高考二轮数学人教版课件：第2部分 专题4理 第2讲 统计与统计案例
第二部分 专题四 概率与统计(理科)
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对于选项C：2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长 率为30%，所以C是正确的；
对 于 选 项 D,1,2,3,4 月 收 入 的 同 比 增 长 率 分 别 为 55%,30%,60%,42%，并不是逐月增长，D错误．
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(4)方差与标准差 方差：s2＝1n[(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋…＋(xn－ x )2]． 标准差：s＝ n1[x1－ x 2＋x2－ x 2＋…＋xn－ x 2].
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【解析】 由题意平均数 x ＝15(8－4－1＋0＋2)＝1，所以方差s2＝15 [(8－1)2＋(－4－1)2＋(－1－1)2＋(0－1)2＋(2－1)2]＝16．
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4．(2020·亭湖区校级一模)若样本a1、a2、a3的方差是2，则样本 2a1＋3,2a2＋3,2a3＋3的标准差是__2__2__.
“摄影协会”的人数为
(C)
A．10Байду номын сангаас
B．20
C．50
D．100
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【解析】 由题意知从“摄影协会”抽取的人数为 5＋25＋3×20＝10， 因为每个人被抽取的概率为0.2， 故该校“摄影协会”的人数为01.02＝50． 故选C．
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5．(2019·绵阳二诊)下图所示的茎叶图记录的是甲、乙两个班各5
名同学在一次数学小测试中的选择题总成绩(每道题5分，共8道
题)．已知两组数据的中位数相同，则m的值为
( D)
A．0
B．2
C．3
D．5
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【解析】 样本a1、a2、a3的方差是2，设平均数为 x ，
则样本2a1＋3,2a2＋3,2a3＋3的平均数为2 x ＋3，
方差s2＝13[(2a1－2 x )2＋(2a2－2 x )2＋(2a3－2 x )2]， ＝13×4[(a1－ x )2＋(a2－ x )2＋(a3－ x )2]＝4×2＝8． 故样本2a1＋3,2a2＋3,2a3＋3的标准差为：2 2.
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第2讲 统计与统计案例
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1．抽样方法、样本的数字特征、统计图表主要以选择题、填空 题形式命题，难度较小．
2．注重知识的交汇渗透，统计与概率，回归分析、独立性检验 与概率是近年命题的热点．
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【解析】 (1)对于选项A：2019年1～4月的业务量，3月最高，2 月最低，
差值为4 397－2 411＝1 986，接近2 000万件， 所以A是正确的； 对 于 选 项 B ： 2019 年 1 ～ 4 月 的 业 务 量 同 比 增 长 率 分 别 为 55%,53%,62%,58%，均超过50%，在3月最高， 所以B是正确的；
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(2)∵甲、乙、丙三个车间的数量之比依次为120︰80︰60＝6︰4︰ 3，
现用分层抽样的方法抽出的样本中乙车间抽4件， ∴由分层抽样性质，得： 6＋44＋3＝n4， 解得n＝13． 故选D．
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方程^y＝b^x＋a^称为线性回归方程，其中
n
b^＝∑ i＝1xniyi－n x
y ，
∑x2i －n x 2
i＝1
a^＝ y －b^ x ；( x ， y )称为样本点的中心．
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2．随机变量 K2＝a＋a＋bb＋c＋c＋dda＋adc－bb＋cd2 (K2也可表示为x2)． 若K2＞3.841，则有95%的把握说两个事件有关； 若K2＞6.635，则有99%的把握说两个事件有关．
考点一 抽样方法
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抽样方法主要有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种，这三 种抽样方法各自适用不同特点的总体，但无论哪种抽样方法，每一个 个体被抽到的概率都是相等的，都等于样本容量和总体容量的比值．
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典例1 (1)(2020·中卫三模)某学校为落实学生掌握社会主
义核心价值观的情况，用系统抽样的方法从全校2 400名学生中抽取30
人进行调查．现将2 400名学生随机地从1～2 400编号，按编号顺序平
均分成30组(1～80号，81～160号，…，2 321～2 400号)，若第3组抽
出的号码为176，则第6组抽到的号码是
(A)
A．416
B．432
C．448
D．464
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1．(2020·福田区校级模拟)某校举行“我和我的祖国”文艺汇演，
需征集20名志愿者参与活动服务工作，现决定采取分层抽样的方式从
“摄影协会”、“记者协会”、“管理爱好者协会”中抽取，已知三
个协会的人数比为5︰2︰3，且每个人被抽取的概率为0.2，则该校
(D )
A．9
B．10
C．12
D．13
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【解析】 (1)样本间隔为2 400÷30＝80， 设首个号码为x，则第三个号码为x＋160， 则x＋160＝176，解得x＝16， 则第6组抽到的号码为16＋80×5＝400＋16＝416， 故选A．
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解决抽样问题的方法
(1)解决此类题目的关键是深刻理解各种抽样方法的特点和适用范
围．
(2)在系统抽样的过程中，要注意分段间隔，需要抽取n个个体，样
本就需要分成n个组，则分段间隔为
N n
(N为样本容量)，首先确定在第一
组中抽取的个体的号码，再从后面的每组中按规则抽取每个个体．
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考向1 样本的数字特征 典例2 (2020·唐山二模)某科考试成绩公布后，发现判错
一道题，经修改后重新公布，如表是抽取10名学生的成绩，依据这些
信息修改后的成绩与修改前的相比，这10名学生成绩的
(D )
学生学号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
修改前成绩 126 130 104 100 133 123 100 120 139 103
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(2)(2020·太原模拟)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，
数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显
著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中
从乙车间的产品中抽取了4件，则n＝
故选D．
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关于平均数、方差的计算 样本数据的平均数与方差的计算关键在于准确记忆公式，要特别 注意区分方差与标准差，不能混淆，标准差是方差的算术平方根．
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3．(2020·广陵区校级模拟)某地区连续5天的最低气温(单位：℃) 依次为8，－4，－1,0,2，则该组数据的方差为__1_6__.
