2019-2020学年天津市红桥区高一(下)期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年天津市红桥区高一（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1.在复平面内，复数对应的点位于
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2.已知i为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数a等于
A. 2
B.
C.
D.
3.已知向量，，则
A. B. C. D.
4.已知向量，，若，则实数m等于
A. B. 或 C. D. 0
5.已知i是虚数单位，a，，，则等于
A. B. 1 C. 3 D. 4
6.若i为虚数单位，则复数的模是
A. B. C. 5 D.
7.复数z满足，则的值是
A. B. C. i D.
8.已知向量，，则
A. B. 0 C. 1 D. 2
9.已知点，，则线段AB的中点坐标为
A. B. C. D.
10.设向量，，若，则实数
A. B. 0 C. D.
11.已知，，且，则向量与夹角的大小为
A. B. C. D.
12.已知，，则
A. i
B. 2i
C.
D. 3i
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
13.i是虚数单位，则______．
14.复数的实部为______．
15.计算：______．
16.已知，，且向量，的夹角为，则______．
17.已知、、，且A、B、C三点共线，则______．
18.若，且，则与的夹角是______．
19.已知a，，i是虚数单位．若与互为共轭复数，则______．
20.在平行四边形ABCD中，若，，则向量的坐标为______ ．
三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）
21.已知i是虚数单位，复数，．
Ⅰ当复数z为实数时，求m的值；
Ⅱ当复数z为虚数时，求m的值；
Ⅲ当复数z为纯虚数时，求m的值．
22.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，已知，，．
求b和sin A的值；
Ⅱ求的值．
23.设的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且，，．
Ⅰ求cos B的值；
Ⅱ求的值．
24.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，
求角B．
若，的面积为，求a，c．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：A
解析：解：，复数对应的点的坐标为，显然位于第一象限，
故选：A．
由于，故复数对应的点的坐标为，从而得到答案．
本题考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘法，复数与复平面内对应点之间的关系，求得复数对应的点的坐标为，是解题的关键．
2.答案：A
解析：解：复数是纯虚数，，解得．
故选：A．
利用复数的运算法则进行化简，然后再利用纯虚数的定义即可得出．
熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义是解题的关键．
3.答案：A
解析：解：由，，得：
．
故选：A．
直接利用平面向量的数乘及坐标减法运算得答案．
本题考查平面向量的数乘及坐标减法运算，是基础的计算题．
4.答案：B
解析：解：向量，，若，
则，
解得或．
故选：B．
直接利用共线向量的坐标运算求解即可．
本题考查向量的坐标运算，共线向量的应用，基本知识的考查．
5.答案：A
解析：解：，，，．故选：A．
先对化简，然后求出a，b的值，选出正确选项．
本题主要考查复数的运算及两复数相等的等价条件，属于基础题．
6.答案：B
解析：解：，．故选：B．
先对复数进行化简，再利用求模公式求出结果．
本题主要考查复数的运算及求模公式，属于基础题．
7.答案：D
解析：解：由，．
故选：D．
先由，化简求．
本题主要考查复数的运算及求，属于基础题．
8.答案：C
解析：【分析】
本题考查向量的加法和数量积的坐标运算，属于基础题．
利用向量的加法和数量积的坐标运算解答本题．
【解答】
解：因为，，
则，
故选：C．
9.答案：B
解析：解：点，，
线段AB的中点坐标为，
故选：B．
利用中点坐标公式即可求解．
本题主要考查了中点坐标公式，是基础题．
10.答案：C
解析：解：向量，，若，
则，，
故选：C．
由题意利用两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，求得实数的值．
本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，属于基础题．
11.答案：C
解析：解：，，且，
．
向量与夹角的大小为．
故选：C．
利用向量的夹角公式即可得出．
本题考查了向量的夹角公式，属于基础题．
12.答案：D
解析：解：，，
．
故选：D．
利用复数的三角式运算计算出结果．
本题主要考查复数的三角式运算公式，属于基础题．
13.答案：
解析：解：，
，
故答案为：
先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母再进行复数的除法运算，整理成最简形式．
本题考查复数的除法运算，复数的加减乘除运算是比较简单的问题，在高考时有时会出现，若出现则是要一定要得分的题目．
14.答案：
解析：【分析】
本题考查复数的基本运算，复数的基本概念，考查计算能力．
直接利用复数的乘法运算法则，求解即可．
【解答】
解：复数，
所求复数的实部为：．
故答案为：．
15.答案：
解析：解：．
故答案为：．
利用向量线性运算性质即可得出．
本题考查了向量线性运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
16.答案：
解析：解：，
故答案为：．
根据平面向量数量积运算公式运算即可
本题考查平面向量数量积运算公式，属于基础题．
17.答案：
解析：解：已知、、，且A、B、C三点共线，
所以，
解得：，
故答案为：．
直接利用直线的斜率相等求出结果．
本题考查的知识要点：三点共线的充要条件的应用，直线的斜率相等的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
18.答案：
解析：解：由题意可得，
设与的夹角为，代入数据可得
，即，
又，故．
故答案为：
向量垂直的充要条件可得，代入数据计算可得的值，结合夹角的范围可得答
案．
本题考查数量积表示两个向量的夹角，涉及向量垂直的充要条件，属基础题．
19.答案：
解析：解：因为a，，i是虚数单位．若与互为共轭复数，
所以，．
．
故答案为：．
直接利用复数是共轭复数，求出ab，即可求解．
本题考查复数的基本概念的应用，复数的代数形式的混合运算，考查计算能力．
20.答案：
解析：解：，，
又四边形ABCD是平行四边形
向量，故向量的坐标为
故答案为：
根据向量减法法则，得到，结合四边形ABCD是平行四边形，向量
，即得向量的坐标．
本题在平行四边形中，已知一组邻边对应向量的坐标，求第三个向量坐标，着重考查了平行四边形的性质和平面向量加、减法的坐标运算等知识，属于基础题．
21.答案：解：．
Ⅰ当复数z为实数时，，或；
Ⅱ当复数z为虚数时，，且；
Ⅲ当复数z为纯虚数时，，．
解析：Ⅰ当复数z为实数时，可得，然后求出m；
Ⅱ当复数z为虚数时，可得，然后求出m；
Ⅲ当复数z为纯虚数时，可得，然后求出m．
本题考查了复数的概念，考查了方程思想，属基础题．
22.答案：解：在中，由余弦定理，
得，
所以；
又，
由正弦定理得；
Ⅱ，可得A为锐角，且，
，
．
解析：由余弦定理和正弦定理求得b、sin A的值；
Ⅱ利用同角三角函数基本关系式可求cos A的值，进而根据两角和的余弦函数公式即可求解的值．
本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角函数求值的计算问题，是基础题．
23.答案：解：Ⅰ，，
由正弦定理得，
；
Ⅱ由，
，
，
，
．
解析：利用正弦定理，可得，即求出cos B的值；
求出sin2B，cos2B，即可求的值．
本题考查正弦定理，考查二倍角公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
24.答案：本小题满分13分
解：由及正弦定理得：，分，
，
，分
即，分
又，
，
，分
，
，分
又，即，分
由12联立解得：分
解析：由正弦定理化简已知等式得：，结合A的范围，可
得，由B的范围可求得：，从而可求B的大小．
由及三角形面积公式可得，结合余弦定理求得，联立即可解得a，c的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，两角和与差的正弦函数公式等知识的应用，属于基本知识的考查．。
2015-2016年天津市红桥区高一(下)期中数学试卷和答案
2015-2016学年天津市红桥区高一（下）期中数学试卷一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．（4分）在△ABC中，a=3，b=，A=120°，则B等于（）A．120°B．60°C．45°D．30°2．（4分）已知等差数列{a n}满足a3+a4=12，3a2=a5，则a5=（）A．3B．6C．9D．113．（4分）某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，初级职称90人．现采用分层抽取容量为30的样本，则抽取的初级职称的人数为（）A．30B．18C．9D．34．（4分）等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=11，S12=186，则a8=（）A．18B．20C．21D．225．（4分）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=4，BC=2，则质点落在以AB为直径的半圆外的空白处的概率是（）A．1﹣B．C．1﹣D．6．（4分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S2+a2，S1+2a2，S3+a3，成等差数列，则数列{a n}的公比为（）A．﹣2B．﹣C．2D．7．（4分）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于（）A．1B．2C．3D．8．（4分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动，为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出如图所示的频率分布直方图，但由于不慎丢失了部分数据．已知得分在[50，60）的有8人，在[90，100）的有2人，由此推测频率分布直方图中的x=（）A．0.04B．0.03C．0.02D．0.01二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）9．（4分）在数列{a n}中，a1=1，a n=1﹣（n≥2），则a3=．10．（4分）若等比数列{a n}满足a1+a4=10，a2+a5=20，则q=．11．（4分）在五个数字1，2，3，4，5中，若随机取出2个数字，则2个数字之中至少有一个偶数的概率是．12．（4分）如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，则A，B两点的距离为m．13．（4分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n﹣2a n﹣n=0（n∈N+），则数列{a n﹣1}的通项公式为．三、解答题（共4小题，满分48分）14．（10分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2bsinA=a．（1）求角B的大小；（2）若a+c=5，且a＞c，b=，求边a，c．15．（12分）甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取6次．得到甲、乙两位学生成绩的茎叶图．（1）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为哪位学生的成绩更稳定？请说明理由；（2）求在乙同学的6次预赛成绩中，从不小于70分的成绩中随机抽取2个成绩，列出所有结果，并求抽出的2个成绩均大于80分的概率．16．（12分）等差数列{a n}满足：a1=1，a2+a6=14；正项等比数列{b n}满足：b1=2，b3=8．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式a n，b n；（2）求数列{（a n+1）•b n}的前n项和T n．17．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinA，sinC，sinB 成等比数列，且b=2a．（1）求cosC的值；（2）若△ABC的面积为2sinAsinB，求sinA及c的值．2015-2016学年天津市红桥区高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．（4分）在△ABC中，a=3，b=，A=120°，则B等于（）A．120°B．60°C．45°D．30°【解答】解：∵在△ABC中，a=3，b=，A=120°，∴由，可得：sinB===，∵b＜a，B为锐角，∴B=30°．故选：D．2．（4分）已知等差数列{a n}满足a3+a4=12，3a2=a5，则a5=（）A．3B．6C．9D．11【解答】解：∵等差数列{a n}满足a3+a4=12，3a2=a5，∴a2+a5=a3+a4=12，3a2=a5，联立消去a2可得a5=9故选：C．3．（4分）某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，初级职称90人．现采用分层抽取容量为30的样本，则抽取的初级职称的人数为（）A．30B．18C．9D．3【解答】解：每个个体被抽到的概率等于=，由于初级职称90人人，故初级职称90人应抽取的人数为90×=18，故选：B．4．（4分）等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=11，S12=186，则a8=（）A．18B．20C．21D．22【解答】解：由数列的性质得a1+a12=a5+a8又因为×（a1+a12）=186所以a1+a12=a5+a8=31因为a5=11所以a8=20故选：B．5．（4分）若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=4，BC=2，则质点落在以AB为直径的半圆外的空白处的概率是（）A．1﹣B．C．1﹣D．【解答】解：解：∵AB=2BC=4，∴AB=4，BC=2，∴长方体的ABCD的面积S=4×2=8，圆的半径r=2，半圆的面积=•π•22=2π，∴则由几何槪型的概率公式可得质点落在以AB为直径的半圆内的概率是=，∴半圆外的空白处的概率是1﹣，故选：A．6．（4分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S2+a2，S1+2a2，S3+a3，成等差数列，则数列{a n}的公比为（）A．﹣2B．﹣C．2D．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵S2+a2，S1+2a2，S3+a3，成等差数列，∴2（S1+2a2）=S3+a3+S2+a2，化为：2a1（1+2q）=2a1+3a2+2a3=a1（2+3q+2q2），化为：2q2﹣q=0，q≠0．则数列{a n}的公比为．故选：B．7．（4分）在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，则AB等于（）A．1B．2C．3D．【解答】解：∵在△ABC中，A=60°，AC=2，BC=，∴由余弦定理得：BC2=AC2+AB2﹣2AC•ABcosA=4+AB2﹣2×2×AB×=7，则解得：AB=﹣1或3（舍去）．故选：C．8．（4分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动，为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出如图所示的频率分布直方图，但由于不慎丢失了部分数据．已知得分在[50，60）的有8人，在[90，100）的有2人，由此推测频率分布直方图中的x=（）A．0.04B．0.03C．0.02D．0.01【解答】解：∵得分在[50，60）的有8人，在[90，100）的有2人，∴由频率分布直方图，得：y==0.004，∴由频率分布直方图的性质得：（0.004+0.010+0.016+x+0.040）×10=1，解得x=0.03．故选：B．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）9．（4分）在数列{a n}中，a1=1，a n=1﹣（n≥2），则a3=．【解答】解：∵a n=1﹣=（n≥2），∴==1+（n≥2），∵=1，∴数列{}是首项、公差均为1的等差数列，∴=n，a n=，故答案为：．10．（4分）若等比数列{a n}满足a1+a4=10，a2+a5=20，则q=2．【解答】解：∵等比数列{a n}满足a1+a4=10，a2+a5=20，∴a2+a5=q（a1+a4）=10q=20，解得q=2．故答案为：2．11．（4分）在五个数字1，2，3，4，5中，若随机取出2个数字，则2个数字之中至少有一个偶数的概率是．【解答】解：在五个数字1，2，3，4，5中，随机取出2个数字，基本事件总数n==10，2个数字之中至少有一个偶数的对立事件是2个数字都是奇数，∴2个数字之中至少有一个偶数的概率是：p=1﹣=．故答案为：．12．（4分）如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，则A，B两点的距离为50m．【解答】解：在△ABC中，∵∠ACB=45°，∠CAB=105°∴∠B=30°由正弦定理可得：∴=50m故答案为：5013．（4分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n﹣2a n﹣n=0（n∈N+），则数列{a n﹣1}的通项公式为﹣2n．