2020年上海市静安区高考数学一模试卷
2020年上海市静安区高考数学一模试卷
安逸数学工作室2019.12
一、填空题（本题满分54分)本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分。
1. 计算=−∞→)9.01(lim n
n ___________. 2. 在单位圆中，60°的圆心角所对的弧长为__________.
3. 若直线1l 和2l 的倾斜角分别为32°和152°，则1l 和2l 的夹角为__________.
4. 若直线l 的一个法向量为)1,2(=n ，则直线l 的斜率=k __________.
5. 设某种细胞每隔一小时就会分裂一次，每个细胞分裂为两个细胞，则7小时后，1个此种
细胞将分裂为__________个.
6. 设ABC ∆是等腰直角三角形，斜边2=AB ，现将ABC ∆（及其内部）绕斜边所在的直
线旋转一周形成一个旋转体，则该旋转体的体积为____________.
7. 如图，在平行四边形ABCD 中，1,2==AD AB ，则
=⋅_________.
8. 三倍角的正切公式为=α3tan __________.
9. 设集合A 共有6个元素，用这全部的6个元素组成的不同矩阵的个数为___________.
10. 现将函数),0(,sec π∈=x x y 的反函数定义为反正割函数，记为x arc y sec =，则
=−)4sec(arc _________（请保留两位小数）.
11. 设双曲线11
2
22=+−a y a x 的两个焦点为21,F F ，点P 在双曲线上，若21PF PF ⊥，则点P 到坐标原点O 的距离的最小值为___________.
12. 设0,0,1,0>>≠>N M a a ，我们可以证明对数的运算性质如下：
∵MN a a a N M N M a a a a ==+log log log log ①
∴N M MN a a a log log log +=
我们将①式称为证明的“关键步骤”，则证明M r M a r
a log log =（其中R r M ∈>,0） 的“关键步骤”为__________________.
二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
13．“三个实数c b a ,,成等差数列”是“c a b +=2” 的（ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件 14．设R y x ∈,，若复数i
y i x −+是纯虚数，则点),(y x P 一定满足（ ） A ．x y = B ．x y 1= C ．x y −= D ．x
y 1−= A ．在1,2,3,4,5中任取两个不同的数的乘积之和
B ．在1,2,3,4,5中任取三个不同的数的乘积之和
C ．在1,2,3,4,5中任取四个不同的数的乘积之和
D ．以上结论都不对
16．某人驾驶一艘小游艇位于湖面A 处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东21°方向，
且塔顶的仰角为18°，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达B 处，此时测得塔底位于北偏西39°方向，则该塔的高度约为（ ）
A ．265米
B ．279米
C ．292米
D ．306米
三、解答题（本题满分76分）本大题共有5题，解答下列名题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤。
17．（14分）如图，在正六棱锥ABCDEF P −中，已知底边长为2，侧棱与底面所成角为
60°；
（1）求该六棱柱的体积V ；
（2）求证：CE PA ⊥.
18．（14分）请解答以下问题，要求解决两个问题的方法不同；
（1）如图1，要在一个半径为1米的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD ，如何截取？并求出这个最大矩形的面积.
（2）如图2，要在一个长半轴为2米，短半轴为1米的半个椭圆形铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD ，如何截取？并求出这个最大矩形的面积.
19．（14分）设}{n a 是等差数列，公差为d ，前n 项和为n S ；
（1）设38,4061==a a ，求n S 的最大值；
（2）设)(2,11∗∈==N n b a n a n ，数列}{n b 的前n 项和为n T ，则对任意的∗∈N n ，都有20≤n T ，求d 的取值范围.
20．（16分）已知抛物线Γ的准线方程为02=++y x ，焦点为)1,1(F ；
（1）求证：抛物线Γ上任意一点P 的坐标),(y x 都满足方程：088222=−−+−y x y xy x ；
（2）请指出抛物线Γ的对称性和范围，并运用以上方程证明你的结论；
（3）设垂直于x 轴的直线与抛物线Γ交于B A ,两点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
21．（18分）现定义：设a 是非零常数，若对于任意的D x ∈，都有)()(x a f x a f +=−，
则称函数)(x f y =为“关于a 的偶形函数”；
（1）请以三角函数为例，写出一个“关于2的偶形函数”的解析式，并给予证明；
（2）设定义域为R 的“关于a 的偶形函数”)(x f y =在区间),(a −∞上单调递增，求证：)(x f y =在区间),(+∞a 上单调递减；
（3）设定义域为R 的“关于2
1的偶形函数”)(x f y =是奇函数，若∗∈N n ，请猜测)(n f 的值，并用数学归纳法证明你的结论.
参考答案
1.1；
2. 3π
； 3. o
60； 4. 2−； 5. 128； 6. 32π； 7.3−； 8.α
αα23tan 31tan tan 3−−； 9.2880； 10. 1.82 ； 11.2
3； 12.r r M M r M a a a a ==)(log log ；（这个应该答案不唯一） 13.C
14.B
15.A
16.C
17.（1）12；（2） 略；
18.（1）1,2
2==S OB ； （2）2,2==S OB ； 19.（1）2020101100max ===S S S ；（2）9.0log 2≤d ；
20.（1）08822
|2|)1()1(||2222=−−−+⇒++=−+−⇒=y x xy y x y x y x d PF ； （2）1,1,−≥−≥=y x x y 对称轴； （3）4+=x y ；
21.（1）答案不唯一，略； （2）略； （3）0)(=n f ；。
2020年上海市高考数学模拟试卷6套(附答案解析)
高考数学一模试卷一二三总分题号得分一、选择题（本大题共4 小题，共20.0 分）1.若函数在区间（1，e）上存在零点，则常数a的取值范围为（）A. 0＜a＜1B. C. D.2.下列函数是偶函数，且在[0，+∞）上单调递增的是（）A. B. f（x）=|x|-2cos xC. D. f（x）=10|lg x|3.已知平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足a⊆α，b⊆β，c⊆γ，则直线a、b、c不可能满足的是（）A. 两两垂直B. 两两平行C. 两两相交D. 两两异面4.提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：，-π＜φ＜π，下列判断错误的是（）A. 当a＞0，b＞0 时，辅助角B. 当a＞0，b＜0 时，辅助角C. 当a＜0，b＞0 时，辅助角D. 当a＜0，b＜0 时，辅助角二、填空题（本大题共12 小题，共54.0 分）5.若复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），则|z|=______．6.已知，则λ=______．7.函数y=3x-1（x≤1）的反函数是______．8.2019 年女排世界杯共有12 支参赛球队，赛制采用12 支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有______场球赛．9.以抛物线y2=-6x的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是______．10.在（1-x）5（1+x3）的展开式中，x3 的系数为______．（结果用数值表示）11.不等式|x-x2-2|＞x2-3x-6 的解集是______．12.已知方程x2-kx+2=0（k∈R）的两个虚根为x、x，若|x-x|=2，则k=______．1 2 1 213.已知直线l过点（-1，0）且与直线2x-y=0 垂直，则圆x2+y2-4x+8y=0 与直线l相交所得的弦长为______．14.有一个空心钢球，质量为142g，测得外直径为5cm，则它的内直径是______cm（钢的密度为7.9g/cm3，精确到0.1cm）．15.已知{a}、{b}均是等差数列，c=a•b，若{c}前三项是7、9、9，则c=______．n n n n n n1016.已知a＞b＞0，那么，当代数式取最小值时，点P（a，b）的坐标为______．三、解答题（本大题共5 小题，共76.0 分）17.在直四棱柱ABCD-A B C D中，底面四边形ABCD是边长1 1 1 1为2 的菱形，∠BAD=60°，DD1=3，E是AB的中点．（1）求四棱锥C1-EBCD的体积；（2）求异面直线C1E和AD所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18.已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及对称中心；（2）若f（x）=a在区间上有两个解x、x，求a的取值范围及x+x的值．1 2 1 219.一家污水处理厂有A、B两个相同的装满污水的处理池，通过去掉污物处理污水，A池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的10%，B池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的19%．（1）A池要用多长时间才能把污物的量减少一半；（精确到1 小时）（2）如果污物减少为原来的10%便符合环保规定，处理后的污水可以排入河流，若A、B两池同时工作，问经过多少小时后把两池水混合便符合环保规定．（精确到1 小时）20.已知直线l：x=t（0＜t＜2）与椭圆象限，M是椭圆上一点．相交于A、B两点，其中A在第一（1）记F、F是椭圆Γ的左右焦点，若直线AB过F，当M到F的距离与到直1 2 2 1线AB的距离相等时，求点M的横坐标；（2）若点M、A关于y轴对称，当△MAB的面积最大时，求直线MB的方程；（3）设直线MA和MB与x轴分别交于P、Q，证明：|OP|•|OQ|为定值．21.已知数列{a}满足a=1，a=e（e是自然对数的底数），且，令n 1 2b=ln a（n∈N*）．n n（1）证明：（2）证明：；是等比数列，且{b n}的通项公式是；（3）是否存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立？若存在，求t的取值范围，否则，说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：函数在区间（1，e）上为增函数，∵f（1）=ln1-1+a＜0，f（e）=ln e- +a＞0，可得＜a＜1故选：C．判断函数的单调性，利用零点判断定理求解即可．本题考查函数与方程的应用，函数的零点的判断，是基本知识的考查．2.【答案】A【解析】解：由偶函数的定义，偶函数的定义域关于原点对称，故D错；A：f（-x）=log2（4-x+1）+x=log2+x=log （4x+1）-log 22x+x=log （4x+1）-x=f（x）；2 2 2f（x）=log2（4x+1）-x=log2号成立，故A正确；=log （2x+ ）≥log2=1，当且仅当2x= ，即x=0 时等2 2B：x＞0 时，f（x）=x-2cos x，令f′（x）=1-2sin x＞0，得x∈（0，2kπ+）∪（2kπ+，2kπ+2π）（k∈N*），故B不正确；C：x≠0时，x2+ ≥2，当且仅当x2= ，即x=±1时，等号成立，∴不满足在[0，+∞）上单调递增，故C不正确；故选：A．由偶函数的定义，及在[0，+∞）上单调即可求解；考查偶函数的定义，函数在特定区间上的单调性，属于低档题；3.【答案】B【解析】解：平面α、β、γ两两垂直，直线a、b、c满足a⊆α，b⊆β，c⊆γ，所以直线a、b、c在三个平面内，不会是共面直线，所以：当直线两两平行时，a、b、c为共面直线．与已知条件整理出的结论不符．故选：B．直接利用直线和平面的位置关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：直线和平面之间的关系的应用，主要考查学生的空间想象能力，属于基础题型．4.【答案】B【解析】解：因为cosφ=，sinφ=⇒tanφ=，对于A，因为a＞0，b＞0，则辅助角φ在第一象限⇒0＜φ＜，因为＞0，φ=arctan＞0，故A选项正确；对于B，因为a＞0，b＜0，则辅助角φ在第四象限⇒- ＜φ＜0；，故φ=π-arctan（- ）=π+arctan＞0，故B选项错误；对于C，因为a＜0，b＞0，则辅助角φ在第二象限⇒⇒＜φ＜π；＜0，故φ═π-arctan（- ）=π+arctan＞0，故C选项正确；对于D，因为a＜0，b＜0，则辅助角φ在第三象限⇒-π＜φ＜- ，＞0，故φ=arctan，又因为φ∈（-π，π]，故φ=arctan-π＜0，故D选项正确；故选：B．分别判断出a，b的值，对辅助角φ的影响．①a＞0，b＞0，则辅助角φ在第一象限；②a＞0，b＜0，则辅助角φ在第四象限；③a＜0，b＜0，则辅助角φ在第三象限；④a＜0，b＞0，则辅助角φ在第二象限．本题考查了三角函数的性质，考查学生的分析能力；属于中档题．5.【答案】【解析】解：∵复数z满足z（1+i）=2i，∴（1-i）z（1+i）=2i（1-i），化为2z=2（i+1），∴z=1+i．∴|z|= ．故答案为：．利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．6.【答案】3【解析】解：=（λ-4）+2λ=5，解之得λ=3，故答案为：3．由行列式的公式化简求解．本题考查行列式，属于基础题．7.【答案】y=1+log3x，x∈（0，1]【解析】解：y=3x-1（x≤1），y∈（0，1]，得x-1=log3y，x，y对换，得y=1+log3x，x∈（0，1]，故答案为：y=1+log3x，x∈（0，1]，利用反函数的求法，先反解x，再对换x，y，求出即可．本题考查了反函数的求法，属于基础题．8.【答案】66【解析】解：根据题意利用组合数得．故答案为：66．直接利用组合数的应用求出结果．本题考查的知识要点：组合数的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9.【答案】（x+ ）2+y2=9【解析】解：抛物线y2=-6x的焦点坐标为：（- ，0）准线的方程为x= ，所以叫点到准线的距离为3，所以以焦点为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程是：故答案为：首先求出抛物线的交点坐标和准现方程，进一步求出圆的方程．．．本题考查的知识要点：圆锥曲线的性质的应用，圆的方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10.【答案】6【解析】解：（1-x）5•（1+x）3=（1-x）2•[（1-x）（1+x）]3=（x2-2x+1）•（1-3x2+3x4-x6）∴展开式中x3 的系数为（-2）•（-3）=6．故答案为：6．把（1-x）5•（1+x）3 化为（1-x）2•[（1-x）（1+x）]3，再化为（x2-2x+1）•（1-3x2+3x4-x6），由此求出展开式中x3 的系数．本题考查了二项式系数的性质与应用问题，解题时应根据多项式的运算法则合理地进行等价转化，是基础题目．11.【答案】（-4，+∞）【解析】解：不等式|x-x2-2|＞x2-3x-6 转换为不等式|x2-x+2|＞x2-3x-6，由于函数y=x2-x+2 的图象在x轴上方，所以x2-x+2＞0 恒成立，所以x2-x+2＞x2-3x-6，整理得x＞-4，故不等式的解集为（-4，+∞）．故答案为（-4，+∞）直接利用绝对值不等式的解法及应用求出结果．本题考查的知识要点：不等式的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12.【答案】±2【解析】解：∵方程程x2-kx+2=0 的两个虚根为x、x，1 2可设x=a+bi，x=a-bi（a，b∈R）．1 2∴x+x=2a=k，x x=a2+b2=2，1 2 1 2∵|x-x|=2，∴|2bi|=2，1 2联立解得：b=±1，a=±1．