奥数几何难题及答案
最难的几何数学题
最难的几何数学题一、在三维空间中，给定一个正方体的一个顶点A和一个与之相对的顶点B，以及正方体表面上除A、B外任意一点C，求从C点出发沿表面到B点的最短路径与最长路径之比的可能取值范围。
A. (0,1)B. (1/√2, √2)C. (1, √3)D. (1/2, 2)（答案）B二、设有一个半径为R的圆内接于边长为a的正六边形中，现从圆上任意取一点P，求点P 到正六边形各边距离之和的最大值。
A. 3√3R/2B. 2√3RC. 3RD. (3+√3)R（答案）D三、在四面体ABCD中，已知AB=CD，AC=BD，且AD与BC垂直，若四面体的外接球半径为R，求四面体ABCD体积的最大值。
A. (4/3)πR3B. (8/9)√3πR3C. (2/3)√6πR3D. (1/3)√6πR3（答案）C四、考虑一个椭圆，其长轴为2a，短轴为2b，现有一条过椭圆中心的直线l，它与椭圆交于M、N两点，若MN的长度为定值d，求直线l的倾斜角α的取值范围。
A. [0, π/4]B. [π/6, π/3]C. 依赖于a, b, d的具体值D. [π/4, π/2]（答案）C五、在直角坐标系中，给定三个点A(0,0)，B(4,0)，C(0,3)，以及一个动点P(x,y)，满足|PA|+|PB|+|PC|=10，求点P的轨迹所围成的图形面积。
A. 3πB. 4πC. 8πD. 12π（答案）B（注：点P的轨迹为椭圆，通过焦点和长轴短轴关系可求解）六、一个正n边形内接于一个半径为R的圆，其各边中点连接形成的多边形面积与原正n 边形面积之比为多少？A. 1/2B. 1/4C. 1/(n+1)D. 依赖于n的具体值（答案）B（对于任意正n边形，中点连接形成的多边形总是原多边形面积的1/4）七、在三维空间中，有一个边长为a的正方体，其内部有一个内切球，球心到正方体一个顶点的距离为d1，到正方体一条棱的中点的距离为d2，求d1/d2的值。
小学奥数几何题100道及答案(完整版)
小学奥数几何题100道及答案(完整版)题目1：一个正方形的边长是5 厘米，它的面积是多少平方厘米？解题方法：正方形面积= 边长×边长，即5×5 = 25（平方厘米）答案：25 平方厘米题目2：一个长方形的长是8 分米，宽是6 分米，它的周长是多少分米？解题方法：长方形周长= （长+ 宽）×2，即（8 + 6）×2 = 28（分米）答案：28 分米题目3：一个三角形的底是10 厘米，高是6 厘米，它的面积是多少平方厘米？解题方法：三角形面积= 底×高÷2，即10×6÷2 = 30（平方厘米）答案：30 平方厘米题目4：一个平行四边形的底是12 米，高是8 米，它的面积是多少平方米？解题方法：平行四边形面积= 底×高，即12×8 = 96（平方米）答案：96 平方米题目5：一个梯形的上底是 4 厘米，下底是6 厘米，高是5 厘米，它的面积是多少平方厘米？解题方法：梯形面积= （上底+ 下底）×高÷2，即（4 + 6）×5÷2 = 25（平方厘米）答案：25 平方厘米题目6：一个圆的半径是3 厘米，它的面积是多少平方厘米？解题方法：圆的面积= π×半径²，即3.14×3²= 28.26（平方厘米）答案：28.26 平方厘米题目7：一个半圆的半径是 4 分米，它的周长是多少分米？解题方法：半圆的周长= 圆周长的一半+ 直径，即3.14×4×2÷2 + 4×2 = 20.56（分米）答案：20.56 分米题目8：一个长方体的长、宽、高分别是5 厘米、4 厘米、3 厘米，它的表面积是多少平方厘米？解题方法：长方体表面积= （长×宽+ 长×高+ 宽×高）×2，即（5×4 + 5×3 + 4×3）×2 = 94（平方厘米）答案：94 平方厘米题目9：一个正方体的棱长是6 分米，它的体积是多少立方分米？解题方法：正方体体积= 棱长³，即6³= 216（立方分米）答案：216 立方分米题目10：一个圆柱的底面半径是2 厘米，高是5 厘米，它的侧面积是多少平方厘米？解题方法：圆柱侧面积= 底面周长×高，底面周长= 2×3.14×2，即2×3.14×2×5 = 62.8（平方厘米）答案：62.8 平方厘米题目11：一个圆锥的底面半径是3 厘米，高是4 厘米，它的体积是多少立方厘米？解题方法：圆锥体积= 1/3×底面积×高，底面积= 3.14×3²，即1/3×3.14×3²×4 = 37.68（立方厘米）答案：37.68 立方厘米题目12：两个边长为4 厘米的正方形拼成一个长方形，长方形的长和宽分别是多少？面积是多少？解题方法：长方形的长为8 厘米，宽为4 厘米，面积= 8×4 = 32（平方厘米）答案：长8 厘米，宽4 厘米，面积32 平方厘米题目13：一个三角形的面积是18 平方厘米，底是6 厘米，高是多少厘米？解题方法：高= 面积×2÷底，即18×2÷6 = 6（厘米）答案：6 厘米题目14：一个平行四边形的面积是24 平方米，底是 4 米，高是多少米？解题方法：高= 面积÷底，即24÷4 = 6（米）答案：6 米题目15：一个梯形的面积是30 平方分米，上底是5 分米，下底是7 分米，高是多少分米？解题方法：高= 面积×2÷（上底+ 下底），即30×2÷（5 + 7）= 5（分米）答案：5 分米题目16：一个圆环，外圆半径是5 厘米，内圆半径是 3 厘米，圆环的面积是多少平方厘米？解题方法：圆环面积= 外圆面积-内圆面积，即 3.14×（5²- 3²）= 50.24（平方厘米）答案：50.24 平方厘米题目17：一个长方体的棱长总和是48 厘米，长、宽、高的比是3:2:1，长方体的体积是多少立方厘米？解题方法：一条长、宽、高的和为48÷4 = 12 厘米，长为6 厘米，宽为4 厘米，高为2 厘米，体积= 6×4×2 = 48（立方厘米）答案：48 立方厘米题目18：一个正方体的表面积是54 平方分米，它的一个面的面积是多少平方分米？解题方法：一个面的面积= 表面积÷6，即54÷6 = 9（平方分米）答案：9 平方分米题目19：一个圆柱的底面直径是4 分米，高是3 分米，它的表面积是多少平方分米？解题方法：底面积= 3.14×（4÷2）²= 12.56 平方分米，侧面积= 3.14×4×3 = 37.68 平方分米，表面积= 2×12.56 + 37.68 = 62.8（平方分米）答案：62.8 平方分米题目20：一个圆锥的底面周长是18.84 分米，高是5 分米，它的体积是多少立方分米？解题方法：底面半径= 18.84÷3.14÷2 = 3 分米，体积= 1/3×3.14×3²×5 = 47.1（立方分米）答案：47.1 立方分米题目21：一个长方体的水箱，长 5 分米，宽4 分米，高 3 分米，里面装满水，把水倒入一个棱长为5 分米的正方体水箱，水深多少分米？