d d d d ∫⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=ϕϕϕϕ)()()()( ⎟⎠⎞⎜⎝⎛′−′−⎟⎠⎞⎜⎝⎛′−′=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛′−′=)()()()()()()()()()()()()()()(a a a a a p b b b b b p x x x x x p n m m n n m m n ba n m m n ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ注意到边界条件中11,αβ不同时为零，2,2αβ不同时为零，所以系数行列式0)()()()(=′′a a a a m m n n ϕϕϕϕ， 0)()()()(=′′b b b b m m n nϕϕϕϕ 因此，得： ()0)()()(=−∫ba m n m n x x x x r d ϕϕλλ，而n m λλ≠，故得本征函数系(){}n x ϕ带权因子()r x 正交，即0)()()(=∫bam nx x x x r d ϕϕ.§2.1.2线性常微分方程的级数解法二阶线性齐次常微分方程的一般形式是0)()()()()(=+′+′′z w z q z w z p z w ,其中自变量是复数.z如果函数()(),p z q z 在0z z =点解析，则称此点为方程的常点.如果是0z 0z ()p z 的至多一阶极点，是()q z 的至多二阶极点，即()()()()()20,z z p z q z z z z z ϕψ==−−其中()(),z z ϕψ在点解析，那么点称为方程的正则点. 0z 0z 我们仅讨论方程在常点邻域、正则点邻域内的级数解，给出幂级数的解法.2.1.2.1常点邻域内幂级数解法不失一般性，只讨论0x =点为常点的幂级数解法，如果， 00≠x 就令，化为在原点内讨论了.0x x t −=例6：在0x =点的邻域内求解艾里方程0)()(=−′′x xy x y 的幂级数解.解：设()0,n n n y x c x c +∞=n = ∑是待定的常数.,()111−+∞=−+∞=∑∑==′n n n n n n x nc xnc x y ()()()222111−+∞=−+∞=∑∑−=−=′′n n n n n n x c n n xc n n x y代入方程，有 ()21210n n n n n n n n c xc x +∞+∞−+==−−=∑∑合并同类项，得 ()()()22121210n n n n c n n c c x +∞+−=1⋅+++−∑=3,比较两边同次幂项的系数得：()()0221:20:210,1,2,n n n x c x n n c c n +− = ++−= =⋅⋅⋅由此得 20c =，还有递推关系式 ()()12,1,2,3,21n n c c n n n −+==⋅⋅⋅++当1n =时 0301323!c c c ==⋅ 当2n =时 1412434!c c c ==⋅ 当3n =时 25054c c ==⋅ 当4n =时 36014656!c c c ⋅==⋅ 当5n =时 47125767!c c c ⋅==⋅ 当6n =时 58087c c ==⋅ 于是，易得()()()()303114322531,3!31!m m m m c c c m m +⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−==+1c故得艾里方程的通解：()()()()()330111147322583113!31!m m m m m m y x c x c x x m m +∞+∞+==⎛⎞⎛⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅−=+++⎜⎟⎜⎜⎟⎜+⎝⎠⎝∑∑1⎞⎟⎟⎠其中为任意实常数.艾里方程的两个线性无关解为：01,c c ()()()()()()3113121147321,3!25831,31!nn n n n y x x x n n y x x x x n +∞=+∞+=⋅⋅⋅⋅⋅−=+ <+∞⋅⋅⋅⋅⋅−=+ <+∞+∑∑例7：在0x =点的邻域内，求解方程()()()()012=−′+′′−x y x y x x y x解：0x =点是此方程的常点，设()0n n n y x c x +∞==∑ ,()11−+∞=∑=′n n n xnc x y ()()221−+∞=∑−=′′n n n x c n n x y代入方程，有()()222111n nnnn n n n n n n n c xn n c x nc x c x +∞+∞+∞+∞−====0n n −−−+−∑∑∑∑=0合并同类项，得()()()()220322232211n n n n c c c x n n c n c x +∞+=⎡⎤−+⋅+++−−=⎣⎦∑比较两边对应次幂的系数，得()()()0120322:20,:60:2110,2,3,4nn n x c c x c x n n c n c n + −= = ++−−= =⋅⋅⋅由此有 2031,02c c c = =递推公式 ()()()()22,12,3,4,21n n n c c n n n + −==⋅++⋅⋅当2n =时 2401434!c c c ==⋅ 当3n =时 2532054c c ==⋅ 当4n =时 22264313656!c c ⋅==⋅0c 当5n =时 2754076c c ==⋅ 当6n =时 0222628!8531785c c c ⋅⋅=⋅= 所以一般地有 ()()()2212023!!0,,2,3,4,2!n n n c c c n n +−⎡⎤⎣⎦= = =⋅⋅⋅ 得解为 ()()()222100223!!1,2!2!nn n x y x c x c x c c n +∞=⎛⎞−⎡⎤⎣⎦⎜⎟=+++ ⎜⎟⎝⎠∑1,为任意常数,此方程的两个线性无关的解是()()()()22212223!!,12!2!n n n x y x x y x x n +∞=−⎡⎤⎣⎦= =++∑.2.1.2.2正则点邻域内的幂级数解法不失一般性，只讨论0x =点为方程正则点的方程的幂级数解法. 