2020年浙江省杭州四中高考数学仿真试卷(有答案解析)
（2）求方程 f（x）=0 在（0，π]内的所有解．
19. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，∠BAD 为直角，AB∥CD，AD=CD=2AB，E、F 分别为 PC、CD 的中点． （Ⅰ）证明：平面 APD∥平面 BEF； （Ⅱ）设 PA=kAB（k＞0），且二面角 E-BD-C 的平面角大于 60°，求 k 的取值范围．
3.答案：B
解析：解：通项公式 Tr+1= （-1）8-rxr，令 r=5，
则 a5= （-1）3=-56．
故选：B． 利用通项公式即可得出． 本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4.答案：D
解析：解：函数 f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）， 则 f（x）的奇偶性与 φ 有关，与 ω 无关； ∵φ=kπ，k∈Z 时，f（x）为奇函数；
2020 年浙江省杭州四中高考数学仿真试卷
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 10 小题，共 41.0 分）
1. 已知 i 为虚数单位，则|3+2i|=（ ）
A.
B.
C.
2. 已知 A={x|-2＜x＜1}，B={x|2x＞1}，则 A∩（∁RB）为（
A. （-2，1）
B. （-∞，1）
C. （0，1）
8.答案：C
解析：解：由直线 ax+by+ci=0，当 a=0，b≠0 时，直线 by+ci=0 与抛物线 y2=2px（p＞0）仅有一个交 点，不合题意．
当 a≠0，b=0 时，直线 ax+ci=0，化为：x=- ，则 xi=- ，yi=0，xi+yi=- ，
由{ci}（i∈N*）是公比不为 1 的等比数列，可得{xi }是等比数列，{xi+yi }是等比数列，不是等差数列．
22. 已知函数 f（x）= （a≠0），e 是自然对数的底数． （1）当 a＞0 时，求 f（x）的单调增区间；
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（2）若对任意的 x≥ ，f（x）≥2eb-1（b∈R），求实数 的最大值； （3）若 f（x）的极大值为-2，求不等式 f（x）+ex＜0 的解集．
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（x）．则（ ）
A. 对任意的正数 M，存在 x∈（0，1），使 f（x）≥M B. 存在正数 M，对任意的 x∈（0，1），使 f（x）≤M C. 对任意的 x1，x2∈（0，1）且 x1＜x2，有 f（x1）＜f（x2） D. 对任意的 x1，x2∈（0，1）且 x1＜x2，有 f（x1）＞f（x2）
当 x∈（0，1）时，对勾函数 y=x+ 为单调减函数，可知 t（x）=
= 在区间（0，1）上单调递增，
令 0＜x1＜x2＜1，则 t（x1）＜t（x2），∵x∈（0，1），有 f（ ）=2f（x），
故当 x→0+时，有 f（0+）=2f（0+），故 f（0+）=0，故对任意的正数 M，存在 x∈（0，1），使 f（x） ≥M，对于函数 f（x）的单调性不能确定． 本题考查了函数的性质，需要对函数的特征进行分析，从而作出判定，属于难题．
16. 若非零向量 ， 满足： 2=（5 -4 ）• ，则 cos＜ ， ＞的最小值为______．
17. 已知实数 x，y，z 满足
，则 xyz 的最小值为______；此时 z=______．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 74.0 分）
18. 已知函数
，x∈R．
（1）求函数 f（x）的单调增区间；
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20. 已知数列{an}与{bn}的前 n 项和分别为 An 和 Bn，且对任意 n∈N*，an+1-an=2（bn+1-bn）恒成立．
（1）若
，b1=2，求 Bn；
（2）若对任意 n∈N*，都有 an=Bn 及 围．
成立，求正实数 b1 的取值范
21. 已知动圆 E 经过点 F（1，0），且和直线 l：x=-1 相切． （Ⅰ）求该动圆圆心 E 的轨迹 G 的方程； （Ⅱ）已知点 A（3，0），若斜率为 1 的直线 l 与线段 OA 相交（不经过坐标原点 O 和点 A）， 且与曲线 G 交于 B、C 两点，求△ABC 面积的最大值．
A. 4+2
B. 4-2
C. -1
D. +1
7. 将 5 名同学分到甲、乙、丙 3 个小组，若甲组至少两人，乙、丙组每组至少一人，则不同的分
配方案的种数为（ ）
A. 50
B. 80
C. 120
D. 140
8. 已知 a，b 为实常数，{ci}（i∈N*）是公比不为 1 的等比数列，直线 ax+by+ci=Байду номын сангаас 与抛物线 y2=2px
D. 3
）
D. （-2，0]
3. 若
，则 a5=（ ）
A. 56
B. -56
C. 35
D. -35
4. 设函数 f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0），则 f（x）的奇偶性（ ）
A. 与 ω 有关，且与 ϕ 有关
B. 与 ω 有关，但与 ϕ 无关
C. 与 ω 无关，且与 ϕ 无关
D. 与 ω 无关，但与 ϕ 有关
二、填空题（本大题共 7 小题，共 21.0 分） 11. 比较 lg2，（lg2）2，lg（lg2）的大小，其中最大的是______，最小的是______． 12. 设随机变量 X 的分布列为
X
1
2
3
P
a
则 a=______；E（X）=______． 13. 已知函数（f x）=x3+ax+b 的图象在点（1，（f 1））处的切线方程为 2x-y-5=0，则 a=______；b=______．
10. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 M、N 分别是直线 CD、AB 上的动 点，点 P 是△A1C1D 内的动点（不包括边界），记直线 D1P 与 MN
所成角为 θ，若 θ 的最小值为 ，则点 P 的轨迹是（ ）
A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分
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C. 抛物线的一部分 D. 双曲线的一部分
所成角为 ，求点 P 的轨迹．点 P 在面 A1B1C1D1 的投影为圆的一部分，则点 P 的轨迹是椭圆的一部
10.答案：B
解析：解：把 MN 平移到面 A1B1C1D1 中，直线 D1P 与 MN 所成角为 θ， 直线 D1P 与 MN 所成角的最小值，是直线 D1P 与面 A1B1C1D1 所成角，
即原问题转化为：直线 D1P 与面 A1B1C1D1 所成角为 ，
点 P 在面 A1B1C1D1 的投影为圆的一部分， ∵点 P 是△A1C1D 内的动点（不包括边界） ∴则点 P 的轨迹是椭圆的一部分． 故选：B． 把 MN 平移到面 A1B1C1D1 中，直线 D1P 与 MN 所成角为 θ，直线 D1P 与 MN 所成角的最小值，是直线 D1P 与面 A1B1C1D1 所成角，即原问题转化为：直线 D1P 与面 A1B1C1D1
14. 若不等式组
表示的平面区域是等腰三角形区域，则实数 a 的值为______．
15. 在数列{an}中，若存在非零整数 T，使得 am+T=am 对于任意的正整数 m 均成立，那么称数列{an} 为周期数列，其中 T 叫做数列{an}的周期，若数列 xn 满足 xn+1=|xn-xn-1|（n≥2，n∈N），如 x1=1， λ2=a（a∈R，a≠0），当数列 xn 的周期最小时，该数列的前 2015 项的和是______．
φ=kπ+ ，k∈Z 时，f（x）为偶函数；
否则，f（x）为非奇非偶的函数． 故选：D． 根据正弦型函数的图象与性质，知 f（x）的奇偶性与 φ 有关，与 ω 无关． 本题考查了正弦型函数的奇偶性问题，是基础题．
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5.答案：B
解析：解：已知 x∈R，若“|x-3|-|x-2|＜2”因为：|x-3|-|x-2|≤|（x-3）-（x-2）|=1＜2；推出 x 在 R 上成 立；故：推不出“x≠1”； 已知 x∈R，因为|x-3|-|x-2|≤|（x-3）-（x-2）|=1＜2 在 R 上恒成立， 则当 x∈R，“x≠1”时；能推出：|x-3|-|x-2|＜2； 由充要条件定义可知：已知 x∈R，则“|x-3|-|x-2|＜2”是“x≠1”的：必要不充分条件； 故选：B． 根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．
6.答案：D
解析：解：由已知可得： acsin30°= ，解得：ac=6，
又 sinA+sinC=2sinB，由正弦定理可得：a+c=2b， 由余弦定理：b2=a2+c2-2accosB=（a+c）2-2ac- ac=4b2-12-6 ， ∴解得：b2=4+2 ， ∴b=1+ ． 故选：D． 先根据三角形面积公式求得 ac 的值，利用正弦定理及题设中 sinA+sinC=2sinB，可知 a+c 的值，代入 到余弦定理中求得 b． 本题主要考查了余弦定理和正弦定理的应用，作为解三角形的常用定理，应用熟练记忆这两个定理 及其变式，属于基础题．
（p＞0）均相交，所成弦的中点为 Mi（xi，yi），则下列说法错误的是（ ）
A. 数列{xi}可能是等比数列
B. 数列{yi}是常数列
C. 数列{xi}可能是等差数列
D. 数列{xi+yi }可能是等比数列
9. 若定义在（0，1）上的函数 f（x）满足：f（x）＞0 且对任意的 x∈（0，1），有 f（ ）=2f
2020年浙江省杭州高中高考数学仿真模拟试卷(7月份)
2020年浙江省杭州高中高考数学仿真模拟试卷（7月份）一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={x|y=lg(4−x2)}，B={y|y=3x,x>0}时，A∩B=()A. {x|x>−2}B. {x|1<x<2}C. {x|1≤x≤2}D. ⌀2.“sinα=0”是“cosα=1”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.二项式(2x−1x)6的展开式的常数项为()A. 20B. −20C. 160D. −1604.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥A−BCD正视图和俯视图如图，则三棱锥A−BCD侧视图的面积为()A. 613B. 1813C. 213D. 3135.函数y=2x−x2的图象大致是()A. B.C. D.6.一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和n(n∈N∗)个黑球，现从中放回的摸取4次，每次都是随机摸一球，设摸得白球个数为X，若D(X)=1，则E(X)=()A. 1B. 2C. 3D. 47.已知a∈R，函数f(x)满足：存在x0>0，对任意的x>0，恒有|f(x)−a|≤|f(x0)−a|.则f(x)可以为()A. f(x)=lgxB. f(x)=−x 2+2xC. f(x)=2xD. f(x)=sinx8. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断一定正确是( )A. 若S 3>0，则a 2020>0B. 若S 3<0，则a 2020<0C. 若a 2>a 1，则a 2021>a 2020D. 若1a 2>1a 1，则a 2021<a 20209. 已知双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，O 为坐标原点，以F 1F 2为直径的圆O 与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为P 、Q ，点B 为圆O 与y 轴正半轴的交点，若∠POF 2=∠QOB ，则双曲线C 的离心率为( )A. 3+√5B. 3+√52C. 1+√5D. 1+√5210. 在三棱锥S −ABC 中，△ABC 为正三角形，设二面角S −AB −C ，S −BC −A ，S −CA −B 的平面角的大小分别为α，β，γ(α,β,γ≠π2)，则下面结论正确的是( )A. 1tanα+1tanβ+1tanγ的值可能是负数 B. α+β+γ<3π2C. α+β+γ>πD. 1tanα+1tanβ+1tanγ的值恒为正数二、填空题（本大题共3小题，共12.0分）11. 从0，1，2，3，4，5这6个数中随机抽取5个数构成一个五位数abcde −，则满足条件“a <b <c >d >e ”的五位数的个数有______．12. 已知点P 是抛物线y 2=4x 上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为(−1,0)，则PFPA 的最小值为______． 13. 设直线l 与曲线y =x 3−x +1有三个不同的交点A ，B ，C ，且AB =BC =2√10，则直线l 的方程为______． 三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14. 复数z 满足：z1+i =a −i(其中a >0，i 为虚数单位)，|z|=√10，则a = (1) ；复数z 的共轭复数z −在复平面上对应的点在第 (2) 象限． 15. 若实数x ，y 满足{x −y +1≥0x +y −1≥0x ≤2．(1)x −2y 的最大值为 (1) ；(2)若−1≤y −ax ≤5恒成立，则实数a 的取值范围是 (2) ．16. 在平面四边形ABCD 中，BC ⊥CD ，∠B =135o ，AB =3√2，AC =3√5，CD =5，则sin∠ACB = (1) ，AD = (2) ．17. 已知平行四边形ABCD 中，E 为BC 中点，点F 为线段DE 上的一点，且AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +56AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ= (1) ，S △AFD S ▱ABCD= (2) ．四、解答题（本大题共5小题，共74.0分） 18. 已知函数f(x)=√3sinx ⋅cosx −cos 2x −12．(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间及其图象的对称中心； (Ⅱ)当x ∈[−π12,5π12]时，求函数f(x)的值域．19. 在四棱锥P −ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，三角形APB 为等边三角形，已知AD =√2，AB =2，PD ⊥AB ，PC =√5． (1)求证：BD ⊥AD ；(2)求直线BD 与面PDC 所成的角的正弦值．20. 已知正项数列{a n }，其前n 项和为S n ，满足2S n =a n 2+a n ，n ∈N ∗．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)如果对任意正整数n，不等式√a n+2−√a n>√a都成立，求证：实数c的最大值为1．21.已知椭圆C：x28+y24=1的上、下顶点分别为A、B，过点P(0,4)斜率为−k(k>0)的直线与椭圆C自上而下交于M，N两点．(Ⅰ)证明：直线BM与AN的交点G在定直线y=1上．(Ⅱ)记△AGM和△BGN的面积分别为S1和S2，求S1S2的取值范围．22.已知函数f(x)=(a−e)x−lnx.(其中e为自然对数的底)(Ⅰ)当a=2e时，是否存在唯一的x0的值，使得f(x0)=2？并说明理由；(Ⅱ)若存在a∈R，使得f(x)+ka≥0对任意的x∈(0,+∞)恒成立，求实数k的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由集合A中的函数y=lg(4−x2)，得到4−x2>0，解得：−2<x<2，∴集合A={x|−2<x<2}，由集合B中的函数y=3x，x>0，得到y>1，∴集合B={y|y>1}，则A∩B={x|1<x<2}．故选B求出集合A中函数的定义域，确定出集合A，求出集合B中函数的值域，确定出集合B，找出两集合的公共部分，即可确定出两集合的交集．此题属于以函数的定义域与值域为平台，考查了交集及其运算，是高考中常考的基本题型．2.【答案】B【解析】解：sinα=0可得α=kπ(k∈Z)，∴cosα=±1，反之成立，∴“sinα=0”是“cosα=1”的必要不充分条件．故选：B由sinα=0可得α=kπ(k∈Z)，即可判断出结论．本题考查了三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D)6的展开式的通项公式为T r+1=C6r⋅(−1)r⋅26−r⋅x6−2r，【解析】解：二项式(2x−1x令6−2r=0，求得r=3，可得展开式中的常数项是−8⋅C63=−160，故选：D．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体．如图所示：BD=√22+32=√13所以利用S△ABD=12⋅AB⋅AD=12⋅BD⋅AE，解得AE=√13，同理：CF=√13，由于CF⊥平面ABD．所以CF⊥AE，作FG//AE，所以CF⊥FG．故侧视图为Rt△CFG，所以S△CFG=12×√13×√13=1813．故选：B．首先把三视图转换为直观图，进一步求出侧视图的面积．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，侧视图的面积的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．5.【答案】A【解析】解：分别画出函数f(x)=2x(红色曲线)和g(x)=x2(蓝色曲线)的图象，如图所示，由图可知，f(x)与g(x)有3个交点，所以y=2x−x2=0，有3个解，即函数y=2x−x2的图象与x轴由三个交点，故排除B，C，当x=−3时，y=2−3−(−3)2<0，故排除D故选：A．根据函数图象的交点的个数就是方程的解的个数，也就是y=0，图象与x轴的交点的个数，排除BC，再取特殊值，排除D本题主要考查了函数图象的问题，关键是理解函数图象的交点和方程的解得个数的关系，排除是解决选择题的常用方法，属于中档题6.【答案】B【解析】解：由题意知，X ～B(4,5n+5)，D(X)=1， ∴4×5n+5×(1−5n+5)=1，解得n =5， EX =4×5n+5=4×12=2，故选：B ．由题意知，X ～B(4,5n+5)，由D(X)求出n ，由此能求出EX =4×5n+5即可．本题考查离散型随机变量的方差的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意二项分布的灵活运用．7.【答案】D【解析】 【分析】本题考查的函数的最值，考查转化能力，属于中档题．若存在x 0>0，对任意的x >0，恒有|f(x)−a|≤|f(x 0)−a|.即函数f(x)在(0,+∞)上存在最大值和最小值，进而得到答案． 【解答】解：若存在x 0>0，对任意的x >0，恒有|f(x)−a|≤|f(x 0)−a|．即存在x 0>0，对任意的x >0，恒有−|f(x 0)−a|+a ≤f(x)≤|f(x 0)−a|+a ． 即函数f(x)在(0,+∞)上存在最大值和最小值， 易知A ，B ，C 均不满足条件， 故选：D ．8.【答案】D【解析】 【分析】本题考查等比数列的性质，推理运算能力，属于中档题．若S 3>0，得a 1(1+q +q 2)>0，由于1+q +q 2=(q +12)2+34>0，推出a 1>0，所以要确定a 2020，正负，取决于q 的正负，可得A ，B 错误；若a 2>a 1，可得a 1(q −1)>0，a 2021−a 2020=a 1q 2019(q −1)，的正负，取决于q 正负，故C 错误；若1a 2>1a 1，则1a 2−1a 1=a 1(1−q)a 12q >0，可确定D 正确．【解答】解：若S 3>0则a 1+a 2+a 3>0，所以a 1+a 1q +a 1q 2>0，即a 1(1+q +q 2)>0， 1+q +q 2=(q +12)2+34>0， 所以a 1>0， a 2020=a 1q 2019，所以当q >0时，a 2020>0，当q <0时，a 2020<0，故A ，B 错误， 若a 2>a 1，则a 2−a 1>0， 所以a 1(q −1)>0，a 2021−a 2020=a 1q 2020−a 1q 2019=a 1q 2019(q −1)所以当q >0时，a 2021−a 2020>0，即a 2021>a 2020， 当q <0时，a 2021−a 2020<0，即a 2021<a 2020，故C 错误， 若1a 2>1a 1，则1a 2−1a 1=a 1−a 2a 1a 2=a 1(1−q)a 12q >0，即1−qa1q>0，所以a 1(q−1)q<0，所以a 2021−a 2020=a 1q 2020−a 1q2019=a 1q2020(1−1q )=a 1(q−1)q 2020q=a 1(q−1)q⋅q 2020<0，即a 2021<a 2020， 故选：D ．9.【答案】D【解析】 【分析】本题考查双曲线的简单几何性质，离心率的求法，考查计算能力，属于中档题．联立圆与双曲线的方程，求得P 的坐标，tan∠QOF 2=tan∠POB ，化简即可求得双曲线的离心率． 【解答】解：∵∠POF 2=∠QOB ， ∴∠QOF 2=∠POB ，双曲线的一条渐近线方程为y =ba x ， 则tan∠QOF 2=ba ，由题意可知：以线段F 1F 2为直径的圆的方程x 2+y 2=c 2，联立{x2+y2=c2 x2a2−y2b2=1，解得x=a√b2+c2c ，y=b2c，∴tan∠POB=a√b2+c2b2，∴a√b2+c2b2=ba，即2+a2b2=b4a4，∵e2=1+b2a2，∴2+1e2−1=(e2−1)2，解得e=√5+12，故选：D．