∴k=±2．故答案为：±2．由题意设x=a+bi，x=a-bi（a，b∈R），利用根与系数的关系结合|x-x|=2 求得a与b1 2 1 2的值，则k可求．本题考查了实系数一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.【答案】2【解析】解：由题意可得，l的方程为x+2y+1=0，∵x2+y2-4x+8y=0 可化为（x-2）2+（y+4）2=20，圆心（2，-4），半径r=2 ，∴圆心（2，-4）到l的距离d= = ，∴AB=2 =2 =2 ．故答案为：2 ．先求出直线l的方程，再求出圆心C与半径r，计算圆心到直线l的距离d，由垂径定理求弦长|AB|．本题考查直线与圆的方程的应用问题，考查两条直线垂直以及直线与圆相交所得弦长的计算问题，是基础题．14.【答案】4.5【解析】解：设钢球的内半径为r，所以7.9××3.14×[- ]=142，解得r≈2.25．故内直径为4.5cm．故答案为：4.5．直接利用球的体积公式和物理中的关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：球的体积公式和相关的物理中的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15.【答案】-47【解析】解：设c=a•b=an2+bn+c，n n n则，解得∴c10=-1×102+5×10+3=-47，故答案为：-47．{a}、{b}均是等差数列，故{c}为二次函数，设c=an2+bn+c，根据前3 项，求出a，b n n n n，c的值，即可得到c10．本题考查了等差数列的通项公式，考查分析和解决问题的能力和计算能力，属于基础题．16.【答案】（2，）【解析】解：因为a＞b＞0：∴b（a-b）≤= ；所以≥a2+ ≥2=16．当且仅当，）．⇒时取等号，此时P（a，b）的坐标为：（2故答案为：（2 ，）．先根据基本不等式得到b（a-b）≤= ；再利用一次基本不等式即可求解．本题考查的知识点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，属于基础题型．17.【答案】解：（1）在直四棱柱ABCD-A B C D中，1 1 1 1∵底面四边形ABCD是边长为2 的菱形，∠BAD=60°，∴B到DC边的距离为，又E是AB的中点，∴BE=1，则．∵DD1=3，∴= ；（2）在直四棱柱ABCD-A B C D中，1 1 1 1∵AD∥B C，∴∠B C E即为异面直线C E和AD所成角，1 1 1 1 1连接B E，在△C B E中，B C=2，，1 1 1 1 1= ．∴cos∠B C E= ，1 1∴异面直线C1E和AD所成角的大小为arccos ．【解析】（1）求解三角形求出底面梯形BCDE的面积，再由棱锥体积公式求解；（2）在直四棱柱ABCD-A B C D中，由题意可得AD∥B C，则∠B C E即为异面直线1 1 1 1 1 1 1 1C1E和AD所成角，求解三角形得答案．本题考查多面体体积的求法及异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．18.【答案】解：（1）函数= == ．所以函数的最小正周期为，令（k∈Z），解得（k∈Z），所以函数的对称中心为（）（k∈Z）．（2）由于，所以，在区间上有两个解x、x，1 2所以函数时，函数的图象有两个交点，故a的范围为[0，）．由于函数的图象在区间 上关于 x = 对称，故．【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换的应用，把函数的关系式变形成正 弦型函数，进一步求出函数的周期和对称中心．（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出参数 a 的范围和 x +x 的值． 1 2本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考 查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19.【答案】解：（1）A 池用传统工艺成本低，每小时去掉池中剩余污物的 10%，剩余原来的 90%，设 A 池要用 t 小时才能把污物的量减少一半， 则 0.9x =0.5，可得 x = ≈7，则 A 池要用 7 小时才能把污物的量减少一半；（2）设 A 、B 两池同时工作，经过 x 小时后把两池水混合便符合环保规定， B 池用创新工艺成本高，每小时去掉池中剩余污物的 19%，剩余原来的 81%， 可得 =0.1，即 0.92x +0.9x -0.2=0， 可得 0.9x = 可得 x =， ≈17．则 A 、B 两池同时工作，经过 17 小时后把两池水混合便符合环保规定．【解析】（1）由题意可得 A 池每小时剩余原来的 90%，设 A 池要用 t 小时才能把污物 的量减少一半，则 0.9x =0.5，两边取对数，计算可得所求值； （2）设 A 、B 两池同时工作，经过 x 小时后把两池水混合便符合环保规定，B 池每小时 剩余原来的 81%，可得=0.1，由二次方程的解法和两边取对数可得所求值．本题考查对数在实际问题的应用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．20.【答案】解：（1）设 M （x ，y ），-2≤x ≤2，F 1（-过 F 2，），F 2（ ，0），直线 AB所以 t = 由题意得：=|x - |⇒y 2=-4 x ，联立椭圆方程： + =1⇒y 2=2- ，解得 x =-6+4 即 M 的横坐标是：-6+4 （2）设 A （t ，y ），B （t ，-y ），M （-t ，y ）， ，． 1 1 1则 S △MAB = 2t •|2y |=2t •|y |，而 A 在椭圆上，所以， + =1 1 1 ∴1≥2• ⇒ty 1≤ ，∴S △MAB ≤2 ，当且仅当 t = ，即 t = y 1 时取等号，∴t = ，这时 B （ ，-1），M （- ，1），所以直线 MB 方程：y =- x ；（3）设点A（t，y），B（t，-y），M（x，y），则直线MA：y= •（x-t）+y1，1 1 0 0所以P的坐标（同理直线MB：y= 所以|OP|•|OQ|=| 代入|OP|•|OQ|=|，0）（x-t）-y1，所以Q的坐标（|，又因为A，M在椭圆上，所以y2=2- t2，y2=2- x2，0）1 0 0 |=4，恒为定值．【解析】（1）由题意可得焦点F，F的坐标，进而可求出A的坐标，设M的坐标，1 2注意横坐标的范围[-2，2]，在椭圆上，又M到F1 的距离与到直线AB的距离相等，可求出M的横坐标；（2）M，A，B3 个点的位置关系，可设一个点坐标，写出其他两点的坐标，写出面积的表达式，根据均值不等式可求出横纵坐标的关系，又在椭圆上，进而求出具体的坐标，再求直线MB的方程；（3）设M，A的坐标，得出直线MA，MB的方程，进而求出两条直线与x轴的交点坐标，用M，A的坐标表示，而M，A又在椭圆上，进而求出结果．考查直线与椭圆的综合应用，属于中难度题．21.【答案】（1）证明：由已知可得：a n＞1．∴ln a n+1+ln a n≥2，∴ln≥，∵，b=ln a（n∈N*）．n n∴ln a n+2≥，∴．（2）证明：设c n=b n+1-b n，∵，b=ln a（n∈N*）．∴= =n n= =- ．∴是等比数列，公比为- ．首项b-b=1．2 1∴b n+1-b n= ．∴b=b+（b-b）+（b-b）+……+（b-b）n 1 2 1 3 2 n n-1=0+1+ =+ +……+ = ．∴{b n}的通项公式是；（3）假设存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立．由（2）可得：≥0．∴n=1 时，1≥t•0，解得t∈R．n≥2时，t≤，∵= = =1- ．取得最小值，= ．当n=2 时，∴t≤．【解析】（1）由已知可得：a n＞1．利用基本不等式的性质可得：ln a n+1+ln a n≥2，可得ln ≥，代入化简即可得出．（2）设c n=b n+1-b n，由，b=ln a（n∈N*）．可得= =- ．即n n可证明是等比数列，利用通项公式、累加求和方法即可得出．（3）假设存在常数t，对任意自然数n∈N*均有b n+1≥tb n成立．由（2）可得：≥0．n=1 时，1≥t•0，解得t∈R．n≥2时，t≤，利用单调性即可得出．本题考查了数列递推关系、数列的单调性、等比数列的定义通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．高考数学三模试卷题号得分一 二 三 总分一、选择题（本大题共 4 小题，共 12.0 分）1. 关于三个不同平面 α，β，γ 与直线 l ，下列命题中的假命题是（ ）A. 若 α⊥β，则 α 内一定存在直线平行于 βB. 若 α 与 β 不垂直，则 α 内一定不存在直线垂直于 βC. 若 α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l ，则 l ⊥γD. 若 α⊥β，则 α 内所有直线垂直于 β2. 在一次化学测试中，高一某班 50 名学生成绩的平均分为 82 分，方差为 8.2，则下 列四个数中不可能是该班化学成绩的是（ ）A. 60B. 70C. 80D. 100 3. 已知双曲线 ： ，过点 作直线 ，使 与 有且仅有一个公共点，则满 足上述条件的直线 共有（）A. 1 条B. 2 条C. 3 条D. 4 条4. 有红色、黄色小球各两个，蓝色小球一个，所有小球彼此不同，现将五球排成一行 ，颜色相同者不相邻，不同的排法共有（）种A. 48B. 72C. 78D. 84 二、填空题（本大题共 12 小题，共 36.0 分） 5. 若全集为实数集 R ，，则∁R M =______ 的准线方程为______． =0 的解为______ ． 的反函数 f -1（x ）=______ 6. 抛物线7. 关于 x 方程8. 函数 f （x ）=2sin x +1，9. 函数的图象相邻的两条对称轴之间的距离是______ ，则二项式（x -2a ）10 展开式的系数和是______10. 若 11. 某校要从 名男生和 名女生中选出 人担任某游泳赛事的志愿者工作,则在选出的 志愿者中,男、女都有的概率为______(结果用数值表示).12. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是______13.设实数x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，则2a+3b的值为______14.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），设直线l与椭圆C相交于A、B两点，则线段AB的长是______15.定义在R上的偶函数f（x）对任意的x∈R有f（1+x）=f（1-x），且当x∈[2，3]时，f（x）=-x2+6x-9．若函数y=f（x）-log a x在（0，+∞）上有四个零点，则a的值为______ ．16.已知向量、满足三、解答题（本大题共5 小题，共60.0 分）17.如图，已知多面体ABC-A B C，A A，B B，C C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，，，则的取值范围是______1 1 1 1 1 1A A=4，C C=1，AB=BC=B B=2．1 1 1（1）证明：AB⊥平面A B C；1 1 1 1（2）求直线AC与平面ABB所成的角的正弦值．1 118. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，（1）求sin A的值；（2）若，b=5，求角B的大小及向量在方向上的投影．19. 某单位有员工1000 名，平均每人每年创造利润10 万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（x∈N*）名员工从事第三产业，调整后这x名员工他们平均每人创造利润为万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000 名员工创造的年总利润，则最多调整多少名员工从事第三产业？（2）设x≤400，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，求a的最大值．20. 如图，以椭圆=1（a＞1）的右焦点F为圆心，1-c为半径作圆F（其中c为2 2已知椭圆的半焦距），过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T．（1）若a= ，P为椭圆的右顶点，求切线长|PT|；（2）设圆F2 与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若|PT|≥（a-c）恒成立，且OA⊥OB．求：①c的取值范围；②直线l被圆F2 所截得弦长的最大值．21. 给定数列{a}，记该数列前i项a，a，…，a中的最大项为A，即A=max{a，an 1 2 i i i 1 2，…，a}；该数列后n-i项a，a，…，a中的最小项为B，即B=min{a，ai i+1 i+2 n i i i+1 i+2，…，a}；d=A-B（i=1，2，3，…，n-1）n i i i（1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的d，d，d；1 2 3（2）若S是数列{a}的前n项和，且对任意n∈N*，有，n n其中λ为实数，λ＞0 且．①设，证明数列{b n}是等比数列；②若数列{a}对应的d满足d＞d对任意的正整数i=1，2，3，…，n-2 恒成立，n i i+1 i求实数λ的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：对于A，假设α∩β=a，则α内所有平行于a的直线都平行β，故A正确；对于B，假设α内存在直线a垂直于β，则α⊥β，与题设矛盾，故假设错误，故B正确；对于C，设α∩γ=c，β∩γ=d，在γ内任取一点P，作PM⊥c于点M，PN⊥d于点N则PM⊥α，PN⊥β，且PM、PN不可能共线．又l⊂α，l⊂β，∴PM⊥l，PN⊥l．又PM∩PN=P，PM⊂γ，PN⊂γ，∴l⊥γ．故C正确．对于D，假设α∩β=a，则α内所有平行于a的直线都平行β，故D错误．故选：D．根据空间线面位置关系的判定和性质判断或距离说明．本题主要考查了直线与平面位置关系的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．2.【答案】A【解析】解：高一某班50 名学生成绩的平均分为82 分，方差为8.2，根据平均数、方差的意义，可知60 分不可能是该班化学成绩．故选A．根据平均数、方差的意义，可知结论．本题考查平均数、方差的意义，比较基础．3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生数形结合和转化和化归的思想的运用，属于一般题.先确定双曲线的右顶点，进而根据图形可推断出当l垂直x轴时与C相切，与x轴不垂直且与C相切，与渐近线平行且与C较与1 点（两种情况）满足l与C有且只有一个公共点．【解答】解：根据双曲线方程可知a=1，①当直线l斜率不存在时，直线l方程为：x=1，满足与曲线C只有一个公共点；②当直线l斜率存在时，设直线l方程为：y-1=k(x-1),即：y=k(x-1)+1，联立,整理可得：，当,即k= 时，此时方程有且仅有一个实数根，∴直线l: 与曲线C有且仅有一个公共点，当时，,解得：∴直线l: ,与曲线C有且仅有一个公共点，综上所述：满足条件的直线l有4 条．故选：D.4.【答案】A【解析】解：将五个球排成一行共有种不同的排法，当两个红色球相邻共有当两个黄色球相邻共有种不同的排法，种不同的排法，当两个黄色球、两个红色球分别相邻共有种不同的排法，则将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有- - +=120-48-48+24=48（种），故选：A．由排列组合及简单的计数问题得：将五球排成一行，颜色相同者不相邻，不同的排法共有- - + =48（种），得解．本题考查了排列组合及简单的计数问题，属中档题．5.【答案】【解析】解：∵∴；．故答案为：．可以求出集合M，然后进行补集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，对数函数的单调性及对数函数的定义域，以及补集的运算．6.【答案】y=1【解析】解：由，得x2=-4y，∴2p=4，即p=2，则抛物线的准线方程为y= =1．故答案为：y=1．化抛物线方程为标准式，求得p，则直线方程可求．本题考查抛物线的简单性质，是基础题．7.【答案】x= 或x= ，k∈Z【解析】解：由=0，得4sin x cosx-1=0，即sin2x= ．∴2x= 则x= 或x=或x=，，k∈Z．或x=故答案为：x= ，k∈Z．