【解答】解：∵S n﹣2a n﹣n=0（n∈N+），∴S n﹣1﹣2a n﹣1﹣n+1=0（n≥2），两式相减得：a n=2a n﹣1﹣1，变形可得：a n﹣1=2（a n﹣1﹣1），又∵a1=2a1+1，即a1﹣1=﹣1﹣2=﹣2，∴数列{a n﹣1}是首项为﹣2、公比为2的等比数列，∴数列{a n﹣1}=﹣2•2n﹣1=﹣2n，故答案为：﹣2n．三、解答题（共4小题，满分48分）14．（10分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2bsinA=a．（1）求角B的大小；（2）若a+c=5，且a＞c，b=，求边a，c．【解答】解：（1）在锐角△ABC中，∵2bsinA=a，∴2sinBsinA=sinA，sinA≠0，∴sinB=，B∈（0，），∴B=．（2）由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，∴7=（a+c）2﹣2ac﹣2accos，化为：ac=6，与a+c=5，a＞c，联立解得：a=3，c=2．15．（12分）甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取6次．得到甲、乙两位学生成绩的茎叶图．（1）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为哪位学生的成绩更稳定？请说明理由；（2）求在乙同学的6次预赛成绩中，从不小于70分的成绩中随机抽取2个成绩，列出所有结果，并求抽出的2个成绩均大于80分的概率．【解答】解：（1）=（69+78+79+79+88+87）=80，=[（69﹣80）2+（78﹣80）2+（79﹣80）2+（79﹣80）2+（88﹣80）2+（87﹣80）2]=40．=（65+77+79+82+88+89）=80，=[（65﹣80）2+（77﹣80）2+（79﹣80）2+（82﹣80）2+（88﹣80）2+（89﹣80）2]=64．∵=，＜，∴甲学生的成绩更稳定．（2）在乙同学的6次预赛成绩中，从不小于70分的成绩中随机抽取2个成绩，列出所有结果为：{（77，79），（77，82），（77，88），（77，89），（79，82），（79，88），（79，89），（82，88），（82，89），（88，89）}，共10个，2个成绩均大于80分的基本事件有：（82，88），（82，89），（88，89），共3个，∴抽出的2个成绩均大于80分的概率p=．16．（12分）等差数列{a n}满足：a1=1，a2+a6=14；正项等比数列{b n}满足：b1=2，b3=8．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式a n，b n；（2）求数列{（a n+1）•b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=1，a2+a6=14；∴2×1+6d=14，解得d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．设正项等比数列{b n}的公比为q＞0，∵b1=2，b3=8．∴2q2=8，解得q=2．∴b n=2×2n﹣1=2n．（2）（a n+1）•b n=2n×2n=n×2n+1．数列{（a n+1）•b n}的前n项和T n=22+2×23+3×24+…+n×2n+1，2T n=23+2×24+…+（n﹣1）×2n+1+n×2n+2，∴﹣T n=22+23+…+2n+1﹣n×2n+2=﹣n×2n+2=（1﹣n）×2n+2﹣4，∴T n=（n﹣1）×2n+2+4．17．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinA，sinC，sinB 成等比数列，且b=2a．（1）求cosC的值；（2）若△ABC的面积为2sinAsinB，求sinA及c的值．【解答】解：在△ABC中，∵sinA，sinC，sinB成等比数列，∴sin2C=sinA•sinB，∴c2=ab，∵b=2a，∴c=a，∴cosC===；（2）由（1）可得，sin2C=∵△ABC的面积为2sinAsinB，∴△ABC的面积为2sin2C=，∴=，∴=，∴a=，∴b=，c=，∴sinA=，∴sinA=．第11页（共11页）。
2019-2020年高一期中考试数学试卷含答案
2019-2020年高一期中考试数学试卷含答案本试卷满分150分考试时间120分钟共60分,有一项是符合题目要求的。
1 •集合，集合，则等于（A. B. C. D.A. B. C. D.6•函数的单调递增区间为（）A. B. C. D.7•定义运算若函数，则的值域是（）A. B. C. D.&若函数f （x） = ax' ：：；，blog2（x • ； x2• 1）■■■2在上有最小值-5,（为常数），则函数在上（）A.有最大值 5B.有最小值 5C.有最大值 3D.有最大值99•已知是定义在上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.10.函数f（x）=log2、x log2（2x）的最小值为（）A. 0B.C.D.11. 已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.12. 设是定义在上的函数，对任意正实数，，且/（x>l-|x-2|, 1<^<3，则使得的最小实数为（）2.已知幕函数的图象过点, 则的值为（D.C. 2A. B.-5.函数的图象向右平移个单位长度, )所得图象与曲线关于轴对称，则（王治洪在每小题给出的四个选项中，只、选择题：本大题共12小题，每小题A. 172B. 415C. 557D. 89二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在横线上13. 已知”若，则.14 ______________ .若函数满足，则. 15.的定义域是，则函数的定义域是."(3a —2)x +6a —1,x16 .已知函数f(x)=! 在上单调递减，则实数的取值范围0x,xQ是 ____ .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. (本小题满分10分)计算下列各式:f 2 1、f 1 1 >/ 1 5 >(1)2a3b2-6a2b3-3a®b6(a > 0,b > 0 )< 丿< 丿< 丿(2) 2(lgU2f +lg +J(lg — lg2 + 118. (本小题满分12分)已知集合，集合.-(1)求；(2)若集合，且，求实数的取值范围19. (本小题满分12分)已知幕函数f (x)二(-2m2m ■ 2)x m 1为偶函数.(1)求的解析式；(2)若函数在区间(2, 3) 上为单调函数，求实数的取值范围.20. (本小题满分12分)]4 -x2|, x 兰0已知函数f(x)二22二0 ：：： x _2 ,log 2 X , x 2(1)画出函数的图象；(2 )求的值；(3)求的最小值.21.(本小题满分12分)二次函数满足，且(1)求的解析式;(2)在区间［-1 , 1］上，的图象恒在的图象上方，试确定实数的范围22 (本小题满分12分)已知定义在上的函数有当时且对任意的有(1)求的值(2)证明在上为增函数(3 )若求的取值范围XX第一学期高一期中考试数学试题答案一•选择题：BABC DACD DCDB二. 填空题：13. 0,-1, 14. 15. 16.三. -计算题：17. (1) 4a (2) 1.18. 解：(1), ,•••,(2)时，2a _ a 1 I 3时，2a •-3 a ：：：-1 综上：或2 a 1 ：：019. (1)由，得可知符合题意，(2)=,对称轴为，则，即20. 解：(1)作出函数图象如右图所示,(2)T f ( 3) =log 23,• 0v f (3)v 2,• f (f (3)) =f (log 23)=.…(3)由函数图象可知f (x)在［1 , 2］上是减函数，在(2, +8)上是增函数，：a 2+1> 1,•••当a2+1=2 时，21. 解：(1 )设f (x)=ax2+bx+c，由f (0) =1 _4 _2得c=1，故f (x) =ax+bx+1 .2 2…因为 f (x+1)- f (x) =2x,所以 a (x+1) +b (x+1) +1 -( ax +bx+1) =2x.即2ax+a+b=2x,所以，•，所以 f (x) =x2- x+1(2)由题意得x2- x+1> 2x+m在［-1, 1］上恒成立.J _____ I_____ X ____ I__________ I __ I __ I__ L-4 -3 -2 -1 O 12 3 4-1 -▼3 ■2即x - 3x+1 - m> 0在［-1, 1］上恒成立.设g (x) =x2- 3x+1 - m其图象的对称轴为直线，所以g (x)在［-1, 1］上递减.故只需g (1 )> 0，即12 - 3X 1+1 - m> 0，解得m<- 1.22.解：(1)令，则f(0) = f(0) f (0) = f2(0)，又所以(2)设任意的且，则x^ x10 = f(x2-xj .1f (x )f(X2)= f［(X2 7)幻二f (X2 -xjf (xj 2f (X2 - 为)仁f(xj ::： f(X2)f(xj因此在上为增函数(3 )由f(x) f(2x-x2) 1 二f[x (2x — x2)] 仁f (3x-x2) f (0)在上为增函数23x -x 0 二x(x -3) ： 0 二0 ：：x 3故的取值范围是2019-2020年高一期中考试生物试卷含答案本试卷满分100分考试时间90分钟徐志宏-、选择题(共60分，每小题2分)1•在下列结构中，其成分不含磷脂分子的一组细胞器是①线粒体②核糖体③叶绿体④细胞核⑤内质网⑥中心体⑦高尔基体A. ①③B.④⑤C.⑤⑦D.②⑥2. 下图是用显微镜观察植物细胞实验中的两个视野，要把视野中的物像从图甲转为图乙,下列操作步骤正确的排序是①转动细准焦螺旋②转动粗准焦螺旋③移动装片④调节光圈(或转换反光镜)⑤转动转换器A. ③一⑤一④一①B. ④一③一②一⑤C. ③—①—④—⑤D. ③—⑤—②—①3. 在洋葱根细胞中，含有双层膜结构的细胞器是A ．叶绿体B ．叶绿体、线粒体C ．线粒体D ．线粒体、细胞核4. 细胞是最基本的生命系统,生命系统的各个层次既层层相依,又有各自的组成、结构和功能。
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2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷一、选择题1．下列运算正确的是（）A．B．C．D．2．已知幂函数y＝f（x）的图象过点（2，），则这个幂函数的解析式是（）A．y＝x B．y＝x C．y＝x2D．y＝x﹣2 3．函数f（x）＝log a（x﹣1）+2（a＞0，a≠1）恒过定点（）A．（3，2）B．（2，1）C．（2，2）D．（2，0）4．函数y＝2﹣x和y＝2x的图象关于（）A．x轴对称B．y轴对称C．原点对称D．直线y＝x对称5．已知α是锐角，那么2α是（）A．第一象限角B．第二象限角C．小于180°的正角D．不大于直角的正角6．已知tanα＝2，则的值为（）A．2 B．C．﹣2 D．7．已知a＝log23，b＝log32，，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．a＜c＜b 8．为得到函数的图象，只需将函数y＝2sin2x的图象（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向左平移单位D．向右平移单位9．在△ABC中，则C等于（）A．B．C．D．二、填空题10．求值：log2（lg10）＝．11．cos＝．12．sin72°cos18°+cos72°sin18°的值是．13．函数，，则cosα＝．14．则f（f（2））的值为．15．已知函数f（x）＝a x+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b＝．三、解答题（共4小题）16．已知，且α是第二象限角．（Ⅰ）求：sin2α的值；（Ⅱ）求：的值．17．已知函数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）取得最大值时的x集合．18．已知函数f（x）＝lg（1﹣x）﹣lg（1+x）．（Ⅰ）求函数的f（x）定义域；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并用定义证明你的结论．19．已知函数f（x）＝cos4x+2sin x cos x﹣sin4x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间上的最小值和最大值．参考答案一、选择题1．下列运算正确的是（）A．B．C．D．【分析】利用指数幂的运算性质即可得出．解：对于选项A：，故选项A错误；对于选项B：，故选项B错误；对于选项C：，故选项C错误；对于选项D：，故选项D正确，故选：D．2．已知幂函数y＝f（x）的图象过点（2，），则这个幂函数的解析式是（）A．y＝x B．y＝x C．y＝x2D．y＝x﹣2【分析】利用幂函数的性质求解．解：∵幂函数y＝f（x）＝x a的图象过点（2，），∴2a＝，解得a＝，∴这个幂函数的解析式为y＝．故选：A．3．函数f（x）＝log a（x﹣1）+2（a＞0，a≠1）恒过定点（）A．（3，2）B．（2，1）C．（2，2）D．（2，0）【分析】由log a1＝0得x﹣1＝1，求出x的值以及y的值，即求出定点的坐标．解：∵log a1＝0，∴当x﹣1＝1，即x＝2时，y＝2，则函数y＝log a（x﹣1）+2的图象恒过定点（2，2）．故选：C．4．函数y＝2﹣x和y＝2x的图象关于（）A．x轴对称B．y轴对称C．原点对称D．直线y＝x对称【分析】由函数y＝f（x）的图象与y＝f（﹣x）的图象关于y轴对称，即可知已知两函数的对称性，也可利用指数函数的图象判断其对称性解：∵y＝f（x）的图象与y＝f（﹣x）的图象关于y轴对称，∴函数y＝2﹣x和y＝2x的图象关于y轴对称故选：B．5．已知α是锐角，那么2α是（）A．第一象限角B．第二象限角C．小于180°的正角D．不大于直角的正角【分析】根据α是锐角，得出2α的取值范围是（0，π），再判定2α的终边位置即可．解：∵α是锐角，即0＜α＜．∴0＜2α＜π.2α是小于180°的正角故选：C．6．已知tanα＝2，则的值为（）A．2 B．C．﹣2 D．【分析】对已知式子分子分母用时除以cosα，转化为正切函数值，即可求解．解：＝，故选：B．7．已知a＝log23，b＝log32，，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．a＜c＜b【分析】利用对数函数的单调性即可得出．解：a＝log23＞1，b＝log32∈（0，1），＜0，则a，b，c的大小关系为c＜b＜a．故选：A．8．为得到函数的图象，只需将函数y＝2sin2x的图象（）A．向左平移单位B．向右平移单位C．向左平移单位D．向右平移单位【分析】由条件利用y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解：将函数y＝2sin2x的图象向左平移单位，可得y＝2sin2（x+）＝2sin（2x+）的图象，故选：C．9．在△ABC中，则C等于（）A．B．C．D．【分析】利用两角和的正切公式，求出tan（A+B）的三角函数值，求出A+B的大小，然后求出C的值即可．解：由tan A+tan B+＝tan A tan B可得tan（A+B）＝＝﹣＝因为A，B，C是三角形内角，所以A+B＝120°，所以C＝60°故选：A．二、填空题[共6小题）10．求值：log2（lg10）＝0 ．【分析】利用对数运算性质即可得出．解：原式＝log21＝0．故答案为：0．11．cos＝﹣．【分析】应用诱导公式化简三角函数式，可得结果．解：cos＝cos（π﹣）＝﹣cos＝﹣，故答案为：﹣12．sin72°cos18°+cos72°sin18°的值是 1 ．【分析】直接利用两角和的正弦函数化简求解即可．解：sin72°cos18°+cos72°sin18°＝sin90°＝1．故答案为：1．13．函数，，则cosα＝．【分析】先利用诱导公式化简，再利用同角三角函数的关系化简即可．解：∵sin（π+α）＝，∴，∴，又∵，则cosα＝﹣＝﹣，故答案为：﹣．14．则f（f（2））的值为 2 ．【分析】本题是一个分段函数，且是一个复合函数求值型的，故求解本题应先求内层的f（2），再以之作为外层的函数值求复合函数的函数值，求解过程中应注意自变量的范围选择相应的解析式求值．解：由题意，自变量为2，故内层函数f（2）＝log3（22﹣1）＝1＜2，故有f（1）＝2×e1﹣1＝2，即f（f（2））＝f（1）＝2×e1﹣1＝2，故答案为 215．已知函数f（x）＝a x+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b＝．【分析】对a进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组，解得答案．解：当a＞1时，函数f（x）＝a x+b在定义域上是增函数，所以，解得b＝﹣1，＝0不符合题意舍去；当0＜a＜1时，函数f（x）＝a x+b在定义域上是减函数，所以，解得b＝﹣2，a＝，综上a+b＝，故答案为：三、解答题（共4小题）16．已知，且α是第二象限角．（Ⅰ）求：sin2α的值；（Ⅱ）求：的值．【分析】（Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα的值，进而根据二倍角的正弦函数公式即可求值得解．（Ⅱ）由已知利用两角和的余弦函数公式即可求值得解．解：（Ⅰ）∵，α是第二象限角，∴，∴．（Ⅱ）∴＝．17．已知函数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）取得最大值时的x集合．【分析】（1）由题意利用正弦函数的单调性，得出结论．（2）由题意利用正弦函数的最大值，求得函数f（x）取得最大值时的x集合．解：（1）对于函数，由，k ∈Z，得到，解得：，k∈Z，所以单调递增区间为，k∈Z，同理，求得它的单调递减区间为，k∈Z．（2）显然，函数的最大值为1．令：，k∈Z，解得：，k∈Z，可得函数f（x）取得最大值的x集合为：．18．已知函数f（x）＝lg（1﹣x）﹣lg（1+x）．（Ⅰ）求函数的f（x）定义域；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并用定义证明你的结论．【分析】（1）根据题意，由函数的解析式可得，解可得x的取值范围，即可得答案；（2）根据题意，先分析函数的定义域，进而分析可得f（﹣x）与f（x）的关系，即可得答案．解：（Ⅰ）根据题意，函数f（x）＝lg（1﹣x）﹣lg（1+x）．则有，解得，解可得﹣1＜x＜1，则函数f（x）的定义域（﹣1，1）．（Ⅱ）函数f（x）是奇函数．证明：由（Ⅰ）知定义域关于原点对称．因为函数f（x）＝lg（1﹣x）﹣lg（1+x）．∵f（﹣x）＝lg（1+x）﹣lg（1﹣x）＝﹣f（x）．所以函数f（x）是奇函数．19．已知函数f（x）＝cos4x+2sin x cos x﹣sin4x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在区间上的最小值和最大值．【分析】（1）由题意利用三角恒等变换花简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求出函数f（x）的最小正周期．（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域，求出函数f（x）在区间上的最小值和最大值．解：（Ⅰ）f（x）＝cos4x﹣sin4x+2sin x cos x＝（cos2x+sin2x）（cos2x﹣sin2x）+2sin x cos x ＝，∴f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在闭区间上，，故当时，函数f（x）取得最大值为，当时，函数f（x）取得最小值为﹣1．。
