矩阵与矩阵相乘
excel 矩阵 乘法 运算
一、矩阵的定义及基本运算矩阵是线性代数中的基本概念，它是一个按规律排列的数表。
在实际应用中，我们经常需要对矩阵进行乘法运算。
矩阵的乘法是矩阵运算中的一种重要运算，它有其独特的定义和规则。
二、矩阵乘法的基本定义矩阵乘法是指两个矩阵相乘的运算。
设有两个矩阵A和B，它们的尺寸分别为m×n和n×p，则它们的乘积C是一个m×p的矩阵。
具体来说，C的第i行第j列的元素，是矩阵A的第i行按元素与矩阵B的第j列按元素的乘积之和。
三、矩阵乘法的计算方法具体来说，矩阵C的第i行第j列的元素可以表示为：C(ij) = A(i1)×B(1j) + A(i2)×B(2j) + ... + A(in)×B(nj)其中1≤i≤m，1≤j≤p，1≤k≤n。
四、矩阵乘法的性质矩阵乘法具有一些特殊的性质，这些性质对于理解矩阵乘法的运算规则非常重要。
1.结合律：对于任意三个矩阵A、B和C，都有(A×B)×C = A×(B×C)。
矩阵乘法满足结合律。
2.分配律：对于任意三个矩阵A、B和C，都有A×(B+C) = A×B +A×C，(A+B)×C = A×C + B×C。
矩阵乘法也满足分配律。
3.单位矩阵的乘法：单位矩阵与任意矩阵相乘，都等于原来的矩阵。
4.零矩阵的乘法：任意矩阵与零矩阵相乘，都等于零矩阵。
五、矩阵乘法的应用矩阵乘法在实际应用中有着广泛的应用，特别是在科学计算、工程技术和数据处理等领域。
1.线性方程组的求解：线性方程组可以用矩阵的形式表示，而矩阵乘法正是解决线性方程组的重要方法之一。
2.图形变换：在计算机图形学中，矩阵乘法被广泛用于描述图形的旋转、平移和缩放等变换。
3.数据处理：矩阵乘法在大规模数据处理和机器学习领域得到广泛应用，例如矩阵乘法可以用来计算两个大型数据集的内积。
矩阵与矩阵相乘1
2
0
1 2 . 2
2 3 2 A A A 0 0
3 0 0 3 2
2
2
0
3 2 3 3
1 2 0 2 0
1
0
0 1
证明
T
设C A AT
T T
则C A A
A
T
A C,
T T
所以C为对称矩阵.
设B A A ,
T
则B A A
T
AT A B,
所以B为反对称矩阵.
A A A A C B A , 2 2 2 2
T T
命题得证.
五、对称与反对称矩阵
定义 设 A 为 n 阶方阵，如果满足A AT，即
a ij a ji i , j 1 ,2 , , n
那末 A 称为对称阵.
12 6 1 例如 A 6 8 0 为对称阵 . 1 0 6
说明 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等. 如果 AT A 则矩阵A称为反对称的 .
b1 =( a11b1 a21b2 a31b3 a12b1 a22b2 a32b3 a13b1 a23b2 a33b3） b2 b 3 2 2 a11b12 a22b2 a33b3 2a12b1b2 2a13b1b3 2a23b2b3 .
2
1 3
，求P(A) .
