第十章 压杆稳定
第10章压杆稳定
这表明用低碳钢Q235制成的压杆，仅在柔度≥100时， 才能应用欧拉公式计算其临界应力或临界力，常用材料柔度
可查表。
第十章
四、中小柔度杆的临界应力
压杆稳定
10.2 临界力的确定
对于不能应用欧拉公式计算临界应力的压杆，即压杆内 的工作应力大于比例极限但小于屈服极限时，可应用在实验 基础上建立的经验公式。常见经验公式有直线公式和抛物线
公式。其中，直线公式为
cr a b a s cr a b s b a s s s p
b
抛物线公式为：
cr a1 b1
2
第十章
压杆稳定
10.3 压杆稳定的计算与校核
前面的讨论表明，对各种柔度的压杆，总可以用欧拉公
稳定安全因素
10.3 压杆稳定的计算与校核
nst
一般要大于强度安全因素。这是因
为一些难以避免的因素，如杆件的初弯曲、压力偏心、材料 不均匀和支座缺陷等，都严重影响压杆的稳定，降低了临界
压力。而同样这些因素，对杆件强度的影响不象对稳定那么
严重。关于稳定安全因素 中查到。
nst
一般可以在设计手册或规范
第十章
F Fcr ，
撤消横向干扰力后杆件能够恢复到 原来的直线平衡状态（图10–2b），
则原有的平衡状态是稳定平衡状态；
第十章
压杆稳定性的概念：
压杆稳定
10.1 压杆的稳定概念
当轴向压力增大到一定值
F Fcr
时，撤消横向干扰力后杆件不能再恢复到 原来的直线平衡状态（图10–2c），则原
有的平衡状态是不稳定平衡状态。 会进一
10.1 压杆的稳定概念
如果小球受到微小干扰而稍微偏离它原有的平衡位置， 当干扰消除以后，它不但不能回到原有的平衡位置，而且 继续离去，那么原有的平衡状态称为不稳定平衡状态， 如图c 所示。
材料力学 第十章 压杆稳定问题
由杆，B处内力偶
MB Fcraq1 , q1
由梁，B处转角
MB Fcr a
q2
MBl 3EI
q1 B
MB MBl Fcra 3EI
3EI Fcr al
q2 C
l
Page21
第十章 压杆稳定问题
作业
10-2b，4，5，8
Page22
第十章 压杆稳定问题
§10-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
稳定平衡
b. F k l
临界(随遇)平衡
c. F k l
不稳定平衡
Fcr kl 临界载荷
F
k l
F 驱动力矩 k l 恢复力矩
Page 5
第十章 压杆稳定问题
（3）受压弹性杆受微干扰
F Fcr 稳定平衡 压杆在微弯位置不能平衡,要恢复直线
F >Fcr 不稳定平衡 压杆微弯位置不能平衡,要继续弯曲,导致失稳
(
w)
令 k2 F
EI
d 2w dx2
k
2w
k
2
l
l
FM w
x
F B
F
B F
Page24
第十章 压杆稳定问题
d 2w dx2
k2w
k 2
F
w
通解：
A
x
B
w Asinkx Bcoskx
l
考虑位移边界条件：
x 0, w 0,
B
x 0, q dw 0
Page31
第十章 压杆稳定问题
二、类比法确定临界载荷
l
压杆·稳定性
=
2 ，因为 h＞b ，则 I y
=
hb3 12
＜ bh3 12
=
Iz ，由式（10.3）得
Pcr
=
π 2 EI (μl)2
=
π2
× (200 ×103
MPa) × ( 1 × 40 mm × (20 12
(2 ×1000 mm)2
mm)3 ) ≈13200
N
= 13.2
kN
10.2.2 临界应力
当压杆受临界压力作用而维持其不稳定直线平衡时，横截面上的压应力仍然可按轴向压
10.3.2 临界应力经验公式与临界应力总图
在工程实际中，常见压杆的柔度λ 往往小于 λp ，即 λ＜λp ，这样的压杆横截面上的应力 已超过材料的比例极限，属于弹塑性稳定问题。这类压杆的临界应力可通过解析方法求得， 但通常采用经验公式进行计算。常见的经验公式有直线公式与抛物线公式等，这里仅介绍直 线公式。把临界应力 σcr 与柔度λ 表示为下列直线关系称为直线公式。
式中，λ 称为压杆的柔度或长细比，为无量纲量，它综合反映了压杆的长度、约束形式及截 面几何性质对临界应力的影响。于是，式（10.4）中的临界应力可以改写为
