2020东北三省三校一模联考数学(理)试题

东北三省三校2020年高三第一次联合模拟考

试

理科数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、已知集合{}21x x A =-<<，{}

220x x x B =-≤，则A B =（ ）

A ．{}01x x <<

B ．{}01x x ≤<

C ．{}11x x -<≤

D ．{}21x x -<≤ 2、复数212i

i

+=-（ ）

A ．(

)

2

2i + B ．1i + C ．i D ．i -

3、点()1,1M 到抛物线2y ax =准线的距离为2，则a 的值为（ ）

A ．14

B ．112-

C ．14或1

12

- D ．14-或112

4、设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59S S =，则当n S 最大时，n =（ ）

A ．6

B ．7

C ．10

D ．9 5、执行如图所示的程序框图，要使输出的S 值小于1，则输入的t 值不能是下面的（ ） A ．2012 B ．2013 C ．2014 D ．2015 6、下列命题中正确命题的个数是（ ）

①对于命题:p R x ∃∈，使得210x x +-<，则

:p ⌝R x ∀∈，均有210x x +->

②p 是q 的必要不充分条件，则p ⌝是q ⌝的充分不必要条件

③命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命

题

④“1m =-”是“直线1:l ()2110mx m y +-+=与直线2:l 330x my ++=垂直”的充要条件

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．12

8、设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，焦点F 到

一条渐近线的距离为d ，若F 3d B ≥，则双曲线离心率的取值范围是（ ）

A ．(1,2⎤⎦

B ．)2,⎡+∞⎣

C ．(]1,3

D ．)

3,⎡+∞⎣

9、不等式组2204x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的点集记为A ，不等式组2

20x y y x

-+≥⎧⎨≥⎩表示的点集记为B ，在A 中任取一点P ，则P∈B 的概率为（ ）

A ．932

B ．7

32

C ．916

D ．716

10、设二项式12n

x ⎛

⎫- ⎪⎝⎭（n *∈N ）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为n a ，

n b ，则

1212n

n

a a a

b b b ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+（ ）

A ．123n -+

B ．()1221n -+

C ．12n +

D ．1

11、已知数列{}n a 满足3215

334

n a n n m =-++，若数列的最小项为1，则m 的值为

（ ）

A ．14

B ．13

C ．14-

D ．1

3

-

12、已知函数()()()()2

1102ln 10x x f x x x ⎧+≥⎪

=⎨⎪--<⎩

，若函数()()F x f x kx =-有且只有两个零点，

则k 的取值范围为（ ）

A ．()0,1

B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭

C ．1,12⎛⎫

⎪⎝⎭

D ．()1,+∞

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13、向量a ，b 满足1a =，2b =，()()

2a b a b +⊥-，则向量a 与b 的夹角为 ．

14、三棱柱111C C AB -A B 各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，C 120∠A B =，

C C 23A =B =，14AA =，则这个球的表面积为 ．

15、某校高一开设4门选修课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，共有 种不同选课方案（用数字作答）．

16、已知函数()()sin 2cos y x x πϕπϕ=+-+（0ϕπ<<）的图象关于直线1x =对称，则sin 2ϕ= ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤．） 17、（本小题满分12分）已知C ∆AB 的面积为2，且满足0C 4

()2求函数()22sin 3cos 24f π

θθθ⎛⎫

=+-

⎪⎝⎭

的取值范围．

18、（本小题满分12分）为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表1和频率分布直方图2．

()1频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，

再根据频率分布直方图估计这500名市民的平均年龄；

()2在抽出的100名市民中，按分层抽样法抽取20人参加宣传活动，从这20人中选取2名市民担任主要发言人，设这2名市民中“年龄低于30岁”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望． 19、（本小题满分12分）如图，四棱锥CD P -AB 的底面是边长为1的正方形，PA ⊥底面CD AB ，E 、F 分别为AB 、C P 的中点．

()I 求证：F//E 平面D PA ；

()II 若2PA =，试问在线段F E 上是否存在点Q ，使得二面角Q D -AP -的余弦值为

5

5

若存在，确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由．

20、（本小题满分12分）已知椭圆22

221x y a b

+=（0a b >>）的左、右焦点为1F 、2F ，

点()

2,2A 在椭圆上，且2F A 与x 轴垂直．

()1求椭圆的方程；

()2过A 作直线与椭圆交于另外一点B ，求∆AOB 面积的最大值．