数学2.3.2离散型随机变量的方差同步练习选修23
高三数学选修2-3(B版)_《随机变量的数字特征》同步练习2
2.3.2 离散型随机变量的方差一、选择题1．若随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，则D (X )的值为（ ）A ．2B ．1 C.12 D.14[答案] B[解析] ∵X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，∴D (X )＝4×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝1，故选B 。
2．若X 的分布列为X 0 1 Ppq 其中p ∈(0，1)，则（ A ．D (X )＝p 3 B ．D (X )＝p 2 C ．D (X )＝p －p 2 D ．D (X )＝pq 2 [答案] C[解析] 由两点分布的方差公式D (X )＝p (1－p )＝p －p 2，故选C 。
3．下列说法正确的是（ ）A ．离散型随机变量ξ的期望E (ξ)反映了ξ取值的概率的平均值B ．离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了ξ的取值的平均水平C ．离散型随机变量ξ的期望E (ξ)反映了ξ取值的平均水平D ．离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了ξ取值的概率的平均值 [答案] C[解析] 由离散型随机变量的期望与方差的定义可知，C 正确，故选C 。
4．已知随机变量ξ的分布列为ξ1234则Dξ的值为（ A.2912 B ．121144 C.179144 D ．1712[答案] C[解析] ∵Eξ＝1×14＋2×13＋3×16＋4×14＝2912，∴Dξ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫17122×14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5122×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫7122×16＋⎝ ⎛⎭⎪⎫19122×14＝179144，故选C 。
5．已知随机变量ξ的分布列为：P (ξ＝k )＝13，k ＝1、2、3，则D (3ξ＋5)＝（ ） A ．6 B ．9 C ．3 D ．4[答案] A[解析] E (ξ)＝(1＋2＋3)×13＝2， D (ξ)＝[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]×13＝23， ∴D (3ξ＋5)＝9D (ξ)＝6，故选A 。
人教A版选修2-3第2章2.3离散型随机变量的均值与方差同步练测(人教A版选修2-3).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第2章 2.3离散型随机变量的均值与方差（数学人教实验A版选2-3）一、选择题（本题包括5小题，每小题6分，给出的四个选项中，只有一个选项正确，共30分）1.若X~B（n，p），且E（X）＝6，D（X）＝3，则P（X＝1）的值为（）A. B.C. D.2.签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取三支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为（）A.5B.5.25C.5.8D.4.63.某游戏机投入一元硬币后，若将小灯碰亮，则认为投币者成功，否则认为失败，成功的概率为，成功时奖2元钱.无论失败与成功，投入的一元钱都不许取回，用ξ表示投币者的收益，则收益的方差是（）A. B.C. D.14.已知ξ的分布列为ξ-1 0 1P则在下列式子中，①②＝；③＝＝.正确的个数是（）A.0B.1C.2D.35.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b,不得分的概率为c（a、b、c∈(0,1)）,已知他投篮一次得分的数学期望为1（不计其他得分情况），则ab的最大值为（）A. B.C. D.二、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.请将正确的答案填到横线上）6.已知随机变量X的分布列为X 0 1 2 3 4P0.2 0.2 0.3 0.2 0.1 则D（X）= ;D(2X-1)= .7.已知离散型随机变量X的分布列如下表.若E（X）＝0，D（X）＝1，则a= ,b= .X -1 0 1 2P a b c8.设整数m是从不等式的整数解的集合S中随机抽取的一个元素，记随机变量ξ＝,则ξ的数学期望E（ξ）＝.建议用时实际用时满分实际得分90分钟100分三、解答题（本题共3小题，共45分.解答时应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤）9.（15分）为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛.（1）求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；（2）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X，求X的分布列和数学期望.10.(15分)将编号为1，2，3，4的四张同样材质的卡片，随机放入编码分别为1，2，3，4的四个小盒中，每盒仅放一张卡片，若第k号卡片恰好落入第k号小盒中，则称其为一个匹对，用ξ表示匹对的个数. (1)求第2号卡片恰好落入第2号小盒内的概率；(2)求匹对数ξ的分布列和数学期望E(ξ).11.（15分）因冰雪灾害，某柑橘基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方案都需分两年实施.若实施方案一，预计第一年可以使柑橘产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑橘产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5.若实施方案二，预计第一年可以使柑橘产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑橘产量为第一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6.实施每种方案第一年与第二年相互独立，令（i=1,2）表示方案i实施两年后柑橘产量达到灾前产量的倍数.（1）写出、的分布列；方案的预计利润更大？（2）实施哪种方案，两年后柑橘产量超过灾前产量的概率更大？（3）不管哪种方案，如果实施两年后柑橘产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、15万元、20万元.问实施哪种第2章 2.3离散型随机变量的均值与方差（数学人教实验A版选2-3）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5答案二、填空题6． 7． 8.三、解答题9.10.11.第2章 2.3离散型随机变量的均值与方差（数学人教实验A版选2-3）参考答案一、选择题1.C 解析：（）＝=6,D()=(1-)=3,∴= ,=12,则P(=1)=·· =3·.故选C.2.B 解析：由题意可知，可以取3，4，5，6，P（＝3）＝＝，P（＝4）＝＝，P（＝5）＝＝，P（＝6）＝＝ .由数学期望的定义可求得（）＝5.25.故选B.3.B 解析：ξ的分布列为ξ-1 1P∴（ξ）=- .∴（ξ）＝× + × = = .故选B.4.C 解析：(ξ)=(-1)× +1× =- ,故①正确.（ξ）＝× + × + ×＝，故②不正确.③显然正确.故选C.5.B 解析：由已知3，即=1.∴≤= ×=.当且仅当3，即，时取“等号”，故选B.二、填空题6.1.56,6.24 解析：（）=0×0.2+1×0.2+2×0.3+3×0.2+4×0.1=1.8,所以（）＝×0.2+×0.2+×0.3+×0.2+×0.1=1.56.由方差的性质得（2-1）＝4（）＝4×1.56=6.24.7. 解析：由题意得，，，解得a= ，b=c= .8.5 解析：不等式-2x-8≤0的整数解的集合S＝{-2，-1，0，1，2，3，4}，列出相关分布列：S-2 -1 0 1 2 3 44 1 0 1 4 9 16P（ξ）= ×0+ ×1+ ×4+ ×9+ ×16=5.三、解答题9.解：（1）设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件，则P（）＝！＝ .所以甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为 .（2）随机变量的可能取值为0，1，2，3.P（＝0）＝！＝，P（＝1）＝！！＝，P（＝2）＝！！＝，P（＝3）＝！！＝ .随机变量的分布列为0 1 2 3P所以E（）＝0× +1× +2× +3× =1，所以随机变量X的数学期望为1.10. 解：(1)设A为“第2张卡片恰好落入第2号小盒内”，则P(A)＝14.(2)ξ的可能取值为0，1，2，4，则P(ξ=4)= 124，P(ξ=2)= 14，P(ξ=1)= 13，P(ξ=0)= 38，∴ξ的分布列为ξ0 1 2 4P 381314124∴E(ξ)＝1.11.解：（1）的所有取值为0.8、0.9、1.0、1.125、1.25，的所有取值为0.8、0.96、1.0、1.2、1.44.、的分布列分别为0.8 0.9 1.0 1.125 1.25P0.2 0.15 0.35 0.15 0.150.8 0.96 1.0 1.2 1.44P0.3 0.2 0.18 0.24 0.08（2）令A、B分别表示方案一、方案二两年后柑橘产量超过灾前产量这一事件，P（A）=0.15+0.15=0.3，P（B）=0.24+0.08=0.32.可见，方案二两年后柑橘产量超过灾前产量的概率更大.（3）令表示方案i的预计利润，则10 15 20P0.35 0.35 0.310 15 20P0.5 0.18 0.32 所以=14.75,E=14.1.可见，方案一的预计利润更大.。