由已知可得sin2x= ．求出2x的值，则原方程的解可求．本题考查二阶矩阵的应用，考查了三角函数值的求法，是基础题．8.【答案】，x∈[1，3]【解析】解：由y=2sin x+1，得sin x=，∴x=把x与y互换，可得f-1（x）=故答案为：，x∈[1，3]．，∵，，x∈[1，3]．由已知利用反正弦求得x，把x与y互换得答案．本题考查三角函数的反函数的求法，注意原函数的定义域是关键，是基础题．9.【答案】【解析】解：=（sin x+cos x）cos x== ，所以f（x）的周期T= ，所以f（x）的图象相邻的两条对称轴之间的距离为，故答案为：．化简f（x），然后根据f（x）图象相邻的两条对称轴之间的距离为即可得到结果．本题考查了三角函数的图象与性质，属基础题．10.【答案】1024【解析】解：由，知a≠1，∴= == ，∴a= ，∴（x-2a）10=（x+1）10，∴其展开式系数之和为C100+C101+C102+…+C1010=210=1024，故答案为：1024．根据数列的极限求出a的值，然后代入二项式（x-2a）10 中求其展开式的系数和即可．本题考查了数列的极限和二项式展开式系数和的求法，属基础题．11.【答案】【解析】【分析】本题考查等可能事件的概率计算，在求选出的志愿者中，男、女生都有的情况数目时，可以先求出只有男生、女生的数目，进而由排除法求得．根据题意，首先计算从2 名男生和4 名女生中选出4 人数目，再分析选出的4 人中只有男生、女生的数目，由排除法可得男、女生都有的情况数目，进而由等可能事件的概率公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，从2 名男生和4 名女生中选出4 人，有C64=15 种取法，其中全部为女生的有C44=1 种情况，没有全部为男生的情况，则选出的4 名志愿者中，男、女生都有的情况有15-1=14 种，则其概率为.故答案为.12.【答案】【解析】解：由已知可得该几何体是以俯视图为底面的锥体，（也可以看成是一个三棱锥与半圆锥的组合体），= ，其底面积：S= ×2×1+高h=3，故棱锥的体积V= = ，故答案为：由已知可得该几何体是以俯视图为底面的锥体，（也可以看成是一个三棱锥与半圆锥的组合体），代入锥体体积公式，可得答案．本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，难度中档．13.【答案】1【解析】解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=- x+，∵a＞0，b＞0，∴直线的斜率- ＜0，作出不等式对应的平面区域如图：平移直线得y=- x+ ，由图象可知当直线y=- x+经过点B时，直线y=- x+ 的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（4，6），此时目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，即4a+6b=2，即2a+3b=1，故答案为：1．作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义确定取得最大值的条件，即可得到结论．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合求出目标函数取得最大值的条件是解决本题的关键．14.【答案】【解析】解：由得x2+ =1，将代入到x2+ =1 并整理得：t2+4t=0，设A，B对应的参数为t，t，1 2则t=0，t=- ，1 2∴|t-t|=1 2故答案为：．联立直线的参数方程与曲线C的普通方程，利用参数的几何意义可得．本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．15.【答案】【解析】【分析】由已知中f（x+1）=f（1-x），故可能函数是以2 为周期的周期函数，又由函数f（x）是定义在R上的偶函数，结合当x∈[2，3]时，f（x）=-x2+6x-9．我们易得函数f（x）的图象，最后利用图象研究零点问题即可．本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合应用，函数的周期性，考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化与数形结合的数学思想，属于中档题．【解答】解：由函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+1）=f（1-x）成立，可得f（x+2）=f（-x）=f（x），∴函数f（x）是定义在R上的周期为2 的偶函数，当x∈[2，3]时，f（x）=-x2+6x-9．函数y=f（x）-log x在（0，+∞）上的零点个数等于函数y=f（x）和函数y=log x的图象a a在（0，+∞）上的交点个数，如图所示：当y=log x的图象过点A（4，-1）时，函数y=f（x）-log x在（0，+∞）上有四个零点，a a∴-1=log a4，∴a= ．故答案为：．16.【答案】【解析】解：向量、满足，，由题意可设，=（0，1）、=（x，y）；、满足则：+ =（x，1+y）；- =（-x，1-y）；，，且x2+y2=4；则= +转换成所求为点（x．y）到（0，-1）与点（0，1）的距离之和大小，且（x，y）可看成在x2+y2=4 表示的圆周上的点；由数形结合法知即：当（x，y）在（2，0）或（-2，0）时，则值最小为3+1=4；当（x，y）在（0，2）或（0，-2）时，则值最大为2 =2 ；则的取值范围是故答案为：．利用设向量、的坐标表示法，利用向量模长转换成函数求最值，利用数形结合法求转换后的最值即可．本题考查了向量模长应用的问题，采用数形结合法，分类讨论解题时应根据平面向量的线性运算法则进行化简．．17.【答案】（1）证明：由余弦定理得，所以，∵A A⊥平面ABC，B B⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，1 1∴AA∥BB，AB⊥BB，1 1 1∵AA=4，BB=2，AB=2，1 1∴A B= =2 ，1 1又AB1= =2 ，∴，∴AB⊥A B，1 1 1, ,即即AB⊥B C，1 1 1又A B∩B C=B，A B，B C平面A B C，1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1∴AB⊥平面A B C．1 1 1 1（2）解：取AC中点O，过O作平面ABC的垂线OD，交A C于D，1 1∵AB=BC，∴OB⊥OC，以O为原点，以OB，OC，OD所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则A（0，- ，0），B（1，0，0），B（1，0，2），C（0，，1），1 1∴=（1，，0），=（0，0，2），=（0，2 ，1），设平面ABB1 的法向量为=（x，y，z），则，∴，令y=1 可得=（- ，1，0），∴cos = = = ．设直线AC与平面ABB所成的角为θ，则sinθ=|cos|= ．1 1∴直线AC与平面ABB所成的角的正弦值为．1 1【解析】本题主要考查了线面垂直的判定定理，线面角的计算与空间向量的应用，考查计算能力与空间想象能力，属于中档题．（1）利用勾股定理的逆定理证明AB⊥A B，AB⊥B C，从而可得AB⊥平面A B C；1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 （2）以AC的中点为坐标原点建立空间坐标系，求出平面ABB1 的法向量，计算与的夹角即可得出线面角的正弦值．18.【答案】解：（1）由题意可得=cos[（A-B）+B]=cos A=∴sin A= = ；（2）由正弦定理可得∴sin B= = ，∵a＞b，∴A＞B，∴B= ，由余弦定理可得解得c=1，或c=-7（舍去），故向量方向上的投影为=cos（A-B）cos B-sin（A-B）sin B，，== ，在cos B=c cos B=1×= ．【解析】（1）由数量积的坐标表示和涉及函数的公式可得=cos A= ，由同角三角函数的基本关系可得sin A；（2）由正弦定理可得sin B=，由余弦定理可得c值，由投影的定义可得．，结合大边对大角可得B值本题考查平面向量的数量积和两角和与差的三角函数公式，属中档题．19.【答案】解：（1）由题意得：10（1000-x）（1+0.2x%）≥10×1000，即x2-500x≤0，又x＞0，所以0＜x≤500．即最多调整500 名员工从事第三产业．（2）由题意得：10x（a- ）≤10（1000-x）（1+0.2x%），即ax≤+1000+x，因为x＞0，所以a≤在（0，400]恒成立，令f（x）= ，则f（x）= ≥2×2+1=5，当仅当时取等，此时x=500，但因为x≤400，且函数f（x）= 在（0，500）上单调递减，所以x=400 时，f（x）取最小值为f（400）= ，所以a最大值为．【解析】本题考查函数的实际应用，涉及不等式、函数基本性质等知识点，属于中档题．（1）根据题意列出不等式10（1000-x）（1+0.2x%）≥10×1000，求出解集即可；（2）根据题意可列10x（a- ）≤10（1000-x）（1+0.2x%），化成a≤在（0，400]恒成立，构造函数令f（x）= 20.【答案】解：（1）由a= ，得c= ，则当P为椭圆的右顶点时|PF2|=a-c= ，故此时的切线长|PT|=，利用对勾函数性质求出最值即可．；（2）①当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，而|PF| =a-c，2 min由|PT|≥（a-c）恒成立，得≥（a-c），解得≤c＜1；②由题意Q点的坐标为（1，0），则直线l的方程为y=k（x-1），代入，得（a2k2+1）x2-2a2k2x+a2k2-a2=0，设A（x，y），B（x，y），1 12 2则有可得，，= ，又OA⊥OB，则=0，得k=a．可得直线l的方程为ax-y-a=0，圆心F2（c，0）到直线l的距离d= ，半径r=1-c，则直线l被圆F2 所截得弦长为L=2设1-c=t，则0＜t≤，= ，又= ，∴当t= 时，的最小值为，。
《试卷3份集锦》上海市静安区2020高考数学考试试题
2019-2020学年高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知椭圆C 的中心为原点O ，(25,0)F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的方程为（ ） A ．221255x y +=B ．2213616x y +=C ．2213010x y +=D ．2214525x y +=2．阅读如图的程序框图，若输出的值为25，那么在程序框图中的判断框内可填写的条件是（ ）A ．5i >B ．8i >C ．10i >D ．12i >3．已知向量,a b 满足||1,||3a b ==,且a 与b 的夹角为6π,则()(2)a b a b +⋅-=( ) A ．12B ．32-C ．12-D ．324．函数()cos 22x xxf x -=+的部分图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．5．已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为1、2、3元）．甲、乙租车费用为1元的概率分别是0.5、0.2，甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2、0.4，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（ ） A ．0.18B ．0.3C ．0.24D ．0.366．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是( )A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④7．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．33y x =±B ．3y x =±C ．12y x =±D ．2y x =±8．已知集合{}15{|},|2M x x N x x =-≤<=<，则M N =（ ）A ．{|12}x x -≤<B ．{}|25x x -<<C ．{|15}x x -≤<D ．{}|02x x <<9．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ）A ．1B 2C 3D ．2210．复数z 满足()12(i i z +=为虚数单位)，则z 的虚部为（ ） A ．iB ．i -C ．1-D ．111．设a ，b ，c 分别是ABC ∆中A ∠，B ，C ∠所对边的边长，则直线sin 0A x ay c ⋅--=与sin sin 0bx B y C +⋅+=的位置关系是（ ）A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直12．已知三棱锥P ﹣ABC 的顶点都在球O 的球面上，PA 2=PB 14=，AB ＝4，CA ＝CB 10=，面PAB ⊥面ABC ，则球O 的表面积为（ ） A ．103πB ．256πC ．409πD ．503π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
上海市2020届高三数学各区(16区已全)一模考试汇编：解析几何(解析版)
2020年一模汇编——解析几何一、填空题【普陀1】若抛物线2y mx =的焦点坐标为1(,0)2，则实数m 为___________.【答案】2【解析】抛物线的性质：p=1，所以m=2【黄浦3】抛物线28x y =的焦点到准线的距离为___________. 【答案】4【解析】由题抛物线的焦点为(0,2)，准线为直线2x =-，易得焦点到准线的距离为4【青浦3】直线1:10l x -=和直线20l y -=的夹角大小是【答案】6π 【解析】设夹角为θ，则23213cos =⨯=θ，故夹角6πθ=【静安3】若直线1l 和直线2l 的倾斜角分别为32和152则1l 与2l 的夹角为_____.【答案】60【解析】1801523260-+=【静安4】若直线l 的一个法向量为(2,1)n =，则若直线l 的斜率k =_____. 【答案】2-【解析】(2,1)n =，则单位向量(1,2)d =-，221k ==-【宝山5】以抛物线x y 62-=的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是 .【答案】9)23(22=++y x【解析】焦点)0,23(-，半径3==p r 【松江5】已知椭圆22194x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，若椭圆上的点P 满足122PF PF =，则1=PF【答案】4【解析】由椭圆定义得：1226PF PF a +==，又122PF PF =，联立得：1=PF 4【虹口6】抛物线26x y =的焦点到直线3410x y +-=的距离为_________. 【答案】1【解析】抛物线26x y =的焦点为)23,0(，焦点到直线3410x y +-=的距离33041215d ⨯+⨯-==【杨浦7】椭圆22194x y +=焦点为1F ，2F ，P 为椭圆上一点，若15PF =，则12cos F PF ∠= 【答案】35【解析】因为3a ==，2b ==，所以c ==，所以1(F，2F ，225651PF a =-=-=，所以22212513cos 2155F PF +-∠==⋅⋅【奉贤7】若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的焦距为则该双曲线的标准方程为____________.【答案】2219y x -=±【解析】根据双曲线的渐近线方程为3y x =±，可知3b a =或3ab=；由焦距为得出c =222c a b =+，求得,,a b c 的值【普陀8】设椭圆222:1(1)x y a aΓ+=＞，直线l 过Γ的左顶点A 交y 轴于点P ，交Γ于点Q ，若AOP △是等腰三角形（O 为坐标原点），且2PQ QA →→=，则Γ的长轴长等于_________.【答案】【解析】由题知(),0A a -、()0,P a ，设(),Q x x a +，有(),PQ x x =、(),QA a x x a =----， 所以()2x a x =⋅--，解得23x a =-，将(),Q x x a +代入2221x y a +=得22211210x ax a a ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，整理得Γ的长轴长2a = 【崇明8】若双曲线的一个顶点坐标为(3,0)，焦距为10，则它的标准方程是__________．【答案】116922=-y x 【解析】由题意得3=a ，5210=÷=c ，16222=-=a c b ，标准方程为116922=-y x【杨浦9】在直角坐标平面xOy 中，(2,0)A -，(0,1)B ，动点P 在圆22:+2C x y =上，则PA PB ⋅的取值范围为___________.【答案】(22+【解析】因为22+2x y =，设)P θθ，则(2,)PA θθ=--，(,1)PB θθ=-，22222cos 2sin PA PB θθθθ⋅=++，22)PA PB θθθϕ⋅=+=++，【崇明9】已知,a b R +∈，若直线230x y ++=与(1)2a x by -+=互相垂直，则ab 的最大值等于___________.【答案】81 【解析】两直线互相垂直得1121-=-⋅-ba ，b a 21-=，代入得b b ab )21(-=， 0,0a b >>，最小值为81【宝山9】已知直线l 过点)0,1(-且与直线02=-y x 垂直，则圆08422=+-+y x y x 与直线l 相交所得的弦长为___________.【答案】152【解析】直线方程为012=++y x ，圆心到直线的距离5=d ⇒222||d r AB -=【奉贤9】设平面直角坐标系中，O 为原点，N 为动点，6ON =，5ON OM =，过点M 作1MM x ⊥轴于1M ，过N 作1NN x ⊥轴于点1N ，M 与1M 不重合，N 与1N 不重合，设11OT M M N N =+，则点T 的轨迹方程是______________.【答案】22536x y +=05x x ⎛≠≠ ⎝⎭且【解析】设(),T x y ，点()11,N x y ，则()11,0N x ，又1111,OM y M y ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭11,0M M ⎫=⎪⎭，()110,N N y =，于是1111,OT M M N N x y ⎫=+=⎪⎭，由此能求出曲线C的方程。