天津市红桥区2019_2020学年高一数学下学期期中试题(含解析)
天津市红桥区2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）第Ⅰ卷（共 36 分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，本卷共 12 题， 每小题 3 分，共36 分．1.在复平面内表示复数(1)i i -的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】把(1)i i -展开即得. 【详解】2(1)1i i i i i -=-=+，∴复数(1)i i -对应的点的坐标为()1,1，在第一象限.故选：A .【点睛】本题考查复数的几何意义，属于基础题.2.已知i 是虚数单位，若复数()()12ai i +-是纯虚数，则实数a 等于（ ） A. 2 B.12C. 12-D. -2【答案】D 【解析】 【分析】把复数()()12ai i +-展开，由实部为0，虚部不为0，即求实数a . 【详解】复数()()()21222221ai i i ai ai a a i +-=-+-=++-为纯虚数，20,2210a a a +=⎧∴∴=-⎨-≠⎩. 故选：D .【点睛】本题考查复数的乘法运算和复数的分类，属于基础题. 3.已知向量()2,4a =，()1,1b =-，则2a b -=（ ） A. ()5,7B. ()5,9C. ()3,7D. ()3,9【解析】因为2(4,8)a =，所以2(4,8)(1,1)a b -=--=（5，7），故选A. 考点：本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.4.已知向量()()1,,, 2a m b m →→==，若//a b →→，则实数m =（ ）A. 2B.C. - 2D. 0【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示，可求m .【详解】由//a b →→，可得2120,m m ⨯-=∴=故选：B .【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，属于基础题. 5.已知i 是虚数单位，,a b ∈R ，31ia bi i++=-，则 a b -等于（ ） A. -1 B. 1C. 3D. 4【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法化简31ii+-，再根据复数相等的充要条件求出,a b ，即得答案. 详解】()()()()2231334241211112i i i i i ia bi i i i i i +++++++=====+--+-， 1,2,1ab a b ∴==∴-=-.故选：A .【点睛】本题考查复数的除法运算和复数相等的充要条件，属于基础题. 6.若i 为虚数单位，则复数311i i-+的模是（ ）A. C. 5【解析】 【分析】根据复数的除法运算把311i i-+化成(),a bi a b R +∈【详解】()()()()2231131331241211112i i i i i i ii i i i i -----++====+++--，31121i i i-∴=+==+故选：B .【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的求模公式，属于基础题.7.复数 z 满足() 11z z i -=+，则 z 的值是（ ）A. 1i +B. 1i -C. iD. i -【答案】D 【解析】 【分析】由() 11z z i -=+，求出复数 z ，把 z 写出() ,a bi a b R +∈的形式，即求 z . 【详解】()()()()2221112 11,1111i i i i z z i z i i i i i ++++-=+∴====--+-， z i ∴=-故选： D .【点睛】本题考查复数的运算和共轭复数，属于基础题.8.已知向量(11)a =-，，(12)b =-，，则(2)a b a +⋅＝（ ） A. 1- B. 0C. 1D. 2【答案】C 【解析】 【分析】由向量的坐标运算表示2a b +，再由数量积的坐标运算即可得解.【详解】解：因为()1,1a =-，()1,2b =-则()()()21,01,11a b a +⋅=⋅-=； 故选C ．【点睛】本题考查了向量的加法和数量积的坐标运算；属于基础题目．9.已知点 ()()1236A B --，，，，则线段 AB 的中点坐标为（ ）A. ()2,1B. ()1,2-C. () 1,2D. () 2,2-【答案】B 【解析】 【分析】根据线段的中点坐标公式即得.【详解】()()3,,126A B ∴∴--，，线段 AB 的中点坐标为1326,22-+-⎛⎫⎪⎝⎭，即()1,2-. 故选：B .【点睛】本题考查线段的中点坐标公式，属于基础题.10.设向量)(),2,2a b →→==-，若()()a b a b λλ+⊥-，则实数λ=（ ）A. ±1B. 0C. D. ±2【答案】C 【解析】 【分析】写出向量()(),a b a b λλ+-的坐标，由()()a b a b λλ+⊥-，得()()0a b a b λλ⋅+=-，即求λ. 【详解】()()()()3,1,2,2,23,2,32,2a b a b a b λλλλλλ→→==-∴+=+--=-+.()()()(),0a b a b a b a b λλλλ∴+⊥-⋅+=-，()()()222220,2,λλλλ∴-+-+=∴=∴=.故选：C .【点睛】本题考查向量垂直的性质，属于基础题.11.已知1a =，=(0,2)b ，且1a b ⋅=，则向量a 与b 夹角的大小为( )A.6π B.4π C.3π D.2π 【答案】C 【解析】 【分析】()0,2b =可知，2b =，由向量夹角的公式求解即可【详解】()0,2b =可知，2b =，·1cos ,2·a b a b a b==，所以夹角为3π，故选C. 【点睛】本题考查向量的模的定义和向量夹角的计算公式．12.已知123cos sin ,2cos sin 26633z i z i ππππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12z z =（ ）A. iB. 2iC.D. 3i【答案】D 【解析】 【分析】根据复数乘法运算的三角表示，即得答案. 【详解】1233cos sin 2cos sin 2cos sin 2663326363z z i i i ππππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+=⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3cos sin 322i i ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.故选：D .【点睛】本题考查复数乘法的三角表示，属于基础题.第Ⅱ卷（共 64 分）二、填空题：本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分． 13.i 是虚数单位，则21i=+__________． 【答案】1i - 【解析】 【分析】根据复数的除法运算即得答案. 【详解】()()()()()22121212111112i i i i i i i i ---====-++--. 故答案为：1i -.【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题. 14.i 是虚数单位，则复数()1i i +的实部为__________． 【答案】1- 【解析】 【分析】把()1i i +展开，21i =-代入即得. 【详解】()211i i i i i =+=-++,∴复数()1i i +的实部为1-.故答案为：1-.【点睛】本题考查复数的乘法运算，属于基础题. 15.计算：QP NQ MN MP →→→→++-=__________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据向量加法的交换律、向量加法的三角形法则和向量减法法则进行运算，即得答案. 【详解】由向量加法的交换律、向量加法的三角形法则和向量减法法则可得()0QP NQ MN MP NQ QP MN MP NP PN ++-=++-=+=.故答案为：0.【点睛】本题考查向量加减法的运算法则和向量加法的交换律，属于基础题. 16.已知3,4a b ==，且向量,a b →→的夹角为120，则a b →→⋅=__________． 【答案】6- 【解析】 【分析】根据数量积的定义即求. 【详解】3,4a b ==,且向量,a b →→的夹角为120，1cos1203462a b a b →→⎛⎫∴⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.故答案为：6-.【点睛】本题考查向量数量积的定义，属于基础题.17.已知()()() 12203A B C x -，、，、，，且 A B C 、、三点共线，则x =__________． 【答案】52- 【解析】 【分析】由 ,,A B C 三点共线，得 //AB BC ，根据向量共线的坐标表示求x . 【详解】 ,,A B C 三点共线， //AB BC ∴.()()()()(),,, 1,22,0,3,2,33,2AB A B BC x C x ∴=---=，()()533220,2x x ∴⨯---=∴=-.故答案为：52-. 【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，属于基础题.18.若向量||2,2,()b a b a a →→→→→-=⊥=，则 ,a b →→的夹角的度数为__________． 【答案】0 【解析】 【分析】设向量 ,a b →→的夹角为()0180θθ≤≤.由()a ab →-⊥，得()0a a b →=-，再根据数量积的定义求夹角θ.【详解】设向量 ,a b →→的夹角为()0180θθ≤≤.()22,00,()a a b a b a a a b a b a →→→∴-=∴-=∴-=⊥，，又||2,2,22cos 4,cos 1,0b a θθθ→→==∴⨯=∴=∴=.故答案为：0.【点睛】本题考查向量垂直的性质和数量积的定义，属于基础题.19.已知 ,a b R ∈，i 是虚数单位．若a i -与 2bi +互为共轭复数，则()2a bi +=__________．【答案】34i + 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义，求出,a b ，再把()2a bi +展开即得. 【详解】a i -与 2bi +互为共轭复数，2,1ab ∴==,()()22224434a bi i i i i ∴+=+=++=+.故答案为：34i +.【点睛】本题考查共轭复数和复数的乘法，属于基础题.20.在平行四边形 ABCD 中，若()()1,3,2,5AB AC ==，则向量 AD 的坐标为__________． 【答案】()1,2 【解析】 【分析】根据向量加法的平行四边形法则可知AC AB AD =+，可求 AD 的坐标. 【详解】平行四边形 ABCD 中，AC AB AD =+.()()()()()1,3,2,5,2,51,31,2AB AC AD AC AB ==∴=-=-=.故答案为：()1,2.【点睛】本题考查向量加法的平行四边形法则，属于基础题.三、解答题：本大题共 4 个小题，共 40 分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21.已知i 是虚数单位，复数()()22563,z m m m m i m R =-++-∈．（Ⅰ）当复数z 为实数时，求 m 的值； （Ⅱ）当复数z 为虚数时，求 m 的值； （Ⅲ）当复数z 为纯虚数时，求 m 的值． 【答案】（Ⅰ）0或3；（Ⅱ） 0m ≠且 3m ≠；（Ⅲ）2. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据虚部为0，求 m ； （Ⅱ）根据虚部不为0，求m ； （Ⅲ）根据实部为0，虚部不为0，求m . 【详解】复数()()22563,z m m m m i m R =-++-∈.（Ⅰ）当复数 z 为实数时，有230,0m m m -=∴=或 3m =. （Ⅱ）当复数 z 为虚数时，有230,0m m m -≠∴≠且 3m ≠.（Ⅲ）当复数 z 为纯虚数时，有2230 560m m m m ⎧-≠⎨-+=⎩，解得 2m =. 【点睛】本题考查复数的分类，属于基础题.22.在ABC 中，内角 ,,A B C 所对的边分别为 ,,a b c ．已知45,6,cos 5a c B ===． （Ⅰ）求b 和sinA 的值；（Ⅱ）求cos 4A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（Ⅰ）b =，sin A =；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由余弦定理求b .根据平方关系式求sin B ，再根据正弦定理求sin A ；（Ⅱ）根据三角形中大边对大角，得A 为锐角.由（Ⅰ）知sin A ，根据平方关系式求cos A ，再根据两角和的余弦公式求cos 4A π⎛⎫+⎪⎝⎭. 【详解】（Ⅰ）ABC 中，已知45,6,cos 5a c B ===．由余弦定理得2222242cos 56256135b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，b ∴=又3sin 5B ===． 由正弦定理sin sin a bA B=，可得35sin sin a B A b ⨯===.（Ⅱ）5,6,,,a b c b a c B A C A ===∴<<∴<<∴为锐角.由（Ⅰ）知sin cos 1313A A =∴==. cos cos cos sin sin 44422A A A πππ⎛⎫∴+=-== ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查正余弦定理、同角三角函数基本关系式和两角和的余弦公式，属于基础题.23.设 ABC 的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且3,4,2b c C B ===． （Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）求sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【答案】（Ⅰ）23；【解析】 【分析】（Ⅰ）由正弦定理和倍角公式可求cos B ； （Ⅱ）由（Ⅰ）知2cos 3B =.根据平方关系式求出sin B ，根据倍角公式求出sin 2,cos 2B B ，最后根据两角差的正弦公式求sin 23B π⎛⎫-⎪⎝⎭. 【详解】（Ⅰ） ABC 中，3,4,2b c C B ===.由正弦定理sin sin b c B C =,可得34442sin sin sin 22sin cos sin cos B C B B B B B====， 2cos 3B ∴=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知2cos ,sin 3B B =∴===， 22221sin 22sin cos 2,cos 22cos 12133939B B B B B ⎛⎫∴====-=⨯-=- ⎪⎝⎭.11sin 2sin 2cos cos 2sin 33329B B B πππ⎛⎫∴-=-=+= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查正弦定理、同角三角函数基本关系式、倍角公式和两角差的正弦公式，属于中档题.24.已知,,a b c 分别为 ABC 三个内角 ,,A B C 的对边，sin cos a A a B =-． （Ⅰ）求角 B 的值；（Ⅱ）若2,b ABC =△，求,a c ．【答案】（Ⅰ）3B π=；（Ⅱ）2a c ==. 【解析】【分析】（Ⅰ）由正弦定理把sin cos a A a B =-化为sin sin sin cos A B A A B =-，约去sin A ，利用辅助角公式，可求 B ；（Ⅱ）根据面积公式和余弦定理求,a c【详解】（Ⅰ）3sin cos a b A a B =-，由正弦定理可得sin sin sin cos A B A A B =-.又sin 0,cos 1A B B >-=，由辅助角公式得12sin 1,sin 662B B ππ⎛⎫⎛⎫-=∴-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 5 0,666B B ππππ<<∴-<-<， ,663B B πππ∴-=∴=.（Ⅱ）ABC ，1sin 2ac B ∴=,43ac B π∴==. 又2b =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 即2222424cos,83a c a c π=+-⨯∴+=， 又4,2ac a c =∴==.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、辅助角公式和面积公式，属于中档题.。
2020年天津一中高一(下)期中数学试卷解析版