10.【答案】D【解析】解：记O为点S在平面ABC的射影点，则如图(4)，O可能落在7个区域，根据正三角形对称性，只需分析落在区域7，4，5的情况，分别与图(1)，(2)，(3)对应，图(1)，若S接近O，则α+β+γ→0，故C错，显然此时1tanα+1tanβ+1tanγ>0；图(2)，如图，可得1tanα+1tanβ+1tanγ=d1+d2−d3SO，设AB=2，则√3=S△ABC=12ACd1+12BCd2−12ABd3，则d1+d2−d3>0，故1tanα+1tanβ+1tanγ>0；图(3)，如图，可得1tanα+1tanβ+1tanγ=d1−d2−d3SO，设AB=2，则√3=S△ABC=12ACd1−12BCd2−12ABd3，则d1−d2−d3=√3>0，故1tanα+1tanβ+1tanγ>0；故选：D．将问题平面化，画出图形，分类讨论得解．事实上，答案必在AD中选其一，作为选择题，可直接选D．本题考查空间角的综合问题，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查转化思想，数形结合思想以及逻辑推理，运算求解能力，是中档题．11.【答案】15【解析】解：由题意可得c最大，a不能为0，当c取5时，则从剩下4个数(不包含0)取两个，放在c的左边，再从剩下3个数(包含0)取两个，放在右边，有C42C32=12个，当c取4时，则从剩下3个数(不包含0)取两个，放在c的左边，再从剩下2个数(包含0)取两个，放在右边，有C32C22=3个，故满足条件的五位数的个数有12+3=15个，故答案为：15．由题意可得c最大，a不能为0，分两类，当c=5时，当c=4时，根据分类计数原理可得．本题考查了简单的排列组合问题，属于基础题．12.【答案】√22【解析】解：由抛物线的方程y2=4x可得焦点F(1,0)，A(−1,0)在准线上，过抛物线上的点P作PD垂直于准线交于D点，由抛物线的性质可得PF=PD，在△PAD中，PDPA=cos∠DPA=cos∠PAF，所以PDPA 最小时，则cos∠PAF 最小，则∠PAF 最大， 而∠PAF 最大时即过点A 的直线与抛物线相切，设P(x,y)在第一象限，y >0，由y 2=4x 可得y =2√x ，y′=x ， 所以在P 处的切线的斜率为√x=y−0x+1=2√xx+1， 整理可得：2x =x +1，解得x =1，代入抛物线的方程可得y =2，即P(1,2)， 所以PFPA 的最小值为PDPA =√[1−(−1)]2+22=√22， 故答案为：√22．由抛物线的方程可得A 在抛物线的准线上，由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，所以可得PF PA =PDPA ，而PDPA =cos∠DPA =cos∠PAF ，所以PDPA 最小值时，即∠PAF 最大时，即过A 的直线与抛物线相切，求导求出在P 处的切线斜率，再由过A 点，又得斜率，两个斜率相等求出P 的坐标，进而求出这时的PFPA 的值． 本题考查抛物线的性质及过一点的切线的斜率，属于中档题．13.【答案】y =3x +1【解析】解：曲线y =x 3−x +1图象关于点(0,1)对称，且AB =BC ，故B (0,1)， 设直线l 的方程为y =kx +1，代入y =x 3−x +1，可得x 3=(k +1)x ， ∴x =0或x =±√k +1∴不妨设A(√k +1,k √k +1+1)(k >1) ∵AB =BC =2√10，∴(√k +1−0)2+(k √k +1+1−1)2=40，∴k 3+k 2+k −39=0 ∴(k −3)(k 2+4k +13)=0 ∴k =3∴直线l 的方程为y =3x +1 故答案为：y =3x +1．根据对称性确定B 的坐标，设出直线方程代入曲线方程，求出A 的坐标，利用条件，即可求出斜率的值，从而得到直线的方程．本题考查直线与曲线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，设出直线方程是关键，属于中档题．14.【答案】2四【解析】解：由z1+i =a −i ，得z =(a −i)(1+i)=(a +1)+(a −1)i ， 由|z|=√(a +1)2+(a −1)2=√10，解得a =±2． 又a >0，∴a =2．此时z =3+i ，则z −=3−i ．∴z −在复平面上对应的点的坐标为(3,−1)，在第四象限． 故答案为：2；四．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，利用复数的模列式求得a 值，进一步求出z −的坐标得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．15.【答案】(1)4(2) [−1,0]【解析】 【分析】本题考查线性规划问题，关键利用数形结合思想分析问题，属于中档题． (1)先作出可行域，求出A ，B 坐标，再结合图分析目标函数的最大值即可．(2)若−1≤y −ax ≤5恒成立，则A ，B 两点坐标代入都符合题意，进而可求出实数a 的取值范围． 【解答】解：(1)目标函数z =x −2y ， 由不等式组画出可行域，联立{x −y +1=0x =2，解得A(2,3)，联立{x +y −1=0 x =2，解得B(2,−1)所以当目标函数过点B(2,−1)时， z max =2−2×(−1)=4， (2)若−1≤y −ax ≤5恒成立， 则{−1≤3−2a −1≤−1−2a 3−2a ≤5−1−2a ≤5，解得−1≤a ≤0，故答案为(1)4；(2)[−1,0]．16.【答案】√552√10【解析】解：如图：平面四边形ABCD 中，BC ⊥CD ， ∠B =135o ，AB =3√2，AC =3√5，CD =5， 由正弦定理可得，ACsin∠B =ABsin∠ACB ， 即3√5sin135°=3√2sin∠ACB ，则sin∠ACB =√55．再由余弦定理可得AD 2=AC 2+CD 2−2AC ⋅CD ⋅cos∠ACD=(3√5)2+52−2×3√5×5×cos(90°−∠ACB) =45+25−30√5×sin∠ACB=70−30√5×√55=40，∴AD =2√10．由题意先利用正弦定理求得sin∠ACB 的值，再利用余弦定理求得AD 的值． 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．17.【答案】1316【解析】解：由题，D 、F 、E 三点共线，∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(1−t)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(1−t)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12t AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−12t)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +56AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−12t)AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴λ=t =13． 即AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴EFDF =21，即DFDE =13设S △AFD =12AD ⋅ℎ1，S ▱ABCD =AD ⋅ℎ2， ∵ℎ1ℎ2=DFDE =13，S △AFD S ▱ABCD=12ℎ1ℎ2=16． 故答案为：13，16．根据题意，设AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−12t)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +56AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可求得λ=t =13，即AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得到DF DE =13，设S △AFD =12AD ⋅ℎ1，S ▱ABCD =AD ⋅ℎ2，因为ℎ1ℎ2=DF DE =13，所以S △AFD S ▱ABCD=12ℎ1ℎ2=16． 本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用，属基础题．18.【答案】解：(Ⅰ)由于f(x)=√32sin2x −1+cos2x 2−12=√32sin2x −12cos2x −1=sin(2x −π6)−1，令2kπ−π2≤2x −π6≤2kπ+π2，求得kπ−π6≤x ≤kπ+π3，k ∈Z ， 可得f(x)的单调递增区间是[kπ−π6,kπ+π3],k ∈Z ． 令2x −π6=kπ，求得x =kπ2+π12，可得它的图象的对称中心是(12kπ+π12,−1),k ∈Z ． (Ⅱ)∵−π12≤x ≤5π12，∴−π3≤2x −π6≤2π3，∴−√32≤sin(2x −π6)≤1，从而−1−√32≤sin(2x −π6)−1≤0，则f(x)的值域是[−1−√32,0]．【解析】(Ⅰ)利用三角恒等变换花简函数f(x)的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得它的单调递增区间及其图象的对称中心．(Ⅱ)由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得结果．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性、图象的对称性、定义域和值域，属于中档题．19.【答案】解：(1)取AB 的中点O ，连接PO 与DO ，∵△PAB 是等边三角形，∴PO ⊥AB ，又PD ⊥AB ，PO ∩PD =P ，且PO 、PD ⊂面POD ，∴AB ⊥平面POD ， ∵OD ⊂面POD ，∴AB ⊥OD ，∵O 为AB 的中点，∴AD =BD =√2，OD =1，∵AB =2，∴△ABD 是等腰直角三角形，且AD ⊥BD ．(2)∵PD ⊥AB ，CD//AB ，∴CD ⊥PD ， 又PC =√5，CD =2，∴PD =1=OD ，∵△APB 为等边三角形，且AB =2，∴OP =√3，∴∠PDO =120°，∠POD =30°． 由(1)可知AB ⊥平面POD ，∵AB ⊂面ABD ，∴平面ABD ⊥平面POD ．以O 为原点，过O 在△POD 所在平面内作OD 的垂线为z 轴，OB 、OD 所在直线分别为x 、y 轴建立空间直角坐标系，则点D(0,1,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,32,√32)，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−12,−√32),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−12,−√32)， 设平面PCD 的法向量为n⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−12y −√32z =0x −12y −√32z =0⇒x =0,y =−√3,z =1， ∴n ⃗ =(0,−√3,1)，设直线BD 与面PDC 所成的角为θ， ∴sinθ=|cos〈BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉|=√3√2⋅2=√64．【解析】(1)取AB 的中点O ，连接PO 与DO ，利用线面垂直的判定定理可证得AB ⊥平面POD ，再由线面垂垂直的性质定理可知AB ⊥OD ，结合边长的关系，证得△ABD 为等腰直角三角形，进而得证；(2)通过线段之间的关系可证得∠PDO =120°，∠POD =30°；由(1)可知AB ⊥平面POD ，即平面ABD ⊥平面POD.以O 为原点，过O 在△POD 所在平面内作OD 的垂线为z 轴，OB 、OD 所在直线分别为x 、y 轴建立空间直角坐标系，写出B 、C 、D 、P 四点的坐标，根据法向量的性质可求得平面PCD 的法向量n ⃗ ，设直线BD 与面PDC 所成的角为θ，则sinθ=|cos <BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|，最后结合空间向量数量积的坐标运算即可得解．本题考查空间中线面的位置关系、线面的夹角问题，难点在于建立空间坐标系的方式和点P 的坐标，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20.【答案】(1)解：由题意，当n =1时，2a 1=2S 1=a 12+a 1，解得a 1=0(舍去)，或a 1=1．由2S n =a n 2+a n ，可得2S n+1=a n+12+a n+1，两式相减，可得2S n+1−2S n =(a n+12+a n+1)−(a n 2+a n )， 即2a n+1=(a n+12−a n 2)+(a n+1−a n )，整理，得(a n+1+a n )(a n+1−a n −1)=0， ∵数列{a n }各项均为正数，∴a n+1−a n −1=0，即a n+1−a n =1． ∴数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列， ∴数列{a n }的通项公式为a n =n ，n ∈N ∗．(2)证明：由题意，对任意正整数n ，不等式√a n+2−√a n >√a 都成立， 可等价转化为，对任意正整数n ，不等式√a n+2⋅(√a n+2−√a n )>c 都成立． ∵√a n+2(√a n+2−√a n )=√n +2(√n +2−√n)=√n+2√n+2+√n>√n+2n+2+n+2=1，∴c 的最大值为1≤c max <√a n+2⋅(√a n+2−√a n ).另一方面，当任取实数a >1时，√a n+2−√a n −a =√n +2−√n −√n+2=√n+2+n √n+2 =√n+2−a(√n+2+√n)√n+2(√n+2+√n)=√n+2−a √n√n+2(√n+2+√n)．①当a ≥2时，对任意的正整数n ，都有√a n+2−√a n <a ；②当1<a <2时，只要(2−a)√n +2−a √n <0，即(2−a)2(n +2)<a 2n ，也就是n >(2−a)22(a−1)时，就有√a n+2−√a n <√a．∴满足条件的c ≤1，从而c max ≤1． 综上所述，可得c 的最大值为1．【解析】本题第(1)题利用公式a n ={S 1,n =1S n −S n−1,n ≥2进行代入计算，化简整理可发现数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，即可得到数列{a n }的通项公式；第(2)题从两个方面分别计算出c max ≥1及c max ≤1.从而可得c max =1． 本题主要考查数列求通项公式，以及数列不等式的证明问题．考查了转化思想，分类讨论，放缩法的应用，逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．21.【答案】(Ⅰ)证明：由椭圆方程可得A(0,2)，B(0,−2)，直线MN ：y =−kx +4，联立{y =−kx +4x 2+2y 2=8，整理得：(1+2k 2)x 2−16kx +24=0 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，则x 1+x 2=16k1+2k 2,x 1x 2=241+2k 2 则直线AN ：y =y 2−2x 2x +2,BM ：y =y 1+2x 1x −2，联立{y =y 2−2x 2x +2y =y 1+2x 1x −2得{y −2=y 2−2x 2x y +2=y 1+2x 1x，则y−2y+2=x 1(y 2−2)x 2(y 1+2)=x 1(−kx 2+2)x 2(−kx 1+6)， ∵x 1+x 2=16k 1+2k 2,x 1x 2=241+2k 2∴6(x 1+x 2)+4kx 1x 2=0，∴y =1，故直线BM 与AN 的交点G 在定直线y =1上． (Ⅱ)解：S 1S 2=S △AMN −S △GMNS△BMN −S △GMN=S △AMNS △GMN −1S △BMNS △GMN−1=ANNG −1BMMG−1=2−y 11−y 1−1y 2+2y 2−1−1=11−y 13y 2−1=y 2−13(1−y 1)=−13⋅kx 2+3kx 1+3， ∵6(x 1+x 2)+4kx 1x 2=0，∴kx 1=−3(x 1+x 2)2x 2,kx 2=−3(x 1+x 2)2x 1∴S 1S 2=−13−3(x 1+x 2)2x 1+3−3(x 1+x 2)2x 2+3=−133(x 1+x 2)2x 1−33(x 1+x 2)2x 2−3=−133(x 2−x 1)2x 13(x 1−x 2)2x 2=13⋅x 2x 1，设λ=x2x 1,(x 2>x 1>0)，∴λ+1λ=x 2x 1+x 1x 2=(x 2+x 1)2−2x 1x 2x 1x 2=(16k 1+2k 2)2−481+2k 2241+2k 2=32k 2−6(1+2k 2)3(1+2k 2)=10(2k 2+1)−163(1+2k 2)=103−163(1+2k 2)∵△=256k 2−96−192k 2>0， ∴64k 2>96,k 2>32∴103−163(1+2k 2)∈(2,103)，即λ+1λ∈(2,103)⇒λ∈(1,3) ∴S 1S 2∈(13,1)．【解析】(Ⅰ)根据题意可得直线MN ：y =−kx +4，联立直线l 与椭圆的方程，得关于x 的一元二次方程，结合韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，联立直线AN 与BM 的方程，得y−2y+2=x 1(y 2−2)x 2(y 1+2)=x 1(−kx 2+2)x 2(−kx 1+6)，进而可得y =1，故直线BM 与AN 的交点G 在定直线y =1上． (Ⅱ)S 1S 2=S △AMN −S △GMNS△BMN −S △GMN=S △AMNS △GMN −1S △BMNS △GMN−1=ANNG −1BMMG−1=2−y 11−y 1−1y 2+2y 2−1−1化简得S 1S 2=−13kx 2+3kx 1+3，结合韦达定理得kx 1，kx 2，利用换元法推出S1S2的取值范围．本题考查定直线问题，面积取值范围问题，属于中档题．22.【答案】解：函数f(x)的定义域为(0,+∞)，(Ⅰ)当a =2e 时，f(x)=ex −lnx ，f′(x)=e −1x ，当0<x <1e 时，f′(x)<0； 当x >1e 时，f′(x)>0，所以f(x)在(0,1e )上单调递减，在(1e ,+∞)上单调递增， 所以x =1e 是f(x)的极小值点，也是f(x)的最小值点，即[f(x)]min =f(1e )=2，故存在唯一的x 0=1e ，使得f(x 0)=2， (Ⅱ)设g(x)=f(x)+kx =(a −e)x −lnx +ka ， 则g′(x)=a −e −1x ，①先探究g(x)≥0，对任意的x ∈(0,+∞)恒成立， 若a ≤e ，则g′(x)<0，g(x)在(0,+∞)上是减函数， 又g(e ka+1)=(a −e)e ka+1−1<0，此时，不合题意， 若a >e ，当0<x <1a−e 时，g′(x)<0； 当x >1a−e 时，g′(x)>0，所以g(x)在(0,1a−e )上是减函数，在(1a−e ,+∞)上是增函数， 所以x =1a−e 是极小值点，也是g(x)的最小值点， 即[g(x)]min =g(1a−e )=1+ka +ln(a −e)≥0． ②再来探究：存在a ∈(e,+∞)，使得k ≥−ln(a−e)+1a成立，设ℎ(a)=−ln(a−e)+1a(a >e)，则ℎ′(a)=−aa−e−[ln(a−e)+1]a 2=1a2[ln(a −e)−e a−e]，一方面，当a >e 时，ln(a −e)是增函数，−ea−e 也是增函数， 所以ℎ′(a)在(e,+∞)上是增函数，且ℎ′(2e)=0， 另一方面，当e <a <2e 时，ln(a −e)<1，ea−e >1， 所以ℎ′(a)<0；当a >2e 时，ln(a −e)>1，0<e a−e <1， 所以ℎ′(a)>0，所以ℎ(a)在(e,2e)上是减函数，在(2e,+∞)上是增函数，所以a =2e 是ℎ(a)的极小值点，也是ℎ(a)的最小值点，即[ℎ(a)]min =ℎ(2e)=−lne+12e=−1e ，所以k ≥−1e ，故实数k 的取值范围是[−1e ,+∞)．【解析】(Ⅰ)先确定函数f(x)的定义域，当a=2e时，f(x)=ex−lnx，求导分析单调性可得f(x)的最小值为2，故存在唯一的x0的值，使得f(x0)=2．)=1+ka+ln(a−e)≥0.②再(Ⅱ)分两步①先探究g(x)≥0，对任意的x∈(0,+∞)恒成立，得[g(x)]min=g(1a−e成立，只需k≥ℎ(a)min即可．来探究：存在a∈(e,+∞)，使得k≥−ln(a−e)+1a本题考查恒成立问题，存在性问题，导数的综合应用，属于中档题．。
浙江省杭州第四中学2019-2020学年高考考前提分仿真卷含解析〖附15套高考模拟卷〗
且 PD 2DN ，则三棱锥 D MBC 的体积为____．
15．已知 a, b 是单位向量， a
b
0
，若向量 c
满足
c
a
b
1
，则
c
的最大值是__________.
x y 1
16．已知实数
x，y
满足
x x
y 0
1
，则
2
x
y x
2
的最小值为______．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
y sin
（ 为参数），以 O 为极点，x 轴的非
负半轴为极轴建立极坐标系.求圆
C
的极坐标方程；直线
l
的极坐标方程是
2
sin
3
3
3
，射线
OM
:
3
与圆
C
的交点为
O、P，与直线
l
的交点为
Q，求线段
PQ 的长.
