第十章(2) 非正弦周期电流电路
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非正弦周期电流的电路xjh
03
工作原理
利用电容的阻抗随着频率的减小而减小，电感的阻抗随着频率的减小而
增加的特性，设计出对高频信号阻抗较小，对低频信号阻抗较大的电路。
带通滤波器设计
定义
带通滤波器允许某一频段的信号通过，抑制其他频段的信 号。
电路元件
由电阻、电容和电感组成，但电路结构更为复杂。
工作原理
通过调整元件的数值和连接方式，使得电路在某一频段内 呈现较小的阻抗，在其他频段呈现较大的阻抗，从而实现 信号的选择性传输。
03
开关电源：开关电源在工作过程中会产生非正弦周期电流 ，因为其工作原理涉及快速开关动作。
04
电路模型
05
非线性元件的等效电路：对于具有非线性电流-电压特性 的元件，可以使用等效电路模型来描述其行为。
06
平均模型：对于某些非正弦周期电流，可以使用平均模型 来简化分析，即将非正弦波形在一个周期内的平均值作为 等效值。
即电流的波形不是标准的正弦曲线，可能 是不规则的或具有其他特定形状。
周期性
产生原因
尽管波形不是正弦的，但非正弦周期电流 仍具有明确的周期性，即存在一个固定的 时间间隔，电流重复其波形。
非正弦周期电流的产生通常与非线性元件 或非线性电路行为有关。
产生原因与电路模型
01
产生原因
02
非线性元件：某些电子元件（如二极管、晶体管等）在特 定条件下会产生非线性电流-电压关系，导致非正弦周期 电流的产生。
平均值分析法
平均值分析法是一种基于非正弦周期电流波形平均值的电路分析方法。
在平均值分析法中，非正弦周期电流的波形被视为一系列矩形波的叠加，每个矩形 波的宽度为半个周期，高度为该矩形波所对应的电流值。
平均值分析法适用于分析非正弦周期电流电路中的电压、电流和功率等参数，特别 是对于具有对称性的波形，如方波、三角波等。
电路原理课件10非正弦周期电流电路
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非正弦周期电流电路 工程上傅里叶级数常用另一种形式：
f ( t ) = A0 + A1mcos(1t + 1 ) + = A0 + Akm cos( k1t + k )
k =1
= a0 + [ak cos( k1t ) + bk sin( k1t )]
交流稳态分析
暂态分析
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非正弦周期电流电路
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非正弦周期电流电路 用晶体管特性图示器测 量晶体二极管的电压电流关 系。
实验表明： 在低频工作条件下，晶
体二极管的电压电流关系是
u-i 平面上通过坐标原点的 一条曲线。
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非正弦周期电流电路
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非正弦周期电流电路
f ( t ) = a0 + [ak cos( k1t ) + bk sin( k1t )] k =1 因 bk = 0 f ( t ) = a + [a cos( k t ) b sin( k t )] 0 k 1 k 1 k =1 a k = 0 2. 奇函数： f (t) = f (t)，有 a0 = 0
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非正弦周期电流电路
10.1 非正弦周期信号的谐波分析
一、非正弦周期函数分解为傅里叶(Fourier)级数 满足狄里赫利条件的周期函数 f(t) = f(t + kT)[式中T 为周期函数 f(t)
的周期，k = 0，1，…]，可展开为收敛的傅里叶级数：
f ( t ) = a0 + [a1cos(1t ) + b1sin(1t )] + [a2cos(21t ) + b2sin(21t )] + + [ak cos( k1t ) + bk sin( k1t )] + = a0 + [ak cos( k1t ) + bk sin( k1t )]
非正弦周期电流电路及电路频率特性
电压分配
电感与电容两端的电压相等且相位相反，总电压 等于电阻两端的电压。
阻抗最小
在谐振频率下，电路的阻抗达到最小值，使得电 流达到最大值。
品质因数
串联谐振电路的品质因数Q较高，表示电路的选 择性较好。
并联谐振条件及特点
并联谐振条件
阻抗最大
电流分配
品质因数
在RLC并联电路中，当电源频 率等于电路的固有频率时，电 路发生并联谐振。此时，电路 中的阻抗最大，电流最小，且 电感与电容支路的电流相等且 相位相反。
电路频率特性的研究