期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.以下说法正确的有几个（ ）①四边形确定一个平面；②如果一条直线在平面外，那么这条直线与该平面没有公共点；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；④如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则角A的大小为（ ）A. B. C. D.3.在△ABC中，若且∠BAC=30°，则△ABC的面积为（ ）A. B. C. D.4.设α、β、γ为平面，为m、n、l直线，则下列判断正确的是（ ）A. 若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，则m⊥βB. 若α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ，则m⊥βC. 若α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，则m⊥βD. 若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β5.某三棱锥的三视图如图所示，其俯视图是一个等腰直角三角形，则此三棱锥的体积为（）A. B. C. D.6.点G为△ABC的重心，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，则=（ ）A.B. C. D.7.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点O 是四边形ABCD 的中心，关于直线A 1O ，下列说法正确的是（ ）A. A 1O ∥D 1C B. A 1O ∥平面B 1CD 1C. A 1O ⊥BC D. A 1O ⊥平面AB 1D 18.一个圆锥SC 的高和底面直径相等，且这个圆锥SC 和圆柱OM 的底面半径及体积也都相等，则圆锥SC 和圆柱OM 的侧面积的比值为（ ）A.B. C. D.9.平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60°，CD =2，，则二面角C 1-BD -C 的平面角的余弦值为（ ）A. B. C. D.10.如图，在△ABC 的边AB 、AC 上分别取点M 、N ，使，BN 与CM交于点P ，若，，则的值为（ ）A. B. C. D. 6二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.已知向量，满足，，，则=______．12.如图，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°且PA=AC，AC=2BC，则异面直线PB与AC所成的角的正切值等于______．13.如图，在直棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=AA1=2，则二面角A1-BC1-C的平面角的正弦值为______．14.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，2b（2b-c）cos A=a2+b2-c2，则内角A的值为______．15.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E是棱BB1的中点，则点B1到平面ADE的距离为______．16.如图，在直角梯形ABCD中，，AB=AD=2．若M、N分别是边AD、BC上的动点，满足，，其中λ∈（0，1），若，则λ的值为______．三、解答题（本大题共4小题，共48.0分）17.设f（α）=，，其中向量=（），=（2sin，cos）（1）若f（α）=-1，求cos的值．（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，若a cos B+b cos A+2c•cos C=0，求函数f（A）的取值范围．18.如图，在几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，E为AB中点．（1）求证：AN∥平面MEC；（2）求证：AC⊥BN．19.如图1所示，在矩形ABCD中，AB=2AD=4，E为CD的中点，沿AE将△AED折起，如图2所示，O、H、M分别为AE、BD、AB的中点，且DM=2．（1）求证OH∥平面DEC；（2）求证平面ADE⊥平面ABCE；（3）求三棱锥H-OMB的体积．20.如图，四棱锥P-ABCD的底面是菱形，PO⊥底面ABCD，O、E分别是AD、AB的中点，AB=6，AP=5，∠BAD=60°．（1）求证：平面PAC⊥平面POE；（2）求直线PB与平面POE所成角的正弦值；（3）若F是边DC的中点，求异面直线BF与PA所成角的余弦值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：①错误，如空间四边形确定一个三棱锥．②错误，直线可能和平面相交．③正确，根据公理二可判断③正确．④错误，在空间中，垂直于同一条直线的两条直线可能相交，也可能异面，也可能平行．故选：B．利用反例判断①②④的正误；公理二判断③的正误即可．本题考查科技中心与平面的位置关系的应用，命题的真假的判断，是基本知识的考查．2.【答案】B【解析】解．由正弦定理得，即，即，也即，故，故选：B．直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理和三角函数的值的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．3.【答案】C【解析】解：因为在△ABC中，若且∠BAC=30°，∴c•b•cos A=2⇒b•c×=2⇒bc=；∴△ABC的面积为：bc sin A=××=；故选：C．根据数量积和角A的度数，求得bc=；再代入三角形的面积计算公式即可．本题主要考查数量积的应用以及解三角形的有关知识，属于基础题目．4.【答案】D【解析】解：对于A，若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，则当m⊂α时，m⊥β．当m⊄α时，m与β相交但不垂直，故A不正确；对于B，α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ，则m与β，可能平行与可能相交，故B不正确；对于C，α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，则m∥β，或m⊂β，故C不正确；对于D，若n⊥α，n⊥β，m⊥α，可得α∥β，并且m∥n，所以m⊥β，故D正确，故选：D．通过直线与平面垂直与平行，平面与平面的平行与垂直的判断与性质，推出正确选项即可．本题考查的知识点是利用空间直线与平面之间的位置关系及平面与平面之间的位置关系判断命题的真假，处理此类问题的关键是熟练掌握线面平行或垂直的判定方法和性质．5.【答案】B【解析】解：根据三视图可知，该几何体是一个底面等腰直角三角形，高为2三棱锥，如图，该三棱锥为D-ABC，由三视图尺寸可知：AD=2，即AC=2，AB⊥BC，则此三棱锥的体积为V=×=．故选：B．根据三视图，该几何体是一个底面为等腰直角三角形，高为2的三棱锥，画出直观图．本题考查了三视图的认识和尺寸关系，直观图以及几何体的体积的求法，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：以CA，CB为x，y轴，建立直角坐标系，如图：点G为△ABC的重心，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，可得A（，0），B（0，1），则G（，），=（，），=（-，）则==-．故选：A．利用已知条件，建立直角坐标系，求出相关点的坐标，然后求解向量的数量积．本题主要考查了平面向量数量积的定义的简单应用，善于利用平面向量的一些常见结论是求解本题的关键．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．推导出A1D∥B1C，OD∥B1D1，从而平面A1DO∥平面B1CD1，由此能得到A1O∥平面B1CD1．【解答】解：∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O是四边形ABCD的中心，∴A1D∥B1C，OD∥B1D1，∵A1D∩DO=D，B1D1∩B1C=B1，∴平面A1DO∥平面B1CD1，∵A1O⊂平面A1DO，∴A1O∥平面B1CD1．故选：B．8.【答案】C【解析】解：如图，设圆锥与圆柱的底面半径为r，则圆锥SC的高为2r，设圆柱的高为h，由体积相等可得，可得h=．∴，．则圆锥SC和圆柱OM的侧面积的比值为．故选：C．设圆锥与圆柱的底面半径为r，则圆锥SC的高为2r，设圆柱的高为h，由体积相等可得h=，分别求出圆锥与圆柱的侧面积，作比得答案．本题考查圆柱、圆锥的侧面积与体积，考查计算能力，是基础题．9.【答案】D【解析】解：取BD中点O，连结CO，C1O，∵平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，CD=2，，∴CO⊥BD，C1O⊥BD，∴∠COC1是二面角C1-BD-C的平面角，∵C1B=C1D==，∴C1O==，CO==，∴二面角C1-BD-C的平面角的余弦值为：cos∠C1OC==．故选：D．取BD中点O，连结CO，C1O，推导出CO⊥BD，C1O⊥BD，∠COC1是二面角C1-BD-C 的平面角，求出C1B=C1D=，从而C1O=，CO=，由此利用余弦定理能求出二面角C1-BD-C的平面角的余弦值．本题考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．10.【答案】D【解析】【分析】本题考查向量知识的运用，考查平面向量基本定理，考查学生的计算能力，属于中档题．用，作为基底分别表示，根据平面向量基本定理，求出λ，μ，即可得到结论.【解答】解：由题意，===.=+=+=根据平面向量基本定理，可得，∴，∴=6.故选D.11.【答案】2【解析】【分析】本题考查了向量的数量积的运算和向量模的计算，属于基础题．向量的数量积的运算和向量模即可求出答案．【解答】解：∵，，，∴|+|2=||2+||2+2•=5，∴2•=5-4-1=0，即•=0，∴|2-|2=4||2+||2-4•=4+4=8，∴|2-|=2，故答案为：.12.【答案】【解析】解：过A 作AD ∥BC ，过B 作BD ∥AC ，则四边形ACBD 为矩形，即AC ∥BD ，故直线PB 和直线AC 所成的角为∠PBD ，不妨设BC =1，则PA =AC =2，由于PA ⊥平面ABC ，故PA ⊥AC ，PA ⊥AD ，PA ⊥AB ，所以．由于 BD ⊥AD ，BD ⊥PA ，所以BD ⊥平面PAD ，所以BD ⊥PD ．在直角三角形PBD 中，故答案为：．先将三棱锥补成四棱锥，再由异面直线所成角的作法可得：直线PB 和直线AC 所成的角为∠PBD ，再在直角三角形PBD 中求解即可．本题考查了异面直线所成角的求法，属中档题．13.【答案】【解析】解：在直棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB =AC =AA 1=2，以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，A 1（0，0，2），B （2，0，0），C （0，2，0），C 1（0，2，2），=（-2，0，2），=（-2，2，2），=（-2，2，0），设平面A 1BC 1的法向量=（x ，y ，z ），则，取x =1，得=（1，0，1），设平面BCC 1的法向量=（a ，b ，c ），则，取a=1，得=（1，1，0），cos＜＞===，∴二面角A1-BC1-C的平面角的正弦值为：=．故答案为：．以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A1-BC1-C的平面角的正弦值．本题考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．14.【答案】60°【解析】解：因为2b（2b-c）cos A=a2+b2-c2，由余弦定理可得：2b（2b-c）cos A=2ab cos C，整理可得：（2b-c）cos A=a cos C，由正弦定理可得2sin B cos A-sin C cos A=sin A cos C，即2sin B cos A=sin C cos A+cos C sin A=sin B，B∈（0，π），所以sin B≠0，所以cos A=，A∈（0，π），所以A=60°，故答案为：60°．由余弦定理可得a2+b2-c2=2ab cos C，再由正弦定理可得cos A=，再由A的取值范围可得A的值．本题考查正弦定理及余弦定理的应用，属于中档题．15.【答案】【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，B1（1，1，1），A（1，0，0），D（0，0，0），E（1，1，），=（1，1，1），=（1，0，0），=（1，1，），设平面ADE的法向量=（x，y，z），则，取y =1，得=（0，1，-2），∴点B 1到平面ADE 的距离为：d ===．∴点B 1到平面ADE 的距离为．故答案为：．以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点B 1到平面ADE 的距离．本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】【解析】解：由图可知：=+=+（1-λ），==，又，所以[+（1-λ）]•（）=-2，所以2+λ（1-λ）=-2，又=2，=||2=3，可得：3λ2-5λ+2=0，又0＜λ＜1，所以，故答案为：．由平面向量的线性运算得：=+=+（1-λ），==，由平面向量数量积的性质及其运算得：[+（1-λ）]•（）=-2，所以2+λ（1-λ）=-2，又=2，=||2=3，可得：3λ2-5λ+2=0，又0＜λ＜1，所以，得解．本题考查了平面向量的线性运算、平面向量数量积的性质及其运算及向量投影的定义，属中档题．17.【答案】（1）∵=（），=（2sin ，cos -1），由f（α）=，=-1，得，∴，即，∴；（2）由题意，得f（A）==，在△ABC中，由a cos B+b cos A+2c•cos C=0及正弦定理知，sin A cos B+sin B cos A+2sin C cosC=0，∴sin（A+B）+2sin（A+B）•cos C=0，又∵sin（A+B）≠0，∴cos C=-，∵C∈（0，π），∴C=，∴0＜A＜，0＜＜，＜＜，∴sin（）∈（）．∴函数f（A）=sin（）-∈（0，）．即函数f（A）的取值范围是（0，）．【解析】（1）由数量积的坐标运算写出f（α），结合f（α）=-1，利用三角恒等变换求解cos的值；（2）由（1）得到f（A），再由已知等式结合正弦定理求解C，进一步求得函数f（A）的取值范围．本题考查平面向量的数量积运算，考查y=A sin（ωx+φ）型函数的图象与性质，是中档题．18.【答案】证明：（1）连接BN，如图，使得BN∩CM=H，则H是BN中点，∵E为AB中点，∴EH∥AN，∵AN⊄平面MEC，EH平面MEC，∴AN∥平面MEC．（2）∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，平面ADNM⊥平面ABCD，平面ADNM∩平面ABCD=AD，ADNM是矩形，ND⊥AD，ND⊂平面ADNM，∴ND⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥ND，BD∩ND=D，BD，ND⊂平面NDB，∴AC⊥平面NDB，又BN⊂平面NDB，【解析】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．（1）连接BN，使得BN∩CM=H，推导出EH∥AN，由此能证明AN∥平面MEC．（2）推导出ND⊥AD，从而ND⊥平面ABCD，进而AC⊥平面NDB，由此能证明AC⊥BN ．19.【答案】证明：（1）取F为BC的中点，连OF、FH，∵O、F分别为AE、BC的中点，∴OF∥EC，∵OF⊄面DEC，EC⊂面DEC，∴OF∥面DEC，同理可证，HF∥面DEC，OF∩HF=F，∴面HOF∥面DEC，又OH⊂面HOF，∴OH∥平面DEC；（2）∵AD=DE=2，且点O是AE的中点，∴DO⊥AE，DO=，∵M为AB的中点，∴OM=，且AE⊥OM，又∵DM=2，∴DO2+OM2=DM2，∴DO⊥OM，∵DO⊥AE，AE∩OM=O，∴DO⊥平面ABCE，∵DO⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面ABCE；解：（3）由（2）知，DO⊥平面ABCE，∴点H到平面OMB的距离是DO=，则V H-OMB==．【解析】（1）根据条件取F为BC的中点，连OF、FH，由中位线性质和线面平行的判定证明面HOF∥面DEC，再证明OH∥平面DEC；（2）由E和O分别是中点得，DO⊥AE，再由长度和勾股定理证明DO⊥AE，根据线面垂直的判定证明DO⊥平面ABCE，再由面面垂直的判定得结论；（3）由DO⊥平面ABCE和H是中点，求出三棱锥的高，代入体积公式求值．本题考查了三棱锥的体积，线面平行的判定，线面垂直和面面垂直的性质、判定，熟练掌握空间直线与平面位置关系的定义、判定定理、性质定理是解答本题的关键，考查了空间想象能力、推理论证的能力．20.【答案】（1）证明：∵四棱锥P-ABCD的底面是菱形，∴AC⊥BD，又∵O，E分别是AD、AB的中点，∴OE∥BD，∴OE⊥AC，∵PO⊥底面ABCD，AC⊂面ABCD，又∵OE∩OP=O，∴AC⊥平面POE，又∵AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面POE．（2）解：过点B作BM⊥OE于M，易证PO⊥BM，OE，OE∩OP=O，∴BM⊥平面POE，∴PM是PB在平面POE上的射影，∠BPM即为所求．∵四边形ABCD是菱形，∵E是AB中点，∴BE=AE=，又∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△AOE是等边三角形，∴∠AEO=∠BEM=60°，∴BM=，又∵AP=5，OA=3，∴在直角三角形POA中得OP==4，∵在直角三角形POB中，OB=，OP=4，∴PB==，∴在Rt△PMB中，，，所以；（3）解：取PB的中点T，AB的中点H，连BF，DH，TH．易证DH∥BF，TH∥PA∴∠DHT即为异面直线BF与PA所成角或其补角，在三角形PDB中，PD=5，DB=6，PB=，，在三角形PDT中，，所以，在△DHT中，，，，，．【解析】（1）根据菱形的对角线互相垂直及线面垂直的性质得OE⊥AC，PO⊥AC，由面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面POE．（2）根据线面所成角的定义找到直线PB与平面POE所成角的，∠BPM即为所求再计算正弦值．（3）根据中位线得DH∥BF，TH∥PA，∠DHT即为异面直线BF与PA所成角或其补角，结合余弦定理去计算DT，和计算角∠DHT的余弦值．本题考查了空间中的垂直性质定理和判定定理，也考查了直线与平面所成的角，异面直线所成角，是中档题．。
