10压杆稳定_1欧拉公式
材料力学10压杆稳定_1欧拉公式
◆ 本例中，三杆截面面积基本相等，但由于其形状不同， Imin 不
同，致使临界力相差很大。最合理的截面形状为圆环形。
14
[例3] 图示各杆均为圆形截面细长压杆。已知各杆的材料及直径相 等。问哪个杆先失稳？ 解：由于各杆的材料及 截面均相同，故只需比
1.3 a F F F
较其相当长度 l 即可
a
杆A： 2 l 2a
F
F
2 1
0.7
压杆两端固定可轴向移动：
0.5
6
上述弹性压杆临界力的计算公式称为欧拉公式
Fc r
π 2 EI
l
2
说明： 1）欧拉公式的适用范围：线弹性（ ≤ p）
2）在压杆沿各个方向约束性质相同的情况下（即各个方向上 的 相等），I 应取最小值 3） l 称为压杆的相当长度
2
2000年10月25日上午10 时，南 京电视台演播中心由于脚手架 失稳使屋顶模板倒塌，导致死 6 人，伤 34 人。
3
2010年1月3日，通往昆明新机场的一座在建桥梁施工时因 支撑结构中的压杆失稳而坍塌，共导致 40 余人死伤。
4
二、压杆的临界力 使压杆由稳定向失稳转化的轴向压力的界限值称为压杆的临界力， 记作 Fcr 。即当 F ＜ Fcr ： 压杆稳定 F ≥ Fcr ： 压杆失稳 亦可将压杆的临界力 Fcr 理解为使压杆失稳的最小轴向压力
hb3 1 Iy 90 403 48 108 m 4 12 12
根据欧拉公式，此压杆的临界力
Fcr
π 2 EI y l
2
23.8 kN
11
[例2] 一端固定，一端自由的中心细长压杆。已知杆长 l = 1m , 材 料的弹性模量 E = 200 GPa。当分别采用图示三种截面时，试计算 其临界力。
材料力学笔记之——压杆稳定概念、欧拉公式
材料力学笔记之——压杆稳定概念、欧拉公式压杆稳定的概念构件除了强度、刚度失效外，还可能发生稳定失效。
稳定性是指构件在外力作用下保持其原有平衡状态的能力（受压直杆在压力作用下，保持原有直线平衡状态的能力）。
受轴向压力的细长杆，当压力超过一定数值时，压杆会由原来的直线平衡形式突然变弯，致使结构丧失承载能力，平衡形式的突然变化称为稳定失效，简称失稳或屈曲。
工程中的柱、桁架中的压杆、薄壳结构在压力作用下，都可能发生失稳。
构件的失稳往往是突然发生的，造成的事故往往是灾难性的。
因构件失稳而引起的重大事故，1907年加拿大劳伦斯河上，跨长五百多米的魁北克大桥，因压杆失稳而导致整座大桥倒塌，两次事故造成88人遇难。
倒塌的魁北克大桥魁北克大桥稳定失稳造成的事故现在仍时有发生，2000年10月25日，南京电视台演播中心工地，在施工浇筑混凝土中，因脚手架失稳，造成演播厅屋盖模板倒塌事故，部分施工人员被压，35人被送往医院抢救和治疗，并有5人死亡。
因此，稳定问题在工程设计中占有重要地位。
下端固定、上端自由的杆件如上图 (a) 所示，下端固定、上端自由的杆件，受到压力F 作用。
当载荷小于某一个临界力Fcr，如图(b) 所示，杆件若受到某种微小干扰力f 作用下，使杆件发生微小弯曲变形，杆件偏离直线平衡位置，当撤除干扰力后，杆件又回到原来的直线平衡位置。
当压力F等于临界力Fcr时，杆件可以保持原有的直线平衡状态，受到微小干扰力f作用下，杆件发生微小弯曲变形，但是当撤除干扰力后，杆件不再回到直线平衡位置，而是保持微小弯曲变形的平衡状态，如图 (c) 所示。
但当压力F超过临界力Fcr时，在干扰力作用下，杆件不再回到直线平衡位置，载荷稍大于临界力，就足以使杆产生很大的挠度。
当F≥Fcr 时，原有的直线平衡形式是不稳定的。
使中心受压直杆的直线平衡形式，由稳定平衡转变为不稳定平衡时所受的轴向压力，称为临界载荷，简称为临界力，用Fcr表示。