2019-2020学年上海市静安区高三年级一模考试数学试卷
2019-2020 学年上海市静安区高三年级一模考试数学试卷2019.12一、填空题： (本大题12小题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)1.计算lim(1 0.9n) ____ .n【答案】1【解析】lim(1 0.9n) 1n2. ______________________________________________ 双曲线在单位圆中，60 的圆心角所对的弧长为.【答案】3【解析】l 2r33. ___________________________________________________________ 若直线l1和直线l2的倾斜角分别为32和152则l1与l2的夹角为 _____________________________________ .【答案】60【解析】180 152 32 604. _______________________________________________________ 若直线l 的一个法向量为n (2,1) ，则若直线l 的斜率k ____________________________________________ .【答案】22【解析】n (2,1) ，则单位向量d ( 1,2)，k 215. 设某种细胞每隔一小时就会分裂一次，每隔细胞分裂为两个细胞，则7 小时后，1个此种细胞将分裂为____ 个.【答案】128【解析】1 271286. __________________________________ 设ABC是等腰直角三角形，斜边AB 2, 现将ABC(及其内部) 绕斜边AB 所在的直线旋转一周形成一个旋转体，则该旋转体的体积为.2【答案】3【解析】1r21( 2)223 3 3uuru uuur7.如图，在平行四边形 ABCD 中， AB 2， AD 1,则 AC BD 的值为 ___________【答案】-3uuur uuur uuur uuur uuur uuur【解AC BD (AB AD)( AD AB) 1 4 -3 8.三倍角的正切公式为 tan3【答案】【解析】32tan tan tan3 21 3tan2 .9. 设集合 A 共有 6 个元素，用这全部的 6 个元素组成的不同矩阵的个数为________ 【答案】 2880【解析】 4 种类型的矩阵 4P 66288010.现将函数 y secx,x (0, ) 的反函数定义为正反割函数，记为： y arc sec x . 则 arc sec( 4) ________ .(请保留两位小数)【答案】 1.82【解析】y ， x (0, ) ，故可知 4， t arccos( ) 1.82.cosx cost 42211.设双曲线 x 2y的两个焦点为 F 、F 2 ，点P 在双曲线上，若 PF PF 2 ，则点 P 到坐标原点 Oa 2 a 2 2的距离的最小值为 ________ . 【答案】3 2【解析】 2 2 1 3 c 2 a 2a ,a 2时，可知 c min 2 . 12.设 a 0,a ,M 0,N 0，我们可以证明对数的运算性质如下：Qa logaM logaN a logaM a logaN MN ，①log a MN log a M log a N .我们将 ①式称为证明的 “关键步骤”则.证明 log a M rr log a M (其中 M 0,r R )的 “关键步骤 ”为 ________ .r答案】log a M r r log a M解析】Q(a logaM)r a r loga M M r, log a M r r log a M .、选择题(本大题 4 小题，每题5分，共20分)13. “三个实数a, b, c成等差数列”是“2b a c ”的( )【A 】充分不必要条件【B 】必要不充分条件【C】充要条件【D 】既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为三个实数a,b, c成等差数列”，所以2b a c .xi14. 设x, y R，若复数是纯虚数，则点p( x, y)一定满足( )yi【A 】y x 【B】y 【C】y x 【D】yxx【答案】Bx 1 (x i)(y i) xy (x y)i xy (x y)i x 1【解析】 2 2 2，并且为纯虚数，则xy 0，y i (y i)(y i) y2y2y2 y i1y.x315.若展开(a )(a 2)(a 3)(a 4)(a 5) ，则展开式中a3的系数等于( )【A 】在，2，3，4，5中所有任取两个不同的数的乘积之和；【 B 】在，2，3，4，5中所有任取三个不同的数的乘积之和；【C】在，2，3，4，5中所有任取四个不同的数的乘积之和；【D 】以上结论都不对.【答案】A【解析】由二项式定理可知展开式中a3的系数等于在，2，3，4，5中所有任取两个不同的数的乘积之和.2 方向，且塔顶的仰角为8 ，16. 某人驾驶一艘小游艇位于湖面A 处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达B 处，此时测得塔底位于北偏西39 方向，则该塔的高度约为答案】C解析】000sin5 sin60 cos69 tan87 292.728米.. 解答题（本大题共 5 题，共14+14+14+16+18=76 分）17. （本题满分12 分，第1小题6 分，第2小题8分）如图，在正六棱锥P ABCDEF 中，已知底边为2，侧棱与底面所成角为60 .（1）求该六棱锥的体积V ；（2）求证：PA CE答案】（1）12；（2）见解析解析】（1）解：设底面中心为O，联结PO,AO ．（1 分）PO 底面ABCDEF ，PAO为侧棱与底面所成的角60 ．⋯⋯（2 分）ABCDEF 是正六边形，AO AB 2 ．∴在Rt AOP中，OP AOtan60 2 3．（1 分）S ABCDEF 6 21 2 2 23 6 3，⋯（1分）V P ABCDEF 1 6 3 OP 12 ．⋯⋯⋯（ 1 分）PO CE ．AO CE ，又PO AO O ，CE 面PAO ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5 分）又PA 在平面PAO 上，PA CE ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1 分）18. （本题满分14 分，第1小题7 分，第2小题7分）请解答以下问题，要求解决两个问题的方法不同.（1）如图1，要在一个半径为1米的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD ，如何截取？并求出这个最大矩形的面积.32）证明：PO 底面ABCDE ，C（ 2）如图 2，要在一个长半轴为 2 米，短半轴为 1 米的半个椭圆铁板中截取一块面积最大的矩形 如何截取？并求出这个最大矩形的面积 .图1答案】（1）1（2）22∵ sin2 1 ，∴当 时，所截取的最大矩形的面积最大为1平方米． ⋯⋯⋯ （2 分）4（2）以 O 为坐标原点， OB 为 x 轴的正半轴建立直角坐标系， ⋯⋯⋯ （1 分）2x 2设点 C 的坐标为 x,y ，故，y 2 1．⋯（2 分） 4所以，矩形 ABCD 的面积S 2xy 2 xy 22 ，（2 分）4当且仅当 x 2y 时等号成立．故，当 x 2米， y2米时，矩形的面积最大为 2平方米． ⋯（2 分）2注： 在以上两个方法和用参数方程的方法中任意选取两个方法都可．19. （本题满分 14分，第 1小题 6分，第 2小题 8分） 设a n 是等差数列，公差为 d ，前 n 项和为 S n .（1）设 a 1 40， a 6 38，求 S n 的最大值 .（2）设 a 1 1，b n 2a n（n N *），数列 b n 的前n 项和为 T n ，且对任意的 n N * ，都有T n 20 ，求d 的取值ABCD ，A O B图2【解析 】（1）联结 OC ，设 COB ，⋯⋯⋯⋯⋯ （1分） 则 OBcos ， BC sin ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （ 2 分）所以，矩形 ABCD 的面积S 2sin cos sin2 , 0⋯⋯ （2分）DCa 1 40, a 1 5d 38.2解得 d . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （2 分）5所以数列{a n}单调递减，2设 a n 0 ，即 40 （n 1）0，解得 n 101． 5所以S n 的最大值是 S 101 S 100 2020. ⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （4 分）2）解： b 1 2a12 0 ，an 1又bn 12a2an 1 an2d正常数．b n2an{b n } 为等比数列．范围. 答案】解析】1）2020（ 2） 1）由题意，有9- ,log 210当 d 0 时， T n，不符，舍去；当 d 0 时， T n 2n ，不符，舍去； 当 d 0 时， 0 2d1 ，lim T n n2d1 2dd1 2d所以，20．d 9． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 102 分）1 分）2 分）（ 3 分）20. （本题满分18分，第1小题5分，第2小题6分，第3小题7分）已知抛物的准线方程为x y 2 0.焦点为 F 1,1 .（1）求证：抛物线上任意一点P 的坐标x,y 都满足方程：x22xy y28x 8y 0;（2）请支出抛物线的对称性和范围，并运用以上方程证明你的结论；（3）设垂直于x 轴的直线与抛物线交于A、B两点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程【答案】（1）见解析（2）关于y x对称x -1,y 1。
2020上海市静安区高考数学考试试题
2019-2020学年高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A {x x 0}︱=>，2B {x x x b 0}=-+=︱，若{3}A B ⋂=，则b =（ ） A ．6-B ．6C ．5D ．5-2．若复数z 满足2(13)(1)i z i +=+，则||z =（ ）A ．5 B ．5 C ．10 D ．10 3．已知集合{}|26Mx x =-<<，{}2|3log 35N x x =-<<，则MN =（ ）A ．{}2|2log 35x x -<<B ．{}2|3log 35x x -<<C ．{}|36x x -<<D ．{}2|log 356x x <<4．在等差数列{}n a 中，若244,8a a ==，则7a =（ ） A ．8B ．12C ．14D ．105．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l 丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（ ）A ．10000立方尺B ．11000立方尺C ．12000立方尺D ．13000立方尺6．阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时中国四大名著：《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》及《西游记》，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（ ） A ．120种B ．240种C ．480种D ．600种7．数列{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ∈[1，2]，且a 4+λa 10+a 16＝15，则实数λ的最大值为（ ） A ．72B ．5319C ．2319-D ．12-8．已知非零向量,a b 满足a b λ=，若,a b 夹角的余弦值为1930，且()()23a b a b -⊥+，则实数λ的值为（ ） A ．49-B ．23C ．32或49-D ．329．已知P 是双曲线22221x y a b-=渐近线上一点，1F ，2F 是双曲线的左、右焦点，122F PF π∠=，记1PF ，PO ，2PF 的斜率为1k ，k ，2k ，若1k ，-2k ，2k 成等差数列，则此双曲线的离心率为（ ） A ．2B ．62C ．3D ．610．当输入的实数[]230x ∈，时，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率是（ ）A ．914B ．514C ．37D ．92811．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（ ） A ．B ．C ．1D ．212．已知i 是虚数单位，若z211i i=+-，则||z =（ ） A 2B ．2C 10D ．10二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年上海市静安区高考数学一模试卷(带答案)
