第10章 压杆稳定
第10章 杆件稳定性
a
II (大 挠 度 理 论) II (小 挠 度 理 论)
Fcr
B I (稳 定)
D'
O
a)
b)
第10章
两条平衡路径Ⅰ 的交点为分支点 分支点 B 将 分支点。 两条平衡路径 Ⅰ和 Ⅱ 的交点为 分支点 。
10.1 稳定性概念
原始的平衡路径Ⅰ分为两段：前段 OB 上的点属于稳定 原始的平衡路径Ⅰ 分为两段： 平衡， 上的点属于不稳定平衡。 平衡 ， 而后段 BC 上的点属于不稳定平衡 。 具有这种特 征的失稳形式称为分支点失稳形式。 征的失稳形式称为 分支点失稳形式。 分支点失稳形式
θ
例10.2
第10章
考虑如图(a)的单自由度非完善体 考虑如图(a)的单自由度非完善体 (a)
F k
B B'
系，刚性杆AB有初倾角 ε 。 刚性杆 有初倾角
k
10.1 稳定性概念
l
l
A
A
（a） ）
（b） ）
解：在图(b)中，平衡条件(水平方向)为 在图(b)中 平衡条件(水平方向) (b)
F tan(θ + ε ) − kl[sin(θ + ε ) − sin ε ] = 0 sin ε F = kl cos(θ + ε )[1 − ] sin(θ + ε )
第10章
例10.5
10.1 稳定性概念
如图所示， 如图所示，由三根相同的刚性杆组
成的系统，一端作用外力 ,铰结处B、 都是弹性 成的系统，一端作用外力F,铰结处 、C都是弹性 系数为k的弹性支座。试用两种方法求临界载荷。 系数为 的弹性支座。试用两种方法求临界载荷。 的弹性支座
材料力学10压杆稳定_1欧拉公式
◆ 本例中，三杆截面面积基本相等，但由于其形状不同， Imin 不
同，致使临界力相差很大。最合理的截面形状为圆环形。
14
[例3] 图示各杆均为圆形截面细长压杆。已知各杆的材料及直径相 等。问哪个杆先失稳？ 解：由于各杆的材料及 截面均相同，故只需比
1.3 a F F F
较其相当长度 l 即可
a
杆A： 2 l 2a
F
F
2 1
0.7
压杆两端固定可轴向移动：
0.5
6
上述弹性压杆临界力的计算公式称为欧拉公式
Fc r
π 2 EI
l
2
说明： 1）欧拉公式的适用范围：线弹性（ ≤ p）
2）在压杆沿各个方向约束性质相同的情况下（即各个方向上 的 相等），I 应取最小值 3） l 称为压杆的相当长度
2
2000年10月25日上午10 时，南 京电视台演播中心由于脚手架 失稳使屋顶模板倒塌，导致死 6 人，伤 34 人。
3
2010年1月3日，通往昆明新机场的一座在建桥梁施工时因 支撑结构中的压杆失稳而坍塌，共导致 40 余人死伤。
4
二、压杆的临界力 使压杆由稳定向失稳转化的轴向压力的界限值称为压杆的临界力， 记作 Fcr 。即当 F ＜ Fcr ： 压杆稳定 F ≥ Fcr ： 压杆失稳 亦可将压杆的临界力 Fcr 理解为使压杆失稳的最小轴向压力
hb3 1 Iy 90 403 48 108 m 4 12 12
根据欧拉公式，此压杆的临界力
Fcr
π 2 EI y l
2
23.8 kN
11
[例2] 一端固定，一端自由的中心细长压杆。已知杆长 l = 1m , 材 料的弹性模量 E = 200 GPa。当分别采用图示三种截面时，试计算 其临界力。
(英汉双语)工程力学第十章 压杆稳定
P x L P P
P
M ( x, y ) = Py
②Approximate differential equation of the deflection curve
y
xM P P 2 2 y ′′ + y = y ′′ + k y = 0 , where : k = EI EI 19
M P y ′′= = y EI EI
EIy′′= M ( x)= Py+M
x M0 Let
k2 = P EI
y ′′ + k 2 y = k 2
M0 P P
M0
M y = c cos kx + d sin kx + ′ = d cos kx c sin kx P y
The boundary conditions are:
M P
x=0, y= y′=0;x=L, y= y′=0 27
