第18课时 全等三角形单元复习课
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中考数学总复习第四章第18课时全等三角形课件
证明：∵∠B＝∠C， ∴AB＝AC， 在△ABD 和△ACE 中，
AB＝AC， ∠B＝∠C， BD＝CE，
∴△ABD≌△ACE(SAS).
12.(2023·营口)如图，点 A，B，C，D 在同一条直线上，点 E， F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，∠A＝∠B，∠ACE＝∠BDF.
(1)求证：△ACE≌△BDF. (2)若 AB＝8，AC＝2，求 CD 的长.
角相等，那么这两个角相等
1.运用全等三角形的判定和性质，若题中没给图形，建议根据 题意画出符合题意的图形，数形结合进行分析.
2.对于三角形全等的性质及判定的问题，由于已知条件的不确 定或开放性问题，常用到分类讨论思想.
3.三角形全等是证明线段相等、角相等最常用的方法.证明线 段(或角)相等往往转化为证明线段(或角)所在的两个三角形全等.
第18课时 全等三角形
1.理解全等三角形的概念. 2.掌握两个三角形全等的判定方法. 3.了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件(题设)和 结论.了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成 立，其逆命题不一定成立.
1.__能__够__完__全__重__合____的两个三角形叫作全等三角形. 2.三角形全等的判定方法有：__S_S__S__、__S_A__S__、__A_A__S__、 __A__S_A___.直角三角形全等的判定除以上的方法还有 HL. 3.全等三角形的性质：全等三角形对应边__相__等____，对应角 __相__等____.
①∠ABC＝∠ADC. ②AC 与 BD 相互平分. ③AC，BD 分别平分四边形 ABCD 的两组对角. ④四边形 ABCD 的面积 S＝21AC·BD.
正确的是__________.(填写所有正确结论的序号) 答案：①④
全等三角形总复习知识框架汇总ppt课件
∴∠AED＝2∠C
又∵AC=AB+BD
∴∠B＝2∠C
∴CE=DE
根据等腰三角形的两个底角相等 ∴∠C＝∠EDC
2020/3/25
23
四、小结：
1、全等三角形识别思路：
已知两边
找夹角（SAS） 找第三边（SSS） 已知两角 找直角（HL）
找夹边（ASA） 找一角的对边（AAS）
（边与角相对） 找任一角（AAS）
B
D
即∠BCE=∠DCA
C
在△ACD和△BCE中
AC=BC
∠BCE=∠DCA
DC=EC
∴ △ACD≌△BCE (SAS)
∴ BE=AD
2020/3/25
16
7. 如图A、B、C在一直线上，△ABD，△BCE都是等边三 角形，AE交BD于F，DC交BE于G，求证：BF＝BG。
AB ＝ DB
∠ABE ＝ ∠ DBC
A
B
思路2：
已知一边一角 （边与角相对）
D
∠CAB=∠DAB
找任一角 或者
（AAS）
∠CBA=∠DBA
9
如图，已知∠1= ∠2，要识别△ABC≌ △CDA， 需要添加的一个条件是-----------------
D
C
2
1
ABBiblioteka 思路3： 已知一边一角（边与角相邻）：
找夹这个角的另一边
AD=CB （SAS）
已知一边一角
找夹这个角的另一边（SAS）
（边与角相邻） 找夹这条边的另一角（ASA）
找边的对角（AAS）
注意：１、“分别对应相等”是关键； ２、已知两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等。
【中考数学总复习】第18课时 全等三角形 课件
概念 全等三角形的性质
全等三角形
全等三角形 的判定
判定定理 三角形全等的证明思路
考点 1 全等三角形的概念及性质
1. 概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 2. 全等三角形的性质 (1)全等三角形的对应边__相__等____,对应角___相__等___． (2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高线、中位线)相等,周长 __相__等____,面积____相__等__．
2. 寻找等边的常用方法： (1)角平分线上的点到角两边的距离相等；(2)有公共边的,公共边常是对应边,若仅 有一部分公共边,可考虑运用线段的和差寻找等边；(3)特殊几何图形中隐含的条件( 如：等腰三角形两腰相等；等边三角形三边相等；平行四边形、矩形对边相等； 菱形、正方形四边相等)；(4)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；(5) 涉及中点、中位线时可得到线段相等．
∵∠DAC＋∠ACD＝90°,∠BCE＋∠ACD＝90°, ∴∠DAC＝∠ECB.