20．（12 分）已知四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是等腰梯形，AB / /CD ，AC BD O ，PB AC ，
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知 a, b 都是实数， p ：直线 x y 0 与圆 x a2 y b2 2 相切；q ： a b 2 ，则 p 是 q 的
()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．甲乙等 4 人参加 4100 米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是（ ）
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：
2020-2021学年浙江省杭州市高三高考数学仿真模拟检测试卷19及答案解析
高考模拟试卷 数学卷（理科）本试卷分第I 卷和第II 卷两部分．考试时间120分钟，满分150分．请考生按规定用笔将所有试题的答案写在答题纸上． 参考公式：球的表面积公式 棱柱的体积公式 24S R π= V Sh =球的体积公式 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 343V R π= 棱锥的体积公式其中R 表示球的半径 ()112213V h S S S S =++棱锥的体积公式 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高 13V Sh = h 表示棱锥的高其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高第Ⅰ卷（选择题部分 共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.（原创题）在空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（1,0,2），（1,2,0），（1,2,1），（0,2,2），该四面体正视图面积为1S 、侧视图面积为2S 、俯视图面积为3S ，则321S S S 、、的大小关系是（ ） （A ）231S S S >> （B ）321S S S >> （C ）321S S S == （D ）321S S S >= 【命题意图】：考查用平行投影解决三视图的问题，属容易题。
2.（原创题）已知函数)(x f y =是定义在R 上的偶函数，对于R x ∈∀，都有)2()()4(f x f x f +=+成立，若[]0)()(,2,0,21112121<--≠∈x x x f x f x x x x 时，都有且，则函数)(x f y =在[]4,4-上有（ ）个零点.（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【命题意图】：考查函数的基本性质，属容易题。
3.（2015德州模拟改编）已知向量AB 与AC 的夹角为o 60，且2||||==,若,+=λ且⊥,则实数λ的值是（ ）（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 【命题意图】：考查用平面向量解决简单的几何问题，属容易题。
2020年普通高等学校招生全国统一考试高考仿真模拟卷数学(浙江专用)试题(四)含解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试高考仿真模拟卷(四)(时间：120分钟；满分：150分)第Ⅰ卷(选择题，共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{x |x －1>0}，C ＝{x |y ＝x －1，y ∈A }，则(A ∩B )∪C ＝( ) A ．{2，3，4} B ．{2，3，4，5，6} C ．{0，1，2，3，4，5}D ．{3，4，5}2．若复数z 满足方程z ＝(z ＋1)i(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数z 对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象经下列怎样的平移后所得的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π12，0中心对称( ) A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度5．在△ABC 中，D 是线段BC 上一点(不包括端点)，AD →＝λAB →＋(1－λ)AC →，则( ) A ．λ<－1 B ．－1<λ<0 C ．0<λ<1D ．λ>16.如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数为( )A ．24B ．48C ．96D ．1207．已知某三棱锥的三视图如图所示，其中每个小正方形的边长都为1.三棱锥上的点M 在俯视图上的对应点为A ，点N 在左视图上的对应点为B ，则线段MN 的长度的最大值为( )A ．3 3B ．3 2C ．9D ．68．已知数列{a n }为等差数列，且a 8＝1，则2|a 9|＋|a 10|的最小值为( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．09．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)经过等腰梯形ABCD 的上底的两个顶点C 、D ，下底的两个顶点A 、B分别为双曲线的左、右焦点，对角线AC 与双曲线的左支交于点E ，且3|AE |＝2|EC |，|AB |＝2|CD |，则该双曲线的离心率是( )A. 2 B ． 3 C. 5D ．710．记min{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤y ，y ，x >y ，已知函数F (x )＝min{2x ，x 2}( )A ．若F (a )≤b 2，则a ≤bB ．若F (a )≤2b ，则a ≤bC ．若F (a )≥b 2，则a ≥bD ．若F (a )≥2b ，则a ≥b第Ⅱ卷(非选择题，共110分)二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分． 11．双曲线x 24－y 2＝1的实轴长是________，焦点到渐近线的距离是________．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x，x ≤0，1－3x ，x >0，则f (f (－1))＝________；若f (2a 2－3)>f (5a )，则实数a 的取值范围是________．13．在(2－x )6的展开式中，含x 3项的二项式系数为________，系数为________．(均用数字作答) 14．已知一个袋子中装有4个红球和2个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的．若从袋子中摸出3个球，记摸到白球的个数为ξ，则ξ＝1的概率是________，随机变量ξ的均值是________．15．已知x ，y ，z 均为实数，且满足x 2＋2y 2＋z 2＝1，则5xy ＋2yz ＋2z 2的最大值为________． 16．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋4≥0x ＋y ≥0x ≤3，则z ＝|2x －y |的最大值为________．17．在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点M 是棱AD 的中点，点P 是线段CD 1(不包括点C )上的动点，点Q 是线段CM 上的动点，设直线PQ 与平面ABCD 所成的角为θ，则tan θ的最大值为________．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．(本题满分14分)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝sin(B －C )． (1)求角C 的大小；(2)若c ＝2，当sin A ＋cos(7π12－B )取得最大值时，求A ，a 的值．19.(本题满分15分)如图，三棱柱ABC A 1B 1C 1所有的棱长均为1，A 1C 1⊥B 1C .(1)求证：A 1B ⊥AC ；(2)若A 1B ＝1，求直线A 1C 1和平面ABB 1A 1所成角的余弦值．20．(本题满分15分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，且点(2，a 2)，(a 7，S 3)均在直线x －y ＋1＝0上．(1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)设b n ＝22S n －n ，T n ＝2b 1·2b 2·…·2b n ，证明T n <2 2.21.(本题满分15分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，上顶点为B ，直线AB 的斜率为66，坐标原点O 到直线AB 的距离为427. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否在圆O ：x 2＋y 2＝b 2上存在点D ，使得圆O 过D 的切线与椭圆C 交于点P ，Q ，线段PQ 的中点为M ，直线PQ 与OM 的夹角为45°？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，说明理由．22．(本题满分15分)已知函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ，其中a 为实常数．(1)若x ＝12是f (x )的极大值点，求f (x )的极小值；(2)若不等式a ln x －1x ≤b －x 对任意－52≤a ≤0，12≤x ≤2恒成立，求b 的最小值．高考仿真模拟卷(四)1．解析：选B.由题意知，B ＝{x |x >1}，C ＝{2，3，4，5，6}，所以(A ∩B )∪C ＝{2，3，4，5}∪{2，3，4，5，6}＝{2，3，4，5，6}，故选B.2．解析：选C.由于z ＝(z ＋1)i ，则(1－i)z ＝i ，所以z ＝i 1－i ＝i （1＋i ）2＝－12＋12i ，所以z ＝－12－12i ，对应点的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，－12在第三象限．故选C. 3．解析：选C.因为函数f (x )＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x <0，x 2，x ≥0在定义域R 上单调递增，所以当a >b 时，f (a )>f (b )，即a |a |>b |b |，所以充分性成立；当a |a |>b |b |时，a >b ，所以必要性成立．故选C.4．解析：选B.假设将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象平移ρ个单位长度得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2ρ＋π3关于点⎝⎛⎭⎫－π12，0中心对称，所以将x ＝－π12代入得到sin ⎝⎛⎭⎫－π6＋2ρ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2ρ＝0， 所以π6＋2ρ＝k π，k ∈Z ，所以ρ＝－π12＋k π2，当k ＝0时，ρ＝－π12.5．解析：选C.根据平面向量加法运算的平行四边形法则，可知⎩⎪⎨⎪⎧0<λ<10<1－λ<1，所以0<λ<1，故选C.6．解析：选C.依题意，设题目中的4种不同的颜色分别为a ，b ，c ，d ，注意到满足题意的方法中顶点A ，B ，E 的颜色互不相同，下面进行分步计数：第一步，确定涂顶点A ，B ，E 处(不妨设顶点A ，B ，E 处的颜色分别为a ，b ，c )，相应的方法数为A 34＝24；第二步，确定涂顶点C ，D 的颜色的方法种数，相应的方法数为4(分别为(C ，D )＝(a ，b )，(a ，d )，(d ，a )，(d ，b ))．根据分步乘法计数原理知，满足题意的不同的涂色方法种数为24×4＝96，选C.7．解析：选A.根据题意及三视图，在棱长为3的正方体中还原该几何体的直观图，为如图所示的三棱锥P CNE .由题意知M 在PC 上，则线段MN 长度的最大值即PN 的长，故线段MN 长度的最大值为3 3.8．解析：选C.a 9＝a 8＋d ＝1＋d ，a 10＝a 8＋2d ＝1＋2d ， 2|a 9|＋|a 10|＝2|1＋d |＋|1＋2d |＝2(|1＋d |＋|12＋d |)，所以当d ∈⎣⎡⎦⎤－1，－12时，原式取到最小值1.故选C. 9．解析：选D.由题意可知，A (－c ，0)，B (c ，0)，又点C 在双曲线上，ABCD 为等腰梯形，|AB |＝2|CD |，所以点C 的横坐标为c 2，不妨设C ⎝⎛⎭⎫c 2，y 0，由3|AE |＝2|EC |可知AE →＝23EC →，得E ⎝⎛⎭⎫－2c 5，2y 05，从而满足⎩⎨⎧c 24a 2－y 20b2＝1，4c 225a 2－4y 2025b2＝1，消去y 20b 2，得c2a2＝7，所以该双曲线的离心率为7.10．解析：选D.在平面直角坐标系内画出函数y ＝2x 和函数y ＝x 2的图象，易得两函数图象有三个交点，设从左至右交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，则由图易得F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ∈（－∞，x 1]∪[x 2，x 3]，x 2，x ∈（x 1，x 2）∪（x 3，＋∞），画出函数y ＝2x 和y ＝F (x )的图象，过函数y ＝2x 的图象上任意一点(b ，2b )作x 轴的平行线l ，由图易得在函数y ＝F (x )的图象上，位于直线l 和直线l 上方的点均在x ＝b 的右侧，所以若F (a )≥2b ，则a ≥b ，故选D.11．解析：因为a 2＝4，b 2＝1，所以实轴长2a 等于4，焦点到渐近线的距离为b 等于1. 答案：4 112．解析：f (－1)＝⎝⎛⎭⎫12－1＝2，所以f (f (－1))＝f (2)＝1－3×2＝－5.作出函数图象，由图象可知函数f (x )在定义域上单调递减，所以由f (2a 2－3)>f (5a )得，2a 2－3<5a ，即2a 2－5a －3<0，解得－12<a <3，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，3. 答案：－5 ⎝⎛⎭⎫－12，3 13．解析：依题意，(2－x )6的展开式的通项T r ＋1＝C r 6·26－r ·(－x )r ＝C r 6·26－r ·(－1)r ·x r ，因此在(2－x )6的展开式中，含x 3项的二项式系数为C 36＝20，系数为C 36·23·(－1)3＝－160.答案：20 －16014．解析：依题意得，ξ的所有可能取值分别是0，1，2，P (ξ＝0)＝C 34C 36＝15，P (ξ＝1)＝C 24·C 12C 36＝35，P (ξ＝2)＝C 14·C 22C 36＝15，因此随机变量ξ的均值是E (ξ)＝0×15＋1×35＋2×15＝1.答案：35115．解析：由题意可知，1＝x 2＋2y 2＋z 2＝x 2＋25y 2＋85y 2＋15z 2＋45z 2≥225xy ＋425yz ＋45z 2＝225(5xy ＋2yz ＋2z 2)，即5xy ＋2yz ＋2z 2≤522＝524，故5xy ＋2yz ＋2z 2的最大值为524，当且仅当x ＝126，y ＝5213，z ＝1013时取等号． 答案：52416．解析：依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线2x －y ＝0，平移该直线，当直线经过平面区域内的点(－2，2)时，相应直线在y 轴上的截距最大，此时2x －y 取得最小值，最小值是－6；当直线经过平面区域内的点(3，－3)时，相应直线在y 轴上的截距最小，此时2x －y 取得最大值，最大值是9，因此2x －y 的取值范围是[－6，9]，z ＝|2x －y |的取值范围是[0，9]，z ＝|2x －y |的最大值是9.答案：917．解析：如图，过P 作PN ⊥CD 于N ，连接QN ，则直线PQ 与平面ABCD 所成的角θ即∠PQN ，所以tan θ＝PNQN ，结合图形可知，对于线段CD 1上的任意点P ，作PN ⊥CD ，在线段CM 上均存在点Q ，使得QN ⊥CM ，此时tan θ取得最大值．不妨取点P 运动到D 1点，此时N 在D 点，则PN ＝1，又DM ＝12，CD ＝1，所以CM＝52，QN ＝55， 所以(tan θ)max ＝155＝ 5. 答案：518．解：(1)在锐角△ABC 中，cos A ＝－cos(B ＋C )＝sin(B －C )， 所以sin B cos C －cos B sin C ＋cos B cos C －sin B sin C ＝0， 即sin B (cos C －sin C )＋cos B (cos C －sin C )＝0， 所以(sin B ＋cos B )(cos C －sin C )＝0.因为A ，B ，C 均为锐角，所以sin B ＋cos B >0， cos C －sin C ＝0，tan C ＝1，故C ＝π4.(2)由(1)知，A ＋B ＝3π4.由⎩⎨⎧0<A <π20<3π4－A <π2， 得π4<A <π2. sin A ＋cos(7π12－B )＝sin A ＋cos[7π12－(3π4－A )]＝sin A ＋cos(A －π6)＝sin A ＋32cos A ＋12sin A ＝32sin A ＋32cos A ＝3(sin A ·32＋cos A ·12)＝3sin(A ＋π6)． 由于π4<A <π2，所以5π12<A ＋π6<2π3，故当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，sin A ＋cos(7π12－B )取得最大值 3.由正弦定理a sin π3＝c sin π4＝222＝2，得a ＝ 3.19．解：(1)取AC 中点O ，连接A 1O ，BO ，所以BO ⊥AC .连接AB 1交A 1B 于点M ，连接OM ，则B 1C ∥OM . 因为A 1C 1∥AC ，A 1C 1⊥B 1C ， 所以AC ⊥OM .又因为OM ⊆面A 1BO ，OB ⊆面A 1BO ，所以AC ⊥面A 1BO ，所以A 1B ⊥AC .(2)因为A 1C 1∥AC ，所以直线A 1C 1和平面ABB 1A 1所成角等于直线AC 和平面ABB 1A 1所成角． 因为三棱柱ABC A 1B 1C 1所有的棱长均为1，故A 1B ⊥AB 1， 因为A 1B ⊥AC ，所以A 1B ⊥面AB 1C ， 所以面AB 1C ⊥面ABB 1A 1.因为面AB 1C ∩面ABB 1A 1＝AB 1，所以AC 在平面ABB 1A 1的射影为AB 1， 所以∠B 1AC 为直线AC 和平面ABB 1A 1所成角． 因为AB 1＝2AM ＝2AB 2－BM 2＝3，由于A 1C 1⊥B 1C ，所以AC ⊥B 1C ，所以在Rt △ACB 1中，cos ∠B 1AC ＝AC AB 1＝13＝33.所以直线AC 和平面ABB 1A 1所成角的余弦值为33， 即直线A 1C 1和平面ABB 1A 1所成角的余弦值为33. 20．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d .由点(2，a 2)，(a 7，S 3)均在直线x －y ＋1＝0上，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，a 7－S 3＋1＝0.又S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 2，所以a 7＝8.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3，a 1＋6d ＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝1. 所以a n ＝n ＋1，S n ＝n （n ＋3）2.(2)证明：b n ＝22S n －n ＝2n （n ＋2）＝1n －1n ＋2.令P n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，则P n ＝1－13＋12－14＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2＝32－1n ＋1－1n ＋2，因为n ∈N *，所以P n <32，所以T n ＝2b 1·2b 2·…·2b n ＝2b 1＋b 2＋…＋b n ＝2P n <232，所以T n <2 2.21．解：(1)已知b a ＝66，而直线AB 的方程为－x a ＋yb ＝1，由题意11a 2＋1b 2＝427，从而a ＝427·1＋a 2b2＝427·1＋⎝⎛⎭⎫662＝6，b ＝66a ＝1.故椭圆C 的标准方程为x 26＋y 2＝1.(2)设点D (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝1.由题意知y 0≠0，从而直线PQ 的斜率k ＝－x 0y 0，故直线PQ 的方程可写为y ＝1y 0(1－x 0x )，代入椭圆C 的方程并整理得1＋5x 206x 2－2x 0x ＋x 20＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝6x 01＋5x 20， 从而y 1＋y 22＝1y 0⎝⎛⎭⎫1－x 0·x 1＋x 22＝y 01＋5x 20， 所以M ⎝⎛⎭⎫6x 01＋5x 20，y 01＋5x 20.若直线PQ 与OM 的夹角为45°，则△ODM 是等腰直角三角形， 从而|OM |＝2，即⎝⎛⎭⎫6x 01＋5x 202＋⎝⎛⎭⎫y 01＋5x 202＝2，化简得50x 40－15x 20＋1＝0，解得x 20＝110或x 20＝15. 经检验符合题意，所以存在满足题设要求的点D ，其横坐标可为±1010，±55. 22．解：(1)f ′(x )＝x 2＋ax ＋1x 2， 因为x >0，由f ′⎝⎛⎭⎫12＝0，得⎝⎛⎭⎫122＋12a ＋1＝0，所以a ＝－52， 此时f(x)＝－52ln x ＋x －1x . 则f′(x)＝x 2－52x ＋1x 2＝（x －2）⎝⎛⎭⎫x －12x2. 所以f(x)在⎣⎡⎦⎤12，2上为减函数，在[2，＋∞)上为增函数． 所以x ＝2为极小值点，极小值f(2)＝32－5ln 22.(2)不等式aln x －1x≤b －x ，即f(x)≤b.所以b ≥f max (x)．(ⅰ)若1≤x ≤2，则ln x ≥0，f(x)＝aln x ＋x －1x ≤x －1x ≤2－12＝32.当a ＝0，x ＝2时取等号；(ⅱ)若12≤x<1，则ln x<0，f(x)＝aln x ＋x －1x ≤－52ln x ＋x －1x.由(1)可知g(x)＝－52ln x ＋x －1x 在⎣⎡⎦⎤12，1上为减函数． 所以当12≤x ≤1时，g(x)≤g ⎝⎛⎭⎫12＝52ln 2－32.因为52ln 2－32<52－32＝1<32，所以f max (x)＝32，于是b min ＝32.。