故选D．
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(2)根据频率分布直方图得出众数落在第三组[80,90)内，
所以众数为80＋2 90＝85；
含量在[60,70)之间的频率为0.1，
含量在[70,80)之间的频率为0.2，
含量在[80,90)之间的频率为0.4，
根据概率和为1，可得含量在[90,100)之间的频率为0.3，
A．15
B．16
C．17
( C) D．18
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【解析】 由系统抽样法知，按编号依次每30个编号作为一组， 共分50组，
高二学生编号为496到985，在第17组到33组内， 第17组编号为16×30＋23＝503，为高二学生， 第33组编号为32×30＋23＝983，为高二学生， 故所抽样本中高二学生的人数为33－17＋1＝17． 故选C．
又经计算修改前的方差为
1 10
(8.22＋12.22＋13.82＋17.82＋15.22＋5.22
＋17.82＋2.22＋21.22＋14.82)＝197.16
修改后的方差为
1 10
(8.22＋17.22＋18.82＋17.82＋20.22＋5.22＋22.82＋
2.22＋26.22＋19.82)＝307.16，
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考向2 统计图表
典例3 (1)(2019·广东百校联考)如图1为某省2019年1～4
月快递业务量统计图，图2是该省2019年1～4月快递业务收入统计图，
下列对统计图理解错误的是
()
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高考数学大二轮复习 第二部分 专题4 概率与统计 第1讲 统计与统计案例课件 文.ppt
A．互联网行业从业人员中 90 后占一半以上 B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20% C．互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多 D．互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多 解析：A 选项，可知 90 后占了 56%，故正确；B 选项，仅 90 后从事技术岗位的人数 占总人数比为 0.56×0.396＝0.22176 超过 20%，故正确；C 选项，可知 90 后明显比 80 前多，故正确；D 选项，因为技术所占比例 90 后和 80 后不清楚，所以不一定多，故 错误．故选 D.
5
5
(xi－ x )(yi－ y )＝－19.2， (xi－ x )2＝1 000，
i＝1
i＝1
n
xi－ x yi－ y
i＝1
得^b＝
＝－0.019 2，
5
xi－ x 2
i＝1
^a＝ y －^b x ＝0.976， 所以 y 关于 x 的回归直线方程为 y＝－0.019 2x＋0.976.
(2)能把保费 x 定为 5 元． 理由如下：若保费 x 定为 5 元，则估计 y＝－0.019 2×5＋0.976＝0.88， 估计该手机厂商在这次活动中因销售该“手机碎屏险”产生的利润为 2 000 000×0.88×5－2 000 000×0.88×0.2%×2 000－1 000×1 000 ＝0.76×106(元)＝76(万元)>70(万元)， 所以能把保费 x 定为 5 元．
运员工中有一个编号为 025，那么以下编号中不是幸运员工编号的是( )
A．007
B．106
C．356
D．448
解析：由题意，根据系统抽样，可得抽样间距为45500＝9，又由 25＋9n＝356 无正整数
2021届高考数学(新课改版)二轮专题四概率与统计第2讲统计、统计案例课件
2021届高考数学（新课改版）二轮专 题四概 率与统 计第2讲 统计、 统计案 例课件
甲分厂产品等级的频数分布表
等级
A
B
C
频数
40
20
20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 频数
A
B
C
28
17
34
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D 20
D 21
(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品 的概率；
(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利 润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？
30
0
－70
频数
28
17
34
21
因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为
70×28＋30×1170＋00×34－70×21＝10.
