第10章 压 杆 稳 定分析
第10章 杆件稳定性
a
II (大 挠 度 理 论) II (小 挠 度 理 论)
Fcr
B I (稳 定)
D'
O
a)
b)
第10章
两条平衡路径Ⅰ 的交点为分支点 分支点 B 将 分支点。 两条平衡路径 Ⅰ和 Ⅱ 的交点为 分支点 。
10.1 稳定性概念
原始的平衡路径Ⅰ分为两段：前段 OB 上的点属于稳定 原始的平衡路径Ⅰ 分为两段： 平衡， 上的点属于不稳定平衡。 平衡 ， 而后段 BC 上的点属于不稳定平衡 。 具有这种特 征的失稳形式称为分支点失稳形式。 征的失稳形式称为 分支点失稳形式。 分支点失稳形式
θ
例10.2
第10章
考虑如图(a)的单自由度非完善体 考虑如图(a)的单自由度非完善体 (a)
F k
B B'
系，刚性杆AB有初倾角 ε 。 刚性杆 有初倾角
k
10.1 稳定性概念
l
l
A
A
（a） ）
（b） ）
解：在图(b)中，平衡条件(水平方向)为 在图(b)中 平衡条件(水平方向) (b)
F tan(θ + ε ) − kl[sin(θ + ε ) − sin ε ] = 0 sin ε F = kl cos(θ + ε )[1 − ] sin(θ + ε )
第10章
例10.5
10.1 稳定性概念
如图所示， 如图所示，由三根相同的刚性杆组
成的系统，一端作用外力 ,铰结处B、 都是弹性 成的系统，一端作用外力F,铰结处 、C都是弹性 系数为k的弹性支座。试用两种方法求临界载荷。 系数为 的弹性支座。试用两种方法求临界载荷。 的弹性支座
第10章压杆稳定
这表明用低碳钢Q235制成的压杆，仅在柔度≥100时， 才能应用欧拉公式计算其临界应力或临界力，常用材料柔度
可查表。
第十章
四、中小柔度杆的临界应力
压杆稳定
10.2 临界力的确定
对于不能应用欧拉公式计算临界应力的压杆，即压杆内 的工作应力大于比例极限但小于屈服极限时，可应用在实验 基础上建立的经验公式。常见经验公式有直线公式和抛物线
公式。其中，直线公式为
cr a b a s cr a b s b a s s s p
b
抛物线公式为：
cr a1 b1
2
第十章
压杆稳定
10.3 压杆稳定的计算与校核
前面的讨论表明，对各种柔度的压杆，总可以用欧拉公
稳定安全因素
10.3 压杆稳定的计算与校核
nst
一般要大于强度安全因素。这是因
为一些难以避免的因素，如杆件的初弯曲、压力偏心、材料 不均匀和支座缺陷等，都严重影响压杆的稳定，降低了临界
压力。而同样这些因素，对杆件强度的影响不象对稳定那么
严重。关于稳定安全因素 中查到。
nst
一般可以在设计手册或规范
第十章
F Fcr ，
撤消横向干扰力后杆件能够恢复到 原来的直线平衡状态（图10–2b），
则原有的平衡状态是稳定平衡状态；
第十章
压杆稳定性的概念：
压杆稳定
10.1 压杆的稳定概念
当轴向压力增大到一定值
F Fcr
时，撤消横向干扰力后杆件不能再恢复到 原来的直线平衡状态（图10–2c），则原
有的平衡状态是不稳定平衡状态。 会进一
10.1 压杆的稳定概念
如果小球受到微小干扰而稍微偏离它原有的平衡位置， 当干扰消除以后，它不但不能回到原有的平衡位置，而且 继续离去，那么原有的平衡状态称为不稳定平衡状态， 如图c 所示。
第10章压杆稳定
第10章压杆稳定10.1【学习基本要求】1、理解压杆稳定的稳定平衡、不稳定平衡、临界力的概念。
2、掌握不同杆端约束下细长杆的临界力的计算公式。
3、理解长度系数的意义，掌握与常见的几种约束形式对应的长度系数。
4、掌握临界力与压杆长度、横截面形状、杆端约束的关系。
5、理解压杆的柔度的概念，掌握柔度的计算方法。
6、明确欧拉公式的适用范围和临界应力计算。
7、熟练掌握大柔度杆、中柔度杆、小柔度杆的判别方法及临界应力总图。
8、掌握压杆的稳定条件。
9、能熟练运用安全系数法对不同柔度压杆的稳定性进行分析计算。
10、掌握提高压杆稳定性的措施。
10.2【要点分析】1、压杆稳定的概念稳定性：压杆能保持稳定的平衡性能称为压杆具有稳定性。
失稳：压杆不能保持稳定的平衡叫压杆失稳。
稳定平衡：细长杆在轴向压力下保持直线平衡状态，如果给杆以微小的侧向干扰力，使杆产生微小的弯曲，在撤去干扰力后，杆能够恢复到原有的直线平衡状态而保持平衡，这种原有的直线平衡状态称为稳定平衡。