压杆稳定问题中,欧拉公式成立的条件(一)
压杆稳定问题中,欧拉公式成立的条件(一)压杆稳定问题中，欧拉公式成立的条件1. 引言在静力学中，我们经常遇到压杆稳定问题。
欧拉公式是研究压杆稳定性的重要工具之一。
本文将阐述欧拉公式成立的条件。
2. 什么是欧拉公式？欧拉公式是描述弹性直杆稳定性的一种公式。
它的数学表达式为：Fcr = (π² * E * I) / L²其中，Fcr代表临界压力，E是弹性模量，I是截面惯性矩，L是杆件的有效长度。
3. 欧拉公式的作用欧拉公式可以用来判断压杆在不同条件下是否会发生稳定失效。
当施加的压力小于临界压力时，压杆稳定；当施加的压力大于临界压力时，压杆会发生屈曲失稳。
4. 欧拉公式的前提条件要保证欧拉公式成立，有以下几个关键的前提条件：•材料是均匀的弹性材料；•杆件是直线型的；•杆件的截面是均匀的；•杆件的两端是固定的。
如果以上条件不满足，欧拉公式可能不适用，需要采用其他方法进行稳定性分析。
5. 欧拉公式的局限性尽管欧拉公式在很多情况下都具有很好的适用性，但也存在一些局限性：•欧拉公式忽略了杆件在屈曲时的非线性行为，因此在较大的弯曲时可能不准确；•欧拉公式适用于线弹性材料，在非线性材料中应用时需要额外的修正或采用其他方法。
6. 结语欧拉公式提供了一种简单但有效的判断压杆稳定性的方法。
在满足一定的前提条件下，我们可以使用欧拉公式来判断压杆是否会发生屈曲失稳。
然而，在实际工程中，我们需要根据具体情况进行综合分析，避免忽略其他因素的影响。
参考文献： [1] 郭华东. 弹性力学[M]. 北京：高等教育出版社, 2014. [2] Timoshenko, S. P., & Gere, J. M. (1961). Theory of elastic stability[M]. McGraw-Hill.以上为本文的主要内容，通过介绍欧拉公式的成立条件，我们可以更好地理解压杆稳定问题。
希望这篇文章对您有所帮助！。
压杆稳定问题中,欧拉公式成立的条件
压杆稳定问题中,欧拉公式成立的条件以压杆稳定问题中，欧拉公式成立的条件为题，我们来探讨一下这个问题。
压杆稳定问题是工程力学中的一个经典问题，研究的是在受到外力作用下，压杆是否会发生失稳。
而欧拉公式则是描述了在何种条件下，压杆会发生失稳的公式。
我们来看一下欧拉公式的表达式。
欧拉公式可以用数学语言来表示为Fcr = π²EI / L²，其中Fcr表示压杆的临界压力，E表示杨氏模量，I表示截面惯性矩，L表示杆长。
这个公式告诉我们，只有当外力超过了临界压力时，压杆才会发生失稳。
那么，欧拉公式成立的条件是什么呢？欧拉公式的推导是基于一些假设条件的。
这些条件包括：杆件是理想的无限细杆，杆的截面是均匀的，杆材的弹性模量是常数，杆件的边界条件是完美固定或者挠度为零。
只有在满足这些条件的情况下，欧拉公式才能成立。
欧拉公式的成立还与杆件的形状有关。
对于不同形状的杆件，其欧拉公式的形式也会有所不同。
例如，对于长方形截面的杆件，欧拉公式可以写成Fcr = π²Ebh² / L²，其中b和h分别表示杆件的宽度和高度。
对于圆形截面的杆件，欧拉公式可以写成Fcr = π²Eπr⁴ / L²，其中r表示杆件的半径。
欧拉公式还要求杆件处于稳定的静力平衡状态。
也就是说，在外力作用下，杆件的挠度要小到可以忽略不计。
如果杆件的挠度过大，那么欧拉公式就不再适用。
欧拉公式成立的条件还包括杆件的材料特性。
杆件的弹性模量E是杆件材料的一个重要参数，它描述了杆件材料的刚度。
当杆件的材料刚度较大时，欧拉公式更加准确。