比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接
加工业务．
2021届高考数学（新课改版）二轮专 题四概 率与统 计第2讲 统计、 统计案 例课件
2021届高考数学（新课改版）二轮专 题四概 率与统 计第2讲 统计、 统计案 例课件
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[例1] (2020·全国卷Ⅰ)某厂接受了一项加工业务，加工 出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级．加 工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收 取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原 料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲 分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂 家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了 100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
的众数为 3 000，
新课标高考数学二轮讲义：第二部分专题四 第2讲 统计与统计案例 Word版含解析
第2讲统计与统计案例[做真题]题型一抽样方法与总体分布的估计1．(·高考全国卷Ⅱ)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是()A．中位数B．平均数C．方差D．极差解析：选A.记9个原始评分分别为a，b，c，d，e，f，g，h，i(按从小到大的顺序排列)，易知e为7个有效评分与9个原始评分的中位数，故不变的数字特征是中位数，故选A.2．(·高考全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是()A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半解析：选A.法一：设建设前经济收入为a，则建设后经济收入为2a，则由饼图可得建设前种植收入为0.6a，其他收入为0.04a，养殖收入为0.3a.建设后种植收入为0.74a，其他收入为0.1a，养殖收入为0.6a，养殖收入与第三产业收入的总和为1.16a，所以新农村建设后，种植收入减少是错误的．故选A.法二：因为0.6<0.37×2，所以新农村建设后，种植收入增加，而不是减少，所以A是错误的．故选A.3．(·高考全国卷Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．解：(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35.b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.题型二变量间的相关关系、统计案例(·高考全国卷Ⅲ)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如图所示的茎叶图：(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m 不超过m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），解：(1)第二种生产方式的效率更高．理由如下：(ⅰ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟．因此第二种生产方式的效率更高．(ⅱ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟．因此第二种生产方式的效率更高．(ⅲ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟．因此第二种生产方式的效率更高．(ⅳ)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布．又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少．因此第二种生产方式的效率更高．(2)由茎叶图知m ＝79＋812＝80.列联表如下：(3)由于K 2＝40×（15×15－5×5）220×20×20×20＝10＞6.635，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．[山东省学习指导意见]1．随机抽样理解随机抽样的必要性和重要性，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法．2．用样本估计总体(1)在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点．(2)理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释．(3)会用样本估计总体的思想，会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；初步体会样本频率分布和数字特征的随机性．3．统计案例(1)通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系．知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，并能初步应用．(2)通过对典型案例(如“肺癌与吸烟有关吗”等)的探究，了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及初步应用．用样本估计总体[典型例题](·广东六校第一次联考)某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程R(单位：千米)的行业标准，予以地方财政补贴，其补贴标准如下表：底某部门随机调查该市1 000辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程R，得到频率分布直方图如上图所示，用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题：(1)求该市每辆纯电动汽车地方财政补贴的均值；(2)某企业统计其充电站100天中各天充电车辆数，得如下频数分布表：(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，国家出台政策，将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来，该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备．