人教新课标版数学高二-人教数学选修2-3练习 2.3.2离散型随机变量的方差 (备选)
选修2-3 第二章 2.3 2.3.21．设随机变量X ～B (n ，p )，X 的均值与方差分别是15和454，则n 、p 的值分别是( )A ．50，14B ．60，14C ．50，34D ．60，34[答案] B[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ np ＝15np (1－p )＝454得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝14n ＝60. 2．样本中共有五个个体，其值分别为a 、0、1、2、3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )A ．65B ．65C ． 2D ．2 [答案] D[解析] ∵a ＋0＋1＋2＋35＝1，∴a ＝－1，故s 2＝15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.3．已知总体的各个体的值由小到大依次为2、3、3、7、a 、b 、12、13.7、18.3、20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是________．[答案] 10.5、10.5[解析] 由题意得a ＋b2＝10.5，∴a ＋b ＝21，x ＝2＋3＋3＋7＋21＋13.7＋18.3＋20＋1210＝10，∴s 2＝110[(10－2)2＋(10－3)2＋(10－3)2＋(10－7)2＋(10－a )2＋(10－b )2＋(10－12)2＋(10－13.7)2＋(10－18.3)2＋(10－20)2]＝110[82＋72＋72＋32＋(10－a )2＋(10－b )2＋4＋3.72＋8.32＋102] ＝110[(10－a )2＋(10－21＋a )2＋…] ＝110[2(a －10.5)2＋…]当a ＝10.5时，方差s 最小，b ＝10.5.4．有一批零件共10个合格品、2个不合格品．安装机器时从这批零件中任选1个，取到合格品才能安装；若取出的是不合格品，则不再放回．(1)求最多取2次零件就能安装的概率；(2)求在取得合格品前已经取出的次品数X 的分布列，并求出X 的均值E (X )和方差D (X )(方差计算结果保留两个有效数字)．[解析] (1)设安装时所取零件的次数是η，则P (η＝1)＝1012＝56，这是取1次零件就取到了合格品，可以安装；P (η＝2)＝212×1011＝533，这是第1次取到不合格品，第2次取到了合格品．∴最多取2次零件就能安装的概率为 56＋533＝6566. (2)依题意X 的所有可能取值为0、1、2， P (X ＝0)＝P (η＝1)＝56，P (X ＝1)＝P (η＝2)＝533，P (X ＝2)＝1－56－533＝166.故X 的分布列是于是E (X )＝0×56＋1×533＋2×166＝211，D (X )＝56×⎝⎛⎭⎫2112＋533×⎝⎛⎭⎫9112＋166×⎝⎛⎭⎫20112≈0.18.所以X 的期望值和方差值分别是211和0.18.5．设在15个同类型的零件中有2个是次品，每次任取1个，取出后不再放回，共取3次．若以X 表示取出次品的个数，求X 的均值和方差．[分析] 首先求出各种情况的概率，写出概率分布，注意零件取后不放回．[解析] P (X ＝0)＝C 313C 315＝2235，P (X ＝1)＝C 12C 213C 315＝1235，P (X ＝2)＝C 22C 113C 315＝135，故X 的分布列为：则E (X )＝0×2235＋1×1235＋2×135＝25，D (X )＝⎝⎛⎭⎫0－252×2235＋⎝⎛⎭⎫1－252×1235＋⎝⎛⎭⎫2－252×135＝52175. 6．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：(ⅰ)若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分布列、数学期望及方差；(ⅱ)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．[解析] (1)当日需求量n ≥16时，利润y ＝80. 当日需求量n <16时，利润y ＝10n －80， 所以y 关于n 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －80， n <16，80， n ≥16，(n ∈N )． (2)(ⅰ)X 可能的取值为60,70,80，并且P (X ＝60)＝0.1，P (X ＝70)＝0.2，P (X ＝80)＝0.7. X 的分布列为X 的数学期望为E (X )＝60X的方差为D(X)＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44.(ⅱ)答案一：花店一天应购进16枝玫瑰花．理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为Y的数学期望为E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.Y的方差为D(Y)＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04.由以上的计算结果可以看出，D(X)<D(Y)，即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小．另外，虽然E(X)<E(Y)，但两者相差不大．故花店一天应购进16枝玫瑰花．答案二：花店一天应购进17枝玫瑰花．理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元)，那么Y的分布列为Y的数学期望为E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.由以上的计算结果可以看出，EX<EY，即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润．故花店一天应购进17枝玫瑰花．。
高三数学选修2-3(B版)_《离散型随机变量的方差》同步练习
2.3.2离散型随机变量的方差一、选择题1．下列说法中正确的是（）A．离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值B．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平C．离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的波动水平D．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平2．已知ξ的分布列为则D(ξ)的值为（A.2912 B.121144 C.179144 D.17123．设随机变量X服从二项分布B(4，13)，则D(X)的值为（）A.43 B.83 C.89 D.194．已知ξ～B(n，p)，E(ξ)＝8，D(ξ)＝1.6，则n与p的值分别为（）A．100和0.08 B．20和0.4C．10和0.2 D．10和0.85．某事件在一次试验中发生的次数ξ的方差D(ξ)的最大值为（）A．1 B.12 C.14D．2二、填空题6．A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：A机床B机床7．已知随机变量ξ的方差D(ξ)＝4，且随机变量η＝2ξ＋5，则D(η)＝________。
8．设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________。
三、解答题9．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n 个(n＝1，2，3，4)。
