线性代数__69 正定矩阵_
正定矩阵与性质
27
X Rn , X T AAT X ( AT X )T AT X
AT X
2
0,
故AT X
Q r( AT ) m n,
AT 的列向量组线性相关，存在n维列向量 X o,
使得AT X o ,于是
X T AAT X X T Ao 0,
故 AAT 不是正定矩阵。
28
3.若A为 n m矩阵,且r( A) r min(n,m),则 AT A 和 AAT 分别为m阶和n阶半正定矩阵但非正定矩阵.
17
例 用顺序主子式判断上例的矩阵的正定性.
6 2 2
A
2
5
0
.
2 0 7
解| A1 | 6 0,
6 2
| A2 | 2
30 4 26 0, 5
6 2 2
| A3 | 2 5 0 210 20 28 162 0. 2 07
故A正定.
18
实对称矩阵A正定的充分必要条件是
阵G,使得
GT An1G En1 .
令 则
G O
C1
O
1
,|
C1
||
G
|
0.
C1T
AC1
GT
O
O An1
1
T
G
ann
O
O
1
G
A T n1
T
GT G
ann
O
O 1
G
T An1G
TG
G T
ann
En1
TG
GT
ann
.
再令
15
C2
En1 O
GT
24 3 71
99 6
线性代数_浙江大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
线性代数_浙江大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.【图片】中【图片】的系数等于（）.参考答案:-12.设【图片】是【图片】阶正定矩阵，则下列结论正确的是参考答案:__也是正定矩阵_3.任意一个对称的可逆实矩阵一定与同阶的单位矩阵（）.参考答案:(相抵)等价4.设【图片】的三个特征值为【图片】下列结论正确的是 ( )参考答案:如果则__如果的三个特征值互不相同, 则一定可以对角化.5.设E+A可逆，E-A不可逆，则下列正确的是( ).参考答案:1是A的一个特征值_-1不是A的一个特征值6.已知【图片】为一线性方程组的通解. 则下述陈述中正确的是:参考答案:该方程组系数矩阵的秩是2._该方程组至少含有两个方程.7.设有向量【图片】, 下列哪个向量【图片】可以与【图片】组成【图片】的基?参考答案:_8.关于向量线性关系说法正确的是参考答案:若向量组的秩小于向量个数, 则向量组线性相关._若向量组由一个可逆矩阵的列向量组成, 则向量组线性无关.9.已知向量组【图片】和【图片】,下列结论正确的是( ).参考答案:若存在不全为零的数，使得，则向量组线性相关10.下列各项中，是【图片】元向量组【图片】【图片】线性相关的充要条件的是 ( ).参考答案:中至少有一个部分组线性相关11.空间中过下列哪两个点的直线是平行的?【图片】和【图片】【图片】和【图片】【图片】和【图片】【图片】和【图片】参考答案:(d),(a)12.矩阵【图片】其中【图片】为待定常数, 则 ( ).参考答案:当时, 秩为 1_当且时, 秩为 3_当时, 秩为 213.假设【图片】是【图片】矩阵,【图片】是【图片】元非零列向量,【图片】是【图片】元零列向量, 下列说法正确的是 ( )参考答案:若有唯一解, 则仅有零解_若有无穷多解, 则有非零解_若仅有零解,则有唯一解14.下列结论正确的是( ).参考答案:任意一个方阵一定可以表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和._与任意n阶方阵均乘法可交换的矩阵一定是n阶数量矩阵._秩为r(r>1)的矩阵中，一定存在不为零的r-1阶子式.15.设非零方阵【图片】满足【图片】,则下列结论不正确的是（）.参考答案:不可逆16.已知【图片】, 其中【图片】为【图片】阶可逆矩阵，【图片】为【图片】阶可逆矩阵,则下列结论不正确的是 ( ).参考答案:_G不可逆_17.以下结论正确的是( ).参考答案:若或不可逆，则必有不可逆_若均可逆，则必有可逆18.下列矩阵方程解正确的是( ).参考答案:的解是_的解是_的解是_的解是19.设P是数域，【图片】是【图片】的一个特征值．记【图片】，则下列结论正确的是( ).参考答案:_是空间的线性子空间20.设【图片】为实对称矩阵，则下列成立的是（）。
正定矩阵的性质和判定方法及应用概要
正定矩阵的性质和判定方法及应用概要
一、正定矩阵的定义
正定矩阵是一类特殊的线性代数对象，它是二维以上方阵中所有元素都有正值的一种矩阵。
二、正定矩阵的性质
1、正定矩阵的特性
由于所有元素都是正值，所以正定矩阵是一种对称矩阵，其特征值都是大于0，即特征值>0；特征向量都是有向量，即特征向量≠0；这种矩阵也称为正数矩阵或半正定矩阵。
2、正定矩阵的恒等式
如果一个矩阵M是一个正定矩阵，则它满足：mTm>0，其中mT表示M 的转置，m表示M中的其中一行（或列）向量。
3、正定矩阵的特殊性质