现有直流、交流两种充电桩可供购置，直流充电桩5万元/台，每台每天最多可以充电30辆车，每天维护费用500元/台；交流充电桩1万元/台，每台每天最多可以充电4辆车，每天维护费用80元/台．该企业现有两种购置方案：方案一，购买100台直流充电桩和900台交流充电桩；方案二，购买200台直流充电桩和400台交流充电桩．假设车辆充电时优先使用新设备，且充电一辆车产生25元的收入，用的统计数据，分别估计该企业在两种方案下新设备产生的日利润(日利润＝日收入－日维护费用)．【解】(1)依题意可得纯电动汽车地方财政补贴的分布列为4.5×0.3＝3.95(万元)．(2)由频数分布表得每天需要充电车辆数的分布列为若采用方案一，30×100＋4×900＝6 600，可得实际充电车辆数的分布列为25×(6 000×0.2＋6 600×0.8)－500×100－80×900＝40 000(元)．若采用方案二，200台直流充电桩和400台交流充电桩每天可充电车辆数为30×200＋4×400＝7 600，可得实际充电车辆数的分布列为概率0.2 0.3 0.525×(6 000×0.2＋7 000×0.3＋7 600×0.5)－500×200－80×400＝45 500(元)．(1)统计中的5个数据特征①众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据．②中位数：样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数．③平均数：样本数据的算术平均数，即x －＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )．④方差与标准差：s 2＝1n [(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]；s ＝1n[（x 1－）2＋（x 2－）2＋…＋（x n －）2]. (2)从频率分布直方图中得出有关数据的技巧①频率：频率分布直方图中横轴表示组数，纵轴表示频率组距，频率＝组距×频率组距.②频率比：频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，因为在频率分布直方图中组距是一个固定值，所以各小长方形高的比也就是频率比，从而根据已知的几组数据个数比求有关值．③众数：最高小长方形底边中点的横坐标．④中位数：平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标． ⑤平均数：频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和． ⑥性质应用：若纵轴上存在参数值，则根据所有小长方形的高之和×组距＝1，列方程即可求得参数值．[对点训练]1．(·武昌区调研考试)对参加某次数学竞赛的1 000名选手的初赛成绩(满分：100分)作统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)根据直方图完成以下表格；(3)如果从参加初赛的选手中选取380人参加复赛，那么如何确定进入复赛选手的成绩？ 解：(1)填表如下：(2)平均数为55×0.05＋65×0.15＋75×0.35＋85×0.35＋95×0.1＝78，方差s 22×0.05＋(－13)2×0.15＋(－3)2×0.35＋72×0.35＋172×0.1＝101.(3)进入复赛选手的成绩为80＋350－（380－100）350×10＝82(分)，所以初赛成绩为82分及其以上的选手均可进入复赛．(说明：回答82分以上，或82分及其以上均可)2．(·昆明市诊断测试)《中国大能手》是央视推出的一档大型职业技能挑战赛类的节目，旨在通过该节目，在全社会传播和弘扬“劳动光劳、技能宝贵、创造伟大”的时代风尚．某公司准备派出选手代表公司参加《中国大能手》职业技能挑战赛．经过层层选拔，最后集中在甲、乙两位选手在一项关键技能的区分上，选手完成该项挑战的时间越少越好．已知这两位选手在15次挑战训练中，完成该项关键技能挑战所用的时间(单位：秒)及挑战失败(用“×”表示)的情况如表1：据表1中甲、乙两位选手完成该项关键技能挑战所用时间的数据，应用统计软件得表2：(1)在表1中，从选手甲完成挑战用时低于90秒的成绩中，任取2个，求这2个成绩都低于80秒的概率；(2)若该公司只有一个参赛名额，以完成该项关键技能挑战所用时间为标准，根据以上信息，判断哪位选手代表公司参加职业技能挑战赛更合适？请说明你的理由．解：(1)选手甲完成挑战用时低于90秒的成绩共有6个，其中低于80秒的成绩有3个，分别记为A1，A2，A3，其余的3个分别记为B1，B2，B3，从6个成绩中任取2个的所有取法有：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1B3，A2A3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，B1B2，B1B3，B2B3，共5＋4＋3＋2＋1＝15(种)，其中2个成绩都低于80秒的有A1A2，A1A3，A2A3，共3种，所以所取的2个成绩都低于80秒的概率P＝315＝1 5.(2)甲、乙两位选手完成关键技能挑战的次数都为10，挑战失败的次数都为5，所以只需要比较他们完成关键技能挑战的情况即可，其中x－甲＝85(秒)，x－乙＝84(秒)，s2甲＝50.2，s2乙＝54.答案①：选手乙代表公司参加职业技能挑战赛比较合适，因为在相同次数的挑战中，两位选手在关键技能挑战的完成次数和失败次数都分别相同，但x－甲>x－乙，乙选手平均用时更短．答案②：选手甲代表公司参加职业技能挑战赛比较合适，因为在相同次数的挑战中，两位选手在关键技能挑战的完成次数和失败次数都分别相同，虽然x－甲>x－乙，但两者相差不大，水平相当，s2甲<s2乙，表明甲选手的发挥更稳定．答案③：选手乙代表公司参加职业技能挑战赛比较合适，因为在相同次数的挑战中，两位选手在关键技能挑战的完成次数和失败次数都分别相同，但x乙<x甲，乙选手平均用时更短，从表1中的数据整体看，甲、乙的用时都逐步减少，s2乙>s2甲，说明乙选手进步幅度更大，成绩提升趋势更好．