2020年上海市静安区高考数学一模试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.“三个实数a，b，c成等差数列”是“2b=a+c“的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2.设x，y∈R，若复数是纯虚数，则点P（x，y）一定满足（）A. y=xB.C. y=-xD.3.若展开（a+1）（a+2）（a+3）（a+4）（a+5），则展开式中a3的系数等于（）A. 在1，2，3，4，5中所有任取两个不同的数的乘积之和B. 在1，2，3，4，5中所有任取三个不同的数的乘积之和C. 在1，2，3，4，5中所有任取四个不同的数的乘积之和D. 以上结论都不对4.某人驾驶一艘小游艇位于湖面A处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东21°方向，且塔顶的仰角为18°，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达B处，此时测得塔底位于北偏西39°方向，则该塔的高度约为（）A. 265米B. 279米C. 292米D. 306米二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.计算（1-0.9n）=______．6.在单位圆中，60°的圆心角所对的弧长为______．7.若直线l1和l2的倾斜角分别为32°和152°，则l1与l2的夹角为______．8.若直线l的一个法向量为=（2，1），则直线l的斜率k=______．9.设某种细胞每隔一小时就会分裂一次，每个细胞分裂为两个细胞．则7小时后，1个此种细胞将分裂为个______．10.设△ABC是等腰直角三角形，斜边AB=2．现将△ABC（及其内部）绕斜边AB所在的直线旋转一周形成一个旋转体，则该旋转体的体积为______．11.如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1．则的值为______．12.三倍角的正切公式为tan3α=______．（用tanα表示）13.设集合A共有6个元素，用这全部的6个元素组成的不同矩阵的个数为______．14.现将函数y=sec x，x∈（0，π）的反函数定义为反正割函数，记为：y=arcsec x．则arcsec（-4）=______．（请保留两位小数）15.设双曲线的两个焦点为F1，F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P到坐标原点O的距离的最小值为______．16.设a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，我们可以证明对数的运算性质如下：我们将⊗式称为证明的“关键步骤“．则证明（其中M＞0，r∈R）的“关键步骤”为______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.如图，在正六棱锥P-ABCDEF中，已知底边长为2，侧棱与底面所成角为60°．（1）求该六棱锥的体积V：（2）求证：PA⊥CE．18.请解答以下问题，要求解决两个问题的方法不同．（1）如图1，要在一个半径为1米的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD，如何截取？并求出这个最大矩形的面积．（2）如图2，要在一个长半轴为2米，短半轴为1米的半个椭圆形铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD，如何截取？并求出这个最大矩形的面积．19.设{a n}是等差数列，公差为d，前n项和为S n．（1）设a1=40，a6=38，求S n的最大值；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，且对任意的n∈N*，都有T n≤20，求d的取值范围．20.已知抛物线Γ的准线方程为x+y+2=0，焦点为F（1，1）．（1）求证：抛物线Γ上任意一点P的坐标（x，y）都满足方程x2-2xy+y2-8x-8y=0；（2）请指出抛物线Γ的对称性和范围，并运用以上方程证明你的结论；（3）设垂直于x轴的直线与抛物线Γ交于A，B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程．21 现定义：设a是非零实常数，若对任意的x∈D，都有f（a-x）=f（a+x），则称函数y=f（x）为“关于a的偶型函数”．（1）请以三角函数为例，写出一个“关于2的偶型函数”的解析式，并给予证明；（2）设定义域为R的“关于a的偶型函数”y=f（x）在区间（-∞，a）上单调递增，求证：y=f（x）在区间（a，+∞）上单调递减；（3）设定义域为R的“关于的偶型函数”y=f（x）是奇函数，若n∈N*，请猜测f（n）的值，并用数学归纳法证明你的结论．2020年上海市静安区高考数学一模试卷答案和解析【答案】1. C2. B3. A4. C5. 16.7. 60°8. -29. 2710.11. -312.13. 72014. 1.8215.16. a=（a）r=M r．17. 解：（1）解：∵在正六棱锥P-ABCDEF中，底边长为2，侧棱与底面所成角为60°．连结AD，过P作PO⊥底面ABCD，交AD于点O，则AO=DO=2，∠PAO=60°，∴PA=2AO=4，PO==2，S ABCDEF=6×（）=6，∴该六棱锥的体积V===12．（2）证明：连结CE，交AD于点O，连结PG，∵DE=CD，AE=AD，∴AD⊥CE，O是CE中点，∵PA=PC，∴PG⊥CE，∵PG∩AD=G，∴CE⊥平面PAD，∵PA⊂平面PAD，∴PA⊥CE．18. 解：（1）设∠BOC=α，（）；∴OB=cosα，BC=si nα；∵S=2OB•BC，∴S═2sinαcosα=sin2α；∴当时，即OB=时，矩形面积最大为1；（2）依题意可得：椭圆方程为：；设：点C坐标为（m，n）即：OB=m，BC=n；∴S=2OB•BC=2mn；∵点C为椭圆上的点；∴；∵；∴mn≤1，当且仅当=时取等号；∴S≤2；即矩形面积最大为2；当OB=时取等号；19. 解：（1）a1=40，a6=38，可得d==-，可得S n=40n-n（n-1）•=-（n-）2+，由n为正整数，可得n=100或101时，S n取得最大值2020；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，可得a n=1+（n-1）d，数列{b n}为首项为2，公比为2d的等比数列，若d=0，可得b n=2；d＞0，可得{b n}为递增数列，无最大值；当d＜0时，T n=＜，对任意的n∈N*，都有T n≤20，可得20≥，且d＜0，解得d≤log20.9．20. 解：（1）证明：抛物线Γ的准线方程为x+y+2=0，焦点为F（1，1），抛物线Γ上任意一点P的坐标（x，y），由抛物线的定义可得|PF|=d（d为P到准线的距离），即为=，两边平方化简可得x2-2xy+y2-8x-8y=0；（2）抛物线关于y=x对称，顶点为（0，0），范围为x≥-1，y≥-1，由方程x2-2xy+y2-8x-8y=0，设抛物线上任一点（x，y）关于直线y=x对称的点为（y，x），满足原方程，则抛物线关于直线y=x对称；由直线y-1=x-1即y=x，联立x+y+2=0，解得x=y=-1，可得抛物线的顶点为（0，0）；由x=-1和x2-2xy+y2-8x-8y=0联立可得切点为（-1，3），同样由y=-1和x2-2xy+y2-8x-8y=0联立可得切点为（3，-1），可得抛物线的范围为x≥-1，y≥-1；（3）设垂直于x轴的直线为x=t，代入抛物线的方程x2-2xy+y2-8x-8y=0，可得t2-（2t+8）y+t2-8t=0，设A（t，y1），B（t，y2），可得y1+y2=2t+8，则AB的中点为（t，t+4），则AB的中点的轨迹方程为直线y=x+4．21. 解：（1）函数f（x）=cos（x-2）为“关于2的偶型函数”．理由：由f（2-x）=cos（2-x-2）=cos（-x）=cos x，f（2+x）=cos（2+x-2）=cos x，可得对任意的x∈R，都有f（2-x）=f（2+x），故f（x）=cos（x-2）为“关于2的偶型函数”；（2）证明：设a＜x1＜x2，则-a＞-x1＞-x2，即有a＞2a-x1＞2a-x2，由对任意的x∈R，都有f（a-x）=f（a+x），即为f（x）=f（2a-x），y=f（x）在区间（-∞，a）上单调递增，可得f（2a-x1）＞f（2a-x2），即有f（x1）＞f（x2），可得y=f（x）在区间（a，+∞）上单调递减；（3）设定义域为R的“关于的偶型函数”，可得对任意的x∈R，都有f（-x）=f（+x），即为f（-x）=f（1+x），又f（x）为奇函数，可得f（-x）=-f（x），即有f（x+1）=-f（x），则f（x+2）=-f（x+1）=f（x），可得f（x）为最小正周期为2的函数，由f（0）=0，可得f（1）=f（0）=0，f（2）=f（0）=0，猜想f（n）=0，n∈N*；证明：当n=1时，f（1）=f（0）=0成立，假设n=k，k∈N*时，f（k）=0，当n=k+1时，f（k+1）=f-（k）=-f（k）=0，可得n=k+1时，f（k+1）=0，综上可得f（n）=0，n∈N*．【解析】1. 解：若“a，b，c成等差数列”，则“2b=a+c”，即“a，b，c成等差数列”是“2b=a+c”的充分条件；若“2b=a+c”，则“a，b，c成等差数列”，即“a，b，c成等差数列”是“2b=a+c”的必要条件，综上可得：“a，b，c成等差数列”是“2b=a+c”的充要条件，故选：C．根据充要条件及等差数列的定义判断即可．本题考查的知识是充要条件的判断，正确理解并熟练掌握充要条件的定义，是解答的关键．2. 解：由=是纯虚数，∴，得x≠0，y=．故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3. 解：展开（a+1）（a+2）（a+3）（a+4）（a+5），则展开式中a3的系数可以看成一个因式取a，其余的两个因式是从5个因式中任意取．故选：A．直接利用二项式展开式的应用求出结果．本题考查的知识要点：二项式定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．4. 解：如图所示，△ABC中，AB=1000，∠ACB=21°+39°=60°，∠ABC=90°-39°=51°；由正弦定理得，=，所以AC=；Rt△ACD中，∠CAD=18°，所以CD=AC•tan18°=×tan18°=×0.3249≈292（米）；所以该塔的高度约为292米．故选：C．根据题意画出图形，结合图形，利用三角形的边角关系，即可求出该塔的高度．本题考查了三角形的边角关系的应用问题，也考查了计算能力，是基础题．5. 解：（1-0.9n）=1-=1-0=1．故答案为：1．直接利用数列的极限的运算法则，求解即可．本题考查数列极限的运算法则的应用，是基本知识的考查，基础题．6. 解：由弧长公式l=|α|r=×1=，故答案为：．由弧长公式即可算出结果．本题主要考查了弧长公式，是基础题．7. 解：直线l1和l2的倾斜角分别为32°和152°，所以直线l1和l2的夹角为180°-（152°-32°）=60°．故答案为：60°．直接利用角的运算的应用求出结果．本题考查的知识要点：直线的倾斜角的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8. 解：根据题意，设直线l的斜率为k，则其方向向量为=（1，k），若直线l的一个法向量为=（2，1），则有•=2+k=0，解可得k=-2；故答案为：-2．根据题意，分析可得直线l的方向向量为（1，k），进而分析可得•=2+k=0，解可得k的值，即可得答案．本题考查直线的斜率以及直线的法向量，注意直线方向向量的定义，属于基础题．9. 解：根据题意，7小时后，这种细胞总共分裂了7次，则经过7小时，1个此种细胞将分裂为个27个；故答案为：27根据题意，分析可得7小时后，这种细胞总共分裂了7次，由等比数列的通项分析可得答案．本题考查等比数列的应用，注意分析分裂的次数，属于基础题．10. 解：等腰直角三角形的直角边为，斜边的高为1；旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥组合体，其圆锥的底面半径为1，高为1；所以几何体的体积为V=2××π×12=．故答案为：．由题意知旋转体为两个同底等高的圆锥组合体，由此求出组合体的体积．本题考查了旋转体的结构特征与体积的计算问题，是基础题．11. 解：∵AB=2，AD=1，∴===1-4=-3．故答案为：-3．根据ABCD是平行四边形可得出，然后代入AB=2，AD=1即可求出的值．本题考查了向量加法的平行四边形法则，相等向量和相反向量的定义，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．12. 解：tan3α=tan（α+2α）===．故答案为：．直接利用三角函数关系式的恒等变换求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．13. 解：因为集合A共有6个元素，用这全部的6个元素组成的不同矩阵，矩阵中的元素的位置变换，矩阵也不相同，所以矩阵的个数为=720．故答案为：720．利用已知条件判断矩阵的个数与元素的顺序有关，直接利用排列求解即可．本题考查排列的应用，判断矩阵中的元素变化，矩阵不相同是解题的关键．14. 解：∵y=sec x=，x∈（0，π），∴当y=-4时，cos x=-，x=π-arccos，由查表得arccos≈1.318∴x=π-1.318≈1.82．故答案为：1.82．计算题；三角函数的求值．本题考查反三角函数的运用，属基础题．15. 解：双曲线的两个焦点为F1，F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P到坐标原点O的距离为c，所以c==≥，当且仅当a=时，取得最小值：．故答案为：．利用已知条件PF1⊥PF2，点P到坐标原点O的距离为c，转化求解c的最小值即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．16. 解：设log a M r=b，∴a b=M r，∴r log a M=b，∴log a M=，∴a=a=（a）r=（a）r=a b=M r，∴关键步骤为：a=（a）r=M r．利用指数式与对数式的互化即可算出结果．本题主要考查了对数式与指数式的互化，是基础题．17. （1）连结AD，过P作PO⊥底面ABCD，交AD于点O，则PA=2AO=4，由此能求出该六棱锥的体积．（2）连结CE，交AD于点O，连结PG，推导出AD⊥CE，PG⊥CE，从而CE⊥平面PAD，由此能证明PA⊥CE．本题考查六棱锥的体积的求法，考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18. （1）通过设出∠BOC=α，进而用α表示出OB，BC；最后表示出S利用三角函数即可求解；（2）通过设出点C的坐标（m，n），进而表示出OB=m，BC=n，S=2mn；再利用点C 为椭圆上的点，即满足其方程利用基本不等式求解即可；本题考查了基本不等式的运用，考查了学生的发散性思维，属于中档题．19. （1）运用等差数列的通项公式可得公差d，再由等差数列的求和公式，结合配方法和二次函数的最值求法，可得最大值；（2）由题意可得数列{b n}为首项为2，公比为2d的等比数列，讨论d=0，d＞0，d＜0，判断数列{b n}的单调性和求和公式，及范围，结合不等式恒成立问题解法，解不等式可得所求范围．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，考查化简运算能力，属于中档题．20. （1）由抛物线的定义可得|PF|=d（d为P到准线的距离），运用两点的距离公式和点到直线的距离公式，化简可得所求轨迹方程；（2）由抛物线的方程的特点，考虑点关于直线y=x的对称点的特征和对称轴与准线和抛物线的交点的关系，以及直线和抛物线相切的特点，可得所求范围；（3）设垂直于x轴的直线为x=t，代入抛物线的方程x2-2xy+y2-8x-8y=0，运用韦达定理和中点坐标公式，以及参数方程化为普通方程可得所求轨迹方程．本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查轨迹方程的求法，以及方程思想和数形结合思想，运算能力和推理能力，属于中档题．21. （1）可取f（x）=cos（x-2），由新定义和诱导公式即可得到结论；（2）运用单调性的定义，结合新定义可得对任意的x∈R，都有f（a-x）=f（a+x），即为f（x）=f（2a-x），即可得证；（3）由新定义和奇函数的定义，可得f（x）为最小正周期为2的函数，计算猜想f（n）=0，n∈N*，由数学归纳法的步骤，注意由n=k到n=k+1，运用新定义和奇函数的定义，可得证明．本题考查新定义的理解和运用，考查函数的奇偶性和单调性、周期性，以及数学归纳法的应用，考查运算能力和推理能力，属于中档题．。
2020年上海市静安区高考数学一模