例8:在0x =点的邻域内求方程()()()()0124=−′−+′′x y x y x x y x的幂级数解.解：显然0x =是方程的正则点.为此设方程的解为()0,n n n y x c x ρ+∞+==∑ 不妨设00c ≠求导有()()10−++∞=∑+=′ρρn n n xn c x y , ,()()()201−++∞=∑−++=′′ρρρn n n x n n c x y 代入方程得()()()()110041220n n nn n n n n n n n n c n n xc n x c n x c x ρρρρρρρρ+∞+∞+−+==+∞+∞++==++−++−+−=∑∑∑∑−消去x ρ，合并同类项，得()()()()01122122212210nn n n c n n c n c x ρρρρρ+∞−=−+++−−+−=⎡⎤⎣⎦∑比较同次幂的系数，得()()()()(01221022212210,1,2,3,n n c n n c n c n ρρρρρ−−=++−−+−= =⋅⋅⋅)由于，得到关于00c ≠ρ的一元二次方程()21ρρ0−=，这个方程称之为指标方程，通常取实部较大的那个根为1ρ，较小的那个根为2ρ，这里有121,02ρρ= =将112ρ=代入第二式得递推关系式：1,1,2,321n n c c n n −,= =⋅⋅⋅+当时，有1n =101,3c c =当2n =时有00211,5535!!c c c c ===⋅⋅⋅⋅，一般地有()21!n c c n =+! 从而得 ()()1021!nn x y x c n +∞==+!. 由于1211022ρρ−=−=不为整数，因此找方程的与()1y x 线性无关的解可设为 ()220n n n n n n y x d xd x ρ+∞+∞+====∑∑.这样 , , ()112−+∞=∑=′n n n x nd x y ()()2121−+∞=∑−=′′n n n x d n n x y 代入方程，得()()()()()11211101141222222121n n nnn n n n n n n nn n n n n d xnd xnd x d x d d n n d n d x +∞+∞+∞+∞−−====+∞+=0n −+−−−+++−+=⎡⎤⎣⎦∑∑∑∑∑=比较同次幂的系数得()()()()10120,2221210,1,2,3,n n d d n n d n d n +−= ++−+= =⋅⋅⋅由此得到系数的递推关系式：()()11,2,1,2,3,21nn d d d d n n +== =⋅⋅⋅+当时，有 1n =01244!d d d ==! 当时，有 2n =02366!d d d ==!一般地， 有 ()()0,1,2,32!!n d d n n ,==⋅⋅⋅ 这样得 ()()0202!!nn d y x n +∞==∑, 故得方程通解()()()()()1212000021!!2!n nn n !x x y x y x y x c d n n ++∞+∞===+=++∑∑,这里为任意常数.00,c d 例9:在0x =点邻域内求方程 ()()()0=+′−′′x y x y x x y x 的幂级数解.解：显然0x =是方程的正则点，设方程的解为()0n n n y x c x ρ+∞+==∑,这里,n c ρ都是待定的常数，不失一般性，总假定00c ≠，否则把不为零的那项的x 的幂指数并入ρ内.()()10−++∞=∑+=′ρρn n n xn c x y , ,()()()201−++∞=∑−++=′′ρρρn n n x n n c x y 为方便起见，方程两边乘以x ，得()()()022=+′−′′x xy x y x x y x ,代入上式得()()()11010n n n n n n n c n n xc n xc x ρρρρρ+∞+∞+∞++−==0n n ρ++=++−−++=∑∑∑消去x ρ，合并同类项，化简得()()()()011112nn n n c c n n n c ρρρρρ+∞−=0x −+++−−+−⎡⎤⎣⎦∑=注意到，得指标方程00c ≠()10ρρ−=，与递推关系式()()12,1,2,3,1n n n c c n n n ρρρ−+−==⋅⋅⋅⋅++−指标方程有两个根121,0ρρ= =,将11ρ=代入递推关系式得 ()11,1,2,3,1n n n c c n n n −−==⋅⋅⋅⋅+当时，得1n =10c =，于是得0,1,2,3,n c n = =⋅⋅⋅ 因此得 ()10y x c x =.由于这里121ρρ−=为整数，为了求得与()1y x 线性无关的第二个解，这时设()()()221010ln ln n n n nn n y x gy x x d x gy x x d x ρ+∞+=+∞==+ =+∑∑由于为简单起见，记()1,y x c x =00A gc =，于是有()20ln n n n y x Ax x d x +∞==+∑， ,n A d 为待定常数，于是,()∑+∞=−++=′112ln n n n x nd A x A x y ()()∑+∞=−−+=′′2221n n n x d n n x A x y , 代入变形后的方程中，得()22121211ln ln nn n n n n Ax n n d x Ax Ax x nd xAx x d x +∞+∞+∞++==+−−−−++∑∑0n n n ==∑0合并同类项，化简有()()()()20213212nn n n A d x A d xn n d n d x +∞−=+−−+−−−=⎡⎤⎣⎦∑ 比较同次幂系数得()0210,202,3,4,1n n A d A d n d d n n n −5,+= −=−==⋅⋅⋅−这里，（否则0A ≠()2y x 与()1y x 就线性相关）取1,A =得0211,2d d =− =当时， 3n =32113223!d d ==⋅⋅ 当时 4n =43214334!d d ==⋅⋅ 依次类推得，一般式 ()1,2,3,41!n d n n n ,==⋅⋅⋅−⋅于是得 ()()22ln 11!nn x y x x x n n +∞==−+−⋅∑.