解 P( A) 2 A2 A 6 E
0 2 0 2 1 0 2 14 2 1 3 1 3 6 0 1 7 23
矩阵之间的乘法
矩阵之间的乘法引言矩阵是线性代数中常见的数学工具，而矩阵乘法是矩阵运算中最基础且重要的操作之一。
本文将深入探讨矩阵之间的乘法，包括定义、性质、计算方法以及应用。
什么是矩阵乘法矩阵乘法指的是将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵的操作。
如果矩阵A是一个m行n列的矩阵，矩阵B是一个n行p列的矩阵，那么它们的乘积AB是一个m行p列的矩阵。
矩阵乘法的性质矩阵乘法具有以下性质：1.结合律：对于任意的矩阵A、B和C，满足(A B)C = A(B C)；2.分配律：对于任意的矩阵A、B和C，满足(A+B)C = A C + B*C；3.零乘性质：对于任意的矩阵A和0矩阵，满足A0 = 0A = 0。
这些性质使得矩阵乘法在计算中更加灵活和方便。
矩阵乘法的交换律与幂等性矩阵乘法不满足交换律，即对于任意的矩阵A和B，通常情况下A B ≠ B A。
这是因为矩阵乘法涉及到行乘以列的运算，行和列的顺序不同会导致结果不同。
另一方面，矩阵乘法满足幂等性，即一个矩阵与自身相乘等于自身，即A*A = A。
矩阵乘法的计算方法矩阵乘法的计算方法可以通过“行乘以列”的方式来实现。
具体步骤如下：1.确定乘法的两个矩阵A和B；2.确定A矩阵的行数m、列数n，以及B矩阵的行数n、列数p；3.创建一个新的矩阵C，其行数为m，列数为p；4.对于C矩阵的每个元素C[i][j]，使用如下方法计算：–对于每个i = 1, 2, …, m，j = 1, 2, …, p，计算C[i][j]的值：•将A矩阵的第i行与B矩阵的第j列对应元素相乘并求和，得到C[i][j]的值。
通过这种方式，可以将矩阵乘法转化为简单的数学运算，实现高效的矩阵相乘。
矩阵乘法的应用矩阵乘法在许多数学和科学领域中都有广泛的应用。
以下是一些矩阵乘法的应用示例：线性变换矩阵乘法可以表示线性变换。
在三维空间中，矩阵乘法可以用来表示旋转、缩放和投影等操作。
矩阵乘法提供了一种便捷的方式来描述和计算复杂的几何变换。
矩阵与矩阵的运算
矩阵与矩阵的运算矩阵是线性代数中重要的概念之一，它在各个领域的数学和工程应用中起着重要作用。
在矩阵的运算中，矩阵与矩阵之间的运算是其中之一。
通过对矩阵和运算进行深入了解，我们可以更好地理解矩阵的性质和应用。
一、矩阵加法矩阵加法是指将两个相同维度的矩阵进行对应元素的相加运算，得到一个新的矩阵。
假设有两个矩阵A和B，它们都是m行n列的矩阵，即A和B的维度相同。
则它们的加法运算可以表示为：C = A + B具体而言，C的第i行第j列的元素（记作Cij）就等于A的第i行第j列元素（记作Aij）与B的第i行第j列元素（记作Bij）的和。
矩阵加法的运算规则可以表达为：Cij = Aij + Bij需要注意的是，矩阵加法是对应元素相加，要求两个矩阵的维度相等，即行数和列数都相同。
二、矩阵减法矩阵减法是指将两个相同维度的矩阵进行对应元素的相减运算，得到一个新的矩阵。
假设有两个矩阵A和B，它们都是m行n列的矩阵。
则它们的减法运算可以表示为：C = A - B具体而言，C的第i行第j列的元素（记作Cij）就等于A的第i行第j列元素（记作Aij）减去B的第i行第j列元素（记作Bij）。
矩阵减法的运算规则可以表达为：Cij = Aij - Bij同样地，矩阵减法要求两个矩阵的维度相等。
三、矩阵乘法矩阵乘法是指将两个合适维度的矩阵进行运算，得到一个新的矩阵。
假设有两个矩阵A和B，其中A是m行n列的矩阵，B是n行p列的矩阵。
则它们的乘法运算可以表示为：C = A * B具体而言，C的第i行第j列的元素（记作Cij）等于A的第i行的元素与B的第j列的元素的乘积之和。
矩阵乘法的运算规则可以表达为：Cij = ∑(Aik * Bkj)其中∑表示求和运算，k的范围是1到n。
需要注意的是，矩阵乘法要求A的列数与B的行数相等，才能进行乘法运算。
四、矩阵数量乘法矩阵数量乘法即将一个矩阵的每个元素都与一个标量进行相乘。