③Solution of the differential equation： ④Determine the integral constants：
y = A sin x + B cos x
y ( 0 )= y ( L )= 0
A× 0 + B = 0 That is A sin kL + B cos kL = 0
Instable equilibrium
15
二、压杆失稳与临界压力 ： 1.理想压杆：材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。 2.压杆的稳定平衡与不稳定平衡：
稳 定 平 衡
不 稳 定 平 衡
16
3).loss of stability of compressed column：
第10章压杆稳定
这表明用低碳钢Q235制成的压杆，仅在柔度≥100时， 才能应用欧拉公式计算其临界应力或临界力，常用材料柔度
可查表。
第十章
四、中小柔度杆的临界应力
压杆稳定
10.2 临界力的确定
对于不能应用欧拉公式计算临界应力的压杆，即压杆内 的工作应力大于比例极限但小于屈服极限时，可应用在实验 基础上建立的经验公式。常见经验公式有直线公式和抛物线
公式。其中，直线公式为
cr a b a s cr a b s b a s s s p
b
抛物线公式为：
cr a1 b1
2
第十章
压杆稳定
10.3 压杆稳定的计算与校核
前面的讨论表明，对各种柔度的压杆，总可以用欧拉公
稳定安全因素
10.3 压杆稳定的计算与校核
nst
一般要大于强度安全因素。这是因
为一些难以避免的因素，如杆件的初弯曲、压力偏心、材料 不均匀和支座缺陷等，都严重影响压杆的稳定，降低了临界
压力。而同样这些因素，对杆件强度的影响不象对稳定那么
严重。关于稳定安全因素 中查到。
nst
一般可以在设计手册或规范
第十章
F Fcr ，
撤消横向干扰力后杆件能够恢复到 原来的直线平衡状态（图10–2b），
则原有的平衡状态是稳定平衡状态；
第十章
压杆稳定性的概念：
压杆稳定
10.1 压杆的稳定概念
当轴向压力增大到一定值
F Fcr
时，撤消横向干扰力后杆件不能再恢复到 原来的直线平衡状态（图10–2c），则原
有的平衡状态是不稳定平衡状态。 会进一
10.1 压杆的稳定概念
如果小球受到微小干扰而稍微偏离它原有的平衡位置， 当干扰消除以后，它不但不能回到原有的平衡位置，而且 继续离去，那么原有的平衡状态称为不稳定平衡状态， 如图c 所示。
第10章压杆稳定
第10章压杆稳定10.1【学习基本要求】1、理解压杆稳定的稳定平衡、不稳定平衡、临界力的概念。
2、掌握不同杆端约束下细长杆的临界力的计算公式。
3、理解长度系数的意义，掌握与常见的几种约束形式对应的长度系数。
4、掌握临界力与压杆长度、横截面形状、杆端约束的关系。
5、理解压杆的柔度的概念，掌握柔度的计算方法。
6、明确欧拉公式的适用范围和临界应力计算。
7、熟练掌握大柔度杆、中柔度杆、小柔度杆的判别方法及临界应力总图。
8、掌握压杆的稳定条件。
9、能熟练运用安全系数法对不同柔度压杆的稳定性进行分析计算。
10、掌握提高压杆稳定性的措施。
10.2【要点分析】1、压杆稳定的概念稳定性：压杆能保持稳定的平衡性能称为压杆具有稳定性。
失稳：压杆不能保持稳定的平衡叫压杆失稳。
稳定平衡：细长杆在轴向压力下保持直线平衡状态，如果给杆以微小的侧向干扰力，使杆产生微小的弯曲，在撤去干扰力后，杆能够恢复到原有的直线平衡状态而保持平衡，这种原有的直线平衡状态称为稳定平衡。
．．．不稳定平衡：撤去干扰力后，杆不会回到原来的平衡，而是保持微弯或力F继续增大，杆继续弯曲，产生显著的变形，甚至发生突然破坏，则称原有的平衡为不稳定平衡。
．．．失稳：轴向压力F由小逐渐增大的过程中，压杆由稳定的平衡转变为不稳定的平衡，这种现象称为压杆丧失稳定性或压杆失稳。
临界平衡状态：压杆在稳定平衡和不稳定平衡之间的状态称为临界平衡状态。
临界压力或临界力：压杆由直线状态的稳定平衡过渡到不稳定平衡时所对应的轴向压力，称为压杆的临界压力或临界力。