故方程的通解为 ()()02ln 11!nn x y x c x A x x n n +∞=⎛⎞=+−+⎜⎟⎜⎟−⋅⎝⎠∑, 这里为任意常数.0,c A 例10: 在0x =点邻域内求方程 ()()()02122=−′′+x y x y x x 的幂级数解.解：显然0x =是方程的正则点，设方程的解为()0,n n n y x c x ρ+∞+==∑ 不妨设00c ≠.()()1−++∞=∑+=′ρρn n n xn c x y , ,()()()201−++∞=∑−++=′′ρρρn n n x n n c x y 因满足方程，代入得()()()()211n n nn n n n n n c xn n c xc x ρρρρρρ+∞+∞+∞+++==++−+++−−=∑∑∑020n n ρ+=消去因子x ρ，合并同类项得()()()()()()()220122222223n n n n c c x n n c n n c x ρρρρρρρρ+∞−=−−++−+⎡⎤0+−+−++−+−=⎣⎦∑由于，得指标方程00c ≠220ρρ−−=,与系数的递推关系式：()()()()()2122320,,2,3,4,21n n n n c c c n n n ρρρρρρ−+−+−+−= ==⋅⋅⋅+−++解指标方程得两个根：122,1ρρ= =−. 将12ρ=代入系数的递推关系式中，有1210,,2,3,4,3n n n c c c n n −−= =−=⋅⋅⋅+ 当时，有 2n =2013553c c =−=−0c ⋅ 当时，有 3n =31206c c =−=当时，有 4n =()24233177c c =−=−05c ⋅当时，有 5n =50c = 依次类推得()()()222022131;232321mm m m m c c c c m m m −+10−=−=− =+++ 由此得()()()()2222212001312321n n n n n n y x c xc x x n n +∞+∞++==⎛⎞==+−⎜⎟⎜⎟++⎝⎠∑∑. 由于123ρρ−=＝整数，为求一个与()1y x 线性无关的第二个解， 设 ,()()()∑∑+∞=−+∞=++=+=011012ln ln 2n n n n n n x d x x gy xd x x gy x y ρ()()()()∑+∞=−−++′=′021121ln n n n x d n x y x gx x y g x y , ()()()()()()∑+∞=−−−+−′+′′=′′0321112212ln n n n x d n n x x y g x y x gx x y g x y , 代入方程有()()()[]()()()()x y x g x y x x g x x gy x y g x x 12131122122ln 21+−′++−′′+()()()()02212101011=−−−+−−+∑∑∑+∞=−+∞=++∞=−n n n n n n n n n x d xd n n xd n n ,注意到()1y x 是方程的解，故上式中含有ln x 的那一项为零，又 , , ()22021++∞=∑=n n n xc x y ()()1202122++∞=∑+=′n n n x c n x y 于是得到()()()()()22241220001043433120n n n n n n n n n n g n c xn c x n n d x n n d x +∞+∞+∞n n ++−===+∞+=⎡⎤++++−⎢⎥⎣⎦+−−=∑∑∑∑合并同类项，有()()()()()()220222111234341312n n n n n n n n n n g c x n c n c x d n n d x n n d x +∞+−=+∞+∞−+==⎡⎤+++−−⎢⎥⎣⎦+−+−−=∑∑∑2120于是()()()()()()()()()222022211212024343412220334n n n n n n n n g c x n c n c x d d d x x n n d n n d x +∞+−=+∞−−=⎡⎤+++−+−⎢⎥⎣⎦+−++⋅+−+−−=∑∑上式中关于2x 项的系数有030,gc =而c 00,≠得0,g =从而有()011022012:20,0:20,4:,4,5,6,7,n n n x d d x d d d d n x d d n n−− −= = −= =− =−=⋅⋅⋅当时， 4n =40,d =当时， 5n =5313553d d 3d −=−=⋅依次类推()()()()1221330;1,2,3,4,2121m m m d d d m m m ++= =− =⋅⋅⋅+−由此得解()24682031333537597y x d x d x x x x x ⎛⎞⎛⎞=++−+−+⋅⋅⋅⎜⎟⎜⋅⋅⋅⎝⎠⎝⎟⎠,最后得方程的通解为：()()()()2220013112321n n n y x c x x d x n n x +∞+=⎛⎞⎛⎞=+−++⎜⎟⎜⎟⎜⎟++⎝⎠⎝⎠∑, 这里为任意常数.00,c d 例11：在0x =点的邻域求方程()()()()()041121=+′−+′′−x y x y x x y x x 的幂级数解.解：0x =点是方程的正则点.