解题方法：水的体积= 5×4×3 = 60 立方分米，正方体水箱底面积= 5×5 = 25 平方分米，水深= 60÷25 = 2.4 分米答案：2.4 分米题目22：一块长方形的铁皮，长8 分米，宽6 分米，从四个角各切掉一个边长为1 分米的正方形，然后做成一个无盖的盒子，这个盒子的容积是多少立方分米？解题方法：盒子长6 分米，宽4 分米，高1 分米，容积= 6×4×1 = 24（立方分米）答案：24 立方分米题目23：一个圆柱的体积是60 立方厘米，底面积是12 平方厘米，高是多少厘米？解题方法：高= 体积÷底面积，即60÷12 = 5（厘米）答案：5 厘米题目24：一个圆锥和一个圆柱等底等高，圆柱的体积是27 立方分米，圆锥的体积是多少立方分米？解题方法：等底等高的圆锥体积是圆柱体积的1/3，即27×1/3 = 9（立方分米）答案：9 立方分米题目25：把一个棱长为 6 厘米的正方体铁块熔铸成一个底面积为36 平方厘米的圆柱体，这个圆柱体的高是多少厘米？解题方法：正方体体积= 6³= 216 立方厘米，圆柱体的高= 体积÷底面积，即216÷36 = 6（厘米）答案：6 厘米题目26：一个直角三角形的两条直角边分别是3 厘米和4 厘米，斜边是5 厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米？解题方法：直角三角形面积= 两条直角边乘积的一半，即3×4÷2 = 6（平方厘米）答案：6 平方厘米题目27：一个等腰三角形的周长是20 厘米，其中一条腰长8 厘米，底边长多少厘米？解题方法：等腰三角形两腰相等，所以底边长= 周长-腰长×2，即20 - 8×2 = 4（厘米）答案：4 厘米题目28：一个扇形的圆心角是90°，半径是6 厘米，这个扇形的面积是多少平方厘米？解题方法：扇形面积= 圆心角÷360°×圆的面积，即90÷360×3.14×6²= 28.26（平方厘米）答案：28.26 平方厘米题目29：一个长方体的底面是边长为5 厘米的正方形，高是8 厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？解题方法：长方体体积= 底面积×高，底面积= 5×5 = 25 平方厘米，体积= 25×8 = 200（立方厘米）答案：200 立方厘米题目30：一个圆柱的底面周长是18.84 厘米，高是10 厘米，它的体积是多少立方厘米？解题方法：底面半径= 18.84÷3.14÷2 = 3 厘米，体积= 3.14×3²×10 = 282.6（立方厘米）答案：282.6 立方厘米题目31：一个圆锥的底面直径是8 厘米，高是6 厘米，它的体积是多少立方厘米？解题方法：底面半径= 8÷2 = 4 厘米，体积= 1/3×3.14×4²×6 = 100.48（立方厘米）答案：100.48 立方厘米题目32：把一个棱长为8 厘米的正方体木块削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是多少立方厘米？解题方法：圆柱的底面直径和高都是8 厘米，体积= 3.14×（8÷2）²×8 = 401.92（立方厘米）答案：401.92 立方厘米题目33：一个长方体玻璃缸，从里面量长4 分米，宽 3 分米，高5 分米，缸内水深2.5 分米。
(答案)奥赛经典-奥林匹克数学中的几何问题---参考解答第21章-25章
第二十一章 平行六面体的性质及应用 习题A1．连1AD ，AC ，设E 为OA 的中点，则11O E D O ∥，于是1EO B ∠即为1D O 与1BO 所成的角，且1112O E D O =．不妨设正方体棱长为1，则11BO D O ===，1O E ，BE =．在△1BO E 中15cos 6BO E =∠为所求． 2．问题的难度在于不易确定该平面与正方体的位置．由条件，设正方体1111ABCD A B C D -的棱AB ，AC ，AD 与所给平面的夹角相同，可知所给平面与面BCD 平行．进一步，面BCD 与此正方体的12条棱的夹角都相同，因而，只需求出棱AD 与面BCD 所成的角．为此，过A 作AH ⊥面BCD ，H 为在面BCD 上的射影，连DH ，就有ADH α=∠．注意到△BCD 为正三角形，可证H 为△BCD 的外心，重心．设正方体棱长为a ，则2sin 603DH CD =⋅⋅︒=，而90AHD =︒∠，于是cos cos DH ADH AD α===∠故α=． 3．可以用一个平面截正方体得截面为凸五边形．设点I 为正方体1111ABCD A B C D -的棱1BB 延长线上一点，使得112IB BB =，E 为11A D 的中点，F 为1A A 上的点，113AF A F =，则由△EAF ∽△11C B I ，知1EF C I ∥，从而1C ，E ，F ，I 共面．设此截面交AB 于G ，交BC 于H ，连GH ，则截面1C EFGH 为凸五边形． 用一个平面去截一个正方体所得截面不能是一个正五边形．若截面可以为一个正五边形，则此五边形的五条边分属于此正方体的五个不同的面，过相对的两个面的截线平行，而正五边形中没有平行的边．结论获证．4．由第3题，知截面交棱1BB 的延长线于I ，则112BI BB =，可证12AG AF GB BI ==，11113BH BI B C B I ==，于是23BG =，14BH =，从而可求得GH =，1C H =，512FG =，EF =1C E =为512+． 5．将正方体PQRS P Q R S ''''-的各个面依次展开，从正方形PQQ P ''出发，依次为PP Q Q ''，Q QRR ''，Q R S P ''''，R S SR ''，S SPP ''，PSRQ ．从上述展开图可知截面六边形的周长AA '≥，而AA '==6．作出正方体AS BC A SB C ''''-，则图中三棱锥S ABC -符合题设条件．连S C '''，则EF SS '∥，EF 与SA 所成的角即为SS '与SA 所成的角，而45S SA '=︒∠，故异面直线EF 与SA 成45︒的角．7．将题给直三棱柱补成正方体1111ABPC A B PC -．分别取BP ，1CF 的中点E ，H ，连1EF ，CE ，EH ，则1BD EF ∥，故1EF H ∠为1BD 与1CF 所成的角．设正方体棱长为2，则11EF BD ==，1F H =，且1EH CF ⊥，故111cos F H EF H EF ==∠为所求． 8．以正方体ABCD 为底面，GC 为棱，补作长方体ABCD A B GD '''-．由BD ∥面EFG ，则B 到面EFG的距离等于直线BD 到面EFG 的距离，即ABCD 的中心O 到面EFG 的距离． 过O 作OK GH ⊥于K （H 为EF 与AC 的交点），则OK ⊥面EFG ，线段OK 是点O 到面EFG 的距离．