天津高一高中数学期中考试带答案解析
天津高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.对于任意实数，下列结论中正确的是（）①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．A．①B．②C．③D．④2.已知等比数列的前项和为，若，则公比为（）A．B．C．D．3.在中，若，则角为（）A．B．C．或D．或4.在中，若，则最大角的余弦是（）A．B．C．D．5.若，两个等差数列与的公差分别为，则等于（）A．B．C．D．6.在中，若，则的形状是（）A．直角三角形B．等腰或直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形7.在数列中，，，则（）A．B．C．D．8.等差数列中，，则使前项和成立的最大自然数为（）A．B．C．D．9.给出集合序列设为第个集合中元素之和，则（）A．B．C．D．10.已知数列为等差数列，且，设，当数列的前项和最小时，则的值为（）A．B．C．或D．或二、填空题1.已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式为______.2.关于的一元二次不等式的解集是，则______.3.在中，角所对的边分别为，若，且，则角的大小为_______.4.不等式的解集为______.5.在锐角中，角所对的边分别为，若，则的值是_______.6.数列满足，记，若对任意恒成立，则正整数的最小值为_______.三、解答题1.在中，内角所对的边分别为，已知.（1）求的值；（2）若，，求的面积.2.已知是正项数列的前项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.3.已知数列的前项和为，若，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为.①求；②对于任意的及，不等式恒成立，求实数的取值范围.天津高一高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.对于任意实数，下列结论中正确的是（）①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．A．①B．②C．③D．④【答案】C【解析】结论①中，当时，错误；结论②中，当时，错误；结论③正确；结论④中，当时，错误.故正确答案选C.【考点】不等式性质的应用.2.已知等比数列的前项和为，若，则公比为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由等比数列的前和公式，得，两式相比得，解得.故正确答案为A.【考点】等比数列前和公式、公比.3.在中，若，则角为（）A．B．C．或D．或【答案】D【解析】由正弦定理，且，得，又，则或.故正确答案为D.【考点】正弦定理的应用.4.在中，若，则最大角的余弦是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由余弦定理及题意得，解得，可知角最大，则.故正确答案选C.【考点】余弦定理的应用.5.若，两个等差数列与的公差分别为，则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由等差数列通项公式及题意，得，则.故正确答案选C.【考点】等差数列通项公式的应用.6.在中，若，则的形状是（）A．直角三角形B．等腰或直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形【答案】B【解析】试题分析:由正弦定理得,整理得,又,则有或.故正确答案为B.【考点】1、正弦定理；2、倍角公式；3、三角形形状的判定.7.在数列中，，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，得，即（常数），则可知数列是各项均为常数列，所以，即.故正确答案为A.【考点】数列通项公式.8.等差数列中，，则使前项和成立的最大自然数为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可知，所以，而，则有，而.故正确答案为B.【考点】等差数列通项性质、前项和公式.9.给出集合序列设为第个集合中元素之和，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设第个集合的第个数字为，则由题意知，，则有，将各式两边相加得，则，又因为各集合中的元素是以公差为的等差数列，所以.故正确答案为B.【考点】等差数列通项公式、前项和公式的应用.【思路点晴】此题考查等差数列通项公式及前项和公式的应用，属于中高档题，通过观察题目给出的集合序列的第个数字：、、、、……，可以发现，由迭加法可得，且每个集合的元素是以公差为的等差数列，项数与第个数字相等，再由等差数列前项和公式即求得.10.已知数列为等差数列，且，设，当数列的前项和最小时，则的值为（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】由等差数列通项公式性质知，又，所以，则数列为递增数列，同理有，又，而，所以当的的前项和取最小值时，的值为或.故正确答案为C.【考点】等差数列通项、前项和的性质.【思路点睛】此题主要考查等差数列的通项公式、前项和公式的性质在解决问题中的应用，属于中高档题.根据题目所给的条件且，由等差通项公式的性质可以发现，，从而可知，同理有，，所以，，（这个结论是本题的关键环节），从而问题可得解.二、填空题1.已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式为______.【答案】【解析】由已知得，当时，有，当时，有，不满足，故数列的通项公式为.【考点】数列通项公式及前项和公式的关系.2.关于的一元二次不等式的解集是，则______.【答案】【解析】由题意知，且关于方程的两个根分别为，则根与系数关系得，解得，所以.【考点】二次不等式的解.3.在中，角所对的边分别为，若，且，则角的大小为_______.【答案】【解析】由正弦定理且，得，由，得，由余弦定理得，又,所以角的大小为.【考点】正弦定理、余弦定理的应用.4.不等式的解集为______.【答案】【解析】不等式或，即或，所以原不等式的解集为.【考点】二次不等式、分式的解.5.在锐角中，角所对的边分别为，若，则的值是_______.【答案】【解析】由余弦定理且，得，即，由正弦定理得，，所以.【考点】正弦定理、余弦定理的应用.【易错点晴】此题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，以及三角函数中切化弦的转化应用，属于中档题.通过审题首先利用余弦定理的推论将条件，转化为，接着将问题中所需求值的式子中的正切转化为含正弦、余弦的式子，再结合正弦定理和余弦定理转化成相对应边的关系式再进行求解，在计算过程中注意将正弦定理和余弦定理进行有效变形，为我所用，从而更好地为求值计算服务.6.数列满足，记，若对任意恒成立，则正整数的最小值为_______.【答案】【解析】由，得，可知数列是以首项为，公差为的等差数列，所以，则，，考查，又，即，则可知数列是一个递减数列，所以数列的最大项为，又对任意恒成立，所以，即，所以的最小值是.【考点】1、数列的通项公式、前项和公式；2、数列与不等式恒成立问题.【思路点睛】此题考查数列的通项公式、前前项和公式及数列与不等式恒成立问题的求解，属于中高档题.根据所给条件先构造新数列、，并求出数列的通项公式，接着对数列的单调性进行判断，利用函数单调性求出数列的最大项，再根据不等式恒成立问题，从而求得的最小值.三、解答题1.在中，内角所对的边分别为，已知.（1）求的值；（2）若，，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知，根据正弦定理将等式中的边相应地替换为对应角的正弦，再由两角和的正弦公式及诱导公式进行整理，即可求出的值；（2）由（1）的结果可知，又，且，可根据余弦定理可求得，，再由公式即可求出三角形的面积.试题解析：（1）由正弦定理得，所以，即有，即有，即，所以.（2）由（1）知：，即，又因为，由余弦定理得：，即，解得，所以，又因为，所以，故的面积为.【考点】1、正弦、余弦定理；2、三角形面积公式.【思路点睛】此题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及倍角公式的应用，属于中档题.在定理的应用中，通过认真审题，可以根据题目所给条件和问题的需要，可以考虑将条件中所给式子的两边中的边（或角）根据正弦定理（，为的外接圆半径），同时（齐次）换成相对应的角（或边），再进行运算整理，当然还需要注意倍角公式、两角各和差等恒等变换公式的应用.2.已知是正项数列的前项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据数列通项公式与前项和公式的关系，并进行化简整理即可，注意对首项的值进行验证，是否满足的表达式，若不满足则分段表达（如上式）；（2）根据数列的特点（各项由等差数列与等比数列的乘积组成），可利用错位相减法求数列的前项和.试题解析：（1）令得又，所以，①，②，由①②得，∴，∵，∴，∴是等差数列，且.（2），设的前项和为，则①，②，由①-②得，，∴，即.【考点】1、等差数列通项公式；2、数列前项和（错位相减法）.【方法点晴】此题主要考查等差数列的通项公式和前项和公式在解决问题中的应用，属于中档题.注意事项，利用前项和求通项公式时，要对首项的值进行验证，是否满足的表达式，若不满足则采用分段表示，错位相减法是求数列前项和公式的常用方法，当该数列各项是由等差数列与等比数列的乘积组成时，此法适用.3.已知数列的前项和为，若，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为.①求；②对于任意的及，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）①；②.【解析】（1）根据数列通项公式与前项和公式关系进行求解，由整理后，根据式子的特点，采用累积法进行求解（累积法也是求数列通项中常用的方法）；（2）①由（1）可求得数列的解析式，根据的特点可采用裂项求和法进行求解；②由“恒成立”等价“恒成立”，可对的单调性进行判断，并求出其最小值为，再由二次不等式恒成立求出实数的范围.试题解析：（1）在中，令，得，∵，∴当时，，两式相减，得，∴，即.∴，故.（2）①，，所以.②∵，单调递增，故，∵，∴对于任意的恒成立，∴对于任意的恒成立，∴，又也成立，∴实数的取值范围是.【考点】1、数列通项公式（累积法）；2、数列前和（裂项求和法）；3、数列与不等式恒成立问题.【方法点晴】此题主要考查数列的通项公式和前项和公式的求解、以及数列与不等式恒成立问题，注意累积法（累积法：根据所给数列的递推公式将式子整理为比式，然后将式子两边相乘消去中间，从而求得数列的通项公式.）、裂项求和法（可将数列通项公式分裂成两项之差，然后将式子两边相加，消去中间项，从而求出数列前和.）的应用，属于中高档题，在数列与不等式恒成立问题中，常会利用到数列的单调性求出其最值，再根据不等式的性质及恒成立问题进行求解或证明.。
天津高一下学期期中数学试题(解析版)
一、单选题1．若复数z 满足其中i 为虚数单位，则z= 232,z z i +=-A ．1+2i B ．12iC ．D ．-12i -+12i --【答案】B【详解】试题分析：设，则，故，则，选B.i z b a =+23i 32i z z a b +=+=-12i z =-【解析】注意共轭复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一.2．在平行四边形中，（ ）ABCD DA DC CB +-=A ．B ．C ．D ．DBBC CD DC【答案】D【分析】由平行四边形的性质可得，从而可求得答案 DA CB =【详解】解：因为四边形为平行四边形，ABCD 所以,DA CB = 所以， DA DC CB DC +-= 故选：D3．下列说法中，正确的是（ ）． A ．三点确定一个平面 B ．过一条直线的平面有无数多个 C ．两条直线确定一个平面 D ．三条两两相交的直线确定三个平面【答案】B【分析】A 选项，若三点共线，则此三点不能确定一个平面；B 选项，过一条直线的平面有无数多个；C 选项，两条直线若异面，则两条直线无法确定一个平面；D 选项，三条两两相交的直线若过同一个点，则三条两两相交的直线确定三个平面或一个平面. 【详解】若三点共线，则此三点不能确定一个平面，A 错误； 过一条直线的平面有无数多个，B 正确；两条直线若异面，则两条直线无法确定一个平面，C 错误；三条两两相交的直线若过同一个点，则三条两两相交的直线确定三个平面或一个平面，D 错误. 故选：B4．已知点，，则与同方向的单位向量为（ ） ()1,3A ()4,1B -ABA ．B ．C ．D ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭()3,4-34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭()3,4-【答案】A【分析】列方程即可求得与同方向的单位向量. AB【详解】，设与同方向的单位向量为(3,4)AB =- AB(,)x y 则，解之得或 2213(4)0x y y x ⎧+=⎨--=⎩3545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩3545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩当时，所求向量为，向量，符合题意； 3545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭(3,4)AB =- 345,55⎛⎫=- ⎪⎝⎭当时，所求向量为，向量，不符合题意，舍去.3545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭(3,4)AB =- 345,55⎛⎫=-- ⎪⎝⎭故选：A5．在中，已知，，则（ ） ABC A 2a =b =6A π=B =A ．B ．C ．或D ．或6π3π6π56π3π23π【答案】D【分析】直接利用正弦定理求解即可. 【详解】在中，由正弦定理，得，ABC A sin sina bA B=所以，所以或. sin sin b AB a===(0,)B π∈3B π=23B π=故选：D6．已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且ABC A A B C a b c ()()3a b c b c a bc +++-=，那么是（ ） sin 2sin cos A B C =ABC A A ．直角三角形 B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形【答案】B【分析】将化简并结合余弦定理可得的值，再对结合()()3a b c b c a bc +++-=A sin 2sin cos A B C =正、余弦定理化简可得边长关系，进行判定三角形形状. 【详解】由，得， ()()3a b c b c a bc +++-=22()3b c a bc +-=整理得，则， 222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-==因为，所以，()0,πA ∈π3A =又由及正弦定理，得，化简得，sin 2sin cos A B C =22222a b c a b ab +-=⋅b c =所以为等边三角形， ABC A 故选：B7．设向量，且，则（ ）,x y R ∈(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-,//a c b c ⊥ x y +=A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】A【分析】根据的垂直关系，可求出 ；根据的平行关系，可求出 ，进而求出a c ⊥2x =//b c =2y -的值．x y +【详解】因为，所以a c ⊥240x -=因为，所以 //b c420y --=所以 ，所以 22x y =⎧⎨=-⎩0x y +=故选：A ．8．若一个圆锥的高和底面直径相等，且它的体积为，则此圆锥的侧面积为（ ） 23πA B C D ．【答案】A【分析】由已知求得圆锥的高和底面直径，再求得母线长可得侧面积．【详解】设底面半径为，由高为，所以，，，r 2h r =221122333V r h r r πππ==⨯=1r =2h =所以母线长为 l =所以侧面积为． 1S rl ππ==⨯=故选：A ．9．已知m ，n 表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是 αA ．若则B ．若，，则//,//,m n αα//m n m α⊥n α⊂m n ⊥C ．若，，则D ．若，，则m α⊥m n ⊥//n α//m αm n ⊥n α⊥【答案】B【详解】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确. 【解析】空间点线面位置关系．10．如图，正方体的棱长为2，E 是棱的中点，则点到平面EBD 的距离为1111ABCD A B C D -1CC 1C （ ）A B C D 【答案】D【分析】注意到，利用等体积法可得答案. 11D C BE C BDE V V --=【详解】，1113D C BE C BE V S DC -=⋅⋅A ，，则.111112122C BE S C E BC =⋅⋅=⨯⨯=A 2DC =123D C BE V -=在中，由题意及图形结合勾股定理可得BED A BE DE ==BD =则由余弦定理可得，222125cos BE DE BD BED BE DE +-∠==⋅则.则si n BED ∠==12si n BDE S BE DE BED =⋅⋅∠=A 设到平面EBD 的距离为，则. 1C d 113C BDE BDEV S d -=⋅A又，则11D C BE C BDE V V --=112233C BDE BDE BDE V S d d S -=⋅=⇒==A A 故选：D二、填空题11．是虚数单位，则___________. i 341ii-=+【答案】1722i --【分析】直接对复数化简即可【详解】解：， 2234(34)(1)334417171(1)(1)1222i i i i i i i i i i i i -----+--====--++--故答案为：1722i --12．