设方程的解为()0n n n y x c x ρ+∞+==∑这里,n c ρ都是待定的常数，不失一般性设00c ≠()()10−++∞=∑+=′ρρn n n xn c x y ,()()()201−++∞=∑−++=′′ρρρn n n x n n c x y 代入方程，有()()()()()()110112104n n n nn n n n n n n n n n n n n c xn n c xn c x n c xc x ρρρρρρρρρρρ+∞+∞+∞++−+===+∞+∞+−+==++−−++−++−++=∑∑∑∑∑消去因子x ρ，得()()()22100104n n n n n n n n c x n c x ρρρ+∞+∞−==⎡⎤++++−+=⎢⎥⎣⎦∑∑ 上式两边乘以x ，有()222011102n n n n c n c n c x ρρρ+∞−=⎡⎤⎛⎞−++−−+⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎢⎥⎣⎦∑=由于，得到指标方程 00c ≠20ρ=, 与系数的递推关系式()()()22112212212,1,2,3,2n n n n n c c c n n n ρρρρ−−⎛⎞+−⎜⎟+−⎝⎠== =⋅⋅⋅++⎡⎤⎣⎦由此得指标方程的两个根：120ρρ==，将10ρ=代入上式有()()21221,1,2,32n n n c c n n −−= =⋅⋅⋅从而得到，()()2021!!,1,2,32!!n n c c n n ⎛⎞−= =⋅⋅⋅⎜⎟⎜⎟⎝⎠于是有()()()221!!1nn y x c x +∞⎛⎞⎡⎤−⎜⎟=+⎢⎥∑1012!!n n =⎜⎟⎣⎦⎝⎠,这里由于120ρρ==；要求一个与()1y x 线性无关的解()2y x ，可设()()()∑∑+∞=+∞=++=+=01012ln ln 2n n n n n n x d x x gy xd x x gy x y ρ,其中，为待定的常数.,n g d ()()()∑+∞=−++′=′11112ln n n n x nd x y x gx x y g x y , ()()()()()∑+∞=−−+−′+′′=′′222111212ln n n n x d n n x x y g x y x gx x y g x y , 代入方程，有()()()()()()()()[]x y x y x g x x y x y x x y x x g 1111112ln 1121+′−+⎥⎤⎢⎡+′−+′′−4⎦⎣ ()()0412110111212=+−+−−−+∑∑∑∑∑+∞=+∞=−+∞=+∞=−+∞=n n n n n n n nn n n n n nn x d xnd x nd xd n n x d n n 注意到()1y x 是方程的解，所以上式中含有ln x 的那一项实际上是零，而含有的那一项，由于g ()()()210121!!12!!nn n y x c x n +∞=⎛⎞⎡⎤−⎜⎟=+⎢⎥⎜⎟⎣⎦⎝⎠∑,()()()12101!!2!!12−∞+=∑⎦⎤⎢⎣⎡−=′n n nx n n c x y 有 ()()()[]()()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+++=+′−∑∞+=n n x n n n n gc x y x y x g 12011!!2!!1222122112 ()()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−++++=∑∞+=n n x n n n n x gc 2220!!2!!1222124321 这样，得到()()()2002222121221!!1321124222!!4914142nn n n n n n n gc x x d d n n d d x n d n d x +∞=+∞+=⎛⎞⎛⎞−+⎛⎞⎜⎟+++−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟+⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎡⎤⎛⎞⎛⎞+−++−+=⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎢⎥⎣⎦∑∑10合并同类项，有()()()()00120122222201211024********21!!212110,2,3,4222!!2n n gc d d gc d d n n n gc d n d n n n ++−=⋅+−=⎛⎞−++,+−+==⋅⋅⎜⎟⎜⎟+⎝⎠⋅于是，得()()()()()10022222201102222222222102211221343313432442243242121!!121,2,3,4,222!!221n n d gc d d gc d d gc n n n d d gc n n n n n +=+=⋅+⋅=⋅+⋅⋅⋅⋅⎛⎞+−+=+⋅ =⎜⎟⎜⎟+++⎝⎠⋅⋅⋅当时2n =222232010225153!!5!!5!!2246364!!6!!6!!2335d d gc d gc ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛=+⋅=⋅++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎞⎟⋅⋅⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠当时3n =222243010227175!!7!!7!!22248486!!8!!8!!23354d d gc d gc ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛=+⋅=⋅+++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜7⎞⎟⋅⋅⋅⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠()()依次类推，得()()()221021!!21!!1111422!!2!!23354721n n n d d gc n n n n ⎛⎞⎛⎞⎛⎞−−=⋅++++⋅⋅⋅+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⋅⋅⋅⋅−⎝⎠⎝⎠⎝⎠于是有()()()()()()()22101120221!!ln 42!!21!!11112233547212!!nn n n n y x gy x x d d x n n gc x n n n +∞=+∞=⎛⎞−=++⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎛⎞− ++++⋅⋅⋅+⎜⎟⎜⎟⋅⋅⋅−⎝⎠∑∑⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠所以方程的通解为 ()()()12y x y x y x =+.§2.1.3勒让德方程与勒让德多项式2.1.3.1勒让德（Legendre ）方程形如 ()()()()0212=+′−′′−x y x y x x y x μ的方程称为勒让德方程，这里μ是一个参数.0x =点是勒让德方程的常点.设方程0x =点领域内的解为()0n n n y x c x +∞==∑求导数()∑+∞=−=′11n n n nxc x y ，()()∑+∞=−−=′′221n n n x n n c x y 代入方程中，有()()2221112n nnn n n n n n n c n n xc n n x c nx c x μ+∞+∞+∞+∞−====0n n −−−−+∑∑∑∑=()()[]()()()()[]0112122312221302=−+−++−⋅−⋅++⋅∑∞+=+n n n n x c n n c n n xc c c c μμμ比较两边同次幂的系数得()()()()20312210322102110,2,3,n n c c c c n n c n n c n μμμ+⋅+=⋅−⋅−=++−+−= =⋅⋅⋅⎡⎤⎣⎦由此得到()()()20321021,21321,2,3,21n n c c c n n c c n n n 1c μμμ+⋅−⋅= =⋅⋅+⋅−−= =⋅⋅⋅+⋅+当时，有2n =m ()()()()()2021223210,0,1,2,2!m m m c c m μμμ−⋅−−⋅⋅⋅⋅−⋅−⎡⎤⎣⎦= =⋅⋅⋅m 1 当时，有2n m =+()()()()2112214321,21!m m m c c m μμ+⋅−−⋅⋅⋅⋅−⋅−⎡⎤⎣⎦=+μ因此，勒让德方程的通解可写为()()()()()()()()()()2002110212232102!221432121!m m m m m m y x c m m m c x m μμμμμμ+∞=+∞+=−−−⋅⋅⋅⋅−⋅−⎡⎤⎣⎦=−−⋅⋅⋅⋅−⋅−⎡⎤⎣⎦ ++∑∑不难证明，勒让德方程的两个线性无关的特解()()12,y x y x()()()()()()()()()()()2102120212232102!221432121!mm m m m m y x m m m y x x m μμμμμμ+∞=+∞+=−−−⋅⋅⋅⋅−⋅−⎡⎤⎣⎦=−−⋅⋅⋅⋅−⋅−⎡⎤⎣⎦=+∑∑当 时，级数都是发散的，即1x →±1x =±这两点一般是勒让德方程 的解的奇点.2.1.3.2勒让德方程的本征值与本征函数显然，由()()12,y x y x 的表达式可知，勒让德方程的本征值问题的提法是，求在闭区间[]1,1−+上有有界解，只有当其中的参数时，()1,0,1,2,l l l μ=+ =⋅⋅⋅()()12,y x y x 中将有一个退化为多项式，成为[]1,1−+上的有界解.因此，()1,0,1,2,3,l l l μ=+ =⋅⋅⋅是勒让德方程在有界条件下的本征值，相应的多项式解是本征函数.对于每一个确定的值就有唯一的一个多项式，通常把这种多项式的最高次方l l x 的系数规定为()()22!2!l l l c l =⋅称为勒让德多项式，记作.的明显表达式为)(x P l )(x P l nl l n lnl x n l n l n n l x P 220)!2()!(!2)!22()1()(−⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑−−⋅−−=其中2l ⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示不大于2l 的最大整数.勒让德多项式还可以作为称之的生成函数())(x P l 12212xt t −−+关于展开式的系数，即l t ∑+∞=−=+−0212)()21(l l l t x P t xt .利用牛顿二项式展开式可以将勒让德多项式表示为微分形式－罗巨格(Rodrigues )公式lll l l x xl x P )1(!21)(2−⋅=d d 事实上，()()()()()()()()()222222220!!111!1!!!1!!1!!!!lrl l rll l r r l l g x x x x x l r l l l x l l r r l r −−−==−=−+⋅⋅⋅+−−−− +−=−−∑l rr因此)()!2()!(!)!22()1(21])12(2[)122)(22()!(!!)1(!21)1(!212202202x P x r l r l r r l x l r l r l r l r l r l l x xl l r l l r rlr l l r r l ll l =−−−−=−−−−−−−−⋅=−⋅−⎥⎦⎤⎢⎣⎡=−⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑∑L d d 由勒让德多项式的表达式，显然有)()1()(x P x P l n l −=−, 0)0(12=+n P222)!