第3题图
在△ADC和△CEB中,
∠DAC＝∠ECB
∠A DC＝∠CE B ，
AC＝BC
∴△ADC≌△CEB(AAS), ∴BE＝CD.
图示
模型四 旋转型 类型一 不共顶点旋转型
总结
所给图形是一个中心对称图形,一个三角形绕中心对称点旋 转180°,则可得到另一个三角形,两个三角形有一组边共线,这 一组边同时加(减)公共(或这组边中间的一条)线段,构造线段
典例“串”考点
模型一 平移型
图示
总结
此模型的特征是有一组边共线或部分重合,另两组边分别平行,常 要在移动方向上加(减)公共线段,构造线段相等,或利用平行线性
质找到对应角相等
全等三角形全章复习课件
全等三角形专题一 全等三角形基本性质【知识点1】能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
（两个三角形全等是指两个三角形的大小和形状完全一样，与他们的位置没有关系。
）【知识点2】两个三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做 对应边；重合的角叫做对应角。
【知识点3】 全等三角形的对应边相等，对应角相等。
（由定义还可知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线和高相等，对应角的角平分线相等）【例题1】如图，已知图中的两个三角形全等，填空：(1)AB 与 是对应边，BC 与 是对应边， CA 与 是对应边； (2)∠A 与 是对应角，∠ABC 与 是对应角，∠BAC 与 是对应角 【方法总结】在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法。
(1)有公共边的，公 共边一定是对应边； (2)有公共角的，公共角一定是对应角； (3)有对顶角的，对顶角是对应角；(4)在两个全等三角形中，最长的边对最长的边，最短的边对最短的边，最大的角对最大的角，最小的角对最小的角。
【练习1】 如图，图中有两对三角形全等，填空：DABCOE ABCDCABB 'A '【例题2】已知图2中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）A.72°B.60°C.58°D.50°【例题3】如图，若111ABC A B C △≌△，且11040A B ∠=∠=°，°，则1C ∠＝ ．【练习1】如图，ACB A C B '''△≌△，BCB ∠'＝30°，则ACA '∠的度数为（ ） A 20° B ．30° C ．35° D ．40°【练习2】如图，△ABD 绕着点B 沿顺时针方向旋转90°到△EBC ， 且∠ABD ＝90°。
（1）△ABD 和△EBC 是否全等？如果全等，请指出对应边与对应角。
全等三角形单元复习(一线三等角模型)课件 (共18张PPT)2023-2024学年人教版八年级上学期
CF⊥AP于点F.
（1）求证:CF=BE+EF；
（2）连接BF，BE=3,CF=9,
求∆BFE的面积.
感谢聆听
S∆BMC:S∆ABO.
D
图2
C
课堂小结
分层作业
必做题：1、如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D、E、
F分别在AB、BC、AC边上，BE=CF，且∠B=∠DEF，
求证：DB=EC.
选做题：2.如图，在∆ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
P在BC靠近B处,连接AP，线段BE⊥AP于点E，线段
当AB=BC时,求证:∆ABD≌∆BCE .
A
C
D
B
E
第3关
第2关
第1关
第二关
变式1.如图，D、A、E三点都在直线m上，若
∠1=∠2=∠3，且BA=CA，求证：DE=BD+CE.
第二关
变式2.如图，在∆ABC中，∠B=∠C，BE=CF，
且∠AEF=∠B，求证：AC=EC.
第3关
第2关
第1关
第三关
全等三角形 AAS定理
一线三等角模型
学习目标
1.经历观察、分析、归纳的学习过程，归纳整理出
“一线三等角”图形的基本特征；
2.能在不同背景中提取基本模型，并运用其解决问题；
3.在学习过程中感受几何直观图形对几何学习的
重要性.
创设情境，探究1.如图，AD⊥DE，CE⊥ED，∠ABC=90°，
探究2.如图，CA⊥BP，DB⊥BP，
∠DPC=90°，且CP=DP，AC=4，
BD=3，求AB的长.