【精品高考数学】[2020年浙江高考仿真模拟卷-数学]+答案
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2020年浙江高考仿真模拟卷数学2020.4一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2．若复数，则在复平面内对应的点位于 ( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为圆周，则该不规则几何体的体积为（）A．B．C．D．4．已知双曲线的一条渐近线过点，则C的离心率为A．B．C．D．35函数的部分图象大致是（）A．B．C．D．6．已知α，β，γ为平面，是直线，若α∩β＝，则“α⊥γ，β⊥γ”是“⊥γ”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．已知随机变量的分布列如下表：X -1 0 1P a b c其中.若的方差对所有都成立，则( )A． B． C． D．8．如图，平面四边形中，，是，中点，，，，将沿对角线折起至，使平面平面，则四面体中，下列结论不正确的是（）A．平面B．异面直线与所成的角为C．异面直线与所成的角为D．直线与平面所成的角为9．已知是边长为的正三角形，且，，设，当函数的最大值为-2时，（）A．B．C．D．10．已知等差数列满足，，数列满足，记数列的前项和为，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数物价各几何？”借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物品，每人出8元，则付完钱后还多3元；若每人出7元，则还差4元才够付款.问他们的人数和物品价格？答：一共有_____人；所合买的物品价格为_______元．12．在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积等于______，的取值范围是______.13．在 ABC 中，C＝45°，AB＝6 ，D 为 BC 边上的点，且AD＝5，BD＝3 ，则cos B＝_____ ，AC＝_____．14．若的展开式中，的系数为6，则______，常数项的值为______．15．已知奇函数是定义在R上的单调函数，若函数恰有4个零点，则a的取值范围是______．16．某校举行“我爱我的祖国”征文比赛，从名获得一等奖的同学中选出名同学发表获奖感言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，则不同发言顺序的种数为_____．（用数字作答）17．如图，，分别是椭圆的左、右顶点，圆的半径为2，过点作圆的切线，切点为，在轴的上方交椭圆于点，则_______．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间[]上的最大值和最小值.19．如图，三棱柱中，分别为棱的中点.（1）在上确定点M，使平面，并说明理由.（2）若侧面侧面，求直线与平面所成角的正弦值.20．已知等差数列的前项和为，，公差，且，，成等比数列，数列满足，的前项和为.（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）记，试比较与的大小.21．已知抛物线，准线方程为，直线过定点，且与抛物线交于两点，为坐标原点．(1)求抛物线方程；(2)是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；(3)当时，设，记，求的最小值及取最小值时对应的．22．已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若不等式时恒成立，求的取值范围．2020年浙江高考仿真模拟卷数学2020.4一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【解析】选B.2．若复数，则在复平面内对应的点位于 ( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】＝，对应的点为（），在第四象限故选：D3．我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为圆周，则该不规则几何体的体积为（）A．B．C．D．【解析】根据三视图知，该几何体是三棱锥与圆锥体的组合体，如图所示；则该组合体的体积为；所以对应不规则几何体的体积为．故选：B．4．已知双曲线的一条渐近线过点，则C的离心率为A．B．C．D．3 【解析】双曲线的渐近线方程为，由题意可得，可得，则双曲线的离心率为．故选：C．5函数的部分图象大致是（）A．B．C．D．【解析】由题知，的定义域为，且，所以是奇函数，排除C和D，将代入得，排除B,故选A.6．已知α，β，γ为平面，是直线，若α∩β＝，则“α⊥γ，β⊥γ”是“⊥γ”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由α⊥γ，β⊥γ，在γ内任取一点P，过P作a垂直于α，γ的交线，则a⊥α，又α，则a⊥，同理，在γ内过P作b垂直于β，γ的交线，则b⊥，可推出l⊥γ，反过来，若l⊥γ，α∩β＝l，根据面面垂直的判定定理，可知α⊥γ，β⊥γ，故“α⊥γ，β⊥γ”是“l⊥γ”的充要条件，故选：C．7．已知随机变量的分布列如下表：X -1 0 1P a b c其中.若的方差对所有都成立，则( )A． B． C． D．【解析】由的分布列可得：的期望为，，所以的方差，因为所以当且仅当时，取最大值，又对所有都成立，所以只需，解得，所以.故选D8．如图，平面四边形中，，是，中点，，，，将沿对角线折起至，使平面平面，则四面体中，下列结论不正确的是（）A．平面B．异面直线与所成的角为C．异面直线与所成的角为D．直线与平面所成的角为【解析】A选项：因为，分别为和两边中点，所以，即平面，A正确；B选项：因为平面平面，交线为，且，所以平面，即，故B正确；C选项：取边中点，连接，，则，所以为异面直线与所成角，又，，，即，故C错误，D选项：因为平面平面，连接，则所以平面，连接FC，所以为异面直线与所成角，又，∴,又， sin=，∴,D正确，故选C.9．已知是边长为的正三角形，且，，设，当函数的最大值为-2时，（）A．B．C．D．【解析】由题得，=，所以当时，的最大值为.故选：C10．已知等差数列满足，，数列满足，记数列的前项和为，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【解析】由题意得，则，等差数列的公差，.由，得，则不等式恒成立等价于恒成立，而，问题等价于对任意的，恒成立.设，，则，即，解得或.故选:A.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数物价各几何？”借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物品，每人出8元，则付完钱后还多3元；若每人出7元，则还差4元才够付款.问他们的人数和物品价格？答：一共有_____人；所合买的物品价格为_______元．【解析】设共有人，由题意知，解得，可知商品价格为53元.即共有7人，商品价格为53元.12．在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积等于______，的取值范围是______.【解析】不等式组表示的可行域如图，三条直线围成的三角形，可得C（1，0），可得B（1，4），解得A（0，1）区域面积为：×4×1＝2．目标函数,根据图像得到过点A时取得最小值1，过点B时取得最大值6.故答案为：(1)2;(2).13．在 ABC 中，C＝45°，AB＝6 ，D 为 BC 边上的点，且AD＝5，BD＝3 ，则cos B＝_____ ，AC＝_____．【解析】∵AB＝6，AD＝5，BD＝3，在△ABD中，余弦定理cos B，∴sin B．正弦定理：，可得：AC．故答案为：，．14．若的展开式中，的系数为6，则______，常数项的值为______．【解析】的展开式的通项公式为，令，求得，可得的系数为，．令，求得，可得常数项的值为，故答案为：1；15．15．已知奇函数是定义在R上的单调函数，若函数恰有4个零点，则a的取值范围是______．【解析】由题意，因为，是偶函数，若恰有4个零点，等价为当时，有两个不同的零点，是奇函数，由，得，是单调函数，，即，当时，有两个根即可，当时，等价为，，设，要使当时，有两个根，则，即，即实数a的取值范围是，故答案为：16．某校举行“我爱我的祖国”征文比赛，从名获得一等奖的同学中选出名同学发表获奖感言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，则不同发言顺序的种数为_____．（用数字作答）【解析】第一步：先选人，甲、乙至少有一人参加，用间接法，有第二步，将人排序，有故不同发言顺序的种数为.故答案为：17．如图，，分别是椭圆的左、右顶点，圆的半径为2，过点作圆的切线，切点为，在轴的上方交椭圆于点，则_______．【解析】连结，可得是边长为2的等边三角形，所以，可得直线的斜率，直线的斜率为，因此，直线的方程为，直线的方程为，设，由解得，因为圆与直线相切于点，所以，因此，故直线的斜率，因此直线的方程为，代入椭圆方程，消去得，解得或，因为直线交椭圆于与点，设，可得，由此可得.故答案为三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间[]上的最大值和最小值.【解析】解(Ⅰ)====.所以的最小正周期为.（Ⅱ）因为,所以.于是,当,即时,取得最大值;当,即时,取得最小值.19．如图，三棱柱中，分别为棱的中点.（1）在上确定点M，使平面，并说明理由.（2）若侧面侧面，求直线与平面所成角的正弦值.【解析】(1)取BC中点M,连接AM,则AM∥平面PQB1；如图所示，取BB1中点N，连结AM,AN，为平行四边形，点N,P为中点，则，由线面平行的判定定理可得平面PQB1，同理可得，平面PQB 1，据此可得平面AMN∥平面PQB1，故平面.(2)作QO⊥平面ABB1A1,与A1A延长线交于O,则，，，，，，.作PN∥C1A1,则直线A1C1与平面PQB1所成角即直线PN与平面PQB1所成角，.设N到平面PQB1的距离为h,则，∴直线A1C1与平面PQB1所成角的正弦值为：.20．已知等差数列的前项和为，，公差，且，，成等比数列，数列满足，的前项和为.（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）记，试比较与的大小.【解析】（Ⅰ）由已知得，即，又，∴，∴，.由得.时，.∴，显然也满足，∴.（Ⅱ），，，当时，，，当时，，，当时，，∴.综上，当时，；当时.21．已知抛物线，准线方程为，直线过定点，且与抛物线交于两点，为坐标原点．(1)求抛物线方程；(2)是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；(3)当时，设，记，求的最小值及取最小值时对应的．【解析】（1）……①（2）设，据题意知直线的斜率存在，设②联立①②得，=.由于T（0，t）为定点，故t为定值，为定值. （3）,,,,由（2）知，，且，又，当时，，，，；当时，，符合上式.，令，则，，当即时，22．已知函数．(1)求函数的单调区间；(2)若不等式时恒成立，求的取值范围．【解析】（l），①若，，在上单调递增；②若,当时，，当时，，所以是函数的单调递增区间，是函数的单调减区间，综上所述，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由题意可知，不等式可转化为在时恒成立，令，，①若，则，在上单调递减，所以，不等式恒成立等价于，即；②若，则，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，所以，不符合题意；③若，当时，，在上单调递增，所以，不符合题意；综上所述，.。
2020-2021学年浙江省杭州市高三高考数学仿真模拟检测试卷20及答案解析
高考模拟试卷数学卷（文）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上.2.选择题部分每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上3. 本试卷分选择题和非选择题两部分，考试时间120分钟，请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写到答题纸上选择题部分一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.(改编于2015年湖北省七市（州）高三联考)集合{|sin R}{|24}xM x x N x θθ==∈=≤≤，，，则M N =I （ ）A ．1[2]2， B ．[13]，- C ．1[1]2，- D ．1[1]2， 2.(选于2015年浙江省高考卷)某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）,则该几何体的体积是（ ）A ．38cmB ．312cmC ．332cm 3D ．340cm 33.（改编于金丽衢十二校2015学年首次联考试题）设两直线1:(3)453l m x y m ++=-与2:2(5)8l x m y ++=，则“12l l ⊥”是“1m <-”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(改编于丽水一模卷) 命题“0)()(≠∈∃x f x g x R,”的否定是（ ） A ．0)(00≠∈∃x f x R,且0)(0=x g B ．0)(00≠∈∃x f x R,或0)(0=x g C ．0)(≠∈∀x f x R,且0)(=x gD ．0)(≠∈∀x f x R,或0)(=x g俯视图正视图侧视图5.(改编于2015年嘉兴一模卷)设{}n a 是等差数列，下列结论中正确的是 A ．若021>a a ，则032>a a B ．若031<a a ，则021<a a C ．若21a a <，则3122a a a < D ．若21a a ≥，则3122a a a ≥ 6．(选于2015年嵊州市市一模) 函数()sin =1xf x x +的图象大致为7.（原创试题）若椭圆的一个焦点是由椭圆的三个顶点构成的三角形的垂心，则椭圆的离心率为（ ） A.5+1 B.51- C.62+ D.62- 8．(选于2015学年嘉兴一模卷)若平面点集M 满足：任意点M y x ∈),(，存在),0(+∞∈t ，都有M ty tx ∈),(，则称该点集M 是“t 阶聚合”点集．现有四个命题：①若}2|),({x y y x M ==，则存在正数t ，使得M 是“t 阶聚合”点集； ②若}|),({2x y y x M ==，则M 是“21阶聚合”点集； ③若}042|),({22=+++=y x y x y x M ，则M 是“2阶聚合”点集； ④若}1|),({22≤+=y x y x M 是“t 阶聚合”点集，则t 的取值范围是]1,0(． 其中正确命题的序号为 A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．③④非选择题部分二、填空题（本大题共7小题，9-12每题6分，13-15每题4分，共36分.）A ．B ．C ．D9.（改编于考试说明参考样卷）函数x x x f cos sin 3)(⋅=的最小正周期为 ，)(x f 的最小值是 ，单调递减区间为 ．10.（改编于课本题）已知圆222:245250C x y ax ay a +-++-=的圆心在直线1:20l x y ++=上，则a = ；圆C 被直线2:3450l x y +-=截得的弦长为 .11.（原创试题）设函数()()()2log 0()0x x f x g x x >⎧⎪=⎨<⎪⎩，则2f ⎛= ⎝⎭___ __，若()f x 为奇函数，则1()4g -= ．12.（选于陈美葱老师金华市名校高三数学试题选讲）设平面向量()1,2,3,i a i =u r L 满足1i a =u r 且120a a ⋅=u r u u r，则12a a +=u r u u r ，123a a a ++u r u u r u u r 的最大值为 .13.（原创试题）随机选取两个小于1正数,x y ，并且两数能与1构成钝角三角形，则动点(),x y 轨迹的面积为 .14.(改编于2015年湖北省七市（州）高三联考)已知点()(0)F c c ，0->是双曲线22221x y a b-=的左焦点，离心率为e ，过F 且平行于双曲线渐近线的直线与圆222x y c +=交于点P ，且P 在抛物线24y cx =上，则2e = .15.(选于2015年湖南高三四校联考)已知函数()()22f x x ax b x R =-+∈，给出下列命题： ①,a R ∃∈使得()f x 为偶函数；②若()()02f f =，则()f x 的图象关于1x =对称； ③若20a b -≤，则()f x 在区间[,)a +∞上是增函数；④若220a b -->，则函数()()2h x f x =-有2个零点.其中正确命题的序号为 .三、解答题：（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16．(改编于2015年杭州命题比赛试卷)（本小题满分15分） 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为c b a ,,，且()222sin cos cos ac A Ab ac A C =--+ （1）求角A ； （2）若2=a ，求BC 边上中线长最大时的三角形面积．17．（原创试题）（本小题满分14分） 若数列{}n x 满足：111n nd x x +-=（d 为常数，*n N ∈），则称{}n x 为调和数列.已知数列{}n a 为调和数列，且11a =，123451111115a a a a a ++++=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，是否存在正整数n ，使得2015n S ≥？若存在，求出n 的取值集合；若不存在，请说明理由.18．(改编于2015年湖南高三四校联考卷)（本小题满分15分）如图AB 是圆O 的直径，点C 是弧AB 上一点，VC 垂直圆O 所在平面，D ，E 分别为VA ，VC 的中点. （1）求证：DE ⊥平面VBC ；（2）若6VC CA ==，圆O 的半径为5，求BE 与平面BCD 所成角的正弦值.19．(改编于2004年福建高考卷)（本小题满分15分）如图，p是抛物线C：212y x=上一点，直线l过点p且与抛物线C交于另一点Q.（1）若直线l与过点p的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；（2）若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求QST STSP S+的取值范围.20．(改编于温州一模卷)（本小题满分15分）已知()||,=-+∈Rf x x x a b x.(1)当2a=时,关于x的方程()29f x=-有且仅有三个不同的实数根123,,x x x，求实数b的取值范围;(2)若0b<,且对任何]1,0(∈x不等式()0f x<恒成立,求实数a的取值范围.高考模拟试卷数学卷答卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案9． 10． 11 12．13． 14． 15．三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分15分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为c b a ,,，且()222sin cos cos ac A Ab ac A C =--+ （1）求角A ； （2）若2=a ，求BC 边上中线长最大时的三角形面积．17．（本题满分14分）若数列{}n x 满足：111n nd x x +-=（d 为常数，*n N ∈），则称{}n x 为调和数列.已知数列{}n a 为调和数列，且11a =，123451111115a a a a a ++++=. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，是否存在正整数n ，使得2015n S ≥？若存在，求出n 的取值集合；若不存在，请说明理由.18．（本小题满分15分）如图AB 是圆O 的直径，点C 是弧AB 上一点，VC 垂直圆O 所在平面，D ，E 分别为VA ，VC 的中点. （1）求证：DE ⊥平面VBC ；（2）若6VC CA ==，圆O 的半径为5，求BE 与平面BCD 所成角的正弦值.19．本小题满分15分） 如图，p 是抛物线C ：212y x =上一点，直线l 过点p 且与抛物线C 交于另一点Q.（1）若直线l与过点p的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程；（2）若直线l不过原点且与x轴交于点S，与y轴交于点T，试求QST STSP S+的取值范围.20．（本小题满分15分）已知()||,=-+∈Rf x x x a b x.(1)当2a=时,关于x的方程()29f x=-有且仅有三个不同的实数根123,,x x x，求实数b的取值范围;(2)若0b<,且对任何]1,0(∈x不等式()0f x<恒成立,求实数a的取值范围.高考模拟试卷数学卷（文）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DCACDABC9．π, 32-, 3[,],44k k k Z ππππ++∈ 10．2 , 8 11． 12-2 12． 2 ，21+13．142π-14． 512+ 15． ①③ 三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．解：（1）()222sin cos cos ac A A b a c A C =--+Q，sin cos 2cos cos ac A Aac B B∴=-----------2分 0cos ≠∴B 1cos sin 2=∴A A ，12sin =A 即，-------------------4分4,22ππ==∴A A -------------------6分（2）设BC 中点为D ,则()12AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r()()22222112244AD AB AC AB AC b c bc =++⋅=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r -------------------9分又由余弦定理可得2222b c bc +=,故()212224AD bc =+u u u r -------------------12分22222222b c bc bc bc bc +≥⇒≥⇒≤+所以222AD ≤u u u r ,此时b c ==22+分 所以212ABC S ∆=-------------------15分 17.（1）依题意1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，由123451111115a a a a a ++++=得3515a =，即313a =， 公差311112a a d -==，故1n n a =，即1n a n=.-------------------6分 （2）1212222nn S n =⨯+⨯++⨯L ①()23121222122n n n S n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯L ②①-②得()()11212222122n n n n S n n ++=⨯-+++=-⨯+L ------------11分由于n S 是递增的，当7n =时876222015S =⨯+<； 当8n =时911872222015S =⨯+>>.所以存在正整数n ，使得2015n S ≥，的取值集合为{}|8,n n n N +≥∈------------14分18．（1）证明：∵,D E 分别为,VA VC 的中点∴DE ∥AC ----------------------------------------------2分 ∵AB 为圆O 的直径∴AC BC ⊥----------------------------------------------4分 又VC ⊥圆O∴VC AC ⊥----------------------------------------------6分 ∴DE BC ⊥，DE VC ⊥，又VC BC C =I ∴DE VBC ⊥面--------------------7分 （2）设点E 到平面BCD 的距离为d ，设BE 与平面BCD 所成角为θ，则19．解：（1）设112200(,),(,),(,)P x y Q x y M x y ，依题意1120,0,0x y y ≠>>， 易得直线y消去x（Ⅱ）设直线:l y kx b =+，依题意0,0k b ≠≠，则()0,T b ， 分别过,P Q 作PP x '⊥轴，QQ y '⊥轴，垂足分别为P '，Q '，由21,2y x y kx b ==+消去x ，得()22220y k b y b -++=， 则()2212122,y y k b y y b +=+=，-------------------------11分1211222ST b b S y y Q ⎛⎫=+≥== ⎪⎝⎭，-----14分 ∵12,y y 可取一切不相等的正数，)2,+∞.-----------15分20．解:(1)作图易得911<<-b 分 (2)当(]0,1x ∈,此时原不等式变为||b x a x --<即b b x a x x x +<<- 故(]max min ()(),0,1b b x a x x x x+<<-∈-----------6分 又函数()b g x x x =+在(]0,1上单调递增,所以max ()(1)1b x g b x+==+;-----------8分 对于函数(](),0,1b h x x x x=-∈ ①当1b <-时,在(]0,1上()h x 单调递减,min ()(1)1bx h b x -==-,又11b b ->+,所以,此时a 的取值范围是(1,1)b b +-------------------------11分 ②当10b -≤<,在(]0,1上,()b h x x x =-≥当x =,min ()b x x-=此时要使a 存在,必须有110b b ⎧+<⎪⎨-≤<⎪⎩即13b -≤<,a的取值范围是(1b +-------14分 综上,当1b <-时,a 的取值范围是(1,1)b b +-;当13b -≤<时,a 的取值范围是(1b +;当30b ≤<时,a 的取值范围是∅---------------------15分。