探讨非正弦周期电流电路在不同频率下的响应特性，包括幅频特性、 相频特性和阻抗特性等，并分析这些特性对电路性能的影响。
实际应用案例
结合具体实例，展示非正弦周期电流电路及其频率特性在实际应用中 的价值，如电力电子设备、通信系统和控制系统等。
02
非正弦周期电流电路基本概 念
非正弦周期信号定义
非正弦周期信号
与正弦信号不同，非正弦周期信号的 波形在一个周期内不能简单地用正弦 函数描述。这种信号可以分解为一系 列不同频率的正弦波分量。
周期与非周期信号
周期信号是指在一个固定时间间隔内 重复出现的信号，而非周期信号则不 具有这种重复性。非正弦周期信号属 于周期信号的一种。
傅里叶级数展开与频谱分析
通频带
对于具有一定带宽的信号而言，能够通过谐振电路并被放大的频率范围称为通频带。通频带的宽度与 电路的品质因数Q有关，Q值越高则通频带越窄，反之则越宽。在实际应用中，需要根据信号的特点 和电路的要求来选择合适的通频带宽度。
06
非正弦周期电流电路实验验 证与仿真分析
实验目的和步骤
01
实验目的：通过搭建非正弦周期电流电路，验证其工作原 理和特性，并利用仿真软件进行分析，深入理解电路的频 率响应。
电感与电容两端的电压相等且相位相反，总电压 等于电阻两端的电压。
阻抗最小
在谐振频率下，电路的阻抗达到最小值，使得电 流达到最大值。
品质因数
串联谐振电路的品质因数Q较高，表示电路的选 择性较好。
并联谐振条件及特点
并联谐振条件
阻抗最大
电流分配
品质因数
在RLC并联电路中，当电源频 率等于电路的固有频率时，电 路发生并联谐振。此时，电路 中的阻抗最大，电流最小，且 电感与电容支路的电流相等且 相位相反。
电路频率特性的研究
探讨非正弦周期电流电路在不同频率下的响应特性，包括幅频特性、 相频特性和阻抗特性等，并分析这些特性对电路性能的影响。
实际应用案例
结合具体实例，展示非正弦周期电流电路及其频率特性在实际应用中 的价值，如电力电子设备、通信系统和控制系统等。
02
非正弦周期电流电路基本概 念
非正弦周期信号定义
非正弦周期信号
与正弦信号不同，非正弦周期信号的 波形在一个周期内不能简单地用正弦 函数描述。这种信号可以分解为一系 列不同频率的正弦波分量。
周期与非周期信号
周期信号是指在一个固定时间间隔内 重复出现的信号，而非周期信号则不 具有这种重复性。非正弦周期信号属 于周期信号的一种。
傅里叶级数展开与频谱分析
通频带
对于具有一定带宽的信号而言，能够通过谐振电路并被放大的频率范围称为通频带。通频带的宽度与 电路的品质因数Q有关，Q值越高则通频带越窄，反之则越宽。在实际应用中，需要根据信号的特点 和电路的要求来选择合适的通频带宽度。
06
非正弦周期电流电路实验验 证与仿真分析
实验目的和步骤
01
实验目的：通过搭建非正弦周期电流电路，验证其工作原 理和特性，并利用仿真软件进行分析，深入理解电路的频 率响应。
电子技术(电工学Ⅱ)(第3版)课件：非正弦周期电流电路
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5 非正弦周期电流电路
二、教学要求： 1. 通过学习，理解用傅里叶级数将非正弦周 期信号分解为谐波的方法 ； 2. 理解和掌握非正弦周期电流电路中的有效 值、平均值和平均功率的计算 ； 3.了解线性电路在非正弦激励下的计算方法。
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5.1非正弦周期量的分解
非正弦周期信号
u
Um
u
u
2 2
5.2.2 平均值 非正弦周期电流、电压的平均值分别为
I av
1 T
T
idt
0
U av
1 T
T
udt
0
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5.2效非值正、弦平周均期值电和流平电均路功中率的有 5.2.3 非正弦周期电流电路的平均功率 设某无源二端网络端口处的电压、电流取关联的参 考方向，并设其电压、电流为：
u U0 Ukm sinkt ku k 1
例5-2设二端网络的端口电压、电流为关联的参考方 向，已知：
u 10 141.4sint 50 sin3t 60V
i sin t 700 0.3sin 3t 600 A
求二端网络的平均功率P。
解： P U 0 I 0 U1I1 cos1 U 3 I3 cos3
U0I0
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5.3线性电路在非正弦激 励下的计算
例5-3如图所示电路，已知R=100Ω，C=1μF。激励源
uS为矩形波。已知Um=11V，T=1mS，求输出电压 uO 。
11
0
0.5
1
t ms
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5.3线性电路在非正弦激 励下的计算
解：由已知条件可得基波角频率
1
2
T
1
2
10
3
5 非正弦周期电流电路
