7-1-2压杆稳定及欧拉公式解析
压杆稳定欧拉公式
◆ 本例中，三杆截面面积基本相等，但由于其形状不同， Imin 不
同，致使临界力相差很大。最合理的截面形状为圆环形。
14
[例3] 图示各杆均为圆形截面细长压杆。已知各杆的材料及直径相 等。问哪个杆先失稳？ 解：由于各杆的材料及 截面均相同，故只需比
1.3 a F F F
较其相当长度 l 即可
a
杆A： 2 l 2a
F Fcr
F ≥ Fcr
压杆稳定
压杆失稳
5
第二节 临界力的欧拉公式
对于弹性压杆，临界力的计算公式为
Fc r
π 2 EI
l
2
其中，E 为材料的弹性模量；I 为截面对中性轴 的惯性矩；l 为压杆长度； 为长度因数，取决 于压杆的两端约束 压杆一端固定一端自由： 压杆两端铰支： 压杆一端固定一端铰支：
3）圆环形截面
4 π 28 4 I 38 1 1012 7.22 108 m 64 38
A b 5.076 cm2
压杆临界力
Fcr π 2 EI min
l
2
35630 N
A c 5.18cm2
上述弹性压杆临界力的计算公式称为欧拉公式上述弹性压杆临界力的计算公式称为欧拉公式称为压杆的相当长度2在压杆沿各个方向约束性质相同的情况下即各个方向上相等i应取最小值第三节第三节临界应力的欧拉公式临界应力的欧拉公式crcrcrcr压杆失稳一压杆的临界应力一压杆的临界应力定义定义crcr为压杆的临界应力为压杆的临界应力显然有显然有二压杆临界应力的欧拉公式二压杆临界应力的欧拉公式其中无量纲参量其中无量纲参量称为压杆的柔度或长细比其综合反映了压杆的两端约束长度和截面对压杆稳定性的影响可直接作为压杆稳定性的判据
压杆稳定
受压极限应力。这是因为当临界应力达到材料的受压极限应
力时，压杆已因为强度不足而破坏。因此，对于由塑性材料
制成的压杆，其临界应力不允许超过材料的屈服应力 s ，即:
或
cr (aa bs)/ bs
令
s (as)/b
(11-15)
得 式中，
s
s
为临界应力等于材料的屈服点应力时压杆的柔度值。
但应工大力程于超中某过有个比许数 例多值 极压限 s杆的的，压压它杆杆们稳，的定称柔问为度题中往，长往其杆小临。于界这应P类，力压对一杆于般属用于由临实P界
验所得到的经验公式来计算，常用的有直线形经验公式和抛 物线形经验公式。
1.直线形经验公式
直线形经验公式把压杆的临界应力 下列线性关系:
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第二节压杆的临界力与临界应力
如果将式(11-9)和式(11-13)中的临界应力与柔度之间的函数
关的系曲绘线在图形cr，称直为角临坐界标应系力内总，图将。得如到图临11界-8应所力示随，柔图度中变曲化线
ACB是按欧拉临界应力公式(11-9)制的;曲线EC是按抛物线 形经验公式(11-17)绘制的。两曲线交于C点，C点的坐标可 由式(11-9)和式(11-17)联立解得。例如对Q235钢E = 200 GPa, a = 235 MPa, b= 0. 006 68MPa，此时
cr
与压杆的柔度
表示为
crab
(11-14)
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第二节压杆的临界力与临界应力
式中，a和b为与材料有关的常数，其单位为MPa。一些常用 材料的a、b值可见表11-2。
图11-7表示厂直线形经验公式与欧拉曲线。应当指出，经验 公式(11-14 )也有其适用范围，它要求临界应力不超过材料的
压杆稳定问题中,欧拉公式成立的条件(一)
压杆稳定问题中,欧拉公式成立的条件(一)压杆稳定问题中，欧拉公式成立的条件1. 引言在静力学中，我们经常遇到压杆稳定问题。
欧拉公式是研究压杆稳定性的重要工具之一。
本文将阐述欧拉公式成立的条件。
2. 什么是欧拉公式？欧拉公式是描述弹性直杆稳定性的一种公式。
它的数学表达式为：Fcr = (π² * E * I) / L²其中，Fcr代表临界压力，E是弹性模量，I是截面惯性矩，L是杆件的有效长度。