正定矩阵是线性代数中最重要的矩阵之一，它的特殊性质：（1）正定矩阵是正交矩阵的一类；（2）正定矩阵的逆矩阵是它的转置；（3）正定矩阵的主对角线元素全为正；（4）正定矩阵的最小特征值是它的最大特征值的平方根；（5）正定矩阵的行列式是正值；（6）正定矩阵也是正秩矩阵。
三、正定矩阵的判定方法
1、特征值判定法
如果一个矩阵M的所有特征值都是正值，则它是一个正定矩阵。
2、恒等式判定法
如果矩阵M满足mTm>0，其中mT表示M的转置，m表示M中的其中一行（或列）向量，则它是一个正定矩阵。
3、行列式判定法。
正定矩阵的性质和判定方法及应用
内蒙古财经大学本科毕业论文正定矩阵的性质及应用作者郝芸芸系别统计与数学学院专业信息与计算科学年级10级学号102093113指导教师高菲菲导师职称讲师答辩日期成绩内容提要矩阵是数学中的一个重要基本概念，也是一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具．而矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念．正定矩阵是一种特殊的矩阵,其等价定理在解题过程中可以灵活使用．且正定矩阵具有一般矩阵不具有的特殊性质,尤其是这些性质广泛地应用于各个领域．本文在第一部分介绍了实矩阵的正定性的相关定义以及其等价条件．在第二部分列举了正定矩阵的一系列性质，主要介绍了正定矩阵的关联矩阵的正定性．本文在第三部分介绍了正定矩阵的相关定理．本文在第四部分介绍了矩阵正定性的判定方法：定义法、主子式法、特征值法、与单位矩阵合同法．且简单地举了一些实例来阐述实矩阵正定性的判定．最后本文分别从不等式的证明和多元函数的极值两个方面介绍了正定矩阵的实际应用．关键词：二次型正定矩阵判定方法应用AbstractMatrix is an important basic concepts in mathematics，but also a main research object，at the same time matrix theory is a powerful tool for the study of linear algebra。
At the same time，the positive definiteness of matrix is an important concept in the matrix theory。
The positive definite matrix is a special matrix, the equivalence theorem in the problem solving process can be used flexibly。
线性代数中的合同关系、正定矩阵
什么是线性代数中的合同？惯性定律？“合同”是矩阵之间的一种关系。
两个n阶方阵A与B叫做合同的，是说存在一个满秩n阶方阵P,使得P′AP＝B.“合同”这种关系，是一种“等价关系”。
按照它可以对n阶方阵的全体进行分类。
对于n阶实对称矩阵而言，线性代数中有两个结果。
①每个n阶实对称矩阵，都一定与实对角矩阵合同，并且此时P也是实的。
②对于一个n阶实对称矩阵A，与它合同的实对角矩阵当然不只一个，（相应的P也变化）。
但是这些实对角矩阵的对角元中，正数的个数是一定的（叫A的正惯性指数），负数的个数也是一定的（叫A的负惯性指数）。
结果②就是“惯性定理”。
一个矩阵是正定矩阵的充要条件是:矩阵的主对角线元素全大于0.这个命题是否正确?不对，反例： 1 22 1只有主对角矩阵才能说对角元素全大与0就正定设M是n阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量X=(x_1,...x_n) 都有XMX′>0，就称M正定(Positive Definite)。
正定矩阵在相合变换下可化为标准型，即单位矩阵。
所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵。
另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵.正定矩阵的一些判别方法由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法：1.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的n 个特征值全是正数。
证明：若，则有∴λ＞0反之，必存在U使即：A正定由上面的判别正定性的方法，不难得到A为半正定矩阵的充要条件是：A的特征值全部非负。
特征值都在主对角线上运算你知道的吧。
行列式小结一、行列式定义行列式归根结底就是一个数值，只不过它是由一大堆数字经过一种特殊运算规则而得出的数而已。
当然这堆数排列成相当规范的n行n列的数表形式了。
所以我们可以把行列式当成一个数值来进行加减乘除等运算。
举个例子：比如说电视机（看做一个行列式），是由很多个小的元件（行列式中的元素）构成的，经过元件的相互作用、联系最终成为一台电视机（行列式）。
线性代数 二次型与正定矩阵