欧拉公式成立的条件包括：杆件是理想的无限细杆，杆的截面是均匀的，杆材的弹性模量是常数，杆件的边界条件是完美固定或者挠度为零；杆件处于稳定的静力平衡状态；杆件的形状和材料特性。
在工程实践中，我们经常使用欧拉公式来计算杆件的临界压力，以确定杆件是否会发生失稳。
通过合理选择杆件的形状和材料，我们可以满足欧拉公式成立的条件，从而保证杆件的稳定性。
压杆稳定计算简介
压杆的稳定条件为
p j[ ]
A
9.5 压杆稳定计算简介
了解压杆稳定的概念。 熟悉临界力和欧拉公式的计算。 掌握压杆稳定的校核。
一、临界压力和欧拉公式
杆件所受压力逐渐增加到某个限度时，压杆将 由稳定状态转化为不稳定状态。这个压力的限
度称为临界压力Pcr。它是压杆保持直线稳定形
状时所能承受的最小压力。
欧拉公式
pcr
2EI ( L) 2
1、熏烟的成分及作用
熏烟的成分很复杂，由气体、液体、固体微粒组成 的混合物，因熏材种类和熏烟的产生温度不同而不同， 且其状态和变化迅速，一般认为熏烟中最重要的成分是 酚、醇、有机酸、羰基化合物和烃类等。
2、熏制加工目的
1、赋予制品特殊的烟熏风味，增加香味 2、使制品外观产生特有的烟熏色，对加硝制品有促进发 色的作用 3、杀菌消毒，防止腐败变质，使制品耐贮藏
醇类：
木材熏烟中的醇种类繁多，最常见的为甲醇，又称木 醇，熏烟中还有伯醇、仲醇和叔醇等，为挥发性物质的载 体，杀菌能力较弱。
3、影响熏制的因素
熏烟质量
熏制的作用取决于熏烟质量如熏烟中成分种类和浓度等，而熏烟质量 的高低与燃料种类、燃烧温度等产生方式和条件有关。
熏制温度
熏制时温度过低，不会得到预期的熏制效果。但温度过高，会由于脂 肪融化、肉的收缩，达不到制品质量要求。常用的熏制温度为35~50℃， 一般熏制时间为12~48h。
EI－抗弯刚度 ；L－压杆的长度
μ－长度（支座）系数 ；固定 一端固定 两端铰支 一端固定
束情况
一端铰支
压杆稳定-欧拉公式适用条件30min课件
— 欧拉公式
临界应力
cr
Fcr A
2E 2
— 欧拉临界应力公式
柔度
（长细比）
l
i
量纲：1
{ 约束条件 l 杆长 i 截面形状尺寸
压杆稳定-欧拉公式适用条件(30min)
§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
弯曲变形近似微分方程：
d2y M dx2 EI
压杆稳定-欧拉公式适用条件(30min)
i
A
•临界柔度
P
E
P
P — 比例极限
S
a s
bs — 屈服极限来自•临界应力P(大柔度杆)
cr
2E 2
欧拉公式
P S (中柔度杆) cr a b 直线公式
S (小柔度杆) cr s 强度问题
压杆稳定-欧拉公式适用条件(30min)
cr cr=s
s A B P
O
S
cr=ab
cr a b a、b — 材料常数
cr s
S
a s
b
当 S P cr a b
中柔度杆（中长杆）
S
cr s
小柔度杆（短粗杆）
压杆稳定-欧拉公式适用条件(30min)
§9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式
cr cr=s
s A B P
O
S
cr=ab
C
cr
2E 2
D
P
内容回顾
稳定性：构件在外力作用下，保持其原有平衡状态的能力。 失 稳：压杆丧失直线状态的平衡，过渡到曲线状态的平衡
欧拉公式普遍形式：
2 EI Fcr (l )2
适用对象： ➢ 理想压杆（轴线为直线，压力与轴线重合，材料均匀） ➢ 线弹性，小变形
压杆稳定的欧拉公式适用的范围
压杆稳定的欧拉公式适用的范围
压杆稳定的欧拉公式适用于长细杆在压缩加载情况下的稳定性分析。
所谓长细杆是指杆长相对于其横截面尺寸较大，而且应变和应力分布趋近于均匀的杆件。