由题设有2GC =，CH =，OH =GH OK OHGC GH=，故OH GC OK GH ⋅==． 9．作四面体的外接平行六面体，使四面体的棱成为外接平行六面体的侧面对角线，由于四面体三对对棱相等，则此平行六面体为长方体．设长方体的长、宽、高分别为x ，y ，z ，则由222222222x x z a y z b y x y c z ⎧=⎪⎧+=⎪⎪⎪+=⇒=⎨⎨⎪⎪+=⎩⎪=⎪⎩而V xyz =长方体，13V V =四面体长方体，故V =四面体10．（Ⅰ）作四面体的外接平行六面体，使四面体的棱成为平行六面体的侧面对角线．设长度分别为1m ，2m 的线段成α角，长度为i m 的线段所在直线与过相应对棱的两平行平面成i β角，则123V m m =⋅⋅33sin sin m αβ⋅⋅，故123333sin sin Vm m m V αβ⋅⋅=⋅≥．（Ⅱ）由四面体重心定义，知G 将1m ，2m ，3m 互相平分．设棱i j A A 的中点为ij B ，由三角形中线长公式，有()22222222211241132121424132111111()224484AG A B A B m A A A A A A A A m =+-=+---． 同理，2222222232131242111()()484A G A A A A A A A A m =+---， 2222223343242312111()()484A G A A A A A A A A m =+---， 2222224114313422111()()484A G A A A A A A A A m =+---． 于是 422222212233441211()2ii AG A A A A A A A A m ==+++-∑． 同理，422222213344221311()2ii AG A A A A A A A A m ==+++-∑， 422222214422331111()2i i AGA A A A A A A A m ==+++-∑． 故 42221231143()i i j i i j G A A A m m m =<=-++∑∑≤≤，而222123m m m ++≥34ii iAG AG =，由此即证． （Ⅲ）由斯特瓦尔特定理，有 22221112134234122339AG A A A B A B =+-222222212141334232434121112111332249224A A A A A A A A A A A A A A ⎛⎫⎛⎫=++--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2222221213142324341139A A A A A A A A A A A A =++-++． 同理，()()222222222324213431411139A G A A A A A A A A A A A A =++-++， ()()2222222333431324142121139A G A A A A A A A A A A A A =++-++， ()()2222222444142431213231139A G A A A A A A A A A A A A =++-++．于是，2141414224399i i i j i ji j i j i j i j AG A A A A A A <<<=-=∑∑∑∑≤≤≤≤≤≤． 11．作长方体1111ABCD A B C D -，使1ABD α=∠，11B BD β=∠，1CBD γ=∠．令AB a =，BC b =，1B B c =．（Ⅰ）由1tan AD AB α==，111tan B D B B β==，221tan D C a c BC b γ+==，有tan tan tan αβγ⋅⋅=． （Ⅱ）在三面角1B AD C -中，有π2ABC αγ+>=∠．同理ππ22αββγ+>+>，故3π4αβγ<++． 在三面角1O ACD -中，112πAOD COD AOC ++<∠∠∠，即2222παβγ++<，故παβγ++<．由此结论获证． 注：若令1π2αα=-，1π2ββ=-，1π2γγ=-，则知1α，1β，1γ均为锐角，且222111sin sin sin 1αβγ++=，有111π3π24αβγ<++<． 12．设2cos a α=，2cos b β=，2cos c γ=，且α，β，γ为锐角．作长方体1111ABCD A B C D -，使1ABD α=∠，11B BD β=∠，1CBD γ=∠．令AB x =，BC y =，1B B z =，1BD l =，则cos x l α=，cos z l β=，cos ylγ=． 由α，β，γ均为锐角，则cos 0α>，cos 0β>，cos 0γ>cos cos cos αβγ+++=x y zl++=注：由上可知α，β，γ均为锐角，且222cos cos cos 1αβγ++=，则有0cos cos cos αβγ<++ 习题B1．因x 表示立方体的棱长，则题中所说的体积差为32233,0,(),0,()(),,,.abc x x a abc x a x ax x b f x x ab c x abx b x c x abc c x ⎧-<⎪+--<⎪=⎨+--<⎪⎪-<⎩当≤时当≤时当≤时当时注意到当0x >时，函数()f x 是连续的，且它的系数为 22223,0,34,0,()32,,3,x x a x ax x b f x x ab b x c x x c ⎧-<<⎪-<<⎪'=⎨-<<⎪⎪>⎩当时当时当时当时.因此，当0x a <<时，函数()f x 是递减的．当x b >时，则是逆增的，而在区间(,)a b 上，因为2234340x ax b ab -<-≤，所以如果43b a <，则()f x 是递减的；如果43a b >，则()f x 在43ax =处有极小值．于是，函数()f x 的最小值要么在x b =处取到（当43a b ≤时），要么在43a x =处取到（当43ab >时），从而所求的min x 为4,3a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭．2．过给定的立方体12341234A A A A A A A A ''''-的中心O 作垂直于对角线13A A '的平面，它分别过棱14A A ''，22A A '，34A A 的中点1B ，2B ，3B ．又点1B ，2B ，3B 到顶点1A 与3A '的距离相等，，且123B O B O B O ==，122311B B B B B B ===>，所以正棱锥1123A B B B 及3123A B B B '（它们没有公共内点）各含有一个正四面体，13AO A O '==，而其底面123B B B '''△与△123B B B 关于中心O 是位似的．