．．．不稳定平衡：撤去干扰力后，杆不会回到原来的平衡，而是保持微弯或力F继续增大，杆继续弯曲，产生显著的变形，甚至发生突然破坏，则称原有的平衡为不稳定平衡。
．．．失稳：轴向压力F由小逐渐增大的过程中，压杆由稳定的平衡转变为不稳定的平衡，这种现象称为压杆丧失稳定性或压杆失稳。
临界平衡状态：压杆在稳定平衡和不稳定平衡之间的状态称为临界平衡状态。
临界压力或临界力：压杆由直线状态的稳定平衡过渡到不稳定平衡时所对应的轴向压力，称为压杆的临界压力或临界力。
（即能使压杆保持微弯状态下的平衡的力）【注意】①临界状态也是一种不稳定平衡状态。
②临界状态下压杆即能在直线状态下也能在微弯状态下保持平衡。
③临界力使压杆保持微小弯曲平衡的最小压力。
2、理想压杆理想压杆是指不存在初弯曲、初偏心、初应力的承受轴向压力的均匀连续、各向同性的直杆。
工程中实际压杆与理想压杆有很大的区别，因为实际压杆常常带有初始缺陷，如：①初弯曲的存在使压杆截面形心轴线不是理想直线；②初偏心的存在造成压力作用线与杆件轴线不重合；③残余应力造成材料内部留有初应力；④材质不可能是完全均匀连续的。
材料力学-10-压杆的稳定问题
0 A＋1 B 0 sinkl A coskl B 0
根据线性代数知识，上述方程中，常数A、B不全为零 的条件是他们的系数行列式等于零：
0
1
sinkl coskl
0
sinkl 0
第10章 压杆的稳定问题
两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式
sinkl 0
FP k EI
第10章 压杆的稳定问题
临界应力与临界应力总图 长细比是综合反映压杆长度、约束条件、截面尺寸和截面 形状对压杆分叉载荷影响的量，用表示，由下式确定：
＝
l
i
I A
其中，I为压杆横截面的惯性半径，由下式确定：
i
从上述二式可以看出，长细比反映了压杆长度、支承条件以 及压杆横截面几何尺寸对压杆承载能力的综合影响。
不同刚性支承条件下的压杆，由静力学平衡方法得到的平衡 微分方程和边界条件都可能各不相同，确定临界载荷的表达式亦 因此而异，但基本分析方法和分析过程却是相同的。对于细长杆， 这些公式可以写成通用形式：
FPcr
π 2 EI
l
2
这一表达式称为欧拉公式。其中l为不同压杆屈曲后挠曲线上正弦 半波的长度，称为有效长度(effective length)； 为反映不同支承 影响的系数，称为长度系数（coefficient of 1ength），可由屈曲后 的正弦半波长度与两端铰支压杆初始屈曲时的正弦半波长度的比 值确定。
第10章 压杆的稳定问题
临界应力与临界应力总图
临界应力与长细比的概念
前面已经提到欧拉公式只有在弹性范围内才是适用的。这 就要求在分叉载荷即临界载荷作用下，压杆在直线平衡构形时， 其横截面上的正应力小于或等于材料的比例极限，即
第十章材料力学课程课件PPT
M ( x ) = Fcr y
(a)
2.11
y (tm + 1)
第10章 压 杆 稳 定
10.2 两端铰支中心压杆的欧拉公式
x F cr F cr l x O (a) δ l/2 y x O y y M(x) x
FN
(b)
图10.3 细长压杆的平衡形式 (a) 细长压杆的受压平衡;(b) 细长压杆受压局部受力分析
2.19
πx y = δ sin l
A
第10章 压 杆 稳 定
10.2 两端铰支中心压杆的欧拉公式
δ 但实际上, 之所以具有不确定性,是因为在公式推导过程中使用了式 (b)的挠曲线近似微分方程.若采用挠曲线的精确微分方程
F y dθ = cr ds EI
F F cr A
(j)
C B D
O
δ
图10.4 压杆的F-δ 关系
a =δ
上式说明积分常数a的物理意义为压杆中点处所产生的最大挠度,则 压杆的挠曲线方程又可以表示为
δ 在上式中, 是一个随机值.因为当 F = Fcr 时, = 0 ,即压杆处于稳 δ 定平衡状态而保持为直线;当 F < Fcr 时,在横向因素的干扰下,压 杆可在 δ 为任意微小值的情况下而保持微弯平衡状态,压杆所受压力 F和中点挠度 δ 之间的关系可由图10.4中的OAB折线来表示.