3. 欧拉公式的作用欧拉公式可以用来判断压杆在不同条件下是否会发生稳定失效。
当施加的压力小于临界压力时，压杆稳定；当施加的压力大于临界压力时，压杆会发生屈曲失稳。
4. 欧拉公式的前提条件要保证欧拉公式成立，有以下几个关键的前提条件：•材料是均匀的弹性材料；•杆件是直线型的；•杆件的截面是均匀的；•杆件的两端是固定的。
如果以上条件不满足，欧拉公式可能不适用，需要采用其他方法进行稳定性分析。
5. 欧拉公式的局限性尽管欧拉公式在很多情况下都具有很好的适用性，但也存在一些局限性：•欧拉公式忽略了杆件在屈曲时的非线性行为，因此在较大的弯曲时可能不准确；•欧拉公式适用于线弹性材料，在非线性材料中应用时需要额外的修正或采用其他方法。
6. 结语欧拉公式提供了一种简单但有效的判断压杆稳定性的方法。
在满足一定的前提条件下，我们可以使用欧拉公式来判断压杆是否会发生屈曲失稳。
然而，在实际工程中，我们需要根据具体情况进行综合分析，避免忽略其他因素的影响。
参考文献： [1] 郭华东. 弹性力学[M]. 北京：高等教育出版社, 2014. [2] Timoshenko, S. P., & Gere, J. M. (1961). Theory of elastic stability[M]. McGraw-Hill.以上为本文的主要内容，通过介绍欧拉公式的成立条件，我们可以更好地理解压杆稳定问题。
希望这篇文章对您有所帮助！。
第七章压杆稳定
第七章压杆稳定一、压杆稳定的基本概念受压直杆在受到干扰后，由直线平衡形式转变为弯曲平衡形式，而且干扰撤除后，压杆仍保持为弯曲平衡形式，则称压杆丧失稳定，简称失稳或屈曲。
压杆失稳的条件是受的压力P P cr。
P cr称为临界力。
二、学会各种约束情形下的临界力计算压杆的临界力P cr cr A，临界应力cr 的计算公式与压杆的柔度所处的范围有关。
以三号钢的压杆为例：p ，称为大柔度杆，cr 22Es p ，称为中柔度杆，cr a b s ，称为小柔度杆，crs 。
三、压杆的稳定计算有两种方法1）安全系数法n P P cr n st，n st为稳定安全系数。
2）稳定系数法PP [ ] st [ ] ，为稳定系数A四、学会利用柔度公式，提出提高压杆承载能力的措施根据l，i A I，愈大，则临界力（或临界应力）愈低。
提高压杆承载能力的措施为：1）减小杆长。
2）增强杆端约束。
3）提高截面形心主轴惯性矩I。
且在各个方向的约束相同时，应使截面的两个形心主轴惯性矩相等。
4）合理选用材料。
§15-1 压杆稳定的概念构件除了强度、刚度失效外，还可能发生稳定失效。
例如，受轴向压力的细长杆，当压 力超过一定数值时， 压杆会由原来的直线平衡形式突然变弯 （图 15-1a ），致使结构丧失承载能力；又如，狭长截面梁在横向载荷作用下，将发生平面弯曲，但当载荷超过一定数值时， 梁的平衡形式将突然变为弯曲和扭转 （图 15-1b ）；受均匀压力的薄圆环， 当压力超过一定数 值时， 圆环将不能保持圆对称的平衡形式，而突然变为非圆对称的平衡形式 （图 15-1c ）。
上 述各种关于 平衡形式的突然变化 ，统称为 稳定失效 ，简称为 失稳或屈曲 。
工程中的柱、 桁架 中的压杆、薄壳结构及薄壁容器等，在有压力存在时，都可能发生失稳。
由稳定平衡转变为不稳定平衡时所 受的轴向压力，称为临界载荷，或简称 为临界力 ，用 P cr 表示。
压杆稳定计算简介
压杆的稳定条件为
p j[ ]
A
9.5 压杆稳定计算简介
了解压杆稳定的概念。 熟悉临界力和欧拉公式的计算。 掌握压杆稳定的校核。
一、临界压力和欧拉公式
杆件所受压力逐渐增加到某个限度时，压杆将 由稳定状态转化为不稳定状态。这个压力的限
度称为临界压力Pcr。它是压杆保持直线稳定形
状时所能承受的最小压力。
欧拉公式
pcr
2EI ( L) 2
1、熏烟的成分及作用
熏烟的成分很复杂，由气体、液体、固体微粒组成 的混合物，因熏材种类和熏烟的产生温度不同而不同， 且其状态和变化迅速，一般认为熏烟中最重要的成分是 酚、醇、有机酸、羰基化合物和烃类等。