（即能使压杆保持微弯状态下的平衡的力）【注意】①临界状态也是一种不稳定平衡状态。
②临界状态下压杆即能在直线状态下也能在微弯状态下保持平衡。
③临界力使压杆保持微小弯曲平衡的最小压力。
2、理想压杆理想压杆是指不存在初弯曲、初偏心、初应力的承受轴向压力的均匀连续、各向同性的直杆。
工程中实际压杆与理想压杆有很大的区别，因为实际压杆常常带有初始缺陷，如：①初弯曲的存在使压杆截面形心轴线不是理想直线；②初偏心的存在造成压力作用线与杆件轴线不重合；③残余应力造成材料内部留有初应力；④材质不可能是完全均匀连续的。
材料力学-10-压杆的稳定问题
0 A＋1 B 0 sinkl A coskl B 0
根据线性代数知识，上述方程中，常数A、B不全为零 的条件是他们的系数行列式等于零：
0
1
sinkl coskl
0
sinkl 0
第10章 压杆的稳定问题
两端铰支压杆的临界载荷欧拉公式
sinkl 0
FP k EI
第10章 压杆的稳定问题
临界应力与临界应力总图 长细比是综合反映压杆长度、约束条件、截面尺寸和截面 形状对压杆分叉载荷影响的量，用表示，由下式确定：
＝
l
i
I A
其中，I为压杆横截面的惯性半径，由下式确定：
i
从上述二式可以看出，长细比反映了压杆长度、支承条件以 及压杆横截面几何尺寸对压杆承载能力的综合影响。
不同刚性支承条件下的压杆，由静力学平衡方法得到的平衡 微分方程和边界条件都可能各不相同，确定临界载荷的表达式亦 因此而异，但基本分析方法和分析过程却是相同的。对于细长杆， 这些公式可以写成通用形式：
FPcr
π 2 EI
l
2
这一表达式称为欧拉公式。其中l为不同压杆屈曲后挠曲线上正弦 半波的长度，称为有效长度(effective length)； 为反映不同支承 影响的系数，称为长度系数（coefficient of 1ength），可由屈曲后 的正弦半波长度与两端铰支压杆初始屈曲时的正弦半波长度的比 值确定。
第10章 压杆的稳定问题
临界应力与临界应力总图
临界应力与长细比的概念
前面已经提到欧拉公式只有在弹性范围内才是适用的。这 就要求在分叉载荷即临界载荷作用下，压杆在直线平衡构形时， 其横截面上的正应力小于或等于材料的比例极限，即
材料力学 第十章 压杆稳定问题
由杆，B处内力偶
MB Fcraq1 , q1
由梁，B处转角
MB Fcr a
q2
MBl 3EI
q1 B
MB MBl Fcra 3EI
3EI Fcr al
q2 C
l
Page21
第十章 压杆稳定问题
作业
10-2b，4，5，8
Page22
第十章 压杆稳定问题
§10-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
稳定平衡
b. F k l
临界(随遇)平衡
c. F k l
不稳定平衡
Fcr kl 临界载荷
F
k l
F 驱动力矩 k l 恢复力矩
Page 5
第十章 压杆稳定问题
（3）受压弹性杆受微干扰
F Fcr 稳定平衡 压杆在微弯位置不能平衡,要恢复直线
F >Fcr 不稳定平衡 压杆微弯位置不能平衡,要继续弯曲,导致失稳
(
w)
令 k2 F
EI
d 2w dx2
k
2w
k
2
l
l
FM w
x
F B
F
B F
Page24
第十章 压杆稳定问题
d 2w dx2
k2w
k 2
F
w
通解：
A
x
B
w Asinkx Bcoskx
l
考虑位移边界条件：
x 0, w 0,
B
x 0, q dw 0
Page31
第十章 压杆稳定问题
二、类比法确定临界载荷
l
压杆·稳定性
=
2 ，因为 h＞b ，则 I y
=
hb3 12
＜ bh3 12
=
Iz ，由式（10.3）得
Pcr
=
π 2 EI (μl)2
=
π2
× (200 ×103
MPa) × ( 1 × 40 mm × (20 12
(2 ×1000 mm)2
mm)3 ) ≈13200
N
= 13.2
kN
10.2.2 临界应力
当压杆受临界压力作用而维持其不稳定直线平衡时，横截面上的压应力仍然可按轴向压