2.12
σ
第10章 压 杆 稳 定
10.2 两端铰支中心压杆的欧拉公式
当压杆的应力在比例极限范围以内,即在线弹性工作条件下,可利 用第6章的公式(6.1),即梁在小变形条件下挠曲线近似微分方程
M ( x) d2 y = 2 dx EI
将式(a)代入式(b)可得杆轴微弯成曲线的近似微分方程为
材料力学 第十章 压杆稳定问题
由杆，B处内力偶
MB Fcraq1 , q1
由梁，B处转角
MB Fcr a
q2
MBl 3EI
q1 B
MB MBl Fcra 3EI
3EI Fcr al
q2 C
l
Page21
第十章 压杆稳定问题
作业
10-2b，4，5，8
Page22
第十章 压杆稳定问题
§10-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
稳定平衡
b. F k l
临界(随遇)平衡
c. F k l
不稳定平衡
Fcr kl 临界载荷
F
k l
F 驱动力矩 k l 恢复力矩
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第十章 压杆稳定问题
（3）受压弹性杆受微干扰
F Fcr 稳定平衡 压杆在微弯位置不能平衡,要恢复直线
F >Fcr 不稳定平衡 压杆微弯位置不能平衡,要继续弯曲,导致失稳
(
w)
令 k2 F
EI
d 2w dx2
k
2w
k
2
l
l
FM w
x
F B
F
B F
Page24
第十章 压杆稳定问题
d 2w dx2
k2w
k 2
F
w
通解：
A
x
B
w Asinkx Bcoskx
l
考虑位移边界条件：
x 0, w 0,
B
x 0, q dw 0
Page31
第十章 压杆稳定问题
二、类比法确定临界载荷
l
压杆·稳定性
=
2 ，因为 h＞b ，则 I y
=
hb3 12
＜ bh3 12
=
Iz ，由式（10.3）得
Pcr
=
π 2 EI (μl)2
=
π2
× (200 ×103
MPa) × ( 1 × 40 mm × (20 12
(2 ×1000 mm)2
mm)3 ) ≈13200
N
= 13.2
kN
10.2.2 临界应力
当压杆受临界压力作用而维持其不稳定直线平衡时，横截面上的压应力仍然可按轴向压
10.3.2 临界应力经验公式与临界应力总图
在工程实际中，常见压杆的柔度λ 往往小于 λp ，即 λ＜λp ，这样的压杆横截面上的应力 已超过材料的比例极限，属于弹塑性稳定问题。这类压杆的临界应力可通过解析方法求得， 但通常采用经验公式进行计算。常见的经验公式有直线公式与抛物线公式等，这里仅介绍直 线公式。把临界应力 σcr 与柔度λ 表示为下列直线关系称为直线公式。
式中，λ 称为压杆的柔度或长细比，为无量纲量，它综合反映了压杆的长度、约束形式及截 面几何性质对临界应力的影响。于是，式（10.4）中的临界应力可以改写为
·219·
材料力学
σ cr
=
π2E λ2
式（10.6）是欧拉公式（10.3）的另一种表达形式，两者并无实质性差别。
（10.6）
10.3 欧拉公式的适用范围·临界应力总图·直线公式
2
≤σ
p
或
λ≥π E σp
（10.7）
令
于是条件式（10.7），可以写成
λP = π
E σp
（10.8）
λ ≥ λp
（10.9）
第十章 材料力学压杆稳定
y
即 : 189.325.612.74(1.52a/2) 时合理
a4.32 cm
求临界力：
L 0.76
i Iz 2A1
0.76 396.610 212.74104
8
106.5
2 E 220010 9 p 99.3 6 P 20010
2 EI
(2l ) 2
=1
0.7
=0.5
=2
2l
l
例1钢质细长杆，两端铰支，长l=1.5m，横截面是矩形截面， h=50 mm，b=30 mm，材料是A3钢，弹性模量E=200GPa； 求临界力和临界应力。 解：