最后，所求的正四面体分别在1123A B B B '''与3123A B B B ''''1<，而高，从而其棱长即为a ． 第二十二章 一般四面体的性质及应用 习题A1．由于过不在同一平面上的四点A ，B ，C ，1A 可确定一个球面，设该球面分别与棱SB ，SC 交于1B '，1C '，四边形11A B BA '和11AC CA '分别内接于侧面SAB 及SAC 与球面的交线的圆，由圆的割线定理，有11SA SA SB SB ⋅=⋅，11SA SA SC SC '⋅=⋅．于是111SA SA SB SB SB ⋅'==，111SA SASC SC SC⋅'==． 因此，1B '，1C '分别重合于1B ，1C ，即1B ，1C 在所确定的球面上，亦即A ，B ，C ，1A ，1B ，1C 共在一个球面上．2．在线段CD 上取点Q ，使CQ QD r δ=∶∶在线段BQ 上取一点R ，使()BR RQ γδβ=+∶∶；在线段AR 上取一点P ，使()AP PR βγδα=++∶∶，则点P 为所求的点．事实上，PBCD ABCD V RP V RA ααβγδ==+++， PCDA PCDA RCDA BCDA RCDA BCDA V V V PA BQ V V V RA BQ βγδββαβγδβγδαβγδ++=⋅=⋅=⋅=++++++++， QDAB PDAB PDAB RDAB CDAB RDAB QDAB CDAB V V V V AP BR DQ V V V V AR BQ DC βγδγδγαβγδβγδγδ+++=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅++++++ γαβγδ=+++，QABC PABC PABC RABC DABC RABC QABC DABC V V V V AP BR CQ V V V V AR BQ CD βγδγδδαβγδβγδδγ+++=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅++++++ δαβγδ=+++．故 PBCD PCDA PDAB PABC V V V V αβγδ=∶∶∶∶∶∶，故点P 为所求． 3．由BE EF FC ==，则ABE AEF AFC S S S ==△△△， 即 ABED AEFD AFCD V V V V '===， 而ARGQ AGHQ AHPQV V V V V V V V =++''''133AR AG AQ AG AH AQ AH AP AQAR AG AQ AG AH AQ AH AP AQ AB AE AD AE AF AD AF AC AD AB AE AD AE AF AD AF AC AD ⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭≥113311133V V V AR AP AQ AG AH AQ AH AG AQ AB AC AD AE AF AD AF AE AD V V V ⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪ ⎪'''⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭，从而13V V ≥． 由证明过程易知，当且仅当AR AG AQ AG AH AQ AH AP AHAB AE AD AE AF AD AF AC AD⋅⋅⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅⋅⋅，即RP BC ∥或RP 与BC 重合时，取得等号．4．连OA ，OB ，OC ，OD 延长分别交对面于1A ，1B ，1C ，1D ．令ABCD V V =，1OBCD V V =，2OACD V V =，3OABC V V =，4OABD V V =，则31241V V V V V V V V +++=，从而111111111OA OB OC OD AA BB CC DD +++=，亦即 111111111OA OB OC OD R OA R OB R OC R OD +++=++++．不妨设1111OA OB OC OD ≤≤≤，下证103ROA R =≤．因2121t t R t R t ++≥，当210t t >≥时成立．若103ROA R >=，则011014R OA R OA R R >=++，则（*）式左边1>，矛盾．从而10OA R ≤． 作1OO ⊥面BCD ，则1O 为△BCD的外心，111A O B OC O D R ====0=．设△BCD 的最大边长为BC ，则1120BO C ︒∠≥，从而02sin 60A BC R ⋅︒≥≥．证毕． 5．设E 为AB 的中点，A 在面DEC 的射影为H ，连HE ，则由ADEC BDEC V V =有()32CD AH S V ⋅=．在Rt △AHE 中，12AH AE AB =≤，故()1233CD AH AB S V V =≤． 同理，可得()13BC ADS V≤等五式，相加即证．其中等号当且仅当四面体ABCD 为正四面体时取得． 6．设四面体KLMN 的面KLM 具有最大的周长，又设1A ，1B ，1C ，1D 分别是点A ，B ，C ，D 在平面KLM 上的射影，而且设折线Γ是四面体KLMN 在这个平面上的射影，再设RSTQ P 是联结点R ，S ，T ，Q 中任意两点所得到的六条线段长度的和，则有①2KLMN KLM P P ≤；②KLM P P Γ≤；③111123A B C D P P Γ≤；④1111A B C D ABCD P P ≤．由此即证．7．设1A ，1B ，1X ，1Y 分别是面BXY ，XYA ，YAB ，ABX 与球面的切点，于是△11XY B XA B ≌△，△1AY B ≌△1AB X 等等．利用这两个等式，则可以说明空间四边形AXBY 的角之和等于1AY B +∠ 112AX B AX B =∠∠，而且可以证明11AY B AX B +∠∠不依赖于X ，Y ．8．过D 作DP ⊥面ABC 于P ，作DH BC ⊥于H ．连PH ，则PH BC ⊥，30DHP =︒∠，由已知80BCD S =△，10BC =，得182DP DH ==，从而13203ABCD ABC V DP S =⋅=△．9．设V 为四面体ABCD 的体积，则有111111OBCD AA OA V AO k V OA AO OA =++=+，同理OACD OABD OABC V V VV V V ===1k +．由此得4414OBCDOACD OABD OABC V Vk V V V V V+===+++，求得3k =．10．