(答案不唯一，可酌情给分)回归分析[典型例题]命题角度一线性回归分析某地1～10岁男童年龄x i (单位：岁)与身高的中位数y i (单位：cm)(i ＝1，2，…，10)如下表：(2)某同学认为y ＝px 2＋qx ＋r 更适宜作为y 关于x 的回归方程类型，他求得的回归方程是y ^＝－0.30x 2＋10.17x ＋68.07.经调查，该地11岁男童身高的中位数为145.3 cm.与(1)中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？附：回归方程y ^＝a ^＋b ^x 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑ni ＝1（x i －）（y i －）∑ni ＝1（x i －）2，a ^＝y －－b ^x －. 【解】 (1)b ^＝∑10i ＝1（x i －）（y i －）∑10i ＝1 （x i －）2＝566.8582.50≈6.871≈6.87， a ^＝y －－b ^x －＝112.45－6.871×5.5≈74.66， 所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝6.87x ＋74.66.(2)若回归方程为y ^＝6.87x ＋74.66，当x ＝11时，y ^＝150.23. 若回归方程为y ^＝－0.30x 2＋10.17x ＋68.07，当x ＝11时，y ＝143.64. |143.64－145.3|＝1.66<|150.23－145.3|＝4.93，所以回归方程y ^＝－0.30x 2＋10.17x ＋68.07对该地11岁男童身高中位数的拟合效果更好．求回归直线方程的关键及实际应用(1)关键：正确理解计算b ^，a ^的公式和准确地计算．(2)实际应用：在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．命题角度二 非线性回归分析某机构为研究某种图书每册的成本费y (单位：元)与印刷数量x (单位：千册)的关系，收集了一些数据并进行了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值．表中u i ＝1x i ，u ＝18∑i ＝1u i.(1)根据散点图判断：y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋dx 哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费y (单位：元)与印刷数量x (单位：千册)的回归方程？(只要求给出判断，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程(回归系数的结果精确到0.01)；(3)若该图书每册的定价为10元，则至少应该印刷多少册才能使销售利润不低于78 840元？(假设能够全部售出，结果精确到1)附：对于一组数据(w 1，v 1)，(w 2，v 2)，…，(w n ，v n )，其回归直线v ^＝α^＋β^w 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑ni ＝1 （w i －）（v i －）∑ni ＝1（w i －）2，α^＝v －－β^w －. 【解】 (1)由散点图判断，y ＝c ＋dx 更适合作为该图书每册的成本费y (单位：元)与印刷数量x (单位：千册)的回归方程．(2)令u ＝1x ，先建立y 关于u 的线性回归方程，由于d ^＝∑8i ＝1（u i －）（y i －）∑8i ＝1 （u i －）2＝7.0490.787≈8.957≈8.96， 所以c ^＝y －－d ^·u －＝3.63－8.957×0.269≈1.22， 所以y 关于u 的线性回归方程为y ^＝1.22＋8.96u ， 所以y 关于x 的回归方程为y ^＝1.22＋8.96x.(3)假设印刷x 千册，依题意得10x －⎝⎛⎭⎫1.22＋8.96x x ≥78.840， 解得x ≥10，所以至少印刷10 000册才能使销售利润不低于78 840元．求非线性回归方程的步骤(1)确定变量，作出散点图．(2)根据散点图，选择恰当的拟合函数．(3)变量置换，通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题，并求出线性回归方程．(4)分析拟合效果：通过计算相关指数或画残差图来判断拟合效果．(5)根据相应的变换，写出非线性回归方程．命题角度三回归分析与正态分布的综合问题某地一商场记录了1份某5天当中某商品的销售量y(单位：kg)与该地当日最高气温x(单位：℃)的相关数据，如下表：y 7 8 8 10 12(1)试求y 与x 的回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地1某日的最高气温是6 ℃，试用所求回归方程预测这天该商品的销售量；(3)假定该地1份的日最高气温X ～N (μ，σ2)，其中μ近似取样本平均数x ，σ2近似取样本方差s 2，试求P (3.8<X <13.4)．附：参考公式和有关数据 ⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑ni ＝1x i y i －n ∑n i ＝1x 2i －nx 2＝∑ni ＝1（x i －）（y i －）∑ni ＝1（x i －）2a ^＝－b^，10≈3.2， 3.2≈1.8，若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.682 7，且P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954 5.【解】 (1)由题意，x －＝7，y －＝9，∑ni ＝1x i y i －n x － y －＝287－5×7×9＝－28， ∑ni ＝1x 2i －n x －2＝295－5×72＝50，b ^＝－2850＝－0.56，a ^＝y －－b ^x ＝9－(－0.56)×7＝12.92. 所以所求回归直线方程为y ^＝－0.56x ＋12.92.(2)由b ^＝－0.56<0知，y 与x 负相关．将x ＝6代入回归方程可得， y ^＝－0.56×6＋12.92＝9.56，即可预测当日该商品的销售量为9.56 kg.(3)由(1)知μ≈x －＝7，σ≈s 2≈3.2，所以P (3.8<X <13.4)＝P (μ－σ<X <μ＋2σ)＝12P (μ－σ<X <μ＋σ)＋12P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.818 6.