(2)!2()1()0(n n P n nn ⋅−=0)()()12()()1(11=++−+−+x lP x xP l x P l l l l ,)3,2,1(L =l )()1()()(1x P l x P x x P l l l ++′=′+)()12()()(11x P l x P x P l l l +=′−′−+, )3,2,1(L =l给出勒让德多项式的前八个的表达式： 1)(0=x P , ,x x P =)(1)13(21)(22−=x x P , )35(21)(33x x x P −=,)33035(81)(244+−=x x x P ,)157063(81)(355x x x x P +−=,)5105315231(161)(2466−+−=x x x x P ,)35315693429(161)(3577x x x x x P −+−=2.1.3.3勒让德多项式的完全性、正交性、以及它的范数不难证明，勒让德多项式, )(x P l ),2,1,0(L =l 构成[]21,1L −+空间 内的一个完全的正交的函数系.函数系的完全性证明从略.现在证明它的正交性.设()f x 是一个次多项式，如果m m l <时，则()f x 与正交：)(x P l 0)()(11=∫+−x x p x f ld事实上，记()()21lg x x =−，显然1x =±是()g x 的阶零点，即，而l 0)1()1()1()1(=±==±′=±−l g g g L )(!21)()(x g l x P l ll ⋅=.利用分部积分法，有[])()1()()()()(!21)()(!21)()(11)1()2()1()(1111=−++′−⋅=⋅=+−−−−−+−+−∫∫x g x g x f x g x f l x x g x f l x x P x f k l k l l l l l L d d 由此得...2,1,0,,,0)()(11=≠=∫+−l m l m x x P x P lmd现在计算的范数)(x P l []()])()()1()()()1()()()()([)!2(1)()(!21)()(11)2(11)12(1)2()1()1()(211)()(22112x x g x g x g x g x g x g x g x g l x x g x g l x x P x P l ll l l l l l l l l l l l d d d ∫∫∫+−+−−−−+−+−+−−+−+−⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅==L 2112211221122)1()1()2)(1()1(11)1()!(2)!2()1()1()1()!(2)!2()1()()!2()1()!(21+−++−+−+−++−⎜⎜⎝⎛⎢⎣⎡++⋅−−=+−−=−=∫∫l l l l l ll l l l l l x x l l l x l x l l x x x l l x x g l l d d12212)1()!2()!()!(2)!2()1()2()2)(1(!)1()1()2()2)(1(1)1(2)1(11122221121121+=++⋅⋅=⎟⎟⎠⎞+++−+⎥⎦⎤+++−−+++−++−+−−∫l l x l l l l x x l l l l x l l l x l l l l ll l d L L L L 得 122)(+=l x P l , ),2,1,0(L =l 展开定理：设()[]21,1f x L ∈−+，则有傅里叶级数)()(0x P f x f l l l ∑+∞==这里傅里叶系数xx P x f l l x x P x f x p f ll l d d ∫∫+−+−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+===1121121)()(2122,1,0,)()()(1L§2.1.4连带的勒让德方程和连带的勒让德函数 连带的勒让德方程()011222=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−+⎥⎦⎤⎢⎣⎡−y x m x y x x μd d d d , 显然时它就是勒让德方程.0m =连带的勒让德方程的本征值问题，就是求出它在[]1,1−+上的有界解那些μ的值.同样，()L 2,1,0,1=+=l l l μ是它的本征值，它的相应的本征函数系可以通过变换()()()221m y x xv x =−得()v x 的方程0)]1([)1(2)1(2=+−+′+−′′−v m m v x m v x μ上式两边对x 求导数，得0))](2)(1([)()2(2))(1(2=′++−+′′+−′′′−v m m v x m v x μ与前一式比较，只是将m 变成1m +，变成v v ′.注意到时，就是勒让德方程，由此可知，前一式可以从勒让德方程通过求导次推得，也就是它的解就是勒让德方程的解的阶导数.由于0m =m m ()1l l μ=+，因此它的一个解是),()(x P xx v l m md d =0(≤≤m )l 于是得到连带勒让德方程在[]1,1−+上有界的解：l m x P x x x P l mmm ml L ,2,1,0),()1()(22=−=d d通常称为阶次（第一类）连带勒让德函数.)(x P m l m l 容易知道，有连带勒让德函数的正交性：L 2,1,0,,0)()(11=≠=∫+−n l n l x x P x P m n m ld并且[]12)!(1−l m l 2)!()()(122+⋅−+==∫+m l x x Px P mlml d .