(1)由于杆截面是矩形，杆在不同方向发生弯曲的难易程度不同， 如下图
因为 Iy<Iz，所以在各个方向上发生弯曲时约束条件相同的情况下， 压杆最易在xz平面内发生弯曲；
三、其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式
2 EI min Pcr ( L) 2
压杆临界力欧拉公式的一般形式
—长度系数（或约束系数）。
1.一端固定一端自由的细长压杆，它相当于两端铰支长为2l的 压杆的挠曲线的一半部分；
2 EI 2 EI
4l
2
Pcr
2l
2
P l l
2.二端固定的细长压杆，其中间部分(0.5l) 相当于两端铰支长为 0.5l的压杆；
②挠曲线近似微分方程： M P y y EI EI P y y y k 2 y0 EI P 2 其中 :k EI
y
P x
M
P
③微分方程的解： ④确定积分常数：
y Asin xBcosx y(0) y( L)0
A0B0 即 : AsinkLBcoskL0
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第10章压杆稳定提要：本章着重讨论受压直杆的稳定性计算。
通过对两端铰支细长压杆的稳定性分析，阐明压杆的平衡稳定性的基本概念，明确压杆的临界力的意义及其确定方法，并进一步讨论了不同支承情况对临界力的影响及其欧拉公式的统一形式。
通过临界应力总图明确了压杆的柔度的物理意义，并揭示了压杆的强度和稳定性之间的关系，从而明确了欧拉公式的适用范围。
介绍了运用长、中柔度杆稳定计算公式进行简单的压杆稳定校核的方法。
10.1 压杆稳定的概念在绪论中已指出，衡量构件承载能力的指标有强度、刚度、稳定性。
关于杆件在各种基本变形以及常见的组合变形下的强度和刚度问题在前述各章节中已作了较详细的阐述，但均未涉及到稳定性问题。
事实上，杆件只有在受到压力作用时，才可能存在稳定性的问题。
在材料的拉压力学性能实验中，当对高为20mm，直径为10mm的短粗铸铁试件进行压缩试验时，其由于强度不足而发生了破坏。
从强度条件出发，该试件的承载能力应只与其横截面面积有关，而与试件的长度无关。
但如果将该试件加到足够的长度，再对其施加轴向压力时，将会发现在杆件发生强度破坏之前，会突然向一侧发生明显弯曲，若再继续加力就会发生折断，从而丧失承载能力。
由此可见，这时压杆的承载能力并不取决于强度，而是与它受压时的弯曲刚度有关，即与压杆的稳定性有关。
在工程建设中，由于对压杆稳定问题没有引起足够的重视或设计不合理，曾发生了多起严重的工程事故。
例如1907年，北美洲魁北克的圣劳伦斯河上一座跨度为 548米的钢桥正在修建时，由于两根压杆失去稳定，造成了全桥突然坍塌的严重事故。
又如在19世纪末，瑞士的一座铁桥，当一辆客车通过时，桥桁架中的压杆失稳，致使桥发生灾难性坍塌，大约有200人遇难。
还有在1983年10月4日，地处北京的中国社会科学研究院科研楼工地的钢管脚手架距地面5~6处突然外弓，刹那间，这座高达54.2米，长17.25米，总重565.4kN的大型脚手架轰然坍塌，5人死亡，7人受伤，脚手架所用建筑材料大部分报废，而导致这一灾难性事故的直接原因就是脚手架结构本身存在严重缺陷，致使结构失稳坍塌。
实际上，早在1744年，出生于瑞士的著名科学家欧拉(L. Euler)就对理想压杆在弹性范围内的稳定性进行了研究，并导出了计算细长压杆临界压力的计算公式。
但是，同其它科学问题一样，压杆稳定性的研究和发展与生产力发展的水平密切相关。
欧拉公式面世后，在相当长的时间里之所以未被认识和重视，就是因为当时在工程与生活建造中实用的木桩、石柱都不是细长的。
直到1788年熟铁轧制的型材开始生产，然后出现了钢结构。
特别是19世纪，随着铁路金属桥梁的大量建造，细长压杆的大量出现，相关工程事故的不断发生，才引起人们对压杆稳定问题的重视，并进行了不断深入的研究。