二、教学要求： 1. 通过学习，理解用傅里叶级数将非正弦周 期信号分解为谐波的方法 ； 2. 理解和掌握非正弦周期电流电路中的有效 值、平均值和平均功率的计算 ； 3.了解线性电路在非正弦激励下的计算方法。
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5.1非正弦周期量的分解
非正弦周期信号
u
Um
u
u
2 2
5.2.2 平均值 非正弦周期电流、电压的平均值分别为
I av
1 T
T
idt
0
U av
1 T
T
udt
0
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5.2效非值正、弦平周均期值电和流平电均路功中率的有 5.2.3 非正弦周期电流电路的平均功率 设某无源二端网络端口处的电压、电流取关联的参 考方向，并设其电压、电流为：
u U0 Ukm sinkt ku k 1
例5-2设二端网络的端口电压、电流为关联的参考方 向，已知：
u 10 141.4sint 50 sin3t 60V
i sin t 700 0.3sin 3t 600 A
求二端网络的平均功率P。
解： P U 0 I 0 U1I1 cos1 U 3 I3 cos3
U0I0
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5.3线性电路在非正弦激 励下的计算
例5-3如图所示电路，已知R=100Ω，C=1μF。激励源
uS为矩形波。已知Um=11V，T=1mS，求输出电压 uO 。
11
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5.3线性电路在非正弦激 励下的计算
解：由已知条件可得基波角频率
1
2
T
1
2
10
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非正弦周期电流的电路.pptx
k p
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一、非正弦周期函数的平均值
若 u(wt) = U0 + U km sin(kwt + k ) k =1
正弦量的平均值为0
则其平均值为： (直流分量)
U AV
=
1
2
2
0 u(wt)dwt = U0
第40页/共46页
二、非正弦周期函数的有效值
若 u(wt) = U0 + U km sin(kwt + k ) k =1
is3
=
100 sin 3
3106 t
μA
Z (3w1) = 374 .5 89.19
U 3 = IS 3 Z (3w1)
= 33.3 10 6 374 .5 89.19 2
= 12.47 89.2 mV 2
第25页/共46页
4. 五次谐波 作用
20Ω
R
is3
C L u3
is5
直流分量+基波+三次谐波
第10页/共46页
三次谐波
频谱图
时域
U
Um
T
t
4U m
=U0
U0
3
w 3w
频域
U0
5w
5w
U = 4Um (sinwt + 1 sin 3wt + 1 sin 5wt +)
3
5
时域 周期性函数
第11页/共46页
频域 离散谱线
§5.3 非正弦周期交流电路的分析 和计算 要点
f (wt) = A0 + Bkm sin kwt + Ckm cos kwt
k =1
k =1
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一、非正弦周期函数的平均值
若 u(wt) = U0 + U km sin(kwt + k ) k =1
正弦量的平均值为0
则其平均值为： (直流分量)
U AV
=
1
2
2
0 u(wt)dwt = U0
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二、非正弦周期函数的有效值
若 u(wt) = U0 + U km sin(kwt + k ) k =1
is3
=
100 sin 3
3106 t
μA
Z (3w1) = 374 .5 89.19
U 3 = IS 3 Z (3w1)
= 33.3 10 6 374 .5 89.19 2
= 12.47 89.2 mV 2
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4. 五次谐波 作用
20Ω
R
is3
C L u3
is5
直流分量+基波+三次谐波
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三次谐波
频谱图
时域
U
Um
T
t
4U m
=U0
U0
3
w 3w
频域
U0
5w
5w
U = 4Um (sinwt + 1 sin 3wt + 1 sin 5wt +)
3
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时域 周期性函数