假设有一个矩阵A和一个标量k，它们的数量乘法运算可以表示为：C = k * A具体而言，C的第i行第j列的元素（记作Cij）等于k乘以A的第i行第j列的元素（记作Aij）。
矩阵乘法的ppt课件
分步矩阵乘法
总结词
将矩阵乘法拆分成多个步骤，逐步进行计算。
详细描述
分步矩阵乘法是一种将矩阵乘法拆分成多个步骤，逐步进行计算的方法。这种方法可以 降低计算复杂度，提高计算效率。同时，通过逐步计算，可以更好地理解矩阵乘法的运
算过程。
04
矩阵乘法的应用
在线性代数中的应用
线性方程组的求解
矩阵乘法可以用于求解线性方程 组，通过将系数矩阵与增广矩阵 相乘，得到方程的解。
线性最小二乘法
矩阵乘法可以用于求解线性最小二乘问题，通过将系数矩阵与观测 矩阵相乘，得到最小二乘解。
插值和拟合
矩阵乘法可以用于插值和拟合数据，通过将系数矩阵与观测矩阵相 乘，得到插值或拟合函数。
在计算机图形学中的应用
3D模型变换
01
矩阵乘法在计算机图形学中广泛应用于3D模型变换，包括平移、
旋转和缩放等操作。
矩阵乘法的PPT课件
目 录
• 矩阵乘法的基本概念 • 矩阵乘法的性质 • 矩阵乘法的计算方法 • 矩阵乘法的应用 • 矩阵乘法的注意事项
01矩阵乘Βιβλιοθήκη 的基本概念定义矩阵乘法
矩阵乘法是一种数学运算，通过将一个矩阵与另一个 矩阵相乘，得到一个新的矩阵。
矩阵的定义
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，行和列都有一定 的数量。
矩阵的元素
矩阵中的每个元素都有一个行索引和一个列索引，用 于标识其在矩阵中的位置。
矩阵乘法的规则
1 2
矩阵乘法的条件
两个矩阵A和B可以进行乘法运算，当且仅当A的 列数等于B的行数。
矩阵乘法的步骤
将A的列向量与B的行向量对应相乘，然后将得 到的结果相加，得到新的矩阵C的元素。
3
矩阵相乘的算法
矩阵相乘的算法很久没写blog了，感觉⼈都快变的抑郁了，换⼯作之后各种揪⼼，说好了是做Android的，结果让我搞各种算法，也罢，权当学习了⼀点知识吧。
今天说说矩阵相乘的算法，计算算法很简单，就是3个for循环。
⾸先还是说下矩阵相乘的概念，其实⼤学的时候线性代数中应该有讲到，不过到现在估计都还给⽼师了。
废话不多说，矩阵，其实就是⼀个⼆维数组，横竖排列的，⽐如int[5][6]，就是⼀个矩阵，表⽰有5⾏6列。
只有当矩阵A的列数与矩阵B的⾏数相等时A×B才有意义。
⼀个m×n的a(m,n)左乘⼀个n×p的矩阵b(n,p)，会得到⼀个m×p的矩阵c(m,p)。
左乘：⼜称前乘，就是乘在左边(即乘号前)，⽐如说,A左乘E即AE。
在计算机中，⼀个矩阵实际上就是⼀个⼆维数组。
⼀个m⾏n列的矩阵与⼀个n⾏p列的矩阵可以相乘，得到的结果是⼀个m⾏p列的矩阵，其中的第i⾏第j列位置上的数为第⼀个矩阵第i⾏上的n个数与第⼆个矩阵第j列上的n个数对应相乘后所得的n个乘积之和。
⽐如，下⾯的算式表⽰⼀个2⾏2列的矩阵乘以2⾏3列的矩阵，其结果是⼀个2⾏3列的矩阵。
算法：1//矩阵相乘2public static float[][] Mul(float[][] a, float[][] b) {3//确保矩阵a的列数和b的⾏数相等4if(a[0].length != b.length) {5return null;6 }7//⽤来存放结果的矩阵，axb的结果为a的⾏数和b的列数8float[][] result = new float[a.length][b[0].length];9//对a的每⾏进⾏遍历10for(int i=0; i<a.length; i++) {11//对b的每列进⾏遍历12for(int j=0;j<b[0].length; j++) {13//c为每⼀个点的值14float c = 0;15//第i⾏j列的值为a的第i⾏上的n个数和b的第j列上的n个数对应相乘之和，其中n为a的列数，也是b的⾏数，a的列数和b的⾏数相等16for(int k=0; k<a[0].length; k++) {17 c += (a[i][k]*b[k][j]);18 }19 result[i][j] = c;20 }21 }22return result;23 }代码注释的很清楚了，主要是抓住定义，3个for循环。