已知向量的夹角为，，则_______.,a b 6π|||1a b == |3|a b +=【分析】根据计算可得结果.|3|a b +==【详解】 |3|a b +===.=13．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为, 则正方体的棱长为 . 92π【分析】根据正方体的性质，结合球的体积公式进行求解即可.【详解】因为正方体体的对角线就是正方体的外接球的直径，所以由外接球的体积公式得：，即， 3493322R R ππ=⇒=23R =3a =⇒=【点睛】本题考查了正方体外接球的性质，考查了球的体积公式的应用，考查了空间想象能力和数学运算能力.14．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若，则_____ 430OA OB OC -+=AB CA= 【答案】/ 340.75【分析】由可得，即可得答案.430OA OB OC -+=33OA OB OB OC -=- 【详解】.430OA OB OC -+=⇒333OA OB OB OC BA CB -=-⇒=则三点共线，且在BA 的反向延长线上，如下图所示，则. ,,A B C C 34AB CA = 故答案为：3415．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，，则222a b c bc =+-2a =ABC A 的周长的最大值为_________. 【答案】6【分析】根据，利用余弦定理求得角A ，进而得到外接圆半径，再由的周长222a b c bc =+-ABC A 为求解.()22si n si n l a b c R B C =++=++24sin 6B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭【详解】解：因为，222a b c bc =+-所以， 2221cos 22b c a A bc +-==因为， ()0,A π∈所以，则 3A π=2sin a R A =所以的周长为，ABC A ()22si n si n l a b c R B C =++=++，222si n si n 3R B B π⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，322si n cos 2R B B ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭，24sin 6B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭当，即时， 的周长取得最大值为6，62B ππ+=3B π=ABC A 故答案为：6三、双空题16．在梯形中，，且，，分别为线段和的中点，若，ABCD //AB CD 2AB CD =M N DC AB AB a =，用，表示__________．若，则余弦值的最小值为AD b =a bMN =MN BC ⊥ DAB ∠__________．【答案】14a b -【分析】空（1）使用向量线性运算求解即可；空（2）以与为基底，用数量积的形式表示出，再由基本不等式求解即可.a bMN BC ⊥ 【详解】如图，由已知，MN AN AM =- ()12AB AD DM =-+ 1122AB AD DC =--.111222AB AD AB =--⨯14AB AD =- 14a b =- ∴.MN 14a b =- 设，即与的夹角为，DAB θ∠=a bθ，BC BA AD DC =++ 12AB AD AB =-++ 12AB AD =-+ 12a b =-+若，则，MN BC ⊥0MN BC ⋅= ∴，1142a b a b ⎛⎫⎛⎫-⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221384a a b b =-+⋅- 2213cos 84a a b b θ=-+- 0=又∵，，∴由基本不等式，0a >0b >∴. 228cos 6a b a bθ+= 866b a a b =+ ≥当且仅当，即.866b a a b = a =故答案为：. 14a b - 【点睛】关键点睛：解决本题第2空的关键，是用以为夹角的两个向量作为基底，将垂直DAB ∠关系转化为数量积的形式，再借助基本不等式求解.四、解答题17．已知的内角、、的对边分别为、、，且.ABC A A B C a b c sin sin sin A C Bc b c a+=--(1)求角的大小；A(2)若，且的周长. a =ABC S =A ABC A 【答案】(1)3A π=(2)6+【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的cos A A A 值；（2）利用三角形的面积公式可求得的值，利用余弦定理可求得的值，进而可求得的bc b c +ABC A 周长.【详解】（1）解：由，sin sin sin A C Bc b c a+=--利用正弦定理可得，化为，()()()a c c a b c b +-=-222c b a bc +-=所以，，，.2221cos 22c b a A bc +-==()0,A π∈ 3A π∴=（2）解：，a = 1sin 23ABC bc S π==A 8bc =由余弦定理可得，()222222122cos33a b c bc b c bc b c bc π==+-=+-=+-所以，，解得， ()2312381236b c bc +=+=⨯+=6b c +=因此，周长为.ABC A 6a b c ++=+18．如图，在正方体中，点为棱的中点.1111ABCD A B C D -E 1DD（1）求证：平面；1//BD ACE （2）求异面直线与所成角的余弦值. AE 1BD【答案】（1）证明见解析；（2【分析】（1）连接BD 与AC 交于点O ，根据O ，E 为为中点，易得,再利用线面平行的1//OE BD 判定定理证明；（2）根据（1），由得到异面直线与所成的角，然后证得 ，得1//OE BD AEO ∠AE 1BD AC OE ⊥到是直角三角形求解.AOE △【详解】（1）如图所示：，连接BD 与AC 交于点O ， 因为O ，E 为为中点，所以,又平面，平面， 1//OE BD OE ⊂ACE 1BD ⊄ACE 所以平面；1//BD ACE （2）由（1）知，则异面直线与所成的角， 1//OE BD AEO ∠AE 1BD 在正方体中，1111ABCD A B C D -因为，且， 1,AC BD AC DD ⊥⊥1BD DD D = 所以平面，又因为平面， AC ⊥11B BDD OE ⊂11B BDD 所以 ，AC OE ⊥所以是直角三角形， AOE △设正方体的棱长为a ,则 ， ，AOOE =所以AE =所以，cos OE AEOAE ∠===【点睛】方法点睛：求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．19．如图，已知平面ABC ，，，1AA ⊥11//BB AA 3AB AC ==BC =1AA =1BB =点和分别为和的中点.E F BC 1AC(1)求证：平面；⊥AE 1BCB (2)求直线与平面所成角的大小. 11A B 1BCB 【答案】(1)证明见解析 (2) π6【分析】（1）根据平面，得到平面，即可得到平面平面，根1AA ⊥ABC 1BB ⊥ABC 1BCB ⊥ABC 据等腰三角形三线合一的性质得到，然后利用面面垂直的性质定理即可得到平面AE BC ⊥⊥AE ；1BCB （2）根据，点为中点得到，即可将直线与平面所成角转化为直11//AA BB M 1BB 11//AM A B 11A B 1BCB 线与平面所成角，由（1）的结论可得为直线与平面所成角，然后利用AM 1BCB AME ∠AM 1BCB 勾股定理得到，的长度，即可求直线与平面所成角. EM AE 11A B 1BCB 【详解】（1）∵平面，， 1AA ⊥ABC 11//BB AA ∴平面， 1BB ⊥ABC ∵平面， 1BB ⊂1BCB ∴平面平面， 1BCB ⊥ABC ∵，点为中点， AB AC =E BC ∴，AE BC ⊥∵平面平面，平面， 1BCB ABC BC =AE ⊂ABC ∴平面.⊥AE 1BCB（2）取中点，连接，，1BB M AM EM∵，为中点，11//AA BB 1AA =1BB =M 1BB ∴四边为平行四边形，∴，11AMB A 11//AM A B ∴直线与平面所成角和直线与平面所成角相等，11A B 1BCB AM 1BCB ∵平面，⊥AE 1BCB ∴为直线与平面所成角，AME ∠AM 1BCB∵点为中点，，E BC BC =∴，， BE =2AE ==EM ==∴，所以， tan AME ∠==π0,2AME ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭π6AME ∠=所以直线与平面所成角为. 11A B 1BCB π620．如图，已知正方形的边长为2，点为正方形内一点.ABCD P（1）如图1（i ）求的值；AP BC PC BC ⋅+⋅ （ii ）求的值；AP AB BP BC CP CD DP DA ⋅+⋅+⋅+⋅ （2）如图2，若点满足.点是线段的中点，点是平面上动点，,M N 2,2DM MA BN NC == P MN Q且满足，其中，求的最小值.()21PQ PA PB λλ=+- R λ∈QM QN ⋅ 【答案】(1) （i ） 4 （ii ） 8 （2） 3136-【分析】(1) （i ）由向量的数量积的运算性质和向量的加法法则可得，结合数量积的定义可得答案. ()AP BC PC BC AP PC BC AC BC =⋅+⋅=⋅⋅+ （ii ）利用向量数量积的运算性质结合图形将原式化为，利用向量()()AP PC AB BP PD BC ⋅+++⋅ 的加法法则即化为，结合数量积的定义可得答案.AC AB BD BC ⋅+⋅ （2）以 为原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系，得出相应点的坐标，根据条A AB x AD y 件得出点的坐标，再由向量数量积的坐标公式可得答案.Q 【详解】（1）（i ）正方形的边长为2，则,. ABCD 45CAB CAD DBC ∠=∠=∠=︒AC BD = ()2cos 454AP BC PC BC AP PC BC AC BC AC AD ⋅+⋅+⋅=⋅===⨯︒=⋅ （ii ）AP AB BP BC CP CD DP DA ⋅+⋅+⋅+⋅ ()()AP AB CP CD BP BC DP DA =+⋅+⋅⋅+⋅ ()()AP AB PC AB BP BC PD BC =+⋅+⋅⋅+⋅ ()()AP PC AB BP PD BC =⋅+++⋅2cos 452cos 458AC AB BD BC =⋅+=⨯︒+⨯⋅︒= （2）以 为原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系.A AB x AD y 由，则 2,2DM MA BN NC == 12,33AM AD BN BC == 所以, ()()()()0,02,0,2,2,0,2A B C D ，240,,2,,33M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭点是线段的中点，则P MN ()1,1P 设，，， (),Q x y ()1,1PQ x y =-- ()11PA =-- ，()11PB =- ，由，即 ()21PQ PA PB λλ=+- ()()()()22,22,1,112,1x y λλλλλ--=--+--=--所以 ，解得，即 2212221x y λ-=-⎧⎨-=-⎩3212x y λ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩31,22Q λ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 31,26QM λ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 15,26QN λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 3115315,,26262236QM QN λλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=-⨯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222213136236λλλ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭当时，的最小值为 12λ=QM QN ⋅ 3136-【点睛】关键点睛：本题考查向量的加法法则和数量积的运算，建立坐标系利用坐标法求解向量的数量积的最值，解答本题的关键是建立坐标系，根据条件得出点坐标，从而得出Q ，属于中档题. 222213136236QM QN λλλ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭⋅。
天津市红桥区2019-2020学年中考一诊数学试题含解析
天津市红桥区2019-2020学年中考一诊数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列说法不正确的是（）A．选举中，人们通常最关心的数据是众数B．从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得奇数的可能性比较大C．甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩相同，方差分别为S甲2=0.4，S乙2=0.6，则甲的射击成绩较稳定D．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是42．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（）A．12B．1 C．3D．33．如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（）A．B．C．D．4．实数a，b，c在数轴上对应点的位置大致如图所示，O为原点，则下列关系式正确的是()A．a﹣c＜b﹣c B．|a﹣b|＝a﹣b C．ac＞bc D．﹣b＜﹣c5．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S9的值为（）A．（12）6B．（12）7C．（22）6D．（22）76．左下图是一些完全相同的小正方体搭成的几何体的三视图．这个几何体只能是（）A ．B ．C ．D ．7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将绕点A 逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，点B 经过的路径为弧BD ，则图中阴影部分的面积是( )A ．6πB ．3π C ．2π-12D ．128．有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A ．a+b ＞0B ．ab ＞0C ．a ﹣b ＜oD ．a÷b ＞09．如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，…，按照此规律继续下去，则S 2018的值为（ ）A ．20151()2B ．20162()2C ．20152()2D ．20161()210．如图，已知△ABC ，△DCE ，△FEG ，△HGI 是4个全等的等腰三角形，底边BC ，CE ，EG ，GI 在同一直线上，且AB=2，BC=1．连接AI ，交FG 于点Q ，则QI=（ ）A ．1B ．61 C ．66 D ．4311．关于x 的方程=无解，则k 的值为（ ）A ．0或B ．﹣1C ．﹣2D ．﹣312．苹果的单价为a 元/千克，香蕉的单价为b 元/千克，买2千克苹果和3千克香蕉共需（ ） A ．（a+b ）元B ．（3a+2b ）元C ．（2a+3b ）元D ．5（a+b ）元二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．对于任意不相等的两个实数,a b ，定义运算※如下：a ※b ＝a b a b +-，如3※2＝3232+-＝5.那么8※4＝ ．14．在一个不透明的袋子里装有一个黑球和两个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球，两次都摸到黑球的概率是__________. 15．已知x=2是一元二次方程x 2﹣2mx+4=0的一个解， 则m 的值为 ．16．如图，在5×5的正方形（每个小正方形的边长为1）网格中，格点上有A 、B 、C 、D 、E 五个点，如果要求连接两个点之后线段的长度大于3且小于4，则可以连接_____. （写出一个答案即可）17．如图是由几个相同的小正方体搭建而成的几何体的主视图和俯视图，则搭建这个几何体所需要的小正方体至少为____个.18．分解因式：ab 2﹣9a=_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（6分）计算：01113(π3)3tan30()2---+-o．20．（6分）如图在由边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12网格中，已知点A ，B ，C ，D 均为网格线的交点在网格中将△ABC 绕点D 顺时针旋转90°画出旋转后的图形△A 1B 1C 1；在网格中将△ABC 放大2倍得到△DEF ，使A 与D 为对应点．21．（6分）对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和直线m ，给出如下定义：若存在一点P ，使得点P 到直线m 的距离等于1，则称P 为直线m 的平行点． （1）当直线m 的表达式为y ＝x 时，①在点()11,1P ，()20,2P ，322,P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭中，直线m 的平行点是______； ②⊙O 的半径为10，点Q 在⊙O 上，若点Q 为直线m 的平行点，求点Q 的坐标．（2）点A 的坐标为（n ，0），⊙A 半径等于1，若⊙A 上存在直线3y x =的平行点，直接写出n 的取值范围．