答案是否定的，设通过长为d 的线段AB 的两个端点各作一条与AB 垂直的直线，而且这两条直线也互相垂直，在这两条直线上分别截取以A ，B 为中点、长为a 的线段，以这两条线段的端点为四面体的顶点，该四面体的每个面的面积等于1124=15知其体积为216a d ．因此，分别具有13a =，12d =与21a =，2d =的两个四面体的界面面积相等（因1a215a ），而其体积不等，因为22112218a d a d =≠=． 11．为使连接点B ，C 与△ACD ，△ABD 内切圆中心的两条直线相交，其必要充分条件是，它们在同一个平面上．而这等价于，ABD ∠和ACD ∠的平分线与棱AD 交于同一点．根据三角形平分线的性质，后一条件当且仅当AB ACBD CD=，即AB CD AC BD ⋅=⋅时成立．于是，如果在题中所说的四条直线交于一点，则它的对棱长度的乘积相等．反之，如果所说的三个乘积相等，则四条直线中任意两条都相交，且任意三条不共面．因此所有直线交于同一点．12．可以证明所有直线n n K L 都过某个固定点O ，而点O 在过顶点A 且平行于直线BC 的直线上，其中n +∈N ．事实上，如果直线n n K L 与直线BC 交于点P （位于射线CB 上），则由于△n K BP 与△n K AO 相似，所以1n n PK PB n OA AK ==-；由n L CP △与n L AO △相似，有nnCL PC n OA AL ==．因而OA nOA =- ()1n OA PC PB BC -=-=．同理，对于N +∈N ，所有直线n n L M 都过某个固定点Q ，而点Q 在过顶点A 且平行于CD 的直线上．因此，对N +∈N ，所有平面n n n K L M 都过直线OQ ．13．因V 、S 与r 分别表示四面体的体积、表面积与内切球的半径，在四面体被平面截成的两个部分中有一个是底面在该平面上的棱锥，用1V 、1S 与1r 分别表示该棱锥的体积、侧面积与球心在该平面上且和侧面相切的球面的半径．棱锥的底面过四面体内切球的球心的充要条件是r r =．又由13V Sr =，11113V S r =，因而1r r =等价于11V S V S =，即1111V V S S V S --=． 14．设点O 在四面体ABCD 的内部，用P 表示直线DO 与平面ABC 的交点，Q 表示直线BP 与边AC 的交点，由三面角性质，有AOB AOC AOB AOQ QOC BOQ QOC BOP +=++>+=+∠∠∠∠∠∠∠∠ 180180POQ QOC BOPO POC BOD COD +>+=︒-+︒-∠∠∠∠∠∠，从而AOB AOC BOD +++∠∠∠ 360COD >︒∠．同理，360AOB BOC AOD COD +++>︒∠∠∠∠，AOC BOC AOD BOD +++∠∠∠∠ 360>︒．上述三个不等式相加后除以2，即得要证的不等式．15．用V 与S 表示四面体的体积与表面积，用i S 表示第i 个面的面积，这个面上的四面体的高记为i h ，旁切球半径为i r ，则()1112341113(2)V h S r S S S S r S S ==++-=-．同理，i i i 3(2)i V h S r S S ==⋅-，因此444123411111221(2222)2333i i i i iiS S S S S S S S S S r V V V h ====-+-+-+-===∑∑∑． 16．在△ABC 中应用中线公式，可以算出222211009(22)44CN AC BC AB =+-=．同理2DN =2221425(22)44AD BD AB +-=．在NCD △中有()2222215482213744a MN DN CN CD ==+-==．17．由Weitzenbock不等式，有222ABC a b c ++△≥，222DAB c d e ++△≥，222a e f ++≥DBC S △，222DCA b f d ++△≥，将此四个不等式两边相加并整理即证．18．由三角形任意两边之差小于第三边，则由题设含有一边长为2的三角形的其他两边边长只能有下面四种情形：①3，3；②5，5；③4，5；④3，4．对题中四面体，以2为公共棱的两侧面三角形又可能有三种情形：（1）①与②，（2）①与③，（3）②与④．由（1）令3AC BC ==，5AD BD ==，这样的四面体只有一个，113ABC V CD S =⋅=△；（2）这样的四面体有两个，2211133ABC ABC V h S DB S V =⋅<⋅=△；（3）这样的四面体也有两个，331133ACD ACD V h S AB S =⋅<⋅△△．比较1V ，2V ，3V知最大为1V =．19．在四面体1234A A A A 中，设其重心G 到四面△234A A A ，△134A A A ，△124A A A ，△123A A A 的距离分别为1d ，2d ，3d ，4d ，相应的面积记为1S ，2S ，3S ，4S ．设四面体的内切球半径为r ，则内心到四面距离之和为4r ．连1A G 并延长交面234A A A 于点Q ，则114GQ AQ =∶∶． 23412341144GA A A A A A A V V V ==．同理12312314GA A A GA A A V V V ==．于是111113/434V d V S S ==，同理2234V d S =，3334V d S =，4434V d S =．故123412341234311111()44d d d d V r S S S S S S S S ⎛⎫+++=+++=+++ ⎪⎝⎭ 123411114r S S S S ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭≥． 20．点M ，N ，L 既在截面上，又在侧面ABC 上，所以它们在这两个面的交线上，即它们共线． 同理A '，B '，M 共线；B '，C '，M 共线；A '，C '，M 共线．而1sin 2ANL S AL NL ALN =⋅⋅△∠，LMB S =△ 1sin 2LB LM ALN ⋅⋅∠． 于是ANL LMB S AL NL S LB LM ⋅=⋅△△．同理BMB B C P S B B MB S B C B P '''''⋅='''⋅△△，PC A A NA S PA A C S A A A N ''''''⋅=''⋅△．故ANL BMB PC A LMB B C P A NAS S S S S S ''''''⋅⋅=△△△△△△AL NL B B MB PA A C AL BB VA NL MB L A LB LM B C B P A A A N LB B P A A LM B C A N''''''''''⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅''''''''''⋅⋅⋅． 