除了压杆以外，还有许多其它形式的构件也同样存在稳定性问题，如薄壁球形容器在径向压力作用下的变形(图10.1(a))；狭长梁在弯曲时的侧弯失稳(图 10.1(b))；两铰拱在竖向载荷作用下变为虚线所示形状而失稳(图10.1(c))等等。
但材料力学只涉及到了压杆的稳定性问题，同时它也是其它形状构件稳定性分析的理论基础。
图10.1 几种其它形式的稳定性问题(a)薄壁球形容器的失稳；(b)狭长矩形截面梁的侧弯失稳；(c)两铰拱的失稳所以，对细长压杆而言，使其失去承载能力的主要原因并不是强度问题，而是稳定性问题。
我们以图10.2(a)所示两端铰支受轴向压力的匀质细长直杆为例来说明关于稳定性的基本概念。
当杆件受到一逐渐增加的轴向压力F作用时，其始终可以保持为直线平衡状态。
但当同时受到一水平方向干扰力Q干扰时，压杆会产生微弯(如图10.2(a)中虚线所示)，而当干扰力消失后，其会出现如下两种情况：① 当轴向压力F小于某一极限值F cr时，压杆将复原为直线平衡。
这种当去除横向干扰力Q 后，能够恢复为原有直线平衡状态的平衡称为稳定平衡状态，如图10.2(b)所示。
② 当轴向压力F大于极限值F cr时，虽已去除横向干扰力Q，但压杆不能恢复为原有直线平衡状态而呈弯曲状态，若横截面上的弯矩值不断增加，压杆的弯曲变形亦随之增大，或由于弯曲变形过大而屈曲毁坏。
将这种原有的直线平衡状态称为不稳定平衡状态，如图10.2(c)所示。
③ 当轴向压力F等于极限值F cr时，压杆虽不能恢复为原有直线平衡状态但可保持微弯状态。
将这种由稳定平衡状态过渡到不稳定平衡状态的直线平衡，称之为临界平衡状态,如图10.2(d)所示。
而此时的临界值F cr称为压杆的临界力(critical force)。
将压杆丧失其直线平衡状态而过渡为曲线平衡，并失去承载能力的现象，称为丧失稳定，或简称为失稳(lost stability buckling)。
以上所述“材料均匀、轴线为直线、压力作用线通过轴线”的等直压杆又称为理想的“中心受压直杆”。
而实际的压杆由于材料的不均匀、初曲率或加载的微小偏心等等因素的影响，均可引起压杆变弯。
所以，实际压杆会在达到理想压杆临界压力之前就突然变弯而失去承载能力。
故实际压杆的轴向压力极限值一定低于理想压杆的临界压力F cr。
但为了便于研究，本章主要以理想中心受压直杆为研究对象，来讨论压杆的稳定性问题。
综上所述可知，压杆是否具有稳定性，主要取决于其所受的轴向压力。
即研究压杆的稳定性的关键是确定其临界力F cr的大小。
当F F cr时，压杆处于稳定平衡状态；当F > F cr时，则处于不稳定平衡状态。
图10.2 细长压杆的平衡形式(a) 受水平干扰力的杆件微弯；(b) 细长压杆稳定平衡；(c) 细长压杆不稳定平衡；(d) 细长压杆临界平衡10.2 两端铰支中心压杆的欧拉公式设两端铰支的理想中心受压细长直杆，当其压力达到临界值F cr时，在横向因素的干扰下压杆可在微弯状态下保持平衡。
可见，临界压力F cr就是使压杆保持微弯平衡的最小压力。
现来确定此临界压力F cr的计算公式。
建立如图10.3所示坐标系xoy，假想距坐标原点O为x处将杆件截开，取其一部分为研究对象(如图10.3(b)所示)，则在截面上除了有轴向压力F cr外，还作用有弯矩M(x)，弯矩值为(a)图10.3 细长压杆的平衡形式(a) 细长压杆的受压平衡；(b) 细长压杆局部受力分析当压杆的应力在比例极限范围以内，即在线弹性工作条件下，可利用第六章的公式(6-1)，即梁在小变形条件下挠曲线近似微分方程(b)将(a)式代入式(b)可得杆轴微弯成曲线的近似微分方程为(c)令(d)可得一常系数线性二阶齐次微分方程(e)此微分方程的通解为(f)式中，为积分常数，可由杆端的边界条件来确定。
由图10.3可知，当时，；将其代入式(f)可得则(f)可写为(g)当时，，代入式(g)可得(h)上式只有在或时才成立。