明晰概念，归纳模型
应用模型，解决问题
（1）求证:CF=BE+EF；
（2）连接BF，BE=3,CF=9,
求∆BFE的面积.
感谢聆听
S∆BMC:S∆ABO.
D
图2
C
课堂小结
分层作业
必做题：1、如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D、E、
F分别在AB、BC、AC边上，BE=CF，且∠B=∠DEF，
求证：DB=EC.
选做题：2.如图，在∆ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
P在BC靠近B处,连接AP，线段BE⊥AP于点E，线段
当AB=BC时,求证:∆ABD≌∆BCE .
A
C
D
B
E
第3关
第2关
第1关
第二关
变式1.如图，D、A、E三点都在直线m上，若
∠1=∠2=∠3，且BA=CA，求证：DE=BD+CE.
第二关
变式2.如图，在∆ABC中，∠B=∠C，BE=CF，
且∠AEF=∠B，求证：AC=EC.
第3关
第2关
第1关
第三关
全等三角形 AAS定理
一线三等角模型
学习目标
1.经历观察、分析、归纳的学习过程，归纳整理出
“一线三等角”图形的基本特征；
2.能在不同背景中提取基本模型，并运用其解决问题；
3.在学习过程中感受几何直观图形对几何学习的
重要性.
创设情境，探究1.如图，AD⊥DE，CE⊥ED，∠ABC=90°，
探究2.如图，CA⊥BP，DB⊥BP，
∠DPC=90°，且CP=DP，AC=4，
BD=3，求AB的长.
明晰概念，归纳模型
应用模型，解决问题
中考数学复习方案 第四单元 三角形 第18课时 全等三角形数学课件
图18-8
解:(1)证明:∵线段AC绕点A旋转到AF的位置,∴AC=AF.
∵∠CAF=∠BAE,
∴∠CAF+∠CAE=∠BAE+∠CAE,
即∠EAF=∠BAC.
在△ABC和△AEF中,AB=AE,∠BAC=∠EAF,AC=AF,
∴△ABC≌△AEF(SAS),∴EF=BC.
例1[2019·苏州]如图18-8,△ABC中,点E在BC边上,AE=AB,将线段AC绕点A旋转到
AF的位置,使得∠CAF=∠BAE.连接EF,EF与AC交于点G.
(2)若∠ABC=65°,∠ACB=28°,求∠FGC的度数.
图18-8
(2)∵AE=AB,∴∠AEB=∠ABC=65°.
∵△ABC≌△AEF,
∴∠AEF=∠ABC=65°,
∴∠FEC=180°-∠AEB-∠AEF=180°-65°-65°=50°.
可能一个是锐角三角形,一个是钝角三角形,所以不一定全等.故选:A.
7.如图18-6,有Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=6,线段PQ=AB,P,Q两点分别在AC
和过点A且垂直于AC的射线AX上运动,要使△ABC和△PQA全等,则AP= 6或12 .
图18-6
考向 全等三角形的性质及判定
1.全等三角形的判定方法
对应相等的元素
三角形是否全等
两边
两边及其夹角
全等(SAS)
一角
两边及其中一边的对角
不一定全等
一般
两角
两角及其夹边
全等(ASA)
三角形
一边
两角及其中一角的对边
全等(AAS)
三角
不一定全等
三边
全等(SSS)
（续表）
全等三角形判定复习课(精品公开课)ppt课件
1 A
2
下列条件:①A①BA=BA=EA,②E
D
BC=ED,③∠C=∠D,④
在ΔABC和ΔAED中
∠B=∠E,其中能使
AC=AD
ΔABC≌ΔAED的条件有
∠BAC=∠EAD
( )个. A.4 B.3 C.2 D.1
AB=AE
∴ΔABC≌ΔAED(SAS)
可编辑课件PPT
12
C
E
例2 (2006湖北十堰):如图, 已知∠1=∠2,AC=AD,增加 B
1 A
2
下列条件:①AB=AE,②
D
BC=ED,③∠C=∠D,④
在ΔABC和ΔAED中
∠∠BB=∠=∠EE,其, 中能使
AC=AD
ΔABC≌ΔAED的条件有
∠BAC=∠EAD
( )个.