浙江专用2020年高考数学仿真试卷(含两套,解析版)
浙江高考仿真卷(一)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1．已知集合A ＝{x |x 2<1}，集合B ＝{x |log 2x <0}，则A ∩B 等于( ) A ．(0,1) B ．(－1,0) C ．(－1,1) D ．(－∞，1) 答案 A解析 根据题意集合A ＝{x |－1<x <1}，集合B ＝{x |0<x <1}，∴A ∩B ＝(0,1)．2．在平面直角坐标系中，经过点P (22，－2)，渐近线方程为y ＝±2x 的双曲线的标准方程为( ) A.x 24－y 22＝1 B.x 27－y 214＝1 C.x 23－y 26＝1 D.y 214－x 27＝1 答案 B解析 ∵双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，∴设所求双曲线的标准方程为2x 2－y 2＝k .又()22，－2在双曲线上，则k ＝16－2＝14，即双曲线的方程为2x 2－y 2＝14，∴双曲线的标准方程为x 27－y 214＝1.3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则目标函数z ＝2x ＋y 的最大值是( )A ．2B ．3C ．5D ．7 答案 C解析 画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，2x －3y －9＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1， 将z ＝2x ＋y 变形为y ＝－2x ＋z ， 平移直线y ＝－2x ＋z ，由图可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点(3，－1)时， 直线在y 轴上的截距最大，即z 最大， z 的最大值为z ＝2×3－1＝5.4．若复数z 1＝2＋i ，z 2＝cos α＋isin α(α∈R )，其中i 是虚数单位，则|z 1－z 2|的最大值为 A.5－1 B.5－12 C.5＋1 D.5＋12答案 C解析 方法一 由题可得z 1－z 2＝2＋i －cos α－isin α＝2－cos α＋(1－sin α)i(α∈R )， 则|z 1－z 2|＝(2－cos α)2＋(1－sin α)2 ＝4－4cos α＋cos 2α＋1－2sin α＋sin 2α ＝6－2sin α－4cos α＝6－22＋42sin (α＋φ)＝6－25sin (α＋φ)，其中tan φ＝2，当sin(α＋φ)＝－1时， |z 1－z 2|有最大值，此时|z 1－z 2|＝6＋25＝5＋1. 方法二 ∵z 1＝2＋i ，z 2＝cos α＋isin α(α∈R )，∴z 2在复平面内对应的点在以原点为圆心，以1为半径的圆上，z 1＝2＋i 对应的点为Z 1(2,1)． 如图：则|z 1－z 2|的最大值为5＋1.5．“α≠β”是“cos α≠cos β”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 因为α＝β⇒cos α＝cos β，所以cos α≠cos β⇒α≠β (逆否命题)必要性成立，α＝－β⇒cos α＝cos β，充分性不成立，故“α≠β”是“cos α≠cos β”的必要不充分条件． 6．函数f (x )＝ln|x |x的图象大致为( )答案 A解析 函数的定义域为{x |x ≠0}，f (x )＝ln ||x x ，f ()－x ＝ln ||－x －x ＝－ln ||x x ＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，图象关于原点对称，故可排除B ；当x >1时，f (x )＝ln ||x x ＝ln xx >0，故可排除C ；当x >0时，f (x )＝ln ||x x ＝ln xx ，f ′(x )＝1－ln x x 2，显然当1<x <e 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x >e 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，可排除D ，故选A.7．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有( )A ．72种B ．144种C ．288种D ．360种 答案 B解析 第一步排语文、英语、化学、生物4科，且化学排在生物前面，有A 442＝12(种)排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空档中的2个，有A 24＝12(种)排法，所以不同的排表方法共有12×12＝144(种)． 8．已知随机变量X 的分布列如下表：其中a ，b ，c >0.若X 的方差D (X )≤13对所有a ∈(0,1－b )都成立，则( )A ．b ≤13B ．b ≤23C ．b ≥13D ．b ≥23答案 D解析 由X 的分布列可得X 的期望为E (X )＝－a ＋c ， a ＋b ＋c ＝1，所以X 的方差D (X )＝(－1＋a －c )2a ＋(a －c )2b ＋(1＋a －c )2c ＝(a －c )2(a ＋b ＋c )－2(a －c )2＋a ＋c ＝－(a －c )2＋a ＋c ＝－(2a －1＋b )2＋1－b ＝－4⎝⎛⎭⎫a －1－b 22＋1－b ，因为a ∈(0,1－b )，所以当且仅当a ＝1－b 2时，D (X )取最大值1－b ，又D (X )≤13对所有a ∈(0,1－b )都成立，所以只需1－b ≤13，解得b ≥23.9．如图所示，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为4π3的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋(球体)离蛋巢底面的最短距离为( )A.2－12 B.2＋12 C.6－12 D.3－12答案 D解析 因为蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，又因为鸡蛋的体积为4π3，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离d ＝1－14＝32，而截面到球体最低点的距离为1－32，而蛋巢的高度为12，故球体到蛋巢底面的最短距离为12－⎝⎛⎭⎫1－32＝3－12.10．设α，β是方程x 2－x －1＝0的两个不等实数根，记a n ＝αn ＋βn (n ∈N *)． 下列两个命题( )①数列{a n }的任意一项都是正整数； ②数列{a n }存在某一项是5的倍数． A ．①正确，②错误 B ．①错误，②正确 C ．①②都正确 D ．①②都错误答案 A解析 因为α，β是方程x 2－x －1＝0的两个不等实数根，所以α＋β＝1，αβ＝－1， 因为a n ＝αn ＋βn ，所以a n ＋1＝αn ＋1＋βn ＋1＝(αn ＋βn )α＋(αn ＋βn )β－βn α－αn β＝(αn ＋βn )(α＋β)－αβ(αn －1＋βn －1)＝(αn＋βn )＋(αn －1＋βn －1)＝a n ＋a n －1，即当n ≥3时，数列{a n }中的任一项都等于其前两项之和，又a 1＝α＋β＝1，a 2＝α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝3，所以a 3＝a 2＋a 1＝4，a 4＝a 3＋a 2＝7，a 5＝a 4＋a 3＝11，以此类推，即可知数列{a n }的任意一项都是正整数，故①正确，若数列{a n }存在某一项是5的倍数，则此项个位数字应当为0或5.由a 1＝1，a 2＝3，依次计算知，数列{a n }中不存在个位数字为0或5的项，②错误．二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)11．《九章算术》中记载了“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足．问人数、豕价各几何？”．其意思是“若干个人合买一头猪，若每人出100，则会剩下100；若每人出90，则不多也不少．问人数、猪价各多少？”．设x ，y 分别为人数、猪价，则x ＝________，y ＝________. 答案 10 900解析 由题意可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＋100＝100x ，y ＝90x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝900.12．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm 2，体积是________cm 3.答案 20＋45 8解析 由题意得，该几何体为三棱柱，故其表面积S ＝2×12×4×2＋22＋4×2＋2×25＝20＋45，体积V ＝12×4×2×2＝8.13．已知多项式(x ＋2)m (x ＋1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a m ＋n x m ＋n满足a 0＝4，a 1＝16，则m ＋n＝________，a 0＋a 1＋a 2＋…＋a m ＋n ＝________. 答案 5 72解析 令x ＝0，得a 0＝2m ＝4，又由二项展开式的通项公式得C m －1m ·2m －1·C n n ·1n ＋C m m ·2m ·C n －1n ·1n－1＝16，所以m ＝2，n ＝3，则m ＋n ＝5；令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a m ＋n ＝32×23＝72. 14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 为△ABC 的面积，若c ＝2a cos B ，S ＝12a 2－14c 2，则△ABC 的形状为________，C 的大小为________． 答案 等腰三角形 π4解析 在△ABC 中，由c ＝2a cos B 及正弦定理得sin C ＝2sin A cos B ，则sin(A ＋B )＝2sin A cos B ，化简得sin(A －B )＝0，那么A ＝B ，从而有a ＝b ，所以△ABC 为等腰三角形；由S ＝12a 2－14c 2及余弦定理得12ab sin C ＝12a 2－14(a 2＋b 2－2ab cos C )，化简得a 2sin C ＝a 2cos C ，又a >0，所以sin C ＝cos C ，则tan C ＝1，又C 是△ABC 的内角，故C ＝π4.15．已知x >0，y >－1，且x ＋y ＝1，则x 2＋3x ＋y 2y ＋1的最小值为________．答案 2＋ 3解析 x 2＋3x ＋y 2y ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋3x ＋⎝⎛⎭⎫y －1＋1y ＋1， 结合x ＋y ＝1可知原式＝3x ＋1y ＋1，且3x ＋1y ＋1＝⎝⎛⎭⎫3x ＋1y ＋1×x ＋()y ＋12 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋3()y ＋1x ＋x y ＋1 ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋23()y ＋1x ×x y ＋1＝2＋3， 当且仅当x ＝3－3，y ＝－2＋3时等号成立． 即x 2＋3x ＋y 2y ＋1的最小值为2＋ 3.16．已知F 1，F 2为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，点P 在椭圆C 上移动时，△PF 1F 2的内心I 的轨迹方程为____________________________． 答案 x 2＋3y 2＝1(y ≠0)解析 由题意得F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设点P (x ，y )，I (m ，n )，－2<x <2，y ≠0，则|PF 1|＝(x ＋1)2＋y 2＝(x ＋1)2＋3－3x 24＝⎪⎪⎪⎪x 2＋2＝2＋x 2，则|PF 2|＝2a －|PF 1|＝4－⎝⎛⎭⎫2＋x 2＝2－x 2，|F 1F 2|＝2c ＝2，|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|＝2a ＋2c ＝6，则由点I 为△PF 1F 2的内心结合图形(图略)得⎩⎨⎧2＋x2＝m ＋1＋1，12×n ×6＝12×2×y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2m ，y ＝3n ，代入椭圆C 的方程得三角形的内心I 的轨迹方程为m 2＋3n 2＝1(n ≠0)，即x 2＋3y 2＝1(y ≠0)．17．如图，在△ABC 中，已知AB ＝AC ＝1，∠A ＝120°，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，且AE →＝λAB →，AF →＝μAC →，其中λ，μ∈(0,1)，且λ＋4μ＝1，若线段EF ，BC 的中点分别为M ，N ，则|MN →|的最小值为________．答案77解析 连接AM ，AN (图略)，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠A ＝120°，所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos 120°＝－12，因为AM 是△AEF 的中线，所以AM →＝12(AE →＋AF →)＝12(λAB →＋μAC →)，同理可得AN →＝12()AB →＋AC →，由此可得MN →＝AN →－AM →＝12(1－λ)AB →＋12()1－μAC →，两边平方并化简得MN →2＝14(1－λ)2－14(1－λ)(1－μ)＋14(1－μ)2，由于λ＋4μ＝1，可得1－λ＝4μ，代入上式并化简得MN →2＝214μ2－32μ＋14＝214⎝⎛⎭⎫μ－172＋17，由于λ，μ∈()0，1，所以当μ＝17时，MN →2取得最小值17，所以|MN →|的最小值为77.三、解答题(本大题共5小题，共74分．)18．(14分)已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，0<ω<4，|φ|<π2过点⎝⎛⎭⎫0，12，且当x ＝π6时，函数f (x )取得最大值1.(1)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度得到函数g (x )，求函数g (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，函数h (x )＝f (x )＋g (x )＋2cos 2x －1，求h (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域． 解 (1)由题意得A ＝1，由函数过⎝⎛⎭⎫0，12得sin φ＝12，∵|φ|<π2， ∴φ＝π6.又f ⎝⎛⎭⎫π6＝1，∴π6ω＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，∵0<ω<4， ∴ω＝2，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)h (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋cos 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，π6≤2x ＋π6≤7π6，－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1， －1≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤2，所以h (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为[－1,2]． 19．(15分)如图，四棱锥P －ABCD 的底面是梯形，BC ∥AD ，AB ＝BC ＝CD ＝1，AD ＝2，PB ＝132，P A ＝PC ＝ 3.(1)证明：AC ⊥BP ；(2)求直线AD 与平面APC 所成角的正弦值． (1)证明 取AC 的中点F ，连接PF ，BF ， 由P A ＝PC 得PF ⊥AC ，由AB ＝BC ，得BF ⊥AC ， 又PF ∩BF ＝F ，∴AC ⊥平面PBF ， 又BP ⊂平面PBF ，∴AC ⊥BP .(2)解 延长BF 交AD 于点E ，过点P 作PO 垂直于平面ABCD 于点O ，由(1)易知点O 在BE 上，在△PBF 中，PB ＝132，BF ＝12，PF ＝32， 由余弦定理得cos ∠PFB ＝PF 2＋BF 2－PB 22PF ·BF ＝－12，即∠PFB ＝120°，则∠PFO ＝60°， ∴PO ＝PF ·sin 60°＝334， 由V P －ACD ＝V D －APC 得13·PO ·S △ACD ＝13·h ·S △APC ，其中h 为点D 到平面APC 的距离，解得h ＝32，设直线AD 与平面APC 所成角为θ， 则sin θ＝h AD ＝34.20．(15分)已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＝S n ＋S n －1(n ∈N *，且n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：当n ≥2时，1a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1na n <32.(1)解 由a n ＝S n ＋S n －1，得S n －S n －1＝S n ＋S n －1，即S n －S n －1＝1(n ≥2)， 所以数列{S n }是以S 1＝a 1＝1为首项，以1为公差的等差数列， 所以S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，即S n ＝n 2， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，也满足上式，所以a n ＝2n －1. (2)证明 当n ≥2时，1na n ＝1n (2n －1)<1n (2n －2)＝12·1n (n －1)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ， 所以1a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1na n<1＋12⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝32－12n <32.故当n ≥2时，1a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1na n <32.21.(15分)已知直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)恰有一个公共点P ，l 与圆x 2＋y 2＝a 2相交于A ，B 两点．(1)求k 与m 的关系式；(2)点Q 与点P 关于坐标原点O 对称．若当k ＝－12时，△QAB 的面积取到最大值a 2，求椭圆的离心率．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得(a 2k 2＋b 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2(m 2－b 2)＝0，则Δ＝(2a 2km )2－4(a 2k 2＋b 2)a 2(m 2－b 2)＝0， 化简整理，得m 2＝a 2k 2＋b 2.