解决与正态分布有关的问题，在理解μ，σ2意义的情况下，记清正态分布的密度曲线是一条关于μ对称的钟形曲线，很多问题都是利用图象的对称性解决的．[对点训练](·山东八所重点中学联考)某部门经统计，客户对不同款型理财产品的最满意度百分比和对应的理财总销售量(单位：万元)如下表(最满意度百分比越高时总销售量越高)：据的散点图如图所示．(1)在5份A 款型理财产品的客户满意度调查资料中只有一份是最满意的，从这5份资料中任取2份，求含有最满意客户资料的概率．(2)我们约定：相关系数的绝对值在0.3以下是无线性相关，在0.3以上(含0.3)至0.75是一般线性相关，在0.75以上(含0.75)是较强线性相关，y 与x 是否达到较强线性相关？若达到，请求出线性回归方程；若没有达到较强线性相关，则采取“末位”剔除制度(即总销售量最少的那一款型产品退出理财销售)，请求在剔除“末位”款型后的线性回归方程(系数精确到0.1)．数据参考计算值：x －y －∑10i ＝1x 2i －10x －2 ∑10i ＝1y 2i －102∑10i ＝1x i y i －10x －·y －288.9参考计算值21.972.1288.9 37.16 452.117.00附：线性相关系数r ＝∑ni ＝1x i y i －n ·∑ni ＝1x 2i －n 2∑ni ＝1y 2i－n 2，回归直线方程y ^＝a ^＋b ^x 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为b ^＝∑n i ＝1x i y i －n ·∑n i ＝1x 2i －n 2，a ^＝y －－b ^x －.解：(1)在5份A 款型理财产品的客户资料中只有1份是最满意的，把最满意客户资料记为a ，其余客户资料记为b ，c ，d ，e .则任取2份资料的基本事件有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，共10个．含有a 的基本事件有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，共4个． 则含有最满意客户资料的概率为410＝25.(2)线性相关系数r ＝∑10i ＝1x i y i －10·∑10i ＝1x 2i －102∑10i ＝1y 2i －102＝452.117×37.16≈0.72∈[0.3，0，75)， 即y 与x 具有一般线性相关关系，没有达到较强线性相关关系． 由“末位”剔除制度可知，应剔除J 款型理财产品， 重新计算得x ′＝10×21.9－139＝2069≈22.89，y －′＝10×72.1－529＝6699≈74.33，∑9i ＝1x 2i－9x －′2＝288.9＋10×21.92－132－9×22.892≈200.43， ∑9i ＝1x i y i －9x －′·y －′＝452.1＋10×21.9×72.1－13×52－9×22.89×74.33≈253.28. b ^＝∑9i ＝1x i y i －9′·′∑9i ＝1x 2i －9′2＝253.28200.43≈1.26≈1.3. a ^＝y －′－b ^x －′＝74.33－1.26×22.89≈45.5. 所求线性回归方程为y ^＝45.5＋1.3x .(注：若用b ^＝1.3计算出a ≈44.6，即y ^＝44.6＋1.3x 不扣分)独立性检验[典型例题](·江西八所重点中学联考)25日，第11届罗马尼亚数学大师赛(简称RMM)于罗马尼亚首都布加勒斯特闭幕，最终成绩揭晓，以色列选手排名第一，而中国队无一人获得金牌，最好成绩是获得银牌的第15名，总成绩排名第6.在分量极重的国际数学奥林匹克(IMO)比赛中，过去拿冠军拿到手软的中国队，已经连续4年没有拿到冠军了．人们不禁要问“中国奥数究竟怎么了？”，一时间关于各级教育主管部门是否应该下达“禁奥令”成为社会讨论的热点．某重点高中培优班共50人，现就这50人对“禁奥令”的态度进行问卷调查，得到如下的列联表：其中认为不应下“禁奥令”的同学共有6人．(1)请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为对下“禁奥令”的态度与性别有关？说明你的理由；(2)现从这10人中抽出2名男生、2名女生，记此4人中认为不应下“禁奥令”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．参考公式与数据：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）【解】 (1)由题意将列联表补充如下：所以K 2＝50×（20×15－5×10）225×25×30×20≈8.333>6.635，所以有99%的把握认为对下“禁奥令”的态度与性别有关．(2)由题意，可知在这10人中，男、女生各5人，其中男生有4人、女生有2人认为不应下“禁奥令”，ξ的所有可能取值有1，2，3，4.P (ξ＝1)＝C 14C 11C 23C 25C 25＝12100；P (ξ＝2)＝C 24C 23＋C 14C 11C 12C 13C 25C 25＝42100； P (ξ＝3)＝C 14C 11C 22＋C 24C 12C 13C 25C 25＝40100； P (ξ＝4)＝C 24C 22C 25C 25＝6100.所以ξ的分布列是所以E (ξ)＝12＋2×42＋3×40＋4×6100＝2.4.独立性检验的关键(1)根据2×2列联表准确计算K2，若2×2列联表没有列出来，要先列出此表．(2)K2的观测值k越大，对应假设事件H0成立的概率越小，H0不成立的概率越大．[对点训练](·武汉市调研测试)，在庆祝中华人民共和国成立70周年之际，又迎来了以“创军人荣耀，筑世界和平”为口号的第七届世界军人运动会(以下简称“军运会”)．据悉，这次军运会将于18日至27日在美丽的江城武汉举行，届时将有来自100多个国家的近万名军人运动员参赛．相对于奥运会、亚运会等大型综合赛事，军运会或许对很多人来说还很陌生，所以武汉某高校为了在学生中更广泛地推介普及军运会相关知识内容，特在网络上组织了一次“我所知晓的武汉军运会”知识问答比赛．为便于对答卷进行对比研究，组委会抽取了1 000名男生和1 000名女生的答卷，他们的成绩(单位：分)频率分布直方图如下：(注：答卷满分100分，成绩≥80的答卷为“优秀”等级)(1)从现有1 000名男生和1 000名女生的答卷中各取一份，分别求答卷成绩为“优秀”等级的概率；(2)求下面列联表中a ，b ，c ，d 的值，并根据列联表回答：能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“答卷成绩为‘优秀’等级与性别有关”？