10.3.2 临界应力经验公式与临界应力总图
在工程实际中，常见压杆的柔度λ 往往小于 λp ，即 λ＜λp ，这样的压杆横截面上的应力 已超过材料的比例极限，属于弹塑性稳定问题。这类压杆的临界应力可通过解析方法求得， 但通常采用经验公式进行计算。常见的经验公式有直线公式与抛物线公式等，这里仅介绍直 线公式。把临界应力 σcr 与柔度λ 表示为下列直线关系称为直线公式。
式中，λ 称为压杆的柔度或长细比，为无量纲量，它综合反映了压杆的长度、约束形式及截 面几何性质对临界应力的影响。于是，式（10.4）中的临界应力可以改写为
·219·
材料力学
σ cr
=
π2E λ2
式（10.6）是欧拉公式（10.3）的另一种表达形式，两者并无实质性差别。
（10.6）
10.3 欧拉公式的适用范围·临界应力总图·直线公式
2
≤σ
p
或
λ≥π E σp
（10.7）
令
于是条件式（10.7），可以写成
λP = π
E σp
（10.8）
λ ≥ λp
（10.9）
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第10章压杆稳定10.1 压杆稳定的概念在前面讨论压杆的强度问题时，认为只要满足直杆受压时的强度条件，就能保证压杆的正常工作。
这个结论只适用于短粗压杆。
而细长压杆在轴向压力作用下，其破坏的形式与强度问题截然不同。
例如，一根长300mm的钢制直杆(锯条)，其横截面的宽度11mm和厚度0.6mm，材料的抗压许用应力等于170MPa，如果按照其抗压强度计算，其抗压承载力应为1122N。
但是实际上，约承受4N 的轴向压力时，直杆就发生了明显的弯曲变形，丧失了其在直线形状下保持平衡的能力从而导致破坏。
它明确反映了压杆失稳与强度失效不同。
1907年8月9日，在加拿大离魁北克城14.4Km横跨圣劳伦斯河的大铁桥在施工中倒塌。
灾变发生在当日收工前15分钟，桥上74人坠河遇难。
原因是在施工中悬臂桁架西侧的下弦杆有二节失稳所致。
杭州某研发生产中心的厂房屋顶为园弧形大面积结构，屋面采用预应力密肋网架结构，密肋大梁横截面(600mm×1400mm)，屋面采用现浇板，板厚120mm 。
2003年2月18日晚19时，当施工到26～28轴时，支模架失稳坍塌，造成重大伤亡事故。
为了说明问题，取如图10.1a所示的等直细长杆，在其两端施加轴向压力F，使杆在直线形状下处于平衡，此时，如果给杆以微小的侧向干扰力，使杆发生微小的弯曲，然后撤去干扰力，则当杆承受的轴向压力数值不同时，其结果也截然不同。
当杆承受的轴向压力数值F小于某一数值F cr时，在撤去干扰力以后，杆能自动恢复到原有的直线平衡状态而保持平衡，如图10.1a、b所示，这种能保持原有的直线平衡状态的平衡称为稳定的平衡；当杆承受的轴向压力数值F逐渐增大到（甚至超过）某一数值F cr时，即使撤去干扰力，杆仍然处于微弯形状，不能自动恢复到原有的直线平衡状态，如图10.1c、d所示，则不能保持原有的直线平衡状态的平衡称为不稳定的平衡。
如果力F继续增大，则杆继续弯曲，产生显著的变形，发生突然破坏。
图10.1上述现象表明，在轴向压力F由小逐渐增大的过程中，压杆由稳定的平衡转变为不稳定的平衡，这种现象称为压杆丧失稳定性或者压杆失稳。
显然压杆是否失稳取决于轴向压力的数值，压杆由直线形状的稳定的平衡过渡到不稳定的平衡时所对应的轴向压力，称为压杆的临界压力或临界力，用Fcr 表示。
当压杆所受的轴向压力F 小于临界力F cr 时，杆件就能够保持稳定的平衡，这种性能称为压杆具有稳定性；而当压杆所受的轴向压力F 等于或者大于F cr 时，杆件就不能保持稳定的平衡而失稳。
10.2 临界力和临界应力10.2.1 细长压杆临界力计算公式——欧拉公式从上面的讨论可知，压杆在临界力作用下，其直线形状的平衡将由稳定的平衡转变为不稳定的平衡，此时，即使撤去侧向干扰力，压杆仍然将保持在微弯状态下的平衡。
当然，如果压力超过这个临界力，弯曲变形将明显增大。
所以，上面使压杆在微弯状态下保持平衡的最小的轴向压力，即为压杆的临界力。