2020年上海市静安区高考数学一模学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________一、填空题（共12小题）1.计算（1﹣0.9n）＝．2.在单位圆中，60°的圆心角所对的弧长为．3.若直线l1和l2的倾斜角分别为32°和152°，则l1与l2的夹角为．4.若直线l的一个法向量为＝（2，1），则直线l的斜率k＝﹣．5.设某种细胞每隔一小时就会分裂一次，每个细胞分裂为两个细胞．则7小时后，1个此种细胞将分裂为个．6.设△ABC是等腰直角三角形，斜边AB＝2．现将△ABC（及其内部）绕斜边AB所在的直线旋转一周形成一个旋转体，则该旋转体的体积为．7.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1．则的值为﹣．8.三倍角的正切公式为tan3α＝．（用tanα表示）9.设集合A共有6个元素，用这全部的6个元素组成的不同矩阵的个数为．10.现将函数y＝sec x，x∈（0，π）的反函数定义为反正割函数，记为：y＝arc sec x．则arc sec（﹣4）＝．（请保留两位小数）11.设双曲线的两个焦点为F1，F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P到坐标原点O的距离的最小值为．12.设a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，我们可以证明对数的运算性质如下：我们将⊗式称为证明的“关键步骤“．则证明（其中M＞0，r∈R）的“关键步骤”为．二、单选题（共4小题）13.“三个实数a，b，c成等差数列”是“2b＝a+c“的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14.设x，y∈R，若复数是纯虚数，则点P（x，y）一定满足（）A．y＝x B．C．y＝﹣x D．15.若展开（a+1）（a+2）（a+3）（a+4）（a+5），则展开式中a3的系数等于（）A．在1，2，3，4，5中所有任取两个不同的数的乘积之和B．在1，2，3，4，5中所有任取三个不同的数的乘积之和C．在1，2，3，4，5中所有任取四个不同的数的乘积之和D．以上结论都不对16.某人驾驶一艘小游艇位于湖面A处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东21°方向，且塔顶的仰角为18°，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达B处，此时测得塔底位于北偏西39°方向，则该塔的高度约为（）A．265米B．279米C．292米D．306米三、解答题（共5小题）17.如图，在正六棱锥P﹣ABCDEF中，已知底边长为2，侧棱与底面所成角为60°．（1）求该六棱锥的体积V：（2）求证：P A⊥CE．18.请解答以下问题，要求解决两个问题的方法不同．（1）如图1，要在一个半径为1米的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD，如何截取？并求出这个最大矩形的面积．（2）如图2，要在一个长半轴为2米，短半轴为1米的半个椭圆形铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD，如何截取？并求出这个最大矩形的面积．19.设{a n}是等差数列，公差为d，前n项和为S n．（1）设a1＝40，a6＝38，求S n的最大值；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，且对任意的n∈N*，都有T n≤20，求d 的取值范围．20.已知抛物线Γ的准线方程为x+y+2＝0，焦点为F（1，1）．（1）求证：抛物线Γ上任意一点P的坐标（x，y）都满足方程x2﹣2xy+y2﹣8x﹣8y＝0；（2）请指出抛物线Γ的对称性和范围，并运用以上方程证明你的结论；（3）设垂直于x轴的直线与抛物线Γ交于A，B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程．21.现定义：设a是非零实常数，若对任意的x∈D，都有f（a﹣x）＝f（a+x），则称函数y＝f（x）为“关于a的偶型函数”．（1）请以三角函数为例，写出一个“关于2的偶型函数”的解析式，并给予证明；（2）设定义域为R的“关于a的偶型函数”y＝f（x）在区间（﹣∞，a）上单调递增，求证：y＝f（x）在区间（a，+∞）上单调递减；（3）设定义域为R的“关于的偶型函数”y＝f（x）是奇函数，若n∈N*，请猜测f（n）的值，并用数学归纳法证明你的结论．2020年上海市静安区高考数学一模参考答案一、填空题（共12小题）1.【分析】直接利用数列的极限的运算法则，求解即可．【解答】解：（1﹣0.9n）＝1﹣＝1﹣0＝1．故答案为：1．【知识点】数列的极限2.【分析】由弧长公式即可算出结果．【解答】解：由弧长公式l＝|α|r＝×1＝，故答案为：．【知识点】弧长公式3.【分析】直接利用角的运算的应用求出结果．【解答】解：直线l1和l2的倾斜角分别为32°和152°，所以直线l1和l2的夹角为180°﹣（152°﹣32°）＝60°．故答案为：60°．【知识点】两直线的夹角与到角问题4.【分析】根据题意，分析可得直线l的方向向量为（1，k），进而分析可得•＝2+k＝0，解可得k的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，设直线l的斜率为k，则其方向向量为＝（1，k），若直线l的一个法向量为＝（2，1），则有•＝2+k＝0，解可得k＝﹣2；故答案为：﹣2．【知识点】直线的斜率5.【分析】根据题意，分析可得7小时后，这种细胞总共分裂了7次，由等比数列的通项分析可得答案．【解答】解：根据题意，7小时后，这种细胞总共分裂了7次，则经过7小时，1个此种细胞将分裂为个27个；故答案为：27【知识点】等比数列的前n项和6.【分析】由题意知旋转体为两个同底等高的圆锥组合体，由此求出组合体的体积．【解答】解：等腰直角三角形的直角边为，斜边的高为1；旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥组合体，其圆锥的底面半径为1，高为1；所以几何体的体积为V＝2××π×12＝．故答案为：．【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）7.【分析】根据ABCD是平行四边形可得出，然后代入AB＝2，AD＝1即可求出的值．【解答】解：∵AB＝2，AD＝1，∴＝＝＝1﹣4＝﹣3．故答案为：﹣3．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律8.【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换求出结果．【解答】解：tan3α＝tan（α+2α）＝＝＝．故答案为：．【知识点】两角和与差的余弦函数9.【分析】利用已知条件判断矩阵的个数与元素的顺序有关，直接利用排列求解即可．【解答】解：因为集合A共有6个元素，用这全部的6个元素组成的不同矩阵，矩阵中的元素的位置变换，矩阵也不相同，所以元素位置不同的个数为＝720.6个元素组成的不同矩阵应该分为四种不同类型，6行1列，1行6列，2行3列，3行2列，4种类型，所以这全部的6个元素组成的不同矩阵的个数为720×4＝2880．故答案为：2880【知识点】排列、组合及简单计数问题10.【分析】计算题；三角函数的求值．【解答】解：∵y＝sec x＝，x∈（0，π），∴当y＝﹣4时，cos x＝﹣，x＝π﹣arccos，由查表得arccos≈1.318∴x＝π﹣1.318≈1.82．故答案为：1.82．【知识点】反函数11.【分析】利用已知条件PF1⊥PF2，点P到坐标原点O的距离为c，转化求解c的最小值即可．【解答】解：双曲线的两个焦点为F1，F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P到坐标原点O的距离为c，所以c＝＝≥，当且仅当a＝时，取得最小值：．故答案为：．【知识点】双曲线的简单性质12.【分析】利用指数式与对数式的互化即可算出结果．【解答】解：设log a M r＝b，∴a b＝M r，∴r log a M＝b，∴log a M＝，∴a＝a＝（a）r＝（a）r＝a b＝M r，∴关键步骤为：a＝（a）r＝M r．【知识点】对数的运算性质二、单选题（共4小题）13.【分析】根据充要条件及等差数列的定义判断即可．【解答】解：若“a，b，c成等差数列”，则“2b＝a+c”，即“a，b，c成等差数列”是“2b＝a+c”的充分条件；若“2b＝a+c”，则“a，b，c成等差数列”，即“a，b，c成等差数列”是“2b＝a+c”的必要条件，综上可得：“a，b，c成等差数列”是“2b＝a+c”的充要条件，故选：C．【知识点】充要条件14.【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．【解答】解：由＝是纯虚数，∴，得x≠0，y＝．故选：B．【知识点】复数代数形式的乘除运算15.【分析】直接利用二项式展开式的应用求出结果．【解答】解：展开（a+1）（a+2）（a+3）（a+4）（a+5），则展开式中a3的系数可以看成一个因式取a，其余的两个因式是从5个因式中任意取．故选：A．【知识点】二项式定理16.【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用三角形的边角关系，即可求出该塔的高度．【解答】解：如图所示，△ABC中，AB＝1000，∠ACB＝21°+39°＝60°，∠ABC＝90°﹣39°＝51°；由正弦定理得，＝，所以AC＝；Rt△ACD中，∠CAD＝18°，所以CD＝AC•tan18°＝×tan18°＝×0.3249≈292（米）；所以该塔的高度约为292米．故选：C．【知识点】已知三角函数模型的应用问题三、解答题（共5小题）17.【分析】（1）连结AD，过P作PO⊥底面ABCD，交AD于点O，则P A＝2AO＝4，由此能求出该六棱锥的体积．（2）连结CE，交AD于点O，连结PG，推导出AD⊥CE，PG⊥CE，从而CE⊥平面P AD，由此能证明P A⊥CE．【解答】解：（1）解：∵在正六棱锥P﹣ABCDEF中，底边长为2，侧棱与底面所成角为60°．连结AD，过P作PO⊥底面ABCD，交AD于点O，则AO＝DO＝2，∠P AO＝60°，∴P A＝2AO＝4，PO＝＝2，S ABCDEF＝6×（）＝6，∴该六棱锥的体积V＝＝＝12．（2）证明：连结CE，交AD于点O，连结PG，∵DE＝CD，AE＝AD，∴AD⊥CE，O是CE中点，∵P A＝PC，∴PG⊥CE，∵PG∩AD＝G，∴CE⊥平面P AD，∵P A⊂平面P AD，∴P A⊥CE．【知识点】直线与平面垂直的判定、棱柱、棱锥、棱台的体积18.【分析】（1）通过设出∠BOC＝α，进而用α表示出OB，BC；最后表示出S利用三角函数即可求解；（2）通过设出点C的坐标（m，n），进而表示出OB＝m，BC＝n，S＝2mn；再利用点C为椭圆上的点，即满足其方程利用基本不等式求解即可；【解答】解：（1）设∠BOC＝α，（）；∴OB＝cosα，BC＝sinα；∵S＝2OB•BC，∴S═2sinαcosα＝sin2α；∴当时，即OB＝时，矩形面积最大为1；（2）依题意可得：椭圆方程为：；设：点C坐标为（m，n）即：OB＝m，BC＝n；∴S＝2OB•BC＝2mn；∵点C为椭圆上的点；∴；∵；∴mn≤1，当且仅当＝时取等号；∴S≤2；即矩形面积最大为2；当OB＝时取等号；【知识点】基本不等式19.【分析】（1）运用等差数列的通项公式可得公差d，再由等差数列的求和公式，结合配方法和二次函数的最值求法，可得最大值；（2）由题意可得数列{b n}为首项为2，公比为2d的等比数列，讨论d＝0，d＞0，d＜0，判断数列{b n}的单调性和求和公式，及范围，结合不等式恒成立问题解法，解不等式可得所求范围．【解答】解：（1）a1＝40，a6＝38，可得d＝＝﹣，可得S n＝40n﹣n（n﹣1）•＝﹣（n﹣）2+，由n为正整数，可得n＝100或101时，S n取得最大值2020；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，可得a n＝1+（n﹣1）d，数列{b n}为首项为2，公比为2d的等比数列，若d＝0，可得b n＝2；d＞0，可得{b n}为递增数列，无最大值；当d＜0时，T n＝＜，对任意的n∈N*，都有T n≤20，可得20≥，且d＜0，解得d≤log20.9．【知识点】等差数列的前n项和、数列的求和20.【分析】（1）由抛物线的定义可得|PF|＝d（d为P到准线的距离），运用两点的距离公式和点到直线的距离公式，化简可得所求轨迹方程；（2）由抛物线的方程的特点，考虑点关于直线y＝x的对称点的特征和对称轴与准线和抛物线的交点的关系，以及直线和抛物线相切的特点，可得所求范围；（3）设垂直于x轴的直线为x＝t，代入抛物线的方程x2﹣2xy+y2﹣8x﹣8y＝0，运用韦达定理和中点坐标公式，以及参数方程化为普通方程可得所求轨迹方程．【解答】解：（1）证明：抛物线Γ的准线方程为x+y+2＝0，焦点为F（1，1），抛物线Γ上任意一点P的坐标（x，y），由抛物线的定义可得|PF|＝d（d为P到准线的距离），即为＝，两边平方化简可得x2﹣2xy+y2﹣8x﹣8y＝0；（2）抛物线关于y＝x对称，顶点为（0，0），范围为x≥﹣1，y≥﹣1，由方程x2﹣2xy+y2﹣8x﹣8y＝0，设抛物线上任一点（x，y）关于直线y＝x对称的点为（y，x），满足原方程，则抛物线关于直线y＝x对称；由直线y﹣1＝x﹣1即y＝x，联立x+y+2＝0，解得x＝y＝﹣1，可得抛物线的顶点为（0，0）；由x＝﹣1和x2﹣2xy+y2﹣8x﹣8y＝0联立可得切点为（﹣1，3），同样由y＝﹣1和x2﹣2xy+y2﹣8x﹣8y＝0联立可得切点为（3，﹣1），可得抛物线的范围为x≥﹣1，y≥﹣1；（3）设垂直于x轴的直线为x＝t，代入抛物线的方程x2﹣2xy+y2﹣8x﹣8y＝0，可得t2﹣（2t+8）y+t2﹣8t＝0，设A（t，y1），B（t，y2），可得y1+y2＝2t+8，则AB的中点为（t，t+4），则AB的中点的轨迹方程为直线y＝x+4．【知识点】直线与抛物线的位置关系21.【分析】（1）可取f（x）＝cos（x﹣2），由新定义和诱导公式即可得到结论；（2）运用单调性的定义，结合新定义可得对任意的x∈R，都有f（a﹣x）＝f（a+x），即为f（x）＝f（2a﹣x），即可得证；（3）由新定义和奇函数的定义，可得f（x）为最小正周期为2的函数，计算猜想f（n）＝0，n∈N*，由数学归纳法的步骤，注意由n＝k到n＝k+1，运用新定义和奇函数的定义，可得证明．【解答】解：（1）函数f（x）＝cos（x﹣2）为“关于2的偶型函数”．理由：由f（2﹣x）＝cos（2﹣x﹣2）＝cos（﹣x）＝cos x，f（2+x）＝cos（2+x﹣2）＝cos x，可得对任意的x∈R，都有f（2﹣x）＝f（2+x），故f（x）＝cos（x﹣2）为“关于2的偶型函数”；（2）证明：设a＜x1＜x2，则﹣a＞﹣x1＞﹣x2，即有a＞2a﹣x1＞2a﹣x2，由对任意的x∈R，都有f（a﹣x）＝f（a+x），即为f（x）＝f（2a﹣x），y＝f（x）在区间（﹣∞，a）上单调递增，可得f（2a﹣x1）＞f（2a﹣x2），即有f（x1）＞f（x2），可得y＝f（x）在区间（a，+∞）上单调递减；（3）设定义域为R的“关于的偶型函数”，可得对任意的x∈R，都有f（﹣x）＝f（+x），即为f（﹣x）＝f（1+x），又f（x）为奇函数，可得f（﹣x）＝﹣f（x），即有f（x+1）＝﹣f（x），则f（x+2）＝﹣f（x+1）＝f（x），可得f（x）为最小正周期为2的函数，由f（0）＝0，可得f（1）＝f（0）＝0，f（2）＝f（0）＝0，猜想f（n）＝0，n∈N*；证明：当n＝1时，f（1）＝f（0）＝0成立，假设n＝k，k∈N*时，f（k）＝0，当n＝k+1时，f（k+1）＝f﹣（k）＝﹣f（k）＝0，可得n＝k+1时，f（k+1）＝0，综上可得f（n）＝0，n∈N*．【知识点】函数与方程的综合运用、数学归纳法。
2020年上海市静安区高考数学一模试卷
2020年上海市静安区高考数学一模试卷一．填空题（本大题共12题，1–6每题4分，7–12每题5分，共54分）1．计算n lim →∞（1﹣0.9n ）= ． 【答案】1【命题意图】该题考查数列极限运算法则，属于基础题，较为简单．【解析】n lim →∞（1﹣0.9n ）=109n n lim →∞-=．1﹣0=1．故答案为：1． 【点评】根据数列的极限运算法则，即可求解．2．在单位圆中，60°的圆心角所对的弧长为 ． 【答案】π3【命题意图】该题考查弧长公式，属于基础题，较为简单． 【解析】l =|α|r π3=⨯1π3=，故答案为：π3． 【点评】由弧长公式l =|α|r 即可算出结果．3．若直线l 1和l 2的倾斜角分别为32°和152°，则l 1与l 2的夹角为 ．【答案】60°【命题意图】该题考查直线的倾斜角的定义与角的运算，属于基础题，较为简单【解析】直线l 1和l 2的倾斜角分别为32°和152°，所以直线l 1和l 2的夹角为180°﹣（152°﹣32°）=60°．故答案为：60°．【点评】角的加减，求出结果．4．若直线l 的一个法向量为n =r （2，1），则直线l 的斜率k = ．【答案】-2【命题意图】该题考查直线法向量与方向向量之间的关系以及方向向量的定义，注意直线方向向量的定义，属于基础题．【解析】设直线l 的斜率为k ，方向向量为m =r （1，k ），且法向量为n =r （2，1），则m r •n =r 2+k =0，解可得k =﹣2；故答案为：﹣2．【点评】直线l 的方向向量为（1，k ），则m r •n =r2+k =0，的k 的值．5．设某种细胞每隔一小时就会分裂一次，每个细胞分裂为两个细胞．则7小时后，1个此种细胞将分裂为个 ．【答案】27【命题意图】该题考查等比数列通项公式应用，题意与求和区分，属于基础题，较为简单．【解析】7小时后，这种细胞总共分裂7次， 7小时后，1个此种细胞将分裂为个27个；故答案为：27【点评】7小时后，细胞总共分裂了7次，通过等比数列的通项分析可得答案．6．设△ABC 是等腰直角三角形，斜边AB =2．现将△ABC （及其内部）绕斜边AB 所在的直线旋转一周形成一个旋转体，则该旋转体的体积为 ． 【答案】2π3【命题意图】该题考查几何体体积的计算问题，属于基础题．，斜边的高为1；旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥组合体，底面半径为1，高为1；几何体的体积为V =213⨯⨯π×122π3=故答案为：2π3． 【点评】旋转体为两个同底等高的圆锥组合体，根据圆锥体积公式即可求出组合体的体积．