(2)因为点Q 与点P 关于坐标原点O 对称，故△QAB 的面积是△OAB 的面积的两倍． 所以当k ＝－12时，△OAB 的面积取到最大值a 22，此时OA ⊥OB ，从而原点O 到直线l 的距离d ＝a2， 又d ＝|m |k 2＋1，故m 2k 2＋1＝a 22.再由(1)，得a 2k 2＋b 2k 2＋1＝a 22，则k 2＝1－2b 2a 2.又k ＝－12，故k 2＝1－2b 2a 2＝14，即b 2a 2＝38，从而e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝58，即e ＝104.22．(15分)已知f (x )＝2ln(x ＋2)－(x ＋1)2，g (x )＝k (x ＋1)，k ∈R . (1)求f (x )的单调区间；(2)当k ＝2时，求证：对于任意x >－1，f (x )<g (x )恒成立；(3)若存在x 0>－1，使得当x ∈(－1，x 0)时，恒有f (x )>g (x )成立，试求k 的取值范围． (1)解 函数f (x )的定义域为(－2，＋∞)． f ′(x )＝2x ＋2－2(x ＋1)＝－2()x 2＋3x ＋1x ＋2(x >－2)，当f ′(x )>0时，x 2＋3x ＋1<0. 解得－2<x <－3＋52；当f ′(x )<0时，解得x >－3＋52.所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－3＋52，单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－3＋52，＋∞.(2)证明 设h (x )＝f (x )－g (x )＝2ln(x ＋2)－(x ＋1)2－k (x ＋1)(x >－1)， 当k ＝2时，h ′(x )＝－2(x 2＋3x ＋1)x ＋2－2＝－2(x ＋3)(x ＋1)x ＋2，∴当x >－1时，h ′(x )<0恒成立，h (x )单调递减． 又h (－1)＝0，∴当x ∈(－1，＋∞)时，h (x )<h (－1)＝0恒成立， 即f (x )－g (x )<0.∴对于任意x >－1，f (x )<g (x )恒成立．(3)解 因为h ′(x )＝－2(x 2＋3x ＋1)x ＋2－k＝－2x 2＋(k ＋6)x ＋2k ＋2x ＋2.方法一 由(2)知，当k ＝2时，f (x )<g (x )恒成立， 即对于任意x >－1,2ln(x ＋2)－(x ＋1)2<2(x ＋1)， 不存在满足条件的x 0；当k >2时，对于任意x >－1，x ＋1>0， 此时2(x ＋1)<k (x ＋1)．∴2ln(x ＋2)－(x ＋1)2<2(x ＋1)<k (x ＋1)， 即f (x )<g (x )恒成立，不存在满足条件的x 0； 当k <2时，令t (x )＝－2x 2－(k ＋6)x －(2k ＋2)， 可知t (x )与h ′(x )符号相同，当x ∈(x 0，＋∞)时，t (x )<0，h ′(x )<0， h (x )单调递减．∴当x ∈(－1，x 0)时，h (x )>h (－1)＝0， 即f (x )－g (x )>0恒成立．综上，k 的取值范围为(－∞，2)．方法二 存在x 0>－1，使得当x ∈(－1，x 0)时，恒有f (x )>g (x )成立，即h (x )>0恒成立，即h (x )>h (－1)恒成立，即当x ∈(－1，x 0)时，h ′(x )>0恒成立． 令t (x )＝－2x 2－(k ＋6)x －(2k ＋2)． 则t (－1)>0，即可解得k <2，∴k 的取值范围是(－∞，2)．浙江高考仿真卷(二)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1．设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x ∈R |－1<x <3}，则A ∩B 等于( ) A ．{1,2} B ．{1,3} C ．{2,3} D ．{1,2,3} 答案 A解 ∵集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x ∈R |－1<x <3}， ∴集合A 与集合B 公共元素组成的集合A ∩B ＝{1,2}．2．已知双曲线x 2m －y 23＝1()m >0的右顶点和抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则m 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 D解析 双曲线x 2m －y 23＝1(m >0)的右顶点为(m ，0)，抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，所以m ＝4.3．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，则函数z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．12 B.325 C ．3 D ．15答案 A解析 作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示(含边界)．由z ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z ， 平移直线y ＝－2x ＋z ，由图象可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时， 直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距最大， 此时z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，即A (5,2)， 代入目标函数z ＝2x ＋y ，得z ＝2×5＋2＝12. 即目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为12.4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为( )A ．1 B.22 C.52 D.62答案 C解析 几何体为一个四棱锥P －ABCD ，其中P A ＝3，PB ＝6，PC ＝5，PD ＝2，AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝1， 所以S △P AB ＝S △P AD ＝22，S △PDC ＝12，S △PBC ＝52，因此面积最大的侧面面积为52.5．“x <2”是“2x <1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 由2x <1得x <0，因为“x <2”是“x <0”的必要不充分条件，所以“x <2”是“2x <1”的必要不充分条件． 6．函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＋2sin x 的图象大致为( )答案 C解析 由1－x1＋x >0，得f (x )的定义域为(－1,1)，f (－x )＝ln 1＋x 1－x ＋2sin(－x )＝－ln 1－x1＋x －2sin x ＝－f (x )，∴f (x )为定义在(－1,1)上的奇函数，可排除A 和B ，又f (x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＋2sin x ，x ∈(－1,1)， 当x →1时，f (x )→－∞，可排除D.7．已知0<a <12，随机变量ξ的分布列如下：当a 增大时( ) A ．E (ξ)增大，D (ξ)增大 B ．E (ξ)减小，D (ξ)增大 C ．E (ξ)增大，D (ξ)减小 D ．E (ξ)减小 ，D (ξ)减小答案 B解析 由题意得，E (ξ)＝－a ＋12，D (ξ)＝⎝⎛⎭⎫－a ＋12＋12×a ＋⎝⎛⎭⎫－a ＋122×⎝⎛⎭⎫12－a ＋⎝⎛⎭⎫－a ＋12－12×12＝－a 2＋2a ＋14，又∵0<a <12， ∴故当a 增大时，E (ξ)减小，D (ξ)增大．8.如图，已知三棱锥D －ABC ，记二面角C －AB －D 的平面角是θ，直线DA 与平面ABC 所成的角是θ1，直线DA 与BC 所成的角是θ2，则( )A ．θ≥θ1B ．θ≤θ1C ．θ≥θ2D ．θ≤θ2答案 A解析 若θ>π2，则θ>θ1，θ>θ2；若θ≤π2，如图所示，设D 在平面ABC 的投影为M ，过M 作MN ⊥AB ，垂足为N ，连接DN ，AM ，∴sin θ＝DM DN ，sin θ1＝DMDA ，∵DA ≥DN ，∴sin θ1≤sin θ，∴θ1≤θ，而θ与θ2的大小关系是不确定的，故选A.9．已知|AB →|＝1，|BC →|＋|CA →|＝2，则CA →与CB →夹角的余弦值的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤－1，12 B.⎣⎡⎦⎤－12，12 C.⎣⎡⎦⎤12，1 D.⎣⎡⎦⎤－12，1 答案 C解析 易知BC →＋CA →＝BA →，所以BC →2＋CA →2＋2BC →·CA →＝1.设向量CA →与CB →的夹角为θ，|BC →|＝x ，则|CA →|＝2－x ，所以cos θ＝－2x 2－4x ＋32x 2－4x ＝－1－32(x －1)2－2，因为|BA →|＝|BC →＋CA →|≥||BC →|－|CA →||，所以|2x －2|≤1，所以12≤x ≤32，所以12≤cos θ≤1.故选C.10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x >0，ax ，x ≤0，若方程f (－x )＝－f (x )有五个不同的实数根，则a 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫0，1e C ．(－∞，0) D ．(0,1)答案 B解析 设g (x )＝－f (－x )，则y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于原点对称，方程f (－x )＝－f (x )有五个不同的实数根等价于函数y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有5个交点， 由图象可知(图略)，只需y ＝ax 与曲线y ＝ln x 在第一象限有两个交点即可， 设过原点的直线与y ＝ln x 切于点P (x 0，y 0)， 由f ′(x )＝1x，则y ＝ln x 的切线为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，又此直线过点(0,0)， 所以ln x 0＝1， 所以x 0＝e ， 即f ′(e)＝1e，即过原点的与y ＝ln x 相切的直线方程为y ＝1e x ，即所求a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，1e .二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)11．复数z 满足z ·(1－i)＝3－4i(其中i 为虚数单位)，则|z |＝________，复数z 的共轭复数z ＝________. 答案522 72＋12i 解析 由z ·(1－i)＝3－4i ，得z ＝3－4i 1－i ＝(3－4i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝72－12i ，故|z |＝494＋14＝522，z ＝72＋12i. 12．已知直线l ：mx －y ＝1，若直线l 与直线x ＋m (m －1)y ＝2垂直，则m 的值为________．动直线l: mx －y ＝1被圆C ：x 2－2x ＋y 2－8＝0截得的最短弦长为________． 答案 0或2 27解析 由两直线垂直的充要条件得m ×1＋(－1)×m (m －1)＝0，∴m ＝0或m ＝2；圆的半径为3，当圆心(1,0)到直线的距离最长即d ＝(1－0)2＋[0－(－1)]2＝2时弦长最短，此时弦长为232－(2)2＝27.13．(1－2x )5展开式中x 3的系数为________；所有项的系数和为________． 答案 －80 －1解析 因为T k ＋1＝C k 5(－2)k x k ，令k ＝3，T 4＝－80x 3，所以x 3的系数为－80，设(1－2x )5 ＝a 0＋a 1x ＋…＋a 5x 5， 令x ＝1，则a 0＋a 1＋…＋a 5＝－1 ， 所以所有项的系数和为－1.14．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，三角形的面积S ＝3，则c ＝________；三角形外接圆的半径为________． 答案 2 2解析 S ＝3＝12×2c sin 120°，解得c ＝2.∴a 2＝22＋22－2×2×2×cos 120°＝12， 解得a ＝23， ∴2R ＝a sin A ＝2332＝4，解得R ＝2.15．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右两焦点为F 1，F 2，△ABC 为椭圆的内接三角形，已知A ⎝⎛⎭⎫23，263，且满足F 2A →＋F 2B →＋F 2C →＝0，则直线BC 的方程为_______________． 答案 146x －32y －276＝0解析 由F 2A →＋F 2B →＋F 2C →＝0知点F 2为△ABC 的重心， 设D (x 0，y 0)为BC 的中点， 则AF 2→＝2F 2D →，所以⎩⎨⎧1－23＝2(x 0－1)，0－263＝2y 0，解得⎩⎨⎧x 0＝76，y 0＝－63，即D ⎝⎛⎭⎫76，－63.设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 214＋y 213＝1， ①x 224＋y223＝1， ②①－②得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)4＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)3＝0，即y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－34，因为y 1＋y 2＝2y 0＝－263，x 1＋x 2＝2x 0＝73，所以直线BC 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝7616，所以直线BC 的方程为y ＋63＝7616⎝⎛⎭⎫x －76， 即146x －32y －276＝0.16．已知函数f (x )＝x ＋bx ＋c 有两个不同的零点x 1，x 2，且x 1，x 2∈(0,2)，则b 2＋2bc ＋4b 的取值范围是__________________． 答案 (0,1)解析 函数f (x )＝x ＋bx ＋c 有两个不同的零点x 1，x 2∈(0,2)，等价于函数g (x )＝x 2＋cx ＋b (x ≠0)有两个不同的零点x 1，x 2∈(0,2)，则g (x )＝(x －x 1)(x －x 2)，所以x 1x 2＝b ，x 1＋x 2＝－c ，则b 2＋2bc ＋4b ＝b (b ＋2c ＋4)＝x 1x 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝x 1x 2(2－x 1)(2－x 2)＝x 1(2－x 1)·x 2(2－x 2)≤⎝⎛⎭⎫x 1＋2－x 122·⎝⎛⎭⎫x 2＋2－x 222＝1，“＝”成立的条件是x 1＝x 2＝1.因为x 1≠x 2，所以“＝”取不到．又因为x 1，x 2∈(0,2)，所以2－x 1∈(0,2)，2－x 2∈(0,2)，所以x 1x 2(2－x 1)(2－x 2)>0，所以b 2＋2bc ＋4b 的取值范围是(0,1)．17．在平面四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝1，AD ＝CD ＝2，∠DAB ＝∠DCB ＝90°，点P 为AD 的中点，M ，N 分别在线段BD ，BC 上，则PM ＋22MN 的最小值为________． 答案 1解析 由题意得BD ＝AD 2＋AB 2＝3，cos ∠ADB ＝63. 设DM ＝t (0<t ≤3)，则在△PDM 中，由余弦定理得 PM ＝PD 2＋DM 2－2PD ·DM cos ∠ADB ＝⎝⎛⎭⎫t －332＋16. 当MN ⊥BC 时，MN 取得最小值为BM ·CD BD ＝32－6t3，则PM ＋22MN ＝⎝⎛⎭⎫t －332＋16－33t ＋1， 设y ＝⎝⎛⎭⎫t －332＋16－33t ＋1， 则23t 2－233yt ＋12－(y －1)2＝0， 将其看作是关于t 的一元二次方程，则Δ＝43y 2－83⎣⎡⎦⎤12－(y －1)2≥0， 解得y ≥1或y ≤13.过点P 作PM ′⊥BD ，故易得 PM ≥PM ′＝PD ·AB BD ＝66>13，所以y >13，则y ≤13舍去，即y ≥1，当y ＝1时，t ＝32， 所以PM ＋22MN 的最小值为1. 三、解答题(本大题共5小题，共74分．)18．(14分)已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x ＋2cos 2x －1 . (1)求f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )≥m 恒成立，求m 的取值范围． 解 (1)f (x )＝2sin(π－x )cos x ＋2cos 2x －1 ＝2sin x cos x ＋cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 所以最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4 ，所以2x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2 ， 2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，34π， 所以当2x ＋π4＝－π4 ，即x ＝－π4时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 有最小值－22 ，所以f (x )有最小值－1， 因为当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )≥m 恒成立，所以m ≤－1， 即m 的取值范围是(－∞，－1]．19.(15分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，AB ＝AC ，D 为BC 的中点．(1)求证：A 1C ∥平面ADB 1；(2)若AB ＝AA 1＝2，求直线A 1D 与平面ADB 1所成角的正弦值． 解 (1)连接A 1B (图略)，记AB 1∩A 1B ＝E ，连接DE ， 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，易知侧面ABB 1A 1为矩形，所以E 是A 1B 的中点，又D 为BC 的中点，所以A 1C ∥DE ， 又A 1C ⊄平面ADB 1，DE ⊂平面ADB 1， 所以A 1C ∥平面ADB 1.(2)方法一 因为AB ＝AC ＝AA 1＝2，△ABC 为等腰直角三角形， 所以BC ＝AB 2＋AC 2＝2，所BD ＝BC2＝1.在Rt △B 1BD 中，tan ∠BDB 1＝BB 1BD＝2，连接BC 1，在Rt △B 1BC 1中，tan ∠B 1BC 1＝B 1C 1BB 1＝2，所以∠BDB 1＝∠B 1BC 1.又∠BB 1D ＋∠BDB 1＝π2，所以∠BB 1D ＋∠B 1BC 1＝π2，所以BC 1⊥B 1D .因为AB ＝AC ，D 为BC 的中点，所以AD ⊥BC .又在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，B 1B ⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，所以B 1B ⊥AD . 又B 1B ∩BC ＝B ，所以AD ⊥平面B 1BCC 1，又BC 1⊂平面B 1BCC 1，所以AD ⊥BC 1. 因为AD ∩B 1D ＝D ，所以BC 1⊥平面AB 1D .取CC 1的中点F ，连接DF ，A 1F ，则DF ∥BC 1，DF ⊥平面ADB 1，则∠A 1DF 为直线A 1D 与平面ADB 1所成角的余角，设直线A 1D 与平面ADB 1所成的角为θ，则θ＝π2－∠A 1DF .在△A 1DF 中，易知A 1D ＝AA 21＋AD 2＝3，A 1F ＝A 1C 21＋C 1F 2＝102， DF ＝DC 2＋CF 2＝62， 所以cos ∠A 1DF ＝A 1D 2＋DF 2－A 1F 22A 1D ×DF ＝23，故sin θ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－∠A 1DF ＝cos ∠A 1DF ＝23， 所以直线A 1D 与平面ADB 1所成角的正弦值为23. 方法二 因为AB ＝AC ，D 为BC 的中点，所以AD ⊥BC ，又在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，B 1B ⊥平面ABC ，所以可以DA ，DC 所在直线，过点D 且平行于B 1B 的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为AB ＝AC ＝AA 1＝2，△ABC 为等腰直角三角形，所以A (1,0,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0，2)，B 1(0，－1，2)，故A 1D →＝(－1,0，－2)，AD →＝(－1,0,0)，B 1D →＝(0,1，－2)，设平面ADB 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AD →＝0，n ·B 1D →＝0，即⎩⎨⎧－x ＝0，y －2z ＝0， 令z ＝1，得y ＝2，则n ＝(0，2，1)为平面ADB 1的一个法向量，设直线A 1D 与平面ADB 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，A 1D →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·A 1D →|n |·|A 1D →|＝23， 故直线A 1D 与平面ADB 1所成角的正弦值为23. 20．(15分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2S n ＝－a n ＋n (n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12为等比数列； (2)求数列{a n －1}的前n 项和T n .(1)证明 2S n ＝－a n ＋n ，当n ≥2时，2S n －1＝－a n －1＋n －1，两式相减，得2a n ＝－a n ＋a n －1＋1，即a n ＝13a n －1＋13. ∴a n －12＝13⎝⎛⎭⎫a n －1－12， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12为等比数列． (2)解 由2S 1＝－a 1＋1，得a 1＝13.