随机过程(林元烈)第六讲习题参考答案
《随机过程》第6章习题及参考答案
湖南大学本科课程《随机过程》第6章习题及参考答案主讲教师：何松华 教授1. 给定实数x 和一个平稳随机过程()X t ，定义理想门限系统的特性为1()()0()X t xY t X t x≤⎧=⎨>⎩ 试证：(1) [()]()X E Y t F x =；(2) ()](,,)Y X R F x x ττ=证：(1) ()Y t 在任意时刻为只有两种取值1,0的随机变量，则[()]1{()1}0{()0}{()1}{()}(,)() ()X X E Y t P Y t P Y t P Y t P X t x F x t F x =⨯=+⨯====≤==根据平稳性(2)根据相关函数定义，有()][()()]11{()1,()1}01{()0,()1} 10{()1,()0}00{()0,()0}{()1,()1}{(),()}(,;,)(,;) ()Y X X R E Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P Y t Y t P X t x X t x F x x t t F x x ττττττττττ=+=⨯⨯+==+⨯⨯+==+⨯⨯+==+⨯⨯+===+===+≤≤=+=根据平稳性2．设平方律检波器的传输特性为2y x =，在检波器输入端加入一窄带高斯随机过程()X t ，其概率密度函数为22()()}2X Xx a f x σ-=- 在检波器后联接一个理想低通滤波器，求低通滤波器输出过程的一维概率密度和均值；当0a =时结果有何变化。
解：根据题意，()X t 为非零均值的中频窄带随机过程，可以表示为：00()()cos()()sin()C S X t a A t t A t t ωω=+-其中()C A t 、()S A t 为零均值窄带随机过程的同向分量以及正交分量，都服从均值为0、方差为2X σ的正态分布，且在同一时刻互不相关，则检波器输出信号22002222200000()[()cos()()sin()]1111()()2()cos()()cos(2)()cos(2)2222 2()sin()()()sin(2)C S C S C C S S C S X t a A t t A t t a A t A t aA t t A t t A t t aA t t A t A t t ωωωωωωω=+-=++++--- 通过理想低通滤波后，滤波器输出信号为2221()[()()]2C S Z t a A t A t =++由于随机变量()C A t 、()S A t 为互不相关(正态分布情况与独立等价)的正态随机变量，则22122()()()C S XXA t A t Z t σσ=+服从自由度为2的卡方分布，即11121/22/211221()22(2/2)z z Z z ef z e ---==Γ 221()()2X Z t Z t a σ=+，2122[()]()[()]XZ t a Z t h Z t σ-==，根据随机变量函数的概率密度关系，()Z t 的一维概率密度分布函数为22122()1()[()] ()X z a Z Z Xdh z f z f h z e z a dz σσ--==≥2222222211[()]{[()()]}[]22C S X X X E Z t E a A t A t a a σσσ=++=++=+当0a =时，221() (0)X zZ Xf z e z σσ-=≥，2[()]X E Z t σ=。
随机过程第六章
T
T
X (t )dt
<x(t)>是随机过程的样本函数按不同时刻取平均，它随样本不同而不同， 是个随机变量。 对于一个确定的样本
X (t ) lim 1 T 2T
T
T
X (t )dt 常数
时间平均
集合平均
20
定义6.10 设{X(t),-∞<t<∞}是均方连续的平稳过程，若
n
lim E[| X n X |2 ] 0
成立，则称{Xn}均方收敛于X，记作
Xn X
m. s
l.i.m X
n
n
X
称二阶矩随机序列{Xn}依分布收敛于二阶矩随机变量X，若{Xn}相应的分 布函数列{Fn(x)}，在X的分布函数F(x)的每一个连续点处，有
n
lim Fn ( x) F ( x)
t
a
X ( ) d
在均方意义下存在，且随机过程{Y(t), t∈T}在区间[a,b]上均方可微，且有 Y’(t)=X(t)。
18
推论：设X (t )均方可微，且X (t )均方连续，则 X (t ) X (a) X (t )dt.
a t
及
X (b) X (a) X (t )dt.