7．如图，在平行四边形ABCD 中，AB =2，AD =1．则AC BD ⋅u u u r u u u r 的值为 ．【答案】-3【命题意图】该题考查向量平行四边形法则，向量数量积的运算，属于基础题，较为简单．【解析】因为AB =2，AD =1，所以()()AC BD AB AD BA BC ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()()AB AD AD AB =+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r 22AD AB =-u u u r u u u r =1﹣4=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】平行四边形可知22AC BD AD AB ⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，根据AB =2，AD =1得出AC BD ⋅u u u r u u u r 的值．8．三倍角的正切公式为tan3α=．（用tanα表示）【答案】32313tan tantanααα--【命题意图】该题考查三角函数倍角公式，属于基础题型，注意公式的掌握．【解析】tan3α=tan（α+2α）322222312121311tantantan tan tan tantantantan tan tantantanααααααααααααα++--===---⋅-．故答案为：32313tan tantanααα--．【点评】根据三角函数倍角公式恒等变换化简．9．设集合A共有6个元素，用这全部的6个元素组成的不同矩阵的个数为．【答案】2880【命题意图】该题考查排列的应用，以及矩阵的定义，属于基础题．【解析】根据题意可知，矩阵中的元素的位置变换，矩阵也不相同，所以元素位置不同的个数为66A=720.又因为6个元素组成的不同矩阵类型不同，6行1列，1行6列，2行3列，3行2列4种类型，所以这全部的6个元素组成的不同矩阵的个数为720×4=2880．故答案为：2880．【点评】通过排列求解．10．现将函数y=sec x，x∈（0，π）的反函数定义为反正割函数，记为：y=arc sec x．则arc sec （﹣4）=．（请保留两位小数）【答案】1.82【命题意图】该题考查反三角函数的求值，属于基础题．【解析】因为y=sec x1cosx=，x∈（0，π），所以当y=﹣4时，cos x14=-，x=π﹣arccos14，则arccos14≈1.318所以x=π﹣1.318≈1.82．故答案为：1.82．【点评】掌握三角函数求值．11．设双曲线22211x ya a-=+的两个焦点为F1，F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P到坐标原点O的距离的最小值为．【答案】2【命题意图】该题考查双曲线的定义及性质，以及转化思想，属于中档题．【解析】当PF 1⊥PF 2，则点P 到坐标原点O 的距离为c ，因此c ==≥当且仅当a 12=-时，【点评】PF 1⊥PF 2，则点P 到坐标原点O 的距离为c ，转化求解c 的最小值．12．设a >0，a ≠1，M >0，N >0，我们可以证明对数的运算性质如下：a a a a log M log N log M log N a a a MN +==Q ，.a a a log MN log M log N ∴=+ 我们将⊗式称为证明的“关键步骤“．则证明r a a log M rlog M =（其中M >0，r ∈R ）的“关键步骤”为 ．【答案】r a log M =（a a log M ）r =M r【命题意图】该题考查指数对数关系，互相转化，属于基础题．【解析】log a M r =b ，所以a b =M r ，即r log a M =b ，log a M b r =，a r a log M =a a rlog M =（a a log M ）r =（a br ）r =a b =M r ，关键步骤为：a r a log M =（a a log M ）r =M r ．【点评】通过指数对数的互相转化，即可求解．二、选择题<该题满分20分）本大题共有4题，毎题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．“三个实数a ，b ，c 成等差数列”是“2b =a +c “的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【命题意图】该题通过充要条件来考查等差数列的判定，属于基础题．【解析】等差数列的判别方法可以通过等差中项来判别，2b=a+c 为等差中项，“a ，b ，c 成等差数列”，则“2b =a +c ”，即“a ，b ，c 成等差数列”是“2b =a +c ”的充分条件；若“2b=a+c”，则“a，b，c成等差数列”，即“a，b，c成等差数列”是“2b=a+c”的必要条件，综上：“a，b，c成等差数列”是“2b=a+c”的充要条件，故选C．【点评】等差数列的判别依据及充要条件即可得出结论14．设x，y∈R，若复数x iy i+-是纯虚数，则点P（x，y）一定满足（）A．y=x B．1yx=C．y=﹣x D．1yx=-【答案】B【命题意图】该题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的分裂，是基础题．【解析】根据()()()()22111x i y ix i xy x yiy i y i y i y y+++-+==+--+++是纯虚数，所以10xyx y-=⎧⎨+≠⎩，得x≠0，y1x=．故选B．【点评】通过复数的除法运算化简，实部为0且虚部不为0列式求解．15．若展开（a+1）（a+2）（a+3）（a+4）（a+5），则展开式中a3的系数等于（）A．在1，2，3，4，5中所有任取两个不同的数的乘积之和B．在1，2，3，4，5中所有任取三个不同的数的乘积之和C．在1，2，3，4，5中所有任取四个不同的数的乘积之和D．以上结论都不对【答案】A【命题意图】该题考查二项式定理的应用，属于基础题较为简单．【解析】展开（a+1）（a+2）（a+3）（a+4）（a+5），其中a3的系数可以看成一个因式取a，其余的两个因式是从5个因式中任意取．因此任取两个不同的数的乘积之和故选A．【点评】二项式展开式求出结果．16．某人驾驶一艘小游艇位于湖面A处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东21°方向，且塔顶的仰角为18°，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达B处，此时测得塔底位于北偏西39°方向，则该塔的高度约为（）A．265米B．279米C．292米D．306米【答案】C【命题意图】该题考查解三角形的应用，是基础题．【解析】根据题意做如下图所示：在△ABC中，AB=1000，∠ACB=21°+39°=60°，∠ABC=90°﹣39°=51°；则10005160ACsin sin=︒︒，因此AC10005160sinsin⋅︒=︒；在直角△ACD中，∠CAD=18°，因此CD=AC•tan18°10005160sinsin⋅︒=⨯︒tan18°10000.77710.8660⨯=⨯0.3249≈292（米）；故该塔的高度约为292米．故选C．【点评】通过图形，利用三角形的边角关系，即可求出该塔的高度．三、解答题（该题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸得规定区域（对应得题号）内写出必要的步骤.17．如图，在正六棱锥P﹣ABCDEF中，已知底边长为2，侧棱与底面所成角为60°．（1）求该六棱锥的体积V：（2）求证：P A⊥CE．【命题意图】该题考查棱锥的体积公式，线线垂直的证明，需要一定的逻辑推理能力，属于中档题．【解析】（1）因为在正六棱锥P﹣ABCDEF中，底边边长为2，侧棱与底面所成角为60°．连接AD，过P作PO⊥面ABCD，交AD于点O，则AO=DO=2，∠P AO=60°，所以P A=2AO=4，根据勾股定理可知PO ==S ABCDEF =6×（122602sin ⨯⨯⨯︒），所以该六棱锥的体积V 1133ABCDEF S PO =⨯⨯=⨯=12． （2）连接CE ，交AD 于点O ，连接PG ，因为DE =CD ，AE =AD ，所以AD ⊥CE ，O 是CE 中点，因为P A =PC ，所以PG ⊥CE ，因为PG ∩AD =G ，所以CE ⊥面P AD ，因为P A ⊂面P AD ，所以P A ⊥CE ．【点评】（1）连接AD ，过P 作PO ⊥面ABCD ，交AD 于点O ，则P A =2AO =4，通过棱锥的体积公式即可．（2）连接CE ，交AD 于点O ，连接PG ，则AD ⊥CE ，PG ⊥CE ，因此CE ⊥面P AD ，通过线面垂直推出P A ⊥CE ．18．请解答以下问题，要求解决两个问题的方法不同．（1）如图1，要在一个半径为1米的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD ，如何截取？并求出这个最大矩形的面积．（2）如图2，要在一个长半轴为2米，短半轴为1米的半个椭圆形铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD ，如何截取？并求出这个最大矩形的面积．【命题意图】该题考查了基本不等式的应用，借助于三角函数表示属于中档题．【解析】（1）设∠BOC =α，（π02α<<）； 所以OB =cos α，BC =sin α；因为S =2OB •BC ，所以S ═2sin αcos α=sin2α；所以当π4α=时，即OB =1； （2）()22104x y y +=≥，；设点C 坐标为（m ，n ）即：OB =m ，BC =n ； 所以S =2OB •BC =2mn ；且2214m n +=；因为224m n mn +≥=； 所以mn ≤1，当且仅当122m n ==时取等号；所以S ≤2；即矩形面积最大为2；当且仅当OB =【点评】（1）设∠BOC =α，进而根据α表示出OB ，BC ；表示S 通过三角函数求解即可；（2）设点C 坐标（m ，n ），表示OB =m ，BC =n ，S =2mn ；再点C 满足其方程利用基本不等式即可求解；19．设{a n }是等差数列，公差为d ，前n 项和为S n ．（1）设a 1=40，a 6=38，求S n 的最大值；（2）设()*112n a n a b n N ==∈，，数列{b n }的前n 项和为T n ，且对任意的n ∈N *，都有T n ≤20，求d 的取值范围．【命题意图】该题考查数列通项公式和求和公式的运用，不等式恒成立问题解法，属于中档题．【解析】（1）a 1=40，a 6=38，得d 61255a a -==-， S n =40n 12-n （n ﹣1）•2155=-（n 2012-）2220120+， 当n =100或101时，S n 取得最大值2020；（2）令()*112n a n a b n N ==∈，，数列{b n }的前n 项和为T n ，得a n =1+（n ﹣1）d ，数列{b n }为首项为2，公比为2d 的等比数列，当d =0，得b n =2；d >0，可得{b n }为递增数列，不存在；当d<0时，T n()21221212dnd d-=<--，对∀n∈N*，都有T n≤20，可得20212d≥-，且d<0，则d≤log20.9．【点评】（1）根据数列通项公式联立方程组可得公差，有因等差数列的求和公式，转化为二次函数的最值求法，可得最大值；（2）数列{b n}为首项为2，公比为2d的等比数列，根据d=0，d>0，d<0，来判断数列{b n}的单调性和求和公式，不等式恒成立问题解法，解不等式可得所求范围．20．已知抛物线Γ的准线方程为x+y+2=0，焦点为F（1，1）．（1）求证：抛物线Γ上任意一点P的坐标（x，y）都满足方程x2﹣2xy+y2﹣8x﹣8y=0；（2）请指出抛物线Γ的对称性和范围，并运用以上方程证明你的结论；（3）设垂直于x轴的直线与抛物线Γ交于A，B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程．【命题意图】该题考查抛物线定义、性质以及轨迹方程，方程思想和数形结合思想，属于中档题．【解析】（1）抛物线准线方程为x+y+2=0，焦点为F（1，1），P的坐标（x，y），根据抛物线的定义可得|PF|=d（d为P到准线的距离），=，则x2﹣2xy+y2﹣8x﹣8y=0；（2）抛物线关于y=x对称，顶点为（0，0），范围为x≥﹣1，y≥﹣1，根据方程x2﹣2xy+y2﹣8x﹣8y=0，设抛物线上任一点（x，y）关于直线y=x对称的点为（y，x），则抛物线关于直线y=x对称；由直线y﹣1=x﹣1联立x+y+2=0，解得x=y=﹣1，可得抛物线的顶点为（0，0）；根据x=﹣1和x2﹣2xy+y2﹣8x﹣8y=0联立得切点为（﹣1，3），同理y=﹣1和x2﹣2xy+y2﹣8x﹣8y=0联立可得切点为（3，﹣1），则抛物线的范围为x≥﹣1，y≥﹣1；（3）设直方程为x=t，代入抛物线的方程x2﹣2xy+y2﹣8x﹣8y=0，得t2﹣（2t+8）y+t2﹣8t=0，设A（t，y1），B（t，y2），可得y1+y2=2t+8，则AB的中点为（t，t+4），则AB的中点所在方程为直线y=x+4．【点评】（1）|PF|=d（d为P到准线的距离），通过两点的距离公式和点到直线的距离公式，化简即为所求轨迹方程；（2）根据抛物线的方程，点关于直线y=x的对称点和对称轴与准线和抛物线的交点的关系，以及直线和抛物线相切，联立可得所求范围；（3）设直线为x=t，代入抛物线的方程x2﹣2xy+y2﹣8x﹣8y=0，运用根与系数的关系和中点坐标公式，以及参数方程转化为直角坐标方程方程可得所求轨迹方程．21．现定义：设a是非零实常数，若对任意的x∈D，都有f（a﹣x）=f（a+x），则称函数y=f （x）为“关于a的偶型函数”．（1）请以三角函数为例，写出一个“关于2的偶型函数”的解析式，并给予证明；（2）设定义域为R的“关于a的偶型函数”y=f（x）在区间（﹣∞，a）上单调递增，求证：y=f（x）在区间（a，+∞）上单调递减；（3）设定义域为R的“关于12的偶型函数”y=f（x）是奇函数，若n∈N*，请猜测f（n）的值，并用数学归纳法证明你的结论．【命题意图】该题通过新定义，考查函数的奇偶性以及单调性，周期性，数学归纳法，属于中档题．【解析】（1）f（x）=cos（x﹣2）为“关于2的偶型函数”．证明f（2﹣x）=cos（2﹣x﹣2）=cos（﹣x）=cos x，f（2+x）=cos（2+x﹣2）=cos x，即∀x∈R，有f（2﹣x）=f（2+x）恒成立，故f（x）=cos（x﹣2）为“关于2的偶型函数”；（2）证明：设a<x1<x2，则﹣a>﹣x1>﹣x2，即有a>2a﹣x1>2a﹣x2，由∀x∈R，都有f（a﹣x）=f（a+x），即为f（x）=f（2a﹣x），y=f（x）在区间（﹣∞，a）上单增，得f（2a﹣x1）>f（2a﹣x2），有f（x1）>f（x2），得y=f（x）在区间（a，+∞）上单减；（3）设定义域为R的“关于12的偶型函数”，∀x∈R，有f（12-x）=f（12+x），则f（﹣x）=f（1+x），又因f（x）为奇函数，得f（﹣x）=﹣f（x），即f（x+1）=﹣f（x），则f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），可得f（x）为最小正周期为2的函数，因f（0）=0，得f（1）=f（0）=0，f（2）=f（0）=0，猜想f（n）=0，n∈N*；证明：当n=1时，f（1）=f（0）=0成立，假设n=k，k∈N*时，f（k）=0，当n=k+1时，f（k+1）=f﹣（k）=﹣f（k）=0，可得n=k+1时，f（k+1）=0，综上所述可得f（n）=0，n∈N*．【点评】（1）令f（x）=cos（x﹣2），根据题意和诱导公式即可得到结论；（2）通过新定义，单调性定义，得对任意的x∈R，都有f（a﹣x）=f（a+x），即为f（x）=f（2a﹣x），即可得证；（3）由奇函数和新定义的定义，可得f（x）为最小正周期为2的函数，计算f（n）=0，n∈N*，根据数学归纳法的步骤，即可证明．第11页（共11页）。
2020年上海市第一次高考模拟考试文科数学试题与答案
2020年上海市第一次高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
|﹣1＜x＜5}，集合A＝{1，3}，则集合∁U A的子集的个数是（）1. 设全集U＝{x NA. 16B. 8C. 7D. 42. 下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A. i（1+i）2B. i2（1﹣i）C. （1+i）2D. i（1+i）3. 为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态,选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图,有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定。