现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号。
求ξ的分布列、期望和方差。
10．某人投弹击中目标的概率为p＝0.8。
(1)求投弹一次，命中次数X的均值和方差；(2)求重复10次投弹时击中次数Y的均值和方差。
11．已知离散型随机变量X的分布列如下表：若E(X)＝0，D(X)＝1。
12．甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92。
(1)求该题被乙独立解出的概率；(2)求解出该题的人数ξ的数学期望和方差。
2018年秋人教B版数学选修2-3练习：2.3.2 离散型随机变量的方差
2.3.2离散型随机变量的方差课时过关·能力提升1.D(X-D(X))的值为()A.不确定B.0C.D(X)D.2D(X)答案:C2.如果随机变量X服从二项分布X~B(100,0.2),那么D(4X+3)的值为()A.64B.256C.259D.320解析:由题意知,D(X)=100×0.2×(1-0.2)=16,所以D(4X+3)=42×D(X)=16×16=256.答案:B3.若X~B(n,p),且E(X)=6,D(X)=3,则P(X=1)的值为()A.3·2-2B.2-4C.3·2-10D.2-8解析:∵X~B(n,p),∴E(X)=np,D(X)=np(1-p).∴P(X=1)==3·2-10.答案:C4.设随机变量X的概率分布为P(X=k)=(1-p)k p1-k(k=0,1),则E(X),D(X)的值分别是()A.0和1B.p和p2C.p和1-pD.1-p和p(1-p)解析:随机变量X的概率分布为P(X=k)=(1-p)k p1-k(k=0,1),则P(X=0)=p,P(X=1)=1-p,所以E(X)=0×p+1×(1-p)=1-p,D(X)=[0-(1-p)]2×p+[1-(1-p)]2×(1-p)=p(1-p).答案:D5.已知随机变量ξ的分布列为:ξ-1 0 1P则在下列式子①E(ξ)=-,②D(ξ)=,③P(ξ=0) =中,正确的有()A.0个B.1个C.2个D.3个解析:由分布列可知P(ξ=0)=,根据公式可求得E(ξ)=-,D(ξ)=,所以①③正确.答案:C6.已知随机变量X~B(n,p),若E(X)=4,Y=2X+3,D(Y)=3.2,则P(X=2)=.(结果用数字表示) 解析:由已知条件可求得n=5,p=0.8,故P(X=2)=p2(1-p)3=答案:7.随机变量ξ的分布列为:ξ-1 0 1P a b c其中a,b,c成等差数列,若E(ξ)=,则D(ξ)的值是.解析:由已知得解得所以D (ξ)=答案:★8.若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0<p<1),用随机变量X表示A在1次试验中发生的次数,则方差D(X)的最大值为;的最大值为.解析:随机变量X的所有可能取值为0,1,由题意,得X的分布列为X0 1P1-p p,从而E(X)=0×(1-p)+1×p=p,D(X)=(0-p)2×(1-p)+(1-p)2×p=p-p2.D(X)=p-p2=-=-因为0<p<1,所以当p=时,D(X)取得最大值,最大值为=2-因为0<p<1,所以2p+2当2p=,即p=时,取等号.因此,当p=时,取得最大值2-2答案:2-29.设一次试验的成功率为p,进行100次独立重复试验,求当p为何值时,成功次数的标准差最大?并求其最大值.分析根据题意,可知本题主要考查服从二项分布的随机变量的标准差公式,所以解决本题的关键就是找出几个变量之间的关系.解:设成功次数为随机变量X,由题意可知X~B(100,p).那么因为D(X)=100p(1-p)=100p-100p2,所以把上式看作一个以p为自变量的二次函数,易知当p=时,D(X)有最大值为25,所以的最大值为5,即当p=时,成功次数的标准差的最大值为5.10.从4名男生和2名女生中任选2人参加演讲比赛,设随机变量X表示所选2人中女生的人数.(1)求X的分布列;(2)求X的数学期望;(3)求X的方差.分析X的可能取值有0,1,2,求出相应概率再由公式求期望、方差.解:(1)X的可能取值为0,1,2.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,所以X的分布列为X0 1 2P(2)X的数学期望E(X)=0+1+2(3)D(X)=。
数学人教A版选修2-3课后导练：2.3.2离散型随机变量的方差 含解析 精品
2024年班主任工作总结在思品课中进行创造教育班主任工作总结：创造教育在思品课中的实践（____字）____年，我有幸担任某中学某年级的班主任，承担着思品课的教学任务。
一年来，我在思品课教学中积极践行创造教育，不断探索和实践，在培养学生创新思维、提高思辨能力和利用思品课促进学生全面发展等方面取得了一定的成绩和经验。
下面我将结合具体的案例和实践经验，对我的班主任工作进行总结。
一、培养学生的创新思维能力作为班主任和思品课教师，我深知培养学生的创新思维能力对于他们未来的发展至关重要。
因此，在思品课教学中，我注重激发学生的创造力和创新意识。
首先，我通过创设多元化的学习情境，激发学生的兴趣。
例如，在探究人类社会历史发展的时候，我引入了许多有趣的历史故事和活动，让学生以探险者的心态去发现历史的奥秘。
这样的学习情境能够激发学生的兴趣，让他们主动思考，发现和解决问题。
其次，我提倡学生积极参与到开放性问题的探究和解决中。
在课堂上，我经常提出一些具有挑战性的问题，引导学生展开讨论和思考。
例如，在讨论环保问题时，我提出了“如何在垃圾分类中发挥创新思维”的问题，鼓励学生从多个角度思考，提出自己的观点和解决方案。
在这个过程中，学生必须要具备创造性思维，发散思维，才能找到创新的解决途径。
另外，我还注重培养学生的实践能力和动手能力。
在思品课的实践活动中，我鼓励学生多角度地思考问题，并提供给他们大量的实践机会，让学生亲身体验和探索，提高他们的动手能力和实践能力。
例如，在讨论健康生活方式的时候，我组织学生实地考察食品市场，并根据考察结果展开一系列的实践活动，让学生亲自尝试制作健康食品。
通过这样的实践活动，学生能够发现问题、解决问题，并得到实实在在的成果和反馈，从而不断尝试和创新。
二、提高学生的思辨能力和批判性思维思品课教学的一个重要目标是培养学生的思辨能力和批判性思维。
作为班主任，我在班级管理中注重培养学生独立思考、辨别和分析问题的能力。
高中人教A数学选修2-3学案：2.3.2 离散型随机变量的方差 含答案
2.3.2离散型随机变量的方差自主预习·探新知情景引入A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：A机床次品数X1012 3P 0.70.20.060.04B机床次品数X2012 3P 0.80.060.040.10试问：由E(X1)和E2工质量？新知导学1．随机变量的方差、标准差的定义：设离散型随机变量的分布列如下表.X x1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n则__(x i－E(X))2__i D(X)＝∑i＝1n(x i－E(X))2p i为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的__平均偏离程度__.我们称D(X)为随机变量X的方差，其算术平方根D(X)为随机变量X的__标准差__．2．离散型随机变量与样本相比较，随机变量的__数学期望__的含义相当于样本均值，随机变量取各个不同值，相当于各个不同样本点，随机变量取各个不同值的__概率__相当于各个样本点在刻画样本方差时的权重．3．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于__均值__的平均程度，方差(或标准差)越小，则随机变量偏离于均值的平均程度__越小__．4．方差的性质若a 、b 为常数，则D (aX ＋b )＝__a 2D (X )__． 设离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n由Y ＝aX ＋b (a ，b 为常数)知Y 也是离散型随机变量．Y 的分布列为Y ax 1＋b ax 2＋b … ax i ＋b … ax n ＋b Pp 1p 2…p i…p n由数学期望的线性性质得E (Y )＝aE (X )＋b ，于是 D (aX ＋b )＝D (Y )＝∑i ＝1n(ax i ＋b －E (Y ))2p i＝∑i ＝1n(ax i ＋b －aE (X )－b )2p i ＝∑i ＝1n(ax i －aE (X ))2p i ＝__a 2∑i ＝1n(x i －E (X ))2p i __＝__a 2D (X )__．5．若X 服从两点分布B (1，p )，则D (X )＝__p (1－p )__．设随机变量X ～B (1，p )，则由两点分布随机变量数学期望的计算公式得E (X )＝p ，于是D (X )＝(0－p )2(1－p )＋(1－p )2p ＝p (1－p )(p ＋1－p )＝p (1－p )．6．若X ～B (n ，p )，则D (X )＝__np (1－p )__．预习自测1．甲、乙两个运动员射击命中环数ξ、η的分布列如下表．