第六章：平稳随机过程
严平稳过程的定义 宽平稳过程的定义 平稳过程的数字特征 平稳过程自相关函数的性质 时间平均和集合平均的概念 平稳过程遍历性定义 遍历性判定定理 遍历性应用举例
1
严平稳过程的定义
设{X(t),t∈T}是随机过程，如果对任意常数τ和正整数n， t1,t2, …,tn∈T，t1+τ,t2+τ, …,tn+τ ∈T， (X(t1),X(t2), …,X(tn))与(X(t1+τ),X(t2+τ), …,X(tn+τ))有 相同的联合分布，则称{X(t),t∈T}为严平稳过程或侠义 平稳过程。
随机过程习题答案及知识点
协方差矩阵及n 维正态分布1、设n 维随机变量）（n X X ,,,X 21⋯的二阶混合中心距：[][];,,2,1,},)()({),(,n j i j X E j X X E X E X X Cov c i i j i j i ⋯=--==都存在，则称矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=∑nn c c c c c c c c c n2n12n 22211n 1211为n 维随机变量）（n X X ,,,X 21⋯的协方差矩阵，它是一对称矩阵。
2、n 维正态分布定义：若n 维随机变量）（n X X ,,,X 21⋯的概率密度可以表示成以下的形式：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∑--∑==⋯-)()(21ex p )(det )2(1)(),,,(f 12/12/21U X U X X f x x x T n n π其中，Tn T T n X E X E X E U x x x X ))(,),(),((),,,(,),,,(21n 2121⋯=⋯=⋯=μμμ∑是）（n X X ,,,X 21⋯的协方差矩阵，则称n 维随机变量）（n X X ,,,X 21⋯为n 维正态随机变量，记为),(~),,,X (21∑⋯=μN X X X n ，),,,(f 21n x x x ⋯为n 维正态概率密度函数。
N 维正态随机变量的性质（1） n 维正态随机变量）（n X X ,,,X 21⋯的每一个分量都是正态变量；反之，若nX X ,,,X 21⋯都是正态随机变量，且相互独立，则）（n X X ,,,X 21⋯是n 维正态随机变量。
（2） n 维随机变量）（n X X ,,,X 21⋯服从n 维正态分布的充要条件是n X X ,,,X 21⋯的任意的线性组合n n X l X l X l +⋯++2211服从一维正态分布；（3） 若）（n X X ,,,X 21⋯服从n 维正态分布，设n Y Y ,,,Y 21⋯是),,3,2,1(X n j j ⋯=的线性函数，则n Y Y ,,,Y 21⋯也服从正态分布。
（完整版）随机过程习题答案
（完整版）随机过程习题答案随机过程部分习题答案习题22.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的⼀维概率密度、均值和相关函数。
解因)1,0(~N V，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布，b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=所以),(~)(2t b N t X ，)(t X 的⼀维概率密度为),(,21);(222)(+∞-∞∈=--x ett x f t b x π，),0(+∞∈t均值函数 b t X E t m X ==)]([)(相关函数)])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++==][22b btV bsV stV E +++=2b st +=2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yt e t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的⼀维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。
解对于任意0>t，Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法，}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=-)ln (1}ln {1}ln {tx F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=-≥= 对x 求导得)(t X 的⼀维概率密度xtt x f t x f Y 1)ln ();(-=，0>t)(][)]([)(dy y f e eE t X E t m yt tY X相关函数+∞+-+---====0)()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e e E e e E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X 2.3 若从0=t 开始每隔21秒抛掷⼀枚均匀的硬币做实验，定义随机过程=时刻抛得反⾯时刻抛得正⾯t t t t t X ,2),cos()(π试求：（1）)(t X 的⼀维分布函数),1(),21(x F x F 和；（2）)(t X 的⼆维分布函数),;1,21(21x x F ；（3）)(t X 的均值)1(),(X X m t m ，⽅差 )1(),(22X Xt σσ。
随机过程习题详解
对 x 求导得 X (t ) 的一维概率密度
f ( x; t ) f Y (
均值函数 相关函数
ln x 1 ) t xt
，t
0
0
m X (t ) E[ X (t )] E[e Y t ]
e yt f ( y )dy