0 1 2 A 2 2 3 . 0 3 3
也可以做以下表示
0 x1 1 2 f x1 , x2 , x3 x1 , x2 , x3 2 2 3 x2 . 0 3 3 x 3
即形如
只含变量的平方项，不含交叉项，
2 1 1 2 2 2 2 n n
b y b y b y
的二次型，称为二次型的标准形。
下面要论如何将一般的二次形化为标准形
一般地，二次型可写成
f X X T AX
6.2.1
定义6.2.2 设 x1 , x2 , , xn y1 , y2 ,, yn 是两 与 组变量，称下组公式 x1 c11 y1 c12 y2 c1n yn x c y c y c y 2 21 1 22 2 2n n xn cn1 y1 cn 2 y2 cnn yn 为 x1 , x2 ,, xn到 y1 , y2 ,, yn 的线性替换。 令
x1 x 2 X xn
y1 y 2 Y yn
C [ci j ]nn
则上组公式可表为
X CY
若 | C | 0 ，则称此线性替换是可逆的(或满秩的或非 退化的)。若 C 为复(实)方阵，则称此线性替换是复 (实)线性替换
第六章
二次型与正定矩阵
§6.1 二次型的定义和矩阵表示
定义 1 含有 n 个变量 x 1 , x 2 , , x n的二次齐次函数
2 2 2 f x1 , x2 , , xn a11 x1 a22 x2 ann xn
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an 1, n xn 1 xn
正定矩阵和半正定矩阵的克罗内克积的关系
正定矩阵和半正定矩阵的克罗内克积的关系
矩阵是数学中一个非常重要的概念，通常指二维数组，其中的每个元素都可以表示一个数。
矩阵在计算机科学、物理学、经济学、统计学等领域都有广泛应用，是一种重要的工具。
在矩阵的应用中，正定矩阵和半正定矩阵是比较常见的两种类型。
正定矩阵：
在数学中，一个$n \times n$矩阵$A$被称为正定矩阵，当且仅当：
1. 它是一个对称矩阵；
2. 对于任意的$n$维非零向量$x$，都有$x^{T}Ax>0$，其中$x^{T}$是$x$的转置。
克罗内克积：
在数学中，两个向量$a$和$b$的克罗内克积$a \otimes b$是一个矩阵，其元素由以下公式计算得到：
$(a \otimes b)_{i,j} = a_{i}b_{j}$。
正定矩阵和半正定矩阵的克罗内克积可以写成以下形式：
$(A \otimes B)(x \otimes y) = Ax \otimes By$。
其中，$x$和$y$是向量，$A$和$B$是正定矩阵或半正定矩阵，$\otimes$表示克罗内克积。
总结：
通过以上公式可以得出，正定矩阵和半正定矩阵的克罗内克积也是正定矩阵和半正定矩阵。
这个结论在矩阵计算中是非常重要的，可以用于降低计算的复杂度。
比如，在人脸识别中，使用正定矩阵和半正定矩阵的克罗内克积可以大大降低人脸识别的时间复杂度，提高计算速度。
因此，正定矩阵和半正定矩阵的克罗内克积有着很广泛的应用前景。
线性代数__69 正定矩阵_
6.9 正定矩阵.A n 设是阶实对称矩阵:下列论断彼此等价8定理(1);A 是正定矩阵(2),n A n I 与阶单位矩阵合同(3),nB 存在阶可逆的实矩阵(4).A 的特征值都大于零T;A B B 使得;A n 即的正惯性指数为证明(1)(2)⇒.A 设是正定矩阵T,X AX 因为实二次型是正定的TX AX 所以的规范形为A 因此与单位矩(2)(3)⇒.n A I 设与单位矩阵合同,根据矩阵合同的定义,n P 存在阶可逆的实矩阵T.n P AP I =使得1,B P -=令T 11T()().n A P I P B B --==则有22212.ny y y +++.n I 阵是合同的,n B 设存在阶可逆的实矩阵T.A B B =使得(3)(4)⇒,A λ设是的特征值,A ξλ是的属于特征值的特征向量.A ξλξ=即因为TA ξξT0,ξξ>于是(1)0.λ>所以由等式得到T()()B B ξξ=0,>TT()()B B ξξ=T A ξξT ()ξλξ=T ()A ξξ=T().λξξ=(1)并且.正定矩阵的行列式大于零推论▌证毕.A 设的特征值都大于零(4)(1) T X AX这时实二次型,n 的正惯性指数为T.X AX 即是正定二次型A 因此是正定.矩阵定义(),i j A a n =设是阶矩阵,t A 第个称的顺序主子式为111212122212t t t t t t t a a a a a a M a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 的子矩阵1,2,,.t n =的行列式||t t M ∆=9定理n A 阶实对称矩阵为正定矩阵的充分必要条件,A n 是的个顺序主子式都大于零即1110,a ∆=>1112221220,a a a a ∆=>,||0.n A ∆=>(),i j a n A =设是阶实对称矩阵证明T12(,,,)n f x x x X AX=.A 为矩阵的实二次型12,,,,n x x x 是以为未知数12(,,,,0,,0)t f x x x .