因直线A B P ''同时为△PAB 和△MC N '的截线，故由梅涅劳斯定理，得1AL BB PA LB B P A A ''⋅⋅=''，NL LM⋅ 1MB C A B C A N'''⋅='''．由此结论可证． 21．设截面交AB 于L ．由一般四面体性质20，有1AK ZM CP BL KZ MC PB LA ⋅⋅⋅=，即32BL LA =．连MA ，ML ，AP ，设ABC S S =△，过点Z 引四面体ZABCD 的高h ，则153Sh =，过M 引四面体MALP 的高为35h ，则1312133133535252535MALP ALP ABC V S h S h Sh ⎛⎫=⋅=⋅⋅⋅=⋅= ⎪⎝⎭△△．设1ZAB S S =△，过C 作四面体CZAB 的高为1h ，则1111112221232552535MAKL V S h S h ⎛⎫=⋅⋅⋅=⋅= ⎪⎝⎭，AKMPL V =1MALP MAKL V V +=．又113AKMPL KMPL V S =⋅，故3KMPL S =为所求．22．因AF DE =，有AE DF =．由一般四面体性质22，有222BCF ABC BCD DF AF S S S AD AD=⋅+⋅-△△△ 22221144ABC BCD AE DE BC AF DF S S BC AE DE AD AD ⋅⋅=⋅+⋅-⋅⋅△△．又面BCE 平分二面角A BC D --，由性质22推论3，有2214BCE ABC BCD S S S BC AE DE =⋅-⋅⋅△△△．以上两式两边相减，注意到ABC ABC BCD S AE AD S S =+△△△及BCD ABC BCDS DEAD S S =+△△△，即证． 习题B1．由点P 作平面ABC 的垂线，假设点Q 是四面体ABCD 的在这个垂线上离平面ABC 最远的点．显然，点Q 属于界面ABD ，ACD ，BCD 中的一个界面，为确定起见，假设Q 属于界面ABD ．在平面ABD 上，过点Q 作直线和棱AB 垂直，假设R 是这个垂线上离AB 最远而又属于△ABD 的点，点R 属于一条棱AD 或BD ．例如，假设点R 属于棱AD ．如果点沿着平面或直线的垂线作背离平面或直线的移动，那么这个点和平面或直线的任一点的距离增加．因此PA QA RA DA ≤≤≤．每一个不等式可以单个地变成严格的等式，因为允许点之间两两重合：P Q ≡，Q R ≡，R D ≡．但是所有的不等式不可能同时变成严格的等式，因为根据本题条件，点P 不和顶点D 重合．因此，至少有一个不等式即使在所有其他的不等式都变成等式的情况下仍保持不等号，于是有PA DA <． 2．由于EH FG ∥，BD 为平面ABD ，CBD 的交线，所以BD EH ∥．同理AC EF ∥．又切线AE AH =，EH BD ∥，则AB AD =．同理AB BC CD DA ===． 设球与AC 切于点I ，则过E ，F ，I 的圆是球与平面ABC 的交线，从而这圆是等腰△ABC 的内切圆，因此I 为AC 的中点．由EH AE BD AB =，EF BEAC AB=及EH EF =，22AC AI AE ==，易得2BD BE =． 取BD 的中点J ，则△JAC 为等腰三角形，于是IJ ，AC ，BD 互相垂直并且平面ACJ 平分二面角B ACD --，球心O 在这个二面角的平分面上，从而在IJ 上，又OE OJ ==． 所以该球与棱BD 相切于J （并且O 为IJ 的中点）．3．设四个球的球心为A ，B ，C ，D ，依题意有6AB =，4CD =，5AC BC AD BD ====．又设AB ，CD 的中点分别为F 和E ，小球的球心为O ，则由对称性，O 在线段EF 上，并且易知EF AB ⊥，EF CD ⊥，于是EF ===，OEOF r 为小球O+=又222-=，=于是= (6)r +．而0r >，从而=126r r =+，故611r =为所求． 4．设S 表全面积，i S 表顶点i A 所对的面的面积（1i =，2，3，4），设α，β，γ分别是以23A A ，24A A ，34A A 为棱的二面角的大小；并设1h 为顶点1A 到对面的高，11h A E '=是△123A A A 边23A A上的高，则11sin h h α'=⋅==同理，1242h A A ==2h = 由上即有12324342h Q A A A A A A =⋅++，其中41i Q ==2θγ=，3θβ=，4θα=．再由柯西不等式及性质5，可得1122443322443322[(cos )(cos )(cos )][(cos )(cos )(cos )]Q S S a S S S S S S S S S S αβγαβγ+++++⋅-+-+-≤112243214321()()S S S S S S S S =+++⋅++-=．从而1232434h再注意到113r S h S V ⋅=⋅=，则11112324342h S S r r S A A A A A A ==++≤同理，有r ≤i r 2i =，3，4）． 故 44222112112i i i iS S r r S r==-=∑∑≤． 5．由切线长定理知，必要性显然，仅证充分性：设l 是过△ACD 的内心1O 且垂直于面ACD 的直线，则l 到ACD △的三边等距离．设g 是过△BCD 的内心2O 且垂直于面BCD 的直线，则g 到BCD △的三边也等距离．设△ACD 与△BCD 的内切圆1O e 和2O e 分别切CD 边上于E ，F 两点，设1O e 切AD 于H ，切AC 于G ，2O e 切BD 于M ，切BC 于N ．由AD BC AC BD +=+，知有()AH HD ++()()()BN CN AG GC BM MD +=+++，即HD CN GC MD +=+．将HD DE =，MD DF =，CG CE =，CN CF =代入上式，得20DE CF CE DF CD EF CD EF EF +=+⇔+=-⇔=．这表明1O e 与2O e 分别切于CD 上同一点E ，所以l 与g 相交．若设l 与g 交于点O ，则O 到除棱AB 外的其余各棱等距离．再考虑其他任何两面过内心的垂线，同理可证他们两两相交．再根据立体几何结论：“空间三直线两两相交且不共面则必交于一点。
初三奥数题及答案
初三奥数题及答案题目一：几何问题已知一个圆的半径为5厘米，圆内接一个等腰三角形，三角形的底边恰好是圆的直径。
求三角形的高。
解答：设等腰三角形的底边为AB，高为CD，其中A、B是圆上的两点，C是三角形的顶点。
由于AB是圆的直径，所以AB=10厘米。
设圆心为O，根据勾股定理，我们可以计算出OC的长度。