·219·
材料力学
σ cr
=
π2E λ2
式（10.6）是欧拉公式（10.3）的另一种表达形式，两者并无实质性差别。
（10.6）
10.3 欧拉公式的适用范围·临界应力总图·直线公式
2
≤σ
p
或
λ≥π E σp
（10.7）
令
于是条件式（10.7），可以写成
λP = π
E σp
（10.8）
λ ≥ λp
（10.9）
压杆稳定PPT课件
稳定安全系数 nst3。试求容许荷载 P 的值。
A 2m
C 3m
P
B
h3.5m
D
35
解：1）由平衡条件可得
A
P NCD
2.5
2m
C 3m
D
2）按强度条件确定 [P]
P
B
h3.5m
N CD σ A σ n sπ 4 (D 2 d 2) 3K 40 N
Q
解：一、分析受力
1500
500
取CBD横梁研究
A
N Cr
A
Cr
A 2E 2
2m
46K9N
D
C 3m
P
B
h3.5m
稳定条件
Pcr P
nst
[N]NCr15K6 N nst
[N] [P] 62.5KN
2.5
38Leabharlann 2mC 3mPB
h3.5m
D
[P] = 62.5KN
39
例：托架，AB杆是圆管，外径D=50mm，内径d=40mm, 两端为球铰，材料为A3钢，E=206GPa,p=100。若规定 nst=3,试确定许可荷载Q。
4
实际上，当压力不到 40N 时，钢尺就被压弯。可见， 钢尺的承载能力并不取决轴向压缩的抗压刚度， 而是与 受压时变弯 有关。
5
稳定平衡与不稳定平衡的概念 当 P小于某一临界值Pcr，撤去横向力后，杆的轴线将 恢复其原来的直线平衡形态，压杆在直线形态下的
平衡是 稳定平衡。
6
P Q
PPcr
P
PPcr
2E cr 2 2. 中 长 杆 ( s p ), 用 经 验 公 式
第十章压杆稳定ppt课件
2E 0.56 S
②s < 时： cr s
临界应力的特点
•它的实质： 象强度中的比例极限、屈服极限类似，除以 安全因数就是稳定中的应力极限
•同作为常数的比例极限、屈服极限不同，变化 的临界应力依赖压杆自身因素而变
例102 截面为 120mm200mm 的矩形 木柱，长l=7m，材料的弹性模量E = 10GPa，
Fcr
2 EImin
l2
此公式的应用条件：
•理想压杆
•线弹性范围内
•两端为球铰支座
§10-3 不同杆端约束下细长压杆 临界力的欧拉公式
其它端约束情况，分析思路与两端铰支的相同, 并得出了临界力公式
Fcr
2 EImin (l)2
即压杆临界力欧拉公式的一般形式
—长度系数（或约束系数） l—相当长度
•求临界力有两种途径：实验测定及理论计算。
•实验以及理论计算表明：压杆的临界力，与压杆 两端的支承情况有关，与压杆材料性质有关，与 压杆横截面的几何尺寸形状有关，也与压杆的长 度有关。
压杆一般称为柱，压杆的稳定也称为柱的稳 定，压杆的失稳现象是在纵向力作用下，使 杆产生突然弯曲的，在纵向力作用下的弯曲， 称为纵弯曲。
AB杆 l
1
i
l
1.5 cos30
1.732m
i
I A
D4 d4 4 64 D2 d2
D2 d 2 16mm 4
得
1 1.7 3 2 1 03
16
108 P
AB为大柔度杆
Fcr
2EI
l 2
118kN
n
Fcr FN
118 26.6
4.42 nst
3
AB杆满足稳定性要求
材料力学第十章 压杆稳定性问题2
Pcr P Pcr nst
nst 为稳定安全系数， 为稳定安全系数 一般大于强度安全系数 般大于强度安全系数。 由于初曲率、载荷偏差、材料不均匀、有钉子孔 等 都会降低 Pcr 。而且柔度越大，影响越大。 等，都会降低 而且柔度越大 影响越大
S
cr
max
若 P ，图中CD段选欧拉公式 若 S P ，图中 图中BC段选经验公式 若 S ，图中AB段按强度计算，即 cr
何斌
s
Page 13
Q235钢制成的矩形截面杆,两端约束以及所承受的载 荷如图示 荷如图示（（a）为正视图（b）为俯视图），在AB两处为销钉 为 视图 为俯视图 在 两处为销钉 连接。若已知L＝2300mm，b＝40mm，h＝60mm。材料的弹性模 量E＝205GPa。试求此杆的临界载荷。 正视图平面弯曲截面z绕轴 正视图平面弯曲截面z 转动；俯视图平面弯曲截 面绕y 面绕 y轴转动。 轴转动 正视图：
