高中数学高考专题汇编：专题03 导数(文)(含答案解析)

第三章 导数

1.【2015高考福建，文12】“对任意(0,)2x π

∈，sin cos k x x x <”是“1k <”的（ ）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ． 充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

【答案】B

【命题立意】本题以充分条件和必要条件为载体考查三角函数和导数在单调性上的应用，根据已知条件构造函数，进而研究其图象与性质，是函数思想的体现，属于难题．

【解析】当1k <时，s i n c o s s i n 22k

k x x x =，构造函数()sin 22

k f x x x =-，则'()c o s 210f x k x =-<．故()f x 在(0,)2x π∈单调递增，故()()022

f x f ππ<=-<，则sin cos k x x x <； 当1k =时，不等式sin cos k x x x <等价于1sin 22

x x <，构造函数1()sin 22g x x x =-，则'()c o s 210g x x =-<，故()g x 在(0,)2

x π∈递增，故()()022g x g ππ<=-<，则s i n c o s x x x <．综上所述，“对任意(0,)2x π∈，sin cos k x x x <”是“1k <”的必要不充分条件，选B ．

2.【2015高考湖南，文8】设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是( )

A 、奇函数，且在（0,1）上是增函数

B 、奇函数，且在（0,1）上是减函数

C 、偶函数，且在（0,1）上是增函数

D 、偶函数，且在（0,1）上是减函数

【答案】A

【命题立意】本题考查利用导数研究函数的性质

【解析】函数()l n (1)l n (1f x x x =+--，函数的定义域为（-1，1），函数

()ln(1)ln(1)()f x x x f x -=--+=-所以函数是奇函数．()2111'111f x x x x =

+=+-- ，在（0,1）上()'0f x > ，所以()f x 在(0,1)上单调递增，故选A.

【方法技巧】利用导数研究函数()f x 在(a ，b)内的单调性的步骤：(1)求()'f x ；(2)确认()'f x 在(a ，b)内的符号；(3)作出结论：()'0f x >时为增函数；()'0f x <时为减函数．研究函数性质时，首先要明确函数定义域.

3.【2015高考北京，文8】某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．

注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）

A ．6升

B ．8升

C ．10升

D ．12升

【答案】B

【命题立意】本题主要考查的是平均变化率，属于中档题．

【解析】因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量48V =升. 而这段时间内行驶的里程数3560035000600S =-=千米. 所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为481008600

?=升，故选B. 【易错警示】解题时一定要抓住重要字眼“每100千米”和“平均”，否则很容易出现错误．解此类应用题时一定要万分小心，除了提取必要的信息外，还要运用所学的数学知识进行分析和解决问题．

4.【2015高考新课标1，文14】已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则

a = .

【答案】1 【命题立意】利用导数的几何意义求函数的切线；常见函数的导数；

【解析】∵2()31f x ax '=+，∴(1)31f a '=+，即切线斜率31k a =+，

又∵(1)2f a =+，∴切点为（1，2a +），∵切线过（2,7），∴273112

a a +-=+-，解得a =1. 【方法技巧】对求过某点的切线问题，常设出切点，利用导数求出切线方程，将已知点代入切线方程得到关于切点横坐标的方程，解出切点的横坐标，即可求出切线方程，思路明确，关键是运算要细心.

5.【2015高考天津，文11】已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ,其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,若()13f '= ,则a 的值为 ．