是正定二次型8,根据定理的推论0.t t M ∆>的行列式,A n 设是阶实对称矩阵T12(,,,).t t X x x x =记{1,2,,},t n ∈对任意的.必要性,A 因为是正定矩阵12(,,,).n f x x x 所以是正定二次型,因此.充分性A n 并且的个顺序主子.式都大于零T tt tX M X =.t M 于是是正定矩阵1,A n =如果的阶数.A 则显然是正定矩阵1,A n -并且当的阶数为时.结论成立A 现在证明当的阶2,n ≥假设,n 数为时.结论也成立111(1)1(1)1(1)(1)(1)1(1)n nn n n n n n n n nn a a a A a a a a a a ------⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 将按如下方法分块1T.n nn M a αα-⎛⎫= ⎪⎝⎭.A n A 我们对的阶数用数学归纳法证明是正定矩阵。
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d | Mn 1 |, 并且
令P
B0 01
, 则| P | 1
| B| 0, 并且 d
d
P THP P
TMn1 0
0 dP
B
0
0 T
B 0
1 Mn1 0
1
0 d 0
d
d
T
0
1
因此, A与n阶单位矩阵是合同的, 即A是正定矩阵. 证毕
例13 确定实数t的取值范围, 使得下列二次型是正定的:
T T
T
设 是A的特征值, 是A的属于特征值 的特征向量,
即A
. 于是
TA
T(A )
T( T )
((1) ).
T
T
. A 设 的特征值都大于零 (4) (1) , n 的正惯性指数为 T
矩阵. 证毕
推论 正定矩阵的行列式大于零. ▌
T
. X AX 即
定义 设A (aij)是n阶矩阵, A的子矩阵
f(x1,x2, ,xn) X T AX 是以x1,x2, ,xn为未知数, A为矩阵的实二次型.
必要性. 对任意的t {1,2, ,n}, 记Xt (x1,x2, ,xt) T.
因为A是正定矩阵, 所以 f(x1,x2, ,xn)是正定二次型.
因此,
f(x1,x2,
,xt,0, ,0) XtTMXt t
f(x1,x2,x3) x1 2 3x2 3x3 2 2tx1x2 2x1x3 4x2x3.
解 二次型 f 的矩阵为
1t 1 A t 3 2.
1 23
根据定理9, A为正定矩阵的充分必要条件是
1 a11 1 0,
1t 2 det
t3
3 t2 t (0, 3, 3)
1t 1 t3 2
10 2 10 2
3
3
因此, ,
10 2 10 2
, t
3
3
时 当
a11
A a(n 1)1 a
n1
a1(n 1)
a1n
a(n 1)(n 1)
an(n 1)
ann
Mn 1
a(n a 1)n nn .
T
根据归纳假设,Mn 1是正定的.根据定理8,存在(n 1)阶
T
根据条件,| Mn1 | 0,所以Mn 1是可逆的. 因此根据 定理2.7中的第3个等式, 我们得到
In1
是正定二次型.于是Mt 是正定矩阵. 根据定理8的推论, Mt的行列式 t 0. 充分性. 设A是n阶实对称矩阵, 并且A的n个顺序主子 式都大于零.
我们对A的阶数n用数学归纳法证明A是正定矩阵. 如果A的阶数n1, 则显然A是正定矩阵. 假设n 2, 并且当A的阶数为n 1时,结论成立.现在证明当A的阶 数为n时, 结论也成立. 将A按如下方法分块
0Mn1 In1 (Mn1)1
T(Mn1 )1 1 Tann 0
1
L Mn1
0
U
0
ann (M
T
n1)
Mn1 LA0 U
d0.
LAU H
H
因为L UT, 并且|U |1, 所以A与H是合同的.
因为 | A| | H | det Mn 1 0 0d
| A| 0, | Mn 1 | 0,所以d 0.
6.9 正定矩阵
定理8 设A是n阶实对称矩阵.下列论断彼此等价:
(1) A是正定矩阵;
(2) A与n阶单位矩阵In合同, 即A的正惯性指数为n;
(3)
,n T
(4) A的特征值都大于零.
B 存在
证明
T
所以X TAX的规范形为 y1 y22 2 yn 2. 因此A与单位矩 阵In是合同的. (2) (3) 设A与单位矩阵In合同. 根据矩阵合同的定义,
a11 a12
a1t
a a22
a2t
Mt
21
a t1
at2
att
的行列式 t | Mt | 称为A的第t个顺序主子式,
t 1,2, ,n.
定理9 n阶实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件
是A的n个顺序主子式都大于零, 即
1
a11
0,
a11 a12
2
a21 a22
0, , n | A| 0.
证明 设A (aij)是n阶实对称矩阵,