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频域 离散谱线
§5.3 非正弦周期交流电路的分析 和计算 要点
f (wt) = A0 + Bkm sin kwt + Ckm cos kwt
k =1
k =1
电路原理10.3.1非正弦周期电流电路的功率 - 非正弦周期电流电路的功率,非正弦周期电流电路的计算
+
i(3)
U R
uab uab(0) + uab(1) + uab(3)
[(U + 110 2)sin(t - 90o ) + 110 2 sin(3t - 180o )]V
由功率表读数，可得
P I 2R (U )2 R U 2
R
R
U PR 220 2 V
uab [330 2 sin(t - 90o ) + 110 2 sin(3t -180o )]V
k 1
k 1
U0 I0 + U0 Ikmcos(k1t + ik ) + I0 Ukmcos(k1t + uk )
k 1
k 1
i
+ Ukmcos(k1t + uk ) Ikmcos(k1t + ik )
+
k 1
k 1
u
N
该一端口吸收的平均功率定义为 P 1
T
p(t )dt
T0
-
P
I
0(0)
2A
I&1(1) I&2(1)
18.55 - 21.8o 5.5556.31o A
A
I&0(1)
20.43
-
6.38o
A
I&1(3) I&2(3)
6.4 - 20.19o A 4.4756.57o A
I&0(3)
8.6110.17o
A
把以上求得的基波分量、三次谐波分量化为瞬时值，属于同一
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非正弦周期电流电路
u(3) 70.7cos(31t + 30o )V，XL(1) 2Ω，XC(1) 15Ω，R1 5，R2 10
非正弦周期信号电路
瞬态分析主要采用时域分析方法，通过建立电路的微分方程或差分方程来求解。
瞬态分析的目的是了解电路在非正弦周期信号作用下的动态响应过程，包括电压、 电流的峰值、相位、波形等参数。
稳态分析
稳态分析是研究非正弦周期信号作用于电路时，电路 达到稳态后电压和电流的平均值或有效值。
稳态分析主要采用频域分析方法，通过将非正弦周期 信号进行傅里叶级数展开，转化为多个正弦波成分，
非正弦周期信号电路可以用于设计音频功率 放大器，将微弱的音频信号放大到足够的功 率以驱动扬声器或其他音频输出设备。
电力电子系统
逆变器
01
非正弦周期信号电路可以用于设计逆变器，将直流电转换为交
流电，以驱动电机、照明和加热等设备。
整流器
02
非正弦周期信号电路也可以用于设计整流器，将交流电转换为
直流电，以提供稳定的直流电源。
再对每个正弦波成分进行单独分析。
稳态分析的目的是了解电路在非正弦周期信号作用下 的稳态工作状态，包括平均功率、效率等参数。
频率响应分析
1
频率响应分析是研究非正弦周期信号作用于电路 时，电路在不同频率下的响应特性。
2
频率响应分析主要采用频域分析方法，通过测量 电路在不同频率下的输入输出特性，绘制频率响 应曲线。
生物医学工程
在生物医学工程中，非正 弦周期信号用于刺激或记 录生物体的电生理信号。
02
非正弦周期信号电路的基本 元件
电感元件
电感元件是利用电磁感应原理制 成的元件，其基本特性是阻碍电
流的变化。
当电感元件的电流发生变化时， 会在其周围产生磁场，储存磁场
能量。
电感元件的感抗与频率成正比， 因此对于非正弦周期信号，电感 元件会对其产生较大的阻碍作用。
瞬态分析的目的是了解电路在非正弦周期信号作用下的动态响应过程，包括电压、 电流的峰值、相位、波形等参数。
稳态分析
稳态分析是研究非正弦周期信号作用于电路时，电路 达到稳态后电压和电流的平均值或有效值。
稳态分析主要采用频域分析方法，通过将非正弦周期 信号进行傅里叶级数展开，转化为多个正弦波成分，
非正弦周期信号电路可以用于设计音频功率 放大器，将微弱的音频信号放大到足够的功 率以驱动扬声器或其他音频输出设备。
电力电子系统
逆变器
01
非正弦周期信号电路可以用于设计逆变器，将直流电转换为交
流电，以驱动电机、照明和加热等设备。
整流器
02
非正弦周期信号电路也可以用于设计整流器，将交流电转换为
直流电，以提供稳定的直流电源。
再对每个正弦波成分进行单独分析。
稳态分析的目的是了解电路在非正弦周期信号作用下 的稳态工作状态，包括平均功率、效率等参数。
频率响应分析
1
频率响应分析是研究非正弦周期信号作用于电路 时，电路在不同频率下的响应特性。
2
频率响应分析主要采用频域分析方法，通过测量 电路在不同频率下的输入输出特性，绘制频率响 应曲线。
生物医学工程
在生物医学工程中，非正 弦周期信号用于刺激或记 录生物体的电生理信号。
02
非正弦周期信号电路的基本 元件
电感元件
电感元件是利用电磁感应原理制 成的元件，其基本特性是阻碍电