其中射击比较稳定的运动员是( B )环数k 8 9 10 P (ξ＝k ) 0.3 0.2 0.5 P (η＝k )0.20.40.4A ．甲B ．乙C ．一样D ．无法比较[解析] E (ξ)＝9.2，E (η)＝9.2＝E (ξ)，D (ξ)＝0.76，D (η)＝0.56<D (ξ)，乙稳定． 2．设随机变量X 服从二项分布B ⎝⎛⎭⎫4，13，则D (X )的值为( C ) A ．43B ．83C ．89D ．19[解析] D (X )＝4×13×(1－13)＝89．3．(2020·哈师大附中高二检测)设ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k 5(13)k (23)5－k，(k ＝0、1、2、3、4、5)，则D (3ξ)＝( A )A ．10B ．30C ．15D ．5[解析] 由ξ的分布列知ξ～B (5，13)，∴D (ξ)＝5×13×(1－13)＝109，∴D (3ξ)＝9D (ξ)＝10，故选A ．4．已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )．若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝__13__．[解析] 依题意可得E (X )＝np ＝30且D (x )＝np (1－p )＝20，解得p ＝13．5．(2020·金华模拟)随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则D (ξ)的最大值为( A ) A ．23B ．59C ．29D ．34[解析] ∵a ，b ，c 成等差数列， ∴由随机变量ξ的分布列，得：⎩⎪⎨⎪⎧0≤a ≤10≤b≤1≤c ≤1a ＋b ＋c ＝12b ＝a ＋c，解得b ＝13，a ＝13－d ，b ＝13＋d ，E (ξ)＝－1×(13－d )＋0×13＋1×(13＋d )＝2d ，D (ξ)＝(－1－2d )2×(13－d )＋(0－2d )2×13＋(1－2d )2×(13＋d )＝23－4d 2．∴当d ＝0时，D (ξ)取最大值为23.故选A ．互动探究·攻重难互动探究解疑 命题方向❶求离散型随机变量的方差典例1 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．(1)求X 的分布列、均值和方差；(2)若Y ＝aX ＋b ，E (Y )＝1，D (Y )＝11，试求a ，b 的值．[思路分析] (1)根据题意，由古典概型的概率公式求出分布列，再利用均值、方差的公式求解．(2)运用E (Y )＝aE (X )＋b ，D (Y )＝a 2D (X )，求a ，b ． [解析] (1)X 的分布列为：X 0 1 2 3 4 P1212011032015∴E (X )＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5．D (X )＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75．(2)由D (Y )＝a 2D (X )，得a 2×2.75＝11，即a ＝±2．又E (Y )＝aE (X )＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2；当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝4.即为所求． 『规律总结』 1.求离散型随机变量X 的方差的基本步骤：理解X 的意义，写出X 可能取的全部值↓写出X 取每个值的概率↓ 写出X 的分布列↓由均值的定义求出E (X )↓利用公式D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2p i 求值2．对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D (aξ＋b )＝a 2D (ξ)，这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b 的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程．┃┃跟踪练习1__■(1)已知随机变量X 的分布列为若E (X )＝158，则D (X )等于( B )A ．3364B ．5564C ．732D ．932[解析] 由分布列的性质得x ＋y ＝0.5，又E (X )＝158，所以2x ＋3y ＝118，解得x ＝18，y ＝38，所以D (X )＝⎝⎛⎭⎫1－1582×12＋⎝⎛⎭⎫2－1582×18＋⎝⎛⎭⎫3－1582×38＝5564． (2)(2020·柳州高二检测)已知X 的分布列如下：P12 14a①求X 2的分布列； ②计算X 的方差；③若Y ＝4X ＋3，求Y 的均值和方差．[解析] ①由分布列的性质，知12＋14＋a ＝1，故a ＝14，从而X 2的分布列为X 2 0 1 P1434②方法一：由①知a ＝14，所以X 的均值E (X )＝(－1)×12＋0×14＋1×14＝－14.故X 的方差D (X )＝(－1＋14)2×12＋(0＋14)2×14＋(1＋14)2×14＝1116．方法二：由①知a ＝14，所以X 的均值E (X )＝(－1)×12＋0×14＋1×14＝－14，X 2的均值E (X 2)＝0×14＋1×34＝34，所以X 的方差D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2＝1116．③因为Y ＝4X ＋3，所以E (Y )＝4E (X )＋3＝2，D (Y )＝42D (X )＝11． 命题方向❷两点分布、二项分布的方差典例2 某出租车司机从某饭店到火车站途中需经过六个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是13．(1)求这位司机遇到红灯次数X 的均值与方差；(2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间Y 的均值与方差． [解析] (1)由题意知司机遇上红灯次数X 服从二项分布，且X ～B (6，13)，∴E (X )＝6×13＝2，D (X )＝6×13×(1－13)＝43．(2)由已知得Y ＝30X ，∴E (Y )＝30E (X )＝60，D (Y )＝900D (X )＝1 200．『规律总结』 1.如果随机变量X 服从两点分布，那么其方差D (X )＝p (1－p )(p 为成功概率)．2．如果随机变量X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )，那么方差D (X )＝np (1－p )，计算时直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程．┃┃跟踪练习2__■若随机变量X ～B (3，p )，D (X )＝23，则p ＝__13或23__．[解析] ∵X ～B (3，p )， ∴D (X )＝3p (1－p )， 由3p (1－p )＝23，得p ＝13或p ＝23．命题方向3方差的实际应用典例3 (2020·日照高二检测)甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为：ξ 1 2 3 Pa0.10.6η 1 2 3 P0.3b0.3(1)求a ，b 的值；(2)计算ξ，η的期望与方差，并以此分析甲、乙技术状况． [解析] (1)由离散型随机变量的分布列的性质可知 a ＋0.1＋0.6＝1， ∴a ＝0.3．同理0.3＋b ＋0.3＝1，b ＝0.4． (2)E (ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3， E (η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，D (ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81， D (η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3 ＝0.6．由于E (ξ)＞E (η)，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D (ξ)>D (η)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势．『规律总结』 1.解答离散型随机变量的实际应用问题的关注点(1)分析题目背景，根据实际情况抽象出概率模型，特别注意随机变量的取值及其实际意义．(2)弄清实际问题是求均值还是方差，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．因此，在利用均值和方差的意义去分析解决实际问题时，两者都要分析．2．求分布列时的关注点要注意利用等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式计算概率，并注意结合分布列的性质简化概率．