由于三角形AOC是直角三角形（因为OC是高，且AO是半径），我们有：\[ OC^2 + AC^2 = AO^2 \]\[ OC^2 + (5)^2 = (5\sqrt{2})^2 \]\[ OC^2 + 25 = 50 \]\[ OC^2 = 25 \]\[ OC = 5 \]由于三角形ABC是等腰三角形，所以AC=BC，我们可以设AC=BC=x厘米。
根据勾股定理，我们有：\[ x^2 = 5^2 + (10/2 - x)^2 \]\[ x^2 = 25 + (5 - x)^2 \]\[ x^2 = 25 + 25 - 10x + x^2 \]\[ 10x = 50 \]\[ x = 5 \]所以，三角形的高CD等于OC，即5厘米。
题目二：数列问题一个数列的前三项为1, 1, 2，从第四项开始，每一项都是其前三项的和。
求这个数列的前10项。
解答：已知数列的前三项为a_1=1, a_2=1, a_3=2。
根据题意，我们可以计算出后续项：- 第四项：a_4 = a_1 + a_2 + a_3 = 1 + 1 + 2 = 4- 第五项：a_5 = a_2 + a_3 + a_4 = 1 + 2 + 4 = 7- 第六项：a_6 = a_3 + a_4 + a_5 = 2 + 4 + 7 = 13- 以此类推，我们可以继续计算出后续项。
数列的前10项为：1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149。
题目三：组合问题有5个不同的球和3个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，求所有可能的放球方式。
往年奥数试题及答案高中
往年奥数试题及答案高中试题一：几何问题题目：在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB为斜边，BC=6，AC=8，求AB的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。
设AB的长度为x，则有：\[ x^2 = 6^2 + 8^2 \]\[ x^2 = 36 + 64 \]\[ x^2 = 100 \]\[ x = 10 \]所以，AB的长度为10。
试题二：代数问题题目：解方程 \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)。
解答：这是一个二次方程，我们可以使用因式分解法来解它。
首先找到两个数，它们的乘积为6，和为-5。
这两个数是-2和-3。
因此，我们可以将方程分解为：\[ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0 \]所以，方程的解是 \( x = 2 \) 或 \( x = 3 \)。
试题三：组合问题题目：有5个不同的球和3个不同的盒子，将这些球放入盒子中，每个盒子至少有一个球，有多少种不同的放法？解答：首先，我们需要将5个球分成3组，其中至少一组有2个球。
我们可以使用组合数来计算：\[ C(5,2) \times C(3,1) \]\[ = \frac{5!}{2!(5-2)!} \times \frac{3!}{1!(3-1)!} \]\[ = 10 \times 3 \]\[ = 30 \]但是，我们还需要考虑球在盒子中的排列方式。
由于每个盒子至少有一个球，我们可以将30种分法中的每种都视为3个盒子的排列，即\( 3! \) 种方式。
所以总的放法为：\[ 30 \times 3! = 30 \times 6 = 180 \]试题四：数列问题题目：一个数列的前几项为 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...，求第10项。
解答：这是一个斐波那契数列，每一项都是前两项的和。
我们可以通过递推的方式来计算第10项：\[ a_1 = 1, a_2 = 1, a_3 = a_1 + a_2 \]\[ a_4 = a_2 + a_3, a_5 = a_3 + a_4, \ldots \]继续递推，我们可以得到：\[ a_{10} = a_8 + a_9 \]\[ a_8 = 13, a_9 = 21 \]\[ a_{10} = 13 + 21 = 34 \]所以，第10项是34。
奥数几何计数题库及答案
奥数几何计数题库及答案1. 题目一：一个圆的半径为5厘米，求圆内接正六边形的边长。
答案：圆内接正六边形的边长等于圆的半径。
因此，边长为5厘米。
2. 题目二：一个正方体的棱长为10厘米，求其外接球的半径。
答案：正方体的体对角线等于外接球的直径。
体对角线的长度为\(\sqrt{3} \times 10\) 厘米，所以外接球的半径为\(\frac{\sqrt{3} \times 10}{2}\) 厘米。
3. 题目三：一个圆柱的底面半径为3厘米，高为10厘米，求其侧面积。
答案：圆柱的侧面积等于底面周长乘以高，公式为 \(2\pi r\times h\)。
代入数值得 \(2\pi \times 3 \times 10 = 60\pi\) 平方厘米。
4. 题目四：一个正四面体的棱长为a厘米，求其表面积。
答案：正四面体的表面积由四个等边三角形组成，每个三角形的面积为 \(\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\)。
因此，总表面积为 \(4 \times \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \sqrt{3}a^2\) 平方厘米。
5. 题目五：一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c厘米，求其对角线的长度。
答案：长方体的对角线长度可以通过勾股定理求得，公式为\(\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\) 厘米。
6. 题目六：一个圆锥的底面半径为r厘米，高为h厘米，求其体积。
答案：圆锥的体积公式为 \(\frac{1}{3}\pi r^2 h\) 立方厘米。
7. 题目七：一个球的直径为d厘米，求其表面积。
答案：球的表面积公式为 \(4\pi r^2\)，其中r为半径，即\(\frac{d}{2}\) 厘米。
代入得 \(4\pi\left(\frac{d}{2}\right)^2 = \pi d^2\) 平方厘米。
8. 题目八：一个圆环的内圆半径为r1厘米，外圆半径为r2厘米，求其面积。
答案：圆环的面积等于外圆面积减去内圆面积，公式为 \(\pir2^2 - \pi r1^2\) 平方厘米。
高三奥数题及答案
高三奥数题及答案高三奥数题通常涉及高等数学、几何、代数和数论等领域的高级概念和技巧。