由(1)知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12是以－16为首项，13为公比的等比数列． 所以a n －12＝－16⎝⎛⎭⎫13n －1＝－12⎝⎛⎭⎫13n ， ∴a n ＝－12⎝⎛⎭⎫13n ＋12(n ∈N *)， ∴a n －1＝－12⎝⎛⎭⎫13n －12，∴T n ＝－16⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13－n 2＝14⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13n －1－n 2(n ∈N *)． 21．(15分)已知抛物线E ：y 2＝8x ，直线l ：y ＝kx －4.(1)若直线l 与抛物线E 相切，求直线l 的方程；(2)设Q (4,0)，直线l 与抛物线E 交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若存在点C ，满足AC ⊥QC ，且线段OC 与AB 互相平分(O 为原点)，求x 2的取值范围．解 (1)方法一 当k ＝0时，直线与抛物线不相切，所以k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －4，y 2＝8x 得k 2x 2－8(k ＋1)x ＋16＝0， 由k 2≠0及Δ＝64(k ＋1)2－64k 2＝0，得k ＝－12， 所以，所求的直线l 的方程为x ＋2y ＋8＝0.方法二 直线l 恒过点(0，－4)，由y 2＝8x ，得y ＝±8x ，设切点为(x 0，y 0)，由题意得，直线与抛物线在x 轴下方的图象相切，则y ＝－8x ，所以y ′|0x x ＝＝－2x 0 ， 所以切线方程为y ＋8x 0＝－2x 0(x －x 0)， 将坐标(0，－4)代入得x 0＝8，即切点为(8，－8)，再将该点代入y ＝kx －4得，k ＝－12， 所以所求的直线l 的方程为x ＋2y ＋8＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －4，y 2＝8x 得k 2x 2－8(k ＋1)x ＋16＝0，且k ≠0， 因为Δ＝64(k ＋1)2－64k 2>0，且k ≠0， 所以k >－12，且k ≠0， 所以x 1＋x 2＝8(k ＋1)k 2， 所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－8＝8k， 因为线段OC 与AB 互相平分，所以四边形OACB 为平行四边形．所以OC →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝⎝⎛⎭⎫8(k ＋1)k 2，8k ，即C ⎝⎛⎭⎫8(k ＋1)k 2，8k .因为AC ⊥QC,方法一 所以k AC ·k QC ＝－1，又k QC ＝8k 8(k ＋1)k 2－4＝2k 2(k ＋1)－k 2， 又k AC ＝k OB ＝y 2x 2＝k －4x 2， 所以2k 2(k ＋1)－k 2·⎝⎛⎭⎫k －4x 2＝－1， 所以8x 2＝k ＋2k＋2， 所以若k >0，则8x 2≥22＋2＝2(2＋1)， 当且仅当k ＝2时取等号，此时0<x 2≤4(2－1)，若－12<k <0，由于k ＝－12时，k ＋2k ＋2＝－52， 所以8x 2<－52，即x 2<－165(舍去)， 综上所述，x 2的取值范围是(0,4(2－1)]．方法二 所以QC →·AC →＝0，又QC →＝⎝⎛⎭⎫8(k ＋1)k 2－4，8k ， AC →＝OB →＝(x 2，y 2)＝(x 2，kx 2－4)，所以QC →·AC →＝⎝⎛⎭⎫8(k ＋1)k 2－4x 2＋8k (kx 2－4)＝0， 即8x 2＝k ＋2k＋2， 所以若k >0，则8x 2≥22＋2＝2(2＋1)， 当且仅当k ＝2时取等号，此时0<x 2≤4(2－1)，若－12<k <0，由于k ＝－12时，k ＋2k ＋2＝－52， 所以8x 2<－52，即x 2<－165(舍去)． 综上所述，x 2的取值范围是(0,4(2－1)]．22．(15分)已知函数f (x )＝a e 2x －a e x －x e x (a ≥0，e ＝2.718…，e 为自然对数的底数)，若f (x )≥0对于x ∈R 恒成立．(1)求实数a 的值；(2)证明：f (x )存在唯一极大值点x 0，且ln 22e ＋14e 2≤f (x 0)<14. (1)解 由f (x )＝e x (a e x －a －x )≥0对于x ∈R 恒成立，设函数g (x )＝a e x －a －x ，可得g (x )＝a e x －a －x ≥0对于x ∈R 恒成立，∵g (0)＝0，∴g (x )≥g (0)，从而x ＝0是g (x )的一个极小值点，∵g ′(x )＝a e x －1，∴g ′(0)＝a －1＝0，即a ＝1.当a ＝1时，g (x )＝e x －1－x ，g ′(x )＝e x －1，∵x ∈(－∞，0)时，g ′(x )<0，g (x )在(－∞，0)上单调递减，x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴g (x )≥g (0)＝0，即f (x )≥0，∴a ＝1.(2)证明 当a ＝1时，f (x )＝e 2x －e x －x e x ，f ′(x )＝e x (2e x －x －2)．令h (x )＝2e x －x －2，则h ′(x )＝2e x －1，∴当x ∈(－∞，－ln 2)时，h ′(x )<0，h (x )在(－∞，－ln 2)上为减函数；当x ∈(－ln 2，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )在(－ln 2，＋∞)上为增函数，且h (0)＝0，∵h (－1)<0，h (－2)>0，∴在(－2，－1)上存在x ＝x 0满足h (x 0)＝0，∵h (x )在(－∞，－ln 2)上为减函数，∴当x ∈(－∞，x 0)时，h (x )>0，即f ′(x )>0，f (x )在(－∞，x 0)上为增函数，当x ∈(x 0，－ln 2)时，h (x )<0，即f ′(x )<0，f (x )在(x 0，－ln 2)上为减函数，当x ∈(－ln 2,0)时，h (x )<h (0)＝0，即f ′(x )<0，f (x )在(－ln 2,0)上为减函数，当x ∈(0，＋∞)时，h (x )>h (0)＝0，即f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上为增函数，∴f (x )在(－ln 2，＋∞)上只有一个极小值点0，综上可知，f (x )存在唯一的极大值点x 0， 且x 0∈(－2，－1)．∵h (x 0)＝0，∴20e x －x 0－2＝0， ∴f (x 0)＝002ee x x －－x 00e x ＝⎝⎛⎭⎫x 0＋222－⎝⎛⎭⎫x 0＋22(x 0＋1)＝－x 20＋2x 04，x 0∈(－2，－1)， ∵当x ∈(－2，－1)时，－x 2＋2x 4<14， ∴f (x 0)<14； ∵ln 12e∈(－2，－1)， ∴f (x 0)≥f ⎝⎛⎭⎫ln 12e ＝ln 22e ＋14e 2；综上知ln 22e ＋14e 2≤f (x 0)<14.。
【精品高考数学】2020年4月普通高考数学(浙江卷)全真模拟卷(4)+答案
2020年4月普通高考（浙江卷）全真模拟卷（4）数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：高中全部内容。
选择题部分（共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U R =，集合{}{}|3,|05A x x B x x =≥=≤<，则集合()U C A B ⋂=（ ） A.{}|03x x ≤≤ B.{}|03x x << C.{}|03x x <≤ D.{}|03x x ≤<2．双曲线x 24−y 2=1的离心率为（ ）A ．√5B ．√3C ．√52D ．√323．以下不等式组表示的平面区域是三角形的是（ ）A ．{x ≥1x −y ≥0x +2y −6≥0B ．{x ≥1x −y ≥0x +2y −6≤0C ．{x ≥1x −y ≤0x +2y −6≥0D ．{x ≥1x −y ≤0x +2y −6≤04．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A ．83B ．8C ．203D ．65．已知p ：不等式(ax −1)(x −1)>0的解集为(1a ,1)，q ：a <12，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．函数2sin 2()12xf x x x=++的部分图象大致可为（ ） A ． B ．C ． D ．7．已知随机变量ξ(i =1,2)的分布列如表所示：若0<p 1<12<p 2<23，则（ ） A ．E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2) B ．E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2) C ．E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)D ．E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)8．如图所示，在底面为正三角形的棱台111ABC A B C -中，记锐二面角1A AB C --的大小为α，锐二面角1B BC A --的大小为β，锐二面角1C AC B --的大小为γ，若αβγ>>，则( )A ．111AA BB CC >> B ．111AA CC BB >> C ．111CC BB AA >>D ．111CC AA BB >>9．已知三个二次函数为()()(1)(2)11,2,3,0i i i f x a x x i a =+--=≠，若它们对应的零点记作(1,2,3)i x i =，则当1230a a a >>>且0(1,2,3)i x i >=时，必有（ ） A ．123x x x << B ．123x x x >> C ．123x x x ==D ．123,,x x x 的大小不确定10．已知数列{}n a 满足101a <<，()142n n n a ta t R a ++=∈+，若对于任意*n N ∈，都有103n n a a +<<<，则t 的取值范围是（ ） A ．(]1,3- B ．[]0,3C ．()3,8D ．()8,+∞非选择题部分（共110分）二、填空题：本题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上述问题的已知条件，可求得该女子第1天所织布的尺数为__________．12．已知一个袋子中装有4个红球和2个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的，若从袋子中摸出3个球，记摸到的白球的个数为ς，则ς=1的概率是_______；随机变量ς期望是_______.13．若()223nx x --的展开式中所有项的系数之和为256，则n =______，含2x 项的系数是______（用数字作答）.14．在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知cos cos 2cos a B b AC c+=，则C =______；又ABC S ∆=6a b +=，则c =______.15．已知双曲线C ：()22221,0x y a b a b -=>的右焦点(),0F c 关于直线b y x a =的对称点在直线2a x c=-上，则该双曲线的离心率为______.16．已知不等式230ln x k kx k-+>-对任意正整数k 均成立，则实数x 的取值范围___17．已知等比数列{a n }的前n 项和S n =3n +r ，则a 3−r =_______，数列{n(n +4)(23)n }的最大项是第k 项，则k =_______.三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，其面积S 满足4S = a 2+c 2−b 2． （Ⅰ）求角B ；（Ⅰ）设∠BAC 的平分线AD 交BC 于D ，AD =3，BD =√6，求cosC ．19．在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆是等腰三角形，且90ABC ∠=︒，侧面11ABB A 是菱形，160BAA ∠=︒，平面11ABB A ⊥平面BAC ，点M 是1AA 的中点．（1）求证：1BB CM ⊥；（2）求直线BM 与平面1CB M 所成角的正弦值．20．已知等差数列{}n a 满足212a a =，459a a +=，n S 为等比数列{}n b 的前n 项和，122n n S S +=+. （1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设23,41,n n nn a b n n a c ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，证明：12313...6n c c c c +++⋅⋅+<. 21．对于椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，有如下性质：若点P (x 0,y 0)是椭圆外一点，PA ，PB是椭圆的两条切线，则切点A,B 所在直线的方程是x 0xa 2+y 0y b 2=1，利用此结论解答下列问题：已知椭圆C:x 22+y 2=1和点P (2,t ) (t ∈R )，过点P 作椭圆C 的两条切线，切点是A,B ，记点A,B 到直线PO （O是坐标原点）的距离是d 1，d 2.（Ⅰ）当t =0时，求线段AB 的长； （Ⅰ）求|AB |d1+d 2的最大值.22．设函数()()20axf x e x a -=+≠.（1）当2a =，求函数()f x 的单调区间；（2）当a >(],0x ∈-∞，均有()()212a f x x >+，求a 的取值范围.2020年4月普通高考（浙江卷）全真模拟卷（4）数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2020年浙江省高考数学全真模拟试卷(4)(2月份)(含答案解析)
2020年浙江省高考数学全真模拟试卷(4)(2月份)一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知全集U={0,1，2，3，4，5}，集合A={2,5}，B={0,1，5}，则(∁U A)∩B等于()A. {0,1，5}B. {1,5}C. {0,1}D. ⌀2.若x，y满足不等式组{x−y≥1x+y≤1y≥−1，则z=x−2y的最小值为()A. −4B. 1C. 2D. 43.直线x−√3y+a=0(a为常数)的倾斜角α为()A. π6B. π3C. 23π D. 56π4.如图所示的几何体，则该几何体的俯视图是选项图中的()A.B.C.D.5.设a⃗、b⃗ 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a⃗|a⃗ |+b⃗|b⃗|=0⃗成立的是()A. a⃗=−2b⃗B. a⃗=2b⃗C.D.6.已知函数f(x)={x 2+4x,x<0,ln(x+2),x≥0,若方程|f(x)|−a=0有四个不同的解，则a的取值范围是()A. (0,4)B. [0,4)C. [ln2,4)D. (ln2,4]7.从0，1，2，3，4五个数中选四个数字，组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为()A. 36B. 60C. 72D. 968.如图，ABCD为正四面体，AD⊥面α于点A，点B、C、D均在平面α外，且在平面α的同一侧，线段BC的中点为E，则直线AE与平面α所成角的正弦值为()A. √33B. √32C. √22D. 12 9. 函数f(x)=e x−1x 在(0,+∞)的最小值为( )A. −1B. 1C. −2D. 210. 数列{a n }中，已知a 61=2 000，且a n+1=a n +n ，则a 1等于( )A. 168B. 169C. 170D. 171二、填空题（本大题共4小题，共18.0分）11. 若复数z =4+3i ，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为______ ，1+iz 的值为______ ．12. 如图是某四面体的三视图，则该几何体最长的棱长为__________．13. 已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过F 点做直线l 相交抛物线于A ，B 两点，则16|AF|−|BF|的最大值为_________．14. 设点p 是曲线上的任意一点，则p 到直线x +y +2=0的距离的最小值为_________ ．三、多空题（本大题共3小题，共18.0分）15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a =√5，b =3，sinC =2sinA ，则sinA = (1) ；设D 为AB 边上一点，且BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△BCD 的面积为 (2)16. 若直线3x +4y +k =0与圆x 2+y 2−6x +5=0相切，则k 的值等于 ，若圆关于直线3x +4y +k =0对称，则k 的值等于 .17.在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且满足b=c，bcos A=a−acos B.如图所示，O是△ABC外一点，∠AOB=γ(0<γ<π)，OA=√3，OB=2，则△ABC是(1)三角形，平面四边形OACB面积的最大值是(2).四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠CAD=π4，cos∠C=35．(Ⅰ)求sin∠ADB的值；(Ⅱ)若BD=2DC=5，求△ABD的面积．19.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M、N、P分别是和的中点，求证：(1)；(2)平面MNP//平面CC1D1D．20.已知数列{a n}的前n项和为S n，a11，3S n+1是6与2S n的等差中项(n∈N∗)．}为等比数列；(1)证明数列{S n−32(2)b n=log3a n，求数列{b n}的前n项和T n．)(a∈R,a≠0)为圆心的圆与x轴相交于O，A两点，与y轴相交于O，B两点，21.已知以点C(a,2a其中O为原点．(1)当a=2时，求圆C的标准方程．(2)当a变化时，△OAB的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．(3)设直线l：2x+y−4=0与圆C相交于M，N两点，且|OM|=|ON|，求|MN|的值．22.设函数，a∈R．(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)设g(x)=xe1−x，若对于任意给定的x0∈(0,e]，若关于x的方程f(x)+1=g(x0)在(0,e]内有两个不同的实数根，求a的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．根据补集与交集的定义，计算即可．解：全集U={0,1，2，3，4，5}，集合A={2,5}，B={0,1，5}，则∁U A={0,1，3，4}，∴(∁U A)∩B={0,1}．故选：C．2.答案：B解析：解：由约束条件{x−y≥1x+y≤1y≥−1作出可行域如图，化目标函数z=x−2y为y=x2−z2，由图可得，当直线y=x2−z2过点A(1,0)时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为1．故选：B．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．3.答案：A解析：本题考查直线的倾斜角的求解，属于容易题．由直线的一般方程求得斜率由斜率与倾斜角的关系求解．解：∵k=tanα=√33，∴α=π6． 故选A ． 4.答案：C解析：本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，熟练掌握基本空间图形的三视图形状是解答的关键，属于基础题目．根据直观图，结合三视图规则，可得该几何体的俯视图．解：根据直观图，结合三视图规则，可得该几何体的俯视图是， 故选C ．5.答案：A解析： 本题主要考查了向量共线定理的应用，属于基础题．根据向量共线定理，可得若a ⃗ |a ⃗ |+b ⃗ |b ⃗ |=0⃗ 成立，则向量a ⃗ 、b ⃗ 共线且方向相反，对照各个选项即可得出结论．解：由a ⃗ |a ⃗ |+b ⃗ |b ⃗ |=0⃗ ， 得b ⃗ |b ⃗ |=−a ⃗ |a ⃗ |，即b ⃗ =−|b ⃗ ||a ⃗ |⋅a ⃗ ， 则向量a ⃗ 、b ⃗ 共线且方向相反，因此当向量a ⃗ 、b ⃗ 共线且方向相反时，能使a⃗ |a ⃗ |+b⃗ |b ⃗ |=0⃗ 成立， 对照各个选项，可得B 项中向量a ⃗ 、b ⃗ 的方向相同，C 项中向量a ⃗ 、b ⃗ 的方向相同或相反，D 项中向量a ⃗ 、b⃗ 的方向互相垂直， 只有A 项能确定向量a ⃗ 、b ⃗ 共线且方向相反．故选A ．6.答案：C解析：本题考查函数图象的应用、函数的零点与方程根的关系.作出函数y=|f(x)|与y=a的图象，结合图形即可求出结果．解：，作出函数y=|f(x)|与y=a的图象，如图所示：由图象可知，a的取值范围为．故选C．7.答案：B解析：本题考查分类加法计数原理的应用，解题时要注意数字0的特殊性，进而分2种情况进行讨论．根据题意，分析可得四位数的个位数字为0、2、4之一，进而分2种情况讨论，①个位是0，②个位是2或4，由排列数公式计算得到每种情况下的四位数的个数，最后由分类加法计数原理计算可得答案．解：根据题意，要求组成的是无重复数字的四位偶数，则个位数字为0、2、4之一，分2种情况讨论，①个位是0，则其他三位从剩余的4个数中任取3个数作排列，有A43=24种；②若个位是2或4，有2种情况，千位数字有3种选择，百位和十位，有A32=6种，因此个位非零时，共有2×3×6=36，综合可得，共有24+36=60个无重复数字的四位偶数，故选B．8.答案：A解析：解：如图，∵四面体ABCD为正四面体，设正四面体ABCD的棱长为a，则△ABC为边长为a的正三角形，又E为BC边的中点，∴AE⊥BC，在Rt△AEB中，AE=√AB2−BE2=√a2−(a2)2=√32a．取AD的中点M，连接BM、CM，∵四面体ABCD为正四面体，∴BM⊥AD，CM⊥AD，又BM∩CM=M，由线面垂直的判定定理知，AD⊥平面BCM，故平面BCM//平面α，∴平面BCM到平面α的距离为a2，∴E到平面α的距离为a2．则直线AE与平面α所成角的正弦值sinα=a2AE=a2√32a=√33．故选：A．设出正四面体ABCD的棱长，由AD⊥平面α于A，点B、C、D均在平面α外，且在平面α同一侧，若取AD的中点M，易证AD⊥平面BCM，故平面BCM//平面α，将求点E到平面α距离的问题转化为两平面间距离的问题求解，则直线AE与平面α所成角的正弦值为E到平面α距离除以AE．