┃┃跟踪练习3__■为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“＋”表示未服药者．(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60的概率；(2)从图中A ，B ，C ，D 四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)；(3)试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小．(只需写出结论)[解析] (1)由题图知，在服药的50名患者中，指标y 的人小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y 的值小于60的概率为1550＝0.3．(2)由题图可知，A ，B ，C ，D 四人中，指标x 的值大于1.7的有2人：A 和C ． 所以ξ的所有可能取值为0,1,2． P (ξ＝0)＝C 22C 24＝16，P (ξ＝1)＝C 12C 12C 24＝23，P (ξ＝2)＝C 22C 24＝16．所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 P162316故ξ的期望E (ξ)＝0×16＋1×23＋2×16＝1．(3)在这100名患者中，服药者指标y 数据的方差大于未服药者指标y 数据的方差．学科核心素养用公式法求离散型随机变量的方差若能判断出离散型随机变量服从常见的分布，则常用公式法求离散型随机变量的方差．注意以下三种分布在解题中的应用：①当X 服从两点分布，即X ～B (1，p )时，D (X )＝p (1－p )；②当X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )时，D (X )＝np (1－p )；③当X 服从超几何分布，即X ～H (N ，M ，n )时，D (X )＝nM N (1－M N )N －n N －1．典例4 (1)若随机事件A 在1次试验中发生的概率为p (0<p <1)，用随机变量ξ表示A 在1次试验中发生的次数，则方差D (ξ)的最大值为__14__．(2)一农场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病的牛的头数为ξ，则D (ξ)等于__0.196__．[解析] (1)随机变量ξ的所有可能取值为0,1，并且有P (ξ＝1)＝p ，P (ξ＝0)＝1－p ，从而ξ～B (1，p )，故D (ξ)＝p (1－p )＝p －p 2＝－(p 2－p ＋14)＋14＝－(p －12)2＋14，∵0<p <1，∴当p ＝12时，D (ξ)取得最大值，最大值为14.故填14．(2)因为随机变量ξ～B (10,0.02)，所以D (ξ)＝10×0.02×0.98＝0.196.故填0.196． ┃┃跟踪练习4__■在对某渔业产品的质量调研中，从甲、乙两地出产的该产品中各随机抽取10件测量该产品中某种元素的含量(单位：毫克)．如图所示的是测量数据的茎叶图.甲地 乙地 83 4 6 8 1 2 4 7 8 8 9 0 2 4 5 620 0 1 2(1)试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率(优质品件数/总件数)；(2)从乙地抽取的上述10件产品中随机抽取3件，求抽到的3件产品中优质品件数ξ的分布列及方差D (ξ)．[解析] (1)甲地抽取的样本中优质品有7件，优质品率为710.乙地抽取的样本中优质品有8件，优质品率为810＝45．(2)ξ的所有可能值为1,2,3，P (ξ＝1)＝C 18·C 22C 310＝115，P (ξ＝2)＝C 28·C 12C 310＝715，P (ξ＝3)＝C 38·C 02C 310＝715，所以ξ的分布列为：ξ 1 2 3 P115715715所以ξ的方差D (ξ)＝8×310×(1－810)×10－310－1＝2875．易混易错警示要准确理解随机变量取值的含义典例5 某人有5把钥匙，其中只有一把能打开某一扇门，今任取一把试开，不能打开者除去，求打开此门所需试开次数X 的均值和方差．[错解] 5把钥匙中只有一把能打开房门，任取一把打开房门的概率为15，故试开次数X ～B (5，15)，由二项分布均值与方差的定义知E (X )＝5×15＝1，D (X )＝5×15×(1－15)＝45．[辨析] 首先这不是五次独立重复试验，从5把钥匙中取一把试开房门，若不能打开，则除去这把后，第二次试开就只有4把钥匙了．其次X ＝k 的含义是前k －1把钥匙没有打开房门，而第k 把钥匙打开了房门． [正解] 设X 为打开此门所需的试开次数，则X 的可能取值为1、2、3、4、5． X ＝k 表示前k －1次没打开此门，第k 次才打开了此门． P (X ＝1)＝15，P (X ＝2)＝C 14C 15·14＝15，P (X ＝3)＝C 24C 25·13＝15，P (X ＝4)＝C 34C 35·12＝15，P (X ＝5)＝C 44C 45·1＝15，故随机变量X 的概率分布列为：X 1 2 3 4 5 P1515151515E (X )＝1×15＋2×15＋3×15＋4×15＋5×15＝3．D (X )＝(1－3)2×15＋(2－3)2×15＋(3－3)2×15＋(4－3)2×15＋(5－3)2×15＝15×(22＋12＋02＋12＋22)＝2． [误区警示] (1)弄不清随机变量X 取值的含义是本题解题的易错点，X ＝k 表示前k －1把钥匙是从4把打不开房门的钥匙中取的，故P (X ＝k )＝C k －14C k －15·15－(k －1)．(2)本题求分布列时，可换一个思维角度思考，把5把钥匙排成一列，能打开房门的钥匙排在任一位置是等可能的，因此排在第k 个位置的概率为P (X ＝k )＝15(k ＝1,2,3,4,5)．课堂达标·固基础1．已知随机变量X 的分布列为X 0 1 2 P131313设Y ＝2X ＋3，则D (Y )A ．83B ．53C ．23D ．13[解析] ∵E (X )＝0×13＋1×13＋2×13＝1，∴D (X )＝(0－1)2×13＋(1－1)2×13＋(2－1)2×13＝23， ∴D (Y )＝D (2X ＋3)＝4D (X )＝83．2．一批产品中，次品率为14，现有放回地连续抽取4次，若抽取的次品件数记为X ，则D (X )的值为( C )A ．43B ．83C ．34D ．116[解析] 由题意，次品件数X 服从二项分布，即X ～B (4，14)，故D (X )＝np ·(1－p )＝4×14×34＝34． 3．已知ξ～B (n ，p )，且E (3ξ＋2)＝9.2，D (3ξ＋2)＝12.96，则二项分布的参数n ，p 的值为( B )A ．n ＝4，p ＝0.6B ．n ＝6，p ＝0.4C ．n ＝8，p ＝0.3D ．n ＝24，p ＝0.1[解析] 由E (3ξ＋2)＝3E (ξ)＋2，D (3ξ＋2)＝9D (ξ)，设ξ～B (n ，p )时，E (ξ)＝np ，D (ξ)＝np (1－p )可知⎩⎪⎨⎪⎧3np ＋2＝9.2，9np (1－p )＝12.96，所以⎩⎪⎨⎪⎧n ＝6，p ＝0.4.故选B ．4．袋中有大小相同的三个球，编号分别为1,2,3，从袋中每次取出一个球，若取到球的编号为奇数，则取球停止，用X 表示所有被取到的球的编号之和，则X 的方差为__179__．[解析] X 的分布列为则E (X )＝1×13＋3×12＋5×16＝83．D (X )＝179．5．在一次数学考试中，第22,23,24题为选做题，规定每位考生必须且只需在其中选做一题，设5名考生选做这三题的任意一题的可能性均为13，每位学生对每题的选择是相互独立的，各学生的选择相互之间没有影响．(1)求其中甲、乙两人选做同一题的概率；(2)设选做第23题的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望、方差．[解析] (1)设事件A 1表示甲选22题，A 2表示甲选23题，A 3表示甲选24题，B 1表示乙选22题，B 2表示乙选23题，B 3表示乙选24题，依题意P (A i )＝P (B i )＝13，i ＝1,2,3，则甲、乙两人选做同一题的事件为A 1B 1＋A 2B 2＋A 3B 3，且A 1与B 1，A 2与B 2，A 3与B 3相互独立，∴P (A 1B 1＋A 2B 2＋A 3B 3)＝P (A 1)P (B 1)＋P (A 2)P (B 2)＋P (A 3)P (B 3)＝(13×13)×3＝13．(2)ξ可能取值为0,1,2,3,4,5.且5名考生选做这三题中的任意一题的可能性均为13，∴P (ξ＝k )＝C k 5(13)k (23)5－k ＝C k5·25－k35，k ＝0,1,2,3,4,5，∴ξ的分布列为：∴E (ξ)＝np ＝5×13＝53．D (ξ)＝np (1－p )＝5×13×(1－13)＝109．。
高中数学选修2-3教学同步课时练 2.3.2离散型随机变量的方差
D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4.