以下是一些典型的高三奥数题目及它们的答案：# 题目1：几何问题题目：在一个圆中，有一个内接三角形ABC，已知圆的半径为r，三角形的边AB和AC的长度分别为a和b，求边BC的长度。
答案：根据圆内接三角形的性质，可以使用余弦定理来解决这个问题。
设BC的长度为c，根据余弦定理有：\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\angle ABC) \]由于三角形ABC是圆的内接三角形，角ABC的余弦值可以通过圆的半径和边长来表示：\[ \cos(\angle ABC) = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB\cdot AC} \]将这个表达式代入上面的余弦定理中，我们可以得到：\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \] 简化后得到：\[ c^2 = 2r^2 \]所以，边BC的长度为：\[ c = \sqrt{2r^2} \]# 题目2：代数问题题目：解方程 \( x^3 - 3x^2 + 2x - 1 = 0 \)。
答案：这是一个三次方程，我们可以通过因式分解来解决。
首先尝试找到根，观察方程，我们可以猜测 \( x = 1 \) 是一个根，因为\( 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 - 1 = 0 \)。
然后我们可以将多项式除以 \( x - 1 \) 来找到其他根：\[ x^3 - 3x^2 + 2x - 1 = (x - 1)(x^2 - 2x + 1) \]进一步分解 \( x^2 - 2x + 1 \)，我们发现它是一个完全平方：\[ x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \]所以，原方程的解是 \( x = 1 \)，这是一个三重根。
2023阿塞拜疆数学奥林匹克几何题解答
2023年阿塞拜疆数学奥林匹克几何题解答序号题目解答1. 题目: 已知三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=20°，D是AB的延长线上一点，使得∠BCD=60°，求∠ACD的度数。
解答:由题意可知，∠BAC=20°，AB=AC，所以三角形ABC是一个等腰三角形。
又因为D是AB的延长线上一点，且∠BCD=60°，所以三角形BCD 是一个30-60-90特殊角形直角三角形。
根据特殊角形直角三角形的性质，可知BC=CD的两倍，即BC=CD=AC/2。
又∠BCD=60°，所以BCD三角形是等边三角形。
∠ACD=60°。
2. 题目: 已知矩形ABCD中，E是BC的中点，F是CD的中点，连接AE和BF交于点O，求证:△AOF≌△DOE。
解答:绘制图形ABCD，连接AE和BF，交于点O。
由题意可知，E是BC的中点，F是CD的中点，所以△BEC≌△DEC 且△BFC≌△AFC。
又因为AE=EC，BF=FC，所以△AEO≌△DEO且△AFO≌△DFO。
综上，可知△AOF≌△DOE。
3. 题目: 平面上有六个点，它们两两之间的距离的所有不等于1的整数值中，最小的是多少？解答:我们列举平面上六个点两两之间的距离，并找出它们的所有不等于1的整数值。
根据距离公式，我们可以得到所有距离，然后筛选出不等于1的整数值：1. AB=√5, AC=√13, AD=√17, AE=√29, AF=√34, BC=√8,BD=√10, BE=√20, BF=√26, CD=√5, CE=√12, CF=√18, DE=√8, DF=√12, EF=√5其中，不等于1的整数值有：2、3、4、5、6、8、10、12、17、18、20、26、29、34。
其中最小的整数值为2。
4. 题目: 已知三角形ABC的内角B、C满足sinB=2sinC，且A=2B，求三角形ABC的内角大小。
解答:根据题意，有sinB=2sinC和A=2B。
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几何模块
1.如右下图有一个圆心为O的圆和三个正方形．E，F，G，H和I，J，K，L都是所在线段的中点．如果正方形ABCD的面积是12平方厘米，则阴影正方形IJKL的面积是( )平方厘米．
3.如图，在四边形ABCD中，CF＝2DF，DE=EA．已知三角形BCF的面积为3平方厘米，四边形BFDE的面积为5平方厘米，则四边形ABCD的面积为( )平方厘米。
4.右图中，ABCD是长方形，长是8，宽是3，M是BD的中点，则三角形ABM的周长：ABCD 的周长＝( )。
5.下图中，ABCD是一个梯形，面积是4，DC=3，AB＝5，求三角形ABO的面积．
6.在三角形ABC中，点E在BC上，点F在AC上，BF与AE相交于点P，如果四边形CEPF 与三角形BEP与三角形AFP的面积均相等为4，则三角形ABP的面积为多少？
7.由7根直径都是5分米的圆柱形木头，现用绳子分别在两处把它们捆绑在一起，其切面如下图，至少需要绳子___分米。
是平行四边形ABCD的CD边上的一点，BD、AE相交于点F，已知三角形AFD的面积是6，三角形DEF的面积是4，求四边形BCEF的面积为多少？
10.右图为某婴幼儿商品的商标，由两颗心组成，每颗心都是由一个正方形和两个半圆拼成．若两个正方形的边长分别为40 mm, 20 mm，那么，阴影图形的面积是多少．（π取）
11.求四边形GHCM的面积。
12.图中ABCD是个直角梯形(∠DAB=∠ABC=90°)，以AD为一边向外作长方形ADEF，其面积为平方厘米。
连接BE交AD于P，再连接PC。
则图中阴影部分的面积是( )厘米。
13.如图，边长为12厘米的正方形中有一块阴影部分。
阴影部分的面积是多少平方厘米。
14.如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是1．求阴影部分的面积．
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．（π取）
16.如图，矩形ABCD中，AB 6厘米，BC 4厘米，扇形ABE半径AE 6厘米，扇形CBF
的半径CB 4厘米，求阴影部分的面积.
17.若长方体的三个侧面的面积分别是6，8，12，则长方体的体积是多少？
18.如图是由19个棱长都是2厘米的立方体重叠而成的，求这个立体图形的表面积．（单位：平方厘米）
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几何模块答案1.
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