压杆的稳定性是指杆件在受压载荷作用下，不会发生失稳和破坏的能力。
欧拉公式表达了杆件临界压力（临界荷载）与杆件几何参数的关系，其数学表达式为：
Pc = π²EI / L²
其中，Pc为杆件的临界压力，E为材料的弹性模量，I为截面
面惯性矩，L为杆件的有效长度。
需要注意的是，欧拉公式适用于以下情况：
1. 杆件为均质材料，材料的性质在整个杆件上是均匀的。
2. 杆件受到纯压缩载荷作用，不受扭矩或弯矩的影响。
3. 杆件几何形状为长细杆，即杆长相对于其横截面尺寸较大。
4. 杆件的杨氏模量E在整个应变范围内保持恒定。
5. 杆件的材料在应力较小时没有明显的塑性变形。
6. 杆件的几何形状和截面尺寸为理想状态，即截面形状规则，并且截面尺寸准确无误。
总体而言，欧拉公式适用于长细杆在稳定性分析中的初步预估，但在实际工程中，为了更精确地评估杆件的稳定性，通常还需要考虑其他因素，如材料非均匀性、截面形状不规则等。
压杆稳定的欧拉公式ppt课件
L
0.25L 各种支承下压
L
0.7L
杆临界力的通
0.5L 用公式：
L
0.3L
0.25L
Fcr
2EIm i n (L)2
1 2 0.7 0.5 :长度因数
两端铰支, 一端固定,一端自由,
L:相当长度
一端固定,一端铰支, 约束越牢固，长度因数越小。
两端固定, .
计算临界力的统一形式：
Fcr
2EImin (L) 2
第9章 压杆稳定
第二章中，轴向压杆的强度条件为：
σmax=FNAmax≤[σ]
F
例如：横截面为50mm×4mm，长度1m的木杆，[σ] ＝10MPa。受轴向压力F作用。 1）按强度条件，其可承受最大压力为：
F=〔σ〕A=2000N； 2）实际上，当压力F不足30N时，杆就突然发生明
显的侧向弯曲变形。力再稍增加，杆就折断了。 3）杆之折断，并非抗压强度不足，而是与受压时
欧拉公式(Euler formula )的应用条件： 1 理想压杆； 2 线弹性范围内； 3 两端为球铰支座。
.
9.3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
利用挠曲线近似微分方程，结合压杆的边界条件进 行推导，推导过程与“两端铰支”细长压杆相同。
y
x
F
l
F
F
L
.
Fcr
Fcr
Fcr
Fcr
Fcr
2EImin L2
临界状态
稳 定
对应的
过渡
不 稳 定
压力
临界压力:Fcr
.
9.2 两端铰支细长压杆的临界力
一、两端铰支细长压杆的临界力的推导
假定压力已达到临界值，杆处于微弯状态w，x M(x)
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第一节 引言
压杆是工程实际中常见的一种承载构件，例如： 实践表明，压杆的主要失效形式既不是强度失效，也不是刚度失 效，而是失稳。
恒山悬空寺
一、压杆稳定与压杆失稳 压杆稳定： 压杆能够稳定地保持其原有直线形式的平衡 压杆失稳： 压杆丧失了其原有直线形式的平衡
F FFcr Fcr
F ≥FF ≥ F≥cr FFccrr
一、压杆的临界应力
定义
cr
Fc r A
为压杆的临界应力， 即有
＜ cr： 压杆稳定 ≥ cr： 压杆失稳
二、压杆临界应力的欧拉公式
式中，无量纲参量
cr
π2E
2
l
i
称为压杆的柔度或长细比，其综合反映了压杆的两端约束、长度 和截面对压杆稳定性的影响，可直接作为压杆稳定性的判据。
三、欧拉公式的适用范围
m4
压杆临界力
Fcr
π 2 EI min
l 2
35630 N
A c 5.18 cm2
◆ 本例中，三杆截面面积基本相等，但由于其形状不同， Imin 不 同，致使临界力相差很大。最合理的截面形状为圆环形。