E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8， D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12
(2)f(x)＝D
x 100
Y1
＋D
100 100
x
Y2
＝
x 100
2
D(Y1)＋
P(X＝2)＝1×2＝1； 255
∴X 的分布列为：
X0
1
2
P
3 10
5 10
2 10
E(X)＝0× 3 ＋1× 5 ＋2× 2 ＝ 9 ， 10 10 10 10
D(X)＝
0
9 10
2
×3＋ 10
1
9 10
2
×5＋ 10
2
9 10
2
× 2 ＝ 49 . 10 100
答案：0.49
三、解答题(每小题 10 分，共 30 分)
则 P(ξ＝12)＝CC18C31022＝115. ∴ξ的分布列为：
ξ6
9
12
P
7 15
7 15
1 15
∴E(ξ)＝6× 7 ＋9× 7 ＋12× 1 ＝7.8.
15 15
15
D(ξ)＝(6－7.8)2× 7 ＋(9－7.8)2× 7 ＋(12－7.8)2× 1 ＝3.36.
15
15
15
8．甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为 0.6，被甲或乙解出
X1 5% 10% P 0.8 0.2
X2 2% 8% 12% P 0.2 0.5 0.3
(1)在 A，B 两个项目上各投资 100 万元，Y1 和 Y2 分别表示投资项目 A 和 B 所获得的利
高中数学选修2-3课时作业7：2.3.2离散型随机变量的方差
2．3.2 离散型随机变量的方差一、基础达标1．下列说法中，正确的是( )A ．离散型随机变量的均值E (X )反映了X 取值的概率平均值B ．离散型随机变量的方差D (X )反映了X 取值的平均水平C ．离散型随机变量的均值E (X )反映了X 取值的平均水平D ．离散型随机变量的方差D (X )反映了X 取值的概率平均值 [答案] C2．设一随机试验的结果只有A 和A ，且P (A )＝m ，令随机变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，A 发生，0，A 不发生，则ξ的方差D (ξ)等于( ) A ．m B ．2m (1－m ) C ．m (m －1) D ．m (1－m )[答案] D[解析] 随机变量ξ的分布列为∴E (ξ)＝0×(1－m )＋1×m ＝m .∴D (ξ)＝(0－m )2×(1－m )＋(1－m )2×m ＝m (1－m )．∴故选D.3．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝13，k ＝1,2,3，则D (3X ＋5)等于( )A ．6B ．9C ．3D ．4 [答案] A[解析] E (X )＝1×13＋2×13＋3×13＝2，∴D (X )＝13×[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]＝23，∴D (3X ＋5)＝9D (X )＝9×23＝6.4．已知X ～B (n ，p )，E (X )＝8，D (X )＝1.6，则n 与p 的值分别是( ) A ．100和0.08 B ．20和0.4 C ．10和0.2 D ．10和0.8[答案] D[解析] 因随机变量X ～B (n ，p )， 则E (X )＝np ＝8， D (X )＝np ·(1－p )＝1.6， 所以n ＝10，p ＝0.8.5．若D (ξ)＝1，则D (ξ－D (ξ))＝________. [答案] 1[解析] D (ξ－D (ξ))＝D (ξ－1)＝D (ξ)＝1. 6．随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝________.[答案] 59[解析] 由题意得2b ＝a ＋c ①，a ＋b ＋c ＝1②，c －a ＝13③，以上三式联立解得a ＝16，b ＝13，c ＝12，故D (ξ)＝59. 7．有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下：其中ξA ，ξB 120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度．(哪一种的稳定性较好)解 E (ξA )＝110×0.1＋120×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋135×0.2＝125， E (ξB )＝100×0.1＋115×0.2＋125×0.4＋130×0.1＋145×0.2＝125，D (ξA )＝0.1×(110－125)2＋0.2×(120－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(135－125)2＝50，D (ξB )＝0.1×(100－125)2＋0.2×(115－125)2＋0.4×(125－125)2＋0.1×(130－125)2＋0.2×(145－125)2＝165，由此可见，E (ξA )＝E (ξB )，D (ξA )<D (ξB )，故两种材料的抗拉强度的平均值相等，其稳定程度材料乙明显不如材料甲，故甲的稳定性好． 二、能力提升8．已知随机变量ξ的分布列如下表，则ξ的标准差为( )A.3.56B. 3.2C ．3.2D. 3.56 [答案] D[解析] 依题意：0.4＋0.1＋x ＝1， ∴x ＝0.5，∴E (ξ)＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2，∴D (ξ)＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56， ∴D (ξ)＝ 3.56.9．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k n (23)k (13)n －k，k ＝0,1,2，…，n ，且E (ξ)＝24，则D (ξ)的值为( ) A ．8B ．12C.29D ．16[答案] A[解析] 由题意可知ξ～B (n ，23)，∴E (ξ)＝23n ＝24.∴n ＝36.∴D (ξ)＝36×23×(1－23)＝8.10．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.[答案] 25[解析] 设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝35，b ＝15，所以D (ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.11．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求E (ξ)和D (ξ)．解 这3张卡片上的数字之和为ξ，这一变量的可能取值为6,9,12.ξ＝6表示取出的3张卡片上均标有2， 则P (ξ＝6)＝C 38C 310＝715.ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，则P (ξ＝9)＝C 28C 12C 310＝715.ξ＝12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5，则P (ξ＝12)＝C 18C 22C 310＝115.∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.D (ξ)＝(6－7.8)2×715＋(9－7.8)2×715＋(12－7.8)2×115＝3.36.12．为了迎战下届奥运会，对甲、乙两名射手进行一次选拔赛．已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a ，a ，0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.(1)求ξ，η的分布列；(其中ξ为甲击中的环数，η为乙击中的环数)(2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．解(1)依据题意，知0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.∵乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2，∴乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.∴ξ，η的分布列分别为(2)结合(1)中ξ，η的分布列可得：E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2，E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7，D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96，D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.∵E(ξ)>E(η)，说明甲平均射中的环数比乙高．又∵D(ξ)<D(η)，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定．∴甲的射击技术好．三、探究与创新13．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，均值E(X)及方差D(X)．解(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个”．因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P(X＝0)＝C03(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝C13·0.6(1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝C23·0.62(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝C33·0.63＝0.216，则X的分布列为因为X～B(3,0.6)，所以均值E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.。