其中所有正确结论的编号为（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④4. 已知直线，直线为，若则( )A．或 B．C ．D ．或5. 已知,条件甲：；条件乙：,则甲是乙的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为（ ） A ． B ．C ．D ．7. 在中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，，则角B=（ ）A.B. C.D.8. 执行如图所示的程序框图，输出的S=（ ）A. 25B. 9C. 17D. 209. 设直线1:210l x y -+=与直线A 的交点为A ；,P Q 分别为12,l l 上任意两点，点M 为,P Q 的中点，若12AM PQ =，则m 的值为（ ） A. 2B. 2-C. 3D. 3-10.在V ABC 中，sin B A =，BC =4C π=，则=AB （ ）B. 5C. D.11. 已知函数，若，且函数存在最小值，则实数的取值范围为（ ） A.B.C. D. 12.已知三棱锥的底面的顶点都在球的表面上，且，，，且三棱锥的体积为，则球的体积为（ ） A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【精校】2020年上海市静安区高考一模数学
2020年上海市静安区高考一模数学一、填空题(50分)本大题共有10题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分.1.“x ＜0”是“x ＜a ”的充分非必要条件，则a 的取值范围是_____. 解析：若“x ＜0”是“x ＜a ”的充分非必要条件， 则a 的取值范围是(0，+∞). 答案：(0，+∞).2.函数f(x)=1-3sin 2(x+4π)的最小正周期为_____. 解析：利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得f(x)的最小正周期. 答案：π.3.若复数z 为纯虚数，且满足(2-i)z=a+i(i 为虚数单位)，则实数a 的值为_____.解析：由(2-i)z=a+i ，得z=2a ii+-，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，由复数z 为纯虚数，列出方程组，求解即可得答案. 答案：12.4.二项式(x 2+1x)5展开式中x 的系数为_____. 解析：利用二项式(x 2+1x)5展开式的通项公式即可求得答案.答案：10.5.用半径1米的半圆形薄铁皮制作圆锥型无盖容器，其容积为_____立方米. 解析：由已知求出圆锥的底面半径，进一步求得高，代入圆锥体积公式得答案.答案：24.6.已知α为锐角，且cos(α+4π)=35，则sin α=_____. 解析：由α为锐角求出α+4π的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin(α+4π)的值，所求式子中的角变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值.答案：10.7.根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于(等于)20毫克/100毫升的行为属于饮酒驾车.假设饮酒后，血液中的酒精含量为p0毫克/100毫升，经过x 个小时，酒精含量降为p 毫克/100毫升，且满足关系式p=p 0·e rx(r 为常数).若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，则此人饮酒后需经过_____小时方可驾车.(精确到小时)解析：先求出e r89·e xr＜20，即可得出结论. 答案：8.8.已知奇函数f(x)是定义在R 上的增函数，数列{x n }是一个公差为2的等差数列，满足f(x 7)+f(x 8)=0，则x 2020的值为_____.解析：设x 7=x ，则x 8=x+2，则f(x)+f(x+2)=0，结合奇函数关于原点的对称性可知，f(x+1)=0=f(0)，x 7=-1.设数列{x n }通项x n =x 7+2(n-7).得到通项x n =2n-15.由此能求出x 2011的值.答案：4019.9.直角三角形ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，点M 是三角形ABC 外接圆上任意一点，则AB u u u r ·AMu u u u r的最大值为_____. 解析：建立坐标系，设M (32+52cos α，2+52sin α)，则AM u u u u r =(32+52cos α，2+52sin α)，AB u u u r =(3，0)，AB u u u r ·AM u u u u r =92+152cos α≤12.答案：12.10.已知f(x)=a x-b((a ＞0且且a ≠1，b ∈R)，g(x)=x+1，若对任意实数x 均有f(x)·g(x)≤0，则14a b+的最小值为_____. 解析：根据对任意实数x 均有f(x)·g(x)≤0，求出a ，b 的关系，可求14a b+的最小值. 答案：4.二、选择题(25分)本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 11.若空间三条直线a 、b 、c 满足a ⊥b ，b ⊥c ，则直线a 与c( ) A.一定平行 B.一定相交C.一定是异面直线D.平行、相交、是异面直线都有可能 解析：如图所示：a ⊥b ，b ⊥c ，a与c可以相交，异面直线，也可能平行.从而若直线a、b、c满足a⊥b、b⊥c，则a∥c，或a与c相交，或a与c异面. 答案：D.12.在无穷等比数列{a n}中，limn (a1+a2+…+a n)=12，则a1的取值范围是( )A.(0，12)B.(12，1)C.(0，1)D.(0，12)∪(12，1)解析：利用无穷等比数列和的极限，列出方程，推出a1的取值范围.答案：D.13.某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有( )A.336种B.320种C.192种D.144种解析：根据题意，分2种情况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案.答案：A.14.已知椭圆C1，抛物线C2焦点均在x轴上，C1的中心和C2顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中，则C1的左焦点到C2的准线之间的距离为( )C.1D.2解析：由表可知：抛物线C 2焦点在x 轴的正半轴，设抛物线C 2：y 2=2px(p ＞0)，则有2y x=2p(x≠0)，将(3，)，(4，-4)在C 2上，代入求得2p=4，即可求得抛物线方程，求得准线方程，设椭圆C 1：2222x y a b+=1(a ＞b ＞0)，把点(-2，0)，)，即可求得椭圆方程，求得焦点坐标，即可求得C 1的左焦点到C 2的准线之间的距离.答案：B.15.已知y=g(x)与y=h(x)都是定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，且当x ＞0时，g(x)=()20111x x g x x ≤-⎧⎪⎨⎪⎩，＜，＞，h(x)=klog 2x(x ＞0)，若y=g(x)-h(x)恰有4个零点，则正实数k 的取值范围是( )A.[12，1] B.(12，1]C.(12，log 32]D.[12，log 32]解析：问题转化为g(x)和h(x)有4个交点，画出函数g(x)，h(x)的图象，结合图象得到关于k 的不等式组，解出即可. 答案：C. 三、解答题(本题满分75分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对应的题号)内写出必要的步骤.16.已知正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1，AB=a ，AA 1=2a ，E ，F 分别是棱AD ，CD 的中点. (1)求异面直线BC 1与EF 所成角的大小； (2)求四面体CA 1EF 的体积.解析：(1)连接A 1C 1，由E ，F 分别是棱AD ，CD 的中点，可得EF ∥AC ，进一步得到EF ∥A 1C 1，可知∠A 1C 1B 为异面直线BC 1与EF 所成角.然后求解直角三角形得答案；(2)直接利用等体积法把四面体CA 1EF 的体积转化为三棱锥A 1-EFC 的体积求解. 答案：(1)连接A 1C 1，∵E ，F 分别是棱AD ，CD 的中点，∴EF ∥AC ，则EF ∥A 1C 1， ∴∠A 1C 1B 为异面直线BC 1与EF 所成角.在△A 1C 1B 中，由AB=a ，AA 1=2a ，得C 1B=A 1B=5a ，A 1C 1=2a ，∴cos ∠A 1C 1a=， ∴异面直线BC 1与EF 所成角的大小为arccos10； (2)11311 (2322212)C A EF A EFC a a a V V a --===.17.设双曲线C ：2223x y -=1，F 1，F 2为其左右两个焦点. (1)设O 为坐标原点，M 为双曲线C 右支上任意一点，求1·OM FM u u u u r u u u u r的取值范围； (2)若动点P 与双曲线C 的两个焦点F 1，F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为-19，求动点P 的轨迹方程.解析：(1)设M(x ，y)，x，左焦点F 1，0)，通过1·OM FM u u u u r u u u u r=(x ，y)·y)利用二次函数的性质求出对称轴，求出1·OM FM u u u u r u u u u r 的取值范围. (2)写出P 点轨迹为椭圆2222x y a b+=1，利用|F 1F 2|PF 1|+|PF 2|=2a ，结合余弦定理，以及基本不等式求解椭圆方程即可.答案：(1)设M(x ，y)，x，左焦点F 10)，1·OM FM u u u u r u u u u r =(x ，y)·，y)=x 2+x+y 2=x 2232x-3=22)对称轴x=-5，1·OM FM u u u u r u u u u r ∈[2++∞)(2)由椭圆定义得：P 点轨迹为椭圆2222x y a b +=1，|F 1F 2|PF 1|+|PF 2|=2acos ∠F 1PF 2=221212202PF PF PF PF +⋅-=2121242202a PF PF PF PF -⋅-⋅=21242021a PF PF -⋅- 由基本不等式得2a=|PF 1|+|PF 2|≥当且仅当|PF 1|=|PF 2|时等号成立|PF 1|·|PF 2|≤a 2⇒cos ∠F 1PF 2≥2242012a a --=-19⇒a 2=9，b 2=4所求动点P 的轨迹方程为2294x y +=1.18.在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市A(看做一点)的东偏南θ角方向(cos θ=10)，300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大.(1)问10小时后，该台风是否开始侵袭城市A ，并说明理由； (2)城市A 受到该台风侵袭的持续时间为多久？解析：(1)建立直角坐标系，，则城市A(0，0)，当前台风中心，)，设t 小时后台风中心P 的坐标为(x ，y)，由题意建立方程组，能求出10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A.(2)t 小时后台风侵袭的范围可视为以t ，t)为圆心，60+10t 为半径的圆，由此利用圆的性质能求出结果. 答案：(1)如图建立直角坐标系，则城市A(0，0)，当前台风中心，)， 设t 小时后台风中心P 的坐标为(x ，y)，则x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，此时台风的半径为60+10t ， 10小时后，|PA|≈184.4km ，台风的半径为r=160km ， ∵r ＜|PA|，∴10小时后，该台风还没有开始侵袭城市A.(2)由(1)知t 小时后台风侵袭的范围可视为以t ，t)为圆心，60+10t 为半径的圆， 若城市A 受到台风侵袭，(60+10t)，∴300t 2-10800t+86400≤0，即t 2-36t+288≤0， 解得12≤t ≤24∴该城市受台风侵袭的持续时间为12小时.19.设集合M a ={f(x)|存在正实数a ，使得定义域内任意x 都有f(x+a)＞f(x)}.(1)若f(x)=2x -x 2，试判断f(x)是否为M 1中的元素，并说明理由；(2)若g(x)=x 3-14x+3，且g(x)∈Ma ，求a 的取值范围； (3)若h(x)=log 3(x+kx)， x ∈[1，+∞)(k ∈R)，且h(x)∈M 2，求h(x)的最小值.解析：(1)利用f(1)=f(0)=1，判断f(x)∉M 1.(2)f(x+a)-f(x)＞0，化简，通过判别式小于0，求出a 的范围即可. (3)由f(x+a)-f(x)＞0，推出h(x+2)-h(x)=log 3[(x+2)+2kx +]-log 3(x+k x )＞0，得到x+2+2kx +＞x+k x ＞0对任意x ∈[1，+∞)都成立，然后分离变量，通过当-1＜k≤0时，当0＜k＜1时，分别求解最小值即可.答案：(1)∵f(1)=f(0)=1，∴f(x)∉M 1.(2)由g(x+a)-g(x)=(x+a)3-x 3-14(x+a)+14x=3ax 2+3a 2x+a 3-14a ＞0 ∴△=9a 4-12a(a 3-14a)＜0，故 a ＞1. (3)由h(x+2)-h(x)=log 3[(x+2)+2kx +]-log 3(x+k x )＞0，即：log 3[(x+2)+2kx +]＞log 3(x+k x )∴x+2+2kx +＞x+k x ＞0对任意x ∈[1，+∞)都成立∴()2231k x x k k k x⎧+⎧⎪⇒⇒⎨⎨--⎩⎪⎩＜＜＞＞-1＜k ＜3当-1＜k ≤0时，h(x)min =h(1)=log 3(1+k)；当0＜k ＜1时，h(x)min =h(1)=log 3(1+k)； 当1≤k ＜3时，h(x)min3综上：h(x)min =()(3311113log k k log k +-⎧⎪⎨≤⎪⎩，＜＜，＜.20.由n(n ≥2)个不同的数构成的数列a 1，a 2，…a n 中，若1≤i ＜j ≤n 时，a j ＜a i (即后面的项a j 小于前面项a i )，则称a i 与a j 构成一个逆序，一个有穷数列的全部逆序的总数称为该数列的逆序数.如对于数列3，2，1，由于在第一项3后面比3小的项有2个，在第二项2后面比2小的项有1个，在第三项1后面比1小的项没有，因此，数列3，2，1的逆序数为2+1+0=3；同理，等比数列1，-12，14，-18的逆序数为4. (1)计算数列a n =-2n+19(1≤n ≤100，n ∈N *)的逆序数；(2)计算数列a n =131nn n n n ⎛⎫ ⎪⎧⎪⎪⎨⎪-⎪+⎝⎭⎩，奇，偶为数为数(1≤n ≤k ，n ∈N *)的逆序数；(3)已知数列a 1，a 2，…a n 的逆序数为a ，求a n ，a n-1，…a 1的逆序数.解析：(1)由{a n }为单调递减数列，可得逆序数为99+98+ (1)(2)当n 为奇数时，a 1＞a 3＞…＞a 2n-1＞0.当n 为偶数时：0＞a 2＞a 4＞…＞a 2n .可得逆序数. (3)在数列a 1，a 2，…a n 中，若a 1与后面n-1个数构成p 1个逆序对，则有(n-1)-p 1不构成逆序对，可得在数列a n ，a n-1，…a 1中，逆序数为(n-1)-p 1+(n-2)-p 2+…+(n-n)-p n . 答案：(1)∵{a n }为单调递减数列，∴逆序数为99+98+…+1=()991992+⨯=4950.(2)当n 为奇数时，a 1＞a 3＞…＞a 2n-1＞0. 当n 为偶数时：a n -a n-2=211n n n n --++-(n ≥4)=221n --=()()211n n -+-＜0∴0＞a2＞a4＞…＞a2n.当k为奇数时，逆序数为(k-1)+(k-3)+ (2)32k-+52k-+ (1)23418k k-+；当k为偶数时，逆序数为(k-1)+(k-3)+ (1)22k-+42k-+ (1)2328k k-.(3)在数列a1，a2，…a n中，若a1与后面n-1个数构成p1个逆序对，则有(n-1)-p1不构成逆序对，所以在数列a n，a n-1，…a1中，逆序数为(n-1)-p1+(n-2)-p2+…+(n-n)-p n=()12n n--a.考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。