[例3] 图示各杆均为圆形截面细长压杆。已知各杆的材料及直径相 等。问哪个杆先失稳？
解：由于各杆的材料与截 面均相同，故只需比较其
0.7
压杆两端固定但可轴向相对移动： 0.5
上述弹性压杆临界力的计算公式称为欧拉公式
Fc r
π 2 EI
l2
说明 （1）欧拉公式的适用范围：线弹性( ≤ p )
（2）在压杆沿各个方向约束性质相同的情况下(即各个方向
上的长度因数 相等)，I 应取最小值
（3）l 称为压杆的相当长度
第三节 临界应力的欧拉公式
相当长度 l 即可。
杆A： 2 l 2a
F A
a 1.3 a 1.6 a
F B
F C
杆B： 1
d
l 1.3a
杆C： 0.7 l 1.12a
结论： 杆 A 先失稳
cr
π2E
2
≤p
或者
≥
π2E
p
p
式中，欧拉公式适用的柔度界限值 p 为材料常数
这类杆称为细长杆（或大柔度杆），亦即欧拉公式适用于细长 杆（或大柔度杆）。
[例1] 如图，矩形截面的细长压杆两端球形铰支。已知杆长 l = 2 m , 截面尺寸 b = 40 mm， h = 90 mm，材料弹性模量 E = 200 GPa。试 计算此压杆的临界力Fcr。
F Fcr
F ≥ Fcr
压杆稳定
压杆失稳
第二节 临界力的欧拉公式
对于弹性压杆，临界力的计算公式为
Fc r
π 2 EI
l2
式中，E为材料的弹性模量；I 为截面对中性轴
F
的惯性矩；l 为压杆长度； 称为长度因数，取
决于压杆的两端约束：
F
压杆一端固定一端自由：
2
压杆两端铰支：
1
压杆一端固定一端铰支：
F
l
A a 5 cm2
矩形截面
A b 5.076 cm2 No. 4.5 等边角钢
A c 5.18 cm2
圆环形截面
解： 1）矩形截面
Imin
1 12
50 103
10 103
3 0.42 108 m4
压杆临界力
Fcr
π2 EImin
l 2
2073 N
2）No. 4.5 等边角钢
由型钢表查得
压杆稳定
压杆失稳
压杆的失稳载荷通常远低于强度失效载荷，且失稳破坏具有 突发性，往往会引起灾难性的后果。
1907年8月29日，享有盛誉的美国桥梁学家库柏在加拿大圣劳伦 斯河上建造的魁北克大桥（Quebec Bridge）发生稳定性破坏， 导致 75 位工人死亡，成为上世纪十大工程惨案之一。
2000年10月25日上午10时，南京 电视台演播中心施工工地由于撑 杆失稳使屋顶模板倒塌，导致死 6 人，伤 34 人。
Imin 3.89 108 m4
压杆临界力
Fcr
π 2 EI min
l 2
19200 N
Aa 5 cm2
A b 5.076 cm2
Fcr 2073 N
Fcr 19200 N
3）圆环形截面
Aa 5 cm2
A b 5.076 cm2
I
π 64
384
1 28 384Fra bibliotek1012
7.22 108
2010年1月3日，通往昆明新机场的一座在建桥梁施工时因 支撑结构中的压杆失稳而坍塌，共导致 40 余人死伤。
二、压杆的临界力
使压杆由稳定向失稳转化的轴向压力的界限值称为压杆的临界力，
记作 Fcr。即当
F ＜ Fcr： 压杆稳定
F ≥ Fcr： 压杆失稳
亦可将压杆的临界力 Fcr 理解为使压杆失稳的最小轴向压力。
解： 显然 Iy < Iz，故应按 Iy 计算临界力
Iy
hb3 12
1 90 403 12
48 108
m4
根据欧拉公式，此压杆的临界力
Fcr
π2EI y l2
23.8 kN
[例2] 一端固定，一端自由的中心细长压杆。已知杆长 l = 1m , 材 料的弹性模量 E = 200 GPa。当分别采用图示三种截面时，试计算 其临界力。