矩阵的相乘有关知识点
矩阵的相乘有关知识点矩阵的相乘是线性代数中一个重要的知识点，它在计算机图形学、机器学习等领域中得到广泛应用。
矩阵的相乘可以看作是将两个矩阵进行运算得到一个新的矩阵的过程。
我们来看一下矩阵的定义。
矩阵是由若干个数按照一定的规律排列成的矩形阵列，其中每个数称为矩阵的元素。
矩阵通常用一个大写的字母表示，如A、B等，元素用小写字母表示，如a、b等。
矩阵的行数和列数分别表示为m和n，记作m×n的矩阵。
矩阵的相乘是指将两个满足相乘条件的矩阵进行运算得到一个新的矩阵。
两个矩阵相乘的条件是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，即如果矩阵A是m×n的矩阵，矩阵B是n×p的矩阵，那么它们的乘积矩阵C是m×p的矩阵。
矩阵的相乘运算遵循一定的规则。
设A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，那么它们的乘积C是一个m×p的矩阵，其中C的第i行第j列的元素可以通过以下方式计算得到：C[i][j] = A[i][1]*B[1][j] + A[i][2]*B[2][j] + ... + A[i][n]*B[n][j]简单来说，C的第i行第j列的元素等于A的第i行的元素与B的第j列的元素对应位置相乘后再相加。
矩阵的相乘运算具有结合律，但不满足交换律。
也就是说，对于满足相乘条件的矩阵A、B、C，有(A*B)*C = A*(B*C)，但一般情况下不满足A*B = B*A。
矩阵的相乘在计算机图形学中有着重要的应用。
在三维空间中，我们可以用一个4×4的矩阵来表示物体的变换，如平移、旋转、缩放等。
将多个变换矩阵相乘，可以得到一个新的变换矩阵，从而实现多个变换的组合效果。
在机器学习中，矩阵的相乘被广泛用于矩阵运算和线性代数的相关计算。
例如，线性回归模型可以用矩阵相乘的方式进行求解。
将输入特征矩阵与参数矩阵相乘，可以得到预测结果。
矩阵的相乘还具有一些性质。
例如，若A、B、C是满足相乘条件的矩阵，k是一个常数，则有以下性质成立：1. 结合律：(A*B)*C = A*(B*C)2. 分配律：A*(B+C) = A*B + A*C3. 数乘结合律：(k*A)*B = k*(A*B) = A*(k*B)4. 单位矩阵的性质：A*I = I*A = A，其中I是单位矩阵，满足I*A = A*I = A矩阵的相乘还可以通过矩阵的转置来简化计算。
矩阵与矩阵相乘
定义：设 m p矩阵A (aij )m p，p n矩阵B (bij ) pn
则由元素
15
cij ai 1b1 j ai 2b2 j aipb pj aiK bKj (i 1,2, m; j 1,2,, n)
K 1
1 3 3 1
2 3 ; 2
2 2 3
3 2
Байду номын сангаас
2 A A A 2 3
1 2 3 3 2
3 1
8 0 0 8 .
23
五、利用矩阵表示线性方程组
（３）k(AB)= (kA) B=A (kB)，k为任意常数．
20
0 4 1 4 例5.设A 1 3 , B 1 2 , 验证A与B可以交换。
0 4 1 4 4 8 证：AB 1 3 1 2 2 10
a11 a 21 a n1 0 a 22 an2 0 0 a nn
的矩阵分别称为上三角矩阵和下三角矩阵．
6
把矩阵的行与列依次互换，得到的矩阵称为矩阵
A
的转置矩阵．即矩阵 a11 a12 a1n
a 21 A a m1 a 22 am 2 a2 n a mn
16
1 3 1 2 3 1 0 例3. A 3 2 1 , B 3 1 , D 3 2 , 求AB，AD. 2 2
1 1 2 3 3 2 1 3 2 1 3 2 0 6 解：AB 3 1 2 3 1 2 3 3 2 1 1 2 6 2
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的转置矩阵
a11 a12 T A a 1n
a 21 a m 1 a 22 a m 2 a 2 n a mn
一个m行n列矩阵A的转置矩阵是一个n行m列的矩阵． 7
如果两个 m行n列矩阵 A (aij )mn , B (bij )mn