§2.1.5贝塞耳（Bessel ）方程和贝塞耳函数2.1.5.1贝塞耳方程所谓贝塞耳方程是 011222=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−++y x x y x x y νd d d d 2, 它是应用中常见的常微分方程，这里是参数.显然，v 0x =是方程的 正则点，为了便于求它的幂级数解，把方程化为0)()()()(222=−+′+′′x y x x y x x y x ν设方程的解 ()00,0n n n y x c x c ρ+∞+== ≠∑求导有∑+∞=−++=′01)()(n n n xc n x y ρρ,∑+∞=−+−++=′′02)1)(()(n n n x c n n x y ρρρ代入方程，得()()()22010n n n n n n n n n n c n n xn c xc xc x ρρρρρρν+∞+∞+∞+∞+++===++−++−+=∑∑∑∑0n n ρ++=消去因子x ρ得：()222000n n n n n n n c x c x ρν+∞+∞+==⎡⎤+−+⎣⎦∑∑= 合并同类项，有()()()()22222201210n n n n cc x n c c ρνρνρν+∞−=⎡⎤⎡⎤−++−++−+=⎣⎦⎣⎦∑2x 由此得到0)(022=−c νρ, ()0)1(122=−+c νρ,[]0)(222=−−+−n n c c n νρ,),4,3,2(L =n由于，得指标方程00c ≠220ρν−=它的两个根是ρν=±，设νRe ≥0，取12,ρνρν= =−(1)设122ρρν−=≠整数，将νρ=1代入上面的系数的递推关系式，有()1210c ν,+=得, 10c =并且 ()()2,2,3,4,2n n c c n n n ν−−==⋅⋅⋅+因，便得10c =020202)2(2)1()1()1(2)1()22(21c ΓΓc ΓΓc c ++−=+++−=+=νννννν04202224)12(2!2)1()1()2(22)2(4)1()1()42(41c ΓΓc ΓΓc c νννννν++⋅+−=+⋅+⋅+−=+−=02m 222)1(!2)1()1()22(21c m Γm Γc m m c m m m ννν++⋅+−=+−=−,),5,4,3(L =m 这里用了公式)()1(z Γz z Γ=+，其中∫+∞−−>=010Re ,)(z t t e z z t d Γ便得到nn nx n ΓΓn c x x y 20012)1()1(!1)1()(⎟⎠⎞⎜⎝⎛+++−=∑+∞=ννν.同样，在122ρρν−=≠整数时，与()1y x 线性无关的解()2y x 可设为()20nn n y x xd xν+∞−==∑类似得到nn n x n ΓΓn d x x y 20022)1()1(!1)1()(⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+−−=∑+∞=−ννν,通常取νν⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=21)1(10Γc ,νν−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=21)1(10Γd 得到的称为ν±阶贝塞耳函数：ννν++∞=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++−=∑n n n x n Γn x J 202)1(1!1)1()(,ννν−∞+=−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+−=∑n n nx n Γn x J 202)1(1!1)1()(.因νν−≠，故与线性无关.显然，在方程的正则点处，)(x J ν)(x J ν−0x =()00J ν,=而()0J ν−=∞.(2)对于==−νρρ221整数时，除了第一个解()1y x （或者）相同外，第二个解则一般应为()J x ν()()210ln nn n y x gy x x xd xν+∞−==+∑同样也可以求得，这里从略.2.1.5.2贝塞耳方程的本征值问题和本征函数对于贝塞耳方程在第一、二、三类边界条件下的本征值问题提法是求⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛==0)(0)(10222a r r R rR r R r R r m k r R r r r βαd d d d d d 有界其中k 是待定参数，是固定的非负整数，m βα,不同时为零的非负实数.令x kr =，求贝塞耳方程在0r =（即0x =）的有界解应是m 阶贝塞耳函数，即()()m R r J kr =,由满足边界条件得k 满足的超越方程r a =()()0=+′ka J ka J k m mβα, 所以这个本征值问题的本征值应是这个超越方程的根的平方.可以证明它有可列无穷多个单根，用()1,2,i k i =⋅⋅⋅表示正数根，有120i k k k <<<⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅相应的本征函数为)()(r k J r R i m i =，),3,2,1(L =i2.1.5.3本征函数()i R r 在区间[]0,a 上带权因子r 正交的完全系 现在来证明带权因子r 的正交性,即。
巴拿赫空间，希尔伯特空间的联系和区别
巴拿赫空间，希尔伯特空间的联系和区别
柯西序列
在数学中，⼀个柯西列是指⼀个这样⼀个序列，它的元素随着序数的增加⽽愈发靠近。
更确切地说，在去掉有限个元素后，可以使得余下的元素中任何两点间的距离的最⼤值不超过任意给定的正的常数。
柯西列的定义依赖于距离的定义，所以只有在度量空间(metric space)中柯西列才有意义。