A.4 B.3 C.2 D.1
∠B=∠E
∴ΔABC≌ΔAED(AAS)
可编辑课件PPT
15
例3 (2007金华):如图,
AB=A’B’
BC=B’C’
B
C B’
C’
AC=A’C’
全等三角形对应边相等，对应角相等
可编辑课件PPT
3
三、全等三角形的判定
1、判定1：两边和它们的夹角对应 相等的两个三角形全等。简称“边 角边 ”（SAS）。 2、判定2：两角和它们的夹边对应 相等的两个三角形全等。简称“角 边 角”（ASA）
可编辑课件PPT
16
∵AB=CD(已知) ∴ AB+BC=CD+BC, 即
AC=BD.
知,AB=CD,CE=DF,AE=BF, 在ΔACE和ΔBDF中
则AE∥BF吗?为A 什么?
中考数学复习(福建专版 ) 第18课时 全等三角形
(图8)
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠ABD＝∠ACD＝90°，∴∠DBF′＝90°＝∠DCF. 又∵DB＝DC，BF′＝CF，∴△DBF′≌△DCF(SAS)， ∴DF′＝DF，∠BDF′＝∠CDF， ∴易得∠EDF′＝∠EDF＝60°， ∴△EDF′≌EDF(SAS)，∴EF′＝EF. ∵EF′＝BE＋BF′＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF.
∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF.
在△ABC和△DEF中，AABC＝ ＝DDEF， ， BC＝EF，
(图1)
∴△ABC≌△DEF(SSS)．∴∠A＝∠D.
轴对称型
公共边BC
公共角∠CAB
公共边AC
公共角∠A
∠AOC＝∠BOD(对顶角相等)
例2 【2021福建8分】如图2，在△ABC中，D是边BC上 的点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且 DE＝DF，CE＝BF.求证：∠B＝∠C.
2．全等三角形的判定思路： 找夹角→SAS
(1)已知两边找直角→HL或SAS 找第三边→SSS 边为角的对边→找任意一角→AAS
(2)已知一边和一角 边 的为 邻角 边找 找 找已 已 已知 知 知角 边 边的 的 的另 另 对一 一 角邻 邻→边 角 AA→ →SSAASSA
(3)已知两角
找夹边→ASA 找其中一角的对边→AAS
例7 【2019福建8分】如图7，点E，F分别是矩形ABCD 的边AB，CD上的一点，且DF＝BE.求证：AF＝CE.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠B＝90°，AD＝CB，
在△ADF和△CBE中，A∠ DDFD＝ ＝＝CB∠BE， ，B，
(图7)
∴△ADF≌△CBE(SAS)，∴AF＝CE.
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10.如图1-12-18-14，AD为∠BAC的平分线，DF⊥AC于点F，∠B=90°， DE=DC，试说明：BE=CF． 解：∵∠B=90°，∴DB⊥AB． ∵AD为∠BAC的平分线，且DF⊥AC，∴DB=DF． 在Rt△BDE和Rt△FDC中，
DE=DC, DB=DF, ∴Rt△BDE≌Rt△FDC（HL）.∴BE=CF．
D．尺规作图：作一个角等于已知 角.
E．尺规作图：作一个角的平分线.
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典型例题
知识点1：三角形全等的判定
【例1】如图1-12-18-2，点C是BE的中点，AB=DC，∠B=∠DCE．求证：
△ABC≌△DCE．
证明：∵点C是BE的中点，∴BC=CE. 在△ABC和△DCE中，
AB=DC， ∠B=∠DCE， BC=CE， ∴△ABC≌△DCE（SAS）．
（ D） A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
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9.如图1-12-18-13，点E，A，C在同一条直线上，AB∥CD，AB=CE，
AC=CD，求证：∠B=∠E．
证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ECD. 在△ABC和△CED中，
AB=CE， ∠BAC=∠ECD， AC=CD， ∴△ABC≌△CED（SAS）. ∴∠B=∠E．
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典型例题 知识点4：尺规作图——作一个角等于已知角，作角平分线 【例4】 如图1-12-18-8，已知∠AOB，求作一个角，使它等于2∠AOB. （不写作法，保留作图痕迹） 作图略.