称为一个m行n列矩阵，简称为m×n矩阵．其 中aij表示第i行第j列处的元素，i称为aij的行指标，j 称为aij的列指标．
2
矩阵通常用A，B，C…大写字母表示，若需指 明矩阵的行数和列数常写为或．例如：
0 1 2 A 1 2 3
为一个2×3矩阵． 在以后的讨论中，还会经常用到一些特殊的矩 阵，下面分别给出他们的名称 ,元素全为零的矩阵 称为零矩阵，记作O或0，如：
022
0 0 0 0 0 0 0 ,023 0 0 0
3
当m = n时，称A为n阶矩阵（或n阶方阵）． 只有1行（1×n）或1列（m×1）的矩阵，分 别称为行矩阵和列矩阵，如：
a11 a 21 a n1
13
四、 矩阵与矩阵相乘
设甲、乙两家公司生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种型号的计算 机，月产量（单位：台）为
I II III 25 20 18 甲 24 16 27 乙
如果生产这三种型号的计算机的每台的利润（单 位：万元/台）为
0.5 I 0.2 II 0.7 III
a11 a 21 a n1 0 a 22 an2 0 0 a nn
的矩阵分别称为上三角矩阵和下三角矩阵．
6
把矩阵的行与列依次互换，得到的矩阵称为矩阵
A
的转置矩阵．即矩阵 a11 a12 a1n
a 21 A a m1 a 22 am 2 a2 n a mn
圆括号或中括号．
9
二、 矩阵的加法和减法
定义：两个 m行n列的矩阵 A (aij )与B (bij )
相加（减），他们的和 （差） A B (aij bij )
显然，两个m行n列的矩阵相加（减）得到的 和（差）仍是一个m行n列的矩阵．应注意，只有 当两个矩阵的行数与列数分别相同时，它们才能作 加减运算． 容易验证，矩阵的加法运算满足以下规律： （１）交换律：A+B=B+A； （２）结合律：(A+B)+C=A+(B+C)．
0 6 1 6 2 0 1 0 2
11
0 2 4 0 4 3 T A A 4 1 2 2 1 2 3 2 1 4 2 1 0 2 7 2 0 4 7 4 0
m行n列矩阵相乘，它们的乘积 为kA，并且规定Ak=kA．例如，设
5 6 7 A 4 3 1
2 5 2 6 2 (7) 那么， 2A 2 4 2 3 2 1 10 12 14 8 6 2
10
例2 已知
0 2 4 A 4 1 2 3 2 1
求A+AT和A-AT．
0 2 4 0 4 3 T 解 ：A A 4 1 2 2 1 2 3 2 1 4 2 1
a b 3
8
ab7
解得a=5, b=2, c=2, d=-1，
即当a=5, b=2, c=2, d=-1时 A=B． 应当注意的是：矩阵与行列式是两个不同 的概念，行列式是一个算式，计算结果是一个
数，而矩阵是有数构成的一个数表；记法也不
同，行列式用的是两条竖线，而矩阵用的是一对
的对应元素相等，即 aij bij (i 1,2, m; j 1,2,, n)
那么就称这两个矩阵相等 .
3 a b 7 ,B 例1 已知 A 3 c d a b 2c d 3
而且A=B，求a, b, c, d． 解 根据矩阵相等的定义， 3 2c d 可得方程组 3 cd
a11
a12 a1n
4
若方阵的元素 aij=0（i≠j），则称A为对角矩
阵，aii（i=1,2,…,n）
称为A的对角元，如
1 0 A 0 5
为二阶对角矩阵． 对角元全为数1的对角矩阵称为单位矩阵，n阶单位 矩阵记为In．
5
形如
a11 0 0 a12 a1n a 22 a 2 n 0 a nn
14
则这两家公司的月利润（单位：万元）应为
25 0.5 20 0.2 18 0.7 29.1甲 24 0.5 16 0.2 27 0.7 34.1 乙
可见，甲公司每月的利润为29．1万元，乙公司的
7.2 矩阵的概念和运算
主要内容：
一.矩阵的概念.
二.矩阵的加法和减法.
三.数与矩阵相乘.
四.矩阵与矩阵相乘. 五.利用矩阵表示线性方程组.
1
一、 矩阵的概念
定义1 由m×n个数排成的m行n列数表
a11 a 21 a m1 a12 a 22 am 2 a1n a2n a mn