2、熏制加工目的
1、赋予制品特殊的烟熏风味，增加香味 2、使制品外观产生特有的烟熏色，对加硝制品有促进发 色的作用 3、杀菌消毒，防止腐败变质，使制品耐贮藏
醇类：
木材熏烟中的醇种类繁多，最常见的为甲醇，又称木 醇，熏烟中还有伯醇、仲醇和叔醇等，为挥发性物质的载 体，杀菌能力较弱。
3、影响熏制的因素
熏烟质量
熏制的作用取决于熏烟质量如熏烟中成分种类和浓度等，而熏烟质量 的高低与燃料种类、燃烧温度等产生方式和条件有关。
熏制温度
熏制时温度过低，不会得到预期的熏制效果。但温度过高，会由于脂 肪融化、肉的收缩，达不到制品质量要求。常用的熏制温度为35~50℃， 一般熏制时间为12~48h。
EI－抗弯刚度 ；L－压杆的长度
μ－长度（支座）系数 ；固定 一端固定 两端铰支 一端固定
束情况
一端铰支
7-1-2压杆稳定及欧拉公式
7m
5m
(a)
(b)
9m (c)
解：三根压杆临界力分别为：
(a)
EI Plj 2 L
2
2 200109
0.164
64 2540kN
1 5
2
b c
EI Plj 2 L
2
2 200 109
0.164
稳定平衡
F
临界状态
F
不稳定平衡
F
F<Fcr
F=Fcr
F>Fcr
第一节 概述
压杆稳定的概念
平衡构形—压杆的两种平衡构形：
FP<Fcr : FP>Fcr : 直线平衡构形 弯曲平衡构形 (在扰动作用下)
直 线 平 衡 构 形
弯 曲 平 衡 构 形
第一节 概述
压杆稳定与不稳定的静力学准则
FP<Fcr :在扰动作用下，直线平衡构形转变为弯曲构 形，扰动除去后，能够恢复到直线平衡构形，则称原 来的直线平衡构形是稳定的。
2
屈服荷载 PS s A (240 106 ) (14.3104 ) N 343.2kN
EI 2 (210 109 ) (33 108 ) 临界压力 P N 171kN cr 2 2 (2 1) (l ) PS 2 可见：压杆的承载能力取决于稳定 Pcr 而不取决于强度。
若仅从强度观念考虑那就很危险了！！！
小结：压杆稳定概念及欧拉公式
作业：P160 7-1 、 7-2
预习：第三节 压杆稳定计算
64
2
0.7 7
2 200109
2645 kN
Plj
材料力学压杆稳定概念欧拉公式计算临界力课件
杆的长度远大于横截面尺 寸，且横截面尺寸保持不 变。
杆的材料需满足胡克定律 ，即应力与应变成线性关 系。
欧拉公式在压杆稳定中的应用
01
通过欧拉公式，可以计算出压杆在临界状态下的临界力，即压杆失稳 前的最大承载力。
02
临界力的大小与压杆的材料、截面形状、尺寸等因素有关，是评估压 杆稳定性能的重要指标。
通过优化载荷分布，可以改善压杆的受力状态，从而提高稳定性。
THANKS
感谢观看
详细描述
理想压杆的临界力不受压杆重量和惯性影响，因此在实际应用中 ，需要考虑这些因素对临界力的影响。
实际压杆临界力计算
总结词
实际压杆是指考虑自身重量和惯 性影响的压杆，其临界力计算需 考虑这些因素。
总结词
实际压杆的临界力受到自身重量 和惯性影响，因此需要考虑这些 因素对临界力的影响。
详细描述
在计算实际压杆的临界力时，需 要考虑压杆自重产生的挠度以及 横截面面积和长度等因素的影响 。
02
推导过程中，考虑了压杆的弯曲变形和轴向压缩变形，利用能
量守恒和弹性力学的基本方程，最终得到了欧拉公式。
推导过程涉及了数学和物理的相关知识，需要一定的专业背景
03
和理论基础。
欧拉公式应用条件
欧拉公式适用于理想弹性 材料制成的细长等截面直 杆。
杆的受力方式为两端受压 ，且轴向压力逐渐增加直 到临界状态。
材料力学压杆稳定概念欧 拉公式计算临界力课件
• 压杆稳定概念 • 欧拉公式 • 临界力计算 • 压杆稳定性的影响因素 • 提高压杆稳定性的措施
01
压杆稳定概念
压杆失稳现象
01
02
03
弯曲变形
当压杆受到压力时，可能 会发生弯曲变形，导致承 载能力下降。
第七章 压杆稳定
第七章压杆稳定本章重点介绍有关压杆稳定的基本概念和压杆临界力的计算方法，简单说明其它形式构件的稳定性问题。