而当时，则式(g)就变为，其表示压杆任一横截面的挠度均等于零，即压杆并无弯曲而处于直线平衡状态，这与在临界压力作用下压杆保持微弯的平衡状态这一前提不相符，因此，必然是使上式成立的kl值为其中n为任意整数(n=0，1，2，3……)由此可得将上式代回到式(d)中，则可得由上式可知：由于n为任意整数，所以使压杆保持微弯平衡状态的临界压力F cr，在理论上可以有无穷多个，但实际上，当压杆在最小临界压力作用下，其就已处于由稳定平衡向不稳定平衡过渡的临界平衡状态并将丧失稳定性了。
但时，不合要求。
故当时，F cr为最小值，这就是保证压杆安全工作的临界压力F cr，即(10.1)上式为两端铰支等截面理想细长压杆的临界压力计算公式，由于此式最早由欧拉导出，故又称为欧拉公式(Euler formula)。
若将代入式(g)中，则(i)上式即为压杆处于临界平衡状态时的挠曲线方程。
可知其是半个正弦波形曲线，如图10.3所示。
由图10.3知，当时，(为压杆中点的挠度值)，将其代入(i)中可得上式说明积分常数a的物理意义为压杆中点处所产生的最大挠度，则压杆的挠曲线方程又可以表示为在上式中，是一个随机值。
因为当时，，即压杆处于稳定平衡状态而保持为直线；当时，在横向因素的干扰下，压杆可在为任意微小值的情况下而保持微弯平衡状态，压杆所受压力F和中点挠度之间的关系可由图10.4中的OAB折线来表示。
但实际上，之所以具有不确定性，是因为在公式推导过程中使用了(b)式的挠曲线近似微分方程。
若采用挠曲线的精确微分方程(j)可求得压力F与中点挠度之间的关系将如图10.4中的OAC曲线所示。
由曲线可知，当时，与有着一一对应关系。
所以，中点挠度的不确定性并不存在。
而对于实际受压杆件，由于材料的不均匀、存在的初曲率或加载的微小偏心等等因素的影响，在其压力F未达到临界压力F cr之前，实际上就已出现了微弯变形，可用图10.4中的OD 曲线来表示F和之间的关系。
10.3 不同约束条件下压杆的欧拉公式杆件受到轴向压力作用而发生微小弯曲时，其挠曲线的形式将与杆端的约束情况有直接的关系，这说明在其它条件相同的情况下，压杆两端的约束不同，其临界压力也不同。
但在推导不同杆端约束条件下细长压杆的临界压力计算公式时，可以采用上述类似的方法进行推导。
另外，也可以利用对比的方法，即将杆端为某种约束的细长受压杆在临界状态时的挠曲线形状与两端铰支受压杆的挠曲线形状进行对比分析，来得到该约束条件下的临界压力计算公式。
本节利用该方法给出几种典型的约束条件下，理想中心受压直杆的临界压力计算公式。
由上节可知，两端铰支细长压杆的挠曲轴线的形状为半个正弦波。
对于杆端为其它约束条件的细长压杆，若能够找到挠曲轴线上的两个拐点，即两个弯矩为零的截面，则可认为在该截面处为铰链支承。
所以，两拐点间的一段杆可视为两端铰支的细长压杆，而其临界压力应与相同长度的两端铰支细长压杆相同。
例如对于一端固定、一端铰支的细长压杆，在其挠曲轴线上距固定端处有一个拐点，这样上下两个铰链的长度，因此其临界压力应与长度为且两端铰支细长压杆的临界压力公式相同；对于两端固定的细长压杆，两拐点间的长度为0.5l，所以，只需将公式(10.1)中的长度l替换为0.5l即可；而对于一端固定另一端自由而在自由端受到轴向压力的细长压杆，相当于两端铰支长为2的压杆挠曲线的上半部分等等。
表10-1给出了几种工程实际中常见的理想约束条件下细长压杆的挠曲线形状及其相应的欧拉公式表达式。
表10-1 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界压力的欧拉公式临界状态时挠曲线由表10-1可知，对于各种不同约束条件下的等截面中心受压细长直杆的临界压力的欧拉公式可写成统一的形式(10.2)公式中：系数称为压杆的长度系数(factor of length)，与压杆的杆端约束情况有关；称为原压杆的计算长度，又称相当长度(equivalent length)。