高中数学 2.3.2离散型随机变量的方差同步测试 新人教A
【成才之路】2014-2015学年高中数学 2.3.2离散型随机变量的方差同步测试 新人教A 版选修2-3一、选择题1．已知随机变量X 的分布列为：P (X ＝k )＝13，k ＝1、2、3，则D (3X ＋5)＝( )A ．6B ．9C ．3D ．4[答案] A[解析] E (X )＝(1＋2＋3)×13＝2，D (X )＝[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]×13＝23，∴D (3X ＋5)＝9D (X )＝6.2．若X ～B (n ，p )，且E (X )＝6，D (X )＝3，则P (X ＝1)的值为( ) A ．3·2－2B ．2－4C ．3·2－10D ．2－8[答案] C[解析] E (X )＝np ＝6，D (X )＝np (1－p )＝3， ∴p ＝12，n ＝12，则P (X ＝1)＝C 112·12·(12)11＝3·2－10.3．设随机变量X 的概率分布列为P (X ＝k )＝p k ·(1－p )1－k(k ＝0,1)，则E (X )、D (X )的值分别是( )A ．0和1B ．p 和p 2C ．p 和1－pD ．p 和(1－p )p[答案] D[解析] 由X 的分布列知，P (X ＝0)＝1－p ，P (X ＝1)＝p ，故E (X )＝0×(1－p )＋1×p ＝p ，易知X 服从两点分布，∴D (X )＝p (1－p )．4．(2013·浙江余姚中学高二期中)已知随机变量ξ和η，其中η＝10ξ＋2，且E (η)＝20，若ξ的分布列如下表，则m 的值为( )ξ 1 2 3 4 P14m n112A.4760 B ．3760 C ．2760 D ．18[答案] A[解析] ∵E (η)＝E (10ξ＋2)＝10E (ξ)＋2＝20， ∴E (ξ)＝1.8即：1×14＋2m ＋3n ＋4×112＝1.8，∴2m ＋3n ＝7360① 又m ＋n ＝1－14－112＝23②，由①②得，m ＝4760.5．随机变量X ～B (100,0.2)，那么D (4X ＋3)的值为( ) A ．64 B ．256 C ．259 D ．320 [答案] B[解析] 由X ～B (100,0.2)知随机变量X 服从二项分布，且n ＝100，p ＝0.2，由公式得D (X )＝np (1－p )＝100×0.2×0.8＝16，因此D (4X ＋3)＝42D (X )＝16×16＝256，故选B.6．已知X 的分布列如下表：且a 、b 、c 成等比数列，E (X )＝9，则a ＝( )A ．16B ．13C ．12D ．23[答案] C[解析] 由分布列的性质得a ＋b ＋c ＝1318①∵E (X )＝19，∴－a ＋c ＋59＝19，∴a －c ＝49，②又a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac ， ③将②代入①、③得，⎩⎨⎧2a ＋b ＝76， ④b 2＝a a －49. ⑤由④得b ＝76－2a ，代入⑤得，a ＝12或a ＝4954，当a ＝4954时，a ＋518＝6454>0，不合题意舍去，∴a ＝12.二、填空题7．某射手击中目标的概率为p ，则他射击n 次，击中目标次数X 的方差为________． [答案] np (1－p ) [解析] ∵X ～B (n ，p )， ∴D (X )＝np (1－p )．8．(2014·浙江理，12)随机变量ξ的取值为0、1、2，若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.[答案] 25[解析] 设ξ＝1的概率为P .则E (ξ)＝0×15＋1×P ＋2(1－P －15)＝1，∴P ＝35.故D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.9．(2013·汶上高二检测)已知随机变量X 的分布列为X 0 1 xP15m310且E (X )＝1.1，则D (X )＝[答案] 0.49[解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧15＋m ＋310＝1，0×15＋1·m ＋x ·310＝1.1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12x ＝2.所以D (X )＝(0－1.1)2×15＋(1－1.1)2×12＋(2－1.1)2×310＝0.49.三、解答题10．(2013·北京理，16)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望； (3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明) [解析] 设A i 表示事件“此人于3月i 日到达该市”(i ＝1,2，…，13)， 根据题意，P (A i )＝113，且A i ∩A j ＝∅(i ≠j )．(1)设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B ＝A 5∪A 8， 所以P (B )＝P (A 5∪A 8)＝P (A 5)＋P (A 8)＝213.(2)由题意可知，X 的所有可能取值为0、1、2，且P (X ＝1)＝P (A 3∪A 6∪A 7∪A 11)＝P (A 3)＋P (A 6)＋P (A 7)＋P (A 11)＝413，P (X ＝2)＝P (A 1∪A 2∪A 12∪A 13)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 12)＋P (A 13)＝413，P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝513.所以X 的分布列为：X 0 1 2 P513413413故X 的期望E (X )＝0×513＋1×413＋2×413＝1213.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．一、选择题11．某人射击一次击中的概率为35，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为( )A ．81125B ．54125 C ．36125 D ．27125[答案] A[解析] 该人3次射击，恰有两次击中目标的概率是P 1＝C 23·(35)2·25，三次全部击中目标的概率是P 2＝C 33·(35)3，所以此人至少有两次击中目标的概率是P ＝P 1＋P 2＝C 23·(35)2·25＋C 33·(35)3＝81125. 12．甲、乙两台自动机床各生产同种标准产品1000件，ξ表示甲车床生产1000件产品中的次品数，η表示乙车床生产1000件产品中的次品数，经过一段时间的考察ξ，η的分布列分别如表一，表二所示．据此判定( )表一ξ 0 1 2 3 P0.70.20.1表二ξ 0 1 2 3 P0.60.20.10.1A.甲比乙质量好 C ．甲与乙质量相同 D ．无法判定[答案] B[解析] 由分布列可求甲的次品数期望为E (ξ)＝0.7，乙的次品数期望为E (η)＝0.7，进而得D (ξ)＝(0－0.7)2×0.7＋(1－0.7)2×0＋(2－0.7)2×0.2＋(3－0.7)2×0.1＝1.21，D (η)＝(0－0.7)2×0.6＋(1－0.7)2×0.2＋(2－0.7)2×0.1＋(3－0.7)2×0.1＝1.01，故乙的质量要比甲好．13．(2013·海口高二检测)设ξ是离散型随机变量，P (ξ＝x 1)＝23，P (ξ＝x 2)＝13，且x 1<x 2，又已知E (ξ)＝43，D (ξ)＝29，则x 1＋x 2的值为( )A ．53 B ．73 C ．3 D ．113[答案] C[解析] 由E (ξ)＝43，D (ξ)＝29得，⎩⎪⎨⎪⎧23x 1＋13x 2＝43，x 1－432·23＋x 2－432·13＝29，解之得，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝53，x 2＝23，或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2.∵x 1<x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2.∴x 1＋x 2＝3.14．随机变量X 的分布列如下：X 1 2 3P0.5x y若E (X )＝158，则D (X )等于( )A ．732B ．932C ．3364D ．