流的变化。
当电感元件的电流发生变化时， 会在其周围产生磁场，储存磁场
能量。
电感元件的感抗与频率成正比， 因此对于非正弦周期信号，电感 元件会对其产生较大的阻碍作用。
电路原理10非正弦周期电流电路
ak a +b
2 k 2 k
cos( k1t ) +
bk a +b
2 k 2 k
sin( k1t )]} k = 1， 2， 3，
比较可知
A0 = a0 Akm = a + b
2 k 2 k
A0
周期函数 f(t) 的恒定分量(或 直流分量)。
ak = Akm cos k bk = Akm sin k
k =1
k = 1， 2， 3，
1 T 1 T2 a0 = f ( t )dt = T f ( t )dt 其中： T 0 T 2 2 T 2 T2 ak = f ( t )cos( k1t )dt = T f ( t )cos(k1t )dt T 0 T 2 1 2 1 = f ( t )cos( k1t )d(1t ) = f ( t )cos( k1t )d(1t ) 0 2 T 2 T2 bk = f ( t )sin( k1t )dt = T f ( t )sin( k1t )dt T 0 T 2 1 2 1 = f ( t )sin( k1t )d(1t ) = f ( t )sin( k1t )d(1t ) 0
五、谐波分析法 首先将非正弦周期激励分解为一系列不同频率的正弦量之和，再 根据线性电路的叠加定理，分别计算在各正弦量单独作用下在电路中
产生的同频率正弦电流和电压分量；最后把所得分量按时域形式叠加，
就可得到在非正弦周期激励下的稳态电流和电压。谐波分析法是把非 正弦周期电流电路的计算化为一系列正弦电流电路的计算。 非正弦 周期量 (激励) ？ 非正弦 稳态量 (响应) 叠加定理 Fourier 不同频率 正弦量的和 正弦稳态分析 各个正弦量 单独作用下 的响应分量
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k 1
L
其中：ak ( k=1, 2 ,, ) 均为正整数，=2/T 。 则：
I
1 T
T
0
I 0 2 I k cos( ak t k ) dt k 1
L
2
考虑根号内函数：
1 T
T
0
I 0 2 I k cos(ak t k ) dt k 1
k 1
L
u(t ) U 0 2 U k cos(ak t u k )
k 1
其中：ak ( k=1, 2 ,, ) 均为正整数。i和 u 的周 期为 T = 2 / 。
2 2
2 k
于是有：
I
同样可推得：
I I I I
2 0 2 1 2 2
2 0 2 1 2 2
2 L
U U U U U
2 L
10(1).4 非正弦周期电流电路的平均功率
设非正弦周期电流电路中某一单口 网络的端电流和端电压表达式为：
L
u -
+
i
N
i (t ) I 0 2 I k cos(ak t i k )
周期函数的傅立叶级数展开式 （动画14.1）
设周期函数 f (t )的周期 T ，且满足狄氏条件（在 一周期内绝对可积、在一周期内只有有限个极大 值和极小值、在一周期内只有有限个不连续点）， 则 f (t ) 可展开成级数：
f (t ) a0 Ak cos(k1t k )
k 1
第十章(2) 非正弦周期电流电路
线性电路中若有多个不同频率的正弦电 源，或者线性电路中含有非正弦周期电 源，则电路进入稳态后的电流和电压响 应将是非正弦周期函数，称这种电路为 非正弦周期电流电路。
10(1).1 多个不同频率正弦电源作用下线 性电路的稳态响应 10(1).2 非正弦周期电源作用下线性电路 的稳态响应 10(1).3 非正弦周期电流电路中电流和电 压的有效值 10(1).4 非正弦周期电流电路的平均功率 10(1).5 例题
j5 25 o Im 10.2 11.8 ( A) j5 j 0.2 24
o i0 10.2 cos(5t 11.8 )( A)
is 单独作用时电路相量模型如图。
2 4 j2 L j 4 j2C j 4( S ) o I 2 0 ( A)
ms
1Ω
j 2 L
j
1
I mS
2C
I m0
解得:
o 2 0 I mo
j4 2.06 14.9o ( A) 1 (1 j 4) j 4
2.06cos(4t 14.9o )( A) i0
根据叠加定理，有：
i0 i0 i0
一般步骤： 根据傅立叶级数将非正弦周期电源分解成直流 分量及各次谐波分量，相当于在电路输入端施加 多个等效电压源串联。 分别计算个各次谐波分量单独作用时电路的响 应分量。
由于电路是线性的，根据叠加原理，上述响应 分量的代数和就是非正弦周期电源作用下电路的 稳态响应。
注意问题： 在直流电源激励时，电感器 L 短接，电容器 C 开路。 在 k 次谐波激励时，感抗为 X Lk k1L ，容抗为 X Ck 1 k1C , 感纳为 BLk 1 k1L, 容纳为 BCk k1C.