2 对中长杆由于 cr与 P , s b 有关 2. 强度越高, cr也越高 3 对短粗杆：强度问题 3. 对短粗杆 强度问题
何斌
P
时才适用
2E P 2
2E P
E
P
P
欧拉公式适用于 P
Page 6
材料力学
第十章 压杆稳定问题
10.4 临界应力和长细比 细长杆 中长杆和短粗杆 细长杆、中长杆和短粗杆
1．细长杆： ① P 的压杆称为细长杆。 的压杆称为细长杆 ② 此类压杆只发生了弹性失稳 ③ 稳定计算：欧拉公式 稳定计算 欧拉公式
何斌
材料力学第十章压杆稳定
π2
200 103 108 (2 2500 )2
10 4
N
85187N
85.19kN
10-3 欧拉公式的适用范围及经验公式
1、临界应力与柔度
将临界压力除以压杆的横截面面积A，就可以得到与临界压力
对应的应力为
cr
Fcr A
π2EI
(l)2 A
cr即为临界应力。
利用惯性半径 i 和惯性矩 I 的关系：
但在已经导出 两端铰支压杆的临 界压力公式之后， 便可以用比较简单 的方法，得到其他 约束条件下的临界 力。
l 2l
F
F 一端固定，一端自由，
长为l 的的压杆的挠曲线
和两端铰支，长为2l的
压杆的挠曲线的上半部
分相同。则临界压力:
Fcr
π 2 EI (2l)2
2、其它支承情况下细长压杆的临界力
利用同样的方法得到: 两端固定的压杆的临界压力为:
F
Fcr
π 2 EI
( l ) 2
π2 200 103 48 10 4 N (2 2500 )2
b z
l h
37860N 37.86kN
y
若 h b 60mm
Iy
Iz
bh3 12
60 4 12
mm
108 10 4 mm
Fcr
π 2 EI
( l ) 2
1、计算s, p
p
π2E
p
π2 210109 280106
86
查表优质碳钢的 a、b
s
a s
b
材料力学课件 第十章压杆稳定
sinkL0
kn P
L EI
临界力 Pcr 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且 杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。
Pcr
2
EImin L2
14
Pcr
2
EImin L2
二、此公式的应用条件：
两端铰支压杆临界力的欧拉公式
1.理想压杆； 2.线弹性范围内； 3.两端为球铰支座。
三、其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式
29
我国钢结构柱子曲线
二、 受压构件的稳定公式
利用最大强度准则确定出轴心受压构件的临界应力 cr ，引入抗力分项系数 R ，则轴心受压构件的稳定计算公式如下：
N cr cr f y f A R R fy
f ：钢材的强度设计值
（10.24）
30
例6
如图所示，两端简支，长度l 5m 的压杆由两根槽钢组成，若限定两个槽钢腹板
Iy [73.3 (51.8)2 21.95]2 2176.5cm4
33
若失稳将仍会在 xoy平面内，有
imin iz
Iz A
1732.4 6.28cm 43.9
max
l imin
500 79.6 6.28
查表得2 0.733
此时3 与3 已经很接近，按两个 16a 槽钢计算压杆的许可压力，有
20
[例3] 求下列细长压杆的临界力。
y y
x
z
z
h
L1
L2
解：①绕
y 轴，两端铰支：
=1.0，
I
y
b3h 12
,
②绕 z 轴，左端固定，右端铰支：
b
Pcry
2EI L22
y
=0.7，
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第十章 压杆稳定
学时分配：共6学时
主要内容：两端铰支细长压杆的临界压力，杆端约束的影响，压杆的长度系数μ，临界应力欧拉公式的适用范围；临界应力总图、直线型经验公式λσb a cr -=，使用安全系数
法进行压杆稳定校核。
$10.1压杆稳定的概念