第一节压杆稳定的概念考察图7-1所示的受压理想直杆，当压力F小于某一数值时，在任意小的扰动下，压杆偏离其直线平衡位置，产生轻微弯曲，当扰动除去后，压杆又回到原来的直线平衡位置。
这表明压杆的直线平衡是稳定的。
当压力逐渐增加达到一定数值时，压杆在外界扰动下，偏离直线平衡位置，扰动去除，则不能再回到原来的直线平衡位置，而在某一弯曲状态下达到新的平衡，因此称该直线平衡是不稳定的。
从稳定平衡状态过渡到不稳定平衡状态的压力极限值，称为临界载荷或临界力，用F cr表示。
压杆丧失直线形式平衡状态的现象称为丧失稳定，简称失稳。
图7-1杆件失稳后，压力的微小增加将引起弯曲变形的显著增大，从而使杆件丧失承载能力。
但细长压杆失稳时，杆内的应力不一定高，有时甚至低于材料的比例极限。
可见，压杆失稳并非强度不足，而是区别于强度、刚度失效的又一种失效形式。
由于压杆稳定是突然发生的，因此所造成的后果也是严重的。
历史上瑞士和俄国的铁路桥，都发生过因为桥桁架中的压杆失稳而酿成的重大事故。
因此在工程实际中，对于压杆稳定性问题必须充分重视。
当压杆的材料、尺寸和约束等情况已经确定时，临界力是一个确定的值。
因此可根据杆件实际的工作压力是小于还是大于压杆的临界力，来判断压杆是稳定的还是不稳定的。
可见解决压杆稳定的关键问题是确定压杆的临界力。
第二节细长压杆的临界载荷一、两端铰支细长压杆的临界力取一根两端为球铰的细长压杆，使其处于微弯的平衡状态，选取相应的坐标系（图7-2a）。
考察微弯状态下任意一段压杆的平衡（图7-2 b），则杆件横截面上的弯矩为(a)根据挠曲线近似微分方程，有(b)将式(a)代入式(b),有(c)其中(d)微分方程(c)的一般解为(e)其中Ｃ1、Ｃ2常数,可根据两端支承的约束边界条件确定，在两端铰支的情况下，边界条件为（０）＝（ｌ）＝０将微分方程的解代入，得Ｃ2=0, Ｃ1sinkl=0 (f)后式表明,Ｃ1或者sinkl等于零。
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欧拉公式的使用
第七章 压杆稳定问题
第一节 压杆稳定概念 第二节 细长压杆的临界应力 欧拉公式 第三节 压杆的稳定性计算举例
第一节 压杆稳定概念
• 问题引入
已知 : c 40 MPa, A 3 0.5 1.5 cm
2
求： 使其破坏所需压力。
3cm
第一种情况：
10cm
P c A 40 106 1.5 104 6000 N
A
P1
B
P2
A
B
a
C D C D
a
a
a
解：图(a)中，AD杆受压 2 EI N F N AD 2 P 1 2 2a
AB为零杆
1 EI P1 2 2 2 a
2
图（b）中，AB杆受压 2 E I FN N AB P 2 2 a
A B P1 P2
AC为零杆
P2
稳定平衡
F
临界状态
F
不稳定平衡
F
F<Fcr
F=Fcr
F>Fcr
第一节 概述
压杆稳定的概念
平衡构形—压杆的两种平衡构形：
FP<Fcr : FP>Fcr : 直线平衡构形 弯曲平衡构形 (在扰动作用下)
直 线 平 衡 构 形
弯 曲 平 衡 构 形
第一节 概述
压杆稳定与不稳定的静力学准则
FP<Fcr :在扰动作用下，直线平衡构形转变为弯曲构 形，扰动除去后，能够恢复到直线平衡构形，则称原 来的直线平衡构形是稳定的。
7-1 压杆稳定 欧拉公式
湖北省工业建筑学校建筑工程建筑力学多媒体课件
任课 授课 授课 洪单平 12建筑工程 2013/3 教师 班级 时间 课 压杆稳定概念及欧拉公式 课型 题 教学 讲练结合 方法 学 时 2
面授
教学 目的
教学 重点 教学 难点
掌握压杆稳定概念
压杆稳定概念
欧拉公式的使用
欧拉公式的使用
压杆稳定的概念
弯 曲 平 衡 构 形
第一节 概述
使杆件保持稳定平衡状态的最大压力 ——临界压力
失稳（曲屈） 稳定的平衡 不稳定的平衡
Fcr
注： 压杆的临界压力Fcr越高，越不易失稳，即稳定性越好。 细长压杆失稳时的应力一般都小于强度破坏时的应力。 研究压杆稳定性的关键是确定临界压力。