10(1).1 多个不同频率正弦电源作用下 线性 电路的稳态响应
根据叠加定理，当电路中包含有多个不 同频率正弦电源（其中可含直流电源） 时，可分别求出各单一频率正弦电源及 支流电源单独作用时电路的稳态响应， 然后叠加。
应注意以下问题：
求各单一频率稳态响应时，可分别采用相量法。
不同频率电源作用时，电感和电容的阻抗是不同的。
10.2 cos(5t 11.8 ) 2.06 cos(4t 14.9 )( A)
o o
i'0 的周期： i''0 的周期：
T1 2 5 0.4
T2 2 4 0.5
i0 的周期 T 是 T1 和 T2 的最小公倍数：
T 5T1 4T2 2
10(1).2 非正弦周期电源作用下线 性电路的稳态响应
其中：a0 为 f(t)的恒定分量（平均值〕；
A 1t 1 ) 为 f(t)的基波分量， 1 cos(
1 2 T
基波频率与f(t) 的频率相同；
Ak是为 f(t)的 k 次谐波的振幅，k 是k 次谐波的 初相位， k 次谐波的频率是基波频率的 k 倍。
非正弦周期电源作用下电路的稳态响应求解
j1L j5
I m
+
U mS
1Ω
j
1 j j 0.2 1C 10 0o (V ) U
ms
1 1C
-
j 1 L
I m0
解得:
I m
10 0 9.79 11.8o 1 j5 ( j0.2) ( j5 j0.2)
o
I I mo m
10(1).3 非正弦周期电流电路中电流 和电压的有效值
非正弦周期电流和电压的有效值
周期为 T 的非正弦周期电流 i(t) 的有效值为：
I
1 T
T
0
i 2 (t )dt
若 i(t) 表为恒定分量和 L个不同频率正弦分量的和：
i (t ) I 0 2 I k cos(ak t k )
L
2
展开后有如下项：1ຫໍສະໝຸດ T1 TT
0
I 0 dt I 0
2
2
T
0
2I0
2 I k cos( akt k )dt 0
1 T
T
0
2 2 I k cos( akt k ) 2 I q cos( aqt q )dt 0
1 T
T
0
( 2 I k ) cos ( akt k )dt I
直流电源作用时，电感相当于短路，电容相当于开路。
不同频率正弦量的相量求和是无意义的，叠加只能对 瞬时表达式进行。
例：电路如图，已知 us 10cos5t (V ) , is 2 cos4t ( A) ，求 i0
+
。
1Ω
1F
us 1H -
is
i0
解：us 单独作用时电路相量 模型如图。
1 5
L
其中：ak ( k=1, 2 ,, ) 均为正整数，=2/T 。 则：
I
1 T
T
0
I 0 2 I k cos( ak t k ) dt k 1
L
2
考虑根号内函数：
1 T
T
0
I 0 2 I k cos(ak t k ) dt k 1
k 1
L
u(t ) U 0 2 U k cos(ak t u k )
k 1
其中：ak ( k=1, 2 ,, ) 均为正整数。i和 u 的周 期为 T = 2 / 。
2 2
2 k
于是有：
I
同样可推得：
I I I I
2 0 2 1 2 2
2 0 2 1 2 2
2 L
U U U U U
2 L
10(1).4 非正弦周期电流电路的平均功率
设非正弦周期电流电路中某一单口 网络的端电流和端电压表达式为：
L
u -
+
i
N
i (t ) I 0 2 I k cos(ak t i k )
周期函数的傅立叶级数展开式 （动画14.1）
设周期函数 f (t )的周期 T ，且满足狄氏条件（在 一周期内绝对可积、在一周期内只有有限个极大 值和极小值、在一周期内只有有限个不连续点）， 则 f (t ) 可展开成级数：
f (t ) a0 Ak cos(k1t k )
k 1
第十章(2) 非正弦周期电流电路
线性电路中若有多个不同频率的正弦电 源，或者线性电路中含有非正弦周期电 源，则电路进入稳态后的电流和电压响 应将是非正弦周期函数，称这种电路为 非正弦周期电流电路。