(3) 附：K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解：(1)男生答卷成绩为“优秀”等级的概率P ＝(0.058＋0.034＋0.014＋0.010)×5＝0.58，女生答卷成绩为“优秀”等级的概率P ＝(0.046＋0.034＋0.016＋0.010)×5＝0.53.(2)所以a ＝580，b ＝由K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）得，K 2＝2 000×（580×470－530×420）21 110×890×1 000× 1000≈5.061>5.024，所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“答卷成绩为‘优秀’等级与性别有关”．(3)根据男、女生成绩频率分布直方图可得，男、女生成绩的中位数均在80到85之间，但男生的成绩分布集中程度较女生成绩分布集中程度高，因此，可以认为男生的成绩较好且稳定．[A 组 夯基保分专练]一、选择题1．某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有20 000人，其中各种态度对应的人数如下表所示：为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽选出的人数分别为( )A ．25，25，25，25B ．48，72，64，16C ．20，40，30，10D ．24，36，32，8解析：选D.法一：因为抽样比为10020 000＝1200，所以每类人中应抽选出的人数分别为4 800×1200＝24，7 200×1200＝36，6 400×1200＝32，1 600×1200＝8.故选D.法二：最喜爱、喜爱、一般、不喜欢的比例为4 800∶7 200∶6 400∶1 600＝6∶9∶8∶2， 所以每类人中应抽选出的人数分别为66＋9＋8＋2×100＝24，96＋9＋8＋2×100＝36，86＋9＋8＋2×100＝32，26＋9＋8＋2×100＝8，故选D.2．(·湖南省五市十校联考)在某次赛车中，50名参赛选手的成绩(单位：min)全部介于13到18之间(包括13和18)，将比赛成绩分为五组：第一组[13，14)，第二组[14，15)，…，第五组[17，18]，其频率分布直方图如图所示，若成绩在[13，15)内的选手可获奖，则这50名选手中获奖的人数为()A．39B．35C．15 D．11解析：选D.由频率分布直方图知成绩在[15，18]内的频率为(0.38＋0.32＋0.08)×1＝0.78，所以成绩在[13，15)内的频率为1－0.78＝0.22，则成绩在[13，15)内的选手有50×0.22＝11(人)，即这50名选手中获奖的人数为11，故选D.3．(·武汉市调研测试)某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：A—结伴步行，B—自行乘车，C—家人接送，D—其他方式．并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，求本次抽查的学生中A 类人数是()A ．30B ．40C ．42D ．48解析：选A.由条形统计图知，B —自行乘车上学的有42人，C —家人接送上学的有30人，D —其他方式上学的有18人，采用B ，C ，D 三种方式上学的共90人，设A —结伴步行上学的有x 人，由扇形统计图知，A —结伴步行上学与B —自行乘车上学的学生占60%，所以x ＋42x ＋90＝60100，解得x ＝30，故选A. 4．(·广东六校第一次联考)某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y (单位：kW ·h)与气温x (单位：℃)之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了如下对照表：由表中数据得线性回归方程y ＝－2x ＋60，则a 的值为( ) A ．48 B ．62 C ．64D ．68解析：选C.由题意，得x ＝17＋14＋10－14＝10，y ＝24＋34＋38＋a 4＝96＋a4.样本点的中心(x ，y )在回归直线y ^＝－2x ＋60上，代入线性回归方程可得96＋a 4＝－20＋60，解得a ＝64，故选C.5．(·郑州市第二次质量预测)将甲、乙两个篮球队各5场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是( )A ．甲队平均得分高于乙队的平均得分B ．甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数C ．甲队得分的方差大于乙队得分的方差D ．甲、乙两队得分的极差相等解析：选C.由题中茎叶图得，甲队的平均得分x 甲＝26＋28＋29＋31＋315＝29，乙队的平均得分x 乙＝28＋29＋30＋31＋325＝30，x 甲<x 乙，选项A 不正确；甲队得分的中位数为29，乙队得分的中位数为30，甲队得分的中位数小于乙队得分的中位数，选项B 不正确；甲队得分的方差s 2甲＝15×[(26－29)2＋(28－29)2＋(29－29)2＋(31－29)2＋(31－29)2]＝185，乙队得分的方差s 2乙＝15×[(28－30)2＋(29－30)2＋(30－30)2＋(31－30)2＋(32－30)2]＝2，s 2甲>s 2乙，选项C 正确；甲队得分的极差为31－26＝5，乙队得分的极差为32－28＝4，两者不相等，选项D 不正确．故选C.6．(多选)CPI 是居民消费价格指数(consumer price index)的简称．居民消费价格指数是一个反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目价格水平变动情况的宏观经济指标．如图是根据国家统计局发布的—我国CPI 涨跌幅数据绘制的折线图(注：与相比较，叫同比；与相比较，叫环比)，根据该折线图，则下列结论错误的是 ( )A．至各月与去年同期比较，CPI有涨有跌B．至CPI只跌不涨C．以来，CPI在缓慢增长D．与同年1相比较，环比更大解析：选ABC.A选项，至各月与去年同期比较，CPI均是上涨的，故A错误；B选项，CPI是增长的，故B错误；C选项，以来，CPI是下跌的，故C错误；D选项，CPI环比增长0.4%，1环比增长0.3%，故D正确．故选ABC.二、填空题7．如图是某学校一名篮球运动员在10场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这10场比赛中得分的中位数为________，平均数为________．解析：把10场比赛的所得分数按顺序排列为5，8，9，12，14，16，16，19，21，24，。