本题考查了直线与平面所成的角，考查了数学转化思想方法，在解答此题的过程中，将点到面的距离转化为面面间的距离，是中档题．9.答案：B解析：本题主要利用导数来求解闭区间上的最值，根据题意求出f(x)的导数，再利用单调性求解即可；解：由题意可得f′(x)=xe x−1−e x−1x2=e x−1(x−1)x，当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，所以f(x)的最小值为f(1)=e1−11=1，故选B．10.答案：C解析：本题考查了数列的递推关系，累加法的应用，属于基础题．解：∵a61=2000,a n+1−a n=n，则a61=(a61−a60)+(a60−a59)+⋯+(a2−a1)+a1=60+59+⋯+1+a1=60×(60+1)2+a1=2000，∴a1=170．故选C．11.答案：5；7+i25解析：解：|z|=√42+32=5，1+i z =1+i4+3i=(1+i)(4−3i)(4+3i)(4−3i)=7+i25，故答案为：5，7+i25．利用复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.答案：3解析：本题考查由三视图还原几何体，并求相应棱长．解：由三视图可知，该几何体是如图所示的三棱锥A −BCD ，图中正方体的棱长为2，点D 为所在棱的中点， 该三棱锥三条棱长为2√2，两条棱长为√5， 最长棱为CD =√4+5=3． 故答案为3．13.答案：8解析：本题考查了抛物线的性质及几何意义和利用基本不等式求最值.利用抛物线的性质得1m +1n =2p =1，再利用基本不等式求最值计算得结论. 解：由题意，设l 的方程为x =ty +1，A(x 1,y 1), B(x 2,y 2)， 联立{x =ty +1,y 2=4x,得y 2−4ty −4=0．故{y 1+y 2=4t,y 1·y 2=−4,则{x 1+x 2=4t 2+2,x 1·x 2=1. |AF|=m ，|BF|=n ，则1m +1n =1x 1+1+1x 2+1=2p=1，即1m =1−1n ，因此16|AF|−|BF|=16(1−1n )−n =16−(16n +n)≤16−8=8， 当且仅当16n =n ，即n =4时等号成立．所以16|AF|−|BF|的最大值为8． 故答案为8．14.答案：2√2解析：本题考查利用导数的几何意义求切线方程、点到直线的距离公式.求出与直线x +y +2=0平行且与曲线相切的直线，即可求出结果． 解：设P(x,y)， 则y′=1−2x (x >0)， 令1−2x =−1，解得x =1， ∴y =1，即平行于直线y =−x −2且与曲线y =x −2lnx 相切的切点坐标为(1,1)， 由点到直线的距离公式，可得点P 到直线x +y +2=0的距离的最小值d =√2=2√2．故答案为2√2．15.答案：√552解析：解：∵sinC =2sinA ， ∴由正弦定理可得：c =2a ，∴由a =√5，b =3，可得c =2√5，由余弦定理可得：cosA =b 2+c 2−a 22bc=2×3×2√5=2√55． ∴根据A 为三角形内角，可得：sinA =√1−cos 2A =√55．∵D 为AB 边上一点，且BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得：BD =4√53， 又由余弦定理可得：cosB =a 2+c 2−b 22ac=45，可得sinB =√1−cos 2B =35，∴S △BCD =12⋅a ⋅BD ⋅sinB =12×√5×4√53×35=2故答案为：√5，2．5由正弦定理化简已知可得：c=2a，由余弦定理可得cos A的值，根据A为三角形内角，利用同角三角函数关系式即可求得sin A的值．利用余弦定理可求cos B，进而可求sin B的值，求得BD的值，根据三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，同角三角函数关系式的应用，属于基本知识的考查．16.答案：k=1或k=−19k=−9解析：(1)圆x2+y2−6x+5=0的圆心(3,0)，半径r=2，∵圆与直线相切，∴圆心到切线距离等于=2，∴k=1或k=−19．半径．∴|9+k|5(2)因为圆关于直线3x+4y+k=0对称，所以圆心(3,0)在直线3x+4y+k=0上，即3×3+0+ k=0，解得k=−9．17.答案：等边15√34解析：本题考查了正余弦定理、两角和与差的三角函数公式以及利用角的取值范围求最值问题；(1)利用正弦定理由b=c，bcos A=a−acos B可求出a，c的关系从而判定三角形的形状．(2)借助于三角形面积公式、余弦定理，由∠AOB=γ(0<γ<π)表示出四边形的面积，根据γ的取值范围确定面积的最值．解：∵bcos A=a−acos B，由正弦定理可得sin Bcos A=sin A−sin Acos B，则sin Bcos A+sin Acos B=sin(A+B)=sin C=sin A，故A=C，∴a=c，又b=c，故△ABC是等边三角形，则S △ABC =12·AB 2·sin π3=√34AB 2．在△ABO 中，由余弦定理可得AB 2=OA 2+OB 2−2·OA ·OB ·cos γ=7−4√3cos γ，则S 四边形OACB =S △ABO +S △ABC =12×OA ×OB ×sin γ+√34×(7−4√3cos γ)=7√34+(√3sin γ−3cos γ)=7√34+2√3sin(γ−π3)，则当sin(γ−π3)=1， 即γ=5π6时，平面四边形OACB 的面积取得最大值，最大值为7√34+2√3=15√34． 18.答案：解：(I)在△ABC 中，∵cosC =35，∴sinC =45．∴sin∠ADC =sin(C +∠CAD)=sinCcos∠CAD +cosCsin∠CAD =45×√22+35×√22=7√210． ∵∠ADB +∠ADC =π， ∴sin∠ADB =sin∠ADC =7√210． (II)在△ACD 中，由正弦定理得CDsin∠CAD =ADsinC ， ∴52√22=AD45，解得AD =2√2．∴S △ABD =12AD ⋅BD ⋅sin∠ADB =12×5×2√2×7√210=7．解析：(I)求出sin C ，则sin∠ADB =sin∠ADC =sin(C +∠CAD)；(II)在△ACD 中使用正弦定理计算AD ，代入三角形的面积公式S △ABD =12AD ⋅BD ⋅sin∠ADB 即可． 本题考查了两角和的正弦公式，正弦定理，三角形的面积计算，属于中档题．19.答案：证明：(1)连接AC ，CD 1，∵ABCD 是正方形，N 是BD 中点， ∴N 是AC 中点，又∵M 是AD 1中点， ∴MN//CD 1，∵MN ⊄平面CC 1D 1D ，CD 1⊂平面CC 1D 1D ， ∴MN//平面CC 1D 1D ；(2)连接BC 1，C 1D ，∵B 1BCC 1是正方形，P 是B 1C 的中点， ∴P 是BC 1中点，又∵N 是BD 中点， ∴PN//C 1D ，∵PN ⊄平面CC 1D 1D ，C 1D ⊂平面CC 1D 1D ， ∴PN//平面CC 1D 1D ，由(1)得MN//平面CC 1D 1D ，且MN ∩PN =N ， MN ⊂平面MNP ，PN ⊂平面MNP ， ∴平面MNP//平面CC 1D 1D . 故得证．解析：本题考查了线面平行，面面平行的判定定理，是一道中档题． (1)根据线面平行的判定定理证明即可； (2)根据面面平行的判定定理证明即可．20.答案：解：(1)∵3S n+1是6与2S n 的等差中项，∴6+2S n =6S n+1，即S n+1=13S n +1，(n ∈N ∗)，由此得S n+1−32=(13S n +1)−32=13S n −12=13(S n −32)(n ∈N ∗)， 又S 1−32=a 1−32=−12， ∴S n+1−32S n −32=13(n ∈N ∗)，∴数列{S n −32}是以−12为首项，13为公比的等比数列； 证明：(2)由(1)得S n −32=−12(13)n−1，即S n =32−12(13)n−1(n ∈N ∗)，∴当n ≥2时，a n =S n −S n−1=[32−12(13)n−1]−[32−12(13)n−2]=13n−1， 又n =1时，a 1=1也适合上式，∴a n =13n−1．∴b n =log 3a n =1−n ，{b n }是首项为0，公差为−1的等差数列． ∴T n =n(b 1+b n )2=n(1−n)2．解析：(1)由3S n+1是6与2S n 的等差中项，可得S n+1=13S n +1，然后利用定义即可证明S n+1−32S n −32=13(n ∈N ∗)，即数列{S n −32}是以−12为首项，13为公比的等比数列；(2)由(1)得S n −32=−12(13)n−1，得到S n =32−12(13)n−1(n ∈N ∗)，再由a n =S n −S n−1(n ≥2)求a n ，代入b n =log 3a n 求b n ，再由等差数列的求和公式求数列{b n }的前n 项和T n ．本题考查等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和，训练了由数列的前n 项和求通项公式，是中档题．21.答案：解：(1)a =2时，以点C(2,1)为圆心的圆与x 轴相交于O ，A 两点，与y 轴相交于O ，B 两点，∵圆C 过原点O ， ∴OC 2=22+12=5，则圆C 的方程是(x −2)2+(y −1)2=5． (2)∵圆C 过原点O ， ∴OC 2=a 2+4a 2，则圆C 的方程是(x −a)2+(y −2a )2=a 2+4a 2． 令x =0，得y 1=0，y 2=4a ， 令y =0，得x 1=0，x 2=2a ，∴S △OAB =12OA ×OB =12×|4a |×|2a|=4， 即△OAB 的面积为定值．(3)∵|OM|=|ON|，|CM|=|CN|， ∴OC 垂直平分线段MN ．∵k MN=−2，∴k oc=12，∴直线OC的方程是y=12x，∴2a =a2，解得a=2或a=−2．当a=−2时，圆心C的坐标为(−2,−1)，OC=√5，此时C到直线y=−2x+4的距离d=9√5>√5，圆C与直线y=−2x+4不相交，∴a=−2不符合题意舍去．当a=2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC=√5，此时C到直线y=−2x+4的距离d=1√5<√5，圆C与直线y=−2x+4相交于两点，|MN|=2√r2−d2=2√5−15=45√30．解析：本题考查直线与圆的位置关系、圆的标准方程等有关知识，是中档题．(1)求出圆心与半径，写出圆的方程即可．(2)分别令x=0，令y=0，求得OB，OA的长，即可解答．(3)通过题意解出OC的方程，继而解出a的值，直线y=−2x+4与圆C交于点M，N，判断a是否符合要求，可得圆的方程．22.答案：解：(Ⅰ)f′(x)=1x −2x+a=−2x2+ax+1x，由f′(x)=0，得−2x2+ax+1=0，该方程的判别式△=a2+8>0，可知方程−2x2+ax+1=0有两个实数根，又x>0，故取x=a+√a2+84，当x∈(0,a+√a2+84)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．所以函数f(x)的单调递增区间是(0,a+√a2+84)；递减区间是．(Ⅱ)g′(x)=(1−x)e1−x，当x∈(0,1)时，g′(x)>0，g(x)是增函数；x∈(1,e]时，g′(x)<0，g(x)是减函数，可得函数g(x)在区间(0,e]的值域为(0,1],，令F(x)=f(x)+1，则F′(x)=f′(x)=−2x2+ax+1x结合(1)可知，方程F′(x)=0在上有一个实数根x3，若x3⩾e，则F(x)在(0,e]上单调递增，不合题意，，可知F′(x)=0在(0,e]有唯一的解x3=a+√a2+84F(x)在(0,a+√a2+8)上单调递增；在上单调递减．4，此时需满足F′(e)⩽0，解得：a⩽2e−1e，方程f(x)+1=g(x0)在(0,e]内有两个不同的实数根，所以F(e)⩽0，且F(x)max>1，由F(e)⩽0，即，，解得a⩽e−2e由F(x)max=f(x3)+1>1，即，因为−2x32+ax3+1=0，，代入，所以a=2x3−1x3得，令，可知ℎ(x)在(0,e]上单调递增，而ℎ(1)=0，则ℎ(x3)>ℎ(1)=0，所以1<x3<e，在1<x3<e上单调递增，而a=2x3−1x3所以1<a<2e−1，e]．综上，a∈(1,e−2e解析：本题主要考查了导数的运算和利用导数研究函数的单调性，属于较难题．(Ⅰ)直接对原函数求导，令导数大于0，计算出增区间，令导数小于0，计算得出减区间．(Ⅱ)通过导数研究函数的单调性、最值，利用两个函数构造的方程在某一区间上有两个根，即它们的图像有两个公共点，结合单调性进行分析，容易使问题获得解答．。
2020年浙江省杭州高中高考数学仿真模拟试卷(7月份) (含解析)
2020年浙江省杭州高中高考数学仿真模拟试卷(7月份)一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设集合A={y|y=2x}，B={x|y=log2(1−x2)}，则A∩B=()A. {x|−1<x<1}B. {x|0<x<1}C. {x|x>1}D. ⌀2.“α=π3”是“cosα=12”的()A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知二项式(1+1x−2x)4，则展开式的常数项为()A. −1B. 1C. −47D. 494.如图，在矩形ABCD中，AB=√3，BC=1，沿AC将矩形ABCD折叠，连接BD，所得三棱锥D−ABC的正视图和俯视图如图所示，则三棱锥D−ABC的侧视图的面积为()A. 34B. 38C. 12D. √345.函数y=2x−x2的图象大致是()A. B.C. D.6. 一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和n (n ∈N ∗)个黑球.现从中有放回的摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为X ，若D (X )=1，则E (X )=( )A. 1B. 2C. 3D. 47. 已知函数f(x)=x 2−|x −1|−2，g(x)=ax +1.若对于任意的x 1，x 2∈[2,3]，都有f(x 1)≤g(x 2)，则实数a 的取值范围为( )A. (−∞,−2]B. [−2,0]C. [0,2]D. [2,+∞)8. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列结论一定成立的是( )A. 若a 5>0，则a 2017<0B. 若a 6>0，则a 2018<0C. 若a 5>0，则S 2017>0D. 若a 6>0，则 S 2018>0 9. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，以F 1F 2为直径的圆O 与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为Q ，P ，点B 为圆O 与y 轴正半轴的交点，若∠POF 2=∠QOB ，则双曲线C 的离心率为 ( )A. 3+√5B. 3+√52 C. 1+√5 D. 1+√5210. 记min{a,b}={a,a ≤b b,a >b，已知矩形ABCD 中，AB =2AD ，E 是边AB 的中点，将△ADE 沿DE 翻折至△A′DE(A′∉平面BCD)，记二面角A′−BC −D 为α，二面角A′−CD −E 为β，二面角A′−DE −C 为γ，二面角A′−BE −D 为θ，则min{α,β,γ,θ}=( )A. αB. βC. γD. θ二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 在复平面内，复数z =3+i1+i (i 是虚数单位)对应的点在第______象限．12. 若实数x,y 满足约束条件{x +2y ≥0x −y ≤0x −2y +2≥0，则z =3x −y 的最小值等于______．13. 如图，在平面四边形ABCD 中，AD =1，CD =2，AC =√7，cos∠BAD =−√714，sin∠CBA =√216，则BC 的长为________．14. 如图，在梯形ABCD 中，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，P 为线段CD 上一点，且DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PC⃗⃗⃗⃗⃗ ，E 为BC 的中点，若EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ1+λ2的值为_____． 15. 从0,1,2,3,4,5这6个数中随机抽取5个数构成一个五位数abcde ，则满足条件的五位数的个数有___ ．16. 已知F 是抛物线x 2=4y 的焦点，P 是抛物线上的一个动点，且A 的坐标为(0,−1)，则|PF||PA|的最小值等于______．17. 若直线l 1：y =−x 关于直线l 的对称直线为l 2：x +y −2=0，则直线l 的方程为________．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 已知f(x)=cos2x +4sinx ，求：(1)f(−π4)的值；(2)f(x)的最大值以及取得最大值时x 的值．19. 如图，在四棱锥A −BCDE 中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，BC =2，CD =√2，AB =AC ．(1)求证：BE ⊥面ABC ；(2)设△ABC 为等边三角形，求直线CE 与平面ABE 所成角的正弦值．20.已知正项数列{a n}的前n项和S n满足：4S n=(a n−1)·(a n+3)，(n∈N∗)．①求a n的通项公式；②若b n=2n·a n，求数列{b n}的前n项和T n．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F(−1,0)，过点F作与x轴垂直的直线与椭圆交于M，N两点，且|MN|=3．(1)求椭圆C的方程；(2)过点F(−1,0)的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点，记△GFD的面积为S1，△OED的面积为S2，若λ=S1S2，求λ的取值范围．22.已知函数f(x)=e x−ax，其中e为自然对数的底数，a为常数．(1)若对函数f(x)存在极小值，且极小值为0，求a的值；]，不等式f(x)≥e x(1−sinx)恒成立，求a的取值范围．(2)若对任意x∈[0,π2-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：集合A={y|y=2x}={y|y>0}，B={x|y=log2(1−x2)}={x|−1<x<1}，∴A∩B={x|0<x<1}．故选：B．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.答案：B解析：本题考查了三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．解：由cosα=12得α=2kπ±π3,k∈Z，∴“α=π3”是“cosα=12”的充分不必要条件．故选B．3.答案：B解析：解：二项式(1+1x −2x)4=[1+(1x−2x)]4=1+4(1x −2x)+6(1x−2x)2+4(1x−2x)3+(1x−2x)4，∴二项式展开式中的常数项产生在1，6(1x −2x)2，(1x−2x)4中；分别是1，6×2⋅1x ⋅(−2x)，C42⋅(1x)2⋅(−2x)2；它们的和为1−24+24=1．故选：B．变形(1+1x −2x)4为[1+(1x−2x)]4，按二项式展开，求得展开式中的常数项即可．本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了推理与转化能力，是基础题．4.答案：B解析：解：由正视图和俯视图可知平面ABD⊥平面BCD，三棱锥A−BCD侧视图为等腰直角三角形，两条直角边分别是过A和C向BD所做的垂线，由面积相等可得直角边长为√3√(√3)2+12=√32，∴侧视图面积为S△=12×(√32)2=38．故选：B．由题意知平面ABD⊥平面BCD，三棱锥A−BCD侧视图为等腰直角三角形，两条直角边分别是过B 和D向AC所做的垂线，求出直角边的长度，即可得侧视图的面积．本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．5.答案：A解析：本题考查函数图像的画法，难度一般．解：函数y=2x−x2，则x=2，x=为x>0是的零点，排除B，C，当x=--1时，y=−12<0，排除D．故选A．6.答案：B解析：本题考查二项分布的期望与方差，属于基础题．由题意可得X∼B(4,p)，即可得解．，由题意，X∼B(4,p)，∵D(X)=4p(1−p)=1,∴p=12=2，E(X)=4p=4×12故选B．7.答案：D解析：本题考查不等式的恒成立问题，考查函数的最值问题，属于中档题．由已知条件得到在[2,3]上，f(x)max≤g(x)min，求得f(x)max=f(3)=5,在对a分类讨论，得到g(x)的最小值，从而得到a的不等式，解得a的取值范围即可．解：对于任意的x1，x2∈[2,3]，都有f(x1)≤g(x2)，则在[2,3]上，f(x)max≤g(x)min，因为f(x)=x2−|x−1|−2=x2−x−1,x∈[2,3]，则f(x)在[2,3]上单调递增，所以f(x)max=f(3)=5,当a>0时，g(x)在[2,3]上单调递增，g(x)min=g(2)=2a+1≥5，解得a≥2，当a=0时，g(x)=1，显然不符合题意，，不符合题意，当a<0时，g(x)在[2,3]上单调递减，g(x)min=g(3)=3a+1≥5，解得a≥43综上a≥2，所以实数a的取值范围为[2,+∞)．故选D．8.答案：C解析：本题考查等比数列的性质和等比数列的前n项和，可通过列举特殊数列来排除错误选项，对于正确的选项，则需证明．对于选项A，可列举公比q=−1的等比数列1，−1，1，−1，…，显然满足a5>0，但a2017=1>0，故错误；对于选项B，可列举公比q=−1的等比数列−1，1，−1，1…，显然满足a6>0，但a2018>0，故错误；对于选项D ，可列举公比q =−1的等比数列−1，1，−1，1…，显然满足a 6>0，但S 2018=0，故错误；对于选项C ，因为a 5=a 1⋅q 4>0，所以a 1>0．当公比q >0时，任意a n >0，故有S 2017>0；当公比q <0时，q 2017<0，故1−q >0，1−q 2017>0，仍然有S 2017=a 1(1−q 2017)1−q >0，故C 正确，故选C ．9.答案：D解析：本题考查了双曲线的性质及几何意义，渐近线方程和曲线的交点与方程组的关系．求双曲线的离心率时，可将条件中所给的几何关系转化为关于a ，b ，c 的等式或不等式，再由c 2=a 2+b 2及e =ca 可得到关于e 的方程或不等式，然后解方程或不等式即可求解此题解：画出图形如下图所示，由题意得双曲线在一、三象限的渐近线方程为y =b a x ，以F 1F 2为直径的圆O 的方程为x 2+y 2=c 2，由{y =b a x x 2+y 2=c 2解得{x =a y =b ， 故点P 的坐标为(a,b )．由{x 2a 2−y 2b 2=1x 2+y 2=c 2解得{x =a√b 2+c 2y =b c ，。