在更⼀般的⼀致空间(uniform space)中，可以定义更为抽象的柯西滤⼦(Cauchy filter)和柯西⽹(Cauchy net)。
⼀个重要性质是，在完备空间（complete space）中，所有的柯西列都有极限，这就让⼈们可以在不求出这个极限（如果存在）的情况下，利⽤柯西列的判别法则证明该极限是存在的。
柯西列在构造具有完备性的代数结构的过程中也有重要价值，如构造实数。
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n
n
特别的，在 Rn 中，内积(x, y)
xi yi ，范数 x
xi2 。
i 1
i 1
例 2 在 L2[a,b]中，x(t), y(t) L2[a,b]，
b
定义内积 (x, y) a x(t) y(t)dt （满足三条公理）
范数
x(t)
(
b
x2
(t
)dt
)
第4章 希尔伯特（ Hilbert）空间
§4.1 内积空间和Hilbert空间 §4.2 正交分解与投影定理 §4.3 广义Fourier分析
在第 3 章中，我们建立了赋范线性空间，给向量赋 予了范数，即向量的长度，它是 Rn 中向量长度在抽象空 间中的推广。但在 Rn 中向量还有一个很重要的特征—— 向量之间的夹角、正交等概念。特别是有了正交概念以 后，由它可以得到勾股定理、正交投影定理，这是建立 某些数值算法的重要理论。本章将这些概念抽象推广到 一般的赋范线性空间，建立了内积空间和 Hilbert 空间。
② 当 X 为复赋范线性空间时，定义
(x, y) 1 ( x y 2 x y 2 ) i ( x iy 2 x iy 2 )
4
4
则由平行四边形公式验证其满足内积的三条公理。
注：若赋范线性空间 X 的范数不满足平行四边形公式， 则 X 不能成为内积空间。
（3）内积的连续性
（2）判别定理 若赋范线性空间 X 的范数 满足平行 四边形公式 x y 2 x y 2 2( x 2 y 2 ) ，则 X 可成为 内积空间。
证： ①当 X 为实赋范线性空间时，定义
(x, y) 1 ( x y 2 x y 2 ) 4
则由平行四边形公式验证其满足内积的三条公理；
(x, y) x y (x y, x y) ，则 U 也是距离空间。
引理（柯西—许瓦兹不等式 Cauchy—Schwarz）：
(x, y)U ，有 x, y x y
验证 x (x, x) 满足范数的三条公理。
① 显然
② x ( x, x) x
内积 (x, y) xi yi （满足三条公理） i 1
1
范数 x ( xi 2)2 ，
i1
则l 2 是 Hilbert 空间。
例 4 C[a,b]是按范数 x max x(t) 不是内积空间（因为 t[ a ,b ]
不满足平行四边形公式）。
§4. 2 正交分解与投影定理
故
x y x y
3）内积空间的性质 （1）在内积空间 U 中，按内积导出的范数满足平行四边 形公式
Hale Waihona Puke 证明：x y 2 x y 2 2( x 2 y 2 )
x y 2 x y 2 (x y, x y) (x y, x y) x 2 (x, y) ( y, x) y 2 x 2 (x, y) ( y, x) y 2 2( x 2 y 2 )
在内积空间 U 中，内积(x, y) 是两个变元 x, y 的连函数，
即当 xn x, yn y （按范数）时，数列 (xn, yn ) (x, y)
4）希尔伯特（Hilbert）空间 定义 完备的内积空间 U 称为 Hilbert 空间，记作 H
（即内积空间 U 按距离 (x, y) x y (x y, x y) 是 完备的，亦是 Banach 空间）
① (x, y) (x, y) ② (x, y z) (x, y) (x, z)
2）内积空间中的范数 在内积空间 U 中，若令
x (x, x) ，即 x 2 (x, x)
可验证满足范数的三条公理，故 U 是按内积导出的赋 范线性空间。进一步也可由范数导出距离
1 2
，
a
则 L2[a,b]按范数是完备的内积空间。
若 L2[a,b]为复值函数，则定义内积
b
(x, y) a x(t) y(t)dt （满足三条公理）
例 3 在l2 {x x (x1, x2, ), xi2 , xi为复数}中， i 1
x (x1, x2, ), y ( y1, y2, ) l2，定义
§4.1 内积空间和Hilbert空间
1）定义（内积空间） 设 U 是数域 K（实或复数域） 上的线性空间，若x, y U ，存在唯一的数 (x, y) K ， 满足下列三条（内积公理）：
① 对第一变元的线性性：
( x y, z) (x, z) ( y, z), z U
1) 定义（正交性）设 U 是内积空间，x, y U, M , N U
（1）若(x, y) 0 ，称 x 与 y 正交，记作 x y ；
5）举例
例 1 在 n ——n 维（实或复数）向量空间中，
x (x1, x2, , xn ), y ( y1, y2, , yn ) n ， 定义
n
内积 (x, y) xi yi （满足三条公理） i 1
范数
n
x (x, x)
xi 2 ，
i 1
则 n 按范数是完备的内积空间，即 Hilbert 空间。
② 共轭对称性： (x, y) ( y, x)
③ 正定性：(x, x) 0， (x, x) 0 x 0
则称 (x, y) 为 x, y 的内积，U 为内积空间。
当 K 是实数域时，称 U 为实内积空间；K 为复数 域时，称 U 为复内积空间。通常 U 指的是复内积 空间。
当 U 为内积空间时，推得：x, y, z U,, 有
③ 因为 x y 2 (x y, x y) (x, x) (x, y) (x, y) ( y, y)
x 2 2 Re(x, y) y 2
x 2 2 x y y 2 ( x y )2
( Re(x, y) (x, y) x y )