R X (t1 , t 2 ) E[ X (t1 ) X (t 2 )] E[e Y t1 e Y t 2 ] E[e Y ( t1 t2 ) ] e y ( t1 t2 ) f ( y )dy
0
1
2.3 若从 t
0 开始每隔
所以， R XY (t , t
2.7 设随机过程 X (t )
为 1，求随机过程 X (t ) 的协方差函数。 解 根据题意， EX
EY EZ 0, DX EX 2 DY EY 2 DZ EZ 2 1
m X (t ) E[ X (t )] E[ X Yt Zt 2 ] EX tEY t 2 EZ 0
t 1 时， X (1) 的分布列为
X (1)
P
-1
2
1 2
1 2
一维分布函数
0, 1 F (1, x) , 2 1,
x 1 1 x 2 x2
（2）由于 X (
1 1 )与X (1) 相互独立，所以 ( X ( ), X (1)) 的分布列为 2 2
X (1) X (1 / 2)
C X (t1 , t 2 ) E[ X (t1 ) m X (t1 )][ X (t 2 ) m X (t 2 )]
(完整版)随机过程习题和答案
一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。
解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。
解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。
解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。
2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。
试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。
设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。
以小时为单位。
则((1))30E N =。
40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。
3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。
乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。
随机过程(超容易理解+配套例题)
令 m(t)
(s)ds
0
t
例 设某设备的使用期限为10年，在前5年内它平均2.5年需要维修一次， 后5年平均2年需要维修一次，求它在使用期内只维修过一次的概率。 解 考虑非齐次泊松过程，强度函数
1 2.5 (t ) 1 2
10
0t 5 5 t 10
, X n 1 in 1 , X n i )
2、转移概率
定义
i, j S ,
称
P X n 1 j X n i pij n
为n时刻的一步转移概率。若
i, j S , pij n pij
即pij与n无关，则称{Xn,n≥0}为齐次马尔可夫链。记P=(pij)，称P为 {Xn,n≥0}的一步转移概率矩阵.
2、Poisson过程 计数过程 {N(t),t 0}称为参数为 ( 0)的Poisson 过程，如果 （1）N(0)=0; (2)过程有独立增量； (3)对任意的 s, t 0, P{N(t s) N(s) n} e t , n 0,1, 2.....
0 1 2 1 P 4 0 0 0 1 2 0 1 4 0 0 0 1 2 1 2 0 1 1 2 0 0 0 1 4 0 0 0 0 0 1 4 0 0 1 0 0 0 0 1 2 0
2 5 1 3
6
4
假定某大学有一万人，每人每月使用一支牙膏，并且只使用“中华”牙膏和 “黑妹”牙膏两者之一。根据本月的调查，有3000人使用黑妹牙膏，7000人使 用中华牙膏。又据调查，使用黑妹牙膏的3000人中 ，有60%的人下月将继续使 用黑妹牙膏，40%的人将改用中华牙膏；使用中华牙膏的7000人中，有70%的 人下月将继续使用中华牙膏，30%的人将改用黑妹牙膏。 1）我们可以得到转移概率矩阵
随机过程习题答案
解 转移概率如图
一步概率转移矩阵为 二步转移概率矩阵为 4.2 独立地重复抛掷一枚硬币，每次抛掷出现正面的概率为，对于， 令，这些值分别对应于第n-1次和第n次抛掷的结果为（正，正）， （正，反），（反，正），（反，反），求马尔可夫链的一步和二步转 移概率矩阵。 解 对应状态为 ，（正，反），（反，正），（反，反） ， （不可能事件） （不可能事件） 同理可得下面概率 ， ， ， ， ， ， 一步转移概率矩阵为 二步转移概率矩阵为 4.4设为有限齐次马尔可夫链，其初始分布和转移概率矩阵为
对求导得的一维概率密度 ， 均值函数 相关函数 2.3 若从开始每隔秒抛掷一枚均匀的硬币做实验，定义随机过程
试求：（1）的一维分布函数； （2）的二维分布函数； （3）的均值，方差 。 解 （1）时，的分布列为
0
1
P
一维分布函数 时，的分布列为
-1
2
P
一维分布函数 （2）由于相互独立，所以的分布列为
（2）画出状态转移图
因为是有限链，必有正常返态，状态0无周期、正常返，是遍历态；由 于各状态互通，所以1、2也是遍历态，所以是遍历链。 （3）因为该链为遍历链，极限分布就是平稳分布，根据和得方程组 解此方程组得
所以平稳分布为 ，， 4.17 设河流每天的BOD（生物耗氧量）浓度为齐次马尔可夫链，状态空 间是按BOD浓度为极低、低、中、高分别表示的，其一步转移概率矩阵 （以一天为单位）为
-1
2
0
1
二维分布函数 （3）
2.4 设有随机过程，其中为常数，是相互独立且服从正态分布的随机变 量，求随机过程的均值和相关函数。 解 因独立，， 所以， 均值
相关函数 2.5 已知随机过程的均值函数和协方差函数为普通函数，令，求随机过 程均值和协方差函数。 解 均值 协方差