经验表明，不同约束条件下细长压杆临界力计算公式——欧拉公式为:()22l EIF cr μπ= （10.1） 式中μl 称为折算长度，表示将杆端约束条件不同的压杆计算长度l 折算成两端铰支压杆的长度，μ称为长度系数。
几种不同杆端约束情况下的长度系数μ值列于表10.1中。
从表10.1可以看出，两端铰支时，压杆在临界力作用下的挠曲线为半波正弦曲线；而一端固定、另一端铰支，计算长度为l 的压杆的挠曲线，其部分挠曲线（0.7l ）与长为l 的两端铰支的压杆的挠曲线的形状相同，因此，在这种约束条件下，折算长度为0.7l 。
其它约束条件下的长度系数和折算长度可依此类推。
表11.1 压杆长度系数10.2.2欧拉公式的适用范围1、临界应力和柔度有了计算细长压杆临界力的欧拉公式，在进行压稳计算时，需要知道临界应力，当压杆在临界力F cr 作用下处于直线临界状态的平衡时，其横截面上的压应力等于临界力F cr 除以横截面面积A ，称为临界应力，用σcr 表示，即AFcr cr =σ将式（10.1）代入上式，得()Al EIcr 22μπσ=若将压杆的惯性矩I 写成AI i A i I ==或2 式中i 称为压杆横截面的惯性半径。
于是临界应力可写为()22222⎪⎭⎫⎝⎛==i l El Ei cr μπμπσ ，则令ilμλ=22λπσEcr = （10.2）上式为计算压杆临界应力的欧拉公式，式中λ称为压杆的柔度（或称长细比）。
则： liμλ= (10.3)柔度λ是一个无量纲的量，其大小与压杆的长度系数μ、杆长l 及惯性半径i 有关。
由于压杆的长度系数μ决定于压杆的支承情况，惯性半径i 决定于截面的形状与尺寸，所以，从物理意义上看，柔度λ综合地反映了压杆的长度、截面的形状与尺寸以及支承情况对临界力的影响。
从式（10.2）还可以看出，如果压杆的柔度值越大，则其临界应力越小，压杆就越容易失稳。
2、欧拉公式的适用范围欧拉公式是根据挠曲线近似微分方程导出的，而应用此微分方程时，材料必须服从虎克定理。
因此，欧拉公式的适用范围应当是压杆的临界应力σcr 不超过材料的比例极限σp ，即：P cr Eσλπσ≤=22有P λπ≥若设λP 为压杆的临界应力达到材料的比例极限时的柔度值，即PP Eσπλ= （10.4）则欧拉公式的适用范围为：P λλ≥ （10.5）上式表明，当压杆的柔度不小于λP 时，才可以应用欧拉公式计算临界力或临界应力。
这类压杆称为大柔度杆或细长杆，欧拉公式只适用于较细长的大柔度杆。
从式（10.4）可知，λP 的值取决于材料性质，不同的材料都有自己的E 值和σp 值，所以，不同材料制成的压杆，其λP 也不同。
例如Q235钢，σp = 200MPa ，E = 200GPa ，由（10.4）即可求得，λP =100。
10.2.3 中粗杆的临界力计算—经验公式、临界应力总图1、中粗杆的临界应力计算公式—经验公式 上面指出，欧拉公式只适用于较细长的大柔度杆，即临界应力不超过材料的 比例极限（处于弹性稳定状态）。
当临界应力超过比例极限时，材料处于弹塑性阶段，此类压杆的稳定属于弹塑性稳定（非弹性稳定）问题，此时，欧拉公式不再适用。
对这类压杆各国大都采用从试验结果得到经验公式计算临界力或者临界应力。
我国在建筑上目前采用钢结构规范(GBJ17-1988)规定的抛物线公式，其表达式为21cr s c λσσαλ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（10.6）式中α是有关的常数，不同材料数值不同。
对Q235钢、16锰钢，0.43c αλ==， 对Q235钢：240123s a c MP σλ==，22400.00682cr σλ=- (MP a ) 对16锰钢： 23500.01447cr σλ=- (MP a )2、临界应力总图综合压杆按照其柔度的不同，可以分为二类，并分别由不同的计算公式计算其临界应力。
当λ ≥λc 时，压杆为细长杆（大柔度杆），其临界应力用欧拉公式 （10.2）来计算；当λ＜λc 时，压杆为中粗杆，其临界应力用经验公式（10.6）来计算。