5564[答案] D[解析] 由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧1×0.5＋2x ＋3y ＝158，0.5＋x ＋y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18，y ＝38.∴D (X )＝(1－158)2×12＋(2－158)2×18＋(3－158)2×38＝5564.二、填空题15．已知随机变量ξ的概率分布列如下：已知E (ξ)＝6.3__________________. [答案] 1.68[解析] 由分布列的性质知b ＝1－0.5－0.1＝0.4，∵E (ξ)＝4×0.5＋0.1×a ＋9×0.4＝0.1a ＋5.6＝6.3，∴a ＝7， ∵η～B (a ，b )，即η～B (7,0.4)， ∴D (η)＝7×0.4×(1－0.4)＝1.68. 三、解答题16．(2013·辽宁理，19)现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立．用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望．[解析] (1)设事件A ＝“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”， 则有A －＝“张同学所取的3道题都是甲类题”． 因为P (A －)＝C 36C 310＝16，所以P (A )＝1－P (A －)＝56.(2)X 所有的可能取值为0、1、2、3.P (X ＝0)＝C 02·(35)0·(25)2·15＝4125； P (X ＝1)＝C 12·(35)1·(25)1·15＋C 02(35)0·(25)2·45＝28125；P (X ＝2)＝C 22·(35)2·(25)0·15＋C 12(35)1·(25)1·45＝57125； P (X ＝3)＝C 22·(35)2·(25)0·45＝36125. 所以X 的分布列为：X 0 1 2 3 P4125281255712536125所以E (X )＝0×4125＋1×125＋2×125＋3×125＝2. 17．(2014·哈师大附中高二期中)现对某高校16名篮球运动员在多次训练比赛中的得分进行统计，将每位运动员的平均成绩所得数据用频率分布直方图表示如下．(如：落在区间[10,15)内的频率/组距为(0.0125)规定分数在[10,20)、[20,30)、[30,40)上的运动员分别为三级篮球运动员、二级篮球运动员、一级篮球运动员，现从这批篮球运动员中利用分层抽样的方法选出16名运动员作为该高校的篮球运动员代表．(1)求a 的值和选出篮球运动员代表中一级运动员的人数；(2)若从篮球运动员代表中选出三人，求其中含有一级运动员人数X 的分布列； (3)若从该校篮球运动员中有放回地选三人，求其中含有一级运动员人数Y 的期望．[解析] (1)由频率分布直方图知：(0.0625＋0.0500＋0.0375＋a ＋2×0.0125)×5＝1，∴a ＝0.0250.其中为一级运动员的概率为(0.0125＋0.0375)×5＝0.25， ∴选出篮球运动员代表中一级运动员为0.25×16＝4人． (2)由已知可得X 的可能取值分别为0、1、2、3， P (X ＝0)＝C 312C 316＝1128，P (X ＝1)＝C 212·C 14C 316＝3370，P (X ＝2)＝C 112·C 24C 316＝970，P (X ＝3)＝C 34C 316＝1140，∴X 的分布列为(3)由已知得Y ～B (3，4)，∴E (Y )＝np ＝3×14＝34，∴恰有一级运动员人数Y 的期望为34人．。
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离散型随机变量的方差
一、选择题
1．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗亭。
假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯的次数的期望为：（ ） A ．0.4 B ．1.2 C ．3
4.0 D ．0.6
2．已知ε～B(n ，p)，E ε=8，D ε=1.6，则n 与p 的值分别是（ ） A ．100和0.08 B ．20和0.4 C ．10和0.2 D ．10和0.8 3．随机变量ε的分布列为
则其期望等于（ ）
A ．1
B ．31
C ．4.5
D ．2. 4
4．已知随机变量ε的分布列为
且η=2ε+3，则E η等于（ ）
A ．53
B ．56
C ．521
D ．512
5．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，ε表示甲机床生产1000件产品中的次品数，η表示乙机床生产1000件产品中的次品数，经过一段时间的测试，ε与η的分布列分别为
据此判定：（ ）
A ．甲比乙质量好
B ．乙比甲质量好
C ．甲与乙质量相同
D ．无法判定
6．卖水果的某个体户，在不下雨的日子可赚100元，在雨天则要损失10元。
该地区每年下雨的日子约有130天，则该个体户每天获利的期望值是（1年按365天计算）（ ） A ．90元 B ．45元 C ．55元 D ．60.82元
二、填空题
7．设ε的分布列为
则D ε等于_____________________。
8．从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回地抽取3次，每次抽取1只，设抽得次品数为ε，则E （5ε+1）=________________。
9．设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p=_______________时，成功次数的标准差最大，其最大值是________________。
10．已知随机变量ε的分布列为
且E ε=1.1，则D ε=________________。
三、解答题
11．已知随机变量ε的分布列如下表：
求其数学期望、方差和标准差。
12．有一批数量很大的商品，其中次品占1%。
现从中任意地连续取出200件该商品，设其次品数为ε，求E ε，D ε。
13．有A 、B 两种钢筋，从中取等量样品检查它们的抗拉强度，指标如下表：
其中A ε、B ε分别表示A 、B 两种钢筋的抗拉强度。
试比较A 、B 两种钢筋哪一种质量好。
14．某人有10万元，有两种投资方案：一是购买股票，二是存入银行获取利息。
买股票的收益取决于经济形势，假设可分为三种状态：形势好、形势中等、形势不好。
若形势好可获利4万元，若形势中等可获利1万元，若形势不好要损失2万元。
如果存入银行，假设年利率为8%（不考虑利息可得税），可得利息8000元。
又假设经济形势好、中、差的概率分别为30%，50%，20%。
试问应选择哪一种方案，可使投资的效益较大？
参考答案
【同步达纲练习】 一、选择
1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6．D 二、填空
7．2
p p - 8．3
9．
21=
p ，最大值是5 10．0.49 提示：成功次数ε服从二项分布ε～B(100，p)，所以标准差
52)1(10)1(100=-+⨯
≤-==p p p p D εσε，当且仅当p=1-p 即
21
=p 时，成功次数的标准差最大，其最大值为5。
10．提示：先求p 、x 。
由随机变量分布列性质可得
21
)10351(1=
+-=p 。
又1
.1103
211510=⨯+⨯+⨯=x E ε，解得x=2，可得
49
.0103
)1.12(21)1.11(51)1.10(222=⨯-+⨯-+⨯-=εD 。
三、解答题
11．期望E ε=0×0.2+1×0.4+2×0.3+3×0.08+4×0.02=1.32；方差
-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=4(08.0)32.13(3.0)32.12(4.0)32.11(2.0)32.10(2222εD 8976.002.0)32.12=⨯；标准差95.08976.0===εσεD 。
12．因为商品数量很多，抽200件商品可以看做200次独立重复试验，所以ε～B (200，1%)，所以，E ε=200×1%=2， D ε=200×1%×99%=1.98 13．先比较A ε与B ε的期望值：
1252.01351.01304.01252.01201.0110=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=A E ε， 1252.01451.01304.01252.01151.0100=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=B E ε。
所以，它们的期望值相同。
再比较它们的方差：
502.0)125135(1.0)125130(2.0)125120(1.0)125110(2
2
2
2
=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=A D ε
165
2.0)125145(1.0)125130(2.0)125115(1.0)125100(2222=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=B D εB A D D εε<，因此，A 种钢筋质量较好。
14．设购买股票的收益为ε，则ε的分布列为
所以，期望E ε=40000×0.3+10000×0.5+(-20000) ×0.2=13000>8000。
故购买股票的投资效益较大。