22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x-a ）（x-3）（0<a<3）的图象与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点D ，过其顶点C 作直线CP ⊥x 轴，垂足为点P ，连接AD 、BC ．（1）求点A 、B 、D 的坐标；（2）若△AOD 与△BPC 相似，求a 的值；（3）点D 、O 、C 、B 能否在同一个圆上，若能，求出a 的值，若不能，请说明理由.23．（8分）如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点D 在»BC 上，点E 在弦AB 上（E 不与A 重合），且四边形BDCE 为菱形． （1）求证：AC=CE ；（2）求证：BC 2﹣AC 2=AB•AC ； （1）已知⊙O 的半径为1． ①若AB AC =53，求BC 的长；②当ABAC为何值时，AB•AC的值最大？24．（10分）如图，在△ABC中，D是AB边上任意一点，E是BC边中点，过点C作AB的平行线，交DE的延长线于点F，连接BF，CD．（1）求证：四边形CDBF是平行四边形；（2）若∠FDB=30°，∠ABC=45°，BC=42，求DF的长．25．（10分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠CAB=30°，DE⊥AC于E，且AE=CE，若DE=5，EB=12，求四边形ABCD的周长．26．（12分）在传箴言活动中，某班团支部对该班全体团员在一个月内所发箴言条数的情况进行统计，并绘制成了如图所示的两幅统计图（1）将条形统计图补充完整；（2）该班团员在这一个月内所发箴言的平均条数是________；（3）如果发了3条箴言的同学中有两位男同学，发了4条箴言的同学中有三位女同学，现要从发了3条箴言和4条箴言的同学中分别选出一位参加总结会，请你用列表或树状图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．27．（12分）P是⊙O内一点，过点P作⊙O的任意一条弦AB，我们把PA•PB的值称为点P关于⊙O的“幂值”（1）⊙O的半径为6，OP=1．①如图1，若点P恰为弦AB的中点，则点P关于⊙O的“幂值”为_____；②判断当弦AB的位置改变时，点P关于⊙O的“幂值”是否为定值，若是定值，证明你的结论；若不是定值，求点P关于⊙0的“幂值”的取值范围；（2）若⊙O的半径为r，OP=d，请参考（1）的思路，用含r、d的式子表示点P关于⊙O的“幂值”或“幂值”的取值范围_____；（3）在平面直角坐标系xOy中，C（1，0），⊙C的半径为3，若在直线y=3x+b上存在点P，使得点P 关于⊙C的“幂值”为6，请直接写出b的取值范围_____．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．D【解析】试题分析：A、选举中，人们通常最关心的数据为出现次数最多的数，所以A选项的说法正确；B、从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，由于奇数由3个，而偶数有2个，则取得奇数的可能性比较大，所以B选项的说法正确；C、甲、乙两人在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩相同，方差分别为S甲2=0.4，S乙2=0.6，则甲的射击成绩较稳定，所以C选项的说法正确；D、数据3，5，4，1，﹣2由小到大排列为﹣2，1，3，4，5，所以中位数是3，所以D选项的说法错误．故选D．考点：随机事件发生的可能性（概率）的计算方法2．B【解析】【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求．【详解】如图，连接BC，由网格可得AB=BC=5，AC=10，即AB2+BC2=AC2，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，则tan∠BAC=1，故选B．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．3．D【解析】【分析】根据数轴三要素：原点、正方向、单位长度进行判断.【详解】A选项图中无原点，故错误；B选项图中单位长度不统一，故错误；C选项图中无正方向，故错误；D选项图形包含数轴三要素，故正确；故选D.【点睛】本题考查数轴的画法，熟记数轴三要素是解题的关键.4．A【解析】【分析】根据数轴上点的位置确定出a，b，c的范围，判断即可．【详解】由数轴上点的位置得：a＜b＜0＜c，∴ac＜bc，|a﹣b|＝b﹣a，﹣b＞﹣c，a﹣c＜b﹣c.故选A．【点睛】考查了实数与数轴，弄清数轴上点表示的数是解本题的关键．5．A【解析】试题分析：如图所示．∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形，∴DE2+CE2=CD2，DE=CE，∴S2+S2=S1．观察发现规律：S1=22=4，S2=12S1=2，S2=12S2=1，S4=12S2=12，…，由此可得S n=（12）n﹣2．当n=9时，S9=（12）9﹣2=（12）6，故选A．考点：勾股定理．6．A【解析】试题分析：根据几何体的主视图可判断C不合题意；根据左视图可得B、D不合题意，因此选项A正确，故选A．考点：几何体的三视图7．A【解析】【分析】先根据勾股定理得到2，再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD，由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB，于是S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD-S△ABC=S扇形ABD．【详解】∵∠ACB=90°，AC=BC=1，∴2，∴S扇形ABD=(2302=3606ππ⨯，又∵Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，∴Rt △ADE ≌Rt △ACB ，∴S 阴影部分=S △ADE +S 扇形ABD −S △ABC =S 扇形ABD =6， 故选A. 【点睛】本题考查扇形面积计算，熟记扇形面积公式，采用作差法计算面积是解题的关键. 8．C 【解析】 【分析】利用数轴先判断出a 、b 的正负情况以及它们绝对值的大小，然后再进行比较即可． 【详解】解：由a 、b 在数轴上的位置可知：a ＜1，b ＞1，且|a|＞|b|， ∴a+b ＜1，ab ＜1，a ﹣b ＜1，a÷b ＜1． 故选：C ． 9．A 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出2S 2＝S 1，根据数的变化找出变化规律“S n ＝（12）n ﹣2”，依此规律即可得出结论． 【详解】 如图所示，∵正方形ABCD 的边长为2，△CDE 为等腰直角三角形， ∴DE 2+CE 2＝CD 2，DE ＝CE ， ∴2S 2＝S 1．观察，发现规律：S 1＝22＝4，S 2＝12S 1＝2，S 2＝12S 2＝1，S 4＝12S 2＝12，…， ∴S n ＝（12）n ﹣2． 当n ＝2018时，S 2018＝（12）2018﹣2＝（12）3． 故选A ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理，解题的关键是利用图形找出规律“S n＝（12）n﹣2”．10．D【解析】解：∵△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，∴HI=AB=2，GI=BC=1，BI=2BC=2，∴ABBI=24=12BCAB，=12，∴ABBI=BCAB．∵∠ABI=∠ABC，∴△ABI∽△CBA，∴ACAI=ABBI．∵AB=AC，∴AI=BI=2．∵∠ACB=∠FGE，∴AC∥FG，∴QIAI=GICI=13，∴QI=13AI=43．故选D．点睛：本题主要考查了平行线分线段定理，以及三角形相似的判定，正确理解AB∥CD∥EF，AC∥DE∥FG 是解题的关键．11．A【解析】方程两边同乘2x(x+3)，得x+3=2kx，（2k-1）x=3，∵方程无解，∴当整式方程无解时，2k-1=0，k=，当分式方程无解时，①x=0时，k无解，②x=-3时，k=0，∴k=0或时，方程无解，故选A.12．C【解析】【分析】用单价乘数量得出买2千克苹果和3千克香蕉的总价，再进一步相加即可．【详解】买单价为a元的苹果2千克用去2a元，买单价为b元的香蕉3千克用去3b元，共用去：(2a+3b)元.故选C.【点睛】本题主要考查列代数式，总价=单价乘数量.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．【解析】【分析】根据新定义的运算法则进行计算即可得. 【详解】∵a※b＝a ba b+-，∴8※4=84233284+==-，故答案为3.14．【解析】【分析】首先根据题意列表，由列表求得所有等可能的结果与两次都摸到黑球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验．【详解】列表得：第一次第二次黑白白黑黑，黑白，黑白，黑白黑，白白，白白，白白黑，白白，白白，白∵共有9种等可能的结果，两次都摸到黑球的只有1种情况，∴两次都摸到黑球的概率是.故答案为：.【点睛】考查概率的计算，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键.15．1．【解析】试题分析：直接把x=1代入已知方程就得到关于m的方程，再解此方程即可．试题解析：∵x=1是一元二次方程x1-1mx+4=0的一个解，∴4-4m+4=0，∴m=1．考点：一元二次方程的解．16．答案不唯一，如：AD【解析】【分析】根据勾股定理求出AD，根据无理数的估算方法解答即可．【详解】<．由勾股定理得：AD=，34故答案为答案不唯一，如：AD．【点睛】本题考查了无理数的估算和勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么222+=a b c．17．8【解析】【分析】主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形．【详解】由俯视图可知：底层最少有5个小立方体，由主视图可知：第二层最少有2个小立方体，第三层最少有1个小正方体，∴搭成这个几何体的小正方体的个数最少是5+2+1=8(个)．故答案为：8【点睛】考查了由三视图判断几何体的知识，根据题目中要求的以最少的小正方体搭建这个几何体，可以想象出左视图的样子，然后根据“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”很容易就知道小正方体的个数．18．a（b+3）（b﹣3）．【解析】【分析】根据提公因式，平方差公式，可得答案．【详解】解：原式=a（b2﹣9）=a（b+3）（b﹣3），故答案为：a（b+3）（b﹣3）．【点睛】本题考查了因式分解，一提，二套，三检查，分解要彻底．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．234-.【解析】【分析】利用特殊角的三角函数值以及负指数幂的性质和绝对值的性质化简即可得出答案．【详解】解：原式=3 31132 --+⨯-=234-．故答案为234-．【点睛】本题考查实数运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，正确化简各数是解题关键．20．（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据旋转变换的定义和性质求解可得；（2）根据位似变换的定义和性质求解可得．【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）如图所示，△DEF即为所求．【点睛】本题主要考查作图﹣位似变换与旋转变换，解题的关键是掌握位似变换与旋转变换的定义与性质． 21．（1）①2P ，3P ;②()2,22，()22,2--，()22,2，()2,22--;（2）434333n -≤≤．【解析】 【分析】(1)①根据平行点的定义即可判断；②分两种情形：如图1，当点B 在原点上方时，作OH ⊥AB 于点H ，可知OH=1.如图2，当点B 在原点下方时，同法可求；(2)如图，直线OE 的解析式为3y x =，设直线BC//OE 交x 轴于C ，作CD ⊥OE 于D. 设⊙A 与直线BC 相切于点F ，想办法求出点A 的坐标，再根据对称性求出左侧点A 的坐标即可解决问题； 【详解】解：（1）①因为P 2、P 3到直线y ＝x 的距离为1，所以根据平行点的定义可知，直线m 的平行点是2P ，3P ， 故答案为2P ，3P ．②解：由题意可知，直线m 的所有平行点组成平行于直线m ，且到直线m 的距离为1的直线． 设该直线与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．如图1，当点B 在原点上方时，作OH ⊥AB 于点H ，可知OH ＝1．由直线m 的表达式为y ＝x ，可知∠OAB ＝∠OBA ＝45°． 所以2OB =直线AB 与⊙O 的交点即为满足条件的点Q ． 连接1OQ ，作1Q N y ⊥轴于点N ，可知110OQ 在1Rt OHQ ∆中，可求13HQ =． 所以12BQ =．在1Rt BHQ ∆中，可求12NQ NB ==所以22ON =． 所以点1Q 的坐标为()2,22．同理可求点2Q 的坐标为()22,2--．如图2，当点B 在原点下方时，可求点3Q 的坐标为()22,2点4Q 的坐标为()2,22--， 综上所述，点Q 的坐标为()2,22，()22,2--，()22,2，()2,22--．（2）如图，直线OE 的解析式为3y x =，设直线BC ∥OE 交x 轴于C ，作CD ⊥OE 于D ．当CD ＝1时，在Rt △COD 中，∠COD ＝60°， ∴23sin 60CD OC ==︒ 设⊙A 与直线BC 相切于点F ， 在Rt △ACE 中，同法可得23AC =， ∴33OA =∴33n =，根据对称性可知，当⊙A 在y 轴左侧时，433n =-， 观察图象可知满足条件的N 的值为：4343n -≤≤． 【点睛】此题考查一次函数综合题、直线与圆的位置关系、锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 22．（1）（1）A （a ，0），B （3,0），D （0,3a ）.（2）a 的值为73.（3）当a=5时，D 、O 、C 、B 四点共圆. 【解析】【分析】（1）根据二次函数的图象与x 轴相交，则y=0，得出A （a ，0），B （3，0），与y 轴相交，则x=0，得出D （0，3a ）.（2）根据（1）中A 、B 、D 的坐标，得出抛物线对称轴x=32a +，AO=a ，OD=3a ，代入求得顶点C （32a +，-232a -⎛⎫ ⎪⎝⎭），从而得PB=3- 32a +=32a -，PC=232a -⎛⎫ ⎪⎝⎭；再分情况讨论：①当△AOD ∽△BPC 时，根据相似三角形性质得233322a aa a =--⎛⎫ ⎪⎝⎭， 解得：a=3（舍去）；②△AOD ∽△CPB ，根据相似三角形性质得233322aaa a =--⎛⎫⎪⎝⎭，解得：a 1=3（舍），a 2=73； （3）能；连接BD ，取BD 中点M ，根据已知得D 、B 、O 在以BD 为直径，M （32，32a ）为圆心的圆上，若点C 也在此圆上，则MC=MB ，根据两点间的距离公式得一个关于a 的方程，解之即可得出答案.【详解】（1）∵y=（x-a ）（x-3）（0<a<3）与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），∴A （a ，0），B （3，0）， 当x=0时，y=3a ， ∴D （0，3a ）；（2）∵A （a ，0），B （3，0），D （0，3a ）.∴对称轴x=32a +，AO=a ，OD=3a ， 当x= 32a +时，y=- 232a -⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴C （32a +，-232a -⎛⎫ ⎪⎝⎭），∴PB=3-32a+=32a-，PC=232a-⎛⎫⎪⎝⎭，①当△AOD∽△BPC时，∴AO ODBP PC=，即233322a aa a=--⎛⎫⎪⎝⎭，解得：a= 3（舍去）；②△AOD∽△CPB，∴AO ODCP PB=，即233322a aaa=--⎛⎫⎪⎝⎭，解得：a1=3（舍），a2=73.综上所述：a的值为73；（3）能；连接BD，取BD中点M，∵D、B、O三点共圆，且BD为直径，圆心为M（32，32a），若点C也在此圆上，∴MC=MB，∴22222 3333333222222a a a a⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=-+⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，化简得：a4-14a2+45=0，∴（a2-5）（a2-9）=0，∴a2=5或a2=9，∴a15a25a3=3（舍），a4=-3（舍），∵0<a<3，∴a=5，∴当a=5时，D、O、C、B四点共圆.【点睛】本题考查了二次函数、相似三角形的性质、四点共圆等，综合性较强，有一定的难度，正确进行分析，熟练应用相关知识是解题的关键.23．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（1）①BC=42；②3 2【解析】分析：（1）由菱形知∠D=∠BEC，由∠A+∠D=∠BEC+∠AEC=180°可得∠A=∠AEC，据此得证；（2）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CF=CG=AC=CE=CD，证△BEF∽△BGA得BE BGBF BA=，即BF•BG=BE•AB，将BF=BC-CF=BC-AC、BG=BC+CG=BC+AC代入可得；（1）①设AB=5k、AC=1k，由BC2-AC2=AB•AC知BC=26k，连接ED交BC于点M，Rt△DMC中由DC=AC=1k、MC=12BC=6k求得DM=22CD CM-=3k，可知OM=OD-DM=1-3k，在Rt△COM中，由OM2+MC2=OC2可得答案．②设OM=d，则MD=1-d，MC2=OC2-OM2=9-d2，继而知BC2=（2MC）2=16-4d2、AC2=DC2=DM2+CM2=（1-d）2+9-d2，由（2）得AB•AC=BC2-AC2，据此得出关于d的二次函数，利用二次函数的性质可得答案．