第二节 细长压杆的临界应力
稳定性——指承载物体在外界干扰下保 持原有平衡状态的能力。
第一节 概述
刚体平衡的稳定性 稳定平衡
不稳定平衡
第一节 概述
杆件平衡的稳定性
● 受拉杆的平衡是稳定的，不讨
论其失稳问题。
●受压杆则要考虑稳定性问题。
●短粗的压杆——强度问题 ●细长的压杆——稳定性问题
1Hale Waihona Puke cm 3cm第一节 概述中心受压细长直杆的稳定性
2
0.7 7
2 200109
64
2645 kN
Plj
EI 2 L
2
0.164
2
0.5 9
64
3136kN
P cr ( a ) P cr (b ) P cr (c )
例2：图示两桁架中各杆的材料和截面均相同，设P1
和P2分别为这两个桁架稳定的最大荷载 (A) P1=P2 (B) P1<P2 (C) P1>P2 (D) 不能断定P1和P2的关系
欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界载荷
F=
n22EI
l2
使压杆在微弯状态下保持平衡的 最小轴向压力即为压杆的临界载荷
n=1
F cr =
2EI
l2
—欧拉公式
第二节 细长压杆的临界应力 临界载荷:
欧拉公式
F cr =
说明:
2EI
l2
—欧拉公式
x y z
1、临界载荷Fcr与杆的抗弯刚度成正比; 2、临界载荷Fcr与杆长成反比; 3、欧拉公式中的横截面的惯性矩I应取最小值Imin; 已知：横截面尺寸为宽3cm，厚0.5cm
压杆稳定的概念
FP>Fcr :在扰动作用下，直线平衡构形转变为弯曲平 衡构形，扰动除去后，不能恢复到直线平衡构形，则 称原来的直线平衡构形是不稳定的。
弯 曲 平 衡 构 形
临界载荷:
用Fcr 表示
第一节 概述
压杆稳定与不稳定的静力学准则
失稳(屈曲)
在扰动作用下，直线平衡构 形转变为弯曲平衡构形，扰动除 去后，不能恢复到直线平衡构形 的过程，称为屈曲或失稳。
10cm
压杆失稳时，总是在抗弯能力为最小的纵向平面（即最 小刚度平面）内弯曲;
第二节 细长压杆的临界应力
欧拉公式
二、两端非铰支细长压杆的临界载荷
F F F F
各种支承压杆临界载荷的通用 公式: （仍称欧拉公式）
F cr =
( l)2
2EI
——长度因数 l ——相当长度
z y b x h
2004年5月12日上午9时20分，河南安阳信益电子玻璃有限责任公司刚刚竣工的68米 高烟囱施工工程，在准备拆除烟囱四周脚手架时，上料架突然倾翻，30名正在施工的民 工全部翻下坠落，造成21人死亡，9人受伤。
第一节 概述
上述细长压杆之所以失效，是由于稳定性不足 带来的，与杆件的强度刚度无关。这种失效我们称 为失稳，或称屈曲。
2 EI P cr ( l )2
注意判断在哪个平面内失稳
1、若杆端在各个方向的约束情况都 相同（如球形铰），则 I 应取最小的 形心主惯性矩； 2、若杆端在各个方向的约束情况不同 （如柱形铰），则 I 应取挠曲时横截 面对其中性轴的惯性矩。
y
例1：材料相同，直径相等的三根细长压杆
如图示，如取 E =200GPa，d =160mm,试计 算三根压杆的临界压力，并比较大小。
第二种情况：
P 30 N
2000年１０月２５日南京电视台演播中心工地事故造成５人死亡
新华网南京１０月２５日电（记者王家言）今天上午１０时３０分，位于南京大光路北 侧的南京电视台演播中心，在演播厅施工浇筑混凝土中，因脚手架失稳，造成演播厅屋 盖模板倒塌，部分施工人员被压。据统计，这次事故已造成５人死亡，另有３５人受伤 被送往医院抢救和治疗。
A
EI
2
a
2
B
a
C D C D
a
a
a
例3：长方形截面细长压杆，b/h=1/2；如果将 b
改为 h 后仍为细长杆，临界力Pcr是原来的多少倍？
7m
5m
(a)
(b)
9m (c)
解：三根压杆临界力分别为：
(a)
EI Plj 2 L
2
2 200109
0.164
64 2540kN
1 5
2
b c
EI Plj 2 L
2
2 200 109
0.164