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变式训练 4. 如图1-12-18-9，在△ABC中，∠C=90°，∠B=40°． （1）请你用尺规作图，作AD平分∠BAC，交BC于点D;（要求：保留作图 痕迹） 解：（1）作图略
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12. 如图1-12-18-16，在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BAE=∠BCE=
∠ACD=90°，且BC=CE．求证：AD=AE+AB． 证明：∵∠BCE=∠ACD=90°，∴∠3+∠4=∠4+∠5. ∴∠3=∠5.在△ACD中，∠ACD=90°，∴∠2+∠D=90°. ∵∠BAE=∠1+∠2=90°，∴∠1=∠D. 在△ABC和△DEC中， ∠1=∠D, ∠3=∠5, BC=EC, ∴△ABC≌△DEC（AAS）．∴AB=DE.∴AD=AE+DE=AE+AB．
点E，DE=4，BC=9，则BD的长为
（ B）
A．6
B．5
C．4
D．3
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B组 7. 如图1-12-18-11，AB=AC，DB=DC，则下列结论不一定成立的是（ C ） A．AD⊥BC B．∠BAD=∠CAD C．AD=BC D．∠ABD=∠ACD
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8. 如图1-12-18-12，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳 子测量A，B间的距离，如图所示的这种方法，是利用了三角形全等中的
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C组
11. 如图1-12-18-15，在△ABC中，∠B=∠C，点D,E,F分别在边AB,BC,
AC上，且BD=CE，∠DEF=∠B．求证：ED=EF． 证明：∵∠CED是△BDE的外角， ∴∠CED=∠B+∠BDE.∵∠DEF=∠B，∴∠BDE=∠CEF. 在△BDE与△CEF中，
∠B=∠C, BD=CE, ∠BDE=∠CEF, ∴△BDE≌△CEF（ASA）.∴DE=EF．
∠ABD=90°，AB=BD，试证明:AC+DE=CE．
证明：∵∠ABD=90°，AC⊥CB，DE⊥BE， ∴∠ABC+∠DBE=∠ABC+∠A.∴∠A=∠DBE. 在△ABC与△BDE中，
∠C=∠E=90°, ∠A=∠DBE, AB=BD, ∴△ABC≌△BDE（AAS）.∴AC=BE，BC=DE.∴AC+DE=BC+BE=CE．
（2）∠ADC的度数为____6_5_°____．
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分层训练
A组
45. 已知△ABC≌△A1B1C1，A和A1对应，B和B1对应，∠A=70°，∠B1=
50°，则∠C的度数为
（D ）
A．70°
B．50°
C．120°
D．60°
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6. 如图1-12-18-10，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于
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典型例题 知识点3：角的平分线的性质和判定 【例3】如图1-12-18-6，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为 点D，若PD=4，则点P到边OA的距离是__4___.
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变式训练 3. 如图1-12-18-7，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为点M,N．PM=PN，若 ∠BOC=30°，则∠AOB=____6_0_°____.
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变式训练
1. 如图1-12-18-3，AD∥BC，∠1=∠2，求证：△ABD≌△CDB．
证明：∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBD. 在△ABD和△CDB中，
DB=BD， ∠ADB=∠CBD， ∠2=∠1， ∴△ABD≌△CDB（ASA）.
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典型例题
知识点2：利用全等三角形的性质证明 【例2】 如图1-12-18-4，在△ABC中，BD=CD，∠1=∠2，求证：AD是 ∠BAC的平分线．
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第一部分 新课内容
第十二章 全等三角形
第18课时 全等三角形单元复习课
目录
01 知识点导学 02 典型例题 03 变式训练 04 分层训练
知识思点维导导学图
A．全等三角形的定义及性质. B.三角形全等的判定方法. C.角的平分线的性质和判定.
1. 如图1-12-18-1，△ABC中， AB=AC，点D，E在边BC上，请你添 加一个条件_B_D_=_C_E_（__答__案__不__唯__一__）_， 使△ABD与△ACE全等．
证明：∵BD=DC，∴∠DBC=∠DCB.∵∠1=∠2， ∴∠ABC=∠ACB.∴AB=AC.在△ABD与△ACD中,
AB=AC, ∠1=∠2, BD=CD, ∴△ABD≌△ACD（SAS）.∴∠BAD=∠CAD.∴AD是∠BAC的平分线．2-18-5,点C,B,E在同一直线上，AC⊥CB，DE⊥BE，