如果把压杆的临界应力根据其柔度不同而分别计算的情况，用一个简图来表示，该图形就称为压杆的临界应力总图。
图10.2即为某塑性材料的临界应力总图。
图10.2例10.1 如图10.3所示，一端固定另一端自由的细长压杆，其杆长l = 2m，截面形状为矩形，b = 20 mm、h = 45 mm，材料的弹性模量E = 200GPa 。
试计算该压杆的临界力。
若把截面改为b = h =30 mm，而保持长度不变，则该压杆的临界力又为多大？解：一、当b=20mm、h=45mm时（1）计算压杆的柔度692.8liμλ===＞123cλ=(所以是大柔度杆，可应用欧拉公式)(2)计算截面的惯性矩由前述可知，该压杆必在xy平面内失稳，故计算惯性矩4433100.312204512mmhbIy⨯=⨯==（3）计算临界力查表10—1得μ = 2，因此临界力为图10.3()()kN N l EI Fcr 70.337012210310200289222==⨯⨯⨯⨯⨯==-πμπ 二、当截面改为b = h = 30mm 时（1）计算压杆的柔度461.9l iμλ===＞123c λ=(所以是大柔度杆，可应用欧拉公式) (2)计算截面的惯性矩44431075.6123012mm bh I I z y ⨯====代入欧拉公式，可得()()N l EI F cr 8330221075.610200289222=⨯⨯⨯⨯⨯==-πμπ 从以上两种情况分析，其横截面面积相等，支承条件也相同，但是，计算得到的临界力后者大于前者。
可见在材料用量相同的条件下，选择恰当的截面形式可以提高细长压杆的临界力。
例10.2 图10.4所示为两端铰支的圆形截面受压杆，用Q235钢制成，材料的弹性模量E=200Gpa ，屈服点应力σs =240MPa ，123c λ=，直径d=40mm ，试分别计算下面二种情况下压杆的临界力： （1）杆长l =1.5m ；（2）杆长l =0.5m 。
解：（1）计算杆长l =1.2m 时的临界力 两端铰支因此 μ=1惯性半径401044d i mm ===== 柔度：1150015010li μλ⨯===＞123c λ=(所以是大柔度杆，可应用欧拉公式) 图10.4225223.1421087.64150cr aE MP πσλ⨯⨯===2233.144087.64110.081011044cr cr cr d F A N KN πσσ⨯==⨯=⨯=⨯≈（2）计算杆长l =0.5m 时的临界力 μ=1，i =10mm柔度：15005010l i μλ⨯===＜123c λ= 压杆为中粗杆，其临界力为222400.006822400.0068250222.95cr a MP σλ=-=-⨯=2233.1440222.95280.021028044cr cr cr d F A N kN πσσ⨯==⨯=⨯=⨯≈ 例10.3 某施工现场脚手架搭设的二种，搭设是有扫地杆形式，如图10.5(a)所示，第二种搭设是无扫地杆形式，如图10.5(b)所示。
压杆采用外径为48mm ，内径为41mm 的焊接钢管，材料的弹性模量E = 200GPa,排距为1.8m 。
现比较二种情况下压杆的临界应力？解：（1）第一种情况的临界应力一端固定一端铰支 因此 μ=0.7，计算杆长l =1.8m惯性半径15.78i mm ===== 柔度：0.7180079.8515.78li μλ⨯===＜123c λ=所以压杆为中粗杆，其临界应力为212400.00682196.5c r aMP σλ=-= （2）第二种情况的临界应力一端固定一端自由 因此 μ=2 计算杆长l =1.8m 惯性半径 15.78i mm == ( b ) 柔度：21800228.115.78li μλ⨯===＞123c λ= 图10.5所以是大柔度杆，可应用欧拉公式，其临界应力为2252223.1421037.94228.1cr a E MP πσλ⨯⨯=== （3）比较二种情况下压杆的临界应力121196.537.94100%80.6%196.5cr cr cr σσσ--⨯== 上述说明有、无扫地杆的脚手架搭设是完全不同的情况，在施工过程中要注意这一类问题。