1．压杆稳定
若处于平衡的构件，当受到一微小的干扰力后，构件偏离原平衡位置，而干扰力解除以后，又能恢复到原平衡状态时，这种平衡称为稳定平衡。
2．临界压力
当轴向压力大于一定数值时，杆件有一微小弯曲，一侧加一微小干扰且有一变形。
任一微小挠力去除后，杆件不能恢复到原直线平衡位置，则称原平衡位置是不稳定的，此压力的极限值为临界压力。
由稳定平衡过渡到不稳定平衡的压力 的临界值称为临界压力（或临界力），用
τ
c P 表示。
3．曲屈
受压杆在某一平衡位置受任意微小挠动，转变到其它平衡位置的过程叫屈曲或失稳。
$10.2细长压杆临界压力的欧拉公式
1．两端铰支压杆的临界力
选取如图所示坐标系xOy 。
距原点为x 的任意截面的挠度为v 。
于是有
Pv M -=
2．挠曲线近似微分方程：
将其代入弹性挠曲线近似微分方程，则得
()Pv x M EIv -==''
令 EI P k =
2
则有
0'2''=+v k v
该微分方程的通解为
kx B kx A v cos sin +=
c r c r
式中A 、B ——积分常数，可由边界条件确定 压杆为球铰支座提供的边界条件为
0=x 和l x =时，0=v
将其代入通解式，可解得
0=B ，0sin =kl A
上式中，若A=0，则0=v ；即压杆各处挠度均为零，杆仍然保持直线状态，这与压杆处于微小弯曲的前提相矛盾。
因此，只有
0sin =kl
满足条件的kl 值为
πn kl =),2,1,0(Λ=n
则有
l n k π=
于是，压力P 为
2222
l EI
n EI k P π=
=
1=n 得到杆件保持微小弯曲压力-临界压力τc P 于是可得临界压力为
2
2l EI P c πτ= 此式是由瑞士科学家欧拉（L. Euler ）于1744年提出的，故也称为两端铰支细长压杆的
欧拉公式。
此公式的应用条件：理想压杆；线弹性范围内；两端为球铰支座。
$10.3其他条件下压杆的临界压力
欧拉公式的普遍形式为
22)(l EI P cr μπ=
式中μ称为长度系数，它表示杆端约束对临界压力影响，随杆端约束而异。
l μ表示把压杆折算成相当于两端铰支压杆时的长度，称为相当长度。
两端铰支，1=μ；一端固定另一端自由2=μ；两端固定，2
1=μ；一端固定令一
端铰支，7.0=μ。
例：试由一端固定，一端简支的细长压杆的挠曲线的微分方程，导出临界压力。
解：
由挠曲线的微分方程可得
EI x l R v EI P EI
M dx v d )
(22-+-==
方程的通解为
()x l EIk R
kx C kx C v -+
+=2
21sin cos 固定支座的边界条件是
0=x 时，0=v ，
0=dx dv
l x =时，0=v ，
0=dx
dv
边界条件带入上面各式得
0,0sin cos ,02
22121=-=+=+
EIk
R kC kl C kl C l EIk R C 解得
kl kl =tan
作出正切曲线，与从坐标画出的45º斜直线相交，交点的横坐标为
()22
/493.4l EI P cr =
弯矩为零的C 点的横坐标l k
x c 3.0352
.1≈=
$10.4 压杆的稳定校核
1．压杆的许用压力
[]st
cr n P P =
[]P 为许可压力；st n 为工作安全系数。
2．压杆的稳定条件
[]P P ≤
例 平面磨床液压传动装置示意图。
活塞直径mm D 65=，油压MPa p 2.1=。
活塞杆长度mm l 1250=，材料为35钢，MPa P 220=σ，GPa E 210=，6=τs n 。
试确定活塞杆的直径。
解：
（1）轴向压力
()N p D P 3980102.110654
4
62
32=⨯⨯⨯=
=
-π
π
（2）临界压力
N P n P st cr 2390039806=⨯==
（3）确定活塞杆直径
由()
N l EI
P cr 239002
2==μπ得出m d 025.0≈ （4）计算活塞杆柔度
2004
025
.025
.11=⨯=
=
i
l
μλ
对35号钢，9710220102106
9
221=⨯⨯⨯==
πσπλP E 因为1λλ〉，满足欧拉公式的条件。
活塞杆。