详解：（1）∵四边形EBDC为菱形，∴∠D=∠BEC，∵四边形ABDC是圆的内接四边形，∴∠A+∠D=180°，又∠BEC+∠AEC=180°，∴∠A=∠AEC，∴AC=CE；（2）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CF=CG，由（1）知AC=CE=CD，∴CF=CG=AC，∵四边形AEFG是⊙C的内接四边形，∴∠G+∠AEF=180°， 又∵∠AEF+∠BEF=180°， ∴∠G=∠BEF ， ∵∠EBF=∠GBA ， ∴△BEF ∽△BGA ， ∴BE BGBF BA=，即BF•BG=BE•AB ， ∵BF=BC ﹣CF=BC ﹣AC 、BG=BC+CG=BC+AC ，BE=CE=AC ， ∴（BC ﹣AC ）（BC+AC ）=AB•AC ，即BC 2﹣AC 2=AB•AC ； （1）设AB=5k 、AC=1k ， ∵BC 2﹣AC 2=AB•AC ，∴k ，连接ED 交BC 于点M ， ∵四边形BDCE 是菱形， ∴DE 垂直平分BC ， 则点E 、O 、M 、D 共线，在Rt △DMC 中，DC=AC=1k ，MC=12k ，∴=，∴OM=OD ﹣DM=1k ，在Rt △COM 中，由OM 2+MC 2=OC 2得（1）2+k ）2=12，解得：或k=0（舍），∴；②设OM=d ，则MD=1﹣d ，MC 2=OC 2﹣OM 2=9﹣d 2， ∴BC 2=（2MC ）2=16﹣4d 2，AC 2=DC 2=DM 2+CM 2=（1﹣d ）2+9﹣d 2， 由（2）得AB•AC=BC 2﹣AC 2 =﹣4d 2+6d+18 =﹣4（d ﹣34）2+814，∴当d=34，即OM=34时，AB•AC 最大，最大值为814，∴DC2=272，∴AC=DC=362，∴AB=964，此时32ABAC=．点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆的有关性质、圆内接四边形的性质及菱形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点．24．（1）证明见解析；（2）1.【解析】【分析】（1）先证明出△CEF≌△BED，得出CF=BD即可证明四边形CDBF是平行四边形；（2）作EM⊥DB于点M，根据平行四边形的性质求出BE，DF的值，再根据三角函数值求出EM的值，∠EDM=30°，由此可得出结论．【详解】解：（1）证明：∵CF∥AB，∴∠ECF=∠EBD．∵E是BC中点，∴CE=BE．∵∠CEF=∠BED，∴△CEF≌△BED．∴CF=BD．∴四边形CDBF是平行四边形．（2）解：如图，作EM⊥DB于点M，∵四边形CDBF是平行四边形，BC=42∴1222BE BC==DF=2DE．在Rt△EMB中，EM=BE•sin∠ABC=2，在Rt△EMD中，∵∠EDM=30°，∴DE=2EM=4，∴DF=2DE=1．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握平行四边形的判定与全等三角形的判定与性质.25．38+123【解析】 【分析】根据∠ABC=90°，AE=CE ，EB=12，求出AC ，根据Rt △ABC 中，∠CAB=30°，BC=12，求出cos30123,AB AC o =⋅=根据DE ⊥AC ，AE=CE ，得AD=DC ，在Rt △ADE 中，由勾股定理求出 AD ，从而得出DC 的长，最后根据四边形ABCD 的周长=AB+BC+CD+DA 即可得出答案．【详解】∵∠ABC=90°，AE=CE ，EB=12，∴EB=AE=CE=12，∴AC=AE+CE=24，∵在Rt △ABC 中，∠CAB=30°，∴BC=12， cos303,AB AC o =⋅=∵DE ⊥AC ，AE=CE ，∴AD=DC ，在Rt △ADE 中，由勾股定理得 222212513.AD AE DE ++= ∴DC=13，∴四边形ABCD 的周长=AB+BC+CD+DA=38123+．【点睛】此题考查了解直角三角形，用到的知识点是解直角三角形、直角三角形斜边上的中线、勾股定理等，关键是根据有关定理和解直角三角形求出四边形每条边的长．26．（1）作图见解析；（2）3；（3）712【解析】【分析】（1）根据发了3条箴言的人数与所占的百分比列式计算即可求出该班全体团员的总人数为12，再求出发了4条箴言的人数，然后补全统计图即可；（2）利用该班团员在这一个月内所发箴言的总条数除以总人数即可求得结果；（3）列举出所有情况，看恰好是一位男同学和一位女同学占总情况的多少即可．【详解】解：（1）该班团员人数为：3÷25%=12（人），发了4条赠言的人数为：12−2−2−3−1=4（人），将条形统计图补充完整如下：（2）该班团员所发赠言的平均条数为：(2×1+2×2+3×3+4×4+1×5)÷12=3，故答案为：3；（3）∵发了3条箴言的同学中有两位男同学，发了4条箴言的同学中有三位女同学，∴发了3条箴言的同学中有一位女同学，发了4条箴言的同学中有一位男同学，方法一：列表得：共有12种结果，且每种结果的可能性相同，所选两位同学中恰好是一位男同学和一位女同学的情况有7种，所选两位同学中恰好是一位男同学和一位女同学的概率为：7 12；方法二：画树状图如下：共有12种结果，且每种结果的可能性相同，所选两位同学中恰好是一位男同学和一位女同学的情况有7种，所选两位同学中恰好是一位男同学和一位女同学的概率为：7 12；【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率，以及条形统计图与扇形统计图的知识．注意平均条数=总条数÷总人数；如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率()mP An=．27．（1）①20；②当弦AB的位置改变时，点P关于⊙O的“幂值”为定值，证明见解析；（2）点P关于⊙O 的“幂值”为r2﹣d2；（3）﹣33≤b≤3.【解析】【详解】（1）①如图1所示：连接OA、OB、OP．由等腰三角形的三线合一的性质得到△PBO为直角三角形，然后依据勾股定理可求得PB的长，然后依据幂值的定义求解即可；②过点P作⊙O的弦A′B′⊥OP，连接AA′、BB′．先证明△APA′∽△B′PB，依据相似三角形的性质得到PA•PB=PA′•PB′从而得出结论；（2）连接OP、过点P作AB⊥OP，交圆O与A、B两点．由等腰三角形三线合一的性质可知AP=PB，然后在Rt△APO中，依据勾股定理可知AP2=OA2-OP2，然后将d、r代入可得到问题的答案；（3）过点C作CP⊥AB，先求得OP的解析式，然后由直线AB和OP的解析式，得到点P的坐标，然后由题意圆的幂值为6，半径为1可求得d的值，再结合两点间的距离公式可得到关于b的方程，从而可求得b的极值，据此即可确定出b的取值范围．【详解】（1）①如图1所示：连接OA、OB、OP，∵OA=OB，P为AB的中点，∴OP⊥AB，∵在△PBO中，由勾股定理得：222OB OP64-=-5，∴5∴⊙O的“幂值55，故答案为：20；②当弦AB的位置改变时，点P关于⊙O的“幂值”为定值，证明如下：如图，AB为⊙O中过点P的任意一条弦，且不与OP垂直，过点P作⊙O的弦A′B′⊥OP，连接AA′、BB′，∵在⊙O中，∠AA′P=∠B′BP，∠APA′=∠BPB′，∴△APA′∽△B′PB，∴PA PA PB PB=''，∴PA•PB=PA′•PB′=20，∴当弦AB的位置改变时，点P关于⊙O的“幂值”为定值；（2）如图3所示；连接OP、过点P作AB⊥OP，交圆O与A、B两点，∵AO=OB，PO⊥AB，∴AP=PB，∴点P关于⊙O的“幂值”=AP•PB=PA2，在Rt△APO中，AP2=OA2﹣OP2=r2﹣d2，∴关于⊙O的“幂值”=r2﹣d2，故答案为：点P关于⊙O的“幂值”为r2﹣d2；（3）如图1所示：过点C作CP⊥AB，，∵CP⊥AB，AB的解析式为3，∴直线CP的解析式为y=﹣33x+33．联立AB与CP，得y by x⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，∴点P的坐标为（﹣34﹣14b），∵点P关于⊙C的“幂值”为6，∴r2﹣d2=6，∴d2=3，即（﹣34﹣4b）2+（4+14b）2=3，整理得：b2b﹣9=0，解得b=﹣或∴b的取值范围是﹣，故答案为：﹣【点睛】本题综合性质较强，考查了新定义题，解答过程中涉及到了幂值的定义、勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的性质和判定、一次函数的交点问题、两点间的距离公式等，依据两点间的距离公式列出关于b的方程，从而求得b的极值是解题的关键．。
2019-2020年天津市红桥区高一上册期末数学试卷(有答案)
天津市红桥区高一（上）期末数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）设全集U=R，A={|＞0}，B={|≤1}，则A∩B=（）A．{|0≤＜1}B．{|0＜≤1}C．{|＜0}D．{|＞1}2．（3分）函数f（）=lg（﹣1）的定义域是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．[1，+∞）D．[2，+∞）3．（3分）函数y=cosω（∈R）最小正周期为，则ω=（）A．4 B．2 C．1 D．4．（3分）下列函数是奇函数的为（）A．y=2 B．y=sin C．y=log2D．y=cos5．（3分）sin15°cos15°=（）A．B．C．D．6．（3分）将函数y=sin的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（）A．y=sin（2﹣）B．y=sin（2﹣） C．y=sin（﹣）D．y=sin（﹣）7．（3分）设a=0.43，b=log0.43，c=30.4，则（）A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜b＜c8．（3分）函数f（）=|﹣2|﹣ln在定义域内零点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）9．（5分）cos120°=．10．（5分）在△ABC中，若BC=3，，，则∠B=．11．（5分）已知函数，则=．12．（5分）已知tan=3，则sincos=．13．（5分）设ω＞0，函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是．三、解答题（本大题共4小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）14．已知，．（1）求的值；（2）求tan2α的值．15．已知函数f（）=2sincos+2cos2﹣1．（1）求f（）的最小正周期；（2）求f（）的单调递增区间．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bsinA=3csinB，a=3，．（1）求b的值；（2）求的值．17．已知函数．（1）求f（）的对称轴；（2）求f（）在区间上的最大值和最小值．天津市红桥区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（3分）设全集U=R，A={|＞0}，B={|≤1}，则A∩B=（）A．{|0≤＜1}B．{|0＜≤1}C．{|＜0}D．{|＞1}【解答】解：∵全集U=R，A={|＞0}，B={|≤1}，∴A∩B={|0＜≤1}．故选：B．2．（3分）函数f（）=lg（﹣1）的定义域是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．[1，+∞）D．[2，+∞）【解答】解：要使函数的解析式有意义，自变量须满足：﹣1＞0即＞1故函数f（）=lg（﹣1）的定义域是（1，+∞）故选B3．（3分）函数y=cosω（∈R）最小正周期为，则ω=（）A．4 B．2 C．1 D．【解答】解：函数y=cosω（∈R）最小正周期为，可得，解得ω=4．故选：A．4．（3分）下列函数是奇函数的为（）A．y=2 B．y=sin C．y=log2D．y=cos【解答】解：y=2为指数函数，没有奇偶性；y=sin为正弦函数，且为奇函数；y=log2为对数函数，没有奇偶性；y=cos为余弦函数，且为偶函数．故选：B．5．（3分）sin15°cos15°=（）A．B．C．D．【解答】解：因为sin2α=2sinαcosα，所以sin15°cos15°=sin30°=．故选A．6．（3分）将函数y=sin的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（）A．y=sin（2﹣）B．y=sin（2﹣） C．y=sin（﹣）D．y=sin（﹣）【解答】解：将函数y=sin的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为y=sin（﹣）再把所得各点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是y=sin（﹣）．故选C．7．（3分）设a=0.43，b=log0.43，c=30.4，则（）A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜b＜c【解答】解：∵a∈（0，1），b＜0，c＞1．∴b＜a＜c．故选：B．8．（3分）函数f（）=|﹣2|﹣ln在定义域内零点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：由题意，函数f（）的定义域为（0，+∞）；由函数零点的定义，f（）在（0，+∞）内的零点即是方程|﹣2|﹣ln=0的根．令y1=|﹣2|，y2=ln（＞0），在一个坐标系中画出两个函数的图象：由图得，两个函数图象有两个交点，故方程有两个根，即对应函数有两个零点．故选C．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）9．（5分）cos120°=．【解答】解：cos120°=﹣cos60°=﹣．故答案为：﹣．10．（5分）在△ABC中，若BC=3，，，则∠B=．【解答】解：由正弦定理可知：=，则sinB===，由BC＞AC，则∠A＞∠B，由0＜∠B＜π，则∠B=，故答案为：．11．（5分）已知函数，则=．【解答】解：∵函数，∴f（）==﹣1，=f（﹣1）==．故答案为：．12．（5分）已知tan=3，则sincos=．【解答】解：∵tan=3，∴sincos=．故答案为：．13．（5分）设ω＞0，函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是．【解答】解：∵函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，∴=n×，n∈∴ω=n×，n∈又ω＞0，故其最小值是故答案为三、解答题（本大题共4小题，共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）14．已知，．（1）求的值；（2）求tan2α的值．【解答】解：（1）∵，，∴sin=，∴=cosαcos+sinαsin=；（2）∵tanα=，∴tan2α==．15．已知函数f（）=2sincos+2cos2﹣1．（1）求f（）的最小正周期；（2）求f（）的单调递增区间．【解答】解：函数f（）=2sincos+2cos2﹣1=sin2+cos2=sin（2+），（1）∴f（）的最小正周期T=，（2）f（）=sin（2+），由，得：≤≤，∴f（）的单调递增区间为：[，]，∈．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bsinA=3csinB，a=3，．（1）求b的值；（2）求的值．【解答】解：（1）在三角形△ABC中，由=，可得asinB=bsinA，又bsinA=3csinB，可得a=3c，又a=3，故c=1，由b2=a2+c2﹣2accosB，，可得b=；（2）由，得sinB=，由cos2B=2cos2B﹣1=﹣，sin2B=2sinBcosB=，∴=sin2Bcos﹣cos2Bsin=，∴的值．17．已知函数．（1）求f（）的对称轴；（2）求f（）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：（1）函数=4cos（sin+cos）=sin2+2cos2﹣1+1=sin2+cos2+1=2sin（2+）+1，令2+=+π，∈，求得f（）的对称轴为=+，∈；（2）∈[﹣，]时，2+∈[﹣，]，令2+=，解得=，∴∈[﹣，]为f（）的增区间；∈[，]为f（）的减区间；∴当=时，f（）取得最大值为3，当2+=﹣，即=﹣时，f（）取得最小值为0．。
天津市红桥区高一数学下学期期中试题(1)
高一数学本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部份，共100分，考试历时90分钟。
考试终止后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝列位考生考试顺利!第I卷(选择题)注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目涂写在答题卡上。
2．每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后。
再选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3．本卷共8小题，每题4分，共32分。
一、选择题在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1．在等比数列{a n}中，已知a1=1，a4=8，那么a6=A．16 B．16或-16 C．32 D．32或-322．在等差数列{a n}中，已知a1=2，a2+a3=13，那么a5=A．13 B．14 C．15 D．163．如图是挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方不同离为A．84，4.84 B．84，1.6C．85，1.6 D．85，44． ABC的内角A、B、C的对边别离为a、b、c，假设a=2，b=23，A=30o，那么B等于A．60o B．60o或l20o C．30o D．30o或l50o5．学校为了解高二年级l203名学生对某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，那么分段的距离k为A．40 B．30.1 C．30 D．126．在各项都为正数的等比数列{a n}中，首项为3，前3项和为21，那么q等于．．A．6 B．3 C．2 D．17．已知A、B两地的距离为10 km，B、C两地的距离为20 km，现测得∠ABC=120o，那么A、C两地的距离为A．10 km B．3km C．105km D．107km8．阅读如图给出的程序框图，运行相应的程序，输出的结果S为A．-1007 B．1007C．1008 D．-3022第Ⅱ卷(非选择题)三总分题号二1516171819得分二、填空题(本大题共6个小题，每题4分，共24分。