高考二轮数学人教版课件：第2部分 专题4理 第2讲 统计与统计案例
方程^y＝b^x＋a^称为线性回归方程，其中
n
b^＝∑ i＝1xniyi－n x
y ，
∑x2i －n x 2
i＝1
a^＝ y －b^ x ；( x ， y )称为样本点的中心．
第二部分 专题四 概率与统计(理科)
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2．随机变量 K2＝a＋a＋bb＋c＋c＋dda＋adc－bb＋cd2 (K2也可表示为x2)． 若K2＞3.841，则有95%的把握说两个事件有关； 若K2＞6.635，则有99%的把握说两个事件有关．
第二部分 专题四 概率与统计(理科)
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(2)(2019·株洲二模)某企业对其生产的一批产品进行检测，得出每
件产品中某种物质含量(单位：克)的频率分布直方图如图所示．则该
物质含量的众数和平均数分别为 A．83和84
(C )
B．83和85
C．85和84
D．85和85
第二部分 专题四 概率与统计(理科)
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【解析】 (1)对于选项A：2019年1～4月的业务量，3月最高，2 月最低，
差值为4 397－2 411＝1 986，接近2 000万件， 所以A是正确的； 对 于 选 项 B ： 2019 年 1 ～ 4 月 的 业 务 量 同 比 增 长 率 分 别 为 55%,53%,62%,58%，均超过50%，在3月最高， 所以B是正确的；
第二部分 专题四 概率与统计(理科)
高考二轮总复习 • 数学
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(2)(2020·太原模拟)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，
数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量容量为n的样本进行调查，其中
高中数学《统计与统计案例》课件
设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型y ＝99＋17.5t 可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用 模型②得到的预测值更可靠.
13
考点整合
1.抽样方法 抽样方法包括简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，三种抽样方法都是等概率抽样， 体现了抽样的公平性，但又各有其特点和适用范围.
位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( )
A.0.5
B.0.6
C.0.7
D.0.8
解析 法一 设调查的 100 位学生中阅读过《西游记》的学生人数为 x，则 x＋80－60
＝90，解得 x＝70，所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计
值为17000＝0.7.故选 C.
解 (1)由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为4500＝0.8，因此男顾客对该商场
服务满意的概率的估计值为 0.8.女顾客中对该商场服务满意的比率为3500＝0.6，因此女顾
客对该商场服务满意的概率的估计值为 0.6.
8
(2)K2 的观测值 k＝100×5（0×405×0×207－0×303×010）2≈4.762. 由于4.762>3.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务 的评价有差异.
^
利用模型②，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为y＝99＋17.5×9＝256.5(亿 元).
12
(2)利用模型②得到的预测值更可靠. 理由如下： 从折线图可以看出，2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线 y＝－30.4＋ 13.5t 上下，这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境 基础设施投资额的变化趋势.2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加， 2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2010 年开始环境基础
名师伴你行届高考理科数学二轮复习专题突破题能专训第讲统计与统计案例公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
y2 b d b＋d
总计 a＋b c＋d a＋b＋c＋d
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构造一个随机变量 K2＝a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d，其中 n＝a
＋b＋c＋d.
P(K2≥k) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
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专项五 概率与统计
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第二讲 统计与统计案例
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分组
频数 频率
(40,45]
n1
f1
(45,50]
n2
f2
(1)确定样本频率分布表中 n1，n2，f1 和 f2 的值；
(2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
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3．独立性检验
假设有两个分类变量 X 和 Y，它们的可能取值分别为{x1， x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称 2×2 列联表)为：