10(1).1 多个不同频率正弦电源作用下线 性电路的稳态响应 10(1).2 非正弦周期电源作用下线性电路 的稳态响应 10(1).3 非正弦周期电流电路中电流和电 压的有效值 10(1).4 非正弦周期电流电路的平均功率 10(1).5 例题
j5 25 o Im 10.2 11.8 ( A) j5 j 0.2 24
o i0 10.2 cos(5t 11.8 )( A)
is 单独作用时电路相量模型如图。
2 4 j2 L j 4 j2C j 4( S ) o I 2 0 ( A)
ms
1Ω
j 2 L
j
1
I mS
2C
I m0
解得:
o 2 0 I mo
j4 2.06 14.9o ( A) 1 (1 j 4) j 4
2.06cos(4t 14.9o )( A) i0
根据叠加定理，有：
i0 i0 i0
一般步骤： 根据傅立叶级数将非正弦周期电源分解成直流 分量及各次谐波分量，相当于在电路输入端施加 多个等效电压源串联。 分别计算个各次谐波分量单独作用时电路的响 应分量。
由于电路是线性的，根据叠加原理，上述响应 分量的代数和就是非正弦周期电源作用下电路的 稳态响应。
注意问题： 在直流电源激励时，电感器 L 短接，电容器 C 开路。 在 k 次谐波激励时，感抗为 X Lk k1L ，容抗为 X Ck 1 k1C , 感纳为 BLk 1 k1L, 容纳为 BCk k1C.
10(1).1 多个不同频率正弦电源作用下 线性 电路的稳态响应
根据叠加定理，当电路中包含有多个不 同频率正弦电源（其中可含直流电源） 时，可分别求出各单一频率正弦电源及 支流电源单独作用时电路的稳态响应， 然后叠加。
应注意以下问题：
求各单一频率稳态响应时，可分别采用相量法。
不同频率电源作用时，电感和电容的阻抗是不同的。
10.2 cos(5t 11.8 ) 2.06 cos(4t 14.9 )( A)
o o
i'0 的周期： i''0 的周期：
T1 2 5 0.4
T2 2 4 0.5
i0 的周期 T 是 T1 和 T2 的最小公倍数：
T 5T1 4T2 2
10(1).2 非正弦周期电源作用下线 性电路的稳态响应
其中：a0 为 f(t)的恒定分量（平均值〕；
A 1t 1 ) 为 f(t)的基波分量， 1 cos(
1 2 T
基波频率与f(t) 的频率相同；
Ak是为 f(t)的 k 次谐波的振幅，k 是k 次谐波的 初相位， k 次谐波的频率是基波频率的 k 倍。
非正弦周期电源作用下电路的稳态响应求解
j1L j5
I m
+
U mS
1Ω
j
1 j j 0.2 1C 10 0o (V ) U
ms
1 1C
-
j 1 L
I m0
解得:
I m
10 0 9.79 11.8o 1 j5 ( j0.2) ( j5 j0.2)
o
I I mo m
10(1).3 非正弦周期电流电路中电流 和电压的有效值
非正弦周期电流和电压的有效值
周期为 T 的非正弦周期电流 i(t) 的有效值为：
I
1 T
T
0
i 2 (t )dt
若 i(t) 表为恒定分量和 L个不同频率正弦分量的和：
i (t ) I 0 2 I k cos(ak t k )
L
2
展开后有如下项：1ຫໍສະໝຸດ T1 TT
0
I 0 dt I 0
2
2
T
0
2I0
2 I k cos( akt k )dt 0
1 T
T
0
2 2 I k cos( akt k ) 2 I q cos( aqt q )dt 0
1 T
T
0
( 2 I k ) cos ( akt k )dt I
直流电源作用时，电感相当于短路，电容相当于开路。
不同频率正弦量的相量求和是无意义的，叠加只能对 瞬时表达式进行。
例：电路如图，已知 us 10cos5t (V ) , is 2 cos4t ( A) ，求 i0
+
。
1Ω
1F
us 1H -
is
i0
解：us 单独作用时电路相量 模型如图。
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